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• CARMELO HILARIO VILCAPOMA

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Razonamiento Lógico Matemático

Nombramiento y Contrato Docente ÍNDICE

PRESENTACIÓN………………………………………………………………………………….. REGLA CONJUNTA……………………………………………………………………………… ORDEN DE INFORMACIÓN…………………………………………………………………. SUCESIONES………………………………………………………………………………………. RAZONAMIENTO INDUCTIVO NUMÉRICO Y GRÁFICO………………………… ANÁLISIS COMBINATORIO…………………………………………………………………. VERDADES Y MENTIRAS…………………………………………………………………….. FRACCIONES………………………………………………………………………………………. PORCENTAJES…………………………………………………………………………………….. TEORÍA DE CONJUNTOS - DIAGRAMA DE CARROLL……………………………. INFERENCIA CON PREMISAS………………………………………………………………. PERÍMETROS Y ÁREAS………………………………………………………………………… CERTEZAS…………………………………………………………………………………………… CONTEO DE CUBOS, CARAS Y VISTAS…………………………………………………. PARENTESCOS……………………………………………………………………………………. PLANTEO DE ECUACIONES Y EDADES…………………………………………………. PROPORCIONALIDAD Y REGLA DE TRES……………………………………………… DISTRIBUCIONES NÚMERICAS Y GRÁFICAS………………………………………… MÉTODOS OPERATIVOS (CANGREJO, ROMBO, RECTÁNGULO)………….. ESTADÍSTICA……………………………………………………………………………………… CONCEPTOS BÁSICOS DE PROBABILIDAD…………………………………………… PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS…………………………………………………….. SOLUCIONARIO PRUEBA ÚNICA NACIONAL 2018………………………………. CLAVE DE RESPUESTAS DEL LIBRO………………………………………………………

Mg. Teodoro Yupa M.

1

2 3 6 16 24 29 35 41 50 57 64 77 87 91 97 102 110 119 124 127 137 140 145 155

Razonamiento Lógico Matemático

Nombramiento y Contrato Docente

PRESENTACIÓN

Presentamos a la comunidad magisterial el libro titulado Razonamiento Lógico Matemático para Docentes, que nace básicamente por una motivación de la necesidad de contar con un material exclusivo para enfrentar con éxito las evaluaciones de acceso a nombramiento o contratos convocados por el Ministerio de Educación. Es un libro que dista de los tradicionales libros de Razonamiento Matemático, propia de entidades educativas o útiles para acceso a las universidades del país. El presente material enfatiza la metodología en la resolución de problemas; la casi nula utilización de fórmulas, lo que permite su accesibilidad a todo lector; además un elemento importante denominado Situaciones Previas, que son un conjunto de problemas que permitirá tomar confianza con los problemas de mayor demanda cognitiva. El libro Presenta una teoría básica de los temas claves en los que evalúa el Ministerio; problemas resueltos partiendo de lo sencillos hasta problemas del nivel exigido en la PUN; situaciones previas y problemas propuestos con sus respectivas respuestas. Esperamos que el presente trabajo llene los vacíos de bibliografía y de metodología que carece nuestro mercado, y sea una herramienta útil para los procesos de evaluación mencionados.

Mg. Teodoro Yupa M.

2

Razonamiento Lógico Matemático

Nombramiento y Contrato Docente PROBLEMAS RESUELTOS

REGLA CONJUNTA

EJEMPLO 1 Sabiendo que 6 helados cuestan lo mismo que 5 pasteles y que 2 pasteles valen s/. 12 ¿Cuántos costará 4 helados?

La regla conjunta tiene por objetivo determinar la relación que existe entre dos cantidades, conociendo otras relaciones intermedias.

SOLUCIÓN: Disponemos los datos según la regla práctica:

6 helados 2 pasteles x soles 6.2.x x

¿CUÁNDO LO USO?

5.12.4 20

EJEMPLO 2

Lo usamos Cuando en el problema aparecen varias relaciones de equivalencia entre objetos, animales u otras cosas y bajo estas relaciones se trata de encontrar una incógnita.

Sabiendo que 4 soles equivalen a un dólar, que 3 dólares equivalen a 4 libras esterlinas, que 6 euros equivalen a 5 libras esterlinas. ¿A cuántos soles equivalen 2 euros?

¿CÓMO LO USAMOS?

SOLUCIÓN:

Regla práctica:

Disponemos los datos según la regla práctica:

Se forma con los datos una serie de igualdades, procurando que el segundo miembro de cada igualdad sea de la misma especie que el primero de la siguiente y de este modo el segundo miembro de la última igualdad será de la misma especie que el primero de la primera. Se multiplican ordenadamente estas igualdades y se halla el valor desconocido.

Mg. Teodoro Yupa M.

5 pasteles 12 soles 4 helados

4 3 5 2

soles dolares libras euros 4.3.5 .2 x

3

1 dolar 4 Libras 6 euros x soles 1. 4 .6 .x 5

Razonamiento Lógico Matemático

Nombramiento y Contrato Docente * De la 1ra relación obtenemos:

EJEMPLO 3

4 Kg de papa

Los niños Alberto y Pepe juegan a intercambiar útiles escolares y acuerdan las siguientes reglas:

* Pero como 1 kg de camote = 3 kg de yuca, tendremos: 4 Kg de papa 3 Kg de yuca y 4 kg de camote

• 1 libro se puede intercambiar por 1 cuaderno y 2 lapiceros.

1 kg de camote

4 kg de papa = 5 kg de camote

• 8 lapiceros se pueden intercambiar por 2 cuadernos.

De aquí, 5 kg de camote equivalen a 4kg de papa.

• Según esta información, si Pepe tiene 12 lapiceros ¿Cuántos libros recibirá de Alberto si decide intercambiarlos?

SITUACIONES PREVIAS NES PREVIAS 1) Si dos libros equivalen a 4 cuadernos, ¿a cuántos cuadernos equivale 1 libro? ___________________________

SOLUCIÓN: Disponemos los datos según la lectura: 1 libro 1 cuaderno y 2 lapiceros 2 cuadernos 8 lapiceros 12 lapiceros x libros

2) Si por tres chupetes me dan 5 caramelos, ¿Cuántos chupetes me darán por 10 caramelos? ___________________________

* De la 2da relación obtenemos: 2 cuadernos 1 cuaderno 4 lapiceros 8 lapiceros * De la 1ra relación obtenemos: 1 libro

3) Si por 20 sillas dan dos carpetas, ¿Cuántas carpetas recibiré por 100 sillas? ___________________________

1 cuaderno y 2 lapiceros 4 lapiceros

1 libro

4 lapiceros + 2 lapiceros

1 libro

6 lapiceros

4) Por cada 4 sandias Pepe debe pagar S/. 28, ¿Cuántas sandias recibirá por S/.14? ___________________________

* Por lo tanto: 12 lapiceros equivalen a 2 libros EJEMPLO 4

5) Si por media yuca me dan 2 papas, ¿Cuántas yucas me darán por 8 papas? ___________________________

En cierta región del país se intercambian 1kg de papa por 3/4 kg de yuca y 1 kg de camote. Además, se intercambian 1 kg de camote por 3 kg de yuca. ¿Cuántos kilogramos de papa se pueden intercambiar por 5 kg de camote?

6) Si por 2 sandias me dan 4 peras y por cada pera me dan 2 plátanos, ¿Cuántas sandias recibiré por 4 plátanos? ___________________________

SOLUCIÓN: Mg. Teodoro Yupa M.

3 Kg de yuca y 4 kg de camote

4

Razonamiento Lógico Matemático

Nombramiento y Contrato Docente obtienen 4 borradores. ¿Cuántos borradores se obtendrán con 12 plumones?

7) Un melón equivale a 1/4 Kg de peras, ¿a cuántas peras equivalen 8 melones? ___________________________

A) 36 B) 38 C) 40 D) 50

PROBLEMAS PROPUESTOS 1. Si un lápiz mide 21 cm que equivale a la medida de 6 clips y una crayola mide como 4 clips. ¿Cuánto mide la crayola? (NOMBRAMIENTO 2017)

5. En cierto lugar de la serranía peruana se acostumbra hacer trueques. Si 3 alpacas cuestan lo mismo que 5 caballos y 8 caballos equivalen a 9 ovejas. ¿Cuántas alpacas se pueden intercambiar por 15 ovejas?

A) 12 cm B) 13 cm C) 15 cm D) 14 cm

A) 12 B) 8 C) 16 D) 18

2. En un pueblo africano, por cada 16 espejos, dan 2 diamantes y por cada 6 diamantes dan 4 monedas de oro. ¿Cuántas monedas de oro darán por 36 espejos?

6. En una feria agropecuaria por cada 8 melones dan 5 plátanos, por cada 10 plátanos dan 3 papayas, por 4 papayas dan 1 docena de manzanas, si 5 manzanas cuestan S/.16. ¿Cuánto pagaré por 12 melones?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 5 3. En un trueque por un cuadrado se reciben 4 círculos y por 6 círculos se reciben 3 triángulos. ¿Cuántos cuadrados pueden recibirse por 24 triángulos?

A) 10,5 B) 21,6 C) 20,4 D) 34,5 7. ¿Cuántas pelotas se obtienen con 6 motos?, si con 49 patines se obtienen 5 bicicletas, con 7 patines obtenemos 16 pelotas y con dos motos obtenemos 15 bicicletas.

A) 12 B) 24 C) 36 D) 28 4. Con 4 plumones se obtienen 6 lapiceros y con 2 lapiceros se Mg. Teodoro Yupa M.

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Razonamiento Lógico Matemático A) 1080 B) 1012 C) 1008 D) 1240

Nombramiento y Contrato Docente

ORDEN DE INFORMACIÓN Permite ordenar los datos que inicialmente están desordenados, pero que guardan toda la información. Para tal orden debemos relacionarlos entre si, encontrando correspondencia entre ellos.

8. Si 7 naranjas equivale a 8 manzanas; 4 mandarinas equivale a 21 bananas y 3 bananas equivale a 2 melocotones y también que 2 manzanas equivale a 5 mandarinas. ¿Cuántos melocotones darán por el mismo precio de una docena de naranjas?

TIPOS DE ORDENAMIENTO: Lineal(horizontal y vertical), circular y Cuadro de decisiones. A.ORDENAMIENTO HORIZONTAL Y VERTICAL

A) 40 B) 120 C) 80 D) 100

Este tipo de ordenamiento se usa cuando en el problema se detectan palabras como: mayor, menor, mas, menos, adelante, primero,..etc.

9. El trabajo de cuántos hombres equivaldrá al trabajo de 12 niños, si el trabajo de 4 niños equivale al de 6 niñas, el de una mujer al de 2 niñas y el de 3 mujeres al de un hombre.

ESTRATEGIA Se utiliza un segmento de recta horizontal o vertical, sobre en cual se Irán ordenando los datos del enunciado. Puede utilizarse más de una de estas rectas para la solución.

A) 8 B) 5 C) 3 D) 2

PROBLEMAS RESUELTOS EJEMPLO 1 Manuel es 4 años menor que Alberto, Raúl es un año mayor que Pedro, Raúl es 2 años menor que Juan y Alberto es 7 años mayor que Juan. ¿Cuántos años menor es Juan que Manuel?

10. En un extraño Mercado se intercambian 7 baldes por 1/2 kg de peras y 1/3 kg de manzanas. Asimismo, 2kg de peras se cambian por 1 kg de manzana. ¿Cuántos baldes se podrán intercambiar por 8 peras?

SOLUCIÓN: Notación: Manuel (M), Alberto (A), Raúl (R), Pedro (P), Juan (J)

A) 16 B) 24 C) 48 D) 50 Mg. Teodoro Yupa M.

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Razonamiento Lógico Matemático Manuel es 4 años menor que Alberto

Raúl es un año mayor que Pedro

Raúl es 2

años menor que Juan

Nombramiento y Contrato Docente ❖ Singapur al oeste del Krakatoa

Alberto es 7 años mayor que Juan

❖ Sumatra a su vez está ubicado al oeste de Singapur

A

A

J

Si

Su

R P

M

K

Si

R

El ordenamiento final será: J

Si

Su

K T

T

A

El ordenamiento final será:

T

❖ El volcán Temboro se ubica al este del Sumatra.

M

EJEMPLO 3 Respuesta: Juan es tres años menor que Manuel

J

Ruth es mayor que Rocío, Maria es menor que Rocío, pero mayor que que Juana, y Juana es menor que Bety. ¿Cuál de ellas es la menor de todas?

R P

SOLUCIÓN: Utilizamos el ordenamiento horizontal:

EJEMPLO 2 El volcán Temboro está ubicado al este del Sumatra. El volcán Singapur al oeste del Krakatoa. El Sumatra a su vez está ubicado al oeste de Singapur. ¿Cuál es el volcán ubicado al oeste?

❖ Ruth es mayor que Rocío Rocío

❖ María es menor que Rocío, pero mayor que Juana Rocío María Juana

SOLUCIÓN: Notación: Temboro(T), Sumatra(Su), Singapur(Si), Krakatoa(K) ❖ Temboro está ubicado al este del Sumatra

Su

Mg. Teodoro Yupa M.

+

-

Ruth

❖ Juana es menor que Bety Juana

T

7

Bety

Razonamiento Lógico Matemático Luego, el ordenamiento final será:(note que Bety es mayor que Juana)

Nombramiento y Contrato Docente Con lo considerado el edificio quedaría así:

F

F I

F P

P Z M M

I Z

I Z P

Rpta. Juana es la menor. EJEMPLO 4 En un edificio de 5 pisos viven las familias, Flores, Zanabria, Miranda, Pérez, Islas, cada una en pisos diferentes.

Rpta. Sólo se cumple III. B.ORDENAMIENTO CIRCULAR Para este tipo de ordenamiento se usan circuitos cerrados, con forma circular básicamente. Es importante precisar que todos los elementos estén mirando al centro del círculo.

- Islas vive encima de Zanabria. - Flores vive lo más alejado de Miranda. - Miranda no puede subir las escaleras. - Pérez le hubiera gustado vivir en el último piso. Son ciertas: I. Los Zanabria viven en el piso dos. II. Los Pérez viven en el piso tres. III. Los Miranda viven en el piso uno. SOLUCIÓN:

ESTRATEGIA Aquí la primera persona que ubiques lo puedes hacer donde sea, pero los demás deben cumplir las condiciones del problema, es decir la orientación que deben seguir. ALGO QUE DEBES SABER…. M

En este caso partimos del dato concreto y que se puede ubicar sin dificultades, además interpretamos las premisas. Miranda no puede subir las escaleras

Miranda vive en el primer piso

Flores vive lo más alejado de Miranda

Flores vive en el último piso

Pérez le hubiera gustado vivir en el último piso

Pérez no vive en el último piso

Mg. Teodoro Yupa M.

M

E

A R

D N

T G

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Razonamiento Lógico Matemático PROBLEMAS RESUELTOS

Nombramiento y Contrato Docente

EJEMPLO 1 Cinco amigos: "A", "B", "C", "D“ y "E" se sientan alrededor de una mesa circular con cinco asientos distribuidos simétricamente, además: • "D" no se sienta junto a "B". • "A" se sienta junto y a la derecha de "B" y frente a "C". • "E" no se sienta junto a "C". ¿Quién se sienta junto y a la derecha de “D"? SOLUCIÓN:

E A

C

A D

E

Cinco estudiantes A, B, C, D, y E se ubican alrededor de una mesa circular: A se sienta junto a D; E no se sienta junto a B; de las afirmaciones. I. A se sienta junto a B. II. D se sienta junto a E. III.C se sienta junto a E. Son verdaderas: A) Sólo I B) Sólo III C) I y II

Con esto E no podría estar en medio de las sillas blancas:

C

C

EJEMPLO 2

E no se sienta junto a B (hay 4 posibilidades

A

B

Rpta. Está sentado C

C

B

Esto completa el ordenamiento:

E

C

A

Con esto descartamos la primera figura y queda:

A

B

A

"D" no se sienta junto a "B".

B

"A" se sienta junto y a la derecha de "B" y frente a "C“(hay 2 posibilidades)

B

"E" no se sienta junto a "C".

SOLUCIÓN: A se sienta junto a D (Hay 2 posibilidades)

C

D

E

D

B

D

D

A

D

B

A

E

A

A

D Rpta. Sólo cumple III.

E

C

Mg. Teodoro Yupa M.

B

C

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Razonamiento Lógico Matemático

Nombramiento y Contrato Docente

EJEMPLO 3

Alicia no se sienta frente a Beatriz (2 posibilidades)

Alicia, Beatriz, Carmen, Diana, Edith y Fiorella se sientan alrededor de una mesa circular. Se sabe lo siguiente:

Diana

• Alicia no se sienta frente a Beatriz. • Diana se sienta frente a Edith. • Carmen esta junto a la izquierda de Alicia. • Beatriz no está junto a Edith.

Beatriz

Alicia

Fiorella

Carmen Edith

SOLUCIÓN: Diana se sienta frente a Edith

Diana

Diana

Carmen

Fiorella

Beatriz

Alicia Edith Edith

Como Beatriz no está junto a Edith, la segunda figura queda descartado.

Carmen esta junto a la izquierda de Alicia.(2 posibilidades)

RPTA. A la izquierda de Fiorella esta Beatriz

Diana Alicia

C.ORDENAMIENTO EN CUADRO DE DESICIONES En este tipo de problemas entran a tallar una diversidad de datos. Para este tipo de ordenamiento se usan tablas de doble entrada.

Carmen Edith

Diana

ESTRATEGIA Carmen

En la columna de la izquierda se anotan los nombres de las personas y en la fila horizontal van las cualidades de estas personas o característica. Se relacional cuidadosamente marcando con un visto o un aspa u otra notación adecuada

Alicia Edith Mg. Teodoro Yupa M.

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Razonamiento Lógico Matemático para la coherencia entre los datos de la tabla.

Nombramiento y Contrato Docente RPTA. Carmen tiene el conejo EJEMPLO 2

EJEMPLO 1

Tres estudiantes universitarios estudian en universidades diferentes: UNI, San Marcos y Villareal, además viven en distritos diferentes: Breña, Lince y Miraflores. Se sabe que el que vive en Miraflores estudia en la Villareal. Dos de ellos se conocen, Fausto y el que estudia en la UNI siguen en la misma carrera. Elmer quiere trasladarse a la UNI. Fausto cruza por Lince para irse a la Villareal. Gabriel vivía antes en Breña, entonces es cierto que:

En una exposición se reúnen tres amigas, Rosa, Ana y Carmen. Cada una de ellas tiene consigo a una mascota diferente: un pavo, una gallina y un conejo. Luego: • Rosa le dice a la que tiene la gallina que la otra tiene el conejo. • Ana le dice a la que tiene el conejo que ella come espinacas. ¿Qué mascota tiene Carmen?

a) Elmer estudia en San Marcos y vive en Lince.

SOLUCIÓN: Rosa le dice a la que tiene la gallina que la otra tiene el conejo.

b) El que vive en Breña estudia en la Villareal. c) Gabriel y el que vive en Lince no están en la UNI

Rosa no tiene la gallina ni el conejo, luego tiene el pavo

d) En San Marcos estudia el que vive en Breña SOLUCIÓN: Gabriel vivía antes en Breña

No vive en Breña.

Ana le dice a la que tiene el conejo que ella come espinacas

Ana no tiene el conejo

Mg. Teodoro Yupa M.

Fausto cruza por Lince para irse a la Villareal

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Estudia en Villareal

Razonamiento Lógico Matemático Elmer quiere trasladarse a la UNI

Nombramiento y Contrato Docente en ese orden. Si Abel tiene al loro y a Carlos no le agrada los ladridos, ¿Quién tiene al gato? ____________________________

No Estudia en la UNI

PROBLEMAS PROPUESTOS ORDENAMIENTO LINEAL El que vive en Miraflores estudia en la Villareal

1. Se sabe que:

Fausto vive en Miraflores

• Teresa es mayor que Katy. • Silvia es menor que Julia, quien es menor que Teresa. • Katy es menor que Silvia. ¿Quién es la mayor? A) Katy B) Teresa C) Miguel D) Silvia

SITUACIONES PREVIAS NES PREVIAS 1) Juan es más alto que Pedro, pero más bajo que Aníbal. ¿Quién es el más alto? ____________________________ 2) Si Pedro está a la izquierda de Juan y Juan está a la derecha de Beto, ¿Quién está más a la derecha? ¿Quién está más a la izquierda? ____________________________ ____________________________

2. Miguel y Enrique nacieron el mismo día. Oliver es menor que Enrique. Claudio es menor que Oliver, pero Gerardo es mayor que Miguel. Por lo tanto, el menor de todos es:

3) Tres personas A, B y C se sientan simétricamente alrededor de una mesa circular, no necesariamente en ese orden. A se sienta junto y a la derecha de B. ¿Quién se sienta junto y a la derecha de A? ____________________________

3. Cuatro personas: "A", "B", "C" y "D" viven en un edificio de cuatro pisos, cada uno en un piso diferente. Se sabe que:

A) Enrique B) Gerardo C) Miguel D) Claudio

-"C" vive más arriba que "A". -"B" vive más arriba que "D". -"C" vive más abajo que "D". ¿En qué piso vive "C"?

4) Tres amigos Abel, Beto y Carlos tienen por mascotas a un perro, un gato y un loro, no necesariamente Mg. Teodoro Yupa M.

A) 2° piso 12

Razonamiento Lógico Matemático B) 3er piso C) 4° piso D) 1er piso 4. En una carrera participan 6 personas: A, B, C, D, E y F si se sabe que: A llego antes que D, pero 2 puestos después que F, B llegó inmediatamente después que A, pero antes que E. Se puede afirmar que: I. C llegó en segundo lugar. II. D llegó antes que E. III. E llegó en sexto lugar.

Nombramiento y Contrato Docente enano para molesto porque siempre lo fastidian por su tamaño. Entonces, es cierto que: a) Engordo para alegre b) El flaco para triste c) El gordo para triste d) El flaco para alegre 7. José no es mayor que Luis. Miguel tiene la mitad de la edad de Luis y el doble de la edad de Ernesto, Ernesto tiene 3 años menos que José. Por tanto: A) Luis no es mayor que José B) Ernesto no es el menor C) Miguel no es mayor que José D) José es menor que Miguel

a) Solo I b) I y II c) I y III d) Todas

8. Pablo es 4 cm. más alto que Julio, Mónica es 3 cm más baja que Julio. Ricardo es 7 cm. más bajo que Pablo, Ruth es 4 cm. más baja que Julio. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones son ciertas? I. Ricardo y Mónica son de la misma talla. II. Julio es más alto. III. Ruth es la más baja. a) Todas b) I y II c) I y III d) II y III

5. Seis amigas: Andrea, Betty, Carla, Denisse, Erika y Fiorella ocupan los departamentos de seis pisos de un edificio, si cada una vive en un piso diferente, además se sabe que: • Carla está a tantos pisos de Betty, como Betty está de Andrea. • Betty y Erika no están en pisos adyacentes • Fiorella está más arriba que Denisse • Andrea está en el quinto piso y Carla en el primero. ¿Quién ocupa el sexto Piso? A) Fiorella B) Betty C) Andrea D) Erika

ORDENAMIENTO CIRCULAR 9. Cuatro amigos se sientan alrededor de una mesa redonda con 4 sillas distribuidas simétricamente, se sabe: ➢ Isabel no se sienta junto a Ricardo. ➢ Patricia se sienta junto y a la derecha de Ricardo. ¿Dónde se sienta José?

6. Por mi casa viven un gordo, un flaco y un enano que tienen diferentes temperamentos. Uno para alegre, otro colérico y el otro triste. Se sabe que al gordo nunca se le ve reír; el Mg. Teodoro Yupa M.

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Razonamiento Lógico Matemático A) frente a Patricia B) frente a Isabel C) a la izquierda de Ricardo D) Más de una es correcta 10. Arturo, Beatriz, Carlos, Diana, Edson y Fiorella se sientan alrededor de una mesa circular con seis asientos distribuidos simétricamente. Además se sabe que: ➢ Diana no se sienta junto a Beatriz. ➢ Carlos no se sienta junto a Edson. ➢ Arturo se sienta junto y a la izquierda de Beatriz y frente a Carlos. ¿Quiénes están sentados al lado de Fiorella? A) Arturo y Beatriz B) Beatriz y Carlos C) Carlos y Diana D) Diana y Edson 11. Seis amigos: "A", "B", "C", "D", "E" y "F" se sientan alrededor de una mesa circular con seis asientos distribuidos simétricamente, además: • "D" no se sienta junto a "B". • "A" se sienta junto y a la derecha de "B" y frente a "C". • "E" no se sienta junto a "C". ¿Quién se sienta frente a "F"? A) A B) C C) D D)E 12. 4 amigos se sientan alrededor de una mesa redonda con 4 sillas distribuidas simétricamente, se sabe: • Pilar no se sienta junto a Pamela • Paola se tienta junto y a la derecha de Pamela ¿Dónde se sienta Paty? Mg. Teodoro Yupa M.

Nombramiento y Contrato Docente A) Frente a Paola B) Frente a Pilar C) A la izquierda de Pamela D) A la derecha de Pilar 13. En una reunión se encuentran seis amigos, Amelia, Bertha, Carmen, Danilo, Ernesto y Federico, quienes se sientan en seis sillas igualmente espaciadas alrededor de una mesa circular. Sabemos que: • Dos personas del mismo sexo no se sientan juntas. • Bertha se sienta a la derecha de Federico y junto a él. • Amelia se sienta frente a Federico. • Carmen y Danilo se sientan juntos ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas? I. Bertha se sienta junto a Ernesto. II. Danilo se sienta junto a Amelia. III. Ernesto se sienta frente a Amelia. A) Solo III B) I y III C) I y II D) II y III 14. Cinco amigas y cinco amigos entran a una cafetería y tienen que juntar 2 mesas circulares con capacidad para 6, perdiéndose así, un asiento en cada mesa. Hombres y mujeres se sientan alternadamente, siendo Ana y Manuel los que se sientan más distanciados. Entre Ana y Carmen se encuentra Nicolás, mientras que en la otra mesa está Pedro, que tiene a su 14

Razonamiento Lógico Matemático izquierda a Carmen y opuesto a él, por el diámetro de su mesa, está Beatriz. Si en una de las mesas, Quique y Elena están opuestos por su diámetro y las dos personas restantes son Diana y Raúl, ¿quién está a la izquierda de Manuel y quién está opuesto a Raúl, por el diámetro de su mesa? A) Elena – Carmen B) Diana – Beatriz C) Ana – Carmen D) Elena – Diana

Nombramiento y Contrato Docente Determinar dónde vive Carlos y que profesión tiene. A) Miraflores – Arquitecto B) Pueblo Libre - Civil C) San Borja - Industrial D) Barranco – Mecánico 17. Se encuentran 4 amigos: Miguel, César, Luis y Ronald; éstos a su vez son atleta, futbolista, obrero, médico, aunque no necesariamente en ese orden. El atleta que es primo de Miguel es el más joven de todos y siempre va al cine con César o Luis, que es el mayor de todos, es vecino del futbolista, quien a su vez es millonario, Miguel que es pobre es cinco años menor que el médico. ¿Cuáles la ocupación de Luis? A) atleta B) futbolista C) obrero D) médico

ORDENAMIENTO EN CUADRO DE DECISIONES 15. Luis, Juan, Javier y Pedro, tienen diferente ocupación y sabemos que: - Luis y el profesor están enojados con Pedro. - Juan es amigo del albañil. - El periodista es amigo de Pedro. - El sastre es muy amigo de Javier y del albañil. - Luis desde muy joven es periodista. ¿Quién es el sastre? A) Luis B) Juan C) Javier D) Pedro

18. Un obrero, un empleado y un estudiante comenta que cada uno toma una determinada marca de cerveza diferente: - Yo tomo Cristal dice el obrero a José. - Luis dice que la cerveza que no duele la cabeza es la Cuzqueña. - El empleado dice: mi enamorada y yo tomamos Pilsen porque es mejor. - La tercera persona se llama Mario. ¿Cómo se llama el estudiante y que toma?

16. Cuatro amigos Andrés, Beto, Carlos y Daniel tiene distintas profesiones: arquitecto, mecánico, civil e industrial y viven en cuatro distritos diferentes: San Borja, Miraflores, Pueblo Libre y Barranco. El arquitecto vive en Miraflores, Daniel es civil, el industrial no conoce Barranco. Ni Daniel ni Carlos vive en San Borja y Andrés vive en Barranco. Mg. Teodoro Yupa M.

a) José – Pilsen b) d) Luis - Pilsen c) Luis – Cuzqueña 15

Razonamiento Lógico Matemático d) Mario - Pilsen

Nombramiento y Contrato Docente

SUCESIONES 19. Almorzaban juntos 3 políticos: el señor Blanco, el señor Rojo y el señor Negro, uno de ellos llevaba corbata blanca, otra roja y el otro, negra, pero no en el mismo orden. En un corto diálogo, se escucha que: ➢ El señor de la corbata roja dice: “es curioso, a pesar de que nuestros apellidos son los mismos que los colores de nuestras corbatas, ninguno lleva su correspondiente”. ➢ El señor Blanco responde: “tiene usted razón” ¿De que color es la corbata del señor Negro? A) negra B) roja C) blanca D) faltan datos

¿Qué es una sucesión? Una sucesión es un conjunto ordenado de elementos (números, letras, figuras) tales que cada uno ocupa un lugar establecido de modo que se puede distinguir el primero, el segundo, el tercero y así sucesivamente, acorde con una Ley de formación o regla de recurrencia. Ejemplos: • 2, 4, 6, 8, … • , , , • A, B, C, D, E, … • lunes, martes, miércoles, …

,…

• Mercurio, Venus, Tierra, Marte, … • +,x,-,… ¿Cómo se clasifican?

ARITMÉTICA GEOMÉTRICA NUMÉRICA

COMBINADAS INTERCALADAS DE INGENIO

SUCESIÓN

COMBINADAS

LITERAL

INTERCALADAS DE INGENIO GRÁFICA

I. Sucesión numérica Entre las principales tenemos:

Mg. Teodoro Yupa M.

16

Razonamiento Lógico Matemático

Nombramiento y Contrato Docente LEY DE

SUCESIONES

NOMBRE

NOTABLES

Números naturales o de conteo

1; 2; 3; ........; n

n

pares

2; 4; 6; ........; 2n

2n

impares

1; 3; 5; .......... (2n-1)

2n – 1

Cuadrados perfectos

1; 4; 9;........; n2

n2

Cubos perfectos

1; 8; 27;........; n3

n3

Potencias de 2

2; 4; 8; 16;........;2n

Productos binarios Números triangulares

2; 6; 12; ........;n(n + 1) 1

3

 1x 2 2

 2 x3 2

6 ... ........   3x 4 ... n(n + 1) 2 2

Tn = t1 + (n -1)r

FORMACIÓ N GENERAL

Donde: t n = termino enésimo t1 = primer término r = razón aritmética n = número de términos Forma práctica de encontrar el termino enésimo: 1º Encontrar la razón 2º Multiplicar la razón por 1, si el resultado coincide con el primer término de la progresión el termino enésimo tendrá la forma Tn = r.n; pero si no coincide habrá que añadir o quitarle a este producto un número(k) de tal manera que obtengamos el primer término. Siempre n toma los valores de las posiciones o lugares de los términos (n = 1°,2°, 3°,…), en cuyo caso tendrá la forma rn ± k

2n n(n + 1) n (n + 1) 2

CLASES DE SUCESIONES NUMÉRICAS

Ejemplo: ¿Cuál es el número que falta en la siguiente serie? ¿Cuál es el termino enésimo? 7 ; 12 ; 17 ; 22 ; ?

De acuerdo a su ley de formación las sucesiones se pueden clasificar en:

Solución:

A) SUCESIONES ARITMÉTICAS

En la serie observamos que cada número aumenta de 5 en 5; es decir que la ley de formación es constante y se designa por: +5 (razon), tal como se indica a continuación.

Son aquellas en donde sus términos se forman mediante sumas o restas.

7

Término Enésimo

+5

El termino enésimo es una expresión que permite determinar cualquier término de una secuencia aritmética. El término enésimo se calcula así: Mg. Teodoro Yupa M.

