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I. Sistemas de coordenadas II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos

III. La línea recta IV. Ecuación de la circunferencia V. Transformación de coordenadas VI. La parábola

VII. La elipse VIII. La hipérbola

http://www.licimep.org/MateFisica.htm •En particular, hay una sección dedicada a la Geometría Analítica, que tiene 81 problemas resueltos •En esa sección hay problemas del Lehmann. En particular, del capítulo II hay 15 problemas resueltos

http://speckle.inaoep.mx/~jjbaezr/

 Es el estudio de la geometría usando los principios del álgebra y viceversa.  Es la unión de la geometría y el álgebra

Ecuaciones en dos variables

Figuras geométricas en el plano

Ordenada

 x, y 

y Abscisa

x

Dada una ecuación, interpretarla geométricamente

Dada un figura geométrica, determinar su ecuación

Definición 1: El conjunto de los puntos, y solamente de aquellos puntos, cuyas coordenadas satisfagan una ecuación f  x, y  =0 se llama gráfica de la ecuación o, bien, su lugar geométrico.

Definición 2: Cualquier punto cuyas coordenadas satisfacen la ecuación f  x, y  =0 pertenece a la gráfica de la ecuación.

El conjunto solución de la ecuación, formado por los puntos ordenados, debe pertenecer al conjunto de los números reales.

Intersección con los ejes

Cálculo de coordenadas Simetría

Extensión de la curva

Construcción de la curva Asíntotas

Consideremos ahora el segundo problema fundamental de la Geometría Analítica: Dada una figura geométrica, o la condición que deben cumplir los puntos de la misma, determinar su ecuación.

Una figura geométrica , tal como una curva , generalmente se da por su definición. Por definición de un objeto entendemos una descripción de ese objeto, de tal naturaleza que sea posible identificarlo de una manera definida entre todos los demás objetos de su clase.

Por definición de un objeto entendemos una descripción de ese objeto, de tal naturaleza que sea posible identificarlo de una manera definida entre todos los demás objetos de su clase.

Debemos observar cuidadosamente lo que implica este enunciado: expresa una condición necesaria y suficiente para la existencia del objeto definido.

Así , consideremos que estamos definiendo una curva plana del tipo C por medio de una propiedad P, que únicamente posee C. Entonces, entre todas las curvas planas, una curva es del tipo C si y solamente si posee la propiedad P.

Como un ejemplo especifico, consideremos una curva plana muy conocida: la circunferencia.

Definimos una circunferencia como una curva plana que posee la propiedad única P, que todos sus puntos están a igual distancia de un punto fijo en su plano.

Definimos una circunferencia como una curva plana que posee la propiedad única P, que todos sus puntos están a igual distancia de un punto fijo en su plano.

Esto significa que toda circunferencia tiene la propiedad P, y reciprocamente, toda curva plana que tenga la propiedad P es una circunferencia.

Para una curva , dar la condición que deben cumplir sus puntos es dar una ley a la cual deben obedecer todos los puntos de la curva. Esto significa que todo punto de la curva debe satisfacer la ley particular de la curva.

De acuerdo con esto se define frecuentemente una curva como el lugar geométrico descrito por un punto que se mueve siguiendo una ley específica.

De acuerdo con esto se define frecuentemente una curva como el lugar geométrico descrito por un punto que se mueve siguiendo una ley específica.

Así, una circunferencia puede definirse como el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que su distancia a un punto fijo de ese plano es constante.

Un lugar geométrico no debe satisfacer necesariamente una sola condición; puede satisfacer dos ó más condiciones. Podemos tener una curva que sea el lugar geométrico de un punto que se mueve de tal manera que: 1 ) Pasa por un punto dado. 2) Se conserva siempre a una distancia constante de una recta dada.

Definición: Una curva es el lugar geométrico de todos aquellos puntos, y solamente de aquellos puntos, que satisfacen una o más condiciones geométricas dadas.

i) Se debe observar que esta definición implica que la condición o condiciones dadas sean necesarias y suficientes para la existencia de la curva. ii) Esta definición debe también compararse con la definición 1 del artículo 14:

Definición: Una curva es el lugar geométrico de todos aquellos puntos, y solamente de aquellos puntos, que satisfacen una o más condiciones geométricas dadas.

Definición 1: El conjunto de los puntos, y solamente de aquellos puntos, cuyas coordenadas satisfagan una ecuación f  x, y  =0 se llama gráfica de la ecuación o su lugar geométrico.

