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• URIEL HERNANDEZ

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COMPETENCIA 5.- TEORÍA DE COLAS O LINEAS DE ESPERA 5.1 Introducción y casos de aplicación. El esfuerzo de A. K. Erlang en 1909 para analizar congestión de tráfico telefónico con el objetivo de cumplir la demanda incierta de servicios en el sistema telefónico de Copenhague resultó en una nueva teoría llamada teoría de colas o líneas de espera. La formación de líneas de espera es por supuesto un fenómeno común que ocurre siempre que la demanda actual de un servicio excede a la capacidad actual de proporcionarlo. Con frecuencia en la industria y en otros sitios, deben tomarse decisiones respecto a la cantidad de capacidad que debe proporcionarse. Sin embargo, muchas veces es imposible predecir con exactitud cuándo llegarán las unidades que buscan el servicio y cuánto tiempo será necesario para dar ese servicio; es por esto que esas decisiones suelen ser difíciles. Proporcionar demasiado servicio implica costos excesivos. Por otro lado, carecer de la capacidad de servicio suficiente causa colas excesivamente largas en ciertos momentos. Las líneas de espera largas también son costosas en cierto sentido, ya sea por un costo social, por un costo causado por la pérdida de clientes, por el costo de empleados ociosos o por algún otro costo importante. Entonces la meta final es lograr un balance económico entre el costo de servicio y el costo asociado con la espera por ese servicio. La teoría de colas en sí no resuelve directamente este problema, pero contribuye con información vital que se requiere para tomar las decisiones concernientes prediciendo algunas características sobre la línea de espera como el tiempo de espera promedio. Figura 5.1 Estructura básica de un modelo de colas SISTEMA DE COLAS

FUENTE DE ENTRADA

CLIENTES

CLIENTES COLA

MECANISMO DE SERVICIO

SERVIDOS

El proceso básico supuesto por la mayor parte de los modelos de colas es el siguiente. Los clientes que requieren un servicio se generan a través del tiempo en una fuente de entrada. Estos clientes entran al sistema de colas y se unen a una cola. En determinado momento se selecciona un miembro de la cola, para proporcionarle el servicio, mediante alguna regla conocida como disciplina de servicio. Después en un mecanismo de servicio se lleva a cabo el servicio requerido por el cliente después de lo cual el cliente sale del sistema de colas.

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5.2 Definiciones, características y suposiciones.

FUENTE DE ENTRADA (POBLACIÓN POTENCIAL) Una característica de la fuente de entrada es su tamaño. El tamaño es el número total de clientes que pueden requerir servicio en determinado momento, es decir el número total de clientes potenciales distintos. Puede suponerse que el tamaño es infinito o finito. COLA Una cola se caracteriza por el número máximo permisible de clientes que puede admitir. Las colas pueden ser finitas o infinitas. DISCIPLINA DE LA COLA La disciplina de la cola se refiere al orden en que se seleccionan sus miembros para recibir el servicio. Por ejemplo, esta disciplina puede ser primero en llegar, primero en salir, aleatoria, de acuerdo a algún procedimiento de prioridad o de algún otro orden. La que se supone como normal es la de primero en llegar, primero en salir. MECANISMO DE SERVICIO El mecanismo de servicio consiste en una o más instalaciones de servicio, cada una de ellas con uno o más canales paralelos de servicio, llamados servidores. Si existe más de una instalación de servicio, puede ser que se sirva al cliente a través de una secuencia de ellas (canales de servicio en serie). En una instalación dada, el cliente entra en uno de estos canales y el servidor le presta el servicio completo. Un modelo de colas debe especificar el arreglo de las instalaciones y el número de servidores (canales paralelos) en cada una. Los modelos más elementales suponen una instalación, ya sea con uno o con un número finito de servidores.

CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS DE LÍNEAS DE ESPERA Con el objeto de verificar si una situación determinada del sistema de líneas de espera se ajusta o no a un modelo conocido, se requiere un método para clasificar las líneas de espera. Esa clasificación debe responder preguntas como las siguientes: 1. ¿El sistema de líneas de espera tiene un solo punto de servicio o existen puntos múltiples de servicio en secuencia? 2. ¿Existe solo una instalación de servicio o son múltiples las instalaciones de servicio que pueden atender a una unidad? 3. ¿Las unidades que requieren servicio llegan siguiendo algún patrón o llegan en forma aleatoria? 4. ¿El tiempo que se requiere para el servicio se da en algún patrón o asume duraciones aleatorias de tiempo?

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NOMENCLATURA DE LAS DIFERENTES LÍNEAS DE ESPERA El investigador británico D. Kendall introdujo en 1953 una notación para las diferentes líneas de espera. (a/b/c):(d/e/f) donde: a: Distribución de llegada. b: Distribución del servicio. c: Número de servidores en paralelo en el sistema. d: Disciplina del servicio. e: Máximo número de clientes que pueden estar en el sistema ( esperando y recibiendo servicio). f: Fuente de generación de clientes. Se utilizan los siguientes códigos para los símbolos a y b: M: Llegada de distribución de Poisson y servicio distribuido exponencialmente. D: Llegada o servicio determinístico. E: Llegada y servicios distribuidos respectivamente con distribución de Erlang y gamma. GI: Llegadas con una distribución general independiente. G: Servicios con una distribución general independiente.

5.3 Terminología y notación. λ µ 1/ λ 1/µ ρ S L Lq W Wq

= = = = = = = = = =

Número promedio de llegadas al sistema por unidad de tiempo Número promedio de servicios por unidad de tiempo Tiempo promedio que transcurre entre dos llegadas consecutivas Tiempo promedio de servicio de un cliente Factor de utilización del sistema con un servidor (λ / µ) Número de servidores en el sistema Número esperado de clientes en el sistema ( cola y servicio) Número esperado de clientes en la cola Tiempo esperado en el sistema Tiempo esperado en la cola

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TIEMPO ENTRE LLEGADAS Los tiempos que transcurren entre dos llegadas consecutivas a un sistema de colas, se llaman tiempos entre llegadas.

Ejercicio 5.1 Datos de los primeros 5 clientes que llegan a una peluquería. Cliente 1 2 3 4 5 6

Tiempo de llegada 8:03 8:15 8:25 8:30 9:05 9:43

Comienza el corte de pelo 8:03 8:20 8:41 9:00 9:15

Duración del corte de pelo 17 minutos 21 minutos 19 minutos 15 minutos 20 minutos

Termina el corte de pelo 8:20 8:41 9:00 9:15 9:35

Estimar el número de llegadas por unidad de tiempo. Esta cantidad se llama tasa media de llegadas ( λ ). El tiempo entre llegadas esperado es 1/ λ. El hecho de que la ocurrencia de la última llegada no influya en la probabilidad de una llegada en el siguiente minuto se llama propiedad de falta de memoria (o propiedad markoviana). La forma de la distribución exponencial, que se usa en los modelos de colas como la distribución del tiempo entre llegadas (y algunas veces también como la distribución del tiempo de servicios).

