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2. Análisis de Líneas de espera

Ing. Mgp. Grover Sánchez Eid ® 2017

Contenido 1 2 3 4 5 6

Definiciones y aplicaciones del Análisis de Líneas de Espera. Elementos y Sistemas de Líneas de Espera Procesos estocásticos en L.E. Modelos Analíticos Modelos de Simulación Costos en líneas de espera

Definiciones Línea de espera: Definición básica que identifica un proceso de flujo donde eventualmente puede existir retardo.

Teoría de colas: La disciplina fundamental que estudia el fenómeno de líneas de espera a través de modelos matemáticos.

Sistemas con retardo: Ámbito global de aplicación de la teoría de colas para el análisis de líneas de espera.

Las colas…, líneas de espera • Son frecuentes en nuestra vida cotidiana: – Los clientes en un Banco, en un Restaurante, al matricular en la Universidad. – Los automóviles en una Gasolinera, los buses en una Terminal, aviones para aterrizar en un Aeropuerto. – Maquinas esperando reparación en un Taller, documentos para impresión en una Red, llamadas telefónicas esperando línea de Comunicación. – Pacientes esperando cama para Hospitalización, automóviles esperando Parqueo.

Las colas…, líneas de espera • En general, a nadie le gusta esperar, cuando la paciencia llega a su límite, la gente se va a otro lugar. • El tiempo tiene un costo para el cliente y esperar en demasía es perjudicial. • Sin embargo, un servicio muy rápido tendría un costo muy elevado para el administrador. • Es necesario encontrar un balance adecuado entre los objetivos del Cliente y del Sistema.

Teoría de colas • Una cola es una línea de espera, un flujo de una red donde existe retardo en algún punto. • La teoría de colas es un conjunto de modelos matemáticos que describen sistemas de líneas de espera particulares. • Se basa en el análisis de un proceso que considera parámetros con variables estocásticas. • El objetivo es encontrar el estado estable del sistema y determinar una capacidad de servicio apropiada.

Teoría de colas • Existen muchos sistemas de colas distintos, y no todos pueden modelarse apropiadamente.

• Algunos modelos son muy especiales o resultan muy complejos de analizar. • Otros sistemas se ajustan a modelos estándar más generales y permiten encontrar soluciones analíticas. • La mayor parte se pueden tratar mejor a través de la simulación.

• Los procesos determinísticos se manejan también con la Teoría de redes.

Sistema de LE: modelo básico • Un sistema de colas puede dividirse en tres componentes principales: – Las unidades que llegan al sistema – La cola o línea de espera donde se forman las unidades. – La instalación del servicio constituida por servidores.

ESQUEMA DEL SISTEMA BASICO DE LINEAS DE ESPERA

COLA

UNIDADES QUE LLEGAN

UNIDADES QUE SALEN

FRONTERA DEL SISTEMA

UNIDAD DE SERVICIO

Sistema de LE: modelo básico • Los clientes o llegadas pueden ser: – Personas – Automóviles – Máquinas que requieren reparación – Documentos – Otros tipos de artículos • Los clientes o llegadas vienen en forma individual para recibir el servicio. Unidades = u = k (número)

Sistemas de LE: modelo básico • Cuando el cliente llega y no hay nadie en la cola, pasa de una vez a recibir el servicio. • Si no, se une a la cola. • La cola no incluye a quien está recibiendo el servicio.

