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Logica, conjuntos y numeros reales Temas de la unidad Proposiciones Conjuntos Numeros reales

PENSAMIENTO NUMERICO

Proposiciones Una proposicion es un enunciado del que se puede afirmar si es verdadero o es falso.

Existen dos clases de proposiciones: las proposiciones simples y las proposiciones compuestas.

George Boole 1815-1864 Matematico y filosofo brita'nico. Desarrollo un sistema de reglas y simbolos para representar proposiciones logicas mediante el empleo de tecnicas algebraicas. Actualmente, el algebra de Boole es utilizada en la computation y en la construction de circuitos electronicos.

Una proposicion simple es aquella que se forma sin utilizar terminos de enlace. For ejemplo, "Madrid es la capital de Espana" es una proposicion simple, mientras que la proposicion "Colombia esta banada por dos oceanos: el Atlantico y el Pacifico" no es una proposicion simple. Toda proposicion tiene un valor de verdad puesto que puede ser verdadera (V) o puede ser falsa (F). Para representar las proposiciones se utilizan letras minusculas tales comop, q,r,sy t.

Ejemplos Determinar si las expresiones dadas son proposiciones. En caso afirmativo representarla simbolicamente y hallar su valor de verdad. a. 5 es divisor de 60. Esta es una expresion a la que se le puede asignar un valor de verdad, por tanto, es una proposicion. Para representarla simbolicamente se utiliza una letra mimiscula asi: p: 5 es divisor de 60 Como 60 -=- 5 = 12, se tiene que la proposicion p es verdadera (V). b. iQue hora es? Esta expresion no es una proposicion, ya que es una pregunta y no se puede establecer si es verdadera o falsa, es decir, no se puede determinar su valor de verdad. c. Ordene de mayor a menor los numeros. Esta expresion no es una proposicion, puesto que es una orden y por tanto no se puede determinar su valor de verdad. Determinar el valor de verdad de las siguientes proposiciones simples. a. 15 es un niimero primo. La proposicion es falsa ya que un mimero es primo si tiene como divisores unicamente a 1 y al mismo numero, pero 15 ademas de 15 y de 1 tiene como divisores a 3 y a 5. b. El maximo comun divisor de 22 y 5 es 1. La proposicion es verdadera. Los divisores de 22 son 1,2, 11, 22 y los divisores de 5 son 1 y 5. Por tanto, el maximo comun divisor de los dos numeros es 1. c. 120 es divisible entre 4. La proposicion es verdadera. El numero 120 es divisible entre 4 ya que termina en 20 y 20 es multiple de 4. Por tanto, 120 cumple con el criterio de divisibilidad entre 4.

Estdndar: pensamiento numerico

Proposiciones compuestas Una proposicion compuesta es una expresion conformada por dos o mas proposiciones simples, unidas por conectivos logicos.

Por ejemplo, la expresion "Todo triangulo rectangulo tiene un angulo recto y dos angulos agudos" es una proposicion compuesta, pues se puede descomponer en las proposiciones simples "Un triangulo rectangulo tiene un angulo recto" y "Un triangulo rectangulo tiene dos angulos agudos". En este caso el conectivo logico que une las dos proposiciones simples es "y". Los conectivos logicos son:

La negacion de una proposicion es otra proposicion con valor de verdad contrario al de la proposicion inicial. Para negar una proposicion se le antepone la frase "no es cierto" o se coloca la palabra "no" en el lugar adecuado. La negacion de una proporcion q se simboliza ~q.

x Ejemplos Ml Simbolizar la siguiente proposicion compuesta. "Si la expresion x2 + 5x + 6 es un trinomio, entonces, es igual al producto de (x + 2) y (x + 3)". Primero, se simbolizan las proposiciones simples utilizando letras minusculas asi: p: La expresion x2 + 5x + 6 es un trinomio. q: La expresion x2 + 5x + 6 es igual al producto de (x + 2) y (x + 3). Por tanto, la proposicion compuesta se simboliza utilizando el conectivo logico "si... entonces" asi: p —> q. Qp Negar cada una de las proposiciones dadas y determinar su valor de verdad. a. p: Bogota esta a 2.600 metres sobre el nivel del mar. El valor de verdad de p es verdadero (V), la negacion de p se simboliza ~p, asi ~p: Bogota no esta a 2.600 metros sobre el nivel del mar, y su valor de verdad es falso (F). b. q: Un ejemplo de una ecuacion cuadratica es y = x + 1. El valor de verdad de q es falso (F), la negacion de q se simboliza ~q, asi —q: No es cierto que y — x + 1 es un ejemplo de una ecuacion cuadratica, y su valor de verdad es verdadero (V).

