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Cuerpos geométricos. Como todos sabemos, los cuerpos geométricos corresponden a una figura geométrica tridimensional, es decir, que se proyecta en tres dimensiones: largo, ancho y alto. Debido a esta característica, existen en el espacio pero se hallan limitados por una o varias superficies. Si todas las superficies que lo limitan son llanas y de contorno poligonal, el cuerpo es un poliedro. -POLIEDROS: Un poliedro es, en el sentido dado por la Geometría clásica al término, un cuerpo geométrico cuya superficie se compone de una cantidad finita de polígonos planos que encierran un volumen finito y no nulo. Se clasifican en dos tipos: regulares e irregulares.

a) Poliedros regulares: Los poliedros regulares son poliedros convexos con todas las caras idénticas que son polígonos regulares y con todos los vértices recibiendo el mismo número de aristas. Solo existen 5 tipos de poliedros regulares: tetraedro, octaedro, icosaedro, cubo y dodecaedro.

Tetraedro

N° de caras N° de vértices N° de aristas N° de lados de cada cara N° aristas concurrentes en un vértice

Hexaedro (cubo)

Octaedro

Dodecaedro

Icosaedro

4 caras 8 caras 12 caras 20 caras 6 caras (triángulos (triángulos (pentágonos (triángulos (cuadrados) equiláteros) equiláteros) regulares) equiláteros) 4 6 8 12 20

-Tetraedro:

4

8

6

20

12

6

12

12

30

30

3

4

3

5

3

3

3

4

3

5

Un tetraedro regular es un poliedro formado por cuatro caras que son triángulos equiláteros, y cuatro vértices en cada uno de los cuales concurren tres caras. Es uno de los cinco poliedros perfectos llamados sólidos platónicos. Además es uno de los ocho poliedros convexos denominados deltaedros. Aplicándole la nomenclatura estándar de los sólidos de Johnson podría ser denominado pirámide triangular. Cálculo de dimensiones fundamentales Exclusivamente a partir de la arista a se pueden calcular el resto de las dimensiones fundamentales de un tetraedro regular. Así, para las esferas singulares del tetraedro: •

Radio R de la esfera circunscrita al tetraedro (la que contiene en su superficie los cuatro vértices del mismo):

Tetraedro regular

Grupo

Sólidos platónicos

Número de caras

4

Polígonos que forman

Triángulos

las caras

equiláteros

Número de aristas

6

Número de vértices

4

Caras concurrentes 3 en cada vértice Vértices contenidos 3 en cada cara Grupo de simetría

•

•

Radio r de la esfera inscrita al tetraedro (la tangente a las cuatro caras del tetraedro):

Tetraédrico (Td) Tetraedro

Poliedro conjugado (autoconjugado)

Radio ρ de la esfera tangente a las seis aristas del tetraedro:

En un tetraedro regular cada pareja de aristas opuestas (las que no concurren en un mismo vértice) son ortogonales entre sí, siendo la mínima distancia entre ellas el segmento que une sus puntos medios, de longitud doble al radio ρ de la esfera tangente a las aristas del tetraedro.

•

La altura H del tetraedro (apoyado el tetraedro de manera estable sobre un plano horizontal, distancia perpendicular desde el plano de apoyo al vértice opuesto):

Volumen, área y desarrollo Dado un Tetraedro regular de arista a, podemos calcular su volumen V mediante la siguiente fórmula:

Y el área total de sus caras A (que es 4 veces el área de una de ellas, Ac), mediante:

-Cubo: Un cubo, o hexaedro regular es un poliedro de seis caras cuadrados congruentes, siendo uno de los llamados sólidos platónicos. Hexaedro regular o cubo

Un cubo, además de ser un hexaedro, puede ser clasificado también como paralelepípedo, recto y rectángulo, pues todas sus caras son de cuatro lados y paralelas dos a dos, e incluso como un prisma de base cuadrangular y altura equivalente al lado de la base. Volumen, área y desarrollo Grupo Dado un Hexaedro regular de arista a, podemos calcular su volumen V mediante la siguiente fórmula: V = a3 Y el área total de sus caras A (que es 6 veces el área de una de ellas, Ac), mediante:

Número de caras Polígonos que forman las caras

Sólidos platónicos 6 Cuadrados

Número de aristas

12 ani= V % 4

Número de vértices

8

Caras concurrentes en cada vértice

3

Vértices contenidos en cada cara

4

Grupo de simetría

Octaédrico (Oh)