;

12

;

17

+5

; +5

22

; +5

Entonces el número que falta es: 22 + 5 = 27. 17

10

Razonamiento Lógico Matemático Para determinar el termino enésimo:

Nombramiento y Contrato Docente Hallar el valor de “x” en la sucesión:

1º.Razón, r= 5 2º.Tn = 5(1) = 5, pero el primer término es 7, por lo que hay que añadir 2 unidades.

8;

10;

+2

13;

+3

Tn = 5n + 2.

+6

+1

+2

x1

Donde n es un número mayor o igual a 1.

23;

+4

+1

Finalmente, el termino enésimo será:

17;

x2

35;

x

+12 +a +6 x3

+b xC

1) c se deduce de la relación. Por producto: C = 4. 2) b = 6 x 4 → b = 24 3) a = 12 + 24 → a = 36 4) x = 35 + a x = 35 + 36 → x = 71

B) Sucesiones Geométricas Son aquellas en donde sus términos se forman mediante multiplicaciones o divisiones.

b) ¿Y si hay sucesiones intercaladas?

Ejemplos: Hallar el número que continua:

Cuando se presentan dos o más sucesiones en una sola. Generalmente tienen seis o más términos.

1 ; 2; 6; 24; … Solución:

1; 2; 6; 24; 120

Ejemplo:

x2 x3 x4 x5

Hallar los términos que continúan:

Término enésimo: Tn

2 ; 22 ; 4 ; 20 ; 8 ; 18 ; 10 ; 16; 16 ; … Solución:

= t1.r n-1

Donde

-2

t n = último término o termino enésimo

-2

-2

2 ; 22 ; 4 ; 20 ; 8 ; 18 ; 10 ; 16 ; 16 ; 32 ; 14

t1 = primer término r = razón geometrica n = número de términos

x2

x2

x2

x2

c) ¿Cómo proceder con otras diferentes a las anteriores?

OTRAS SUCESIONES

Cuando la regla de formación no se refiere a ninguno de los casos anteriores; en este caso se requiere mucha imaginación y perseverancia.

a) Sucesiones combinadas Ejemplo: Mg. Teodoro Yupa M.

-2

18

Razonamiento Lógico Matemático

Nombramiento y Contrato Docente Ubiquemos en la recta alfabética con la posición que cada letra ocupa en ella, así:

Ejemplos: Hallar el número que continua:

 a serie será:

2 , 2 , 2 , 4 , 24, ...

3 ; 7 ; 11 ; 15 ; ?

van de 4 en cuatro entonces el siguiente es: 19, que representa la letra: R. Entonces la respuesta es “R”.

Solución:

2 , 2 , 2 , 4 , 24 , 576 x 1 x 1 x 2 x 6 x 24

EJEMPLO 2 ¿Qué letra sigue en la secuencia?

x 1 x 2 x3 x4

A; D; H; K; U; … II. SUCESIONES LITERALES

Solución: Reemplazando cada letra por el lugar que ocupa en el alfabeto tenemos

Los ejercicios sobre sucesiones alfabéticas se resuelven como si se trataran sobre sucesiones numéricas. Para esto le asignamos a cada letra del alfabeto un número que corresponda con su posición sobre la recta alfabética No considere la existencia de las letras compuestas: ch y ll A

B

C

D

E

F

G

H

I

1

2

3

4

5

6

7

8

9

J

K

L

M

N

Ñ

O

P

Q

Rpta la letra que sigue es la X. III. SUCESION GRÁFICA Las sucesiones gráficas son aquellos cuyos elementos son figuras y el siguiente gráfico o figura se determina a partir de los anteriores. Ejemplo 1: ¿Qué figuras crees que sigue en los siguientes?

10 11 12 13 14 15 16 17 18 R

S

T

U

V W

X

Y

Z

19 20 21 22 23 24 25 26 27

EJEMPLO 1 ❖

En la siguiente sucesión: ¿Qué letra continua?

❖

C ; G ; K ; Ñ:……. Solución:

❖ Mg. Teodoro Yupa M.

19

….

Razonamiento Lógico Matemático ❖

Nombramiento y Contrato Docente Analizamos la secuencia para cada elemento interno:

EJEMPLO 1 ¿Qué figura sigue en la secuencia?

Por consiguiente, continua es:

Solución:

la

figura

que

Analizando la figura se observa que: • La sombra avanza en sentido antihorario.

• El punto antihorario

IV. ANALOGIA GRÁFICA Se comparan los elementos, movimientos, etc de la pareja “modelo” o patrón para aplicarlos a otra que se nos plantea como problema. avanza

en

sentido EJEMPLO 1 Se tiene la siguiente analogía gráfica:

• El otro punto avanza en sentido antihorario.

Según esto marque la alternativa correcta

EJEMPLO 2

Solución Mg. Teodoro Yupa M.

20

Razonamiento Lógico Matemático

Nombramiento y Contrato Docente Obsérvese que las ranuras de cada figura están “orientadas” siempre hacia el lado derecho, excepto la figura de la alternativa (e) quien se orienta hacia la izquierda.

Solución: Si se observa con mucho cuidado, en la analogía inicial se encuentra que la figura interior (triangulo) “sale” y contiene a las figuras restantes (circulo conteniendo al cuadrado) a la vez que la figura central mantiene el color oscuro (cuadrado oscuro).

SITUACIONES PREVIAS Encuentre el término que continua: 1) A, C, E, G,______

Por consiguiente, la única alternativa que cumple estas condiciones es la alternativa D.

2) 1; 4; 7; 10;______

V. TERMINO EXCLUIDO

3)

Dentro de las sucesiones numéricas, literales o gráficas, se refiere a aquel elemento que no guarda relación alguna con las demás.

________

4)

_____

5) Hallar el séptimo término en: 2; 5; 9; 14;________

EJEMPLO 1 6) ¿Qué termino está equivocado? 1; 6; 10; 16; 21; 26

¿Qué número está equivocado en la siguiente serie?

7) ¿Qué figura no corresponde en la secuencia?

2, 3, 8, 13, 18, 23 Solución:

2 3 8 13 18 23 +1 +5 +5

+5

A

+5

1. Calcular el número que sigue 4 ; 5 ; 6 ; 8 ; 14 ; 38 ; ........

EJEMPLO 2 Señale la figura que no tiene relación con las demás:

(b)

Solución: Mg. Teodoro Yupa M.

C

PROBLEMAS PROPUESTOS

Se observa que “2” no presenta relación alguna con las demás.

(a)

B

(c)

(d)

(e)

A) 64 B) 96 C) 100 D) 158 2. ¿Qué término continúa? 2 ; 5 ; 11 ; 23 ; 47 ; ........ 21

D

Razonamiento Lógico Matemático A ) 95 B ) 23 C ) 92 D ) 91 3. Calcular el número que falta: A) 79 B) 32 C) 21 D) 129

Nombramiento y Contrato Docente B) O C) P D) Q 7. Halle la letra que sigue: E; H; L; P;_ A) V B) M C) T D) R 8. En la siguiente secuencia de figuras:

;

4. Halle el término que sigue en la sucesión

;

;

;

;

; término

3F ; 6J ; 18N ; 72Q ; ........

Halle el primer (NOMBRAMIENTO 2017)

A) 360S B) B)350T C) C)360U D) D)340T

A)

D)

5. ¿Qué termino está equivocado en la siguiente secuencia?

B)

C)

9. ¿Qué figura continua en la secuencia gráfica?

1 2 1 ; ; ;1;3 9 3 3 A)

1 9

2 3 1 C) 3 D) 1

B)

A

C

D

10. Encuentre la figura que continua:

6. ¿Qué letra sigue? U, T, C, S, N, __ A) N Mg. Teodoro Yupa M.

B

22

Razonamiento Lógico Matemático A)

Nombramiento y Contrato Docente B)17 C)13 D)19

12

14. En la secuencia halle la figura 23: 11. Observa la relación entre las dos primeras figuras. Luego, determina la figura que se relaciona con la tercera.

a)

b)

c)

d)

15. Indique la alternativa que continua en la siguiente serie grafica

...

12. Elige la figura que falta si:

a)

b)

c)

d)

16. Indique la alternativa que completa la serie mostrada. X X X

X

?

X

X

X

X

a) 13. Hallar el número que sigue en: 1; 1; 2; 3; 5; 8; _ Mg. Teodoro Yupa M.

b)

c)

d)

17. Indique la alternativa que completa la serie mostrada:

23

Razonamiento Lógico Matemático

Nombramiento y Contrato Docente

RAZONAMIENTO INDUCTIVO NUMÉRICO Y GRÁFICO a)

c)

b)

d)

RAZONAMIENTO INDUCTIVO

18. ¿Qué figura falta en las siguientes series graficas propuestas?

Es un razonamiento que consiste en obtener conclusiones generales a partir de premisas que contienen datos particulares. Por ejemplo, de la observación repetida de objetos o acontecimientos de la misma índole se establece una conclusión para todos los objetos o eventos de dicha naturaleza. Es decir:

?

a)

b)

c)

d)

19. ¿Qué figura sigue?

C A S O

C A S O

C A S O

I

II

III

INDUCCIÓN

C A S O

G E N E R A L



Casos Particulares

Para obtener una conclusión general (fórmula) correcta es importante que los casos particulares cumplan las siguientes condiciones. • Deben ser casos que partan de lo simple a lo complejo. • Sus estructuras deben ser similares, pero a menor escala, a la que presenta el arreglo o la expresión original. • Se deben analizar como mínimo 3 casos particulares. IMPORTANTE: En el presente tema es muy común aplicar el tema de sucesiones, por lo cual es importante recordar los tipos de Mg. Teodoro Yupa M.

24

Razonamiento Lógico Matemático sucesiones estudiadas, en particular las secuencias aritméticas y geométricas.

Nombramiento y Contrato Docente

PROBLEMAS RESUELTOS EJEMPLO 1 Determinar el termino enésimo y el termino que ocupa la posición 40 de la siguiente secuencia numérica:

EJEMPLO 3

5; 9; 13; 17;……

Si con los números del año 2019 formamos una secuencia como la mostrada:

SOLUCIÓN: Observamos que la secuencia es una progresión aritmética de razón 4.

TACNA2019TACNA2019TACNA2019 … ¿Cuál es la letra o cifra que ocupa el lugar 100? SOLUCIÓN: Nótese que cada frase “TACNA2019” tiene 9 elementos.

▪ Al Dividir 100 entre 9, obtenemos un cociente de 11 y residuo 1. EJEMPLO 2

▪ El 11 nos dice que aparecieron 11 veces la frase en mención y el residuo representa el término que sigue.

Belinda forma cuadrados reuniendo cuadraditos en la forma que se muestra en la figura. ¿Cuántos cuadraditos tendrá el cuadrado trigésimo?

▪ Rpta. La letra que sigue es la T. EJEMPLO 4 Se forma una secuencia de figuras con palitos de fosforo bajo las siguientes reglas:

SOLUCIÓN:

▪ En la primera figura, se usan cuatro palitos para formar un cuadrado.

Representamos a través de una secuencia numérica la cantidad de cuadraditos que hay en cada figura.

▪ En la segunda figura, se usan diez palitos para formar tres cuadrados contiguos.

Mg. Teodoro Yupa M.

25

Razonamiento Lógico Matemático ▪ En la tercera figura, se usan dieciséis palitos para formar cinco cuadrados contiguos.

Nombramiento y Contrato Docente • Dividimos 800 entre 120 para averiguar el número de vueltas y la longitud sobrante 800 : 120 da cociente 6 y residuo 80.

¿Cuántos palitos se usarán para armar 11 cuadrados contiguos?

• Osea dio 6 vueltas partiendo desde A.

SOLUCIÓN:

• Como le falta avanzar 80m desde A, llegara al vértice D.

Formamos los cuadrados según la información:

• Rpta. Llegará al vértice D. SITUACIONES PREVIAS 1) Observe las siguientes secuencias y complete cada oración:

Rpta. Para formar 11 cuadrados se necesitan 34 palitos Fig. 1

EJEMPLO 5

Fig. 2

Fig. 3

a. La cantidad de triángulos en la figura 4 sería: _______________ b. La cantidad de triángulos en la figura 5 sería: _______________ c. La figura _________tendría 49 triángulos.

Un estudiante recorre un circuito rectangular cuyos vértices llevan las letras A,B,C y D. Si el largo de dicho circuito mide 40m y el ancho 20 metros, ¿a qué vértice llegará luego de haber recorrido 800 m en el mismo sentido al haber partido desde el vértice A?

2) Observe las siguientes secuencias y complete cada oración:

SOLUCIÓN: Realizamos el gráfico correspondiente: B

40 m

C

Fig. 1 20 m

A

Fig. 3

a. La cantidad de círculos en la figura 4 sería: ______________ b. La cantidad de círculos en la figura 6 sería: ______________ c.La figura _____tendría 24 círculos.

D

• Nótese que el circuito ABCDA tiene una longitud de 20+40+20+40 = 120m Mg. Teodoro Yupa M.

Fig. 2

26

Razonamiento Lógico Matemático 3) Observe las siguientes secuencias y complete cada oración:

Fig. 1

Fig. 2

Nombramiento y Contrato Docente 2. En una mesa hexagonal se sientan 6 personas y en 2 mesas hexagonales se sientan 10 ¿cuántas personas se sentarán en 5 mesas hexagonales? (NOMBRAMIENTO 2017)

Fig. 3

A) 21 B) 25 C) 22 D) 24

a. La cantidad de círculos en la figura 6 sería: ___________ b. La cantidad de círculos en la figura 8 sería: ___________ c. La figura ________ tendría 28 círculos.

3. Un albañil construye muros de ladrillos de la siguiente manera: (NOMBRAMIENTO 2017)

4) Observe la secuencia y encuentre la figura que falta en el lugar dado. a) La figura en el lugar 22 será: _________________________

B1

PROBLEMAS PROPUESTOS NES PREVIAS 1. ¿Cuántas bolitas negras se pueden contar en la figura número 10 en la secuencia? (NOMBRAMIENTO 2017)

Fig. 2

B4

4. Se forma una secuencia de figuras cuadradas con canicas de acuerdo al siguiente criterio: Con 4 canicas se puede formar un cuadrado, con nueve canicas otro cuadrado más grande, con 16 canicas se forma un cuadrado mucho mayor que el anterior. Si se sigue formando cuadrados bajo este patrón, ¿Cuántas bolitas se usarán para formar el décimo cuadrado?

Fig. 3

A) 60 B) 100 C) 130 D) 110 Mg. Teodoro Yupa M.

B3

¿Cuántos ladrillos necesitará para construir B10? A) 80 B) 40 C) 55 D) 65

b) La figura en el lugar 16 será: _________________________.

Fig. 1

B2

A) 100 B) 121 C) 144 27

Razonamiento Lógico Matemático

Nombramiento y Contrato Docente Considerando el orden de izquierda a derecha, ¿cuál es la letra o cifra que ocupa el lugar 2019?

5. ¿Cuántos palitos se requiere para formar la figura 10?

A) 1 B) 9 C) M 8. Se tiene las siguientes figuras formadas por segmentos rectilíneos de 1cm longitud. ¿Cuál es el perímetro de la figura 2020?

A) 40 B) 42 C) 84 D) 50 6. Raúl arma figuras sobre el suelo usando canicas según el orden siguiente: • La primera figura solo contiene una canica • La segunda figura que tiene forma triangular, formado por tres canicas. • La tercera figura, también de forma triangular, formado por seis canicas. • La cuarta figura también triangular, formado por 10 canicas. Si se siguen formando figuras triangulares después de la cuarta figura, ¿cuántas canicas usará Raúl para formar el décimo triangulo? A) 100 B) 55 C) 60

A) 16164 cm B) 15100 cm C) 11600 cm 9. ¿En cuántos puntos se cortarán los triángulos de la figura Nº 20?

F(1)

F(2)

F(3)

A) 38 B) 75 C) 10 D) 20 10. Se conoce la siguiente sucesión: W(1) = 1 x 2

7. Dada

la

siguiente

secuencia:

W(2) = 2 + 3 W(3) = 3 x 4

MINEDU2019MINEDU2019MINEDU20 19…

W(4) = 4 + 5 Calcular el valor de W(22) a) 50

Mg. Teodoro Yupa M.

F(4)

28

Razonamiento Lógico Matemático b) 75 c) 10 d) 45

Nombramiento y Contrato Docente posición 2 posición 3

Posición 1 A) 211

B)210

C)201

D)190

ANALISIS COMBINATORIO

11. ¿Cuántos triangulitos se podrá contar en le figura 50?

INTRODUCCIÓN

F(1)

F(2)

Una de las interrogantes que con mayor frecuencia se plantea es ¿de cuántas maneras distintas puede presentarse determinada situación?

F(3)

a) 2000 b) 200 c) 2500 d) 100

Las Técnicas de Conteo o también denominadas como Análisis Combinatorio permiten calcular de forma más fácil el número TOTAL DE OCURRENCIAS COMO resultado de un experimento.

12. ¿Cuántas bolitas hay en la figura 10?

Las Técnicas de Conteo facilitan el recuento de sucesos para: • No hacer una lista de uno a uno de los objetos o sujetos que componen una colección grande.

a) 150

b) 50 c) 90

• Describir eventos difíciles de organizar.

d) 100

• Enumerar las posibilidades de organizar un evento.

13. Halle el número de cuadrados que hay en la figura 10.

PRINCIPIO DE LA MULTIPLICACIÓN

a) 19

b) 21

c) 25

Principio de multiplicación: Si un suceso cualquiera puede ocurrir de m maneras diferentes y, después que ha ocurrido de una cualquiera de esas maneras, un segundo suceso puede ocurrir de n maneras diferentes, entonces los dos sucesos, en ese orden, pueden ocurrir de m.n maneras.

d) 23

14. Determine la cantidad de círculos no sombreados en la posición 20:

EJEMPLO 1

Mg. Teodoro Yupa M.

29

Razonamiento Lógico Matemático Me levanto por la mañana y al abrir mi

Nombramiento y Contrato Docente N° total de formas de vestirme = 2 x 3 x 2 =12.

I. PRINCIPIO DE LA ADICIÓN Si una tarea o acción puede realizarse de m formas diferentes, y otra tarea o acción puede realizarse de n formas diferentes, pero de modo que no es posible realizarlas simultáneamente, entonces, tendremos m+n formas diferentes de realizar una de ellas.

armario observo que tengo: Solución1 utilizando el diagrama del árbol

EJEMPLO 1 ¿Cómo cruzo el rio? Se desea cruzar un río, para ello se dispone de 3 botes, 2 lanchas y 1 deslizador. ¿De cuántas formas se puede cruzar el río utilizando los medios de transporte señalados? Solución Aplicando el principio de adición se tiene:

N° total de formas de cruzar =3+2+1=6 RECUERDA N° total de formas de vestirme = 12

• Si se desea que se realicen los eventos A y B , entonces se utiliza el principio de multiplicación (x)

Solución 2 Por el principio de la multiplicación: 1°

2°

3°

2

3

2

• Si se desea que se realicen los eventos A ó B , entonces se utiliza el principio de adición (+)

Pantalones Camisas Zapatos

Mg. Teodoro Yupa M.

30

Razonamiento Lógico Matemático

Nombramiento y Contrato Docente Con las letras de la palabra ALA, ¿Cuántas palabras con o sin sentido pueden formarse?

II. PERMUTACIÓN La Permutación menciona a los posibles ordenamientos de aquellos elementos que forman parte de un conjunto. Esto quiere decir que una permutación es un cambio de la manera en la que se disponen los elementos.

Solución Con la primera letra(A) con las otra dos obtenemos: ALA, AAL Con la segunda letra(L) con las otra dos obtenemos: LAA

Ejemplo 1

Sólo es posible formar estas palabras. Luego la respuesta será 3 palabras.

Con las letras de la palabra AMO, ¿Cuántas palabras con o sin sentido pueden formarse con dos letras?

EJEMPLO 3 En una carrera de 400 metros participan 5 atletas. ¿De cuántas formas distintas podrán ser premiados los tres primeros lugares con medalla de oro, plata y bronce?

Solución 1 Formamos todas las parejas posibles entre las tres letras:

Solución: ORO

5

Solución 2

PLATA

BRONCE

4

3

# Maneras = 5 x 4 x 3 = 60

Usando el principio de multiplicación:

EXPLICACIÓN EXPLICACIÓN

• El primer casillero puede ser ocupado por cualquiera de las tres letras, existiendo 3 posibilidades • El segundo casillero puede ser ocupado por cualquiera de las otras dos letras restantes, existiendo # Maneras = 3 x 2= 6

• El primer casillero (MEDALLA DE ORO) puede ser ocupado por cualquiera de los 5 atletas, existiendo 5 posibilidades. • El segundo casillero (MEDALLA DE PLATA) puede ser ocupado por cualquiera de los cuatro atletas restantes, existiendo 4 posibilidades • El tercer casillero (MEDALLA DE BRONCE) puede ser ocupado por cualquiera de los tres atletas restantes, existiendo 3 posibilidades.

EJEMPLO 2 (Tomar en cuenta las letras que se repiten) Mg. Teodoro Yupa M.

EJEMPLO 4

31

Razonamiento Lógico Matemático (Tomar en cuenta las letras que se repiten)

Nombramiento y Contrato Docente (solo para disposiciones circulares) pero con un elemento menos. Así:

¿De cuantas formas pueden sentarse 3 personas A, B y C alrededor de una mesa circular? Solución En un principio calculamos el número de permutaciones lineales de 3 elementos:

III. COMBINACIONES Se denominan combinaciones al número de grupos diferentes de “n” elementos que se pueden formar a partir de un grupo inicial de “m” elementos. Una nota característica de las combinaciones, y que les diferencia de las variaciones, es que el orden no importa.

Al realizar la disposición de estas personas en la mesa circular, tenemos: Primera disposición: (sentido horario)

Por ejemplo: si a partir de las 5 vocales formamos grupos de 3 vocales, el grupo “A – E – I” es igual que el grupo “A – I – E” por lo que tan sólo computan 1 vez.

Segunda disposición: (sentido antihorario)

EJEMPLO 1 De un grupo de 3 estudiantes A, B y C ¿de cuantas formas podemos elegir grupos de dos estudiantes? Solución Elegimos los grupos: (Inicialmente lo tratamos como permutaciones)

Notamos que las 3 formas de la primera disposición son la mismas, ya que cada persona tiene a la izquierda, a la derecha y al frente a la misma persona. Lo mismo sucede en la 2da disposición. Por lo que se debe contar un sólo arreglo de cada disposición.

• Pero: El grupo (AB) es lo mismo que el grupo (BA) ya que lo integran las mismas personas. • Análogamente sucede con (AC) y (CA) como con (BC) y (CB).

Esta forma equivale a aplicar de forma sencilla el principio de multiplicación Mg. Teodoro Yupa M.

32

Razonamiento Lógico Matemático Por lo tanto, solo debemos contar uno solo de cada repetición.

Nombramiento y Contrato Docente con dos espacios disponibles? ____________________________ ____________________________

La respuesta: Podemos formar(elegir) de 3 maneras grupos de 2 estudiantes.

4. Si tengo 2 corbatas y 1 camisa, ¿de cuantas formas puedo elegir vestir camisa y corbata? ____________________________ ____________________________

EJEMPLO 2 Si se organiza un concurso entre 4 equipos de tal manera que cada equipo compite con otro una sola vez, ¿cuántos encuentros se deben programar?

5. ¿Cuántas ensaladas de verduras puedo obtener teniendo una zanahoria, una coliflor y una beterraga? ____________________________ ____________________________

Solución

6. ¿Cuántas formas de viajar existen entre dos ciudades para los cuales hay 2 rutas en avión y 2 rutas terrestres?____________________ ____________________________ 7. ¿De cuántas formas se pueden elegir un Alcalde de un aula estudiantil con 3 candidatos disponibles?__________________ ____________________________

Rpta. Se deben jugar 3+2+1 = 6 encuentros SITUACIONES PREVIAS

PROBLEMAS PROPUESTOS

1. Tengo 2 lapiceros de tinta negra y una de tinta azul. Si necesito un lapicero, ¿de cuántas formas podré elegir un lapicero? ____________________________

1. Ana desea viajar de Tacna a Arequipa y tiene a su disposición 2 líneas aéreas y 3 líneas terrestres. ¿De cuántas maneras distintas puede realizar el viaje?

2. ¿Cuántas estrechadas de mano se darán 3 personas si todos ellos son corteses entre sí? ____________________________ ____________________________

2 Líneas

3 Rutas

3. ¿De cuántas formas se pueden sentar 2 personas en una banca Mg. Teodoro Yupa M.

33

Razonamiento Lógico Matemático A) 6 B) 8 C) 7 D) 5

Nombramiento y Contrato Docente deben ser mixtos y de dos integrantes? A) 12 B) 18 C) 14 D) 15

2. Un comité docente, formado por 5 aritméticos, 3 algebraicos y 4 geométricos, estudian nuevas metodologías educativas. Si el comité ha recibido la invitación de impartir una conferencia al respecto. ¿De cuántas maneras puede el comité enviar un representante a dicho evento?

6. Una ama de casa tiene 3 frutas: manzana, fresa y piña. ¿Cuántos sabores diferentes de jugo podrá preparar con estas frutas?

A) 60 B) 16 C) 12 D) 15

A) 3 B) 6 C) 7 D) 5

3. Un grupo escolar formado por 13 niñas y 11 niños desea elegir su presidente. ¿De cuántas maneras puede ser elegido? A) 12 B) 23 C) 30 D) 24

7. ¿De cuantas formas se pueden sentar 4 personas alrededor de una mesa circular? A) 4 B) 12 C) 10 D) 6

4. Elvis posee 3 camisas, 3 pantalones y 2 pares de zapatos, todas prendas diferentes. ¿De cuántas maneras distintas puede lucir una vestimenta constituida por camisa, pantalón y zapatos?

8. Al lanzar un dado y una moneda, ¿cuántos resultados distintos se pueden obtener?

A) 10 B) 18 C) 17 D) 15

A) 4 B) 6 C) 8 D) 12

5. Con tres varones y cuatro señoritas, ¿cuántos equipos de natación diferentes pueden formarse si estos Mg. Teodoro Yupa M.

9. Las personas que asistieron a una reunión se estrecharon la mano. La pregunta es la siguiente ¿cuantas 34

Razonamiento Lógico Matemático personas asistieron sabiendo que hubo 15 apretones de manos?

Nombramiento y Contrato Docente

VERDADES Y MENTIRAS El tema de mentiras y verdades es la parte importante de la lógica matemática que permite descifrar acertijos sobre veraces y mentirosos, es decir, identificar a los personajes hipotéticos que dicen siempre la verdad o siempre mienten, a partir de sus afirmaciones o de terceros. Para resolver este tipo de juegos lógicos utilizaremos un método general que es el «principio de suposición», pero existen otros dos alternativos que servirán solo para determinados problemas: el «principio de contradicción» y el «principio de equivalencia», veamos:

A) 7 B) 8 C) 6 D) 5 10. Una organización estudiantil tiene que elegir un delegado y un subdelegado. Hay 7 candidatos. ¿Cuántas combinaciones se pueden hacer con los candidatos para realizar la selección? a) 21 b) 49 c) 42 d) 50 11. ¿Cuántos saludos se pueden intercambiar entre sí 12 personas, si cada una sólo saluda una vez a cada una de las otras?

EL PRINCIPIO DE SUPOSICIÓN: consiste en asumir, a manera de hipótesis, una posible solución como correcta. Se conserva aquella que cumpla con las condiciones del problema y se descarta las demás.

A) 11 B) 12 C) 24 D) 66

PRINCIPIO DE CONTRADICCIÓN: Consiste en identificar entre las proposiciones dadas, dos que sean totalmente opuestas (contradictorias), entonces ellas tendrán diferentes valores de verdad (V – F ó F – V).

12. De una ciudad A a otra B hay 6 caminos diferentes ¿De cuántas maneras se puede hacer el viaje de ida y vuelta, si en el regreso no puede tomar el camino de ida?

PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA:

A

Consiste en reconocer entre las proposiciones dadas, dos que sean equivalentes, ósea dos que afirmen lo mismo, por lo tanto ellas tendrán el mismo valor de verdad (V – V ó F –F).

B

a) 12 b) 42 c) 25 d) 30 Mg. Teodoro Yupa M.

35

Razonamiento Lógico Matemático

Nombramiento y Contrato Docente Completamos el cuadro con los valores de verdad asumidos:

PROBLEMAS RESUELTOS EJEMPLO 1

Marco : “Fue Luis” Leonardo:”Luis miente” Ignacio:”yo no fui, soy inocente” Luis:” El delito lo cometió Leonardo”

Cuatro amigos son interrogados sobre un delito, obteniéndose la siguiente versión: Marco : “Fue Luis” Leonardo :”Luis miente” Ignacio :”yo no fui, soy inocente” Luis :” El delito lo cometió Leonardo”

F

NO

EJEMPLO 2 Pedro, Carlos, Alberto y Luís tienen 20, 5, 4 y 2 soles, no necesariamente en ese orden. Además cada uno dijo: • Pedro: “yo tengo más que Carlos” • Carlos: “yo tengo el doble que Luis” • Alberto: “yo tengo 2 soles” • Luís: “yo tengo 4 soles”

SOLUCIÓN: Primer método: • La contradicción fuerte se presenta entre Leonardo y Luis, luego la relación V-F o F-V se presentará únicamente entre. • Tanto Marco como Ignacio dicen falsedades(F). Analizando el caso particular de lo que dice Ignacio, notamos que él es el culpable del delito. Respuesta: Ignacio es el culpable.

Si solamente es falsa una de estas afirmaciones, ¿Quién miente y cuanto tiene Pedro? SOLUCIÓN: Carlos y Luis se contradicen ya que las dos personas hacen referencia a una misma cantidad de dinero(S/.4); luego uno de ellos miente y el otro dice la verdad.

Segundo método:

Además según el problema, uno sólo miente y éste es o Carlos o Luis; luego Pedro y Alberto dicen la verdad,

Usamos una tabla, asignamos valores de verdad (Leonardo = V, Luis = F)

Mg. Teodoro Yupa M.

Culpable NO NO SI

Respuesta: Ignacio es el culpable.

Si solo uno de ellos dice la verdad, ¿Quién cometió el delito? A) Marco B) Leonardo C) Ignacio D) Luis

Marco : “Fue Luis” Leonardo:”Luis miente” Ignacio:”yo no fui, soy inocente” Luis:” El delito lo cometió Leonardo”

VoF F V F

VoF F V F F

36

Razonamiento Lógico Matemático Completamos el cuadro analizando los valores de verdad de cada personaje.

Nombramiento y Contrato Docente • Dado que Pepe miente, entonces José no debe mentir. Pero esto es falso ya que José miente. Segunda Posibilidad:

Luego quién miente es Carlos y Pedro tiene S/.20.

• Como Lito miente, entonces Pepe no debe mentir. Y esto es cierto en la segunda línea.

IMPORTANTE: Nuestra suposición para Carlos y Luis(F-V) es válida pues “cuadran” los datos; si no fuera así intercambiaríamos el valor de verdad a (V-F).

• Dado que Pepe dice la verdad, entonces José debe mentir, lo cual es correcto en la tercera línea.

EJEMPLO 3

Por lo tanto, al “cuadrar los datos”, LITO y JOSÉ mienten.

Se tiene la siguiente conversación:

EJEMPLO 4

- Lito dice: Pepe miente - Pepe dice: José miente - José dice: Lito y Pepe mienten Según estas afirmaciones, ¿se puede decir quiénes mienten?

Ernesto dice la verdad los días lunes, miércoles y viernes, pero miente los demás días de la semana. Un día Ernesto dijo:

SOLUCIÓN:

“Mañana yo diré la verdad”

No se observa contradicciones entre las proposiciones, entonces evaluaremos haciendo uso el principio de suposición.

¿Qué día era cuando dijo esto? SOLUCIÓN:

Iniciamos asumiendo valores de verdad.

Frase: “Mañana yo diré la verdad” El problema queda reducido al siguiente cuadro:

Primera Posibilidad:

• No puede ser el día lunes ya que al decir la verdad los lunes, el día martes no dice la verdad, sino miente.