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λ

1/λ

Tiempo

f (t )  .e   .t para hallar la probabilidad acumulada

 0 e   .t dt t

 t   .t  e (dt )  0

 e .t  e .t  1 Tiempo de servicio µ = número esperado de terminaciones de servicio por unidad de tiempo 1/µ = tiempo de servicio esperado 5.4 Proceso de nacimiento y muerte. EL MODELO BÁSICO (M/M/1):(PEPS/∞/∞) Este sistema se conoce como cola de espera de un solo servidor (o de un solo canal). Las preguntas sobre este o cualquier otro sistema de colas de espera se centran en cuatro. 1. El número de personas en el sistema: el número de personas que están siendo atendidas en el momento, así como aquellas que están esperando servicio. 2. La cantidad de personas en la cola de espera: las personas que están esperando servicio. 3. El tiempo de espera en el sistema: el intervalo entre el momento en el que el individuo entra al sistema y aquel en que sale del mismo. Observe que este intervalo incluye el tiempo de servicio.

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4. El tiempo de espera en la cola: el tiempo transcurrido desde que uno entra al sistema hasta que se inicia el servicio. n = número de clientes en el sistema λ0

0

λ1

λ2

1

µ1

2

µ2

λ3

n -1

3

µ4

µ3

λn-1

λn-2

µn-1

λn n +1

n

µn

µn+1

Ecuaciones de balance para el proceso de nacimiento y muerte, mismas que sirven para determinar la probabilidad de que haya n clientes en el sistema.

estado 0 1 2 . . n-1 n

tasa de entrada = tasa de salida

1 P1  0 P0 0 P0   2 P2  (1  1 ) P1 1 P1   3 P3  (2   2 ) P2 . .   n Pn  (n1   n1 ) Pn1

n2 Pn2 n1 Pn1   n1 Pn1  (n   n ) Pn

Estado 0

P1  Estado 1

0 P0 1

 2 P2  (1  1 ) P1  0 P0   2 P2  (1  1 ) 0 P0  0 P0 1  2 P2 

10 P0  0 P0  0 P0 1  P2  1 0 P0  2 1

Estado 2

 3 P3  ( 2   2 )

10  P0  1 0 P0  2 1 1

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 3 P3 

 2 10   P0  1 0 P0  1 0 P0  2 1 1 1   P3  2 1 0 P0  3  2 1

Por inducción se tiene:

Pn 

 n1 n21 ..... 0 P0  n  n1 .....1

Y cómo: n1  n2  .....  1  0    n   n1  ......   2  1   Se tiene:

n Pn  n P0  n

 Pn    P0  Pn   n P0

Para deducir P0 La suma de las probabilidades es igual a 1: n

 Pi  1 i 0

n

P0   Pi  1 i 1

P0  P1  P2  P3  ..... Pn  1 dado que P1   1 P0 ; P0  P0   2 P0   3 P0  .....  n P0  1 P0 (1     2   3  .....  n )  1

P2   2 P0 y así sucesivamente:

Suponiendo que ρ < 1, la serie geométrica 1     2   3  ..... n tendrá la serie finita

1 1 

 1    1 P0  1    P0  1  

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Entonces: Pn  (1   )  n Deducción de L 

L   nPn n 0 

L   n(1   )  n n 0



L  1    n n n 0



Hagamos S =

 n n

n 0

S    2  2  3 3  4  4  ....... ecuación (1) multiplicando por ρ la ecuación (1) S   2  2  3  3 4  4  5  ....... ecuación (2) restando la ecuación (1) menos la ecuación (2)

S  S     2   3   4   5  ....... S (1   )   (1     2   3   4  ......)

S (1   ) 

S

como:

1     2   3   4  ..... 

1 1 

 1 

 (1   ) 2

L  (1   )S

L 1  L

 (1   ) 2

 1 

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5.5 Un servidor, cola infinita, fuente infinita. EL MODELO BÁSICO (M/M/1):(PEPS/∞/∞) Características de Operación de las líneas de espera M/M/1 Para calcular las características de operación de una cola M/M/1, primero se debe observar que si λ = tasa promedio de llegadas y µ = tasa promedio de servicio, λ debe ser menor que µ. Si no fuera así, el promedio de llegadas sería superior al número promedio de unidades que se atienden y el número de unidades que están esperando se volvería infinitamente grande. ρ = factor de utilización. ρ=λ/µ

es la fracción promedio de tiempo que el sistema está ocupado (ocupado se define como una o más unidades esperando o siendo atendidas).

PW = probabilidad de que una unidad que llega tenga que esperar por el servicio.

PW 

 

Entonces la probabilidad de que el sistema no esté trabajando, o esté vacío, P0 puede obtenerse por medio: P0  1    1   / 

Probabilidad de n unidades en el sistema: n

 Pn   P0    P0  n

Número promedio de unidades en el sistema: L

 1 



/ /    1  /        

Número promedio de unidades que esperan ser atendidas: L  Lq   Lq  L  

Lq 

  



    (    )     2     (   )  (   )

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2 Lq   (   ) Tiempo promedio que unidad se encuentra en el sistema: W

L





 1   (   )   

Tiempo promedio que una unidad tiene que esperar en la cola: Lq  Wq     (   ) o bien: 1 W  Wq 



Wq  W 

Wq 

1



1 1   (   )         (   )  (   )

Ejercicio 5.2 Un establecimiento de reparaciones atendida por un solo operario, tiene un promedio de 4 clientes por hora, los cuales traen pequeños aparatos a reparar. El mecánico los inspecciona para encontrar los defectos y muy a menudo puede arreglarlos de inmediato, o de otro modo emitir un diagnóstico, esto le toma 6 minutos como promedio. Los arribos tienen una distribución de Poisson y el tiempo de servicio la tiene exponencial. Encuentre a) la proporción de tiempo durante la cual el taller está vacío ( durante el cual el mecánico puede trabajar con los aparatos que se le dejaron; b) la probabilidad de que 3 clientes estén en la tienda; c) la probabilidad de encontrar cuando menos un cliente en la tienda; d) el número promedio de clientes en el sistema; e) el tiempo promedio empleado incluyendo servicio; f) el número promedio de clientes que esperan ser atendidos y g) el tiempo promedio empleado excluyendo servicio. Solución: a) λ = 4 clientes/hr µ = 10 clientes/hr P0 = 1 – ρ = 1 – 0.4 = 0.6

ρ = 4/10

b) P3   n P0  (0.4) 3 (0.6)  0.0384 c) P( n ≥ 1 ) = 1 - 0.6 = 0.4 d) L 

 1 

= 0.4 / 0.6 = 0.6667 clientes

60

e) W = 0.6667 / 4 = 1/ 6 hr. o 10 minutos f) Lq = L – ρ = 2/3 – 0.4 = 4 / 15 clientes g) Wq =

4 / 15  1 / 15 hr o 4 minutos 4

Ejercicio 5.3 Una compañía arrendadora de automóviles opera su propia instalación de lavado y limpieza de automóviles para prepararlos para su renta. Los automóviles llegan a la instalación de limpieza en forma aleatoria a una tasa de 5 por día. La compañía arrendadora ha determinado que los automóviles pueden limpiarse a un ritmo de 2n por día, en donde n es el número de personas que trabajan en un automóvil. Por ejemplo, si se encuentran 4 personas trabajando la tasa de lavado es de 8 automóviles por día. Se ha determinado que este procedimiento de lavado se ajusta a la distribución exponencial negativa. La compañía les paga a sus trabajadores $30 por día y ha determinado que el costo por un automóvil que no esté disponible para rentarlo es de $25 por día. a) Calcular el número de empleados que deben contratarse en la instalación de lavado, para que produzca el menor costo. b) Calcular las características de operación L, Lq, W y Wq para el número de empleados que eligió. λ=5 n=3 µ=6

