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• Ricardo Varales

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YILIBETH PAOLA SANTANA RAMOS

JUAN ANGEL CHICA URZOLA

UNIVERSIDAD DEL SINÚ: ELÍAS BECHARA ZAINÚM FACULTAD DE CIENCIAS E INGENIERÍA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES INGENIERÍA DE SISTEMAS

MONTERÍA – CORDOBA

2020-II

1. Suponga que en una estación con un solo servidor llegan en promedio 45 clientes por hora, Se tiene capacidad para atender en promedio a 60 clientes por hora. Se sabe que los clientes esperan en promedio 3 minutos en la cola. Se solicita: =45;

=60; Wq = 3 min 45

Pasamos  y  a minutos =  = 60 = 0,75 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 y  =

60 60

= 1 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜

a) Tiempo promedio que un cliente pasa en el sistema. 𝑊𝑠 =

1 1 = 𝑊𝑠 = = 𝑊𝑠 = 4 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 − 1 − 0,75

b) Número promedio de clientes en la cola. 2 0,752 𝐿𝑞 = = = 2,25 𝑝𝑟𝑜𝑚 𝑑𝑒 𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑒𝑛 𝑐𝑜𝑙𝑎 ( − ) 1(1 − 0,75)

c) Número promedio de clientes en el Sistema en un momento dado 𝐿𝑠 =

 0,75 = = 3 𝑝𝑟𝑜𝑚 𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑒𝑛 𝑢𝑛 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑎𝑑𝑜 ( − ) (1 − 0,75)

2. Suponga un restaurante de comidas rápidas al cual llegan en promedio 100 clientes por hora. Se tiene capacidad para atender en promedio a 150 clientes por hora Se sabe que los clientes esperan en promedio 2 minutos en la cola Calcule las medidas de desempeño del sistema =100;

=150; Wq = 2 min

Pasamos  y  a minutos = 

100 60

= 1,66 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 = y  =

150 60

= 2,5 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜s

a) ¿Cuál es la probabilidad que el sistema este ocioso? 

==

1,66 2,5

= 0,664 = 66,4%

Po = 1 - = 0,336 = 33,6% b) ¿Cuál es la probabilidad que un cliente llegue y tenga que esperar, porque el sistema está ocupado? 

Pn= Po * ( )1 = 0,336 * 0,664 = 0,223 = 22,3% 

c) ¿Cuál es el número promedio de clientes en la cola? 𝐿𝑞 =

2 1,662 = = 1,31 𝑝𝑟𝑜𝑚 𝑑𝑒 𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑒𝑛 𝑐𝑜𝑙𝑎 ( − ) 2,5(2,5 − 1,66)

d) ¿Cuál es la probabilidad que hayan 10 clientes en la cola? 

Pn= Po * (  )10 = 0,336 * 0,0166 = 5,577 = 0,55%

3. Un lava carros puede atender un auto cada 5 minutos y la tasa media de llegadas es de 9 autos por hora. Obtenga las medidas de desempeño de acuerdo con el modelo M/M/1. Además la probabilidad de tener 0 clientes en el sistema, la probabilidad de tener una cola de más de 3 clientes y la probabilidad de esperar más de 30 minutos en la cola y en el sistema. =9;

=1 9

Pasamos  y  a minutos =  60 = 0,15 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 = y  = 𝐿𝑠 = 𝐿𝑞 =



( −  )

=

1 5

= 0,2 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜s

0,15 = 3 𝑝𝑟𝑜𝑚 𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑒𝑛 𝑢𝑛 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑎𝑑𝑜 (0,2 − 0,15)

2 0,152 = = 2,25 𝑝𝑟𝑜𝑚 𝑑𝑒 𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑒𝑛 𝑐𝑜𝑙𝑎 ( − ) 0,2(0,2 − 0,15)