• Como Lito dice la verdad, es cierto que Pepe miente.

• Tampoco puede ser el martes. Los martes miente y si miente la frase Mg. Teodoro Yupa M.

37

Razonamiento Lógico Matemático sería falsa. Pero los miércoles dice la verdad.

Nombramiento y Contrato Docente SITUACIONES PREVIAS

• Siguiendo el mismo mecanismo llegamos al día sábado; donde se cumple la frase.

1) Carlos dice: “yo tengo 14 años”, María dice “Carlos no tiene 14 años” Berta dice “Carlos y María dicen la verdad”. ¿Quiénes se contradicen fuertemente? ____________________________

EJEMPLO 5 Tres alumnos dan un examen de tres preguntas en el que se respondía verdadero (V) o falso (F), se sabe que uno de ellos acertó todas las preguntas, y nadie todas las respuestas erradas. Para mayor información un cuadro.

2) Juan al conversar con Pablo le dice: “Hoy no mentiré”, pero Pablo dice “tú siempre mientes”; a su vez Interviene Raúl y dice “Ambos mienten”. ¿Quiénes se contradicen fuertemente? ___________________________ 3) Si José dice: “Yo estudio muchas horas durante el día”. Pero José miente al decir esto. Luego José: ____________________________ 4) Beto siempre miente los días martes y el resto de días dice la verdad. Un día dijo “mañana mentiré”. ¿Qué día fue en el que dijo tal frase?_______________________

¿Cuál o cuáles de las afirmaciones son ciertas? I.Pedro tuvo más aciertos que Juan. II.Carlos tuvo un error. III.Juan tuvo menos errores que Carlos. SOLUCIÓN:

5) Si la siguiente frase es falsa, “No aprobaré el examen”, Escriba un enunciado equivalente:

Analizando el cuadro, identificamos a Pedro como el que acertó todas las preguntas y el resto por lo menos acertó en uno.

____________________________

• Juan tuvo un acierto y dos erradas.

6) Rosa, Marleni y Cintia van al cine y tienen la siguiente conversación: - Rosa: “Yo soy mayor de edad”. - Marleni: “Rosa miente”. - Cintia: “Marleni es menor de edad”. ¿Quiénes se contradicen de manera fuerte? ____________________________

• Carlos tuvo dos acierto y una errada. Analizando: I.Verdadero II.Verdadero III.Falso Mg. Teodoro Yupa M.

38

Razonamiento Lógico Matemático

Nombramiento y Contrato Docente B) Enrique C) Federico D) Doris

7) Cuatro personas (Alberto, Boris, Carlos y Daniel) reciben cierto dinero para iniciar un negocio (tres, cinco, siete y nueve mil soles, no precisamente distribuido en ese orden). Del grupo, sólo uno de ellos miente. Se necesita saber exactamente cuánto recibió cada uno, si éstos manifiestan: - Alberto: «Carlos» recibió nueve mil soles. - Boris: Yo recibí siete mil soles. - Carlos: «Alberto» recibió 5 mil soles. - Daniel: «Carlos» recibió siete mil soles.

2. Jesús donó un juguete diferente a 4 niñas de un albergue, una bicicleta, una muñeca, una patineta y una pelota. Cada una dijo lo siguiente: Ana : “Yo recibí una pelota”. Lucía : “Yo recibí una muñeca”. Laura : “Ana recibió una bicicleta”. Ivana : “Yo recibí una bicicleta”. Si sólo una de ellas miente. ¿Qué juguete recibió Laura?

¿Quiénes se contradicen de manera fuerte?

A) Pelota B) Patineta C) Bicicleta D) Muñeca

___________________________ PROBLEMAS PROPUESTOS

3. En la casa del profesor Alberto hay tres cofres con tres carteles (uno de plata, otro de bronce y otro de madera) y saben que en uno de ellos está el ansiado tesoro. Si en la tapa de cada cofre hay un mensaje:

1. Una madre preguntó a sus hijos “¿quién se ha comido los chocolates que compré?” (NOMBRAMIENTO 2017) • Isabel: “Enrique se comió los chocolates” • Enrique: “Federico se comió los chocolates” • Federico: “Enrique miente al decir que yo me comí los chocolates” • Doris: “Yo no podría haber comido los chocolates”. De los cuatro hijos uno solo dice la verdad, entonces ¿quién se comió los chocolates?

¿En cuáles de los cofres no está el tesoro, si uno de los tres mensajes es correcto? A) plata y bronce B) solo bronce C) bronce y madera

A) Isabel Mg. Teodoro Yupa M.

39

Razonamiento Lógico Matemático D) plata y madera

Nombramiento y Contrato Docente B) María y Carla C) Ana y María D) María y Janina

4. Cuatro alumnos son acusados de haberse comido la manzana del profesor al ser entrevistados por el director afirman: - Marco: Juan se la comió. - Juan: Sonia se la comió - Liliana: Yo no fui. - Sonia: Juan miente

6. Magaly, amiga de Alejandro, siempre miente los días martes, jueves y sábados; los demás días dice la verdad. Se dá el siguiente diálogo: • Magaly :¿Alejandro vamos al cine? • Alejandro :No • Magali :¿Por qué no si hoy es sábado? • Alejandro : No, tal vez mañana • Magali :Mañana no puedo, porque será miércoles y tengo que estudiar.

Se sabe que tres de ellos mienten y el otro dice la verdad. Determine quién se comió la manzana y quien dice la verdad. A) Marco; Sonia B) Liliana; Sonia C) Juan; Liliana D) Sonia; Juan

¿En que día de la semana se produjo dicho diálogo? A) lunes B) martes C) jueves D) viernes

5. En un concurso de matemática se presentaron cuatro alumnas, las cuales respondieron con verdadero (V) o falso (F) a las preguntas de un examen de cuatro problemas, obteniéndose las siguientes respuestas:

7. Doris, Ross y Pina sostienen la siguiente conversación. • Ross: No he encontrado aún mi cantante preferido. • Doris : Yo tampoco he encontrado a mi cantante preferido. • Pina : Doris miente. • Ross : Pina dice la verdad.

Si se sabe que una contestó todas las preguntas correctamente, otra falló sólo en una, otra falló en dos y una se equivocó en todas, ¿quién ganó el concurso

Si Ross es la única que en realidad ha encontrado a su cantante preferido ¿quién o quiénes mienten?

y quién quedó en tercer lugar, respectivamente?

A) solo Ross B) solo Pina C) Ross y Pina

A) Ana y Carla Mg. Teodoro Yupa M.

40

Razonamiento Lógico Matemático D) Doris y Ross

Nombramiento y Contrato Docente

FRACCIONES

8. Al consultarle al profesor Petter sobre por su día de cumpleaños el responde con los siguientes enunciados:

FRACCIÓN Es aquel número racional que no es entero. (División indicada de 2 enteros no nulos a y b en la que a no es múltiplo de b).

• Mi cumple es el martes. • Mi cumple no es el miércoles. • Mi cumple es el jueves • Mi cumple no es el martes. • Mi cumple es el viernes. Si solo uno de las afirmaciones anteriores es cierta, ¿Qué día es el cumpleaños de Petter?

Interpretación gráfica de una fracción a) El lunes b) El martes c) El miércoles d) El viernes

F=

9. Tres amigas sostienen la siguiente conversación:

4 7



1 1 1 1 1 1 1 7 7 7 7 7 7 7

7 partes

A: Yo aprobé Química B: Yo también C: A miente Si se sabe que solo una aprobó Química y que solo una miente, ¿quién miente y quién aprobó respectivamente?

RELACION PARTE – TODO Es una comparación de una cantidad respecto a un todo.

A) B-A B) A-C C) C-B D) A-B

Mg. Teodoro Yupa M.

4 partes

a)

41

Razonamiento Lógico Matemático

Nombramiento y Contrato Docente

FRACCIONES EQUIVALENTES

OBSERVACION: Cuando a la unidad se le quita o aumenta una fracción, se puede analizar de la siguiente manera.

Fracción de Fracción: "El total se divide en tres partes iguales"

A una de las partes iguales se divide en 2 partes iguales

* *

Cada una de las partes (* ) representa: 1 2

de

1 3

Mg. Teodoro Yupa M.

es

1 6

42

Razonamiento Lógico Matemático

Nombramiento y Contrato Docente Se suman y / o restan los numeradores y se coloca el mismo denominador.

COMPRARACIÓN DE FRACCIONES:

Así :

• Si las fracciones son homogéneas basta comparar los denominadores.

5 7

6 7 19 19 , ,  el mayor es : 8 8 8 8

1 7

=

6 7

3 2 1 − = 4 4 4

b) Fracciones Heterogéneas:

• Si las fracciones que tienen igual numerador, es mayor el que tiene menor denominador.

Se saca el m.c.m de los denominadores éste se divide por cada denominador y se multiplica por cada numerador, finalmente se suman o restan los numeradores y se coloca el mismo denominador.

5 5 5 5 , ,  el mayor es : 6 9 16 6 • Para cualquier fracción, se cumple:

a.d

+

Así :

2 4 7 30 + 36 − 35 31 + − = = 3 5 9 45 45

b.c

Multiplicación Ejemplo:

REGLA :

¿Qué fracción es mayor?

Para multiplicar fracciones, los numeradores y denominadores entre sí; luego se simplifica el resultado.

Solución: División REGLA: Para dividir dos fracciones, se multiplica la primera por la inversa de la segunda

Como 10 < 12, Luego 4/5 es mayor que 2/3. OPERACIONES BÁSICAS CON FRACCIONES Suma y diferencia de fracciones a) Fracciones Homogéneas:

Mg. Teodoro Yupa M.

¿Cómo resolvemos un problema de fracciones? 43

Razonamiento Lógico Matemático En primer lugar, antes de comenzar a practicar este tipo de problemas debemos tener en cuenta una serie de consejos que nos serán útiles.

Nombramiento y Contrato Docente

El sueldo de José es: 400 x 9 = S/. 3600

Para resolver un problema debemos: • Realizaremos un dibujo de barras o una tabla, identificando la unidad.

EJEMPLO 2 De los vecinos de la casa de Rosa, 2/7 son rubios y la cuarta parte de estos tienen los ojos azules. Sabiendo que hay 6 vecinos con los ojos azules. ¿Cuántos vecinos hay en la casa de Rosa?

• Identificamos en cada representación gráfica cada fracción de la unidad.

SOLUCIÓN • Representamos los 2/7 que son rubios:

• Dibujamos, sombreando, la fracción de la unidad con relación a los datos. • El siguiente paso es resolver las operaciones oportunas. • Por último y muy importante, debemos interpretar la solución.

• Dividimos la fracción de los rubios en 4 partes y señalamos 1/4 de los ojos azules:

PROBLEMAS RESUELTOS EJEMPLO 1 Los 7/9 del sueldo de José son s/. 2800 ¿Cuál es el sueldo de José? SOLUCION:

Para determinar el total de vecinos completamos los valores:

• Representamos los 7/9, que es el sueldo de José.

Luego el número total de vecinos de Rosa es 7 x 12 = 84. • Completamos casilleros:

Mg. Teodoro Yupa M.

44

Razonamiento Lógico Matemático

Nombramiento y Contrato Docente

EJEMPLO 3 Un recipiente está lleno de agua hasta los 4/5 de su capacidad. Se saca la mitad del agua que contiene. Si la capacidad del recipiente es de 80 litros, ¿cuántos litros quedan en el recipiente?

• Gasta 1/2 del restante en librería:

SOLUCIÓN:

• Queda S/12.

• Representamos los 4/5 de agua:

Luego salió de su casa con12x7 = 84 soles. • Extraemos la mitad y queda..

EJEMPLO 5 Una fuerte lluvia daña parte de la cosecha de este verano. En la finca de Juan 7 de cada 12 tomates están dañados y en la de Pedro 4 de cada 9. ¿En qué huerta se han dañado más tomates?

• Distribuimos los 80 litros:

SOLUCIÓN: Luego en el recipiente quedan 16x3 = 48 litros. EJEMPLO 4 Una persona sale de compras. Gasta los 3/7 de su dinero en el supermercado; después ½ de lo que le queda en una tienda de regalos y, finalmente, 1/2 de lo restante en una librería. Si le quedan 12 soles. ¿Cuánto dinero tenía la salir de la casa? SOLUCIÓN: • Gasta 3/7 en el mercado: • Gasta 1/2 de lo que le queda en negocios: Mg. Teodoro Yupa M.

45

Razonamiento Lógico Matemático

Nombramiento y Contrato Docente

Completamos el rectángulo:

La huerta de Juan se afectó más. EJEMPLO 6 Si las horas transcurridas del día de hoy es igual a los 3/5 de lo que falta por transcurrir, ¿Qué hora será en este momento?

3 3 3

SOLUCIÓN: El día de 24 horas será así:

La hora en este momento es 9 am (horas transcurridas).

24 h

Trascurridas

3 3 3 3 3

EJEMPLO 7 De un barril de vino que se encontraba lleno, se saca la mitad; luego se saca la mitad de lo que quedaba y luego un cuarto del resto. Si aún quedan 6 litros; ¿Cuántos litros había inicialmente?

No transcurridas

Los 3/5 de lo que falta por transcurrir:

SOLUCIÓN: Realizando las particiones sucesivas para las fracciones comprometidas resulta:

2

Lo transcurrido es igual a los 3/5 de lo que falta transcurrir: Mg. Teodoro Yupa M.

De donde se observa que inicialmente habían 16 + 8 +(2+2+2+2) = 32 litros. 46

Razonamiento Lógico Matemático

Nombramiento y Contrato Docente la capacidad del recipiente. ¿Cuánta agua falta añadir para llenar completamente el deposito? ___________________________

SITUACIONES PREVIAS 1) Usando la barra mostrada, Representa: La mitad de 1/3.

9) Se quiere distribuir 8 litros de un líquido en envases pequeños de 1/8 de litro de capacidad. ¿cuantos envases serán necesarios? ___________________________

2) Representa: “Los 2/3 de un aula son hombres y la mitad de estos son honestos”.

10) Un alumno gasta 1/3 del dinero que tiene, luego gasta la mitad más, ¿Qué fracción de dinero le queda? ___________________________

3) Representa: Matías tiene 4 álbumes, tres sobre fútbol y uno sobre autos. ¿Qué fracción de álbumes de fútbol tiene?

PROBLEMAS PROPUESTOS 1. Se tienen dos jarras iguales con agua. Una tiene ½ de litro y la otra 1/3 de litro. ¿Qué cantidad de agua se tendrá en total?

4) Si me como las tres cuartas partes de una manzana, ¿qué parte queda? ________________________ 5) Si a la cantidad de dinero que tengo le añado su mitad, ¿Cuánto tendré ahora? (en fracción) ___________________________ 6) Si gasto la mitad de mi dinero en comprar lapiceros; luego la mitad de lo restante, ¿Qué fracción de dinero me queda? ___________________________

2. Marisol sirvió tres cuartas partes de agua en un vaso. ¿Cuál de los siguientes dibujos representa la cantidad de agua que Marisol sirvió?

7) Dos hermanos reciben propinas de su padre, el mayor recibe los 2/3 y el menor recibe 1/2 del dinero que dispone el padre. ¿Quién recibe más dinero? ___________________________ 8) Un deposito tiene 20 litros de agua, lo que representa los 1/3 de Mg. Teodoro Yupa M.

47

Razonamiento Lógico Matemático 3. De los S/.20 que tengo, pierdo en un juego los 2/5 de lo que tengo ¿cuánto tengo ahora? A) S/.12 B) S/.11 C) S/.10 D) S/.8

Nombramiento y Contrato Docente B) 36 C) 9 D) 15 8. Una persona inicialmente toma 16 metros de una varilla larga. Luego toma los 2/3 del resto de esta varilla y observa que las partes que toma tienen la misma longitud. Hallar entonces la longitud total de la varilla.

4. Del siguiente hexágono regular ¿Qué parte representa la región sombreada?

A) 32 B) 40 C) 45 D) 39

9. Un padre entrega a sus hijos una bolsa con cierta cantidad de canicas. El mayor coge la tercera parte; luego, el segundo coge la tercera parte de lo que quedaba y, finalmente, el menor coge la tercera parte de lo que quedaba hasta ese momento y se da cuenta de que aún quedan en la bolsa 16 canicas. ¿Cuántas canicas había en la bolsa?

5. ¿Qué fracción de 18 es 12? A)2/3 B)1/3 C)3/4 D)3/2

A) 27 B) 54 C) 51 D) 81

6. Juan tenía s/.25 y gastó s/.15. ¿Qué fracción de su dinero ha gastado? A) 3/4 B) 2/5

10. Un diseñador de cerámicas presenta la propuesta mostrada en la figura.

C) 3/5 D) 3/8 7. Los 2/3 de los miembros de un club son mujeres, 1/4 de los hombres están casados. Si hay 9 hombres solteros, ¿cuántas mujeres hay en total? A) 24 Mg. Teodoro Yupa M.

48

Razonamiento Lógico Matemático

Nombramiento y Contrato Docente B) 3 ½ kg

La fracción que representa el área sombreada respecto al área total en la figura es:

C) 3/4 kg D) 1/2 kg 13. En la figura (triángulo equilátero) ¿Qué fracción de lo sombreado es lo no sombreado?

A) 12/48 B) 12/36 C) 6/32 D) 6/16 11. Elena compró 4 1/2 kilogramos de arroz y los colocó en bolsas de 1/4 kg. ¿Cuántas bolsas obtuvo con esa cantidad de arroz? A) B) C) D)

4 bolsas. 18 bolsas 4 1/4 bolsas. 16 1/2 bolsas

12. Doña Camila tiene un negocio de venta de picarones. Ella los prepara con la siguiente receta: 14. Un triángulo equilátero se dividió en triángulos iguales como muestra la figura I. Luego, uno de estos triángulos volvió a dividirse en triángulos iguales como muestra la figura II. ¿Qué parte del triángulo grande representa la parte sombreada? A) 1/16

Cierto día vio que tenía 3 1/4 kg de zapallo. ¿Cuántos kg de harina de trigo necesita para la preparación de picarones con esa cantidad de zapallo?

B) 3/16 C) 3/7 D) 3/4

A) 6 ½ kg Mg. Teodoro Yupa M.

49

Razonamiento Lógico Matemático

Nombramiento y Contrato Docente

PORCENTAJES 15. Silvana comenta con Johanna después del examen de

• La expresión “Por ciento” viene de la frase latina “Percentum”, y de ella deriva la palabra porcentaje.

3 nombramiento, resolví de lo que 4 no resolví. ¿Qué fracción del examen no resolvió Silvana? a)

2 5

b)

1 4

c)

1 3

d)

• Se denomina porcentaje o tanto por ciento, al número de unidades que se toma de cada 100.

4 7

• Si decimos “el 70 por ciento de las respuestas de una prueba son concretas”. Queremos significar que de 100 preguntas, 70 son correctas. Se podrá usar 70/100 en vez de la frase “70 por ciento”.

16. Dos tercios de los profesores de un colegio son mujeres, 12 de los profesores varones son solteros, mientras que los 3/5 de los mismos son casados. ¿Cuál es el número de docentes?

• La frase “por ciento” se usa cuando una razón está expresada con un denominador 100.

a) 80 b) 90 c) 60 d) 70

70 por ciento =

70 1 = 70 x 100 100

• En vez de la expresión “por ciento” se usa el símbolo %. Este símbolo es una abreviatura de 1/100. 70 1 =70x = 70% 100 100

25 1 =25x = 25% 100 100

Nota: Todo número puede ser expresado como un porcentaje, multiplicado dicho número x 100% Ejemplos • 1 = 1x 100 % = 100% • 2 = 2x 100 % = 200% • 4 = 4x 100 % = 400%

Mg. Teodoro Yupa M.

50

Razonamiento Lógico Matemático

Nombramiento y Contrato Docente

SOLUCION 2:(Por método de barras)

Nota: Se puede sumar o restar porcentajes de una misma cantidad. Una cantidad más su 30% = 130% de la cantidad Mi edad aumentada en su 23% = 123% de mi edad

Las chicas representan el 40%. EJEMPLO 2

APLICACIONES COMERCIALES

En mi clase hay 12 mujeres y representan el 40% del total. ¿Cuántos somos en total?

Precio de Venta = Precio de costo + Ganancia

SOLUCION 1:(Por regla de tres) PV = PC + G Precio de Venta = Precio de costo Pérdida PV = PC P

En total hay 30 estudiantes en la clase.

Precio de Venta = Precio de Lista Descuento

SOLUCION 2:(Por método de barras)

PV = PL - D

PROBLEMAS RESUELTOS EJEMPLO 1 En mi clase, de 30 que somos en total, 12 son mujeres. ¿Qué porcentaje representan las chicas? En total seremos: 12 + 12 + 6 = 30

SOLUCION 1: (Por regla de tres) Mg. Teodoro Yupa M.

51

Razonamiento Lógico Matemático

Nombramiento y Contrato Docente • Representamos el 120%:

EJEMPLO 3 ¿El 25% de qué número representa el valor de 60? SOLUCION 1: (Por regla de tres)

• La edad actual representa el 100%:

SOLUCION 2: (Por método de barras) La edad actual es 8 x 5= 40 años.

Según el problema, el 25% representa a 60:

EJEMPLO 5 Si vendiera mi libro de razonamiento matemático en un 30% menos costaría 14 soles ¿Cuál es el precio real del libro?

Luego el total o el número es 4 x 60 = 240

SOLUCIÓN 1: (Por regla de tres)

EJEMPLO 4 Si tuviera 20% más de la edad que tengo tendría 48 años. ¿Qué edad tengo en la actualidad? SOLUCIÓN 1: (Por regla de tres) Si tuviera 20% más de la edad, mi edad será el 120%.

SOLUCION 2: (Por método de barras) El costo real representa el 100%. Si vendiera a 30% menos, lo estoy vendiendo al 70%. • Representamos el 70%:

SOLUCIÓN 2: (Por método de barras) Mi edad actual representa el 100%. Si tuviera 20% más, tendría el 120%. Mg. Teodoro Yupa M.

• El costo real representa el 100%: 52

Razonamiento Lógico Matemático El precio real del libro es 2x10 = S/.20.

Nombramiento y Contrato Docente

EJEMPLO 6 Una persona vendió un artículo en S/ 480 ganando el 20% del costo, y cuál fue su precio de costo?

EJEMPLO 7

SOLUCIÓN 1: (Por regla de tres)

En una fábrica trabajan 250 personas donde el 80% son hombres ¿Cuántas mujeres deben contratarse para que el 60% del personal sean ahora mujeres? SOLUCIÓN: • Representamos el 80% de hombres:

SOLUCIÓN 2: (Por método de barras) El costo real representa el 100%. Si gana el 20% el precio de venta será del 120%.

• Representamos el nuevo porcentaje de mujeres:60%

• Representamos el 20% de ganancia sobre el costo:

Deben contratarse 150 mujeres. • Distribuimos los S/.480:

EJEMPLO 8 Dos vacas fueron vendidas en S/ 6 000 cada una. Si en la primera se ganó el 25% y en la segunda se perdió el 25%, determinar si hubo ganancia o pérdida y cuánto.

El costo fue de 80x5 = S/.400

SOLUCIÓN • Representamos la venta, ganando el 25%:

Mg. Teodoro Yupa M.

53

Razonamiento Lógico Matemático

Nombramiento y Contrato Docente ___________________________ 7) Una persona incrementa su capital en 10%. ¿Qué porcentaje de dinero tiene ahora? ___________________________

• Representamos la venta, perdiendo el 25%

8) En una clase de 30 alumnos y alumnas, hoy han faltado 6. ¿Cuál ha sido el porcentaje de ausencias? ___________________________ Hubo una pérdida de 2000 -1200= S/. 800.

9) El 75% de una cantidad representada en fracción es: ___________________________

SITUACIONES PREVIAS NES PREVIAS 1) El 20% de 40 es:_____________

10) El 25% del 50% de 160 es... ___________________________

2) ¿Qué porcentaje es 40 de 80? ___________________________

PROBLEMAS PROPUESTOS 1. Jorge tiene un USB donde el 60% están guardados información personal del cual 30% son fotos. ¿Qué porcentaje del total representa lo almacenado por fotos? (NOMBRAMIENTO 2017)

3) Si tengo S/.40 y me gasto la mitad. ¿Qué porcentaje representa lo que me queda? ___________________________ 4) De los 800 alumnos de un colegio, han ido de viaje 600. ¿Qué porcentaje de alumnos ha ido de viaje? ________________________

A) 18% B) 20% C) 25% D) 30%

5) Al comprar un celular que cuesta S/. 800 me descuentan el 20%, ¿Cuánto tengo que pagar? ________________________

2. Tres cuadros se vendieron a S/. 486 cada uno. En uno de ellos se ganó un 20% y en cada uno de los otros dos se perdió un 10%. ¿Cuál fue el resultado final de este negocio?

6) Una persona pierde el 30% de su dinero, ¿Qué porcentaje de dinero le queda? Mg. Teodoro Yupa M.

A) Se ganó 27 soles B) Se perdió 10 soles C) Se perdió 27 soles 54

Razonamiento Lógico Matemático D) No se ganó ni se perdió

Nombramiento y Contrato Docente

3. Un agricultor en el Sur del Perú llegó a cosechar 12 000 Kg de papa, luego de que una tormenta de granizo le estropeara el 40% de su cosecha. ¿Cuántos kilogramos esperaba recoger si no hubiera ocurrido la tormenta?

a) 50% b) 100% c) 40% d) 30% 7. En una reunión el 40% del total de personas son mayores de edad. Si se retiran la mitad de éstos. ¿Qué tanto por ciento representan los menores de edad del nuevo total?

A) 20 000 B) 18 000 C) 15 000 D) 10 000 4. En la UNMSM el 30% de los alumnos son mujeres, si el 20% de mujeres y el 30% de los hombres salen de paseo ¿Qué porcentaje de los alumnos de la UNMSM fue al paseo?

a) 70% b) 75% c) 80% d) 85%

a) 25% 8. Una señora va al mercado, donde al comprar un cierto número de naranjas le regalan un 5% de las que compró, obteniendo así 420 naranjas. ¿Cuántas naranjas compró?

b) 27% c) 29% d) 31% 5. En el Colegio hay 5 hinchas de Boca. Si en total hay 20 chicos y de ellos, 18 son hinchas de algún club, ¿Qué porcentaje de chicos de ese curso son hinchas de Boca?

a) 200 b) 300 c) 400 d) 360

A) 20% B) 18%

9. Si al vender uno de mis libros en 28 Soles gano 8 soles ¿Cuál es el tanto por ciento de las ganancias?

C) 30% D) 25 % 6. ¿Qué porcentaje de la región sombreada es la región no sombreada? Mg. Teodoro Yupa M.

A) 20% B) 30% C) 40% 55

Razonamiento Lógico Matemático D) 50%

Nombramiento y Contrato Docente c) S/. 10,35 d) S/. 11,50

10. Una casa comercial vende un televisor en 120 dólares perdiendo en la venta 5 dólares. ¿Qué tanto por ciento perdió?

13. En un pueblo hubo una epidemia afectando al 20% de la población de las cuales murieron el 60% quedando de los afectados 40 personas. ¿Cuántas personas había en el pueblo? A) 500 B) 1000 C) 502 D) 559 14. En el mercadillo 28 de Julio, un vendedor aumentó el precio de uno de sus artículos en el 30% de su precio de costo. Pero al momento de la venta tuvo que hacer un descuento del 20% para convencer al comprador. ¿Qué pasó en esta venta?

A) 2% B) 3% C) 4% D) 5% 11. En la academia el 40% son mujeres, el 30% de mujeres y el 70% de hombres van de paseo, luego el porcentaje de alumnos que no va al paseo-es a) 46% b) 54% c) 42% d) 58 %

A) El vendedor ganó el 10% B) El vendedor perdió el 10% C) El vendedor ganó el 4% D) El vendedor perdió el 4%

12. En el puesto de “DOÑA ELVIRA” se vende el pollo entero y por presas según esta lista: Pierna………………..S/. 8,00 el kg. Pechuga……………..S/. 9,50 el kg Alas……….…..……..S/. 5,50 el kg. Menudencia…………S/. 4,00 el kg.

Con motivos de fiestas Patrias, doña Elvira, por compras que superen los S/. 10,00 hace un descuento del 10% sobre el monto total. Un cliente compró 1 kg de alas y 3/4 kg de pierna. ¿Cuánto pagará por esta compra? a) S/. 5,50 b) S/. 6,50 Mg. Teodoro Yupa M.

56

Razonamiento Lógico Matemático

Nombramiento y Contrato Docente caso contrario “no pertenece” ( ∉ ) a dicho conjunto. La relación de pertenencia se da entre un elemento y un conjunto sabiendo que un elemento puede tener forma de conjunto.

TEORIA DE CONJUNTOS NOCIÓN DE CONJUNTO Un conjunto es la reunión, colección o agrupación de objetos que tienen características similares, a estos objetos se les denomina ELEMENTOS de un conjunto. Para simbolizar conjuntos se emplean las letras mayúsculas A, B, C,… y sus elementos separados por coma o punto y coma, y encerrados entre llaves, por ejemplo:

Ejemplo: Dado el conjunto A A =  2;3;5;6 

Así diremos que: 2A 3A  5;6   A

A={T,A,C,N, A}

RELACION ENTRE CONJUNTOS

B={2;6;8;9;10}

A) INCLUSION: Se dice que A esta incluido en el conjunto B ( ⊂ ) , si todos los elementos de A pertenecen a B. Esta denotado por ( ⊂ ).

C={Los departamentos del Perú} DETERMINACION DE CONJUNTOS • Por extensión: Un conjunto esta por extensión cuando se observa todo y cada uno de sus elementos de un conjunto, enumerándolos o indicándolos en forma sobre entendida: Ej.:

4A 5A 6A

Se lee: A esta incluido en B A esta contenido en B A es subconjunto de B

A={1,2,3,4} B={1,4,9,16,25,36}

• Por comprensión: Un conjunto está determinado por comprensión cuando sus elementos se caracterizan mediante una propiedad común.

B) Conjuntos iguales: Dos conjuntos son iguales (=) si tienen los mismos elementos sin importar el orden. Se denota A= B  A BB  A

Ej.: de los ejemplos anteriores

A =  x / x  N  x  4

C) Conjuntos comparables: Dos conjuntos son comparables solo cuando uno de ellos está incluido en el otro, es decir: A B B  A. D) Conjuntos disjuntos: Dos conjuntos son disjuntos son

B =  x / x  N  x  5 RELACION DE PERTENENCIA: Un elemento pertenece a un conjunto si forma parte de ella. Además se dice que pertenece ( ∈ ) a dicho conjunto, en Mg. Teodoro Yupa M.

57

Razonamiento Lógico Matemático disjuntos cuando no tienen ningún elemento en común.

Nombramiento y Contrato Docente

B

A

CLASES DE CONJUNTOS: A) Conjunto Unitario: También llamado singleton, es aquel que tiene un solo elemento.

U B)Intersección ( A  B ): La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a los dos conjuntos a la vez. (Elementos comunes a ambos).

B) Conjunto Nulo o vacío: Conjunto que no tiene elementos. Este conjunto tiene la particularidad de ser subconjunto de todo conjunto C) Conjunto finito: Es aquel cuya cantidad de elementos es limitada; es decir se puede contar desde el primer hasta el último.

A

D) Conjunto Infinito: Cuyo número de elementos es ilimitado.

U

E) Conjunto Universal (U): Es aquel conjunto que contiene todos los demás conjuntos, simbolizado por la letra U. No existe un conjunto universal absoluto.

C) Diferencia (A-B): La diferencia de dos conjuntos A y B (en ese orden) es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a A pero no a B.

REPRESENTACIÓN GRAFICA DE CONJUNTOS Los conjuntos se pueden graficar por medio de: Diagrama de Venn-Euler, Diagrama de lewis-Carroll, Diagrama Sagital

A

B

U

OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS A)Unión ( A  B ): La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por la agrupación de todos los elementos de A con todos los elementos de B.

Mg. Teodoro Yupa M.

B

D) Diferencia Simétrica: ( AB ): La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a A o B pero no a ambos.