ρ=5/6

L = No. de automóviles en el sistema. 5/ 6 5 1 5/ 6 Costo = 5 * 25 + 3 * 30 = 215 L

n=4 µ=8

ρ=5/8

5/8  5/3 1 5/8 Costo = 5/3 * 25 + 4 * 30 = 161.67 L

n = 5 µ = 10

ρ = 5 / 10

1/ 2 1 1  1/ 2 Costo = 1 * 25 + 5 * 30 = 175 L

b) Lq = 5/3 – 5/8 = 25/24 automóviles W=L/λ=

5/3 = 1/3 días 5 61

Wq = Lq / λ =

25 / 24 = 5/24 días 5

Ejercicio 5.4 Un restaurante de comida rápida tiene una ventanilla para dar servicio a automóviles. Se estima que los autos llegan de acuerdo con una distribución de Poisson a la tasa de 2 cada 5 minutos y que hay espacio suficiente para dar cabida a una fila de 10 automóviles. Otros autos que llegan pueden esperar fuera de este espacio, de ser necesario. Los empleados tardan 1.5 minutos en promedio en surtir un pedido, pero el tiempo de servicio varía en realidad según una distribución exponencial. Determine lo siguiente: a) La probabilidad de que el establecimiento esté inactivo. b) El número esperado de clientes en espera, pero que no se les atiende en ese momento. c) El tiempo de espera calculado hasta que un cliente pueda hacer su pedido en la ventanilla. d) La probabilidad de que la línea de espera será mayor que la capacidad del espacio que conduce a la ventanilla de servicio a automóviles. a) λ = 24 autos/hr µ = 40 autos/hr P0 = 1 – ρ = 1 – 0.6 = 0.4 b) Lq 

ρ = 24/40 = 3/5

3 / 52  9 / 10 autos 2  1  1 3/ 5

c) Wq 

Lq





9 / 10  0.0375 horas = 2.25 minutos 24

d) P( n ≥ 11 ) = 1 – (P0 + P1 + P2 + P3 + P4 + P5 + P6 + P7 + P8 + P9 + P10) = 0.003628

Ejercicio 5.5 Los clientes llegan a una ventanilla bancaria de autoservicio, según una distribución de Poisson con media de 10 por hora. El tiempo de servicio por cliente es exponencial con media de 5 minutos. El espacio enfrente de la ventanilla incluyendo al auto al que se le está dando servicio, puede acomodar un máximo de 3 automóviles. Otros vehículos pueden esperar fuera de este espacio. a) ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente que llega pueda manejar directamente hasta el espacio frente a la ventanilla? b) ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente que llega tendrá que aguardar fuera del espacio indicado? c) ¿Cuanto tendrá que esperar un cliente que llega antes de que se le comience a dar servicio?

62

ρ = 10/12 = 5/6

Ventanilla

P0 = (1 – 5/6) = 1/6 P1 = (1 – 5/6) (5/6)1 = 5/36 P2 = (1 – 5/6) (5/6)2 = 25/216 P0

C

P1

C

Ventanilla

µ = 12 autos/hr

Ventanilla

a) λ = 10 autos/hr

C

P2

P( n ≤ 2 ) = P0 + P1 + P2 = 1/6 + 5/36 + 25/216 = 0.4213 b) P( n > 2 ) = 1 – (P0 + P1 + P2) = 1 – 0.4213 = 0.5787

2 100 c) Lq    4.167 autos  (    ) 12(12  10) Wq 

Lq





4.167  0.4167 horas 10

5.6 Un servidor, cola finita, fuente infinita. MODELO (M/M/1):(PEPS/N/∞) La única diferencia entre este modelo y (M/M/1):(PEPS/∞/∞) es que el número máximo de clientes que se admite en el sistema es N (longitud máxima de la línea de espera = N – 1). Esto significa que cuando haya N clientes en el sistema, todas las nuevas llegadas se eluden o bien no se les permite unirse al sistema. El resultado es que la tasa efectiva de llegadas  ef en la instalación se vuelve menor que la tasa λ a la cual se generan llegadas desde la fuente. Probabilidad de que haya n unidades en el sistema:

 1    n   .... para..  1   1   N 1  Pn    1  N  1 .... para..  1 donde N = Máximo número de clientes en el sistema ρ no necesita ser menor que 1, como en el caso del modelo (M/M/1):(PEPS/∞/∞) Número esperado de clientes en el sistema:

63





  1  ( N  1)  N  N N 1 .... para..  1  N 1  ( 1   )( 1   ) L N  2 .... para..  1 Tasa efectiva de llegadas: ef   (1  PN ) Número esperado de clientes en la cola: Lq  L  Tiempo esperado en el sistema: W  Tiempo esperado en la cola: Wq 

 ef 

L

 ef

Lq

 ef

Clientes que se pierden debido a cola limitada:   ef  PN

Ejercicio 5.6 En una instalación de servicio de lavado de autos, la información recolectada indica que llegan autos para ser atendidos según una distribución de Poisson con media de 5 por hora. El tiempo para lavar y asear cada automóvil varía, pero se advierte que sigue una distribución exponencial con media de 10 minutos por automóvil. La instalación no puede dar servicio a más de un auto a la vez. Supóngase que la instalación tiene un total de 5 espacios de estacionamiento. Si el lote de estacionamiento está repleto, los autos que llegan después de este suceso buscan servicio en cualquier otro lugar. N=5+1=6 λ = 5 autos / hora 1 = 10 minutos/auto * 1 hr/60 minutos = 1/6 horas / auto  µ = 6 autos/hora ρ = 5/6  1 5/ 6  PN  P6   (5 / 6) 6  0.07742 7 1  (5 / 6) 

Autos que se pierden por la cola limitada: PN = 5(0.07742) = 0.3871 autos/hora Tasa efectiva de llegadas: ef   (1  PN ) = 5(1 – 0.07742) = 4.6129 autos/hora Número esperado de autos en el sistema: 64

L



5 / 6 1  (6  1)(5 / 6) 6  6(5 / 6) 7



(1  5 / 6) 1  (5 / 6)

7



  2.2901626 autos

Número esperado de autos en la cola:

Lq  2.29 

4.6129  1.5212 autos 6

Tiempo esperado en el sistema: W

2.2901626  0.4965 horas 4.6129

Tiempo esperado en la cola: Wq 

1.5212  0.3298 horas 4.6129

Probabilidad de que un auto que llega al estacionamiento será atendido inmediatamente después de su llegada:  1 5/ 6  0    0.2312 P0   7  1  ( 5 / 6 )  

Ejercicio 5.7 Se están haciendo planes para abrir un pequeño autolavado y el dueño debe decidir cuánto espacio conviene asignar a los autos que esperan. Se estima que los clientes llegarán de manera aleatoria (es decir de acuerdo con un proceso Poisson) con tasa media de uno cada 4 minutos, a menos que el área esté llena, en cuyo caso los clientes que llegan llevarán su automóvil a otra parte. El tiempo total que se puede atribuir al lavado de un carro tiene una distribución exponencial con media de 3 minutos. Compare la fracción de los clientes potenciales que se pierden por falta de espacio de espera si se proporcionan a) cero espacios (sin incluir el lugar donde se lavan los carros), b) dos espacios y c) cuatro espacios. λ = 1 cliente/4 minutos = 15 clientes/hora

