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Universidad de Piura Facultad de Ingeniería Geometría Fundamental y Trigonometría

PROBLEMA RESUELTOS TOMANDO UN N = 5

En un eje se hallan los puntos A y B, de abscisas –(20.7+N) y (18.99+N) respectivamente. Se busca el lugar geométrico de los puntos del plano que disten el triple de A que de B. Indique el dígito de las unidades de: 1. El radio de dicho lugar geométrico. (2 p) Datos: OA=–25.7, OB=23.99, AB = OB – OA →AB = 23.99 – (–25.7) = 49.69 PA AM AN PA/PB=3   3 PB BM BN

●

●

1 B● ● Q

●

A

●

O M

Reemplazando (1) en (3): 3* BM  BM  49.69  BM  12.4225

AM  49.69  BM  49.69  12.4225  37.2675 AN  AB  BN ...(4) Reemplazando (2) en (4): 3* BN  49.69  BN  BN  24.845

P

3

AM  3 * BM ...(1) AN  3 * BN ...(2) AB  AM  BM  49.69...( 3 )

AN  49.69  BN  49.69  24.845  74.535

MN AN  AM 74.535  37.2675   2 2 2 R  18.6338

●

R

N

Respuesta 8 OM  AM  OA  37.2675  25.7 OM  11.5675  OQ  OM  R  30.2013

2. La abscisa del centro del mismo. (2 p) Respuesta 0 Se halla el lugar geométrico de puntos del plano tales que la suma de los cuadrados de sus distancias a dos puntos fijos del plano A y B sea (64+N)2. La distancia AB vale 32+N. Este lugar geométrico resulta ser una circunferencia de centro O y radio R. Indique el dígito de las décimas de: 3. El valor de R. (2 p) Datos: AB=a=37; K2=4761, m=R (radio del lugar geométrico notable) 2

a + 2 m2 2 m  R  45.1469 2 1

2 2 d +d2 = K =

Respuesta 1

2

2

2

2

K - a  m= K - a  2 m = 2 4 2 4

4761 37 2 2 4

Universidad de Piura Facultad de Ingeniería Geometría Fundamental y Trigonometría Se halla el lugar geométrico de puntos del plano tales que la suma de los cuadrados de sus distancias a dos puntos fijos del plano A y B sea (64+N)2. La distancia AB vale 32+N. Este lugar geométrico resulta ser una circunferencia de centro O y radio R. Indique el dígito de las décimas de: 4. El valor de R. (3 p) Datos: AB=a=37; K2=4761, m=R (radio del lugar geométrico notable) 2

2

2

a + 2 m2 2 m  R  45.1469

2

2

K - a  m= K - a  2 m = 2 4 2 4

2 1

2 2 d +d2 = K =

4761 37 2 2 4

Respuesta 1

En una recta orientada, dos puntos A y B tienen las siguientes abscisas: abscisa de A =3.3+N; abscisa de B =8+N. Se busca el lugar geométrico de puntos del plano tales que la relación de distancias de cada punto a A y a B sea 3/1. Indique el dígito de las unidades de: 5. La abscisa del centro del lugar geométrico. (2 p) Datos: AB = OB – OA →AB = 13 – 8.3 = 4.7 PA/PB=3

PA AM AN   3 PB BM BN

AM  3 * BM ...(1) AN  3 * BN ...(2) AB  AM  BM  4.7...(3)

Reemplazando (1) en (3):

3 * BM  BM  4.7  BM  1.175 AM  4.7  BM  3.525 AN  AB  BN ...(4)

P

●

3

1

●

O

●

A

●

M

B● ● Q

●

N

Reemplazando (2) en (4):

3 * BN  4.7  BN  BN  2.35 AN  4.7  BN  4.7  2.35  7.05

OQ  OA 

R

AM  AN 3.3.525  7.05  8.3   OQ  8.3  5.2875  13.5875 2 2

MN ON  OM (OB  BN )  (OA  AM ) (13  2.35)  (8.3  3.525)     1.7625 2 2 2 2

Respuesta 3

Universidad de Piura Facultad de Ingeniería Geometría Fundamental y Trigonometría Sea un segmento AB=(16+2*N), existe un lugar geométrico tal que la suma de los cuadrados de las distancias a A y B respectivamente es (11-N)2. Indique el dígito de las unidades de: 6.