58

Razonamiento Lógico Matemático

A

Nombramiento y Contrato Docente Luego la respuesta es la alternativa D.

B

EJEMPLO 2 ¿Qué representa la parte sombreada?

U

A B

E)Complemento de un conjunto (A’), ( AC ): Conjunto cuyos elementos pertenecen al universo pero no al conjunto A.

A

A) A  B B) A  B C) (A  B) – (A  B) D) (A  B) – (A  B)

U

SOLUCION:

(La parte sombreada)

Se observa que la parte sombreada corresponde a la diferencia de la unión menos la intersección de los conjuntos A y B.

PROBLEMAS RESUELTOS EJEMPLO 1 La parte sombreada del diagrama representa a :

Luego la respuesta es la opción C. EJEMPLO 3 De un grupo de 65 alumnos:

K

• 30 prefieren lenguaje • 40 prefieren matemática L A) B) C) D)

• 5 prefieren otros cursos

M

¿Cuántos prefieren Matemática y Lenguaje?

M – (K  L) M  (K – L) M  (L – K) M – (K  L)

SOLUCIÓN Según la lectura del problemas básicamente intervienen 2 conjuntos; los que estudian lenguaje(L) y los que prefieren matemática (M).

SOLUCION: Obsérvese que la parte sombreada corresponde a la diferencia del conjunto M con la unión de los conjuntos K y L en ese orden. Mg. Teodoro Yupa M.

Ubicamos las cantidades en el diagrama iniciando con los casilleros comunes(intersección de tres o dos 59

Razonamiento Lógico Matemático conjuntos) para luego completar con los conjuntos particulares.

Nombramiento y Contrato Docente

Tenemos el diagrama:

• ¿Cuántas amas de casa no ven ninguno de estos canales? 2. • ¿Cuántas amas de casa ven solamente el canal A? 18. • ¿Cuántas amas de casa ven solamente el canas B? 4. • ¿Cuántas amas de casa ven solamente el canas C? 26. • ¿Cuántas amas de casa ven solamente uno de estos canales? 48. • ¿Cuántas amas de casa ven el canal A pero no el canal B? 32. • ¿Cuántas amas de casa ven el canal B pero no el canal C? 30. • ¿Cuántas amas de casa ven solamente dos canales? 78. • ¿Cuántas amas de casa ven por lo menos dos canales? 130. • ¿Cuántas amas de casa ven el canal A o el canal B pero no el canal C? 48.

Prefieren Matemática y Lenguaje: 5

EJEMPLO 4 Se encuestaron a 180 amas de casa sobre sus preferencias por los canales de televisión A, B, C obteniendo los siguientes resultados 110 ven el canal A 120 ven el canal B 130 ven el canal C 66 ven los canales A y C 78 ven los canales A y B 90 ven los canales B y C 52 ven los tres canales Responde a las siguientes preguntas: • ¿Cuántas amas de casa no ven ninguno de estos canales? • ¿Cuántas amas de casa ven solamente el canal A? • ¿Cuántas amas de casa ven solamente el canas B? • ¿Cuántas amas de casa ven solamente el canas C? • ¿Cuántas amas de casa ven solamente uno de estos canales? • ¿Cuántas amas de casa ven el canal A pero no el canal B?

EJEMPLO 5 Se entrevistó a un grupo de x personas acerca de la preferencia por las marcas de lapiceros A, B o C, obteniéndose los siguientes resultados. 2 no prefieren ni A ni B ni C. 2 prefieren A, B y C 7 solo prefieren C 5 solo prefieren B 16 prefieren B o C pero no A

SOLUCIÓN Disponemos los datos en el diagrama: Mg. Teodoro Yupa M.

60

Razonamiento Lógico Matemático 10 prefieren A y C 10 prefieren A pero no B 3 prefieren A y B pero no C

Nombramiento y Contrato Docente Como conjuntos tenemos a las rubias, morenas y pelirrojas; como características tenemos a ojos azules y ojos cafés.

¿Cuánto vale x?

AZUL

SOLUCIÓN

CAFÉ

TOTAL

RUBIAS MORENAS PELIRROJAS TOTAL

Ubicamos los datos sobre el tablero y obtenemos

DIAGRAMAS DE CARROLL

Luego las morenas de ojos café son 13.

Cuando trabajamos con conjuntos disjuntos, utilizamos diagramas de Carroll, que son cuadros de doble entrada usados para organizar datos en la solución de problemas en los que se establecen relaciones dobles.

EJEMPLO 2 Se pregunta a los niños y niñas de sexto grado sobre la bebida que prefieren, entre agua, gaseosa y jugo. De los 68 estudiantes encuestados, 26 prefieren agua y de ellos, 9 son niños. Si 14 niños prefieren Jugo y a 6 de las 37 niñas le gusta la gaseosa. ¿cuántas niñas prefieren agua y cuántas jugo? SOLUCIÓN Disponemos los datos:

EJEMPLO 1 En un grupo de 120 damas, 48 son rubias, 44 son morenas y el resto son pelirrojas, 62 tienen ojos azules, las otras ojos cafés. Existen 15 rubias de ojos azules, 16 pelirrojas de ojos azules. ¿Cuántas morenas de ojos cafés hay en el grupo?

Hay 17 niñas que prefieren agua y 14 que prefieren jugo.

SOLUCIÓN Mg. Teodoro Yupa M.

61

Razonamiento Lógico Matemático a) b) c) d) e) f)

SITUACIONES PREVIAS NES PREVIAS 1) Dos conjuntos son disjuntos cuando: _____________________________ 2) Un conjunto A está incluido en otro B cuando: ____________________________ 3) La parte sombreada corresponde a la operación de:_______________

P

7) Complete los casilleros el diagrama de Lewis y responda: JUEGAN NO JUEGAN TOTAL NIÑAS TOTAL

P Q

5) ¿Qué operación representa el siguiente diagrama?

1. De 50 estudiantes encuestados: 20 practican sólo fútbol 12 practican fútbol y natación 10 no practican ninguno de estos deportes ¿Cuántos practican natación y cuántos sólo natación? A) 20 y 12 B) 32 y 28 C) 20 y 8 D) 32 y 20 2. De un grupo de estudiantes que llevan por lo menos uno de los tres cursos que se indican se sabe que: 70 estudian inglés

Q C

D E F

R

Escriba la zona que corresponde a los enunciados siguientes: Mg. Teodoro Yupa M.

80

DIAGRAMAS DE VENN:

6) Del siguiente esquema:

B

20

PROBLEMAS PROPUESTOS

M

A

30

a) ¿Cuántos niños no juegan? ______________________ b) ¿Cuántas niñas no juegan? ______________________ c) ¿Cuántos juegan? ______________________ d) ¿Cuántas niñas hay en el grupo? ______________________ e) ¿Cuántos no juegan? ______________________

4) ¿Qué operación representa el siguiente diagrama?

P

10

NIÑOS

Q

P

Nombramiento y Contrato Docente Solamente P:_____________ P y Q:___________________ Solamente Q y R:__________ P, Q y R:_________________ Q pero no R:______________ P y Q pero no R:___________

62

Razonamiento Lógico Matemático 40 estudian química 40 estudian matemática 15 estudian matemática y química 20 estudian matemática e inglés 25 estudian inglés y química 5 estudian los tres cursos. ¿Cuántos son los alumnos en total?

Nombramiento y Contrato Docente D) 50 DIAGRAMA DE CARROLL 6. En un concurso hay 84 alumnos de los cuales 12 son mujeres que estudian en colegio particular y 16 varones que estudian en estatal, si hay tantas mujeres como varones. Entonces ¿cuántos están estudiando en colegios estatales? (NOMBRAMIENTO 2017) A) 42 B) 46 C) 38 D) 50

A) 142 B) 120 C) 95 D) 85 3. En una reunión de profesores de ciencias; 47 eran de matemática; 40 eran sólo de Física; 4 no enseñaban ninguno de estos cursos. ¿Cuántos profesores integraban la reunión? A) 47 B) 40 C) 91 D) 50

7. De un grupo de 80 niños y niñas, los que cantan son tantos como los que no lo hacen. Si las niñas que cantan son 20 y los niños que no cantan son 34, ¿cuántos niños y cuántas niñas conforman el grupo?

4. De 75 alumnos de un aula, los 3/5 usan reloj. 1/3 de los alumnos sólo usa anteojos; los 2/5 usa anteojos y reloj. ¿Cuántos no usan anteojos ni reloj? A) 7 B) 5 C) 1 D) 4

Niños Niñas TOTAL Cantan No Cantan TOTAL A) 38y 42 B) 56 y24 C) 54 y 26 D) 40 y 40

5. Entre 97 personas que consumen hamburguesas se observaron las siguientes preferencias en cuanto al consumo de mayonesa y Ketchup; 57 consumen mayonesa; 45 consumen Ketchup; 10 no consumen ninguna de estas salsas. ¿Cuántos consumen mayonesa pero no Ketchup? A) 42 B) 46 C) 38 Mg. Teodoro Yupa M.

8. Para los votantes de una cierta comunidad de 300 personas se tiene que: - 110 son mayores de 20 años - 120 son mujeres y 50 mujeres son mayores de 20 años Determine el número de votantes hombres menores que 20 años.

63

Razonamiento Lógico Matemático A) 130 B) 120 C) 160 D) 90

Nombramiento y Contrato Docente

INFERENCIA CON PREMISAS (SILOGISMOS) El razonamiento inductivo

9. Una empresa convoca a 90 jóvenes de 15, 16 y 17 años. De ellos. 5O son varones. 30 tienen 15 años y 25 tienen 16 años. Si 18 son varones de 16 años y 16 son mujeres de 17 años, ¿cuántos son varones de 15 años? A) 19 B) 13 C) 18 D) 17

El razonamiento inductivo se caracteriza por llegar a una conclusión general (mediante una conjetura), a partir de observaciones repetidas de casos específicos o particulares. Por ejemplo: Premisas: • He observado el cuervo número 1 y era de color negro. • El cuervo número 2 también era negro. • El cuervo número 3 también era negro.

10. De 320 personas, adultos, jóvenes y niños, sobre una encuesta de los productos A, B Y C. se tiene que 110 prefieren B y 95, C; de todos los niños, 64 prefieren A y 28, B. De los 130 Jóvenes, 58 prefieren B; y de todos los adultos, 17 prefieren A y 46, C. ¿Cuántos niños prefieren C.? A) 15 B) 11 C)16 D) 17

Conclusión: Luego, todos los cuervos son negros. Razonamiento deductivo El razonamiento deductivo se caracteriza por la aplicación de principios o leyes generales a casos particulares. Por ejemplo:

11. En un aula de 75 alumnos de una Institución Educativa, el 32% son mujeres. Al 64% del salón la biblioteca les presta su libro de aritmética y 8 mujeres tuvieron que comprar el libro. ¿Cuántos hombres prestaron el libro de aritmética, si todos los alumnos tienen libros? a) 25 b) 28 c) 32 d) 38

Mg. Teodoro Yupa M.

Todos los jueces son honestos, Carlos es juez. Por lo tanto, se infiere que Carlos es honesto. LÓGICA DE PREDICADOS La lógica de predicados descompone la proposición en sus dos componentes básicas (sujeto y predicado) y cuantifica al sujeto, introduciendo símbolos para el sujeto, para el predicado y para los cuantificadores "todos" y "alguno", además de un símbolo de relación entre sujeto y predicado. 64

Razonamiento Lógico Matemático Ejemplo:

Nombramiento y Contrato Docente 4. Particular negativo: “Algunas líneas no son rectas”.

Todos los tacneños son peruanos.

En esta proposición el conjunto de las “líneas” está excluido parcialmente del conjunto de las “rectas”.

Esta proposición llamada proposición categórica presenta los siguientes términos principales: Término sujeto: tacneños Término predicado: peruanos Además del cuantificador literal “todos” que indica que el conjunto “tacneños” está incluido totalmente en el conjunto predicado peruano.

LAS PROPOSICIONES O PREDICADOS CATEGÓRICOS Es una proposición que afirma o niega que todos o algunos de los miembros de una categoría (el término sujeto) están incluidos en otra (el término predicado).

Formas típicas.- En la lógica tradicional las proposiciones categóricas se expresan en las llamadas cuatro formas típicas siguientes:

TIPOS DE PROPOSICIONES CATEGORICAS (CUANTIFICADORES)

• Todo S es P • Ningún S es P

1. Universal afirmativo: “Todos los mamíferos son vertebrados”

• Algún S es P • Algún S no es P

En esta proposición la clase o conjunto de los mamíferos está incluida totalmente en la clase o conjunto de los vertebrados.

Características: • Tienen cuantificador: Todo, ningún, algún.

2. Universal negativo: “Ningún insecto es vertebrado”. Esta proposición expresa la exclusión total entre la clase insecto y la clase “vertebrado”.

• Sujeto, que se representa como (S). • Verbo copulativo, que puede ser expresado en distintos tiempos.

3. Particular afirmativo: “Algunos profesores son matemáticos”.

• Predicado, que se representa como (P)

En este caso la clase de los profesores está incluida parcialmente en la clase de los matemáticos. Mg. Teodoro Yupa M.

65

Razonamiento Lógico Matemático Cuantificador Universal Afirmativo

Nombramiento y Contrato Docente Cuantificador Particular Negativo Cuantificador Particular negativo En forma general se representa como : Algún S no es P

La gráfica muestra que por lo menos un elemento de La grafica muestra fuera del conjunto P. que por lo menos

un elemento de S esta fuera del conjunto P.

El conjunto de “hombres” está DE LAS CATEGOR NEGACION DE PROPOSICIONES LAS incluido en el conjunto de “guapos”NEGACIÓN PROPOSICIONES CATEGORICAS. (inclusión) Se debe tomar en cuenta lo siguiente: Se debe tomar en cuenta lo siguiente: Cuantificador Universal Negativo Cuantificador Universal Negativo

Cuantificador Universal Negativo Se representa en forma general como: Se representa en forma general como:

Ningún Ningún S es S P es P

Negativo neral como:

S

S

S

P

Ejemplo : : Ejemplo

P

P

Profesor

Bohemio Profesor

Ningún es bohemio Ningúnprofesor profesor es bohemio S P

S

Bohemio

En forma práctica se tiene:

P

= Esta representada por una relación de exclusión a través de dos (todos) Profesor Bohemio Esta representada por una relación de exclusión a través de dos  (ningún) = conjuntos disjuntos.

hemio P

algunos...no algunos  (algunos) = ningún  (algunos...no) = todos

conjuntos disjuntos.

relaciónEstá de exclusión a través de dos representada por una relación de exclusión a través de dos conjuntos disjuntos. Cuantificador Particular Afirmativo Cuantificador Particular Afirmativa Se representa en forma general como :

Algunos S son P

Está representado por relación una relación de Está representado por una de Intersección. intersección. Mg. Teodoro Yupa M.

66

Razonamiento Lógico Matemático

Nombramiento y Contrato Docente comparado con el término medio M.

SILOGISMOS E INFERENCIA LOGICA (ARGUMENTOS

• Consecuente, un juicio de conclusión al que se llega, el cual

LÓGICOS) Todo argumento posee una estructura que está formada por las premisas y la conclusión. Sin embargo, tomada aisladamente ninguna proposición es en sí misma una premisa o una conclusión.

afirma (une) o niega (separa) la relación entre S y P. Ejemplo: Todos los vertebrados

mamíferos

son

Una proposición es una premisa sólo cuando aparece como un supuesto de un razonamiento y una proposición es una conclusión cuando aparece en un razonamiento en el que se afirma que se desprende de las proposiciones que aparecen como premisas. En los argumentos existe una conexión lógica o un paso de las premisas a la conclusión, esa conexión se llama inferencia y sobre ella se apoya el argumento.

REGLAS DEL SILOGISMO

ELEMENTOS DEL SILOGISMO

A. REGLAS PARA LOS TÉRMINOS

Todas las ballenas son mamíferos Luego: Todas las ballenas son vertebrados Término mayor: (P) “vertebrados” Término menor: (S) “ballenas” Término medio: (M) “mamífero”

• Un término sujeto S.

• Todo silogismo debe tener sólo tres términos P, S y M,

• Un término predicado P.

• El término medio se repite en las dos premisas.

• Un término medio M. • Un antecedente, el cual consta de dos juicios llamados premisas.

• El término medio no puede entrar en la conclusión

• Un consecuente, el juicio resultante como conclusión

• El término medio ha de tomarse en su extensión universal por lo menos en una de las premisas

ESTRUCTURA DEL SILOGISMO • Premisa mayor, juicio en el que se encuentra el término mayor o predicado de la conclusión, P, comparado con el término medio M.

• En la conclusión los términos mayor y menor no deben tener más extensión que las premisas B. REGLAS DE LAS PREMISAS • De dos premisas afirmativas se concluye otra afirmativa

• Premisa menor, juicio en el que se encuentra el término menor o sujeto de la conclusión, S, Mg. Teodoro Yupa M.

67

Razonamiento Lógico Matemático • En la conclusión debe estar la premisa más débil, siendo la particular más débil que la afirmativa.

Nombramiento y Contrato Docente REGLAS DE INFERENCIA MODUS (MODOS)

• De dos premisas negativas universales, nada se concluye. • De dos premisas particulares, nada se concluye

Mg. Teodoro Yupa M.

68

Razonamiento Lógico Matemático

Nombramiento y Contrato Docente 5.Silogismo Hipotético Puro (S.H.P.) Estructuras:

.H.P.)

B →C

→C

A B BC

A B B→C

−A  −B 

A→C

AC

A→C

−A 

Ejemplo 1: Si hay cosecha − Allueve,  si hay cosecha, hay −producción B −Luego; A  si llueve, hay producción

A B BC

A B B→C

−A  −B 

A→C

AC

A→C

−A 

Ejemplo 1: Si llueve, hay cosecha PROBLEMAS RESUELTOS si hay cosecha, hay producción EJEMPLO 1 hay Luego; si llueve, producción

5.Silogismo Hipotético Puro (S.H.P.) Estructuras:

A→B B→C

A→B B→C

Ejemplo 2: Estudias si y esfuerzas te esfuerzas si y s Luego; estudia s triunfas

La negación del enunciado “Algunos estudiantes son deshonestos” es.

Ejemplo 2: a) Todos los estudiantes son deshonestos. Estudias si y sólo si te esfuerzas b) Todos los estudiantes son honestos. te esfuerzas si y sólo si triunfas Luego; estudia si y sólo si c) Algunos estudiantes son honestos. triunfas

d) No todos los estudiantes son deshonestos.

Ejemplo 2: Estudias si y sólo si te esfuerzas te esfuerzas si y sólo si triunfas Luego; estudia si y sólo si triunfas

SOLUCIÓN: -Se identifica el tipo de cuantificador y el predicado.

-Se niegan ambos elementos.

La negación será: “todos los estudiantes son honestos” EJEMPLO 2 Encuentre la notación conjuntista de: No todas las Matemáticas son aburridas Mg. Teodoro Yupa M.

69

Razonamiento Lógico Matemático

Nombramiento y Contrato Docente por tanto hay estudiantes perezosos que no son varones. SOLUCIÓN: Realizando el análisis, la única opción que guarda relación con el diagrama es la D. EJEMPLO 4 En : “Ningún adulto es irracional”, las posibles conclusiones válidas son :

SOLUCION: Corresponde al diagrama de la opción A ya que esta expresa de que hay una parte de la Matemática que no es I. aburrida.

I.

Ningún irracional es adulto.

II.

Todo adulto es racional.

III.

Algunos adultos son irracionales.

SOLUCIÓN

EJEMPLO 3

Adulto

Según el diagrama el argumento válido que lo representa es:

Irracional

Analizando : I) Verdadera II) Verdadera

a. todos los estudiantes son inteligentes, algunos perezosos son mujeres. Por tanto, algunos estudiantes y varones son perezosos.

III) Falso

EJEMPLO 5

b. Algunos varones son perezosos. Algunos estudiantes son varones, por tanto todos los estudiantes son perezosos

Si: - Todo inteligente es hábil. - Algunos inteligentes son petulantes. Entonces:

c. Ningún perezoso es estudiante. Algunos estudiantes son varones, por tanto todos los varones son perezosos

a) Algunos inteligentes son petulantes b) Algunos hábiles son petulantes

d. Todos los varones son perezosos. Algunos estudiantes son varones, Mg. Teodoro Yupa M.

c) Todo inteligente es petulante 70

Razonamiento Lógico Matemático d) Todo hábil es petulante

Nombramiento y Contrato Docente B) Sólo II C) Sólo III D) II y III

SOLUCIÓN Primer método:

SOLUCIÓN

Representamos en los diagramas de Venn:

vuelan

Hábil Inteligente

cerdos

Petulante

cola

I.

(Falsa) la conclusión debe ser una relación entre los que vuelan y los que tienen cola.

II.

(Falsa), no necesariamente.

III.

(Verdadera) esos animales sin cola, pueden ser los cerdos (ley del contenido existencial)

Analizando, sólo la opción b cumple. Segundo método: Identificamos los elementos: Término mayor: hábil Término menor: petulante

Rpta : C

Término medio: inteligente Como el término medio no debe aparecer en las alternativas, la conclusión será la opción “b”.

EJEMPLO 7 De las premisas: “Toda acción moral es obligatoria” y “Algunas acciones morales son justas”

EJEMPLO 6 Dadas las premisas:

Inferimos:

Todos los cerdos vuelan

1) Algunas cosas justas son obligatorias

Ningún cerdo tiene cola

2) Algo es justo y no es obligatorio 3) Todo es justo pero no es obligatorio 4) Ninguna cosa obligatoria es justa 5) Al menos alguna cosa es justa por obligatoria Son correctas:

¿Cuáles de las siguientes conclusiones son verdaderas? I.

No todos los cerdos tienen cola.

II.

Ningún animal que vuela tiene cola.

III.

Existen animales sin cola que vuelan.

A) 1, 2 y 3

A) Sólo I Mg. Teodoro Yupa M.

71

B) 2, 3 y 4

Razonamiento Lógico Matemático C) 1 y 5 D) Todas

Nombramiento y Contrato Docente Para el caso de 5, buscamos un enunciado equivalente:

SOLUCIÓN

Todos no son anfibios

Existen 2 posibilidades:

La opción correcta es la C.

Obligatorio Acción moral

SITUACIONES PREVIAS

Justa

I.

Obligatorio Acc. moral

DEL SIGUIENTE DIAGRAMA ELIJA LA OPCION QUE REPRESENTA LOS ENUNCIADOS. A.

B.

C.

D.

E.

F.

Justa

Analizando 1 y 5 son correctas EJEMPLO 8 La expresión: “No hay anfibios”; equivale a: 1) Todos son anfibios 2) Quienquiera que sea no es anfibio 3) Ninguno no es anfibio 4) Ni siquiera uno es anfibio 5) Es falso que algunos no sean no anfibios Son ciertas:

G.

A) 1, 2 y 4 B) 3, 4 y 5 C) 2, 4 y 5 D) 1, 3 y 5

1) Religiosos, musulmanes, católicos. A) A B) B C) C D) D 2) Deportistas, beisbolistas, administradores. A) A B) B C) C D) E 3) Bachilleres, trabajadores, desempleados.

SOLUCIÓN La premisa lo dice todo: En ninguna de las formas podrían existir los anfibios. Luego se descartan 1 y 3. Mg. Teodoro Yupa M.

72

Razonamiento Lógico Matemático A) A B) BE C) E

Nombramiento y Contrato Docente

RD) F

E

R

R

E E

R

4) Números naturales, números enteros y números reales. (A) (B) (C) (D) A) A B) B C) D D) E 5) Jugadores de baloncesto, jugadores 2) No es cierto que, todos los indígenas son de Perú. de voleibol, jugadores de futbol. A) A B) B C) G D) E P I I P 6) Autos, alimentos y personas. P I A) G B) B C) D D) E 7) Números pares, números reales, (A) (B) (C) conectivos lógicos. A) A B) B C) D D) E P I I P P I 8) Estudiantes que viven en Breña, P I estudiantes que viven en Miraflores, estudiantes que viajan en metro. (A) (B) (C) (D) A) E B) F C) A D) G 3) No es cierto que, todos administradores son gerentes.

9) Todos los científicos están locos. Algunos locos están en el manicomio. Lo anterior puede ser representado por: A) A. B) B C) C D) E

G

A

G

G G A II. DE LOS DIAGRAMAS SIGUIENTES ESCOGE UNO A SOLO, TAL QUE REPRESENTE A LA PREMISA DADA.

R

E

(A)

Mg. Teodoro Yupa M.

A G

(B)

1) Algunos estudiantes revolucionarios.

son

E

A

A (A)

(A)

los

G

(B) A

(C)

(C) G

(D)

4) La proposición “algunos profesores de la universidad son médicos que se dedican E a la investigación”. R ¿Cuál

R

R

E

(B)

(C)

73

(D)

B)

Razonamiento Lógico Matemático de las siguientes figuras representa esta situación? PU M PU PU

M I I (A)

M

(B)

PU

M

I

PU M

I

6) Del siguiente esquema Todo metal conduce la electricidad, el oro es un metal, por lo tanto conduce a la electricidad

I (C)

Nombramiento y Contrato Docente Conclusión: Angela es________________________ PU M 5) Del siguiente I M esquema: todo romano es italiano todo italiano es europeo conclusión: todo romano es europeo I La premisa mayor (C) es:_____________________ (D) La premisa menor es:_____________________ El término medio es:_____________________

(D)

III. COMPLETA: 1) El perro es mamífero y cuadrúpedo El gato es mamífero y cuadrúpedo Por lo tanto los mamíferos son_______________________

La premisa mayor es:_____________________ La premisa menor es:_____________________ El término medio es:_____________________

2) Manuel es humano y tiene ojos Miguel es humano y tiene ojos Rosa es humana y tiene ojos Por lo tanto los humanos___________________

7) Todo reptil es peligroso Todo cocodrilo es un reptil La conclusión es: Todo cocodrilo _______________________ 8) Todas las aves tienen pluma Toda paloma es ave La conclusión es: Todas las ___________ tienen plumas

3) El cisne 1 es blanco El cisne 2 es blanco El cisne 3 es blanco El cisne 4 es blanco Conclusión: Todos los cisnes __________________________

9) Toda la gente buena al morir va al cielo. Matías era buena gente y murió luego:

4) Angela es mayor que Vilma, Vilma es mayor que Ana. Mg. Teodoro Yupa M.

74

Razonamiento Lógico Matemático __________________________

Nombramiento y Contrato Docente D) Existen fantasmas.

10) La negación de: “ hoy no estudié” es:________________________

5. Sean S, P, y M categorías Ningún M es P Todo S es M La única falsa es A) algún M es S B) todo P no es S C) es falso que ningún M es S. D) algún S es P

PROBLEMAS PROPUESTOS 1. El enunciado “nada es imposible para el hombre” es equivalente a: A) todo es imposible para el hombre. B) algo es imposible para el hombre. C) todo es posible para el hombre. D) algo es posible para el hombre

6. Todo lo que se aparta de las leyes es un delito. Todas las cosas que ocurren por azar se apartan de las leyes. Deducción: A) algunas cosas que ocurren por azar son delitos B) ninguna cosa que ocurra por azar es delito C) ninguna cosa que ocurra por azar se aparta de la ley D) todas las cosas que ocurren por azar son delitos

2. La negación de la proposición “todo número primo es impar” es: A) Ningún número es primo es impar. B) Ningún número primo es par. C) Existen números primos que son impares. D) Existe un número primo que es par. 3. La negación del enunciado "Algunos científicos están locos" es equivalente a decir: A) Todos los científicos no están locos. B) Todos los científicos están locos. C) Algunos científicos no están locos. D) No todos los científicos están locos

7. Todos los universitarios son inteligentes. Ningún león es inteligente. Por tanto: A) todos los leones son universitarios B) ningún león es universitario C) no es cierto que algunos leones no son universitarios D) algunos leones son universitarios 8. Todos los remedios son formulados por el médico. Algunos alimentos no son formulados por el médico. Deducción: A) ningún remedio es alimento B) algunos alimentos no son remedios

4. La expresión "no es cierto que hay fantasmas" es equivalente a: A) Algunos son fantasmas B) Todos son fantasmas C) No existen fantasmas. Mg. Teodoro Yupa M.

75

Razonamiento Lógico Matemático C) todos los alimentos son formulados por el medico D) ningún alimento es remedio 9. Todas las cosas buenas son producto del alma. Toda la tecnología es una cosa buena. Deducción: A) todo lo que es producto del alma es tecnología B) ninguna tecnología es producto del alma C) todo lo que es producto del alma es bueno D) toda la tecnología es producto del alma 10. ¿Cuál es la negación lógica de la proposición: “Todas estas preguntas son difíciles”? (NOMBRAMIENTO 2017) A) Todas estas preguntas son fáciles. B) Ninguna de estas preguntas es difícil. C) Algunas de estas preguntas no son fáciles. D) Algunas de estas preguntas no son difíciles 11. ¿Qué alternativa muestra una proposición equivalente a: “Ningún diplomático es descortés“? (NOMBRAMIENTO 2017)

A) Algún diplomático es cortés. B) Algún diplomático no es descortés. C) Ningún cortés es diplomático. D) Todo diplomático es cortés. 12. Si todos intrépidos, fatalista,

los aviadores son y ningún intrépido es se deduce que:

Nombramiento y Contrato Docente B) Ningún fatalista es aviador. C) Algún fatalista no es aviador. D) Algún aviador no es fatalista. 13. Si todos los limeños son peruanos. Todo peruano es sudamericano Entonces se concluye que: (NOMBRAMIENTO 2017)

A) algún limeño no es sudamericano B) todos los limeños son sudamericanos C) al menos un limeño es sudamericano D) no todos los limeños son sudamericanos 14. Todos los médicos son deportistas. Los coleccionistas de estampillas son personas tímidas. Beatriz es médica. Ninguna persona tímida es deportista. Deducción: A) algunas personas tímidas son deportistas B) todos los coleccionistas de estampillas son deportistas C) Beatriz no colecciona estampillas D) Algunos médicos coleccionan estampillas 15. los pastores son perros. Los perros son mamíferos. Ningún mamífero pone huevos. Por tanto A) Todos los pastores no ponen huevos B) algunos pastores son mamíferos C) los pastores son ovíparos D) algunos mamíferos no ponen huevos 16. De las siguientes premisas:

(NOMBRAMIENTO 2017)

A) Algún fatalista es aviador. Mg. Teodoro Yupa M.

76

Razonamiento Lógico Matemático “Todas las ciudades o bien son urbanas o bien son rurales” y “Lima no es urbana”

Nombramiento y Contrato Docente

PERÍMETROS Y ÁREAS

Se infiere deductivamente en la siguiente conclusión: A) B) C) D)

Perímetro Es la longitud del contorno de una figura.

Lima no es rural Lima es una ciudad Lima no es urbana Lima es rural

Área Es la superficie que esta dentro del perímetro.

17. De las premisas:

Perímetro

“Ningún estudiante es malo” “Todo negligente es malo”

Área

Deducimos: 1) 2) 3) 4)

Ningún negligente es estudioso Todo negligente no es estudioso Los negligentes no estudian Cada persona negligente no es estudiosa 5) Ningún estudioso es negligente Son correctas:

ÁREAS Y PERÍMETROS DE FIGURAS CONOCIDAS: AREA DEL RECTÁNGULO

A) 1, 2 y 3 B) 2, 3 y 4 C) 3, 4 y 5 D) Todas

El área de un rectángulo se halla multiplicando la longitud de su base por la longitud de su altura.

AREA DEL CUADRADO El área de un cuadrado se halla elevando al cuadrado la longitud del lado o multiplicando dos lados. Mg. Teodoro Yupa M.

77

Razonamiento Lógico Matemático

Nombramiento y Contrato Docente

AREA DEL TRIANGULO El área de un triángulo se halla multiplicando la longitud de su base por la longitud de la altura y después el resultado se divide entre dos.

AREA DEL PARALELOGRAMO O ROMBOIDE El área del romboide se halla multiplicando la longitud de su base por la longitud de su altura.

AREA DEL TRAPECIO El área del trapecio se halla sumando la base mayor y la base menor después se divide entre dos y luego se multiplica por la altura.