Poliedro conjugado

Octaedro

-Icosaedro: Un icosaedro es un poliedro de veinte caras, convexo o cóncavo. Sus caras han de ser polígonos de diecinueve lados o menos. Si las veinte caras del icosaedro son triángulos equiláteros, forzosamente iguales entre sí, el icosaedro es convexo y se denomina regular, siendo entonces uno de los llamados sólidos platónicos. El poliedro conjugado del icosaedro es el dodecaedro. Icosaedro regular

Cálculo de dimensiones fundamentales

•

Volumen, área y desarrollo

Dado un Icosaedro regular de arista a, se puede calcular su volumen V mediante la siguiente fórmula:

Grupo Número de caras Palípedos que forman las caras

Sólidos platónicos 20 Triángulos equiláteros

Número de aristas

30

Número de vértices

12

Caras concurrentes en cada vértice

5

Vértices contenidos en cada cara

3

Grupo de simetría

Icosaédrico (Ih)

Poliedro conjugado

Dodecaedro

Y el área total de sus caras A (que es 20 veces el área de una de ellas, Ac), mediante:

-Octaedro: Un octaedro es un poliedro de ocho caras.

Volumen, área y desarrollo Octaedro regular

Dado un Octaedro regular de arista a, podemos calcular su volumen V mediante la siguiente fórmula:

Y el área total de sus caras A (que es 8 veces el área de una de ellas, Ac), mediante: Grupo

Sólidos platónicos

Número de caras

8

Polígonos que forman las caras

Triángulos equiláteros

Número de aristas

12

Número de vértices

6

Caras concurrentes vértice Vértices cara

en

cada

contenidos en

cada

4 3

Grupo de simetría

Octaédrico (Oh)

Poliedro conjugado

Cubo

Simetría

Un octaedro regular tiene tres ejes de simetría de orden cuatro, las rectas que unen vértices opuestos; seis ejes de simetría de orden dos, las rectas que unen los centros de aristas opuestas y cuatro ejes de simetría de orden tres, las rectas que unen los baricentros de las caras opuestas; nueve planos de simetría, tres que contienen cada grupo de aristas coplanares, y seis perpendiculares a cada par de aristas paralelas; y un centro de simetría. Esto hace que este cuerpo tenga un orden de simetría total de 72: 2x(3x4+6x2+4x3). Los elementos de simetría anteriores definen uno de los grupos de simetría octaédricos, el denominado Oh según la notación de Schöenflies. -Dodecaedro: Un dodecaedro es un poliedro de doce caras, convexo o cóncavo. Sus caras han de ser polígonos de once lados o menos. Si las doce Dodecaedro regular caras del dodecaedro son pentágonos regulares, forzosamente iguales entre sí, el dodecaedro es convexo y se denomina regular, siendo entonces uno de los llamados sólidos platónicos.

Volumen, área y desarrollo Dado un Dodecaedro regular de arista a, podemos calcular su volumen V mediante la siguiente fórmula:

Grupo Número de caras

Y el área total de sus caras A (que es 12 veces el área de una de ellas, Ac), mediante:

Polígonos que forman las caras

Sólidos platónicos 12 Pentágonos regulares

Número de aristas

30

Número de vértices

20

Caras concurrentes en cada vértice

3

Vértices contenidos en cada cara

5

Grupo de simetría

Icosaédrico (Ih)

Poliedro conjugado

Icosaedro

Simetría Un dodecaedro regular tiene seis ejes de simetría de orden cinco, las rectas que unen los centros de caras opuestas; quince ejes de simetría de orden dos, las rectas que unen los centros de aristas opuestas; quince planos de simetría, que contienen cada pareja de aristas opuestas coplanares; y un centro de simetría. Esto hace que este cuerpo tenga un orden de simetría total de 120: 2x(6x5+15x2). Los elementos de simetría anteriores definen uno de los grupos de simetría icosaédricos, el denominado Ih según la notación de Schöenflies. (El dodecaedro tiene también diez ejes de simetría de orden tres: las rectas que unen cada par de vértices opuestos.)

b) Poliedros irregulares: Un poliedro irregular está limitado por caras poliédricas, que pueden presentar diferentes formas. En este tipo de poliedros, el número de caras no presenta límites como ocurre con los poliedros regulares. Se clasifican en: •

Pentaedro: es una figura formada por cinco pentágonos (siempre) que puede tener los lados iguales o desiguales, lo que hará que los ángulos sean distintos los unos de los otros.