65

µ = 20 autos/hr ρ = 15/20 = 3/4 a) Si N = 0 + 1 = 1

 1 3/ 4  PN  P1   (3 / 4)  3 / 7 2  1  (3 / 4)  b) Si N = 2 + 1 = 3

 1 3/ 4  PN  P3   (3 / 4) 3  27 / 175 4  1  (3 / 4)  b) Si N = 4 + 1 = 5

 1 3/ 4  PN  P5   (3 / 4) 5  243 / 3367 6  1  (3 / 4) 

Ejercicio 5.8 Una cafetería tiene una capacidad máxima de asientos para 50 personas. Los clientes llegan en un flujo de Poisson a la tasa de 10 por hora y son atendidos a la tasa de 12 por hora. a) ¿Cuál es la probabilidad de que el siguiente cliente no comerá en la cafetería en virtud de que está saturada? b) Supongase que 3 clientes quisieran sentarse juntos. ¿Cuál es la probabilidad de que no se pueda cumplir su deseo? (supóngase que se pueden hacer arreglos para sentarlos juntos en tanto que haya 3 asientos desocupados en cualquier lugar de la cafetería). λ = 10 clientes/hora N = 50

µ = 12 autos/hr

ρ = 5/6

 1 5/ 6  (5 / 6) 50  0.000018315 a) PN  P50   51  1  (5 / 6)  b)

 1 5/ 6  P49   (5 / 6) 49  0.000021978 51  1  (5 / 6)   1 5/ 6  P48   (5 / 6) 48  0.000026374 51  1  (5 / 6)  P( n > 47 ) = 1 – (P0 + P1 + ….+ P47) = P48 + P49 + P50 66

= 0.000026374 + 0.000021978 + 0.000018315 = 0.000066667

Ejercicio 5.9 Una peluquería que atiende una sola persona tiene un total de 10 sillas. Los tiempos entre llegadas siguen una distribución exponencial y un promedio de 20 posibles clientes llega cada hora a la peluquería. Los clientes que al llegar a la peluquería la encuentran llena, ya no entran. El peluquero se tarda un promedio de 12 minutos en cortar el cabello a cada cliente. Los tiempos del corte de cabello están distribuidos en forma exponencial. 1. En promedio, ¿cuántos cortes de cabello por hora completará el peluquero? 2. ¿Cuánto tiempo pasará en promedio un cliente en la peluquería? N = 10 λ = 20 clientes/hora 1 = 12 minutos/cliente * 1 hr/60 minutos = 0.2 horas / cliente  µ = 5 clientes/hora ρ = 20 / 5 = 4 PN  P10 

1  4 10 4  0.75 1  411

1. ef   (1  Pn )  20(1  0.75)  5 clientes/hora En promedio 20 – 5 = 15 clientes por hora no entrarán a la peluquería 2. L 



4 1  11 * 410  10 * 411

(1  4)(1  4 ) 9.67 = 1.93 horas W 5 11

  9.67 clientes

Ejercicio 5.10 Hay 2 peluquerías situadas lado a lado, cada una atendida por un solo peluquero. En cada una pueden estar 4 clientes como máximo; cualquier cliente potencial que encuentre una peluquería llena no espera el corte de cabello. El peluquero 1 cobra $11.00 por corte de cabello y tarda un promedio de 12 minutos en terminar el corte. El peluquero 2 cobra $5.00 por corte de cabello y tarda un promedio de 6 minutos en terminar su trabajo. Un promedio de 10 clientes potenciales por hora llega a cada peluquería. Naturalmente, un cliente potencial se vuelve un cliente real solo si encuentra que la peluquería no está llena. Si se supone que los tiempos entre llegadas y los tiempos para el corte de cabello son exponenciales. ¿Qué peluquero ganará más dinero? N=4 67

λ = 10 clientes/hora Peluquero 1: 1 = 12 minutos/cliente * 1 hr/60 minutos = 0.2 horas / cliente  µ = 5 clientes/hora ρ = 10 / 5 = 2 1 2 4 2  0.5161 1  25 ef   (1  PN )  10(1  0.5161)  4.839 clientes/hora PN  P4 

Gana: 4.839 clientes/hora * $11/cliente = $53.23 / hora Peluquero 2: 1 = 6 minutos/cliente * 1 hr/60 minutos = 0.1 horas / cliente  µ = 10 clientes/hora ρ = 10 / 10 = 1 1  0.2 5 ef   (1  PN )  10(1  0.2)  8 clientes/hora PN  P4 

Gana: 8 clientes/hora * $5/cliente = $40.00 / hora

Ejercicio 5.11 Una instalación de servicio consta de un servidor, el cual puede atender a un promedio de 2 clientes por hora (tiempos de servicio exponenciales). Un promedio de 3 clientes/hora llega a la instalación (se supone que los tiempos entre llegadas son exponenciales). La capacidad del sistema es de 3 clientes. a) ¿Cuántos clientes potenciales entran en promedio al sistema cada hora? b) ¿Cuál es la probabilidad de que el servidor esté ocupado? λ = 3 clientes/hora N=3

µ = 2 clientes/hr

ρ = 1.5

a) 68

 1  1.5  3 PN  P3   1.5  0.415384615 4 1  1.5  ef   (1  PN )  3(1  0.415384615)  1.75385 clientes/hora

b)

 1  1.5  0 P0   1.5  8 / 65 4 1  1.5  P( n ≥ 1) = 1 – P0 = 1 – 8/65 = 57/65

5.7 Un servidor, cola finita, fuente infinita y G: Servicios con una distribución general independiente. MODELO (M/G/1):(PEPS/∞/∞) A pesar de que en muchas situaciones la distribución exponencial describe con precisión el proceso de llegadas, puede que no se ajuste muy bien el proceso de servicio. Existe una generalización del modelo básico, el cual permite que la distribución del tiempo de servicio sea arbitraria. Ni siquiera es necesario conocer la distribución del tiempo de servicio, solo su media 1/µ y su varianza  2 . Las características de operación para el modelo generalizado son: Característica Factor de utilización Número esperado en el sistema

Símbolo ρ L

Fórmula λ/µ Lq   / 

Número esperado en la cola

Lq

 2  2  ( /  ) 2 2(1   /  )

Tiempo de espera estimado ( incluyendo tiempo de servicio)

W

L/λ o Wq 

Tiempo esperado en la cola

Wq

Lq / 

Probabilidad de que el sistema esté desocupado

P0

1 – λ/µ

1



Ejercicio 5.12 69

Suponga que usted debe contratar a una secretaria y tiene que seleccionar entre 2 candidatas. La secretaria 1 es muy consistente, escribe a máquina cualquier documento en 15 minutos exactos. La secretaria 2 es un poco más rápida con un promedio de 14 minutos por documento, pero sus tiempos varían de acuerdo con la distribución exponencial. La carga de trabajo promedio en la oficina es de 3 documentos por hora, con tiempos entre llegadas que varían de acuerdo con la distribución exponencial. ¿Qué secretaria le dará un tiempo de ciclo de documentos más corto? λ = 3 documentos/hora Secretaria 1: 1 = 15 minutos/documento * 1 hr/60 minutos = 0.25 horas / documento  µ = 4 documentos/hora

 2= 0

ρ = 3/4 = 0.75

Lq 

(3 * 0) 2  0.75 2  9/8 2(1  0.75)

L = 9/8 + 3/4 = 15/8

15 / 8  5 / 8 horas 3 9/8 Wq   3 / 8 horas 3

W=

Secretaria 2: 1 = 14 minutos/documento * 1 hr/60 minutos = 7/30 horas / documento  µ = 30/7 documentos/hora

1 La varianza para una distribución exponencial es:     

2

2

2

49  7  Entonces:  2     900  30  3   7 / 10 30 / 7

3 2 * 49 / 900  0.7 2 Lq   1.63333 documentos 2(1  0.7) L = 1.63333 + 0.7 = 2.3333

70

2.3333  0.7778 horas 3 1.63333 Wq   0.54444 horas 3

W=

El tiempo promedio de documentos escritos por hora es menor para la secretaria 1, por lo tanto es la que deberá contratarse.