AREA DEL ROMBO El área de un rombo se halla multiplicando la longitud de la diagonal mayor por la longitud de la diagonal menor y después se divide el resultado entre dos.

AREAS DE POLIGONOS REGULARES El área de un polígono regular se halla multiplicando su perímetro por su Mg. Teodoro Yupa M.

78

Razonamiento Lógico Matemático apotema y después se divide este resultado entre dos.

Nombramiento y Contrato Docente MÉTODOS DE SOLUCIÓN MÉTODO DIRECTO Consiste en la aplicación directa de la formula. Básicamente funciona para aquellas figuras no compuestas, sino más bien para las figuras geométricas básicas o comunes. MÉTODO ADITIVO O DE PARTICIONES Consiste en sumar las áreas de las regiones parciales en las que está formado una figura poligonal irregular o compuesta. También es posible aplicar este método cuando realizamos particiones a un polígono compuesto. MÉTODO DE LA DIFERENCIA Consiste en determinar el área de una región especifica restando las áreas de regiones conocidas. Este método se aplica cuando no es posible determinar directamente en área por el primer método.

LONGITUD DE LA CIRCUNFERENCIA Y AREA DEL CÍRCULO La longitud de la circunferencia se halla multiplicando el doble del radio por 3,14 a este número se le conoce con el nombre de π (pi). El área del círculo se halla multiplicando π por el cuadrado del radio.

MÉTODO DE TRASLACIÓN Consiste determinar el área de la figura formada por regiones parciales que se han movido desde otra posición a una posición equivalente. Normalmente la figura formada debe ser conocida.

PROBLEMAS RESUELTOS EJEMPLO 1 (Método directo) Determine el área de la región sombreada de la siguiente figura. Mg. Teodoro Yupa M.

79

Razonamiento Lógico Matemático

Nombramiento y Contrato Docente Determinamos las áreas parciales:

16 m 5m 8m 5m 16 m

SOLUCIÓN: Así como aparece la base es 16m; pero la altura no es 5, sino 4 como se aprecia en la figura:

Área blanca = 12 +12 + 6

= 30

EJEMPLO 3 (Método de la Diferencia)

4

Mi abuela contrata un jardinero para rellenar con césped el jardín mostrado, ¿Cuántos metros cuadrados de césped necesitará?

6m

𝑏. ℎ 𝐴= 2 16.4 𝐴= = 32 2

1m 1m SOLUCIÓN:

EJEMPLO 2 (Método Aditivo)

Determinamos las áreas parciales:

Determine el área de la región blanca en el gráfico adjunto.

6m 1m 1m

1m 1m

4m

1m

A sombreada = A rectángulo – A blanca A sombreada = 6x2 – (1x1)/2 - (1x1)/2 A sombreada = 12 – 0,5 – 0,5 A sombreada = 11. SOLUCIÓN: Mg. Teodoro Yupa M.

80

Razonamiento Lógico Matemático

Nombramiento y Contrato Docente SOLUCIÓN:

EJEMPLO 4

Si proyectamos todos los lados parciales sobre el rectángulo mayor, tenemos:

(Método de Traslación) Si ABCD es un cuadrado de 6m de lado, entonces el área de la región sombreada mide

8

6

SOLUCIÓN:

El perímetro será: 6+6+8+8= 28.

Realizando traslaciones obtenemos el área de un triángulo:

EJEMPLO 6 Una fuente circular está rodeada de un zócalo de mármol. El diámetro de la fuente es de 10 metros y el zócalo tiene un metro de ancho. ¿Cuál es la superficie recubierta por el mármol?

A= (6x6)/2 = 18. EJEMPLO 5 La figura muestra un terreno cuyas medidas están dadas en metros. Si se desea cercarlo con muros, ¿Cuántos metros se tendrán que cercar?

Mg. Teodoro Yupa M.

SOLUCIÓN: Aplicamos diferencia de áreas:

81

Razonamiento Lógico Matemático

Nombramiento y Contrato Docente

SITUACIONES PREVIAS NES PREVIAS 1) Halla el área:

6) Calcula el perímetro de un pentágono regular de 3 cm de lado.

10 cm

3cm 20 cm _____________________________ 2) Halla el perímetro y área: 7) Calcular el área de un rectángulo cuya altura mide 2 cm y su base mide 3 veces su altura. __________________________ __________________________ __________________________ 8) Calcula el área de un rombo cuya diagonal mayor mide 10 cm y cuya diagonal menor es la mitad de la mayor. __________________________ __________________________ __________________________

3) Halla el perímetro y área:

9) Encuentre el perímetro de la siguiente figura:

4) Halla el perímetro y área:

5) Halla el perímetro de un rectángulo de lados 7cm y 3 cm. ____________________________ ________________________ Mg. Teodoro Yupa M.

82

Razonamiento Lógico Matemático 10) Calcula el perímetro y el área de la siguiente figura considerando que cada cuadrado tiene 1 cm de lado:

Nombramiento y Contrato Docente 2. Determine el área de la región sombreada.

a) 80

b) 88

c) 96

3. Una mascota está atada a un poste con una cuerda que le permite pasear hasta 5 metros de distancia. ¿Qué figura representa mejor el área total donde puede andar?

PROBLEMAS PROPUESTOS 1. El perímetro de una parcela rectangular es de 50 m y el área 150 m2. Calcula las dimensiones de la parcela.

4. Cuál es el perímetro de la región sombreada?

A)12m y 13m B)14m y 11m C)10m y 15m D)25m y 6m

12 cm

15 cm

Mg. Teodoro Yupa M.

d) 72

83

Razonamiento Lógico Matemático a) 54 cm b) 27 cm c) 108 cm d) 81 cm

Nombramiento y Contrato Docente

10 8

5. Según el grafico calcule el área de la región sombreada. (NOMBRAMIENTO 2017)

12 a) 176 b) 144 c) 160 d) 164

A) 4 cm2 B) 3 cm2 C) 6 cm2 D) 5 cm2

8. Se tiene la parte frontal de una casa como se indica en la gráfica. Calcular el precio que debemos pagar por el tarrajeo de esta área, si por metro cuadrado se paga S/. 6. 6. Cuántos ladrillos faltan para completar la pared? (NOMBRAMIENTO 2015) 1m 1m 2m

2m 5m

A) B) C) D)

a) b) c) d)

27 23 21 25

S/. 108 S/. 84 S/. 94 S/. 104

9. En la figura mostrada, cada “cuadradito” tiene un área de 4cm2. ¿Cuál es el área de la región sombreada?

7. En la figura mostrada, calcular el área sombreada: (NOMBRAMIENTO 2015)

Mg. Teodoro Yupa M.

1m

84

Razonamiento Lógico Matemático

Nombramiento y Contrato Docente ¿Cuántas latas de pintura tendrá que comprar para poder pintar completamente la puerta? 10 m

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 a) 23

b) 18

c) 16

Tacna Educa

d) 20

10. Se tiene un marco cuadrado de madera de 64 cm de perímetro. Para calcular el área de una fotografía que pueda colocarse en él debemos:

3m 5m

3m

12. En la figura mostrada está hecha en base a cuadrados de 2 metros de lado. ¿Cuál es su perímetro? a) 30 b) 32 c) 34 d) 38

A) Dividir 64 entre 4 y al resultado multiplicarlo por 2. B) Dividir 64 entre 4 y al resultado multiplicarlo por sí mismo. C) Obtener la raíz cuadrada de 64 y al resultado multiplicarlo por 4. D) Obtener la raíz cuadrada de 64 y al resultado multiplicarlo por sí mismo.

13. Un corral cuadrado de 15 m por lado tiene cuatro postes en las esquinas. Un caballo se ata durante el día a uno de los postes con 8 m de cuerda, durante otro día, a otro de los postes y así a los otros dos. ¿Cuál de las siguientes figuras representa mejor la superficie en que el caballo se puede pasear durante 4 días?

11. El profesor Yupa está remodelando la fachada de su casa y le falta únicamente pintar la puerta de ingreso. Para ello tiene que comprar unas latas de pintura que cubren solo 2m2 por cada lata. Mg. Teodoro Yupa M.

85

Razonamiento Lógico Matemático

Nombramiento y Contrato Docente 16. Calcula el perímetro de la región sombreada de la siguiente figura.

a) 66 14. Se ha atado una cabra, con una cuerda de 15 m de longitud, en una de las esquinas de un prado rectangular de 20 X 30 m. Calcular la superficie del prado en el que puede pastar la cabra.

b) 65

c) 33

d) 64

17. Si el área del cuadrado C es 64 cm2, hallar la suma de los perímetros de los cuadrados A y B.

B

2

A) 134 m B) 176 m2 C) 158 m2 D) 185 m2

C

A a) 66

b) 65

c) 32

d) 64

18. Un albañil cobra por tarrajear S/.10 por metro cuadrado. Indique cuánto cobrará por tarrajear una pared de la forma como muestra la figura. 15. Hallar el perímetro de la siguiente figura: a) 64 b) 22 c) 44 d) 56

Mg. Teodoro Yupa M.

A) S/. 140 B) S/. 480 C) S/. 600 D) S/. 720

86

Razonamiento Lógico Matemático

Nombramiento y Contrato Docente Asumiendo siempre el peor de los casos:

CERTEZAS – MÁXIMOS Y MINIMOS

• Un par del mismo color: Suponiendo que en la primera extracción obtenemos una esfera blanca, en la siguiente extracción también obtengamos otra blanca; esto sería “pura suerte” ya que también podría salir una roja o una azul. Luego asumiendo que en la primera extracción obtenemos una esfera blanca, en la segunda y tercera extracciones tendremos de obtener una roja y una azul respectivamente. Hasta aquí tendríamos ya 3 esferas. Entonces la menor cantidad de esferas a extraer para obtener con seguridad un par del mismo color será:1B + 1R + 1A + 1 cualquiera = 4.

Este tipo de problemas se reconoce básicamente por tres palabras que intervienen en su formulación: “extraer”, “mínimo” y “seguro”; pudiendo ser estas palabras o sus equivalentes: seleccionar, escoger, sacar, la seguridad, la certeza, etc. ESTRATEGIA: Se trata de obtener, entre varias posibilidades, la solución más óptima, es decir que con un mínimo extracciones, podamos determinar con certeza la solución al problema. PROBLEMAS RESUELTOS

• Por lo menos uno de cada color:

EJEMPLO 1

Aclaración: “Por lo menos uno de cada color” quiere decir que podríamos incluso obtener más de una esfera del mismo color.

En una urna depositamos 8 esferas blancas, 7 rojas y 9 azules. ¿Cuántas esferas habrá que extraer al azar y como mínimo para tener la certeza de haber extraído…

Suponga que quisiéramos obtener una esfera de color rojo, observe que tendríamos que “liar” primeramente con las esferas que dificultan tal objetivo, esto es las esferas blancas y azules. Luego para obtener con seguridad una esfera roja tendremos que extraer todas las esferas blancas y todas las azules.

• Un par del mismo color: • Por lo menos uno de cada color: • Tres azules: • Un color por completo: • Una azul y tres rojas:

Por lo tanto, el número de extracciones será: 8B + 9A + 1R = 18.

SOLUCION: 8 BLANCAS

NOTA ACLARATORIA: En la resolución de este ítem y en los ejercicios similares a este, primero

7 ROJAS 9 AZULES Mg. Teodoro Yupa M.

87

Razonamiento Lógico Matemático siempre se debe extraer todas las esferas de mayor cantidad (blancas y azules) porque son las que más dificultan la extracción de la esfera objetivo(roja) y luego debemos sacar la mínima cantidad de esferas del color que buscamos (una roja).

Nombramiento y Contrato Docente faltan (3 rojas). Es decir: 9A + 3R = 12. EJEMPLO 2 En una caja se tienen tres bolitas negras y cuatro bolitas blancas. ¿Cuántas se debe sacar como mínimo para tener con certeza una bolita blanca entre las extraídas?

• Tres azules: Para obtener con seguridad 3 esferas azules, lo primero que debemos hacer es extraer todas las demás esferas; una vez hecho esto se extrae la cantidad de esferas que nos pide el problema; es decir el número mínimo de extracciones será: 8B + 7R + 3A = 18.

SOLUCIÓN: Si en la primera extracción obtenemos la bolita blanca, estaría resuelto nuestro problema; pero esto no siempre ocurrirá pues se trata de pura suerte. Como se desea tener la seguridad, lo adecuado es supones el PEOR DE LOS CASOS , es decir que al extraer salgan las que nos son blancas y luego de ello indudablemente saldrá la bolita blanca.

• Un color por completo: Aclaración: “un color por completo” quiere decir que debemos extraer todas las esferas que forman uno de los colores.

Entonces para obtener con certeza se debe extraer:

Suponiendo que quisiéramos extraer todas las esferas de color rojo (color completo); teóricamente tendríamos que sacar las esferas de los demás colores. Pero si esto sucede, en este proceso ya habríamos conseguido un color completo (sean blancas o azules). Como queremos un color por completo, lo que debemos hacer es extraer, independientemente del color, una unidad menos en cada color, es decir: 7B + 6R + 8 A + 1 cualquiera = 22.

3 negras +1 Será necesariamente blanca

Se debe extraer mínimamente 4 bolitas para obtener una blanca.

EJEMPLO 3

• Una azul y tres rojas:

En una caja hay 10 bolas amarillas, 12 negras y 15 verdes. ¿Cuál es el mínimo número de bolas que se debe extraer al azar de manera que se obtengan 10 del mismo color?

Iniciamos extrayendo todas las esferas de mayor cantidad, esto es, las de color azul; Luego de esto extraemos las tres esferas que

SOLUCION: Mg. Teodoro Yupa M.

88

Razonamiento Lógico Matemático

Nombramiento y Contrato Docente a) b) c) d)

10 del mismo color

10 A 12 N 15 V

4) Dos blancas y cuatro rojas? a) 33 b) 35 c) 37 d) 39

Analizando le PEOR DE LOS CASOS:

A

N

29 30 32 35

5) Por lo menos una de cada color? a) 32 b) 34 c) 36 d) 38

V

negro PROBLEMAS PROPUESTOS 1. De 5 fichas rojas, 4 azules y 9 blancas, ¿Cuál es el mínimo número de fichas que se deben extraer para tener la certeza de haber obtenido un grupo completo del mismo color? (NOMBRAMIENTO 2017) A) 15 B) 16 C) 14 D) 9

Por consiguiente, se debe extraer 28 bolas. SITUACIONES PREVIAS NES PREVIAS Dentro de una urna depositamos 6 esferas blancas, 8 negras, 12 rojas y 15 amarillas. ¿Cuántas esferas se deben extraer al azar y como mínimo para tener la certeza de haber obtenido ...

2. En una urna se tienen 7 bolas negras, 8 azules y 5 blancas. ¿Cuál es la mínima cantidad de bolas que debo sacar para tener la certeza de haber extraído una bola blanca? a) 1 b) 15 c) 16 d) 12

1) Un par de uno de los colores: a) 2 b) 4 c) 6 d) 5 2) Cinco esferas rojas? a) 16 b) 30 c) 32 d) 34

3. En una urna se tienen 6 bolas negras, 10 azules y 9 rojas. ¿Cuál es la mínima cantidad de bolas que

3) Dos negras y tres amarillas? Mg. Teodoro Yupa M.

89

Razonamiento Lógico Matemático debo sacar para tener la certeza de haber extraído una bola azul? a) 1 b) 15 c) 16 d) 12

Nombramiento y Contrato Docente 7. En una caja se tiene 4 pares de guantes rojos 3 pares de guantes negros y 5 pares de guantes blancos. José desea tener un par de guantes usables del mismo color. ¿Cuántos guantes debe extraer al azar y como mínimo para tener con certeza lo que quiere? a) 10 b) 12 c) 13 d) 14

4. En un estuche hay 10 borradores, 16 tajadores y 20 lapiceros. ¿Cuántos útiles se deben extraer como mínimo para tener la seguridad de haber extraído 2 borradores y 3 tajadores? a) 36 b) 34 c) 38 d) 30

8. En una caja tenemos 5 pares de medias negras y 5 pares de medias blancas. Si extraemos de una en una sin mirar ¿Cuántas como mínimo debemos sacar para tener la seguridad de obtener un par del mismo color? a) 2 b) 3 c) 5 d) 11 9. Se dispone de 5 candados y sus 5 llaves. ¿Cuántas veces tendrá que probarse como mínimo las llaves, para determinar con certeza qué llave corresponde a qué candado? a) 16 b) 10 c) 15 d) 13

5. Dentro de una caja oscura se tiene 3 fichas rojas, 4 fichas azules y 5 fichas blancas. ¿Cuántas fichas como mínimo se tendrán que extraer para estar seguro de haber extraído al menos una ficha blanca y una ficha roja? a) 10 b) 5 c) 8 d) 12 6. En un cajón se tiene guantes de box: 3 pares de guantes rojos, 4 pares de guantes negros y 2 pares de guantes blancos. Rocky desea tener un par de guantes usables del mismo color. ¿Cuántos guantes debe extraer al azar y como mínimo para tener con certeza lo que quiere? a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 Mg. Teodoro Yupa M.

10. Se tienen 4 candados y 2 llaves; si sé que cada llave abre solo un candado, ¿Cuántos intentos como mínimo se debe realizar, para determinar con seguridad la llave correspondiente? a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 90

Razonamiento Lógico Matemático

Nombramiento y Contrato Docente El número total de cubos será: 1+1+2+2+2+3+3+4+5+5+6 =34.

CONTEO DE CUBOS, CARAS Y VISTAS

EJEMPLO 2

I. CONTEO DE CUBOS Si se trata de contar cubos, se recomienda contarlos por bloques o torres verticales y anotar la cantidad en la parte superior de estos; finalmente sumando estas cantidades tendremos el número total.

Encuentre el número total de cubitos que no se ven.

SOLUCIÓN: En las caras superiores de cada torre anotamos, respectivamente, la cantidad de cubitos que no se ven. EJEMPLO 1

5

Asi:

Encuentre el número total de cubos simples que forman el siguiente sólido.

4

4

3

3

3

SOLUCION:

6 5 3

5 4 3 2

2

El número de cubos simples que no se ven será: 5+4+4+3+3+3=22.

2

EJEMPLO 3

1 1

Mg. Teodoro Yupa M.

¿Cuál es la menor cantidad de cubitos que se debe añadir a la estructura mostrada para obtener un cubo mayor? 91

Razonamiento Lógico Matemático

Nombramiento y Contrato Docente II. CONTEO DE CARAS Y VISTAS Para el conteo de caras de un sólido debemos tener presente el siguiente diagrama:

SOLUCION: 1º. Para armar un cubo mayor sobre la base de la estructura mostrada, primeramente, debemos precisar el valor de la arista del nuevo cubo. Esto lo conseguimos mirando la figura; se observa que el nuevo cubo tendrá por arista a 4 cubos. 4 cubitos de fondo. Lo que determina el valor de la arista del cubo a formar.

• Para las vistas de un objeto debemos tomar en cuenta lo siguiente:

2º. Calculamos el número de cubos que tendrá nuestro cubo mayor: Cubos a utilizar = 4x4x4 = 64. 3º. Contamos la cantidad de cubos que hay en la estructura dada con la técnica conocida: Cubos en la estructura = 2x8=16.

EJEMPLO 1 Hallar el número total de superficies que tiene el sólido de la figura:

4º. Por lo tanto, el número de cubos que faltan será de 64 – 16 = 48.

Mg. Teodoro Yupa M.

92

Razonamiento Lógico Matemático

Nombramiento y Contrato Docente • Elegimos la opción A ya que el agujero de la opción B no corresponde.

SOLUCIÓN: Enumeramos las caras visibles y caras ocultas:

9 8

EJEMPLO 3

2 3

1

4

5

¿Cómo se observaría la siguiente figura desde la derecha?

7

6

10 N° de caras visibles = 7(1,2,3,4,5,6,7) N° de caras ocultas = 3(8,9,10). Total = 7 + 3 = 10. EJEMPLO 2 ¿A cuál figura tridimensional corresponden las siguientes vistas, frontal, laterales y superior, respectivamente?

SOLUCIÓN: A)

B)

C)

D)

• Nos solicitan la vista lateral derecha. En la base de dicha vista se observarán 2 cuadrados horizontales y de altura tendrá 3 cuadrados en disposición vertical. La horizontal y la vertical formaran una “L” • Luego la única opción que cumple es la C.

SOLUCION: • Se descartan las opciones C y D ya que la parte frontal no corresponde. Mg. Teodoro Yupa M.

93

Razonamiento Lógico Matemático

Nombramiento y Contrato Docente

SITUACIONES PREVIAS NES PREVIAS 1. Dado la siguiente estructura formada por cubos simples.

PROBLEMAS PROPUESTOS 1. ¿Cuántos cubitos forman la siguiente figura? (NOMBRAMIENTO 2017)

A) 17 B) 18 C) 12 D) 16

Determine: a) El número de cubos que se pueden contar a simple vista:_________________ b) El número de cubos simples “escondidos”:___________ c) El número total de cubos simples:_______________

2. El número total de cubos y los cubos escondidos es:

2. Considere el siguiente sólido:

a) 12 y 5 b) 11 y 4 c) 12 y 4 d) 13 y 4

Determine: a) El número de caras a simple vista:____________ b) El número de caras ocultas:__________ c) El número total de caras:___________

3. Si cada cubito tiene 1 cm. de arista. ¿Cuántos cubitos más se necesitarían si se quiere formar un cubo compacto de 4 cm. de arista? a) 45 b) 24 c) 54 d) 60

Mg. Teodoro Yupa M.

94

Razonamiento Lógico Matemático

Nombramiento y Contrato Docente c) 18 d) 19

4. En la figura se tiene una sucesión de cubos iguales. ¿Cuántas áreas del cubo 6, están en contacto con los demás y cuántos cubos escondidos hay?

7. ¿Cuántas superficies tiene el sólido?

1 2 a) b) c) d)

1 2 3 5

4 5

3

15

16 17 22 18 21 20 19

a) 10 b) 8 c) 14 d) 16

10

5. ¿Cuántos cubos se ven a simple vista?

8. Cuántas superficies tiene: a) 14 b) 12 c) 16 d) 8

a) 33

b) 34

c) 35

d) 37 9. Hallar el número de cubitos

6. Hallar el número de superficies en el siguiente sólido:

a) 15 b) 14 Mg. Teodoro Yupa M.

a) 81 b) 99 95

Razonamiento Lógico Matemático c) 78 d) 77

Nombramiento y Contrato Docente

10. En la figura se tiene una sucesión de cubos. ¿Cuántas áreas del cubo 4 están en contacto con los demás cubos?

a) 3

b) 4

c) 2

B

12. Identifique el gráfico que corresponde a la vista lateral derecha de la figura bidimensional. Mg. Teodoro Yupa M.

B

C

D

d) 5

11. Identifique la vista superior que corresponde a la figura mostrada.

A

A

96

C

Razonamiento Lógico Matemático

Nombramiento y Contrato Docente

PARENTESCOS José

El objetivo del tema es conocer las relaciones de parentesco entre los miembros de una familia.

Lizbeth Christian

Maly

* Tatarabuelo * Abuelo * Padre * Hijo * Nieto * Bisnieto * Tataranieto Además:

Yerno = Esposo

Suegra

Alejandra

Gaby

TIPOS DE PROBLEMAS A.PROBLEMAS SOBRE RELACIONES FAMILIARES

Esposa = Nuera

En este tipo de ejercicios, es necesario reconocer las relaciones de parentesco que hay entre los miembros de una familia. Observación En los problemas donde se quiere encontrar la relación de parentesco entre dos personas, se puede tener en cuenta lo siguiente:

Hijo

Ejemplo de relaciones familiares:

Mg. Teodoro Yupa M.

Jéssica

• José y Aurelia son consuegros. • Zenaida es suegra de Christian. • Lisbeth y Jéssica son concuñadas. • Aurelia es abuela de Maly. • Alejandra es sobrina de Lisbeth. • Maly y Gaby son primos. • Christian es cuñado de Jéssica. • Zenaida no tiene ninguna relación de parentesco con Jéssica. • Lisbeth es la nuera de Aurelia. • Álex es el tío de Maly.

ARBOL FAMILIAR:

Suegro

Alex

hermanas

VÍNCULOS LEGALES (AFINIDAD) Esposos, sueros, yernos, nueras, cuñados, concuñados, consuegros…

Suegra

Aurelia

hermanos

VÍNCULOS CONSANGUÍNIOS Padres, hijos, hermanos, abuelos, bisabuelos, nietos, bisnietos, tíos, sobrinos, primos…

Suegro

Zenaida

97

Razonamiento Lógico Matemático Lea atentamente e identifique una relación directa o una persona de referencia.

Nombramiento y Contrato Docente Y así sucesivamente. Luego, para que la cantidad de personas sea la menor posible, debemos buscar que cada integrante asuma la mayor cantidad de roles familiares (por ejemplo: padre, tío, hijo, hermano, cuñado, esposo, etc.)

… su única hermana. … la madre de Pedro. Continúe la lectura, en forma regresiva, hasta establecer la relación familiar que tiene con la persona de referencia.

¡Tenga en cuenta que…! En los problemas sobre cantidad mínima de personas, se sugiere iniciar reconociendo la cantidad de generaciones que integran la familia (2; 3 o más), luego ubicar la cantidad de integrantes que pertenecen a la generación de mayor jerarquía (primera generación) y a la menor jerarquía (última generación), completando el resto de las relaciones de parentesco.

¡Tenga en cuenta que…! Otro de los criterios para resolución de este tipo de problemas es establecer mediante un gráfico el árbol genealógico familiar de una persona de referencia e ir determinando las relaciones de parentesco, comenzando por la parte final del enunciado hasta determinar la primera persona (relación de parentesco) ubicada en el enunciado.

Para estos casos de cantidad mínima de personas, debe tener en cuenta el siguiente ejemplo.

B.PROBLEMAS SOBRE CANTIDAD MÍNIMA DE INTEGRANTES DE UNA FAMILIA En este tipo de ejercicios, se debe tener en cuenta que cada integrante de la familia puede asumir la mayor cantidad de roles familiares. Por ejemplo, una persona al ser abuela ya es madre. Observación En este tipo de problemas, se sugiere iniciar reconociendo la máxima cantidad de generaciones que integran la familia. • padre – hijo: 2 generaciones • abuelo – padre – nieto: 3 generaciones • bisabuelo – abuelo – padre – bisnieto: 4 generaciones Mg. Teodoro Yupa M.

Beto es padre, abuelo y suegro. • Juan es hijo, padre, hermano y esposo. • Lilian es madre, nuera, cuñada y esposa.

98

Razonamiento Lógico Matemático PROBLEMAS RESUELTOS

Nombramiento y Contrato Docente La madre del hijo de la esposa de mi padre. mi mamá

EJEMPLO 1 ¿Quién es el único bisnieto del abuelo del padre de José?

La madre del hijo de mi mamá

SOLUCION:

La madre de yo o mi hermano

Yo o mi hermano

Método 1: Método del cangrejo.

Mi madre

Interpretando frases de atrás hacia adelante:

Respuesta: Es mi madre. Método 2: Método gráfico.

Papá

Mamá

n es el único bisnieto del Bisabuelo de José José

Yo

Respuesta: José.

Respuesta: Es mi madre.

Método 2: Método gráfico. EJEMPLO 3

Bajo un esquema o grafico adecuado también se pueden establecer las relaciones familiares:

¿Qué parentesco tiene conmigo Elena, si se sabe que su madre fue la única hija de mi madre? SOLUCION: En el texto encontramos a los siguientes integrantes. - Elena; Madre de Elena; Mi madre y Yo

Respuesta: José. EJEMPLO 2 ¿Qué viene a ser de mí la madre del hijo de la esposa de mi padre? SOLUCION: Método 1: Método del cangrejo. Mg. Teodoro Yupa M.

Respuesta: Es mi sobrina. 99

Razonamiento Lógico Matemático

Nombramiento y Contrato Docente Respuesta el mínimo número de personas es: 4.

EJEMPLO 4 En una mesa están sentados 2 padres, 2 hijos y un nieto. ¿Cuántas personas como mínimo están reunidas?

EJEMPLO 6 En una familia se notan 2 esposos, 2 hermanos, 3 sobrinas y 3 hermanas. ¿Al menos, cuántas personas conforman esta familia?

SOLUCION: Del enunciado se desprende que existen tres generaciones. Es decir que habrá por lo menos un hijo, un padre y un abuelo.

SOLUCION: "Por lo menos", "Al menos" sirven para expresar la mínima cantidad.

Para que exista el mínimo número de personas, 1 persona deberá cumplir 1, 2 o más roles dentro de una familia, así entonces un hijo puede ser padre a la vez.

Respuesta: 3 personas. Respuesta: el menor número de personas es 6.

EJEMPLO 5 Una familia está compuesta por un padre, una madre, un hijo, un suegro, una suegra, una nuera, dos esposos y dos esposas. ¿Cuántas personas, como mínimo, conforman dicha familia?

SITUACIONES PREVIAS NES PREVIAS I. Responda: 1) ¿Qué es de mí el hermano de mi padre? ____________________ 2) ¿Qué es de mí la madre de mi madre? ____________________ 3) ¿Qué es de mí la esposa de mi hermano? __________________ 4) ¿Qué es de mí el hijo de mi hermano? __________________ 5) ¿Qué es de mí la hermana de mi tía que no es mi tía?_____________

SOLUCIÓN: De los datos se deduce que solo hay dos generaciones en esta familia.

II. Mg. Teodoro Yupa M.

100

De acuerdo al esquema responda.

Razonamiento Lógico Matemático

Nombramiento y Contrato Docente ¿Cuántas personas conforman la familia del chino Chang?: A) 18 B) 15 C) 10 D) 9 3. ¿Qué parentesco tiene conmigo la hija de la esposa del único vástago de mi madre? A) Hermana B) Prima C) Sobrina D) Hija 4. Si la mamá de Juana es la hermana de mi hermano gemelo. ¿Qué es respecto a mí, el abuelo del mellizo de Juana? a) Hijo b) Abuelo c) Padre d) Yerno

1) ¿Qué es pablo respecto de Luis y Ana?_______________________ 2) ¿Qué relación existe entre Clara y Elena?______________________ 3) ¿Qué es miguel de Luis? ___________________________ 4) ¿Qué es Eva de Ana? ___________________________ 5) ¿Qué es Elena de Juan? ___________________________ 6) ¿Qué es Isabel respecto de Eva? ___________________________ 7) ¿Qué es Carlos de Pablo? ___________________________

5. La mamá de Luisa es hermana de mi Padre. ¿Qué representa para mí el abuelo materno del mellizo de Luisa? a) Mi hermano b) b)Mi sobrino c) c) Mi tío d) Mi abuelo

PROBLEMAS PROPUESTOS

6. Juan es el padre de Carlos, Oscar es hijo de Pedro y a la vez hermano de Juan. ¿Quién es el padre del tío del padre del hijo de Carlos? a) Carlos b) Oscar c) Pedro d) Juan

1. Carlos es hijo de Juan, Felipe es hermano de Juan y los dos son hijos de Pedro. ¿Cuál es el parentesco de Pedro y Raúl si Raúl es hijo de Carlos? (NOMBRAMIENTO 2017). A) Tio abuelo B) Bisabuelo C) Abuelo D) Padre 2. En la familia del Chino Chang hay 7 hijas y cada hija tiene un hermano. Mg. Teodoro Yupa M.

7. ¿Qué parentesco tiene conmigo una mujer que es la hija de la esposa del único vástago de mi madre? a) nieta 101

Razonamiento Lógico Matemático

Nombramiento y Contrato Docente

PLANTEO DE ECUACIONES b) hija c) hermana d) sobrina ¿Qué es plantear una ecuación? El plantear una ecuación es una de las habilidades más importantes para la resolución de problemas, para ello tenemos que traducir un problema dado en lenguaje convencional, al lenguaje matemático con ayuda de símbolos o variables. Resolver una ecuación no es adivinar un resultado, es seguir un proceso lógico y matemático basado fundamentalmente en las propiedades de las operaciones básicas, cuyo objetivo principal va a ser hallar el valor de la incógnita (variables). Tomar en cuenta lo siguiente: 1º. 2º. 3º.

