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UNIVERSIDAD BICENTENARIA DE ARAGUA / VICERRECTORADO ACADÉMICO FACULTAD DE INGENIERÍA / ESCUELA DE INGENIERIA DE SISTEMAS CÁTEDRA DE APLICACIONES INVESTIGACION DE OPERACIONES II Material didáctico para actividad de aula, recopilado por Prof. José Ramón Graterol

TEORÍA DE COLAS EJERCICIOS Supóngase un supermercado grande con muchas cajas de salida, en donde los clientes llegan para que les marquen su cuenta con una tasa de 90 por hora y que hay 10 cajas en operación. Si hay poco intercambio entre las líneas, puede tratarse este problema como 10 sistemas separados de una sola línea, cada uno con una llegada de 9 clientes por hora. Para una tasa de servicio de 12 por hora:  = 12 clientes/hora

DATOS: λ = 9 clientes/hora 

Probabilidad de hallar ocupado o trabajando el sistema

 = 

 =



𝜆 

𝜆

𝜆 𝑛





12

𝑃𝑜 = 0.25

ó 25%

𝑃2 = (1 −

9 12

9 2

)( ) 12

𝑃2 = 0.1406 ó 14.05%

𝜆2

𝐿𝑞 =

(−𝜆)

92 12(12−9)

𝐿𝑞 = 2.25

Número esperado de clientes en el sistema 𝜆

Ls =

−𝜆

9 12−9

Ls = 3 clientes

Tiempo esperado en la cola

𝑊𝑞 = 

9

Número de clientes esperado en la cola

Ls = 

ó 75%

Probabilidad de que haya 2 clientes en la cola

𝐿𝑞 = 

 = 0.75

12

𝑃𝑜 = 1 −

𝑃𝑛 = (1 − ) ( ) 

9

Probabilidad de hallar el sistema ocioso o desocupado

𝑃𝑜 = 1 − 

𝜆

𝜆 (−𝜆)

𝑊𝑞 =

9 12(12−9)

Tiempo esperado en el sistema

𝑊𝑞 = 0.25 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 ó 15 minutos

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Ws =

1 (−𝜆)

Ws =

1 Ws = 0.33 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 (12−9)

ó 20 minutos

Entonces, para este ejemplo, el cliente promedio espera 15 minutos antes de ser servido. En promedio, hay un poco más de dos clientes en la línea o tres en el sistema. El proceso completo lleva un promedio de 20 minutos. La caja está ocupada el 75 % del tiempo

TEORIA DE COLAS O LINEAS DE ESPERA 

λ : Velocidad de llegada (Clientes/unidad de tiempo)



 : Velocidad de servicio (Clientes/unidad de tiempo)

COLAS CON UN SOLO SERVIDOR (M/M/1) 

Probabilidad de hallar ocupado o trabajando el sistema () 𝜆

 = 



Probabilidad de hallar el sistema ocioso o desocupado (P0)

𝑃𝑜 = 1 − 

𝜆 

Probabilidad de que haya 2 clientes en la cola (Pn) 𝜆 𝜆 𝑛

𝑃𝑛 = (1 − ) ( ) 



Número de clientes esperado en la cola (Lq)

𝐿𝑞 = 

𝜆2 (−𝜆)

Número esperado de clientes en el sistema (Ls)

Ls = 

𝜆 −𝜆

Tiempo esperado en la cola (Wq)

𝑊𝑞 = 



𝜆 (−𝜆)

Tiempo esperado en el sistema (Ws)

Ws =

1 (−𝜆)

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COLAS CON MULTIPLES SERVIDORES (M/M/S) Probabilidad de hallar el sistema ocioso o desocupado (P0)

1

𝑃𝑜 =

𝑛

𝜆

∑𝑠−1 𝑛=0 (

( )



𝑛!

𝜆

( )

𝑠



)+

𝑆!

∗(

1

𝜆 1− 𝑠

Número esperado de clientes en el sistema (Lq) 𝑠

𝜆

𝐿𝑠 =

𝜆 ( ) 𝑃𝑜



(𝑆 − 1)! (𝑆 − 𝜆)

+ 2

𝜆



Número esperado en la cola (Lq)

𝜆

( )

𝑠+1



𝐿𝑞 = 𝑃𝑜 (

𝜆

(𝑠 − 1)! (𝑠 − )

 )

Tiempo esperado en el sistema (WS)

𝑊𝑠 =

2

𝐿𝑠 𝜆

)

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Elementos que Conforman la Teoría de Colas Proceso Básico de Colas Fuente de Entrada o Población Potencial Cliente Capacidad de la Cola Disciplina de la Cola Mecanismo de Servicio La Cola El Sistema de la Cola

Parámetros de la teoría de cola - n =

Tasa media de llegadas de nuevos clientes cuando hay n clientes en el sistema (número promedio de llegadas por unidad de tiempo).

-λ=

Tiempo promedio entre llegadas.

-µ=

Tasa media de servicio de nuevos clientes cuando hay n clientes en el sistema (número promedio de clientes al cual puede dar servicio la instalación en una unidad de tiempo, suponiendo que no hay escasez de clientes).

- λ/µ = Tiempo promedio servicio. - Lq =

Número esperado de clientes en la cola (excluye los clientes que están en servicio).

- Ls =

Número esperado de clientes que se atienden y/o esperan en el sistema.

- Wq = Tiempo estimado que emplea un cliente esperando en la cola. - Ws = Tiempo estimado que emplea un cliente esperando más el que emplea siendo atendido (tiempo esperado en el sistema). - Po =

Probabilidad de encontrar el sistema vacío u ocioso.