Ejercicio 5.13 Gubser opera un servicio de soldadura para trabajos de construcción y reparaciones automotrices. Suponga que la llegada de trabajos a la oficina de la compañía puede describirse con una distribución de probabilidad de Poisson con una tasa media de llegada de dos trabajos por día de 8 horas. El tiempo requerido para completar los trabajos sigue una distribución de probabilidad normal con un tiempo medio de 3.2 horas y una desviación estándar de 2 horas. Responder las siguientes, asumiendo que Gubser usa un soldador para completar todos los trabajos. a) ¿Cuál es la cantidad promedio de trabajos esperando por servicio? b) ¿Cuál es el tiempo promedio que espera un trabajo antes de que el soldador pueda comenzar a trabajar en él? c) ¿Cuál es la cantidad promedio de horas entre el momento en que se recibe un trabajo y el momento en que se completa? d) ¿Qué porcentaje del tiempo está ocupado el soldador de Gubser? λ = 2 trabajos/8 horas = 0.25 trabajos/hora µ = 1/3.2 = 0.3125 trabajos/hora

a) Lq 

σ = 2 horas



0.25  0.8 0.3125

0.25 2 * 2 2  0.8 2  2.225 trabajos 2(1  0.8)

2.225  8.9 horas 0.25 1 1 c) W = Wq   8.9   12.1 horas  0.3125 b) Wq 

d) Pw = λ/µ = 0.8

el soldador está ocupado el 80% del tiempo

5.8 Un servidor, cola infinita, fuente finita. 71

MODELO (M/M/1):(PEPS/∞/N) Para los modelos de líneas de espera introducidos hasta ahora, la población de unidades o clientes que llegan para servicio se ha considerado ilimitadas. En términos técnicos, cuando no se pone límite respecto a cuántas unidades pueden buscar servicio, se dice que el modelo tiene una población infinita. En otros casos se asume que la cantidad máxima de clientes que pueden buscar servicio es finito. En esta situación la tasa media de llegadas para el sistema cambia, dependiendo de la cantidad de unidades en la línea de espera y se dice que el modelo de línea de espera tiene una población finita Las características de operación para este modelo son: Característica Probabilidad de que no haya unidades en el sistema

Símbolo

Fórmula 1

P0

N!       n  0 ( N  n)!     N (1  P0 )

n

N

Cantidad de unidades promedio en la línea de espera Cantidad promedio de unidades en el sistema

Lq

L

Lq  (1  P0 )

Tiempo promedio que pasa una unidad en la línea de espera

Wq

Lq

Tiempo promedio que pasa una unidad en el sistema

W

( N  L ) 1 Wq 

Probabilidad de que una unidad que llega tenga que esperar por el servicio

Pw

1 – P0

Pn

N!      P0 ( N  n)!   





n

Probabilidad de n unidades en el sistema

A una de las principales aplicaciones del modelo M/M/1 con población demandante finita se le denomina “problema de la reparación de máquinas”. En este problema se considera que un conjunto de máquinas es la población finita de clientes que pueden solicitar servicio de reparación. Cuando se descompone una máquina, se presenta una llegada en el sentido de que se inicia una nueva solicitud de reparación. Si se descompone otra máquina antes de que se termine el trabajo de reparación en la primera, la segunda comienza a formar una línea de espera que aguarda para obtener el servicio de reparación. Otras descomposturas adicionales significan adiciones de máquinas a la longitud de la línea de espera. El modelo M/M/1 muestra que hay un canal disponible para hacer las reparaciones

Ejercicio 5.14

72

La empresa X tiene un grupo de 6 máquinas idénticas y todas operan un promedio de 20 horas entre paros por descompostura. Así que la tasa promedio de llegadas, o de solicitudes de servicio de reparación, para cada máquina es de λ = 1/20 = 0.05 máquinas/hora. Como las descomposturas ocurren al azar se utiliza la distribución de Poisson para describir el proceso de llegadas de máquinas averiadas. Un operario del departamento de mantenimiento es quien proporciona el servicio de reparación de un solo canal para las 6 máquinas. Los tiempos de servicio con distribución exponencial tienen un promedio de 2 horas por máquina, o bien una tasa promedio de servicio de µ = ½ = 0.50 máquinas/hora. Determinar las características de operación del sistema de líneas de espera de reparación de máquinas.

P0 

1 0

1

2

3

4

5

6!  .05  6!  .05  6!  .05  6!  .05  6!  .05  6!  .05  6!  .05                      6!  .5  5!  .5  4!  .5  3!  .5  2!  .5  1!  .5  0!  .5 

Lq  6 

6

 0.484515

0.05  0.5 (1  0.484515)  0.329664 máquinas 0.05

L = 0.329664 + (1 – 0.484515) = 0.845149 máquinas

0.329664  1.279 horas (6  0.845149) * 0.05 1 W = 1.279   3.279 horas 0.5 Wq 

Ejercicio 5.15 Cinco secretarias utilizan una copiadora de oficina. El tiempo promedio entre llegadas para cada secretaria es de 40 minutos, que equivale a una tasa promedio de llegadas de 1/40 = 0.025 llegadas por minuto. El tiempo promedio que cada secretaria pasa en la copiadora es de 5 minutos, lo cual equivale a una tasa promedio de servicio 1/5 = 0.20 usuarios por minuto. Determinar lo siguiente: a) La probabilidad de que la copiadora esté desocupada. b) El número promedio de secretarias que están en la línea de espera. c) El número promedio de secretarias en la copiadora. d) El tiempo promedio que una secretaria pasa esperando el uso de la copiadora. e) El tiempo promedio que una secretaria pasa en la copiadora. f) Durante una jornada de 8 horas, ¿cuántos minutos pasa una secretaria en la copiadora? ¿Qué porción de este tiempo es tiempo de espera? λ / µ = 0.025/0.2 = 0.125 a) P0 

1 5! 5! 5! 5! 5! 5! (1 / 8) 0  (1 / 8)1  (1 / 8) 2  (1 / 8) 3  (1 / 8) 4  (1 / 8) 5 5! 4! 3! 2! 1! 0!