Sistema de LE: modelo básico • Los servidores o instalación del servicio puede ser: – Personas – Equipos, Maquinas o Instalaciones – Una combinación • Los servidores se consideran en forma individual y se especifica el número. SERVIDORES = s = Número

Estructuras típicas de sistemas de LE: una línea, un servidor Sistema de colas

Llegadas

Cola

Servidor

Salidas

Estructuras típicas de sistemas de LE: una línea, múltiples servidores Sistema de colas Servidor Llegadas

Cola

Servidor

Servidor

Salidas Salidas Salidas

Estructuras típicas de colas: varias líneas, múltiples servidores Sistema de colas Cola Llegadas

Cola Cola

Servidor Servidor

Servidor

Salidas Salidas Salidas

Estructuras típicas de colas: una línea, servidores secuenciales Sistema de colas

Llegadas

Cola Servidor Cola

Servidor

Salidas

Proceso de LE: Las llegadas • Se considera que las llegadas son un proceso aleatorio, vinculada a una función de probabilidad. • En general se considera un proceso independiente, es decir que la ultima llegada no influye a la probabilidad de la siguiente llegada. Proceso Markoviano. • El tiempo que transcurre entre dos llegadas sucesivas en el sistema de colas se llama tiempo entre llegadas. P(t) = Probabilidad que el tiempo sea t • El tiempo entre llegadas tiende a ser muy variable. • El número esperado de llegadas por unidad de tiempo se llama tasa media de llegadas (): Lambda P(k) = Probabilidad que existan k llegadas

Proceso de LE: Las llegadas • El tiempo esperado entre llegadas es 1/ • Por ejemplo, si la tasa media de llegadas es  = 20 clientes por hora • Entonces el tiempo esperado entre llegadas es 1/ = 1/20 = 0.05 horas ó cada 3 minutos.

Proceso de LE: Las llegadas • Es necesario estimar la distribución de probabilidad de los tiempos entre llegadas. • Generalmente se supone una distribución exponencial. • Esto depende del comportamiento de las llegadas. • Se realiza una medición de llegadas por tiempo o de tiempo entre llegadas. • Se aproxima a una función de distribución teórica y se realizan las pruebas estadísticas.

Proceso de LE: Las llegadas – Distribución exponencial • La forma algebraica de la distribución exponencial es:  t P(tiempo de llegadas  t )  1  e

• Donde t representa una cantidad expresada en unidades de tiempo (horas, minutos, etc.),  es la media de llegadas en unidades/tiempo.

Proceso de LE: Las llegadas – Distribución exponencial P(t)

La distribución exponencial supone una mayor probabilidad para tiempos entre llegadas pequeños

0

Media

Tiempo

Proceso de LE: Las llegadas Distribución de Poisson • Es una distribución discreta empleada con mucha frecuencia para describir el patrón de las llegadas a un sistema de colas • Para tasas medias de llegadas pequeñas es asimétrica y se hace más simétrica y se aproxima a la binomial para tasas de llegadas altas

Proceso de LE: Las llegadas Distribución de Poisson • Su forma algebraica es: k 

e P(k )  k!

• Donde: P(k) : probabilidad de k llegadas por unidad de tiempo  : tasa media de llegadas

Proceso de LE: Las llegadas Distribución de Poisson P

0

Llegadas por unidad de tiempo

Proceso de LE: El servicio • El servicio puede ser brindado por un servidor o por servidores múltiples. • El tiempo de servicio varía de cliente a cliente. • Se considera el tiempo promedio para un servicio estándar o para un periodo estable. • El tiempo esperado de servicio depende de la tasa media de servicio (): mu

Proceso de LE: El servicio • El tiempo esperado de servicio equivale a 1/ • Por ejemplo, si la tasa media de servicio es de 25 clientes por hora • Entonces el tiempo esperado de servicio es 1/ = 1/25 = 0.04 horas, ó 2.4 minutos por servicio

Proceso de LE: El servicio • Es necesario identificar una distribución de probabilidad para los tiempos de servicio • Hay dos distribuciones que representarían puntos extremos: –La distribución exponencial (=media) –Tiempos de servicio constantes (=0)

Proceso de LE: El servicio • Una distribución intermedia es la distribución Erlang • Esta distribución posee un parámetro de forma k que determina su desviación estándar:

1  media k

Proceso de LE: El servicio • Si k = 1, entonces la distribución Erlang es igual a la exponencial