4º.

Comprender el problema identificar a la incógnita y los datos del problema. Traducir el enunciado, de la forma verbal a la forma simbólica. Resuelve la ecuación y compruébala si fuese necesario PROBLEMAS RESUELTOS EJEMPLO 1 LENGUAJE LITERAL (ENUNCIADO)

Traducción

LENGUAJE MATEMÁTICO (ECUACIÓN)

Lourdes y Rosa fueron a Polvos azules y compraron un número de blusas a S/.15 cada una y 2 jeans a S/.25 cada una, gastando en total S/.110. ¿Cuántas blusas compraron?

Algunas expresiones traducidas al lenguaje simbólico: Mg. Teodoro Yupa M.

102

Razonamiento Lógico Matemático SOLUCION:

Nombramiento y Contrato Docente puntajes era 78. ¿Cuál es el puntaje de Cristal?

• El número de blusas se representa con la variable: 𝒙

SOLUCION: • El puntaje de Cristal:

• El costo de las blusas se representa con: 𝟏𝟓𝒙

• El puntaje de Alianza Lima: x + 1 • El puntaje de Universitario: (x+1) + 1 = x + 2 • La suma de los puntajes es 78: x + (x +1) + (x + 2) = 78

• El costo total de las blusas y jeans lo representamos con: 𝟏𝟓𝒙 + 𝟓𝟎 • Como el gasto total fue S/.110, formamos la ecuación:

3x + 3 = 78

𝟏𝟓𝒙 + 𝟓𝟎 = 𝟏𝟏𝟎

3x = 75

De donde:

x = 25

𝟏𝟓𝒙 = 𝟔𝟎 Se compraron:

x

El puntaje de Cristal es 25.

𝒙=𝟒 EJEMPLO 4

EJEMPLO 2 Aurora recibió tres dólares, tuvo entonces cuatro veces de lo que hubiera tenido si hubiera perdido lo recibido ¿Cuánto tenia al comienzo?

El doble de un número es disminuido en 70 y resulta 48. ¿Cuál es el número? SOLUCION:

SOLUCIÓN:

• Sea el número :N • El doble del numero :2N • El doble del numero disminuido en 70: 2N-70 Por dato del problema:

• Tenía :x • Aurora recibió 3 dólares: x+3 • Lo que hubiera tenido si hubiera perdido lo recibido : x -3 Planteando la ecuación:

El número es 59. EJEMPLO 3 Universitario, Alianza Lima y Cristal, en cierto momento de un campeonato ocupaban la primera, segunda y tercera posición respectivamente, si la diferencia de puntajes era de una unidad en cada caso y la suma de sus Mg. Teodoro Yupa M.

Al principio tenía 5 dólares. EJEMPLO 5 Don Carlos entrega los domingos S/.90 soles de propina a sus 3 hijos Lucho, 103

Razonamiento Lógico Matemático Pepe y Mario. Si al Segundo le da 10 más que el primero y al tercero el doble del primero. ¿Cuánto recibió el segundo?

Nombramiento y Contrato Docente EJEMPLO 7 En un grupo de conejos y gallinas, el número de patas excede en 28 al doble, del número de cabezas. Los conejos son:

SOLUCION: • • • •

Propina de Lucho: Propina de Pepe: Propina de Mario: Total de Propina:

x x + 10 2x S/. 90

SOLUCION: • Número de conejos :x • Número de gallinas :y • # de patas − 2(# de cabezas) = 28

x + (x+10) + 2x = 90

4x + 2y) − 2(x + y) = 28

4x + 10 = 90 4x = 80

4x − 2y − 2x − 2y = 28

x = 20

2x = 28 x = 14

EJEMPLO 6

Respuesta: el número de conejos es 14.

Tenía ahorrado cierta cantidad de dinero que utilicé en un viaje. El primer día gasté los 4/5 de los que tenía, el segundo día gasté 2/3 del resto y el tercer día gasté los últimos S/ 80 que me quedaba. ¿Cuánto tenia ahorrado?

PROBLEMAS CON EDADES En este capítulo evaluaremos problemas donde los protagonistas son las edades de uno o más sujetos.

SOLUCION: Dinero ahorrado: x Gasté Queda 4 1 Primer día 𝑥 𝑥 5 5 2 1 ( 𝑥) Segundo 3 5 80 2𝑥 día = 15 Tercer día 80 0 Como el gasto total es en tres días, entonces: 4𝑥 2𝑥 + + 80 = 𝑥 5 15

Hay que tomar en cuenta que los problemas con edades es básicamente una aplicación del planteo de ecuaciones. De acuerdo al número de sujetos podemos distinguir dos tipos de problemas: I. CUANDO INTERVIENE LA EDAD DE UN SOLO SUJETO. Si la edad actual de un sujeto es x años, entonces dentro de “n” años y hace “m” años, su edad se expresará así:

12𝑥 + 2𝑥 + 1200 = 15𝑥 Tenía ahorrado: 𝑥 = 𝑆/.1 200 Mg. Teodoro Yupa M.

104

I. CUANDO INTERVIENE LA EDAD DE UN SOLO SUJETO. Si la edad actual de un sujeto es x años, entonces dentro de “n” años y hace “m” años, así: expresara su edad seLógico Razonamiento Matemático Nombramiento y Contrato Docente n

m

x-m

....13 -11....= ...17-15........= .....2422....

x+n

X

Dentro de “n” años Hace “m” años ahora (Futuro) (Presente) (Pasado)

II.CUANDO INTERVIENEN LAS EDADES DE DOS O MAS SUJETOS.

2º. La suma en aspa (de valores ubicados simétricamente) nos da un mismo resultado 13+15 = 17+11 13+22 = 11+24

Para resolver estos tipos de problemas es recomendable utilizar un cuadro de doble entrada con el propósito de

IMPORTANTE: Como observas el tema de edades está relacionado netamente con el planteo de ecuaciones, pero debido a la gran variedad de problemas y métodos prácticos de resolución, lo hacemos en un acápite aparte. Es evidente que lo más importante en el tema es el tiempo (pasado, presente y futuro) y desde luego hay que saber interpretar las siguientes expresiones:

CONDICIONES

ordenar y relacionar convenientemente los datos.

OBSERVACIÓN: Asumiendo que las edades de tres personas en el pasado, presente y futuro, sean:

Hace 4 años Dentro de 7 años yo tu el

Pasado

Presente

futuro

13 11 6

17 15 10

24 22 17

PROBLEMAS RESUELTOS EJEMPLO 1 A Pedro se le pregunta por su edad, responde: “Si restas a la edad que tendré dentro de 10 años, la edad que tuve hace 10 años, obtendrás mi edad” ¿Cuántos años tiene Pedro?

Del cuadro se observa que: 1º. La diferencia de las edades de dos personas es constante en cualquier tiempo. el pasado futuro

Mg. Teodoro Yupa M.

el presente

el

SOLUCION: En un cuadro trasladamos los datos: 105

Razonamiento Lógico Matemático -10 +10

x-10

Nombramiento y Contrato Docente padre será el cuádruplo de la edad de su hija? SOLUCIÓN:

x+10

Hace 10 años

Colocamos los datos en la tabla:

Dentro 10 años

Edad Actual

Según enunciado: (x +10) - (x -10) = x x + 10 - x + 10 = x x = 20. Respuesta: pedro tiene 20 años.

Según el enunciado, planteamos la ecuación:

EJEMPLO 2 Si a la edad que tendré dentro de 10 años le suman la edad que tenía hace 5 años obtienes lo que me falta para tener 65 años. ¿Cuántos años tengo?

(30 + n) = 4(3 + n)

SOLUCIÓN:

Respuesta: Dentro de 6 años.

30 + n = 12 + 4n n=6

Usamos el esquema siguiente: EJEMPLO 4

Hace 5 años Edad actual

La edad de Aurora es el triple de la edad de Elías, pero hace 20 años era el cuádruplo, la suma de sus edades es: SOLUCIÓN:

Dentro de 10 años

PASADO(Hace10

Planteando:

años)

(x+10) + (x-5) = 65 – x 2x + 5 = 65 – x

Aurora

3x-20

3x

Elías

x-20

x

x = 20

3x − 10 = 4 ( x − 10 ) 3x − 10 = 4 x − 40

Respuesta: Tengo 20 años.

x = 30 años

EJEMPLO 3

Luego:

Un padre tiene 30 años y su hija 3. ¿Dentro de cuántos años la edad de Mg. Teodoro Yupa M.

Elías=30 años 106

PRESENTE

Razonamiento Lógico Matemático Aurora=3(30)=90 años

Nombramiento y Contrato Docente

x + x = 12 + 24 2x = 36

 30 + 90 = 120 Respuesta: La suma es 120 años.

x = 18 Respuesta: Pedro tiene 18 años

EJEMPLO 5 Nuestras edades suman 47 años; sin embargo, cuando tenías 15 años yo tenía la edad que tendrás dentro de 2 años. ¿Qué edad tienes?

EJEMPLO 7 Lucy tiene 24 años, su edad es el séxtuplo que tenía Mary cuando Lucy tenía la tercera parte de la edad que tiene Mary. ¿Qué edad tiene Mary?

SOLUCIÓN: PASADO

PRESENTE

YO

x+2

47 - x

TU

15

x

FUTURO

SOLUCION: Sea “x” la edad de Mary. Pasado

Presente

Lucy

x 3

24

Mary

4

x

x+2

Suman 47 Suma en aspa: (x + 2) + x = (47 – x) + 15

Luego:

3x = 60

x − 4 = 24 − x 3

x = 20 Respuesta: 20 años.

x + x = 28 3 4 x = 28  3 x = 21

EJEMPLO 6 John tiene 24 años esta edad es el doble de la que tenía Pedro cuando John tenía la misma edad que tiene Pedro ¿Qué edad tiene Pedro?

Respuesta: Mary tiene 21 años. SITUACIONES PREVIAS NES PREVIAS 1) ¿Cuál es el número que sumado a 10 nos da 28? _____________________________

SOLUCION: John Pedro Mg. Teodoro Yupa M.

Tenia x 12

Ahora 24 x 107

Razonamiento Lógico Matemático 2) La suma de 2 números es 9. Si uno de ellos es 5. ¿Cuál es el otro? _____________________________

Nombramiento y Contrato Docente 12) Hace 4 años tenía 30 años, ¿Qué edad tendré dentro de 4 años? ____________________________

3) Enrique gastó S/. 2 por 1 kilo de azúcar. Si le dieron S/. 8 de vuelto. ¿Cuánto dinero tenía antes de la compra? _____________________________

PROBLEMAS PROPUESTOS 1. Un niño tenía S/ 85 soles, si gastó el cuádruplo de lo que no gastó. ¿Cuánto gasto? a) 34 soles b) 92 c) 96 d) 68

4) El doble de un número es 16. ¿Cuál es el número? ____________________________ 5) El triple de un número es 24. ¿De qué número se trata? _____________________________ 6) 2 veces mi edad es 18. ¿Qué edad tengo? _____________________________

2. De los 20 soles que tenía, gaste la tercera parte de lo que no gaste. ¿Cuánto gaste? a) s/4 b) s/6 c) s/5 d) s/10

7) Si al doble de un número, se le añade 4 se obtiene 10. ¿Qué número es? ____________________________

3. Una madre tiene 40 años y su hijo 10. ¿Cuántos años deben transcurrir para que la edad de la madre sea el triple del hijo? a) 5 b) 10 c) 20 d) 12

8) Si al triple de un número, se le quita 9 resulta 18. ¿Cuál es el número? _____________________________ 9) Si al doble del dinero que tienes le aumentamos S/. 4 resulta S/. 24. ¿Cuánto dinero tienes? ____________________________

4. Un niño tiene 8 años y su papá 42. ¿Cuántos años deben transcurrir para que la edad del padre sea el triple del hijo? a) 9 b) 10 c) 20 d) 12

10) El exceso de A sobre 7 es 2. ¿cuál es el valor de A? ____________________________ 11) Mi edad aumentada en 3 años da 47 años. ¿Cuál es mi edad? ____________________________

Mg. Teodoro Yupa M.

5. Juan le dice a Fidel “préstame 30 soles para tener ambos la misma cantidad”. Fidel le responde: “Mejor págame los 10 soles que 108

Razonamiento Lógico Matemático me debes y así tendré 9 veces lo que te queda” Juan tiene: a) 40 soles b) 30 soles c) 20 soles d) 5 soles 6. En un examen, un alumno ganó 4 puntos, por respuesta correcta, pero pierde un punto por cada equivocación. Si después de haber contestado 60 preguntas obtuvo 140 puntos, ¿cuántas preguntas contestó correctamente? A) 40 B) 41 C) 42 D) 43

Nombramiento y Contrato Docente A) 24 B) 18 C) 30 D) 20 10. En un colegio hay en total 999 alumnos, los cuales están distribuidos en salones que tienen capacidad para 37 y 21 alumnos solamente. Si todos los alumnos han sido ubicados en los salones. ¿Cuántos salones en total tiene el colegio? A) 40 B) 43 C) 55 D) 29 11. David tiene 40 años, su edad es el doble de la edad que tenía Julio cuando David tenía la tercera parte de la edad que tiene Julio. ¿Qué edad tiene Julio? A) 55 años B) 45 años C) 40 años D) 44 años

7. Se tiene 60 monedas, unas de 5 soles y otras de 2 soles, con las cuales se paga una deuda de 204 soles. ¿Cuántas monedas de cinco soles hay? A) 20 B) 28 C) 32 D) 24

12. Si Armando saca del banco 330 soles y el cajero automático solo le dio 12 billetes algunos de 50 soles y otros de 20 soles. ¿Cuántos billetes eran de 20 soles? A) 3 B) 4 C) 7 D) 9

8. Gordis reparte chocolates entre sus amigos, si reparte 8 a cada uno, le sobran 15. Si reparte 11 a cada uno, le faltan 3. ¿Cuántos chocolates tenia? A)62 B)54 C)48 D)63 9. Se tiene un cartón rectangular de 54 cm2 de área. En cada vértice se corta un cuadrado de 2 cm de lado, para luego formar una caja de 44 cm3 de volumen. Hallar el perímetro del cartón original. Mg. Teodoro Yupa M.

109

Razonamiento Lógico Matemático

Nombramiento y Contrato Docente También son magnitudes directamente proporcionales: a) El número y su precio cuando se paga a razón del número.

PROPORCIONALIDAD Y REGLA DE TRES I. Magnitudes directamente proporcionales

Así: • Si: 1 cuaderno cuesta S/.6; 3 cuadernos costarán: 3 x S/.6 ) S/.18. (Esto quiere decir que a más cuadernos más dinero). • Si: 8 caramelos cuestan S/.2; 4 caramelos costarán S/.1. (Esto quiere decir que a menos caramelos menos dinero).

Dos magnitudes son directamente proporcionales, si al aumentar o disminuir una de ellas, entonces la otra aumenta o disminuye en las mismas condiciones. Ejemplo: (A)# de huevos (B) Costo S/.

b) El tiempo y las unidades de trabajo realizado.

8 16 24 32 ... 2 4

6

8

...

Así: • Si: una cuadrilla de obreros hacen en 3 días 10 metros de una obra, en 6 días harán 20 metros de dicha obra. (Esto quiere decir que más días harán más metros de obra).

Observe que si duplicamos el # de huevos, el costo también se duplicará. Ocurrirá lo mismo si triplicamos, cuadriplicamos, etc. Se cumple:

c)El tiempo de trabajo y el salario percibido.

8 16 24 32 = = = = .......... 4 2 4 6 8

Así: (constante)

• Si: un obrero por 5 días de trabajo percibe S/.80, por 3 días percibirá S/.48. (Esto quiere decir que a menos días recibirá menos salario).

Se concluye que: “si dos magnitudes (A y B) son directamente proporcionales, el cociente de sus valores correspondientes es una constante, llamada constante de proporcionalidad”. Si A es D.P. a B 

Mg. Teodoro Yupa M.

A = k; k : cte B

110

Razonamiento Lógico Matemático II. Magnitudes inversamente proporcionales:

Nombramiento y Contrato Docente a) El número de obreros y el tiempo necesario para hacer una obra.

Dos magnitudes son inversamente proporcionales, si al aumentar o disminuir una de ellas, entonces la otra disminuye o aumenta en las mismas condiciones.

Así: • Si: 7 obreros hacen una obra en 4 días; 14 obreros harían la misma obra en 2 días. (Esto quiere decir que el doble número de obreros necesitará la mitad del tiempo para hacer la obra).

Ejemplo: (A)# de obreros (B) # de días

2

4

6 8

24 12 8 6

b) Los días del trabajo y las horas diarias que se trabajan.

...

Así: • Si: trabajando 10 horas diarias se necesitan 6 días para hacer una obra, trabajando 5 horas diarias se terminará la obra en 12 días (esto quiere decir que menos horas de trabajo se necesitaría más días para hacer la obra).

...

Observe que, si duplicamos el # de obreros, el # de días se reduce a la mitad. Ocurrirá lo mismo si triplicamos, cuadriplicamos, etc.

c) La velocidad de un automóvil y el tiempo empleado en recorrer una distancia.

Se cumple: 2x24 = 4x12 (constante)

=

6x8....=

48

Así: • Si un automóvil a una velocidad de 50 Km/h necesita 8 horas para recorrer una distancia, a la velocidad de 100 Km/h necesitaría 4 horas para recorrer la misma distancia. (Esto quiere decir que mayor velocidad necesitaría menos tiempo),

Se concluye que: “Si dos magnitudes (A y B) son inversamente proporcionales, el producto de sus valores correspondientes es una constante, llamada constante de proporcionalidad”.

Si A es I.P. a B  A. B. = k

k : cte.

IMPORTANTE: También son magnitudes inversamente proporcionales.

Mg. Teodoro Yupa M.

a) Una magnitud puede ser directa o inversamente proporcional a otras magnitudes. Así: 111

Razonamiento Lógico Matemático

Nombramiento y Contrato Docente

• El precio de una pieza de tela es directamente proporcional a su calidad, longitud y ancho. • El área de un rectángulo es directamente proporcional a su base y altura. • La velocidad es directamente proporcional al espacio recorrido e inversamente proporcional al tiempo.

De donde se consigue

Se cumple:

Un ciclista ha tardado 20 minutos en recorrer una distancia de 40 km. ¿Qué distancia recorrerá el ciclista en 35 minutos? Solución:

c) Las magnitudes inversamente proporcionales va de más a menos o menos a más (+ a -; - a +).

Tiempo(min) 20

35

REGLA DE TRES PREVIAS

Es una operación donde se trabaja con la proporcionalidad directa e inversa.

x=

b

c

x

x

35  40 20 2

x=

¿Cuál es su esquema-solución?

a

40

Se cumple:

A. Regla de tres simple directa Es cuando las dos magnitudes que intervienen son directamente proporcionales.

Magnitud 2

Velocidad(km/h)

Si en 20 min su velocidad era de 40km/h, queda claro que en 35 min recorrerá más distancia. Luego Se trata de una regla de tres directa.

Regla de tres simple Es aquella donde se comparan dos magnitudes. Son de dos clases la directa y la inversa.

Mg. Teodoro Yupa M.

bc x= a

Ejemplo:

b) Las magnitudes directamente proporcionales van de más a más, o de menos a menos (+ a +; - a -).

Magnitud 1

x c = b a

35  40 20 1

35  2 1 x = 70 x=

Rpta. El ciclista recorrerá 70km en 35 min. 112

Razonamiento Lógico Matemático B. Regla de tres simple inversa Es cuando las dos magnitudes que intervienen son inversamente proporcionales.

Nombramiento y Contrato Docente Rpta. Los 12 caños llenaran el deposito en 8 horas. OBSERVACIÓN: 1. Si la primera magnitud aumenta y la segunda magnitud también aumenta es una regla de tres directa.

¿Cuál es su esquema-solución? Magnitud 1

Magnitud 2

a

b

c

x

Se cumple:

2. Si la primera magnitud disminuye y la segunda magnitud también disminuye es una regla de tres directa.

a b x= c

3. Si la primera magnitud aumenta y la segunda magnitud disminuye es una regla de tres inversa.

Ejemplo:

4. Si la primera magnitud disminuye y la segunda magnitud aumenta es una regla de tres inversa.

Si 4 grifos iguales tardan 24 horas en llenar un depósito, ¿cuánto tardarían 12 grifos iguales a los anteriores en llenar el mismo depósito?

Ejemplo: 36 señoras tejen 120 chompas, 108 señoras ¿Cuántas chompas tejerán?

Solución:

Nº de grifos 4

12

señoras 36

Tiempo (horas)

24 +

x

108

Si 4 grifos tardan 24h en llenar el depósito, queda claro que 12 grifos lo llenarán en menos tiempo. Luego se trata de una regla de tres inversa.

A mayor cantidad de señoras (+) se tejerán mayor cantidad de chompas (+). Por lo tanto, son magnitudes son directamente proporcionales (D.P.)

Se cumple: x=

x=

4  24 12 4  24 12

36

Ejemplo : 12 obreros hacen un trabajo en 30 días. ¿En cuántos días harán dicho trabajo 4 obreros?

1

42 1 x =8 x=

Mg. Teodoro Yupa M.

108 . 120

x = 360 chompas

2

x=

chompas 120 + x

113

Razonamiento Lógico Matemático

obreros 12

Nombramiento y Contrato Docente Para resolverla se iguala la fracción de la magnitud cuyo dato se desconoce al producto de las demás fracciones, invirtiendo las que correspondan a magnitudes inversamente proporcionales.

días 30

-

+ 4

x

A menor número de obreros(-); la obra se hará en más días(+). Por lo tanto son magnitudes son inversamente proporcionales (I.P.)

Del ejemplo anterior:

8 8 50 =  x 6 150 8 400 8 4 = → = x 900 x 9 72 = 4 x → x = 18.

12 . 30 4 x = 90 días x=

Regla de tres compuesta Es aquella operación donde intervienen más de dos magnitudes que pueden ser directa o inversamente proporcionales.

EJEMPLO 2

¿Cuál es su esquema-solución?

Si 6 obreros pintan 4 casas en 2 días. ¿Cuántos días se demorarán tres obreros en pintar 7 casas?

Lo explicaremos con un ejemplo:

Solución: Se estudia la proporcionalidad entre la magnitud cuyo dato se desconoce y las demás magnitudes.

EJEMPLO 1 Seis obreros construyen 50m de pared en 8 días. ¿Cuántos días tardarán ocho obreros en construir 150m?

En el ejemplo:

Obreros

Nº de casas

Días

Solución:

6

4

2

Se estudia la proporcionalidad entre la magnitud cuyo dato se desconoce y las demás magnitudes.

3

7

X

inversa directa

En el ejemplo:

Obreros

metros

Días

6

50

8

8

150

X

Para resolverla se iguala la fracción de la magnitud cuyo dato se desconoce al producto de las demás fracciones, invirtiendo las que correspondan a magnitudes inversamente proporcionales.

inversa directa Mg. Teodoro Yupa M.

Del ejemplo anterior: 114

Razonamiento Lógico Matemático

Nombramiento y Contrato Docente horas de trabajo le habrá tomado a Jorge? _____________________________

2 3 4 =  x 6 7 7

2

2 12 = → 2  42 = 12  x x 42 14 = 2 x → x = 7.

6) Identifica si los siguientes problemas corresponden a Regla de tres DIRECTA O INVERSA. a) Para construir una casa en ocho meses han sido necesarios seis albañiles. ¿Cuántos habrían sido necesarios para construir la casa en tan sólo tres meses. __________________________

OBSERVACIÓN: 1. La eficiencia, habilidad, o rendimiento del obrero va junto o multiplicada a él. 2. La oposición o dificultad de la obra va junto o multiplicada a ella misma.

b) Después de una fuerte tormenta, dos autobombas han tardado 6 horas en desaguar un garaje que se había anegado. ¿Cuántas horas se hubiera tardado utilizando sólo 3 autobombas?_______________

SITUACIONES PREVIAS NES PREVIAS 1) Si 3 cuadernos cuestan S/. 18, ¿cuánto costará un cuaderno? _____________________________

c) Si en 5 cajas empaquetan 115 bolígrafos. ¿Cuántos bolígrafos podrán empaquetar en 8 cajas? __________________________

2) Un árbol tiene una altura de 12m, en tanto que un hombre tiene una estatura de 2m. ¿Cuán alto es el árbol respecto al hombre? _____________________________

d) Si tardamos 3 horas en estudiar los 5 primeros temas del examen, ¿cuántas horas más necesitamos para terminar de estudiar si en total hay 17 temas? __________________________

3) En un colegio, 6 de cada 10 estudiantes son mujeres; si el número de mujeres fuera de 60, ¿Cuántos hombres habrían? _____________________________

e) Cinco operarios tardan 9 horas en revisar el motor de todos los trenes de la estación. ¿Cuánto se tardaría en realizar el mismo trabajo si se contratan a dos operarios más? __________________________

4) La profesora Ana resuelve 8 problemas por hora, ¿Cuánto tardara en resolver 24 problemas? _____________________________ 5) Jorge realiza un trabajo a razón de 8 horas por día. Si el trabajo lo debe terminar en tres días, ¿Cuántas Mg. Teodoro Yupa M.

115

Razonamiento Lógico Matemático

Nombramiento y Contrato Docente corresponde a una ampliación proporcional de la fotografía?

PROBLEMAS PROPUESTOS

A) 18 cm. por 6 cm. B) 12 cm. por 16 cm. C) 11 cm. por 10 cm. D) 11 cm. por 14 cm.

1. Si un vendedor compra limones a 2 por 5 soles y los vende a 3 por 8 soles, ¿Cuánto ganará si vende 180 limones? (NOMBRAMIENTO 2017) A) S/. 5 B) S/. 8 C) S/. 12 D) S/. 9

5. En el cuadrado de la figura, la razón entre la superficie sombreada y la superficie en blanco es:

2. La tabla siguiente muestra los valores de x e y, donde x es inversamente proporcional a y. El valor de P es:

X

A) 54

B) 36

Y

2

18

6

P C) 6

A)

5 3

B)

5 4

C)

3 4

D)

3 5

E)

6. Si X e Y son magnitudes inversamente proporcionales. Respecto a la siguiente tabla de valores. La constante de proporcionalidad es:

D) 22

3. Un árbol de 3m. de altura da una sombra de 60 cm. Si se mantiene la razón altura/sombra, la sombra de un árbol de 3,2 m.será:

A) 2 3,2m

B) 18

3m

C) 6 60cm

A) 20 cm. C) 80 cm.

D) 9

?

7. La bicicleta de Elena avanza 100cm por cada vuelta de las ruedas. La siguiente gráfica muestra la relación entre el número de vueltas de las ruedas y la distancia recorrida:

B) 64 cm. D) 106,6 cm.

4. Sofía tiene una fotografía de 9 cm. por 12 cm. y quiere ampliarla. ¿Cuál de las siguientes medidas Mg. Teodoro Yupa M.

116

1 4

Razonamiento Lógico Matemático

Nombramiento y Contrato Docente lado proyecta una sombra de 24 m, como se muestra en la figura:

Distancia (cm)

700 600 500 400

h

300

6m

200

8m

100 0

1 2

3

4

5

6

¿Cuál es la altura (h), en metros, del segundo edificio?

7 8

Número de Vueltas

A) 16

Según la información anterior, si la bicicleta de Elena avanza 450 cm, ¿cuantas vueltas dio las ruedas? a) 4

b) 4,5

c) 4,6

B) 18

B´

A´

1500 1750 2000 2200

A

C´

C

estaca que mide 1,6 m y la sombra de ésta es de 0,7 m. Con toda esta información podemos determinar que el pino mide: A) B) C) D)

750 500 250 1

D) 32

B

d) 5

m3

0

C) 30

10. El pino de la figura proyecta una sombra de 3,5 m. A´B´ es una

8. En la gráfica se representa el consumo de agua por persona en una familia. ¿Cuántos m3 de agua consumirá una familia formada por 7 personas? a) b) c) d)

24m

2

3

4

11. Si 15 hombres hacen una obra en 5 días. ¿Cuántos hombres, harían falta para terminarla en 1 día?

Núm. de Personas

A) 3 B) 75 C) 20 D) 60

9. Un edificio de 6 m de altura proyecta una sombra de 8 m; a la misma hora, un edificio que se encuentra a su Mg. Teodoro Yupa M.

8m 10 m 12 m 14 m

117

Razonamiento Lógico Matemático 12. En un colegio de 800 alumnos, uno de cada 10 alumnos es zurdo; la razón entre los alumnos zurdos y el total de alumnos es:

Nombramiento y Contrato Docente 17. Para preparar mermelada, un cocinero usa por cada kilo de azúcar, 2 de fruta. ¿Cuántos kilos de fruta debe usar para 8 kilos de azúcar? 10 10 11 11 8080 8080 A) 3 A) BB)) CC) ) DD )) E )E ) 800 800 10 800 800 10 11 1010 B) 6 C) 8 D) 16 1 y8, 13. La razón entre los números 2 es: 18. Tres llaves llenan una piscina en 14 4 1 1 8 16 horas, ¿cuánto tardará en llenarse A) B) C) D) E) la piscina con 7 llaves iguales a 1 16 4 1 1 esas? 14. Para hacer seis tortas se ocupan 84 huevos. Para hacer 14 tortas se A) 12 horas necesitan: B) 6 horas A) 60 huevos C) 10 horas B) 120 huevos D) 8 horas C) 240 huevos D) 196 huevos 19. Una persona acumula, en promedio, 1 kilo de basura diaria. ¿Cuántos kilos juntará en 10 días? 15. Si 25 operarios producen cierta A) 14 kg cantidad de buzos en 120 horas. B) 10 kg ¿Cuántos operarios se necesitan para confeccionar la misma C) 24 kg cantidad de buzos en 24 horas? D) 12 kg A) 220 20. Si 12 campesinos recogen una B) 350 cosecha en 9 días, trabajando 6 C) 125 horas diarias. ¿Cuántos D) 75 campesinos serán necesarios para recoger la cosecha en tres días y trabajando 8 horas diarias? 16. Un vehículo recorre 150 Km. por A) 15 hora. ¿Cuántos kilómetros recorrerá B) 18 en 20 minutos? A) 75 B) 86 C) 64 D) 50 Mg. Teodoro Yupa M.

118

Razonamiento Lógico Matemático C) 22 D) 27

Nombramiento y Contrato Docente

DISTRIBUCIONES NUMÉRICAS Y GRÁFICAS

21. 18 máquinas construyen una represa, en 15 días, trabajando 9 horas diarias ¿en cuántos días construyen la represa 27 máquinas del mismo tipo, si trabajan durante 10 horas diarias? A) 4 B) 9 C) 11,1 D) 18

DISTRIBUCIÓN.-Tiene por finalidad desarrollar las habilidades numéricas mediante ejercicios de percepción numérica operativa. Distribuciones paramétricas: Su relación puede darse vertical u horizontal dependiendo del ejercicio. EJEMPLO 1

22. Si 25 ampolletas originan un gasto de $3.000 mensuales, estando encendidas 6 horas diarias, ¿qué gasto originarían 20 ampolletas, si están encendidas 10 horas diarias? A) $2.250 B) $3.750 C) $4.000 D) $5.500

Hallar “x”

4 3 9 3 7 6 8 (x) 5 Solución: (Horizontalmente)

23. 3 árboles se encuentran alineados como se muestra en la figura, el más pequeño mide 2m y el mediano 3 m, si la distancia entre cada par de árboles es de 3 m, ¿cuánto mide el árbol más alto?

4 + 3 + 9 = 16 3 + 7 + 6 = 16 8 + (x) + 5 = 16 → x = 3 Rpta.

A) 4m B) 6m C) 8m D) 5m

EJEMPLO 2 Hallar “x” 3m

Mg. Teodoro Yupa M.

15 7 9 6 13 14 4 5 (x)

3m

119

Razonamiento Lógico Matemático Solución:

Solución:

(Verticalmente)

De las premisas extraemos que:

15 + 6 4 25

7+ 13 5 25

Nombramiento y Contrato Docente

9+ 14 → x = (x) 25

240 − 40 =

x= 2. Rpta.