La distancia del centro del lugar geométrico al punto A.

Datos: AB=26 d12+d22=36

A

“P” es un punto cualquiera del lugar geométrico que busco; en el triángulo APB se traza la mediana PM (AM=MB= 13) y la altura PH, donde se cumple que: En el triángulo APM:

P

d1

d2

M

H

(2 p)

En el triángulo PMB:

B

Sumando ambas expresiones se obtiene:

Podemos observar que el valor de PM no se puede obtener, esto quiere decir que para AB=26 y suma de los cuadrados de las distancias igual a 36, el lugar geométrico no existe, de modo que no existe su centro, ni su radio. Respuesta Solución Imposible 7.

Radio del lugar geométrico.

(2 p)

Respuesta Solución Imposible Se halla el lugar geométrico de puntos del plano tales que la suma de los cuadrados de sus distancias a dos puntos fijos del plano A y B sea (55+N)2. La distancia AB vale 20+N. Este lugar geométrico resulta ser una circunferencia de centro O y radio R. Siendo Q un punto de dicha circunferencia, con la intersección de otro lugar geométrico donde se cumple QA/QB=2, siendo el centro O’ y radio R’ de este nuevo lugar geométrico. Indique el dígito de las décimas de: 8. El valor de R. Datos: AB=a=25; PA2+PB2=K2=3600, m=R (radio del lugar geométrico notable) 2

a + 2 m2 2 m  R  40.5432 2 1

2 2 d + d2 = K =

Respuesta 5

(2 p)

2 2 2 2 2 K - a  m = K - a  3600 - 25 = m 2 4 2 4 2 4 2

Universidad de Piura Facultad de Ingeniería Geometría Fundamental y Trigonometría 9. El valor de R’. (2 p) Siendo M y N puntos extremos del diámetro de la circunferencia de Apolonio de segmento AB y constante k=2, que cortan a AB y a su prolongación, respectivamente, se cumple que: 8,333333333 AM= 16,66666667 El radio se obtiene: Respuesta 6

y

16,66666667

10. La distancia OO’ Siendo O’ el centro del segundo lugar geométrico se cumple que:

(2 p)

La distancia OO’ se puede hallar con la siguiente expresión:

( )

Respuesta 8 11. La mínima distancia de Q al segmento AB (2 p) De los datos, Q viene a ser la intersección de los 2 lugares geométricos, veamos si existe: Para que exista la intercepción de estos 2 lugares geométricos R (radio del primer lugar geométrico) tendría que ser menor a ON, verifiquemos: Debido a que R es mayor que ON, el punto Q no existe, ya que dichos lugares no se intersecan. Respuesta Solución Imposible Una recta r contiene los puntos A y B, tales que AB=15+N. Un punto P del plano es tal que PA2PB2=39+N. Se traza P´, proyección de P sobre r. Indique el dígito de las décimas de: 12. La distancia AP’. (1 p) 2 2 Datos: AB=20, PA -PB =44=K MH  MP' 

K 44   MP'  1.1 2 * AB 2 * 20

AP '  AM  MP' ;

AM 

AB  10  AP '  10  1.1 2

AP '  11.1

Respuesta 1 AB  BP' AP'  BP'  AB  AP'  20  11.1  BP'  8.9

13. La distancia BP’. Respuesta 9

(1 p)

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TEORÍA 14. Construir gráficamente el triángulo ABC, conociendo: b, hb y a/c=5/2. (4 p)

FIGURA AUXILIAR B

ANÁLISIS Se supone el problema resuelto. Se fijan AC y la recta “r” que distan hb. A dista b de C. El vértice B pertenece a la recta “r” y además cumple que: su razón de distancias a dos puntos fijos C y A es constante, a/c=(5/2). Estos datos son suficientes para construir el triángulo.