 0.479008

73

b) Lq  5 

0.025  0.2 (1  0.479008)  0.311075 secretarias 0.025

c) L = 0.311075 + (1 – 0.479008) = 0.832067 secretarias

0.311075  2.9854 minutos (5  0.832067) * 0.025 1 e) W = 2.9854   7.9854 minutos 0.2 f) Viajes por día = 480/40 = 12 viajes Tiempo en la fotocopiadora = 12 * 7.9854 = 95.82 minutos/día Tiempo de espera en la fotocopiadora = 12 * 2.9854 = 35.82 minutos/día d) Wq 

5.9 Servidores múltiples, cola infinita, fuente infinita. MODELO (M/M/S):(PEPS/∞/∞) Una línea de espera con servidores múltiples consiste en dos más servidores que se supone son idénticos desde el punto de vista de su capacidad. En el sistema de servidores múltiples, las unidades que llegan esperan en una sola línea y luego pasan al primer servidor disponible para ser atendidos. Las fórmulas que se presentan a continuación son aplicables si existen las siguientes condiciones. 1. 2. 3. 4.

Las llegadas siguen una distribución de probabilidad de Poisson. Tiempo de servicio para cada canal sigue una distribución de probabilidad exponencial. La tasa media de servicio µ es la misma para cada servidor. Las llegadas esperan en una sola línea de espera y luego pasan al primer servidor disponible.

 1 S

S = Número de servidores

Probabilidad de que haya 0 clientes en el sistema:

P0 

1 S 1



n 0



 S  S     n! S!  S    n

Probabilidad de que un cliente espere: P(sistema ocupado) = P( n ≥ S) P(sistema ocupado) =

 S S P0 S!( S   )

Probabilidad de que haya n clientes en el sistema: 74

 n P0  Pn   n!n   P  S! S n  S 0

Para n ≥ S Para n ≤ S

Número promedio de unidades que esperan ser atendidas: Lq  P( sistema _ ocupado) *

 S

Número de unidades en el sistema: L  Lq  

Tiempo promedio que unidad se encuentra en el sistema: W

L



Tiempo promedio que una unidad tiene que esperar en la cola: Lq Wq 



Ejercicio 5.16 City Beverage está pensando en un sistema de servicio de dos canales. Los automóviles llegan de acuerdo con una distribución de probabilidad Poisson, con una tasa media de llegadas de 6 automóviles por hora. Los tiempos de servicio tienen una distribución de probabilidad exponencial, con una tasa media de servicio de 10 automóviles por hora para cada uno de los canales. a) ¿Cuál es la probabilidad de que no haya ningún automóvil en el sistema? b) ¿Cuál es el número promedio de automóviles esperando servicio? c) ¿Cuál es el tiempo promedio esperando servicio? d) ¿Cuál es el tiempo promedio en el sistema? e) ¿Cuál es la probabilidad de que una llegada tenga que esperar para que le den servicio? λ = 6 autos/hr. a) P0 

µ = 10 autos/hr.

1 (0.6) 2 1  0.6  2!

 2 *10     2 *10  6 

ρ = 6/10 = 0.6

S=2

 0.538462

75

b) P(sistema ocupado) =

Lq  0.138462 * c) Wq 

0.6 2 * 2 *10 * 0.538462  0.138462 2!(2 *10  6)

0.6  0.05934 autos 2  0.6

0.05934  0.00989 horas 6

d) W = 0.00989 + 0.1 = 0.10989 horas e) P(sistema ocupado) = P( n ≥ 2) = 0.138462

Ejercicio 5.17 Suponga que existen 5 canales de servicio con tasas promedio µ = 6 y una tasa de llegadas λ de 24 unidades por hora. S=5

P0 

 1 S

24 1 5*6

ρ = 24/6 = 4

1 4 4 4 4 45  5 * 6  1 4       2! 3! 4! 5!  30  24  2

3

 0.012987

45  5 * 6  P(sistema ocupado) =   * 0.012987  0.554112 5!  30  24  Lq  0.554112 *

4  2.2164 unidades 54

L = 2.2164 + 4 = 6.2164 unidades W = 6.2164 / 24 = 0.259 horas Wq = 2.2164 / 24 = 0.0923 horas

76

Ejercicio 5.18 Suponga que en el cruce fronterizo de México y Estados Unidos, localizado entre las poblaciones de Piedras Negras, Coahuila y Tagle Pass, Texas, existe un puente sobre el Río Bravo con dos líneas de tráfico, una en dirección de México a Estados Unidos y la otra en sentido contrario. La línea de tráfico de Estados Unidos a México, se bifurca a 5 garitas de inspección migratoria y aduanera. Suponga que las llegadas de automóviles tienen una distribución de Poisson con λ igual 15 llegadas por hora, mientras que el número de servicios tiene una distribución exponencial negativa con µ igual a 8 servicios por hora. Por decreto gubernamental no existe prioridad de trato, así que las garitas migratorias y aduaneras proporcionan servicio en la medida que se desocupan y se atiende en primer término al primer automóvil de la cola y así sucesivamente. λ = 15 autos / hora

S=5

 1 S P0 

µ = 8 autos / hora

ρ = 15/8 = 1.875

15 1 5*8

1 1.875 2 1.875 3 1.875 4 1.875 5 1  1.875     2! 3! 4! 5!

 5*8     40  15 

 0.1525455

Esto implica que existe un 15.25% de probabilidades de que al llegar un automóvil a las garitas se encuentren vacías.

1.875 5  5 * 8  P(sistema ocupado) =   * 0.1525455  0.0471351 5!  40  15  No. esperado de automóviles en la cola: Lq  0.0471351 *

1.875  0.0283 5  1.875

No. esperado de automóviles en el sistema: L = 0.0283 +1.875 = 1.9033 Tiempo promedio de espera en el sistema: W = 1.9033 / 15 = 0.1269 horas Tiempo promedio de espera en la cola: Wq = 0.0283 / 15 = 0.0019 horas

77

n

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Tamaño de la cola 0 0 0 0 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8

Garitas desocupadas

Número de autos a los cuales se les está dando servicio 0 1 2 3 4 5 5 5 5 5 5 5 5 5

5 4 3 4 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Probabilidad de que haya n unidades en el sistema 0.1525455 0.2860228 0.2681463 0.1675914 0.0785585 0.0294594 0.0110472 0.0041427 0.0015535 0.0005826 0.0002185 0.0000819 0.0000307 0.0000115

Probabilidad de que el sistema esté desocupado 0.9528645 Probabilidad de que el sistema esté ocupado: 1 - 0.9528645 = 0.0471355

Ejercicio 5.19 En (M/M/2):(PEPS/∞/∞), el tiempo medio de servicio es 5 minutos y el tiempo medio entre llegadas es de 8 minutos: a) ¿Cuál es la probabilidad de una demora? b) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos uno de los servidores esté inactivo? c) ¿Cuál es la probabilidad de que ambos servidores estén desocupados?

1 = 5 minutos/cliente * 1 hr/60 minutos = 1/12 horas / cliente  µ = 12 clientes / hora 1 = 8 minutos/cliente * 1 hr/60 minutos = 2/15 horas / cliente  λ = 15/2 clientes / hora ρ=

15 / 2  5/8 12

P0 

1 0.625 2 1  0.625  2!

 2 * 12     24  7.5 

 0.5238095

P1  0.625 * 0.5238095  0.3273809 a) P(n  2)  1  ( P0  P1 ) 78

= 1- (0.5238095 + 0.3273809) = 0.1488096 Otra forma: P(sistema ocupado) =

0.625 2 2!