Hasta ahora hemos estudiado el problema desde un punto de vista puramente geométrico. Consideraremos ahora la interpretación analítica.

Estudiaremos ahora el problema de la determinación de la ecuación de un lugar geometrico en el caso que la interpretación analítica de la condición o condiciones geometricas definen el lugar geométrico.

El método es el indicado claramente por las dos definiciones previas siguientes:

Definición: Una curva es el lugar geométrico de todos aquellos puntos, y solamente de aquellos puntos, que satisfacen una o más condiciones geométricas dadas.

Definición 1: El conjunto de los puntos, y solamente de aquellos puntos, cuyas coordenadas satisfagan una ecuación f  x, y  =0 se llama gráfica de la ecuación o su lugar geométrico.

Combinando estas dos definiciones tenemos una nueva:

Definición: Se llama ecuación de un lugar geométrico plano a una ecuación de la forma f  x, y   0 cuyas soluciones reales para valores correspondientes de x e y son todas coordenadas de aquellos puntos, y solamente de aquellos puntos, que satisfacen la condición o condiciones geométricas dadas que definen el lugar geométrico.

Nótese que esta definición expresa una condición necesaria y suficiente para que f  x, y   0 sea la ecuación de un lugar geométrico.

Definición: Se llama ecuación de un lugar geométrico plano a una ecuación de la forma f  x, y   0 cuyas soluciones reales para valores correspondientes de x e y son todas coordenadas de aquellos puntos, y solamente de aquellos puntos, que satisfacen la condición o condiciones geométricas dadas que definen el lugar geométrico.

De acuerdo con esto, el procedimiento para obtener la ecuación de un lugar geométrico es esencialmente como sigue :

1. Se supone que el punto P, de coordenadas ( x, y), es un punto cualquiera que satisface la condición ó condiciones dadas, y, por tanto, un punto del lugar geométrico.

2. Se expresa, analíticamente, la condición o condiciones geométricas dadas, por medio de una ecuación o ecuaciones en las coordenadas variables x e y.

3. Se simplifica, si hace falta, la ecuación obtenida en el paso anterior  2  de tal manera que tome la forma f ( x, y)  0

4. Se comprueba el reciproco: Sean ( x1, y1 ) las coordenadas de cualquier punto que satisfacen f ( x, y)  0, de tal manera que la ecuación f ( x1 , y1 )  0 es verdadera. Si de la ecuación f ( x1 , y1 )  0 se puede deducir la expresión analítica de la condición o condiciones geométricas dadas, cuando se aplica al punto  x1, y1  , entonces f  x, y   0 es la ecuación buscada del lugar geométrico.

Nótese que en el paso 1 al tomar P como un punto cualquiera del lugar geométrico, estamos considerando todos los puntos de ese lugar geométrico.

En la práctica generalmente se omite el paso 4, ya que la repetición del trabajo del paso 3 al paso 2 es, en casi todos los casos, inmediata.

1. Se supone que el punto P, de coordenadas ( x, y), es un punto cualquiera que satisface la condición ó condiciones dadas, y, por tanto, un punto del lugar geométrico. 2. Se expresa, analíticamente, la condición o condiciones geométricas dadas, por medio de una ecuación o ecuaciones en las coordenadas variables x e y. 3. Se simplifica, si hace falta,la ecuación obtenida en el paso anterior  2  de tal manera que tome la forma f ( x, y)  0 4. Se comprueba el reciproco: Sean ( x1, y1 ) las coordenadas de cualquier punto que satisfacen f ( x, y)  0, de tal manera que la ecuación f ( x1 , y1 )  0 es verdadera. Si de la ecuación f ( x1 , y1 )  0 se puede deducir la expresión analítica de la condición o condiciones geométricas dadas, cuando se aplica al punto  x1, y1  , entonces f  x, y   0 es la ecuación buscada del lugar geométrico.

Encuentra la ecuación del lugar geométrico de todos los puntos que están a una distancia 1 del origen.

Encuentra la ecuación del lugar geométrico de todos los puntos que están a una distancia 1 del origen.

¿Cuál es el lugar geométrico?