1. 2.

r

3. c

a hb

4. b

C

1. 2. 3.

4.

CONSTRUCCIÓN (SÍNTESIS) Se traza arbitrariamente el lado b (CA). A distancia hb de CA se traza la recta “r”. Ubicamos el vértice B en la intersección de dos lugares geométricos:  Recta “r”.  Circunferencia de Apolonio con K=(5/2) y puntos C y A. Unimos los vértices construyendo el triángulo ABC.

A

H

b

hb

B1

B2

5 hb 2 C

b

M

A 2

N

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PROBLEMAS PROPUESTOS En un triángulo ABC, se conoce que a=30+N; mb=21+N; y se sabe que mb es perpendicular a ma. Indique: 1. mc. (2 p) 2. La altura relativa al lado c. (2 p) 3. El radio de la circunferencia inscrita (2 p) En un triángulo ABC, a=19+N; ∡A=(30+N)º; y b / c=8+N. Indique: 4. El radio de la circunferencia inscrita. (2 p) 5. La altura relativa al lado a. (2 p) En un triángulo ABC se conoce: ∡A=(35+N)°, b/c=3 y mb=20+N. Indique: 6. El lado a. (2 p) 7. Los grados del ∡B. (2 p) 8. La mediana relativa al lado a. (2 p) En un triángulo ABC, a=33.35+N; ma=30.35+N; mb=25.35+N. Indique: 9. El lado b. (2 p) 10. La relación de los radios de la circunferencia inscrita y circunscrita (2 p) En un triángulo ABC, ma =20+N; mc =23+N; mb=25+N. Indique el dígito de las unidades de: 11. El lado a. (2 p) 12. El ángulo A (2 p) 13. La altura relativa al lado A (2 p) Tres rectas paralelas a ,b y c están separadas entre sí: de a a b, 3+N; de b a c, 5+N; (b está entre a y c). Se construye un triángulo equilátero ABC, tal que A esté en a, B en b y C en c. Indique: 14. La longitud del lado del ΔABC. (3 p) 15. El radio de la circunferencia circunscrita. (2 p) 16. El radio de la circunferencia inscrita (1 p)

Se hallan dos lugares geométricos: el primero es el conjunto de puntos del plano, desde los cuales se puede observar un segmento dado AB= 20+N, bajo un mismo ángulo de (60+N)º; este lugar geométrico resulta ser una porción de circunferencia de centro O y radio R. el segundo es el conjunto de puntos del plano cuya razón de distancias a los puntos A y B es 2, este último será una circunferencia de centro O’ y radio R’. Si Q es el punto de intersección de dichos lugares geométricos, indique el dígito de las décimas de: 17. El valor de R. (1 p) 18. El valor de R’ (1 p) 19. La mínima distancia de Q al segmento AB (2 p) Se halla el lugar geométrico de puntos del plano tales que la suma de los cuadrados de sus distancias a dos 2 puntos fijos del plano A y B sea (25+N) . La distancia AB vale 20+N. Este lugar geométrico resulta ser una circunferencia de centro O y radio R. Siendo Q un punto de dicha circunferencia, con la intersección de otro lugar geométrico donde se cumple QA/QB=3, siendo el centro O’ y radio R’ de este nuevo lugar geométrico. Indique el dígito de las décimas de: 20. El valor de R. (2 p) 21. El valor de R’. (2 p) 22. La distancia OO’ (2 p) 23. La mínima distancia de Q al segmento AB (2 p)

Universidad de Piura Facultad de Ingeniería Geometría Fundamental y Trigonometría Construir gráficamente el triángulo ABC, conociendo c, ∡A y IA/IB=2 (I es el incentro). Sin aplicar triángulo semejantes. Construir gráficamente el triángulo ABC, conociendo c, ∡C y b/a=3. Sin aplicar triángulo semejantes 2 Construir gráficamente un triángulo ABC, conociendo x e y , siendo x+y=c y x.y=hc . Construir gráficamente el triángulo ABC, conociendo: b, mb y a/c=5/2.