 2 *12    * 0.5238095  0.1488095  24  7.5 

b) P0  P1 = 0.5238095 + 0.3273809 = 0.8511904 c) P0 = 0.5238095 S

C

S

S

C

S

S

C

S

P1 = 1 servidor inactivo

P0 = 2 servidores inactivos

P2 = 0 servidores inactivos

Ejercicio 5.20 Los clientes llegan a un banco de acuerdo con una distribución de Poisson, con una media de 45 clientes por hora. Las transacciones por cliente tardan cerca de 5 minutos y se distribuyen de forma exponencial. El banco desea usar una operación de cajero múltiple de una sola línea. El gerente está consciente del hecho de que los clientes pueden cambiar a otros bancos si perciben que su espera en la línea es excesiva. Por esta razón el gerente limita el tiempo de espera promedio en la cola a no más de 2 minutos. ¿Cuántos cajeros debe proporcionar el banco? λ = 45 clientes / hora

µ = 12 clientes / hora

ρ = 45/12 = 3.75

Si: S = 4 cajeros P0 

1 3.75 3.753 3.75 4 1  3.75    2! 3! 4! 2

P(sistema ocupado) =

Lq  0.865029731 *

 48     48  45 

 0.00656141

3.75 4  48    * 0.00656141  0.865029731 4!  48  45 

3.75  12.97544458 clientes 4  3.75

Wq = 12.97544458 / 45 = 0.288343212 horas = 17.30059 minutos

Si: S = 5 cajeros 79

P0 

1 3.75 3.75 3.75 4 3.755  60  1  3.75       2! 3! 4! 5!  60  45  2

3

 0.018681358

3.755  60  P(sistema ocupado) =   * 0.018681358  0.461788959 5!  60  45  Lq  0.461788959 *

3.75  1.385366877 clientes 5  3.75

Wq = 1.385366877 / 45 = 0.03078593 horas = 1.8472 minutos 1.8472 es menor a 2 minutos, por lo tanto el número de cajeros que debe proporcionar el banco es 5.

5.10 Servidores múltiples, cola finita, fuente infinita. MODELO (M/M/S):(PEPS/N/∞) Este modelo de espera difiere de (M/M/S):(PEPS/∞/∞) en que el límite del sistema es finito, igual a N. Eso quiere decir que el tamaño máximo de la cola es N – S. Las tasas de llegada y de servicio son λ y µ. La frecuencia efectiva de llegadas λef es menor que λ, a causa del límite N del sistema. Probabilidad de que el sistema esté vacío:

 S 1  n  S (1  (  / S ) N  S 1 )  1     S!(1   / S )  n 0 n!  P0   1 n S S 1  ( N  s  1)        n!  S!    n 0  n P0  n ! Pn   n   P  S! S n  S 0

Para ρ/S ≠ 1

Para ρ/S = 1

Para 0 ≤ n ≤ S Para S ≤ n ≤ N

Número esperado de clientes en la cola: N S      N  S P0  S 1       1    ( N  S )  1    2    S   S  Lq   ( S  1)!( S   )   S  S P0  ( N  S )( N  S  1)   2 S!

Para ρ/S ≠ 1 Para ρ/S = 1

80

Número esperado de clientes en el sistema: L  Lq 

ef 

L  Lq  ( S  S )

ef   (1  PN )   (S  S ) Número estimado de servidores inactivos: S

S   ( S  n) Pn n 0

Ejercicio 5.21 En lote de estacionamiento existen 10 espacios solamente. Los automóviles llegan según una distribución de Poisson con media de 10 por hora. El tiempo de estacionamiento está exponencialmente distribuido con media de 10 minutos. Determine lo siguiente: a) Número esperado de espacios de estacionamiento vacíos. b) Probabilidad de que un automóvil que llegue no encontrará un espacio para estacionarse. c) Tasa efectiva de llegadas al sistema. λ = 10 autos / hora S = 10

µ = 6 autos / hora

ρ = 10/6 = 5/3

N = 10

 (5 / 3) 2 (5 / 3) 3 (5 / 3) 4 (5 / 3) 9 (5 / 3)10 (1  ((5 / 3) / 10)10101 )  P0  1  5 / 3     ....    2! 3! 4! 9! 10!(1  (5 / 3) / 10)   = 0.1888759

1

a) S  10P0  9P1  8P2  7 P3  6P4  5P5  4P6  3P7  2P8  P9 P1 = (5/3) P0 P2 = (5/3)2 /2 P0 = 25/18 P0 P3 = (5/3)3 /6 P0 = 125/162 P0 P4 = (5/3)4 /24 P0 = 625/1944 P0 P5 = (5/3)5 /120 P0 = 625/5832 P0 P6 = (5/3)6 /720 P0 = 0.0297687 P0 P7 = (5/3)7 /7! P0 = 0.0070878 P0 P8 = (5/3)8 /8! P0 = 0.0014766 P0 P9 = (5/3)9 /9! P0 = 0.0002734 P0 P10 = (5/3)10 /10! P0 = 0.0000456 P0

S  10P0  9(5 / 3) P0  8(25 / 18) P0  7(125 / 162) P0  6(625 / 1944) P0  5(625 / 5832) P0  4(0.0297687) P0  3(0.0070878) P0  2(0.0014766) P0  0.0002734P0 S  44.12076P0  8.33335 81

Otra forma de calcular el número de servidores inactivos. SS

ef 

PN = P10 = (5/3)10 / 10! P0 = 0.000008607

ef = 10 ( 1 – 0.000008607) = 9.999913922 S  10 

9.999913922  8.33335 6

b) P10 = 0.000008607 c) ef = 9.999913922

Ejercicio 5.22 Un pequeño taller de ajuste de motores ocupa a tres mecánicos, las personas llevan al taller podadoras para que reciban mantenimiento. El taller quiere aceptar todas las podadoras que le lleven. Sin embargo cuando los clientes que llegan ven que el piso del taller está cubierto con trabajos en espera, van a otra parte para recibir un servicio más inmediato. El piso del taller puede dar cabida cuando mucho a 15 podadoras, además de las que reciben el servicio. Los clientes llegan al taller cada 15 minutos en promedio y un mecánico tarda un promedio de 30 minutos en terminar cada trabajo. El tiempo entre llegadas y el tiempo de servicio tienen distribución exponencial. a) Cantidad promedio de mecánicos sin trabajo. b) Porción del trabajo que va a la competencia en un día de 10 horas, por la capacidad limitada del taller. c) La probabilidad de que al menos un mecánico esté sin trabajo. λ = 4 podadoras / hora S=3

µ = 2 podadoras / hora

ρ = 4/2 = 2

N = 18

 2 2 2 3 (1  (2 / 3)1831 )  P0  1  2    2! 3!(1  2 / 3)  

1

 0.111186344

218 * 0.111186344  0.000338548 3!(315 ) ef = 4 ( 1 – 0.000338548) = 3.998645805 PN  P18 

3.998645805  1.000677098 2 b) 4(0.000338548) * 10 = 0.013541952

a) S  3 

82

c) n 0 1 2

No. de mecánicos sin trabajo 3 2 1

Probabilidad P0 P1 = 2 P0 P2 = 22 /2 P0 = 2 P0

P( n < 3 ) = P0 + P1 + P2 = P0 + 2 P0 + 2 P0 = 5 P0 = 5 * 0.111186344 = 0.5559317

Ejercicio 5.23 Una pequeña gasolinera opera con dos bombas. El carril que conduce a las bombas puede alojar cuando mucho 6 automóviles, incluyendo los que están siendo atendidos. Los autos que llegan van a otro lado si el carril está lleno. La distribución de los vehículos que llegan es de Poisson con media 25 por hora. El tiempo para servir y pagar la compra es exponencial con media 6 minutos. Determine lo siguiente: a) El número esperado de autos que buscarán servicio en otro lugar. b) El número esperado de bombas inactivas. c) La probabilidad de que un auto que llega encuentre un espacio vacío en el carril. d) La utilización porcentual de las dos bombas. e) La probabilidad de que un automóvil que llegue no reciba servicio de inmediato, sino que se forme en la cola. λ = 25 podadoras / hora S=2