Encuentra la ecuación del lugar geométrico de todos los puntos que están a una distancia 1 del origen. y

1.0 0.8 0.6 0.4 0.2

-1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x

1. Se supone que el punto P, de coordenadas ( x, y), es un punto cualquiera que satisface la condición ó condiciones dadas, y, por tanto, un punto del lugar geométrico. 2. Se expresa, analíticamente, la condición o condiciones geométricas dadas, por medio de una ecuación o ecuaciones en las coordenadas variables x e y. 3. Se simplifica, si hace falta,la ecuación obtenida en el paso anterior  2  de tal manera que tome la forma f ( x, y)  0 4. Se comprueba el reciproco: Sean ( x1, y1 ) las coordenadas de cualquier punto que satisfacen f ( x, y)  0, de tal manera que la ecuación f ( x1 , y1 )  0 es verdadera. Si de la ecuación f ( x1 , y1 )  0 se puede deducir la expresión analítica de la condición o condiciones geométricas dadas, cuando se aplica al punto  x1, y1  , entonces f  x, y   0 es la ecuación buscada del lugar geométrico.

1. Se supone que el punto P, de coordenadas ( x, y), es un punto cualquiera que satisface la condición ó condiciones dadas, y, por tanto, un punto del lugar geométrico.

2. Se expresa, analíticamente, la condición o condiciones geométricas dadas, por medio de una ecuación o ecuaciones en las coordenadas variables x e y.

Teorema 2. La distancia d , entre dos puntos P1 ( x1, y1 ) y P2 ( x2 , y2 ), está dada por la formula: d 

 x2  x1 

2

  y2  y1 

2

2. Se expresa, analíticamente, la condición o condiciones geométricas dadas, por medio de una ecuación o ecuaciones en las coordenadas variables x e y.

La distancia del punto P  x, y  generico al origen es d x y 2

2

Esa distancia siempre es igual a 1. Por lo tanto, la ecuación es x  y 1 2

2

3. Se simplifica, si hace falta, la ecuación obtenida en el paso anterior  2  de tal manera que tome la forma f ( x, y)  0

x  y 1 2

2

Se simplifica la ecuación, x  y 1  0 2

2

4. Se comprueba el reciproco: Sean ( x1, y1 ) las coordenadas de cualquier punto que satisfacen f ( x, y)  0, de tal manera que la ecuación f ( x1 , y1 )  0 es verdadera. Si de la ecuación f ( x1 , y1 )  0 se puede deducir la expresión analítica de la condición o condiciones geométricas dadas, cuando se aplica al punto  x1, y1  , entonces f  x, y   0 es la ecuación buscada del lugar geométrico.

Sea P1  x1 , y1  un punto que satisface la ecuación; es decir, x  y  1  0 es verdadera. Entonces 2 1

2 1

x  y 1 2 1

2 1

x  y 1 2 1

2 1

d  P1  x1 , y1  , O   1 que es la condición geométrica.

14. Un punto se mueve de tal manera que su distancia al punto A  2, 4  es siempre igual a su distancia al eje Y aumentada en 3. Encuentra la ecuación del lugar geométrico.

Ejercicio 14, grupo 8, capítulo II. Página 54

14. Un punto se mueve de tal manera que su distancia al punto A  2, 4  es siempre igual a su distancia al eje Y aumentada en 3. Encuentra la ecuación del lugar geométrico.

Sea P  x, y  un punto genérico y arbitrario del lugar geométrico. La especificación del lugar geométrico se escribe, en términos algebráicos, como d  P  x, y  , A  2, 4   d  P  x, y  , Y   3

14. Un punto se mueve de tal manera que su distancia al punto A  2, 4  es siempre igual a su distancia al eje Y aumentada en 3. Encuentra la ecuación del lugar geométrico.

Ahora

d  P  x, y  , A  2, 4   d P  x, y  , Y   3

es

 x  2

2

  y  4  x  3 2

 x  2

2

  y  4  x  3 2

Elevando al cuadrado:

 x  2

2

  y  4    x  3 2

2

Desarrollando los cuadrados: x 2  4 x  4  y 2  8 y  16  x 2  6 x  9 Pasando todo al primer miembro: x 2  4 x  4  y 2  8 y  16  x 2  6 x  9  0

x  4 x  4  y  8 y  16  x  6 x  9  0 2

2

2

Reduciendo términos semejantes: x  4 x  4  y  8 y  16  x  6 x  9  0 2

2

y  8 y  10 x  11  0 2

2

14. Un punto se mueve de tal manera que su distancia al punto A  2, 4  es siempre igual a su distancia al eje Y aumentada en 3. Encuentra la ecuación del lugar geométrico.