- Pn =

Probabilidad de encontrar exactamente n clientes en el sistema.

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TEORIA DE COLAS O LINEAS DE ESPERA La teoría de colas es la técnica de mayor aplicación potencial y sin embargo es quizás la más difícil aplicar debido a que el modelo utilizado, con frecuencia muy poco se ajusta a la realidad. Muchas de estas dificultades se pueden superar combinando la teoría con la experiencia del investigador. Toda clase de negocios, gobierno, industria, escuela y hospitales grandes y pequeños, todos en algún momento tienen problemas de "colas”. Algunas veces las máquinas permanecen ociosas y en otros momentos, los clientes deben esperar. En algunas ocasiones los inventarios son excesivos y en otros momentos hay pedidos que no se satisfacen. A veces la industria funciona a media capacidad, los trabajadores sufren desempleo y los capitales permanecen ociosos. En otras ocasiones la capacidad de producción se aprovecha al máximo, la mano de obra escasea los abastecedores tienen grandes listas de pedidos en espera de ser atendidos. Ninguno de estos extremos es conveniente y hay una decisión administrativa básica que implica un equilibrio entre los recursos humanos, económicos y materiales. Para tomar decisiones al respecto, deben conocerse los siguientes puntos: • Longitud de las colas. • Porcentaje de utilización de las instalaciones de servicio • Tiempo total que toma al usuario formarse y recibir el servicio. • Disponibilidad de personal. Ejemplo: Lavado de autos “Daytona” Para lavar cada auto en las instalaciones, se requieren dos minutos. Hay una sola máquina de lavar que es atendida por una sola persona y sólo se puede acomodar un auto a la vez. Si los clientes llegan exactamente a intervalos de dos minutos, el funcionamiento del negocio carecería de incertidumbre. Si el sistema compuesto por la máquina de lavado y los clientes que esperan entrar a ella inician operaciones con seis clientes en su interior es posible que durante el día haya clientes siempre esperando. Si el sistema inicia las operaciones cuando está vacío, el primer cliente que llega será atendido inmediatamente y no habrá automóviles en la cola. La mañana del día 1 de junio, cuando Pedro abrió las puertas a las 9:00 horas, no había ningún cliente en el sistema de lavado. El primero llegó un minuto después de iniciadas las operaciones. Los tiempos de llegada de los primeros seis clientes se muestran a continuación: Número de cliente

tiempo de llegada

1 2 3 4 5 6

9:01 9:04 9:06 9:09 9:10 9:11

tiempo desde la llegada anterior

0:03 0:02 0:03 0:01 0:01 Σ=10

tiempo de entrada a la máquina de lavado

tiempo de salida

tiempo total en el sistema

9:01 9:04 9:06 9:09 9:11 9:13

9:03 9:06 9:08 9:11 9:13 9:15

0:02 0:02 0:02 0:02 0:03 0:04 Σ =15

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Promedio de llegadas = 0:03 + 0:02 + 0:03 + 0:01 + 0: 01 = 0:10 10 min./5 eventos = promedio de llegada de 2 min. Promedio de tiempo total en el sistema = (0:02 + 0:02 + 0:02 + 0:03 + 0:04) / 6 = 2.5 min. Tasa de Servicio (cuánto dura el servicio) = 2 min. Tasa de llegada en los primeros 11 minutos == 1 coche cada 2 minutos. Tasa de servicio en el sistema = 2.5 min. Tiempo ocioso en el sistema = 3 min. ELEMENTOS PRINCIPALES EN UNA LÍNEA DE ESPERA: Entrada (población infinita o finita). Fila (línea de espera). Servidores (unidad de servicio) Salida

CLIENTE: Unidad que llega requiriendo algún servicio. Pueden ser personas, máquinas, refacciones, etc. COLA (línea de espera): Es el número de clientes que esperan ser atendidos (la cola no incluye al cliente que está siendo atendido). UNIDAD DE SERVICIO: Es el proceso, sistema o persona que está efectuando el servicio al cliente, éste puede ser simple ó múltiple. Se identificará con la letra “k”. EJEMPLOS: Los aficionados a un encuentro de fútbol son los clientes y el (los) empleado(s) que vende(n) los boletos son las unidades de servicio. En un estacionamiento los automóviles son los clientes y tos espacios de estacionamiento las unidades de servicio. Las tarjetas de crédito serían los clientes y las cajas automáticas de los bancos serían las unidades de servicio. clientes llegan para ser atendidos. Se supondrá en la mayoría de los problemas que esta tasa corresponde a una distribución aleatoria de Poisson. de servicio proporciona el servicio a un cliente y puede alcanzarse cuando la unidad de servicio está siempre ocupada.

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Supondremos que esta tasa está aleatoriamente distribuida según una distribución de Poisson. PRIORIDAD: Esta suposición consiste en que el primero que llega es el primero en ser atendido. Esta suposición afecta la deducción de las ecuaciones utilizada en el análisis. TAMAÑO DE LA POBLACIÓN: Cuando el número de clientes potenciales es mayor a 30 se considera una población es infinita; cuando es menor a 30, será una población finita. DISTRIBUCIÓN DE TASAS DE LLEGADA Y DE SERVICIO: La suposición más frecuente para estos casos, es la distribución de Poisson, donde se considera que ambas tasas deban ser completamente independientes y que permanezcan constantes con el tiempo, aunque esto último puede no ser verdadero debido a un cambio temporal de la tasa de servicio.