𝑊𝑠 =

1 1 = = 20 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 𝑝𝑟𝑜𝑚 𝑑𝑒 𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑒𝑛 𝑠𝑖𝑠𝑡 ( − ) (0,2 − 0,15)

𝑊𝑞 =

 0,15 = = 15 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 𝑝𝑟𝑜𝑚 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑟𝑎 𝑒𝑛 𝑐𝑜𝑙𝑎 ( − ) 0,2 (0,2 − 0,15)



==

0,15 0,2

= 0,75 = 75%

Po = 1 - = 0,25 = 25% P1= 0,25 *

0,15 0,2

= 0,25 * 0,75 = 0,1875

0,15

P2 = 0,25 * ( 0,2 )2 = 0,25 * 0,56 = 0,406 0,15

P3 = 0,25 * ( 0,2 )3 = 0,25 * 0,10 = 0,1054 -

P(Ls>3) = 1- (Po + P1 + P2 + P3) = 1 – 0,6836 = 0,3164

-

P(Wq>30) = 𝑒 −(1−)t = 0,75𝑒 −0,2(1−0,75)30 = 0,167 = 16,7% es la probabilidad de esperar más de 30 minutos en la cola

-

P(Wq>30) = 𝑒 −(1−)t = 𝑒 −0,2(1−0,75)30 = 0,223 = 22,3% es la probabilidad de esperar más de 30 minutos en el sistema

4. Un promedio de 10 automóviles por hora llega a un cajero con un solo servidor que proporciona servicio sin que uno descienda del automóvil. Suponga que el tiempo de servicio promedio por cada cliente es 4 minutos, y que tanto los tiempos entre llegadas y los tiempos de servicios son exponenciales. Conteste las preguntas siguientes: =10;

=1 10

Pasamos  y  a minutos =  60 = 0,166 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 = y  =

1 4

= 0,25 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜s

a. ¿Cuál es la probabilidad que el cajero esté ocioso? 

0,166



0,25

= =

= 0,664 = 66,4%

Po = 1 -  = 1 – 0,664 = 0,336 = 33,6% b. ¿Cuál es el número promedio de automóviles que están en la cola del cajero? (se considera que un automóvil que está siendo atendido no está en la cola esperando) 2 0,1662 𝐿𝑞 = = = 1,31 𝑝𝑟𝑜𝑚 𝑑𝑒 𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑒𝑛 𝑐𝑜𝑙𝑎 ( − ) 0,25(0,25 − 0,166) c. ¿Cuál es la cantidad promedio de tiempo que un cliente pasa en el estacionamiento del banco, (incluyendo el tiempo de servicio)? 𝑊𝑠 =

1 1 = = 11,90 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 𝑝𝑟𝑜𝑚 𝑑𝑒 𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑒𝑛 𝑠𝑖𝑠𝑡 ( − ) (0,25 − 0,166)

d. ¿Cuántos clientes atenderá en promedio el cajero por hora? Según el enunciado, 10 clientes atenderá en promedio el cajero por hora

5. En el departamento de emergencia de un hospital los pacientes llegan con una distribución de probabilidad Poisson a una media de 3 clientes por hora. El médico que está en dicho departamento los atiende con una frecuencia de servicio exponencial a una tasa media de 4 clientes por hora. ¿Contrataría o no a un segundo médico? Determine: =3;

=4 3

Pasamos  y  a minutos =  60 = 0,05 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 = y  =

4 60

= 0,66 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜s

a. Razón de utilización del sistema (ρ). 