µ = 10 podadoras / hora

ρ = 25/10 = 2.5

N=6

 2.5 2 (1  (2.5 / 2) 621 )  P0  1  2.5   2!(1  2.5 / 2)  

1

 0.03430888

2.5 6 * 0.03430888  0.261755984 2!(2 4 ) ef = 25 ( 1 – 0.261755984) = 18.45610038 PN  P6 

a) λPN = 25 * 0.261755984 = 6.54389962 18.45610038  0.154389962 10 2.55 * 0.03430888  0.209404785 c) P5  2!(2 3 )

b) S  2 

d)

2  0.154389962  92.2805% 2

e) 83

P2 = 2.52 /2! P0 = 3.125 P0 P3 = 2.53 /(2! * 2) P0 = 3.90625 P0 P4 = 2.54 / (2! * 22) P0 = 4.8828125 P0 P5 = 2.55 / (2! * 23) P0 = 6.103515625 P0 P(1 < n < 6) = P2 + P3 + P4 + P5 = 18.017578 P0 = 0.618163

Ejercicio 5.24 En un banco los clientes llegan según una distribución de Poisson con media de 36 por hora. El tiempo de servicio por cliente es exponencial con media de 0.035 de hora. Suponiendo que el sistema puede acomodar a lo más 20 clientes a la vez, ¿cuántos cajeros debe suministrarse según la condición siguiente? La probabilidad de tener más de 3 clientes esperando sea menor que 0.2. λ = 36 clientes / hora

µ = 28.571429 clientes / hora

ρ = 36 / 28.571429 = 1.26

N = 20 P1 = 1.26 P0 P2 = 1.262 /2 P0 = 0.7938 P0 P3 = 1.263 / (2! * 2) P0 = 0.500094 P0  1.26 2 (1  (1.26 / 2)19 )  P0  1  1.26   2!(1  1.26 / 2)  

1

 0.22701

P( n > 3 ) 1 – (P0 + P1 + P2 + P3 ) – (P0 + P1 + P2 + P3 ) P0 + P1 + P2 + P3 P0 + 1.26 P0 + 0.7938 P0 + 0.500094 P0 3.553894 P0 3.553894 * 0.22701 0.80677

< < < > > > > >

0.2 0.2 -0.8 0.8 0.8 0.8 0.8 0.8

Dado que se cumple la condición, se concluye que S = 2. Esto se comprobará por medio de Excel. De la figura 2.2, si S = 1 no cumple la condición de que P( n > 3 ) sea menor del 20%. Con S = 2 y S = 3 si se cumple, pero se toma la opción que tiene menos servidores, por lo tanto la respuesta es S = 2. S=1 S=2 S=3

P( n ≤ 3 ) = 0.011956 P( n ≤ 3 ) = 0.806773 P( n ≤ 3 ) = 0.933467

P( n > 3 ) = 0.988044 P( n > 3 ) = 0.193227 P( n > 3 ) = 0.066533

84

A

B

1

Figura 2.2 Salida Excel para el ejercicio 2.24 C D E F G H S=1

S=2

2

n

Pn

Pn acum..

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

0,002045 0,002576 0,003246 0,004090 0,005153 0,006493 0,008181 0,010308 0,012988 0,016365 0,020620 0,025982 0,032737 0,041249 0,051973 0,065486 0,082513 0,103966 0,130998 0,165057 0,207972

0,002045 0,004621 0,007867 0,011956 0,017110 0,023603 0,031784 0,042092 0,055081 0,071446 0,092066 0,118048 0,150785 0,192034 0,244008 0,309494 0,392007 0,495973 0,626971 0,792028 1,000000

I S=3

Pn

Pn acum..

Pn

Pn acum..

0,227011 0,286034 0,180201 0,113527 0,071522 0,045059 0,028387 0,017884 0,011267 0,007098 0,004472 0,002817 0,001775 0,001118 0,000704 0,000444 0,000280 0,000176 0,000111 0,000070 0,000044

0,227011 0,513045 0,693246 0,806773 0,878295 0,923353 0,951740 0,969624 0,980891 0,987989 0,992461 0,995278 0,997053 0,998171 0,998876 0,999319 0,999599 0,999775 0,999886 0,999956 1,000000

0,275587 0,347239 0,218761 0,091880 0,038589 0,016208 0,006807 0,002859 0,001201 0,000504 0,000212 0,000089 0,000037 0,000016 0,000007 0,000003 0,000001 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000

0,275587 0,622826 0,841587 0,933467 0,972056 0,988264 0,995071 0,997930 0,999130 0,999635 0,999847 0,999936 0,999973 0,999989 0,999995 0,999998 0,999999 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000

Ejercicio 5.25 Los alumnos de primer ingreso en la U. de A. se caracterizan, porque tratan de llegar a clase en automóvil. Durante el primer par de semanas del semestre, en el campus prevalece una confusión de tráfico porque los alumnos tratan desesperadamente encontrar cajones de estacionamiento. Con una dedicación extraordinaria, esperan pacientemente a que alguien salga para poder estacionarse. El estacionamiento tiene 30 cajones, pero también pueden caber 10 autos más en los carriles. Esos 10 autos adicionales no se pueden estacionar en forma permanente en los carriles y deben esperar que haya disponible uno de los 30 cajones de estacionamiento. Los alumnos de ingreso reciente llegan al estacionamiento siguiendo una distribución de Poisson con 20 por hora de promedio. El tiempo de estacionamiento por auto es de 60 minutos en promedio, pero en realidad tiene una distribución exponencial. a) ¿Cuál es el porcentaje de alumnos que se salen por no caber en el estacionamiento? b) ¿Cuál es la probabilidad de que un automóvil que llegue espere en los carriles? c) ¿Cuál es la probabilidad de que un automóvil que llegue ocupe el único cajón vacío en el estacionamiento? d) Calcule la cantidad promedio de cajones ocupados. λ = 20 autos / hora

µ = 1 auto / hora

ρ = 20 85

S = 40

N = 40

 20 2 20 3 20 4 20 39 20 40 (1  20 / 40)  P0  1  20     ....    2 ! 3 ! 4 ! 39 ! 40!(1  20 / 40)   = 2.061206E-09

1

20 40 a) PN  P40  * 2.061206 E  09  0.000027776 40! b) P30 + P31 + P32 + P33 + P34 + P35 + P36 + P37 + P38 + P39 = 0.008343748 + 0.005383063 + 0.003364415 + 0.002039039 + 0.001199435 + 0.000685391 + 0.000380773 + 0.000205823 + 0.000108328 + 5.55528E-05 = 0.02176557 20 29 * 2.061206 E  09  0.012516 c) P( n = 29) = P29  29! d) ef = 20 ( 1 – 0.000027776) = 19.99944448

19.99944448  20.00055552 1 Cantidad promedio de cajones ocupados = 40 – 20 = 20 S  40 

86