• Si k = ∞, entonces la distribución Erlang es igual a la distribución degenerada con tiempos constantes • La forma de la distribución Erlang varía de acuerdo con k

Proceso de LE: El servicio P(t)

k=∞

k=8

k=2

k=1

0

Media

Tiempo

Distribución Erlang Distribución Constante

Desviación estándar 0

Erlang, k = 1

media

Erlang, k = 2

1 / 2 media

Erlang, k = 4

1/2 media

Erlang, k = 8

1 / 8 media

Erlang, k = 16

1/4 media

Erlang, cualquier k

1 / k media

Proceso de LE: Disciplina de cola • Las unidades que llegan van a la instalación del servicio de acuerdo con la disciplina de la cola (D) • Generalmente es Primero en Entrar, Primero en Salir PEPS • Pero pueden haber otras reglas o colas con prioridades: – UEPS: Ultimo en entrar, primero en salir – Privilegios: Embarazadas, ancianos, clientes frecuentes, documentos importantes, productos perecederos. – Tandas: Grupos específicos de unidades. – Aleatorio: Cualquiera de la fila

Proceso de LE: La cola • El número esperado de clientes en la cola es el número de clientes que esperan el servicio = Lq – Es el número esperado en cualquier instante dado expresado en cantidad (# unidades)

• El número de clientes en el sistema es el número de clientes que esperan en la cola más el número de clientes que actualmente reciben el servicio Ls = Lq + s

Proceso de LE: La fuente • El número potencial de clientes o fuente de las llegadas es fundamental para asumir la influencia o independencia en la probabilidad de las llegadas. • La fuente puede considerarse finita o infinita, según la influencia probabilística a las llegadas.

–INFINITA: Clientes en un banco. –FINITA: Maquinas para mantenimiento. • El número estadístico límite asumido en general es 30 unidades.

Proceso de LE: La cola •

La capacidad de la cola es el número máximo de clientes que pueden estar en la cola = K

•

Generalmente se supone que la cola puede ser infinita

•

Aunque también la cola puede ser finita, cuando físicamente no se puede soportar nuevas llegadas.

•

En el análisis estadístico influye por la consideración de probabilidad de abandono en colas muy largas.

•

Capacidad infinita = probabilidad de abandono cero

•

La capacidad de cola esta determinada por factores físicos que influyen también en los costos del sistema, para evitar los abandonos

Notación General en LE Función de Función de Numero de probabiliprobabili- servidores dad de las dad de los llegadas servicios

 ó 1/ - Poisson -Exponencial

 ó 1/

s

-Exponencial -Erlang -Constante -General

s=1 servidor s>1 servidores múltiples

Tamaño de la población

Capacidad de la cola

Disciplina de atención al cliente

Sistema de flujo en la cola

N

K

D

C

- PEPS (FIFO) - UEPS (LIFO) - Aleatorio - Tandas - Jerarquias - Otros

-Paralelo -Secuencial

N < 30 Finito N => 30 Infinito

- Finita - Infinita

Modelos de LE: Nomenclatura para distintos modelos Notación de Kendall: A/B/s • A: Distribución de tiempos entre llegadas • B: Distribución de tiempos de servicio – M: distribución exponencial – D: distribución degenerada – Ek: distribución Erlang • s: Número de servidores

Estado del sistema de LE • En principio el sistema está en un estado inicial. • Se supone que el sistema de colas llega a una condición de estado estable (nivel normal de operación) • Existen otras condiciones anormales (horas pico, etc.), para ello se puede asumir variaciones del sistema. • Lo que interesa analizar es el estado estable.