•

Hexaedro: Un hexaedro es un cuerpo geométrico llamado poliedro de seis caras. Con este número de caras ha de ser forzosamente un poliedro convexo, y sus caras han de ser polígonos de cinco lados o menos.

•

Heptaedro: Es un cuerpo geométrico limitado por siete caras planas.

•

Octaedro: Poliedro limitado por ocho caras planas que son triángulos.

•

Prisma: Un prisma recto es un poliedro que tiene por bases dos poliedros iguales e igualmente dispuestos, y por caras, rectángulos, de los cuales, dos lados opuestos son lados correspondientes de los polígonos de la base.

Si sus caras fuesen paralelogramos, se llamaría prisma oblicuo. Y un prisma se llamará prisma regular cuando sus bases sean polígonos regulares. Prisma Recto y Prisma oblicuo

•

Area de la superficie. El área de la superficie lateral de un prisma recto es igual al perímetro de la base multiplicado por la altura. Si al área lateral añadimos el área de cada una de las bases, obtendremos el área de la superficie total, que indicaremos con St. Sl = p · h St = p · h + 2Ab

•

Volumen de un prisma. Para determinar el volumen de los prismas, hay que compararlo con un ortoedro de base un rectángulo equivalente a la base del prisma, y así poderlo hallar mediante el principio de Cavalieri. En resumen, podemos decir que el volumen de un prisma se obtiene multiplicando la base por la altura. V = Abase · h

Prisma oblicuo

•

Prisma recto

Pirámides:

El nombre de pirámide se remonta al antigua Egipto, referído a aquellas construcciones monumentales levantadas a orillas del Nilo más de dos mil años antes de Cristo para servir de tumba a los reyes.

Una pirámide es un poliedro limitado por un polígono (base de la pirámide) y por triángulos (caras de la pirámide). Así pues, si la pirámide tiene de base un triángulo se llamará triangular, un cuadrado, cuadrangular, etc. Cuando la base sea un polígono regular, podemos decir que es una pirámide recta de base regular, cuando la altura (h) caiga sobre el centro de la base. Pirámide recta de base regular •

Área de la pirámide. El área de la superficie lateral de una pirámide recta de base regular (de una pirámide regular) se obtiene multiplicando la longitud del perímetro de la base por la apotema y dividiendo el producto por 2. Sl = ½ p · a

•

El área de la superficie total se obtendrá añadiendo al área lateral el área de la base. St = ½ p · a + A

•

Volumen de la pirámide. El volumen de la pirámide es igual al tercio del producto de la base por la altura. V = 1/3 A · h

Pirámide de base regular

1. En la figura siguiente tienes dibujados algunos cuerpos.

a.

¿Qué características comunes ves a todos ellos?

b. Dibuja otros tres cuerpos con las mismas características. c. Piensa objetos reales en los que aparezcan poliedros.

2. En la figura siguiente tienes pintado un poliedro. En él se te indican algunos elementos característicos.

a. b. c. d.

¿Cómo definirías cada uno de estos elementos? ¿Cuántas caras, vértices y aristas tiene este poliedro? ¿Cuántas caras se habrán de juntar en un vértice como mínimo?

¿Cuánto pueden sumar los ángulos de las caras que concurren en un mismo vértice como máximo?

3.

En albañilería, una construcción rectangular como la de la figura, representa una debilidad estructural. Si consideramos los ladrillos como dominós, ¿será posible formar un rectángulo de manera que no haya ninguna línea de fractura? ¿Cuál sería el rectángulo mínimo?

4.

De entre todos los octamantes (hay 11) dibuja los que son desarrollos del octaedro regular.

Sólo hay 8 deltaedros convexos. Ahí los tienes dibujados.

5.

Hallar el área de un icosaedro regular de arista 12 cm.

6. Completa la tabla siguiente. Nº de caras(C)

Nº de vértices(V)

4

4

Nº de aristas(A)

Nº de vértices de orden 3 4

6

7 18

14

18

0

0

12

16

Nº de vértices de orden 5

3

8 10

Nº de vértices de orden 4

4 3

10

20

30

12

(Observa que no se ha podido encontrar el deltaedro-18). Expresa el número de aristas de un deltaedro en función de su número de caras. Expresa también el número de vértices en función del número de caras.

7.

Una fuente tiene una altura de 1 m y su base es un hexágono regular de 2m de lado. Calcular su volumen.

Víctor Ruiz y Bárbara Gutiérrez