Conjuncion (A) La conjuncion es una proposicion compuesta en la que se relacionan dos o mas proposiciones simples mediante el conectivo I6gico"y".

For ejemplo, "El carro prende si tiene gasolina y electricidad" es una conjuncion. Una conjuncion es verdadera, siempre y cuando las dos proposiciones simples que la conforman scan verdaderas. For tanto, la proposicion p A q es verdadera, solamente cuando p y q son verdaderas. En la tabla de verdad se muestran los posibles valores de verdad de la conjuncion con dos proposiciones.

p

q

pAq

V

V

V

V

F

F

F

V

F

F

F

d

J

Disyuncion (v) La disyuncion es una proposicion compuesta en la que se relacionan dos o mas proposiciones simples mediante e conectivo I6gico"o".

For ejemplo, "La actividad de clase es resolver ejercicios o realizar la previa" es una disyuncion. Esta proposicion resulta ser falsa, solo si ambas proposiciones simples que la conforman son falsas. For tanto, p \/ q es falsa, solo si, tanto p como q son falsas. La tabla de verdad de la disyuncion muestra todos sus posibles valores de verdad con dos proposiciones.

x Ejemplos fO Formar una conjuncion con las proposiciones dadas y determinar su valor de verdad. a. p: 5 es divisor de 15 y q: 5 es divisor de 18. La conjuncion esp A q: 5 es divisor de 15 y 18. Su valor de verdad es falso ya que p es verdadero pero q es falso. b. r: Monera es un reino de la naturaleza y s: Protista es un reino de la naturaleza. La conjuncion es s A r: Monera y protista son reinos de la naturaleza. Como s es verdadero y r es verdadero, el valor de verdad de s A r resulta ser verdadero. (2j Establecer una disyuncion con las proposiciones dadas y determinar su valor de verdad. a. p: 2 es irracional y q: 2 es par. La disyuncion p \J q: 1 es irracional o es par. Su valor de verdad es verdadero ya que p es falso, pero q es verdadero. b. r: El producto de dos niimeros negatives es negative y s: 18 es un numero negative. La disyuncion es r \/ s: El producto de dos niimeros negatives es negative o 18 es un numero negative, y su valor de verdad es falso.

Estandar: i

Condicional La condicional es una proposicion compuesta formada por ia relacion de dos proposiciones simples mediante el conectivo I6gico"si... entonces...".

Por ejemplo, la proposicion "Si un triangulo es equilatero, entonces, es rectangulo" es una condicional. En esta condicional, la proposicion p: Un triangulo es equilatero, se denomina antecedente o hipotesis y la proposicion q: El triangulo es rectangulo, se denomina consecuente o tesis. La condicional se simboliza p —> q y su valor de verdad es falso solo cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es falso. Cuando la condicional es verdadera se denomina implication y se simboliza p —> q.

V

V

V

V

F

F

F

V

V

F

V

a

)

Biconditional () La bicondicional es una proposicion compuesta formada por la relacion de dos proposiciones simples mediante el conectivo logico "si y solo si".

Por ejemplo, la proposicion "Un numero es par si y solo si es divisible entre 5", es una bicondicional. La bicondicional se simboliza p q y es verdadera solo si las proposiciones simples que la conforman tienen el mismo valor de verdad. Cuando en la bicondicional p y q son ambas verdaderas o son ambas falsas se denomina equivalencia y se simboliza p o q.

V F

V

A partir de los valores de verdad de la conjuncion, la disyuncion, la condicional y la bicondicional, se puede determinar el valor de verdad de otras proposiciones compuestas utilizando las tablas de verdad.

K Ejemplo Hallar el valor de verdad de la proposicion p V ~ [(p —> ^) /\ (j>