Desempeño del sistema de LE •

Para evaluar el desempeño se busca conocer dos factores principales: 1. El número de clientes que esperan en la cola y en el sistema, Lq y Ls 2. El tiempo que los clientes esperan en la cola y en el sistema, Wq y Ws

Medidas del desempeño del sistema de LE 1. Número esperado de clientes en el sistema Ls 2. Número esperado de clientes en la cola Lq 3. Tiempo esperado de espera en la cola Wq 4. Tiempo esperado de espera en el sistema Ws

Medidas del desempeño del sistema de LE: fórmulas generales

Ws  Wq 

1



Ls  Ws Lq  Wq

 Ls  Lq  

Medidas del desempeño del sistema de LE: ejemplo • Suponga un lavado de autos al cual llegan en promedio 45 vehículos por hora • Se tiene capacidad para atender en promedio a 60 clientes por hora • Se sabe que los clientes esperan en promedio 3 minutos en la cola

Medidas del desempeño del sistema de LE: ejemplo • La tasa media de llegadas  es 45 clientes por hora o 45/60 = 0.75 clientes por minuto • La tasa media de servicio  es 60 clientes por hora o 60/60 = 1 cliente por minuto • Wq = 3 minutos

Medidas del desempeño del sistema de LE: ejemplo

Wq  3 min 1

1 Ws  Wq   3   4 min  1 Ls  Ws  0.75  4  3 clientes Lq  Wq  0.75  3  2.25 clientes

Medidas del desempeño del sistema de colas: ejercicio • Suponga un restaurant de comidas rápidas al cual llegan en promedio 100 clientes por hora • Se tiene capacidad para atender en promedio a 150 clientes por hora • Se sabe que los clientes esperan en promedio 2 minutos en la cola • Calcule las medidas de desempeño del sistema.

Probabilidades como medidas del desempeño

• Beneficios:

– Permiten evaluar escenarios – Permite establecer metas

• Notación: – Pn : probabilidad de tener n clientes en el sistema. – Pw : probabilidad que un cliente tenga que esperar. – P(Ws ≤ t) : probabilidad de que un cliente no espere en el sistema más de t horas

Factor de utilización del sistema • Dada la tasa media de llegadas  y la tasa media de servicio , se define el factor de utilización del sistema : rho. • Generalmente se requiere que  < 1 • Un factor  ≥ 1 implicaría la formación constante de cola, con tendencia siempre creciente. • Su fórmula, con un servidor y con s servidores, respectivamente, es:

  

  s

Factor de utilización del sistema ejemplo • Con base en los datos del ejemplo anterior,  = 0.75,  = 1 • El factor de utilización del sistema si se mantuviera un servidor es  = / = 0.75/1 = 0.75 = 75% • Con dos servidores (s = 2):  = /s = 0.75/(2*1) = 0.75/2 = 37,5%

Modelos de una cola y un servidor • M/M/1: Un servidor con llegadas de Poisson y tiempos de servicio exponenciales • M/G/1: Un servidor con tiempos entre llegadas exponenciales y una distribución general de tiempos de servicio • M/D/1: Un servidor con tiempos entre llegadas exponenciales y una distribución degenerada de tiempos de servicio • M/Ek/1: Un servidor con tiempos entre llegadas exponenciales y una distribución Erlang de tiempos de servicio

Modelo M/M/1 Ls 



 Lq   (   )  Wq   (   ) 2

 

1 Ws    Pn  (1   )  P(Ws  t )  e

n

  (1  ) t

P( Ls  n)  

n 1

P (Wq  t )   e

t  0,   1

  (1  ) t

Modelo M/M/1: ejemplo • Un lavado de autos puede atender uno cada 5 minutos y la tasa media de llegadas es de 9 autos por hora • Obtenga las medidas de desempeño de acuerdo con el modelo M/M/1 • Además la probabilidad de tener 0 clientes en el sistema, la probabilidad de tener una cola de más de 3 clientes y la probabilidad de esperar más de 30 min. en la cola y en el sistema

Modelo M/M/1: ejemplo 9   9,   12,    0.75 12 Ls 

  