La ecuación del lugar geométrico es: y  8 y  10 x  11  0 2

y  8 y  10 x  11  0 2

y12  8 y1  10 x1  11  0 x  4 x1  4  y  8 y1  16  x  6 x1  9  0 2 1

2 1

2 1

x  4 x1  4  y  8 y1  16  x  6 x1  9 2 1

 x1  2 

2 1

2

2 1

  y1  4    x1  3 2

2

 x1  2    y1  4   x1  3 d  P1  x1 , y1  , A  2, 4   d  P1  x1 , y1  , Y   3 2

2

y  8 y  10 x  11  0 2

23. Dos de los vértices de un triángulo son los puntos fijos A(-1,3) y B(5,1). Hallar la ecuación del lugar geométrico del tercer vértice C si se mueve de tal manera que la pendiente del lado AC es siempre el doble de la del lado BC. m AC  2mBC

m AC  2mBC

A 1,3 B 5,1

C

23. Dos de los vértices de un triángulo son los puntos fijos A(-1,3) y B(5,1). Hallar la ecuación del lugar geométrico del tercer vértice C si se mueve de tal manera que la pendiente del lado AC es siempre el doble de la del lado BC.

Solución: Sea P( x, y) un punto cualquiera del lugar geométrico. y 3 La pendiente del lado AP es m1  x 1 y 1 La pendiente del lado BP es m2  x 5 Segun el problema, P  x, y  debe satisfacer la condición geométrica m1  2m2

23. Dos de los vértices de un triángulo son los puntos fijos A(-1,3) y B(5,1). Hallar la ecuación del lugar geométrico del tercer vértice C si se mueve de tal manera que la pendiente del lado AC es siempre el doble de la del lado BC.

La condición geométrica especificada, que la pendiente del lado AP es siempre el doble de la del lado BP; es decir, que m1  2m2 se expresa analíticamente como y 3 y 1 =2 x 1 x 5

y 3 y 1 =2 x 1 x 5 Simplificamos ahora la expresión que expresa la condición analíticamente, y 3 y 1 2 0 x 1 x5  y  3 x  5  2  y  1 x  1  0  x  1 x  5 xy  3x  5 y  15  2 xy  2 x  2 y  2 0  x  1 x  5

y 3 y 1 =2 x 1 x 5 xy  3x  5 y  15  2 xy  2 x  2 y  2 0  x  1 x  5  xy  x  7 y  17 0  x  1 x  5  xy  x  7 y  17  0 xy  x  7 y  17  0

Nos falta comprobar ahora el recíproco, el punto 4 de los pasos que hemos especificado; es decir, si un punto P1 ( x1 , y1 ) satisface la ecuación xy  x  7 y  17  0 entonces satisface la condición geométrica, que la pendiente del lado AP es siempre el doble de la del lado BP.

Como el punto P1 ( x1 , y1 ) satisface la ecuación xy  x  7 y  17  0 tenemos x1 y1  x1  7 y1  17  0 Dividimos ambos lados de la ecuación, x1 y1  x1  7 y1  17 0  x1  1 x1  5

x1 y1  x1  7 y1  17 0  x1  1 x1  5 Y ahora separamos las fracciones x1 y1  x1  7 y1  17  x1 y1  x1 y1  3x1  3x1  5 y1  5 y1  15  15 0  x1  1 x1  5  x1 y1  3x1  5 y1  15  2 x1 y1  2 x1  2 y1  2 0  x1  1 x1  5 ( x1  5)( y1  3)  2( y1  1)( x1  1) 0  x1  1 x1  5 ( x1  5)( y1  3)  2( y1  1)( x1  1) 0  x1  1 x1  5

( x1  5)( y1  3)  2( y1  1)( x1  1) 0  x1  1 x1  5 ( x1  5)( y1  3) ( y1  1)( x1  1)  2 0  x1  1 x1  5  x1  1 x1  5 y1  3 y1  1  2 0 x1  1 x1  5 y1  3 y1  1 2 x1  1 x1  5 m1  2m2

xy  x  7 y 17  0

( x - 3)²  ( y -1)²  ( x / 2) ( x - 3)²  ( y -1)²  x 2 / 4 ( x - 3)²  ( y -1)²  x 2 / 4  0 (3 / 4) x² - 6 x  y ² - 2 y  10  0 (3 / 4) x² - 6 x  y ² - 2 y  10  0

y

3

(3 / 4) x² - 6x  y² - 2 y 10  0

2

1

0 2

-1

3

4

5

6

7

x

5. Un punto se mueve de tal manera que su distancia al punto  2,3 es siempre igual a 5. Hallar la ecuación de su lugar geométrico y dar una interpretación geométrica.