560 − 60 =

500 = 250 2

450 − 150 =

300 2

De donde:

Analogías numéricas

200 = 100 2

x = 150 Rpta.

EJEMPLO 3

Ejercicios que constan de premisas de donde extraemos una ley de formación y la aplicamos en la condición que contiene a la incógnita, la relación generalmente se halla horizontalmente.

¿Qué número falta?

2 (10) 6 7 (10) 3 5 (x) 2

EJEMPLO 1 ¿Qué número falta?.

Solución:

3 (17) 2 4 (27) 7 5 (x) 2

6

2 = 64  6 + 4 = 10 3

7 = 343  3 + 4 + 3 = 10 2

Solución:

5 = 25  2 + 5 = x

De las premisas extraemos que:

De donde:

5  3 + 2 = 17 5  4 + 7 = 27

Distribuciones graficas: Son figuras geométricas que contienen números los cuales están relacionados, mediante una ley de formación.

5  5 + 2 = 27 → x = 27 Rpta. EJEMPLO 2

EJEMPLO 1

¿ Qué número falta?.

240 (100) 40 560 (250) 60 450 (x) 150 Mg. Teodoro Yupa M.

x = 7 Rpta.

Hallar “x”

120

Razonamiento Lógico Matemático

Nombramiento y Contrato Docente

4 4

3

11

5

8

2

1

2

3

x

4

4

5

3

Buscando una relación 2

2

2

2

2

7

6

10

3

2

Solución: 2

x

3

1

5

4

8

1

Solución:

2 + 4 + 3 = 29 → 2 + 9 = 11

ro

1 (5 + 4) − (3 + 1) − 1 = 4

5 + 1 + 3 = 35 → 3 + 5 = 8

2

do

(6 + 7) − (5 + 4) − 1 = 3

ro

3 (3 + 10) − (8 + 1) − 1 = x

Luego: 2

2

De donde:

2

2 + 4 + 2 = 24 → 2 + 4 = x  x= 6

x=

EJEMPLO 4 ¿Qué número falta?

EJEMPLO 2 Hallar el número que falta:

−1

4

−2

8

52 13

68

4

4

17

78 6

2

x

Solución: er

círculo : 52  4 = 13

er

x = 13 Rpta.

5

ro

2 + 4 −1 + 3 = 8

2

do

2−2+3+8 = 8

3

ro

6 −4 +3+5 = x

6

11 18 6

EJEMPLO 3

27 38

3

¿Qué número falta en?

2 Solución:

Mg. Teodoro Yupa M.

2

EJEMPLO 5 ¿Qué número falta?

c írculo : 78  6 = x

De donde:

3

121

3 x

8

 x = 10 Rpta.

do

2 círculo : 68  4 = 17 3

−4

3

Solución:

1

1

3 Rpta.

x

5

Razonamiento Lógico Matemático Este tipo de ejercicios guarda una relación:

Nombramiento y Contrato Docente relacionándose con 11 obedezca el mismo patrón anterior? _____________________________

2 , 3 , 6 , 11 , 18 , 27 , 38 , x +1 +3 +5

+7

+9

4) ¿Qué número falta?

+11 +13

x = 38 + 13  x = 51 Rpta.

1 2

SITUACIONES PREVIAS 1)NES Se PREVIAS dan las siguientes relaciones numéricas: • Si relacionando 2;4 y 8, obtenemos 7. • Si relacionando 5; 3 y 6, obtenemos 7. • Si relacionando 1; 7 y 2, obtenemos 5.

6

6

7

2

2

6 2

7 3

1. Calcula el valor de n:

6

2

10

2

9

1

a) 9 b) 18 c) 64 d) 81 2. Hallar el número que falta: 41

50

53

71

14

44

26

5

3

32

a) 36

1

3) 5 se relaciona con 8; 6 se relaciona con 7 y 3 se relaciona con 10, ¿Qué valor debe tomar x para que Mg. Teodoro Yupa M.

n

25

9

7

4

x

PROBLEMAS PROPUESTOS

2) Encuentre como se relacionan los números de los vértices con el número central en cada triangulo y luego encuentre el número que debe ocupar el casillero vacío en el cuarto triángulo a partir del patrón encontrado.

5

4 1

________________________

Si relacionamos 7; 6 y 3, bajo el mismo patrón anterior, ¿Qué número obtenemos?___________________

4

9

122

b) 17

c) 9

d) 8

Razonamiento Lógico Matemático 3. Calcular el valor de n, en el siguiente círculo numérico.

n

a) 24 b) 32 c) 40 d) 49

Nombramiento y Contrato Docente c) 6 d) 8 7. ¿Cuál es el número que falta?

7

20

1

3

5

a) b) c) d)

8

14

8. Escribe el número que falta a) b) c) d)

4. ¿Qué número falta?

6

15

x

17 16

28 41

37 29

a) 12

b) 14

c) 10

10 12 13 16

52 43 34 28

d) 18

5. ¿Qué número falta en la siguiente distribución gráfica? (NOMBRAMIENTO 2017)

9. Escribe el número que falta a) b) c) d)

21 24 30 32

10. Hallar el valor de “x”

A) 18

B) 16

C) 14

D) 10

a) 14

(11) 25

43

(10) 12

27

(x) 14

b) 12

c) 10

d) 17

11. Hallar el valor de “x”

6. Hallar el número que falta:

a) 4 b) 5 Mg. Teodoro Yupa M.

31

a) 1 123

144

(10) 44

46

(6) 10

25

(x) 9

b) 4

c) 5

d) 2

Razonamiento Lógico Matemático

Nombramiento y Contrato Docente Veamos...

MÉTODOS OPERATIVOS M

A. MÉTODO DEL CANGREJO N

Donde: N = # de elementos que intervienen. M = unidad mayor. m = unidad menor. R = Total recaudado o acumulado Ejemplo:

Solución: Primero ordenamos todo el enunciado: Sea “N” el número: –2

Dato

Para pagar una deuda de S/. 130 empleo billetes de S/. 10 y S/.5 ¿cuántos billetes de los 25 con que pago dicha suma son de S/. 5.?

12

Solución:

4

Número

R

NxM − R #De elementos m = M −m de

Multiplicando un número por 5, producto al que luego restamos 2 dividiendo enseguida el resultado entre 4 con lo cual obtenemos 12 ¿Cuál era el número inicial?

x5

–

m

Ejemplo:

Incógnita

–

x

Este método nos permite encontrar las soluciones de un problema, en forma directa; para lo cual se realizan las operaciones inversas en cada caso, empezando desde el final hacia el comienzo.

l

Datos:

Luego cambiamos con su operación opuesta a cada operación y enseguida operamos por la parte final:

Incógnit x 5 a 10 50 5

4

–2 48 +2

Dato 12

x4

Cantidad de billetes = 25. Total recaudado = 130 soles. Billete de cantidad mayor = 10 soles. Billete de cantidad menor = 5 soles. Luego colocamos los datos en la figura: Cantidad de Billetes de: S/. 10

Entonces: N = 10 B. MÉTODO DEL ROMBO

25

El método del rombo es una regla práctica del método de FALSA SUPOSICIÓN. Mg. Teodoro Yupa M.

–

x –

S/. 5 124

S/. 130

Razonamiento Lógico Matemático S/. 5 =

25 x 10 − 130

Nombramiento y Contrato Docente Solución:

= 24

10 − 5

S/. 15

S/. 400 (falta)

S/. 8

S/. 160 (sobra)

C. MÉTODO DEL RECTÁNGULO Se aplica cuando participan dos cantidades mutuamente excluyentes. Generalmente donde aparecen los términos GANA-PIERDE, QUEDASOBRA, GANARIA-GANARIA.

7  Cantidad de carne(Kg) =

Veamos los siguientes casos :

80Kg x S/.8 + S/.160 = S/. 800

+ SITUACIONES PREVIAS NES PREVIAS

B (Pierde, gana)

# de elementos =

A+B a−b

1) Tengo cierta cantidad de dinero; si al gastar 30 soles me quedan aún 10 soles, ¿Cuánto tenia al principio? __________________________

, a>b

Caso II: de la misma índole A (Gana, pierde)

a

2) Un tanque de agua en cada hora que pasa desagua la mitad de su contenido. Después de dos horas de haber desaguado quedan 10 litros. ¿Cuántos litros había inicialmente? __________________________

–

–

B (Gana, pierde)

b

# de elementos

=

A− B ;a  b a−b

3) Si a la cantidad de dinero que tengo le sumo S/.2 y luego lo triplico la cantidad resultante, tendría S/. 30. ¿Cuánto tenia al principio? __________________________

Ejemplo: Un comerciante analiza: si compro a S/.15 el kilo de carne me faltaría S/.400; pero si sólo compro de S/.8 el kilo me sobraría S/.160. ¿Cuántos kilogramos necesita comprar y de que suma dispone? Mg. Teodoro Yupa M.

=

 Dinero disponible =

A (Gana, pierde)

– b

Dt Du

S / .560 = 80 S / .7

Caso I: Antagónicos (ejemplo) a

560

125

Razonamiento Lógico Matemático

Nombramiento y Contrato Docente sobraría 40 soles. ¿Cuánto dinero tengo?

PROBLEMAS PROPUESTOS

a) 840 1. Un pozo de agua se vacía en 4 horas. Si en cada hora se va la mitad que había en esa hora más 1 litro. ¿Cuántos litros tenía inicialmente el pozo? a) 21 b)27 c)30 d)28

b)54

c)50

a)60

b)10

c)12

d)52

a)10

b) 10

c) 13

d)15

a)136

d) 14

5. El payaso “Frigolito” quiere repartir cierto número de caramelos a unos niños. Si les dá 8 caramelos a cada uno, le sobran 45 y si les dá 11 a cada uno, le faltan 27. ¿Cuántos caramelos quiere repartir? a) 237

b) 327

c) 273

d) 723

6. Si compro 12 lapiceros me faltaría 260 soles y si compro 8 lapiceros me Mg. Teodoro Yupa M.

c)12

d)15

b)12

c)14

d)16

9. Fernando fue de compras llevando una suma de dinero. Con la cuarta parte compro una chompa. Con 30 soles compro una pelota, con la mitad del resto, un libro y se quedó solo con 18 soles ¿Qué suma llevo?

4. Debo pagar 205 soles con 28 monedas de 5 y 10 soles. ¿Cuántas monedas de 10 soles debo emplear? a) 15

b)10

8. A la cantidad de soles que tengo le añado 10; al resultado le multiplico por 3 y le aumento por 9; al número así obtenido le extraigo la raíz cuadrada, al resultado se le suma 12, para finalmente dividirlo entre 3 y obtener 7 soles. ¿Cuánto tenia inicialmente?

3. En un teatro las entradas de adultos costaban S/.5 y la de niños 2; si concurrieron 110 personas y se recaudaron S/.370. ¿Cuál es la diferencia entre niños y adultos? a) 60

c) 640 d) 780

7. En un teatro las entradas de adultos costaban S/.5 y la de niños 2; si concurrieron 110 personas y se recaudaron S/.370. ¿Cuál es la diferencia entre niños y adultos?

2. Si a la cantidad que tienes lo multiplicas por 3 y luego la divides por 12 , el cociente lo multiplicas por 9, luego añades 43 y finalmente obtendrás 160. ¿Cuál era la cantidad inicial? a)56

b) 820

126

b)238

c)264

d)234

Razonamiento Lógico Matemático

Nombramiento y Contrato Docente VARIABLE CUANTITATIVA Una variable cuantitativa es la que se expresa mediante un número, por tanto se pueden realizar operaciones aritméticas con ella. Podemos distinguir dos tipos:

ESTADÍSTICA La Estadística trata del recuento, ordenación y clasificación de los datos obtenidos por las observaciones, para poder hacer comparaciones y sacar conclusiones.

Variable discreta Una variable discreta es aquella que toma valores concretos, es decir no admite valores intermedios entre dos valores específicos. Por ejemplo:

I. CONCEPTOS BÁSICOS Población

Ejemplo: El número de hermanos de 5 amigos: 2, 1, 0, 1, 3.

Una población es el conjunto de todos los elementos a los que se somete a un estudio estadístico.

Variable continua

Muestra Una variable continua es aquella que puede tomar valores comprendidos entre dos números.

Una muestra es un conjunto representativo de la población de referencia, el número de individuos de una muestra es menor que el de la población.

Ejemplo: La altura de los 5 amigos: 1.73, 1.82, 1.77, 1.69, 1.75. En la práctica medimos la altura con dos decimales, pero también se podría dar con tres decimales.

Variable estadística Una variable estadística es cada una de las características o cualidades que poseen los individuos de una población.

II. TABLAS ESTADISTICAS Y DISTRIBUCION DE FRECUENCIAS

Variables con las que trabaja la estadística: VARIABLE CUALITATIVA

Cuadro de distribución de frecuencias

Las variables cualitativas se refieren a características o cualidades que no pueden ser medidas con números. Por ejemplo: nacionalidad, color de la piel, sexo, etc

La distribución de frecuencias o tabla de frecuencias es una ordenación en forma de tabla de los datos estadísticos, asignando a cada dato su frecuencia correspondiente. Tipos de frecuencias

Mg. Teodoro Yupa M.

127

Razonamiento Lógico Matemático Frecuencia absoluta La frecuencia absoluta es el número de veces que aparece un determinado valor en un estudio estadístico.

Nombramiento y Contrato Docente en porcentajes, para lo cual se multiplica la frecuencia relativa por el 100%. Frecuen cias (f)

Frecuenci a relativa (h)

11

10

1/5

12

20

2/5

13

15

3/10

14

5

1/10

50

1

Edad (x)

Se representa por fi. La suma de las frecuencias absolutas es igual al número total de datos, que se representa por N.

f1 + f 2 + f3 + ... + f n = N

Conteo de datos

TOTAL

La frecuencia relativa Interpretación:

Es el cociente que se obtiene al dividir la frecuencia entre el tamaño de la muestra (n); se representa por la letra “h”.

Frecuencia absoluta: • F1 = 10  hay 10 alumnos que tienen 11 años • F3 = 15  hay 15 alumnos que tienen 13 años

Ejemplo: Para obtener información sobre la edad que tienen los alumnos del segundo año de secundaria de un distrito, se ha encuestado a 50 alumnos de segundo año.

Frecuencia relativa: • h1 =

 1 de cada 5 alumnos

tienen 11 años • h3 = 3  3 de cada 10 alumnos

TABLA DE FRECUENCIAS

10

tienen

Se le llama también tabla de frecuencias. Es la presentación resumida y ordenada de los datos de la variable estadística y las frecuencias (absoluta y relativa).

13

años

Frecuencia porcentual: • h1 x 100 = 20%  el 20% de los encuestados tiene 11 años

Así datos recogidos de la encuesta anterior se presentan en la siguiente tabla de frecuencias.

• h3 x 100 = 30%  el 30% de los encuestados tiene 13 años

La suma de las frecuencias relativas siempre es igual a 1. La frecuencia relativa, la tabla usualmente se expresa Mg. Teodoro Yupa M.

1 5

128

Razonamiento Lógico Matemático III. DIAGRAMA PARA REPRESENTAR FRECUENCIAS

Nombramiento y Contrato Docente B. Polígonos de frecuencia Un polígono de frecuencias se forma uniendo los extremos de las barras mediante segmentos.

A. Diagrama de barras o histograma de frecuencias Un diagrama de barras se utiliza para de presentar datos cualitativos o datos cuantitativos de tipo discreto. Se representan sobre unos ejes de coordenadas, en el eje de abscisas se colocan los valores de la variable, y sobre el eje de ordenadas las frecuencias absolutas o relativas.

También se puede realizar trazando los puntos que representan las frecuencias y uniéndolos mediante segmentos. Ejemplo Las temperaturas en un día de otoño de una ciudad han sufrido las siguientes variaciones:

Los datos se representan mediante barras de una altura proporcional a la frecuencia.

Hora 6 9 12 15 18 21 24

Ejemplo Un estudio hecho al conjunto de los 20 alumnos de una clase para determinar su grupo sanguíneo ha dado el siguiente resultado: Grupo sanguíneo A B AB O Diagrama de sanguíneo

fi 6 4 1 9 20 barras

del

grupo

15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

10 8 6 4 2

6

A Mg. Teodoro Yupa M.

B

AB

temperatura 7º 12º 14º 11º 12º 10º 8º

O 129

9

12

15 18

21

24

Razonamiento Lógico Matemático C. Diagrama de sectores

Nombramiento y Contrato Docente

Un diagrama de sectores se puede utilizar para todo tipo de variables, pero se usa frecuentemente para las variables cualitativas.

Baloncesto

Futbol

Los datos se representan en un círculo, de modo que el ángulo de cada sector es proporcional a la frecuencia absoluta correspondiente.

Natación Sin deporte

D. Polígono de frecuencia

360º = . fi N El diagrama circular se construye con la ayuda de un transportador de ángulos.

Para construir el polígono de frecuencia se toma la marca de clase que coincide con el punto medio de cada rectángulo.

Ejemplo:

Ejemplo

En una clase de 30 alumnos, 12 juegan a baloncesto, 3 practican la natación, 9 juegan al fútbol y el resto no practica ningún deporte.

El peso de 65 personas adultas viene dado por la siguiente tabla: centro

fi

Alumnos

Ángulo

[50, 60)

55

8

Baloncesto

12

144°

[60, 70)

65

10

Natación

3

36°

[70, 80)

75

16

Fútbol

9

108°

[80, 90)

85

14

Sin deporte

6

72°

[90, 100)

95

10

[100, 110)

110

5

[110, 120)

115

2

Total

30

360°

El diagrama de sectores:

65 Mg. Teodoro Yupa M.

130

Razonamiento Lógico Matemático La gráfica:

Nombramiento y Contrato Docente

Ventas de arroz y azucar

Venta(en miles de soles)

16 14 12 10 8 6 4

9 8 7 6 5 4 3 2 1 Lunes Martes Miércoles Jueves Dias Arroz Azucar

2 50 60 70 80 90 100 110 120

Solución: Simultáneamente a la disminución en la venta del arroz, la venta de azúcar aumenta.

Ejercicios de distribución de frecuencias. 1. El gráfico muestra las ventas de arroz y azúcar de un almacén, en cuatro días de la semana. De acuerdo al gráfico, a medida que pasan los días:

Rpta. D. 2. El siguiente gráfico muestra el tiempo de viaje de un grupo de alumnos, de su casa al colegio. ¿Cuántos alumnos demoran más de 10 minutos en el viaje?

Nº de alumnos)

A) la venta de arroz y de azúcar aumenta. B) la venta de arroz y de azúcar disminuye. C) la venta de arroz aumenta y la de azúcar disminuye. D) la venta de arroz disminuye y la de azúcar aumenta.

9 8 7 6 5 4 3 2 1 0-5

A) 5 Mg. Teodoro Yupa M.

131

6-10 16-20 11-15 Tiempo ( en minutos)

B) 7

C) 8

D) 15

Razonamiento Lógico Matemático

Nombramiento y Contrato Docente 2º. Si la serie tiene un número impar de medidas la mediana es la puntuación central de la misma.

Solución: Se contabiliza la cantidad de alumnos que están en los intervalos 11-15 y 1620, es decir 5+2=7.

2, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6 Me= 5

Rpta B.

3°.Si la serie tiene un número par de puntuaciones la mediana es la media entre las dos puntuaciones centrales.

IV. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

7, 8, 9, 10, 11, 12

Nos indican en torno a qué valor (centro) se distribuyen los datos. Las medidas de centralización son:

Me= 9.5 C. ¿Qué es la Moda?

A. ¿Qué es la Media aritmética? La media es el valor promedio de la distribución. También se le llama simplemente media.

La moda es el valor que más se repite en una distribución.

Ejemplo:

Hallar la moda de la distribución:

Ejemplo:

Los pesos de seis amigos son: 84, 91, 72, 68, 87 y 78 kg. Hallar el peso medio.

x=

2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5 Mo= 4

84 + 91 + 72 + 68 + 87 + 78 = 80kg 6

SITUACIONES PREVIAS NES PREVIAS 1) En una clase de una Institución Educativa hemos medido la altura de los estudiantes de un aula. Sus medidas, en cm, se reflejan en la siguiente tabla agrupados en intervalos:

B. ¿Qué es la Mediana? La mediana es la puntación de la escala que separa la mitad superior de la distribución y la inferior, es decir divide la serie de datos en dos partes iguales.

Alturas [150,155) [155,160) [160,165) [165,170) [170,175)

1º. Ordenamos los datos de menor a mayor.

Mg. Teodoro Yupa M.

132

Nº alumnos (fi) 3 7 6 4 5

Razonamiento Lógico Matemático a) ¿Cuántos alumnos conforman el aula?_____________________ b) ¿Cuántos alumnos tienen una estatura mayor o igual a 155 cm, pero menor a 160 cm? __________________________

Nombramiento y Contrato Docente habían visto la película que obtuvo más premios ese año. Los resultados se reflejan en la gráfica: a) ¿Cuántas personas contestaron a la encuesta? __________________________

c) ¿Cuántos alumnos presentan una estatura mayor o igual a 165 cm? __________________________

b) Elabora la tabla de frecuencias correspondiente. __________________________ 5) A partir de la siguiente gráfica estadística de gustos deportivos:

2) Un equipo de básquetbol ha obtenido los siguientes puntajes en un campeonato:

6

68 – 72 – 56 – 76 – 84 – 50 – 85 – 72 – 66 – 69 – 59.

5

¿Cuál es la media aritmética de sus puntos? ¿Cuál es la mediana?

3

_____________________________ _____________________________

1

4

Nº de respuestas

150

175 125

SI

n ió ta c

nc lo

na

es

m

Nota Nº alumnos

50

NO OPINIÓN

Mg. Teodoro Yupa M.

is

6) La siguiente tabla refleja las calificaciones de los alumnos de un aula en un examen de Matemáticas:

100 0

cl

a) ¿Cuantos fueron encuestados? b) ¿A qué porcentaje de las personas no le gusta el ciclismo? __________________________ __________________________

4) Se realizó una encuesta a un grupo de personas para comprobar si 200

ba

3) En la serie de datos: 2-7-4-8-2-1429, calcular la media, mediana y moda. _____________________________ _____________________________ _____________________________

ci

at le

tis

m

o

o

0

to

2

133

12 10

10 5

16 8

20 7

Razonamiento Lógico Matemático a) ¿Cuántos estudiantes forman el aula?______________________ b) ¿Cuántos alumnos aprobaron __________________________ c) ¿Cuántos sacaron una nota mayor a la aprobatoria? __________________________ d) ¿Cuántos sacaron una nota menor a la aprobatoria? __________________________ e) Calcular la nota media, la moda y la mediana. __________________________ __________________________ __________________________

Nombramiento y Contrato Docente __________________________ d) Dibujar un diagrama de barras. PROBLEMAS PROPUESTOS 1. En la última práctica calificada de aritmética se obtuvieron las siguientes metas de 5 alumnos. 08, 12, 14, 06, 20 Hallar Mediana. a) 8

d) 14

A) Que el promedio del curso en la prueba corresponde a 5. B) Que la mitad del curso sacó más de 5, y la otra mitad, sacó menos de 5. C) Que la nota con mayor frecuencia fue un 5. D) Que la diferencia entre la nota más alta y la nota más baja fue de 5.

Nº de personas 10 25 43 31 12 4

3. En una prueba los alumnos obtienen los siguientes puntos: 20, 20, 20, 30, 30, 40, 50, 50, 60, 60, 60. La mediana es: A) 20 B) 40 C)30 D) 50 4. En el último examen se obtuvieron las siguientes notas de 8 alumnos: 12, 14, 16, 12, 14, 08, 05, 03. Hallar la Mediana. a) 8 b) 12 c) 12,5 d) 14

a) ¿Cuántas personas han ido el médico 7 veces en el último año? ¿Cuántas han ido 4 veces? __________________________

5. De los siguientes datos hallar la moda: 6, 8, 4, 6, 6, 8, 4, 12, 13, 4, 6

b) ¿Qué porcentaje de personas ha ido al médico más de 6 veces? __________________________

a) 4 c) Calcular la moda. Mg. Teodoro Yupa M.

c) 12

2. En un curso, la moda de las notas de una prueba fue de 5. ¿Qué significa esto?

7) En la siguiente tabla se recoge el número de veces que un grupo de usuarios de un ambulatorio han tenido que acudir a su médico en el último año.

Nº de visitas al médico 1 3 5 7 10 12

b) 6

134

b) 6

c) 8

d) 12

Razonamiento Lógico Matemático 6. De los siguientes datos halla la mediana: 14, 16, 25, 36, 18, 12, 11, 16, 14 a) 12

b) 11

c) 14

Nombramiento y Contrato Docente distribuidos en el gráfico circular adjunto:

d) 16

7. De los siguientes datos no agrupados hallar la media aritmética: 26, 34, 24, 16, 14, 12, 16, 18 a) 26

b) 34

c) 20

d) 12 ¿Qué cantidad de personas encuestadas mostraron su preferencia por el Candidato C?

Población en millones

8. El incremento de la población de un país es el mismo entre el 2010 y el 2020, que entre el 2000 y 2010. De acuerdo a este gráfico ¿Cuál es la población aproximada de ese país el año 2020?

A) B) C) D)

270 465 345 220

10. Jessica preparó este gráfico para representar la cantidad de frutas que cosechó su papá.

50 45 40

Cosecha de frutas

35

Kg

30

4000

25 20 1960

3000 1980 2000 2020 Años

A) 58 millones

B) 53 millones

C) 50 millones

D) 47 millones

2000 1000

Frutas

s

es

dia

on Lim

S an

s

gos

aya

Mg. Teodoro Yupa M.

n Ma

Pap

9. Para las Elecciones Municipales y Regionales 2018, la empresa DATUM realizó una encuesta a una muestra de 1500 personas en la ciudad del Lima, acerca de sus preferencias electorales para la Alcaldía del Lima. Se obtuvieron los siguientes resultados

Observa el gráfico que hizo Jessica y marca la afirmación que es verdadera: A) Hay más kilogramos de sandías que de papayas. 135

Razonamiento Lógico Matemático B) Hay menos kilogramos de mangos que de limones. C) Hay más kilogramos de sandías que de mangos. D) Hay menos kilogramos de papayas que de limones.

Nombramiento y Contrato Docente Entonces, el gráfico que representa adecuadamente la información anterior en términos porcentuales es:

A. A.

11. La madre de Roberto le deja coger un caramelo de una bolsa. Él no puede ver los caramelos. El número de caramelos de cada color que hay en la bolsa se muestra en el siguiente gráfico.

50% 50% 30% 30%

C. C.

8 6

50% 50%

20% 20%

20% 20%

30% 30%

D. D.

50% 50% 40% 40%

4

B. B.

50% 50% 15% 15%

10% 10%

35% 35%

2

13. EI gráfico muestra la distribución de edades de 40 estudiantes.

Marrón

Violeta

Rosa

Azul

Verde

Amarillo

Naranja

Rojo

0

Cantidad de estudiantes según su edad

20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0

¿Cuál es la probabilidad de que Roberto coja un caramelo rojo? B) 20%

C) 25%

TOTAL

A) 10% D) 50%

Cantidad de postulantes

12. Se tiene la siguiente información acerca de los postulantes a una plaza de Contrato Docente:

9

11

12

Para un estudio sobre rendimiento estudiantil, se requiere calcular el promedio de las edades de estos estudiantes. ¿Cuál es el valor de este promedio, en años?

Niveles

A) 10,40 C) 10,70 Mg. Teodoro Yupa M.

10

136

B) 10,50 D) 11,00

Razonamiento Lógico Matemático

Nombramiento y Contrato Docente

CONCEPTOS BASICOS DE PROBABILIDAD

P(A) =

CASOS FAVORABLES CASOS POSIBLES

Experimento aleatorio Es toda prueba o ensayo cuyo resultado no se puede predecir con seguridad antes de realizarlo.

EJEMPLO 1 En una tómbola hay 15 bolitas iguales, numeradas del 1 al 15. Al sacar una de ellas ¿Cuál es la probabilidad de obtener la bolita con el número 2?

Por ejemplo: - Lanzar un dado - Extraer una bola de una caja

Solución:

Espacio muestral

El suceso A es: “Sacar una bolita de la tómbola y obtener un dos”

Es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio.

Los casos favorables son: 1 Los casos posibles son: 15

Ejemplo: Al lanzar un dado puede obtenerse los siguientes puntos: {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Aplicando la Regla de Laplace: P( A) =

¿Qué es un evento? Se llama evento a cualquier subconjunto del espacio muestral.

……lo que quiere decir que la posibilidad de obtener la bolita con el nro. dos es de una en quince.

Ejem: Al lanzar un dado Entonces evento “A” tal que:

EJEMPLO 2

A : Resulta un número par

¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar un dado se obtenga un número par?

A = {2, 4, 6}

Solución:

Definición de probabilidad

Suceso A: “Lanzar un dado y obtener un número par”

Cuando se realiza una prueba esta puede dar varios resultados distintos, pero todos igualmente probables.

Casos favorables: {2,4,6} Casos posibles: {1,2,3,4,5,6}

La probabilidad, denotada por P(A), de un evento A es el cociente entre el número de casos favorables y el número de casos posibles. Mg. Teodoro Yupa M.

1 15 .

Aplicando la Regla de Laplace

137

Razonamiento Lógico Matemático

P( A) =

Nombramiento y Contrato Docente Calcule la probabilidad de que al elegir aleatoriamente un estudiante éste sea:

3 1 = . 6 2

A) Hombre B) Mujer Solución:

EJEMPLO 3 En una caja hay 3 bolitas azules, 2 bolitas rojas y 1 bolita verde. Al sacar una de ellas al azar ¿Cuál es la probabilidad de obtener una bolita roja?

C) Menor de 14 años D) De 14 a más años

Antes de calcular estas probabilidades, tenemos que definir cada uno de los sucesos:

Solución:

A: “El estudiante seleccionado es un hombre”.

Suceso A: “Sacar una bolita roja de una caja que contiene 6 bolitas”

B: “El estudiante seleccionado es una mujer”.

Casos favorables: 2

C: “El estudiante seleccionado menor de 14”.

Casos posibles: 6

D: “El estudiante seleccionado es de 14 años a más”.

Aplicando la Regla de Laplace

P( A) =

Una vez definidos los sucesos, la probabilidad de que cada una de ellas ocurra se calcula aplicando la fórmula de probabilidad.

2 1 = . 6 3

EJEMPLO 4

Observemos:

En la I.E. “Jorge Martorell ” se ha clasificado a 1 000 estudiantes según su edad y sexo, mujeres(M) y hombres(H). Los datos se muestran en la siguiente tabla de doble entrada:

Sexo

M

H

Total

700 → P( A) = 0,7 1000 300 → P( A) = 0,3 • P( A) = 1000 350 → P( A) = 0,35 • P( A) = 1000 650 → P( A) = 0,65 • P( A) = 1000 Casos:

350

A) Para eventos Mutuamente excluyentes:

•

Edad Menores de 14 años De 14 a más Total

100 250 200 450 300 700

Mg. Teodoro Yupa M.

P( A) =

P ( A  B ) = P ( A) + P ( B ) ;

A B = 

650 B) Para eventos Independientes (ocurrencia simultanea): P ( A  B ) = P ( A)  P ( B )

1 000 138

Razonamiento Lógico Matemático

Nombramiento y Contrato Docente 3. Al lanzar un dado de 6 caras ¿Cuál es la probabilidad de obtener 7 puntos? a) 1/2 b) 7/6 c) 0 d) No tiene caso

SITUACIONES PREVIAS NES PREVIAS 1) Una urna tiene ocho bolas rojas, 5 amarilla y siete verdes. Si se extrae una bola al azar calcular la probabilidad de: a) Sea roja.________________ b) Sea verde._______________ c) Sea amarilla._____________ d) No sea roja.______________ e) No sea amarilla.___________

4. En el experimento “Lanzar un dado”, calcula la probabilidad de obtener un número mayor que 4. a) 1 b) 1/2 c) 2/3 d) 1/3

2) Se lanza una moneda y un dado común, halle la probabilidad que salga: a) Cara y 6________________ b) Sello y 1________________ c) Sello y 7________________

5. En una bolsa hay 12 fichas, numeradas del 1 al 12. Rocío saca una ficha de la bolsa sin mirar. ¿Cuál es la probabilidad de que Rocío saque una ficha que sea múltiplo de 4? (b) ¿Cuál es la probabilidad de que la ficha extraída sea un divisor de 12? a) 1/4; 1/2 b) 1/2 ; 2/3 c) 1/4; 1 d) 1/2 ;3/4

3) Se lanzan dos dados comunes, cual es la probabilidad de obtener: a) Suma 12________________ b) Un 2 y un 4______________ c) Una suma mayor a 8_______ PROBLEMAS PROPUESTOS 1. En una urna hay 3 bolas blancas, 2 rojas y 4 azules. Calcula la probabilidad de que al extraer una bola al azar, ésta sea roja. A) 2/3 B) 2/9 C) 1/3 D) 4/5 2. Calcular la probabilidad de aprobar un examen de matemáticas si la probabilidad de no aprobar es 0,4. A) 0,4 B) 0,7 C) 1 D) 0,6 Mg. Teodoro Yupa M.