 3 clientes

2 Lq   2.25 clientes  (   )

1 Ws   0.33 hrs  20 min  

 Wq   0.25 hrs  15min  (   ) P0  (1   )  0  0.25

P( Ls  3)   31  0.32

P(Ws  30 / 60)  e   (1  ) t  0.22 P(Wq  30 / 60)   e   (1  ) t  0.17

Modelo M/M/1: ejercicio • A un supermercado llegan en promedio 80 clientes por hora que son atendidos entre sus 5 cajas. • Cada caja puede atender en promedio a un cliente cada 3 minutos • Obtenga las medidas de desempeño de acuerdo con el modelo M/M/1 • Además la probabilidad de tener 2 clientes en el sistema, la probabilidad de tener una cola de más de 4 clientes y la probabilidad de esperar más de 10 min. en la cola

Modelo M/G/1

  Lq  2(1   ) 2

Ls  Lq   Ws  Wq 

1

Wq 

2

Lq

  P0  1   Pw    1

2

Modelo M/G/1: ejemplo • Un lavador de autos puede atender un auto cada 5 min. y la tasa media de llegadas es de 9 autos/hora,  = 2 min. • Obtenga las medidas de desempeño de acuerdo con el modelo M/G/1 • Además la probabilidad de tener 0 clientes en el sistema y la probabilidad de que un cliente tenga que esperar por el servicio

Modelo M/G/1: ejemplo Ls  Lq    1.31  .75  2.06 clientes

2 2   2 Lq   1.31 clientes 2(1   ) Ws  Wq  Wq 

Lq



1



 0.228 hrs  13.7 min

 0.145 hrs  8.7 min

P0  1    0.25

Pw    0.75

Modelo M/G/1: ejercicio • A un supermercado llegan en promedio 80 clientes por hora que son atendidos entre sus 5 cajas. • Cada caja puede atender en promedio a un cliente cada 3 minutos. Suponga  = 5 min • Obtenga las medidas de desempeño de acuerdo con el modelo M/G/1 • Además la probabilidad de tener 0 clientes en el sistema y la probabilidad de que un cliente tenga que esperar por el servicio

Modelo M/D/1 Ls  Ws Ws  Wq 

Lq  1

  1



2

2(1   ) Lq Wq 



Modelo M/D/1: ejemplo • Un lavado de autos puede atender uno cada 5 min. • La tasa media de llegadas es de 9 autos/hora. • Obtenga las medidas de desempeño de acuerdo con el modelo M/D/1

Modelo M/D/1: ejemplo Ls  Ws  1.875 clientes



Lq 

2

 1.125 clientes

2(1   ) 1 Ws  Wq   0.21 hrs  12.5 min



Wq 

Lq



 0.125 hrs  7.5 min

Modelo M/D/1: ejercicio • A un supermercado llegan en promedio 80 clientes por hora que son atendidos entre sus 5 cajas. • Cada caja puede atender en promedio a un cliente cada 3 minutos. • Obtenga las medidas de desempeño de acuerdo con el modelo M/D/1

Modelo M/Ek/1  2 (k  1) Lq  2k (1   )

Ls  Ws Ws  Wq 

1

  1

Wq 

1  media k

Lq



Modelo M/Ek/1: ejemplo • Un lavado de autos puede atender un auto cada 5 min. • La tasa media de llegadas es de 9 autos/hora. Suponga  = 3.5 min (aprox.) • Obtenga las medidas de desempeño de acuerdo con el modelo M/Ek/1

Modelo M/Ek/1: ejemplo Ls  Ws  2.437 clientes

 (k  1) Lq   1.6875 clientes 2k (1   ) 2

Ws  Wq  Wq 

Lq



1



 0.2708 hrs  16.25 min

 0.1875 hrs  11.25 min

Modelo M/Ek/1: ejercicio • A un supermercado llegan en promedio 80 clientes por hora que son atendidos entre sus 5 cajas. • Cada caja puede atender en promedio a un cliente cada 3 minutos. Suponga k= 4 • Obtenga las medidas de desempeño de acuerdo con el modelo M/Ek/1