1. Se supone que el punto P, de coordenadas ( x, y) es un punto cualquiera que satisface la condición o condiciones dadas, y , por tanto, un punto del lugar geométrico. Sea entonces P  x, y  un punto general y arbitrario del lugar geométrico.

2. Se expresa , analíticamente , la condición o condiciones geometricas dadas, por medio de una ecuación o ecuaciones en las coordenadas variables x y y. En este caso esa condición se escribe d P  x, y  , A  2,3  5

que se expresa como

 x  2

2

  y  3  5 2

3. Se simplifica , si hace falta , la ecuación obtenida en el paso 2 de tal manera que tome la forma f  x, y   0 En este caso

 x  2    y  3  5 2 2  x  2   y  3  25 2

2

x  4 x  4  y  6 y  9  25 2

2

x 2  4 x  4  y 2  6 y  9  25  0 x 2  y 2  4 x  6 y  12  0

4 . Se comprueba el reciproco : Sean  x1, y1  las coordenadas de ctialquier punto que satisfacen (1) de tal manera que la ecuación es verdadera . Si de (2) se puede deducir la expresi6n analitica de la condición o condiciones geometricas dadas, cuando se aplica a1 punto (x1 , y1 ) , entonces (I) es la ecuación buscada del lugar geométrico. En este caso

 x1  2   y1  3  5 2

2

 x1  2   y1  3  25 2

2

x12  4 x1  4  y12  6 y1  9  25 x12  4 x1  4  y12  6 y1  9  25  0 x12  y12  4 x1  6 y1  12  0

Construir la gráfica de la ecuación x  y  4 x  6 y  12  0 2

2

Intersecciones con los ejes Eje X : Hacemos y  0 en la ecuación x 2  y 2  4 x  6 y  12  0, y obtenemos x  4 x  12  0 La factorizamos 2

 x  6 x  2  0 Las intersecciones del eje X son 6 y  2

Intersecciones con los ejes Eje Y : Hacemos x  0 en la ecuación x 2  y 2  4 x  6 y  12  0, y obtenemos y 2  6 y  12  0, La resolvemos y

  6  

 6  4 1 12 6   2 1 2

36  48 2

6  84 6  4  21 6  2 21     3  21 2 2 2 Las intersecciones del eje Y son 3  21 y 3  21

Simetrías No tiene

Extensión En el eje X : Despejamos y como función de x, de x2  y 2  4 x  6 y  12  0, 6  36  4  x  4 x  12  2

y 

2

6  4   x2  4 x  21 2

y  3   x 2  4 x  21

6  4 x  16 x  84  2 2

6  2  x2  4 x  21  2

Asíntotas No tiene

x  y  4x  6 y  12  0 2

2

 2,3

Hallar la ecuación del lugar geométrico de un punto que se mueve de tal manera que siempre equidista de dos puntos dados A (1 ,2) y B(4, 1 ).

Hallar la ecuación del lugar geométrico de un punto que se mueve de tal manera que siempre equidista de dos puntos dados A (1 ,2) y B(4, 1 ).

Hallar la ecuación del lugar geométrico de un punto que se mueve de tal manera que siempre equidista de dos puntos dados A (1 ,2) y B(4, 1 ).

La ecuación buscada es 5x  3 y  6  0

5x  3y  6  0

Un punto se mueve de tal manera que su distancia del eje Y es siempre igual a su distancia del punto

 4, 0  . Hallar la ecuación de su lugar geométrico.

Un punto se mueve de tal manera que su distancia del eje Y es siempre igual a su distancia del punto

 4, 0  . Hallar la ecuación de su lugar geométrico. Sea P( x, y ) un punto cualquiera del lugar geométrico. Sea B el pie de la perpendicular de P al eje Y , según el problema, P debe satisfacer lacondición geométrica PB  PA

Un punto se mueve de tal manera que su distancia del eje Y es siempre igual a su distancia del punto

 4, 0 . Hallar la ecuación de su lugar geométrico. PB  PA

 x  4  y 2 2 x   x  4  y2 x 

2

2

x 2  x 2  8 x  16  y 2 y 2  8 x  16  0

y

5

y  8 x  16  0 y  8 x  16  0 2

4

2

3 2 1 0 1.5 -1 -2 -3 -4 -5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

4.5

5.0

x