3



4

= =

= 0,75 = 75%

a. Probabilidad de que no se encuentren pacientes en el sistema. Po = 1 - = 1 – 0,75= 0,25 = 25% b. Probabilidad de que existan 3 pacientes en el sistema (P3). 3

P3 = 0,25 * ( )3 = 0,25 * (0,75)3= 0,1054 4

c. Tiempo total del cliente en el sistema (Ws). 𝑊𝑠 =

1 1 = = 1 ℎ𝑜𝑟𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑚 𝑑𝑒 𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑒𝑛 𝑠𝑖𝑠𝑡 ( − ) (4 − 3)

d. Tiempo total de espera por en la cola (Wq). 𝑊𝑞 =

 3 = = 0,75 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 𝑝𝑟𝑜𝑚 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑟𝑎 𝑒𝑛 𝑐𝑜𝑙𝑎 ( − ) 4 (4 − 3)

e. EI número de pacientes en el sistema en un momento dado (Ls). 𝐿𝑠 =



( −  )

=

3 = 3 𝑝𝑟𝑜𝑚 𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑒𝑛 𝑢𝑛 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑎𝑑𝑜 (4 − 3)

f. EI número de pacientes en el sistema esperando por servicio (Lq). 2 32 𝐿𝑞 = = = 2,25 𝑝𝑟𝑜𝑚 𝑑𝑒 𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑒𝑛 𝑐𝑜𝑙𝑎 ( − ) 4(4 − 3) g. Probabilidad de que el cliente se espere más de 1 hora en el sistema [Ws > 1] P(Wq>1) = 𝑒 −(1−)t = 𝑒 −4(1−0,75)1 = 0,367 = 36,7% es la probabilidad de esperar más de 1 hora en el sistema

6. Una sucursal bancaria estima que la tasa de llegada de clientes (siguiendo una distribución de Poisson) es de 30 clientes/hora. En el momento de observación del fenómeno a estudiar hay solo una ventanilla abierta al público y el tiempo de servicio está distribuido exponencialmente con media 115 sg/cliente. Determinar: =30;

1 

= 115 30

Pasamos  y  a minutos =  60 = 0,5 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 = y  =

60 115

= 0,52 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜s

a) Número medio de clientes en el sistema y número medio de clientes en espera. 𝐿𝑠 =



( −  )

=

0,5 = 25 𝑝𝑟𝑜𝑚 𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 (0,52 − 0,5)

2 0,52 𝐿𝑞 = = = 24,03 𝑝𝑟𝑜𝑚 𝑑𝑒 𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑒𝑛 𝑐𝑜𝑙𝑎 ( − ) 0,52(0,52 − 0,5) b) Tiempo medio de espera y tiempo medio de permanencia en la sucursal. 𝑊𝑠 =

1 1 = = 50 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 𝑝𝑟𝑜𝑚 𝑑𝑒 𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑒𝑛 𝑠𝑖𝑠𝑡 ( − ) (0,52 − 0,5)

𝑊𝑞 =

 0,5 = = 48.07 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 𝑝𝑟𝑜𝑚 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑟𝑎 𝑒𝑛 𝑐𝑜𝑙𝑎 ( − ) 0,52 (0,52 − 0,5)

c) Ante la vista de los resultados en los apartados anteriores se decide abrir una segunda ventanilla al público. Repita los cálculos realizados. =30;

2 

= 57.5 30

Pasamos  y  a minutos =  60 = 0,5 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 = y  = 𝐿𝑠 =



( −  )

=

60 57,5

= 1,04 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜s

0,5 = 0,9 = 1 𝑝𝑟𝑜𝑚 𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 (1,04 − 0,5)

2 0,52 𝐿𝑞 = = = 0,44 𝑝𝑟𝑜𝑚 𝑑𝑒 𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑒𝑛 𝑐𝑜𝑙𝑎 ( − ) 1,04(1,04 − 0,5) 𝑊𝑠 =

1 1 = = 1,85 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 𝑝𝑟𝑜𝑚 𝑑𝑒 𝑐𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑒𝑛 𝑠𝑖𝑠𝑡 ( − ) (1,04 − 0,5)

𝑊𝑞 =

 0,5 = = 0,89 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 𝑝𝑟𝑜𝑚 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑟𝑎 𝑒𝑛 𝑐𝑜𝑙𝑎 ( − ) 1,04 (1,04 − 0,5)