Modelos de un servidor: Ejercicio: complete el cuadro ejemplo y ejercicio Modelo

M/M/1 M/G/1

M/D/1 M/Ek/1

Ls

Ws

Lq

Wq

Modelos de varios servidores • M/M/s: s servidores con llegadas Poisson y tiempos de servicio exponenciales • M/D/s: s servidores con tiempos entre llegadas exponenciales y una distribución degenerada de tiempos de servicio • M/Ek/s: s servidores con tiempos entre llegadas exponenciales y una distribución Erlang de tiempos de servicio

M/M/s, una línea de espera    P0 

1

 s  s   s 1  n    s !  s    n 0 n !

 s  Lq  P 2 0 ( s  1)!( s    ) Ws  Wq  Pn 

n s !s

ns

1



P0 , si n  k

 Ls  Lq   Pn 

n n!

Wq 

Lq

P0 , si n  k

1 s  s  Pw     P0 s !  s   



Comparación resultados M/M/1 con M/M/2 Lavado de autos Tasa unitaria μ = 60 u/hora Tasa global λ = 45 u/hora

Modelo

Ls

Ws

Lq

Wq

M/M/1

3

0.0667

2.25

0.0500

M/M/1

0.6

0.0267

0.225

0.0100

0.8727

0.0194

0.1227

0.0027

dos líneas

M/M/2

Costos de un sistema de LE 1.

Costo de espera: Es el costo para el cliente o unidad al esperar – Representa el costo de oportunidad del tiempo perdido, que suele ser difícil de estimar para un cliente externo a una organización. – Un sistema con un bajo costo de espera es una fuente importante de competitividad externa, o ahorro si las unidades dependen de la organización. – El Costo de espera para cada unidad esta dado por: • En la cola = Ce($/t) x Wq (t) • En el sistema = Ce($/t) x Ws (t)

Costos de un sistema de LE 1. -

-

-

Costo de espera: Por ejemplo si el costo de oportunidad fuera un salario mínimo, 1000 Bs/mes. El costo por hora, para 22 días y 8 horas laborables, seria 5.7 Bs/hora. Si tenemos el sistema M/M/1 con λ=9 y μ=12 Wq= 0.25 (h) y Ws= 0.33 (h) • El costo individual en la cola = 5.7 Bs/h x 0.25 h = 1.425 Bs/u • El costo individual en el sistema = 5.7 x 0.33 = 1.881 Bs/u Pero llegan 9 unidades por hora, de las cuales la probabilidad que tengan que esperar es Pw=ρ=0.75 Entonces 9x0.75=6.75 u en promedio tienen que esperar en la cola • El costo en la cola = 6.75 (u/h) x 1.425 (Bs/u)= 9.619 Bs/h • El costo en el servicio = 5.7 (Bs/u) x 9(u/h) x 1/12 (h)=4.275 Bs/h • En costo en el sistema = 13.89 Bs/hora

Costos de un sistema de LE 2.

Costo de servicio: Es el costo de operación del servicio brindado – Es más fácil de estimar, dado que es manejado por el administrador. – El objetivo de un sistema de colas es encontrar el sistema del costo total mínimo – El costo del servicio es directamente proporcional al número de servidores. – Generalmente lineal, es CTs = Cs x s – Si expresamos por unidad de tiempo, por ejemplo si tener un servidor nos cuesta 10 Bs/h, sera: • CTs = 10 (Bs/h s) x 1(s) = 10 Bs/hora (para ese sistema) • Linealmente mayor para 2, 3, 4 servidores.

Análisis económico de líneas de espera Costos

Costo total

Costo del servicio

Costo de espera Tasa óptima de servicio

Tasa de servicio (# de servidores)