6. ¿Cuál es la probabilidad de obtener 3 o 4 al lanzar un dado? a)1 b) 1/2 c)2/3 d)1/3 7. Se lanza un dado y una moneda simultáneamente, ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número primo y un sello? a)1/4 b) 1/2 c) 2/3 d)1/3 139

Razonamiento Lógico Matemático

Nombramiento y Contrato Docente

PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS

5.De cuántas formas se puede leer la palabra “MINEDU”

1. Determina el número total de segmentos en el siguiente gráfico:

P

R

O

F

M I N

E

E

U

U

A) 128

2. ¿Cuántos triángulos siguiente figura?

hay

en

la

E

E D

D

D

D

N

N

E

A)12 B)10 C)15 D)9

I

U

U

U

B) 16

D U

C) 32

D) 64

6.De cuántas formas se puede leer la palabra “EDUCA”

A) 6 B) 7 C) 12 D) 9

E D U

A

A) 128

U

U C

C

3. Hallar el total de cuadrados en la figura:

D

A

B) 16

C

C A

A

C) 32

A

D) 64

7.Calcule el total de cubos simples en la siguiente figura. A) 48

B) 50

C) 55

A) 48 B) 70 C) 90 D) 100

D) 42

4.¿Cuántas pirámides de base cuadrada hay en el sólido mostrado? A) 63 B) 70 C) 77 D) 98 Mg. Teodoro Yupa M.

140

Razonamiento Lógico Matemático 8.Indicar la figura que corresponde al plegado de la figura adjunta.

Nombramiento y Contrato Docente 11.Sean las operaciones definidas: a  b = 2a – b a  b = a2 – 3ab + 1 Hallar el valor de: R = (1  2)  2 a) 1

(A)

(B)

(C)

b) –1 c) 2

d) 0

(D)

9.Indique la figura que se forma al doblar la figura dada.

12.Se define la operación triangulo como sigue:

3x+1

=

x 2

A partir de esto halle: 13 a) 2

(A)

(B)

(C)

(D)

b) 1

c) 1/2

d) 1/4

13.Si se define la operación siguiente:

10.Se define: X = X+1

Según esto, determinar el valor de la siguiente expresión:

= (m+n)(m-n) + m.n

Halle:

5

a) 15 b) 30 c) 45

Mg. Teodoro Yupa M.

d) 60

a) 3 b) 4 c) 8 d) 12

14. Se define la operación ♥ de la forma siguiente:

141

Razonamiento Lógico Matemático

Nombramiento y Contrato Docente

3a2b = a − b (276) Hallar: (122) a) 1

b) 2

c) 3

d) 0

15.Se practican agujeros centrales completos, retirando cubitos del sólido mostrado, ¿Cuántos cubitos quedan?

A) 18

B) 16

C) 25

A) 10:15 am C) 9:45 am

B) 10:45 am D) 10:15 am

18.¿Cuál de los siguientes cubos se puede formar con el desarrollo de la figura superior?

D) 20

16.En la boleta de notas de un alumno se observó: Curso

Nota

Peso

Matemáticas Lenguaje Física

12 14 15

5 4 1

¿Cuál es su promedio ponderado del alumno? a) 13

b) 13,1

c) 13,6

d) 13,3

(a)

(c)

(d)

19.Las caras opuestas de un dado siempre suman 7. El dado rueda en un circuito como se presenta en la figura. Inicialmente, la cara superior es un 3. ¿Cuál será la cara superior al final del recorrido?(en la figura se ha citado como ejemplo una rotación)

17.Si un reloj se refleja en el espejo como se observa en la figura. ¿Qué hora marca?

Mg. Teodoro Yupa M.

(b)

142

Razonamiento Lógico Matemático

Nombramiento y Contrato Docente A D

C

B

E

a) A

a)2

b)6

c)4

d)5

b) B

c) C

d) E

22.En la figura, si se pinta todo el sólido.

20.Observa la siguiente serie:

¿Cuántos cubos tienen 4 caras pintadas?

¿Qué figura continúa? a) 2 b) 3 c) 4 d) 5

d)

23.Si se cumple la siguiente analogía gráfica:

21.Un pedazo de papel se corta como muestra la figura y se dobla a lo largo de las líneas punteadas para formar una caja abierta. Si la caja se coloca en una mesa de manera que la parte abierta quede hacia arriba. ¿Cuál es la base de la caja?

Mg. Teodoro Yupa M.

143

Razonamiento Lógico Matemático 24.Indique la figura que se forma al doblar la figura dada.

A

B

C

a) 14 b) 18 c) 20 d) 15

D

25.Para tomar el tren a las 7H:15M, salgo de mi casa a las 6H:50M y llego a la estación 5 minutos antes de la salida del tren. ¿Cuánto tiempo empleo en ir de mi casa a la estación? a) 20 min b) 30 min c) 35 min d) 45 min 26.Un aeroplano va de Habana a Miami y regresa en 100 minutos. A causa del viento el viaje de ida demora 12 minutos más que el de regreso. ¿Cuántos minutos demora cada viaje? a) 44 y 56 b) 50 y 62 c) 40 y 52 d) NA.

Nombramiento y Contrato Docente 27.En un colegio para pasar de año debe tener un promedio superior o igual a 18 en el semestre. Si Juan tiene las siguientes notas: 1era: 20, 2da: 15, 3era: 20, 4ta: 20. Si el total de notas son cinco. ¿Cuál debería ser la nota mínima que tiene que sacar Juan en la 5ta nota si es que quiere pasar el año?

28.Gladis como administradora de un colegio tiene que organizar deportes en enero, marzo y mayo; exposiciones en febrero, abril y junio; encuentros en enero, mayo y junio; y visitas en febrero y marzo. Si se le asigna dinero para dos actividades por mes; ¿En qué mes le sobra dinero? a) Enero b) Febrero c) Marzo d) Abril 29.El término que continúa en la serie 15R, 11P, 7N; ..., es: A. 3M B. 4N C. 4L D. 3L

Mg. Teodoro Yupa M.

144

Razonamiento Lógico Matemático 30.En Estados Unidos el 1 de enero el sol sale a las 5h33min y se oculta a las 18h55min. ¿Cuál es la duración del día?. A) 800 min B) 802 min C) 13 h D) 780 min

Nombramiento y Contrato Docente

PRUEBA UNICA NACIONAL 2018 SOLUCIONARIO RAZONAMIENTO LÓGICO 1. A un taller de capacitación asistieron 80 docentes peruanos. Además, se sabe que:

31.Cinco postes telefónicos están separados entre sí 25 metros. ¿Cuál es la distancia entre el primero y el último? A) 75 B) 100 C) 125 D) 150

• 44 de ellos eran de Comunicación y los restantes eran de Matemática. •18 docentes de Comunicación nacieron en Lima y 21 docentes de Matemática,nacieron en una región diferente de Lima. Del total de asistentes al taller, ¿cuántos docentes nacieron en una región diferente de Lima?

32.Un cuaderno y un lápiz cuestan S/2.40; el cuaderno cuesta S/.1.20 más que el lápiz. ¿Cuánto cuesta el cuaderno? A) S/.1.40 B) S/.1.50 C) S/.1.80 D) S/.1.90

A) 47 B) 33 C) 21 SOLUCION: (Tema: Diagrama de Carroll) Distribuimos los datos en el diagrama: Lima Otra Región

33.En el catálogo de cierto supermercado se registra la siguiente oferta: por la compra de dos botellas de aceite te llevas tres, la unidad te sale S/. 4.66. ¿Cuál será el precio real de una botella de aceite?

18

26

44

Matemática

15 33

21 47

36 80

Rpta. a. 2. Juan decide preparar un flan para la cena. Según las indicaciones de una receta, se necesitan 6 huevos, 240 g de azúcar y 540 mL de leche. Juan desea obtener más porciones, manteniendo la misma proporción de los ingredientes de la receta. Si tiene

A) S/. 4.66 B) S/. 5.88 C) S/. 6.99 D) S/. 7.33 Mg. Teodoro Yupa M.

Comunicación

145

Razonamiento Lógico Matemático pensado usar 8 huevos, ¿qué cantidad de azúcar y de leche necesitará?

Nombramiento y Contrato Docente SOLUCIÓN: (Tema: Orden de Información). Disponemos los datos de menor a mayor estatura sobre una recta: C = Cinthya M = madre A = abuela

A) 242 g de azúcar y 542 mL de leche. B) 320 g de azúcar y 720 mL de leche. C) 480 g de azúcar y 1080 mL de leche.

M

A

1 cm

Respuesta a.

Solución: (Tema: Proporcionalidad) SOLUCIÓN: Receta: • 6 huevos. • 240g de azucar. • 540 mL de leche. Como debe mantenerse la misma proporción de cada ingrediente, la lista anterior equivale a: • 1 huevo • 40g de azucar • 90 ml de leche (hemos sacado la sexta parte a cada ingrediente dela lista anterior).

4. Se ha formado una secuencia de figuras con palitos de helado de la siguiente manera: • En la primera figura, se usan cuatro palitos para formar un cuadrado. • En la segunda figura, se usan siete palitos para formar dos cuadrados contiguos. • En la tercera figura, se usan diez palitos para formar tres cuadrados contiguos.

Por lo tanto, al usar 8 huevos debe usar 320g de azucar y 720 mL de leche. (Se ha multiplicado por 8 la última lista) Respuesta b.

¿Cuántos palitos se usarán para formar la figura 12? A) 48 B) 40 C) 37

3. Cinthya es 3 cm más alta que su madre y su madre es 5 cm más baja que su abuela. Si se sabe que la estatura de Cinthya es 1,65 m, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera? A) La estatura de la abuela de Cinthya es 1,67 m. B) Cinthya es 2 cm más alta que su abuela. C) La madre de Cinthya mide 1,68 m. Mg. Teodoro Yupa M.

C

SOLUCIÓN: (Tema: Proporcionalidad) Del enunciado, representamos en problema gráficamente:

146

Razonamiento Lógico Matemático 1 cuadrado 2 cuadrados 3 cuadrados

7;

x3+1

x3+1

x3+1

x3+1

4;

12 cuadrados

10;

SOLUCIÓN: (Tema: Operaciones con cantidades).

; …. 37

Respuesta c. Hay otro método que consiste en seguir la secuencia que avanza de tres en tres y así llegar hasta la figura 12 que tendrá 37 palitos.

PRIMER MÉTODO: Si contamos 3h a partir de 17:30 h tendremos 20:36 h horas, pero aquí nos hemos pasado 36-14=22min; por lo que el tiempo que paso bailando será: 3h - 22min = 2:38h.

5. Una carretera pasa por las ciudades P, Q, R y S, pero no necesariamente en ese orden. Su recorrido es de sur a norte y viceversa. Si se sabe que la ciudad S está al norte de Q y R, la ciudad Q está al sur de P y la ciudad S está entre P y R, ¿cuál de estas ciudades está más al norte? A) P B) Q C) R

SEGUNDO MÉTODO: Para restar adecuadamente los tiempos la hora de 20:14h se puede escribir equivalentemente como 19 : 74 h Restando:

19:74 17:36 2:38 h Respuesta c.

SOLUCIÓN: (Tema: Orden de Información).

7. Si se organiza un concurso entre cinco equipos de tal manera que cada equipo compite con otro una sola vez, ¿cuántos encuentros se deben programar? A) 10 B) 20 C) 25

Ubicamos las ciudades sobre la recta según los datos del problema En la figura tenemos una representación de dicha situación. Q R S P Sur

Norte

Respuesta a.

SOLUCIÓN: (Tema: Técnicas de Conteo). • El primer equipo compite con otros 4 equipos. • El segundo equipo compite con los 3 equipos que quedan. • El tercer equipo compite con los 2 equipos que quedan. • El cuarto equipo compite con 1 equipo que queda.

6. En una maratón de baile, gana la pareja que logre bailar sin descanso por más tiempo. Si la pareja ganadora empezó a bailar a las 17:36 h y paró a las 20:14 h del mismo día, ¿cuánto tiempo estuvo bailando? A) 3 h 38 min B) 3 h 22 min Mg. Teodoro Yupa M.

Nombramiento y Contrato Docente C) 2 h 38 min

147

Razonamiento Lógico Matemático • El quinto equipo no compite, porque ya compitió en los anteriores encuentros.

Nombramiento y Contrato Docente es verdadera? A) Por las seis pulseras verdes, Jaime tuvo que leer nueve libros. B) Jaime leyó ocho libros para obtener dos pulseras verdes. C) Por cada pulsera roja, Jaime tuvo que leer dos libros.

Por lo tanto, el número total de encuentros es: 4+3+2+1 = 10. Respuesta a. 8. Lucas está de vacaciones en Europa. De los 100 dólares que tiene, gasta 30 dólares en una tienda y el equivalente a 40 euros en otra.

SOLUCIÓN: (Tema: Regla Conjunta).

Sabiendo que un dólar equivale a 3,25 soles y un euro equivale a 3,80 soles, ¿a cuántos soles equivale el monto que le sobra?

Disponemos las equivalencias: 3 libros 2 pulseras amarillas 4 pulseras amarillas 3 pulseras rojas 6 pulseras rojas 2 pulseras verdes 6 pulseras verdes x libros

A) 75,50 soles. B) 97,50 soles. C) 114,00 soles.

3.4.6.6 = 2.3.2.x De donde x = 36 «Por 6 pulseras verdes recibe 36 libros»

SOLUCIÓN: (Tema: Operaciones con cantidades).

Ósea que por una pulsera verde recibe 6 libros.

• Tenía al principio: 100 D x 3, 25 soles = 325 soles. • Primer gasto: 30 D x 3, 25 soles = 97,5 soles. • Segundo gasto: 40 E x 3, 25 soles = 152 soles. • Gasto total =97,5 + 152 = 249,5 soles. • Lo que queda = 325 – 249,5 = 75, 50 soles.

Ya que 6 pulseras rojas equivalen a 2 pulseras verdes, esto implica que 6 pulseras rojas equivalen a 12 libros. Por lo tanto, por cada pulsera roja, Jaime recibe 2 libros. Respuesta c. 10. Ante la cercanía de un encuentro deportivo internacional, el dueño de una tienda comercial de venta de artefactos eléctricos decide incrementar en 25% el precio de venta de los televisores. Si uno de los televisores se vendió a S/ 2000 con el incremento, ¿cuál era el precio de venta inicial? A) S/ 1500

Respuesta a. 9. En una biblioteca, por cada tres libros leídos, el lector recibe dos pulseras amarillas; por cuatro pulseras amarillas, recibe tres pulseras rojas; y, por cada seis pulseras rojas, recibe dos pulseras verdes. Si Jaime tiene seis pulseras verdes, ¿cuál de las siguientes afirmaciones Mg. Teodoro Yupa M.

148

Razonamiento Lógico Matemático B) S/ 1600 C) S/ 1975

Nombramiento y Contrato Docente Si solo se puede elegir un sabor de helado y un tipo de recubrimiento, ¿cuántas combinaciones diferentes se pueden pedir? A) 7 B) 12 C) 24

SOLUCIÓN: (Tema: Porcentajes y regla de tres).

S/. 2000 X

125% 100%

SOLUCIÓN: (Tema: Técnicas de

2000 x 100% X = 125%

conteo). • El helado de sabor vainilla puede ir acompañado por mermelada, pecanas o frutas confitadas. Total 3 combinaciones. • El helado de sabor fresa puede ir acompañado por mermelada, pecanas o frutas confitadas. Total 3 combinaciones. • El helado sabor chocolate puede ir acompañado por mermelada, pecanas o frutas confitadas. Total 3 combinaciones. • Finalmente, el helado sabor lúcuma puede ir acompañado por mermelada, pecanas o frutas confitadas. Total 3 combinaciones.

X = 1600 Respuesta b. 11. Un estudiante emplea ocho horas del día en dormir, seis horas en sus labores académicas y tres horas en alimentarse. ¿Qué parte del día le queda para realizar otras actividades? A) 7/24 B) 9/24 C) 17/24 SOLUCIÓN: (Tema: Fracciones).

Dormir Lab. Académicas Alimentarse

8H 6H 3H 17 H

Otras Actividades

24 H – 17 H = 7H

Fracción =

Por lo tanto, el número de combinaciones posibles es 3+3+3+3 = 12.

7 24

Respuesta a.

13. Adrián, Bruno y Cristian viven en un edificio de tres pisos, cada uno en un piso distinto. Uno de ellos es dentista, otro es profesor y el otro es taxista. Se sabe que:

12. Una heladería ofrece los siguientes sabores de helado: vainilla, fresa, chocolate y lúcuma acompañados de un tipo de recubrimiento que puede ser mermelada, pecanas o frutas confitadas. Mg. Teodoro Yupa M.

Otro método: N° de combinaciones = N° de sabores del helado x N°de recubrimiento que acompaña. N° de combinaciones = 4 x 3 = 12.

149

Razonamiento Lógico Matemático • El dentista vive inmediatamente debajo de Cristian. • Adrián vive entre el profesor y Bruno. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera? A) El taxista vive en el segundo piso. B) El dentista vive en el primer piso. C) Bruno es el taxista.

Nombramiento y Contrato Docente RUSIA2018RUSIA2018RUSIA2018... 9 elementos

Información). Disponemos los datos en el cuadro siguiente: 3° Cristian

Profesiones

Profesor

2°

Adrián

Dentista

1°

Bruno

Taxista

15. Lea con atención las siguientes premisas: • Todos los trabajadores de la empresa E han estudiado en el instituto T. • Todos los que han estudiado en el instituto T han llevado un curso de reciclaje. A partir de las premisas anteriores, ¿qué se puede inferir?

Por lo tanto, Bruno es el taxista. Respuesta c. 14. Dada la siguiente secuencia: RUSIA2018RUSIA2018RUSIA2018…

A) Todos los que han llevado un curso de reciclaje trabajan en la empresa E. B) Todos los trabajadores de la empresa E han llevado un curso de reciclaje. C) Solo los que trabajan en la empresa E han llevado un curso de reciclaje.

Considerando el orden de izquierda a derecha, ¿cuál es la letra o cifra que ocupa el lugar 100? A) R B) 8 C) A SOLUCIÓN: (Tema: Razonamiento

Inductivo).

SOLUCIÓN: (Tema: Premisas y

• Contamos los elementos de la palabra RUSIA2018:

Mg. Teodoro Yupa M.

9 elementos

• Ahora averiguamos cuántas de esas expresiones se repiten en 100 elementos. • Dividiendo 100 entre 9 obtenemos por cociente 11 y residuo 1. • El "11" nos indica las veces que aparece la expresión "RUSIA 2018" y el residuo "1" nos dice que sobra un elemento y ese elemento la letra R. • Por consiguiente, el elemento que ocupa la posición 100 es la letra R. Respuesta a.

SOLUCIÓN: (Tema: Orden de

Personas

9 elementos

conclusiones).

150

Razonamiento Lógico Matemático Utilizando conjuntos con la operación de inclusión:

Nombramiento y Contrato Docente 17. En una región del Perú, se realizan trueques entre los pobladores de una comunidad. Dichos pobladores intercambian una olla de barro por 1/2 kg de zanahorias y 1 kg de alverjas. Por otro lado, 1 kg de alverjas se puede intercambiar por 2 kg de zanahorias. ¿Cuántas ollas de barro se pueden intercambiar por 20 kg de alverjas? A) 8 ollas de barro. B) 16 ollas de barro. C) 25 ollas de barro.

Curso de Reciclaje

T E

Sólo cumple la opción B. Respuesta b.

SOLUCIÓN: (Tema: Variación de

Regla Conjunta). • Del enunciado: 1 olla = 1/2 kg de zanahorias + 1 kg de arveja. • Esto equivale a:

16. Si se sabe que: • Relacionando 1, 8 y 2, se obtiene 4. • Relacionando 2, 9 y 3, se obtiene 6. • Relacionando 2, 16 y 4, se obtiene 8.

8 ollas = 4 kg de zanahorias + 8 kg de arveja. 2kg de arverjas (dato)

Si se mantiene la misma relación, ¿cuánto se obtiene al relacionar 4, 12 y 6?

• Entonces: 8 ollas = 10 kg de arvejas. • De esto último se concluye que 20 kg de arveja equivalen a 16 ollas.

A) 8 B) 10 C) 12

Respuesta b.

SOLUCIÓN: (Tema: Distribuciones

numéricas). Los números se relacionan bajo las operaciones sucesivas de multiplicación y división:

18. En una ciudad, hay tres tipos de monedas: kina, soti y lets; los cambios monetarios se realizanentre kinas y sotis, y entre sotis y letses. Si se sabe que dos kinas equivalen a tres sotis y un soti equivale a tres letses, ¿cuál es el precio en kinas de un artefacto que cuesta 54 letses?

1x8:2=4 2x9:3=6 2 x 16 : 4 = 8 4 x 12 : 6 = 8 Respuesta a.

A) 12 kinas. Mg. Teodoro Yupa M.

151

Razonamiento Lógico Matemático B) 27 kinas. C) 36 kinas.

Nombramiento y Contrato Docente • Nótese que partiendo del vértice J, cada vuelta corresponde a un recorrido de 40 cm. • N° de vueltas desde y hasta el vértice «J» = 9; sobrando 10 cm, según la división: 370 40 10 9 • Por lo tanto, avanzará 10 cm más y se ubicará en el vértice K.

SOLUCIÓN: (Tema: Regla conjunta).

Disponemos las equivalencias correctamente, según el esquema:

2K 1S 54 L 108

= x = 12

3S 3L xK 9x

Respuesta b.

Respuesta a. 20. Año bisiesto es aquel que tiene 366 días, es decir, un día más que un año común.

19. En un cuadrado de 10 cm de lado, cada vértice está representado por las letras J, K, L y M, en ese orden y de forma consecutiva. Si un punto móvil inicia su recorrido en el vértice J, luego se dirige al vértice K, luego a L, después a M y continúa hacia J, y vuelve a repetir sucesivamente el mismo trayecto, ¿en qué vértice se encontrará el punto móvil cuando recorra 370 cm?

Además, se sabe que: • Si un año es bisiesto, será múltiplo de cuatro. • Si un año es múltiplo de cuatro, será un número par. De lo anterior, se puede inferir lo siguiente: A) Si un año es múltiplo de cuatro, ese año será bisiesto. B) Si un año es un número par, ese año será bisiesto. C) Si un año es bisiesto, ese año será un número par.

A) J B) K C) L SOLUCIÓN: (Tema: Razonamiento

SOLUCIÓN: (Tema: Premisas y

Inductivo). • Nos ayudamos de un gráfico:

K 10 cm

Realizamos la siguiente notación:

L

10 cm

10 cm

J 10 cm

conclusiones).

M

Mg. Teodoro Yupa M.

Extraemos conclusiones:

152

Razonamiento Lógico Matemático

P

•

De la primera premisa: P incluye a Q

•

De la segunda premisa: Q incluye a R

•

Nombramiento y Contrato Docente Quien llega primero será aquel que hace menos tiempo en la competencia. En este caso el menor decimal es 50, 420, que corresponde a Ernesto.

De ambas premisa:

Q Q

Respuesta c.

R Q

22. Alicia, Bianca, Charo, Dafne y Elena se sientan alrededor de una mesa circular con seis asientos distribuidos simétricamente. Se observa que:

P

R

• Elena se sienta junto a Charo y frente a Bianca. • Alicia se sienta frente a Dafne.

Del último grafico se infiere: «si un año es bisiesto, ese año será numero par» Otro método: si P Q y Q R, entonces: P R Que se traduce como la opción «c». Respuesta c.

Entonces, se puede afirmar que necesariamente el asiento vacío se encuentra: A) junto a Alicia. B) junto a Dafne. C) junto a Bianca.

21. Los tiempos (en segundos) de los concursantes de una competencia de natación estilo mariposa en la prueba de 100 m son los siguientes:

SOLUCIÓN: (Tema: Orden de

Información). Del enunciado se desprenden las siguientes posibilidades.

• Roger: 50,6 • Daniel: 50,788 • Ernesto: 50,42

Ch

Ch

E

D

E

A

A

B

D

B

¿Quién llegó primero? A) Roger B) Daniel C) Ernesto

A

D SOLUCIÓN: (Tema: Operaciones con

cantidades).

Completando los decimales: 50, 600 Roger : 50, 6 Daniel : 50, 788 50, 788 Ernesto : 50, 42 50, 420 Mg. Teodoro Yupa M.

E

E B

Ch

A 153

B

Ch

D

Razonamiento Lógico Matemático Observamos que en el asiento vacío siempre al costado de Bianca.

Nombramiento y Contrato Docente como 3°, así como Paola que puede llegar 3° o 2°. Pero esto no latera la respuesta. Respuesta b.

Respuesta c.

24. A partir de las siguientes premisas: • Todos los exalumnos del colegio C son norteños, a excepción de uno que es pelirrojo. • Ningún pelirrojo es músico.

23. Melina, Nancy, Olivia y Paola compitieron en una carrera en la que no hubo empates. Más tarde, Rodrigo le preguntó a cada una cómo le fue y ellas respondieron lo siguiente:

¿Cuál de los siguientes razonamientos es correcto?

• Melina: “Yo gané”. • Nancy: “Yo quedé última”. • Olivia: “Yo no quedé última”. • Paola: “Yo no quedé primera ni última”.

A) Adrián es un norteño pelirrojo; por lo tanto, estudió en el colegio C. B) Claudio es músico y estudió en el colegio C; por lo tanto, es norteño. C) Bonifacio no es pelirrojo y estudió en el colegio C; por lo tanto, es músico.

Diego, quien presenció la carrera, le dijo a Rodrigo los puestos de llegada de cada una. Así Rodrigo descubrió que una de las cuatro competidoras le había mentido. ¿Quién ganó la carrera?

SOLUCIÓN: (Tema: Premisas y

conclusiones). Primera premisa:

A) Melina B) Olivia C) Paola

Norteños

Pelirojos

Ex alumnos de C

SOLUCIÓN: (Tema: Verdades y

Mentiras). Construimos el cuadro mostrado e insertamos los datos del problema:

Asociando la Segunda premisa: Norteños Ex alumnos de C

COMENTARIO: Del cuadro, la única que miente es Melina. Además no se puede precisar exactamente el orden de llegada de las cuatro personas. Melina puede llegar 2° Mg. Teodoro Yupa M.

Pelirojos

Claudio

154

Músico

Razonamiento Lógico Matemático

Nombramiento y Contrato Docente

CLAVE DE RESPUESTAS

De la figura se observa que solo cumple la opción b.

I. SITUACIONES PREVIAS Respuesta b. 1. REGLA CONJUNTA 1) 2 2) 6 3) 10 4) 2 5) 2 6) 1 7) 2

25. En la ciudad de Nairobi amanece antes que en la ciudad de Kinshasa y, además, hay dos horas de diferencia entre ambas ciudades. El vuelo entre estas dos ciudades dura 3 horas y 15 minutos. Si un avión parte al mediodía de la ciudad de Nairobi (hora de Nairobi), ¿a qué hora llegará a la ciudad de Kinshasa (hora de Kinshasa)? A) 17:15 h B) 15:15 h C) 13:15 h

2. ORDEN DE INFORMACION 1) Anibal 2) Juan; Pedro o Beto 3) C 4) Carlos

SOLUCIÓN: (Tema: Operaciones con

Cantidades). 3. SUCESIONES 1) I. 2) 13. 3) 15.

•

Dado que en Nairobi amanece antes que Kinshasa, en esta última ciudad la hora será siempre 2 horas más temprano. • A mediodía, 12h en Nairobi, corresponde las 10h en Kinshasa. • Luego la hora de llegada del vuelo a Kinshasa será: 10h + 3h 15 min = 13h 15min .

4) 5) 35. 6) 10. 7) C.

.

4. RAZONAMIENTO INDUCTIVO NUMERICO Y GRAFICO 1) a)16; b)25; c)7. 2) a) 8; b)12; c)12. 3) a) 16; b)22; c)10. 4) a) cuadrado; b) cuadrado.

Respuesta c.

5. ANALISIS COMBINATORIO 1) 3. 2) 3. Mg. Teodoro Yupa M.

155

Razonamiento Lógico Matemático 3) 2. 4) 2. 5) 7. 6) 4. 7) 3.

Nombramiento y Contrato Docente 10) 1/6. 8. PORCENTAJES 1) 8. 2) 50%. 3) 50%. 4) 75. 5) S/.640. 6) 70%. 7) 110%. 8) 20%. 9) 3/4. 10) 20.

6. VERDADES Y MENTIRAS 1) Carlos y María. 2) Juan y Pablo. 3) No estudia muchas horas durante el dia. 4) Lunes o martes. 5) Aprobaré el examen 6) Rosa y Marleni. 7) Boris y Daniel.

9. TEORIA DE CONJUNTOS DIAGRAMA DE CARROLL 1) No tienen elementos comunes. 2) Los elementos de A son también elementos de B. 3) Intersección. 4) Inclusión. 5) Disjuntos. 6) a) A; b) B y D; c) E; d) D; e) B y C; f) B. 7) a) 10; b) 30; c) 40; d) 50; e) 40.

7. FRACCIONES 1) La mitad de 1/3

1/3

1/3

1/3

2) La mitad de 2/3 son honestos.

10. INFERENCIA CON PREMISAS I. 1) D 2) B 3) D 4) A 5) C 6) G 7) B 8) B 9) D II.

2/3

3)

4/5 de álbumes de futbol

4) 5) 6) 7) 8) 9)

1/4. 3/2. 1/4. El mayor. 40 litros. 64.

Mg. Teodoro Yupa M.

156

Razonamiento Lógico Matemático 1) A 2) A 3) A 4) C III. 1) Cuadrúpedos. 2) Tienen ojos. 3) Son blancos. 4) Mayor que Ana. 5) PM: Todo romano es italiano; Pm: Todo italiano es europeo; TM: italiano. 6) PM: Todo metal conduce la electricidad; Pm: el oro es un metal; TM: metal. 7) Es peligroso. 8) Palomas. 9) Matías va al cielo. 10) Hoy estudié.

Nombramiento y Contrato Docente 5) C 13. CONTEO DE CUBOS, CARAS Y VISTAS 1) a) 12 b) 4 c) 16 2) a) 5 b) 4 c) 9 14. PARENTESCOS

11. PERIMETROS Y ÁREAS 1) 100 cm2. 2) Perim: 60 cm; Área: 120 cm2. 3) Perim: 30 cm; Área: 18 cm2 4) Perim: 75, 36 cm; Area: 452,16 cm2 5) 23 cm. 6) 15 cm. 7) 12 cm2 8) 25 cm2 9) 680 m. 10) Perim: 18 cm; Área: 12 cm2

Responda: 1) mi tío 2) mi abuela 3) mi cuñada 4) mi sobrino 5) mi mamá

II.

De acuerdo al esquema responda: 1) hijo 2) cuñados 3) nuero 4) nieta 5) tía 6) Prima 7) sobrino

15. PLANTEO 1) 2) 3) 4) 5) 6)

12. CERTEZAS 1) D 2) D 3) D 4) C Mg. Teodoro Yupa M.

I.

157

18 4 10 8 8 9 años

DE

ECUACIONES

Razonamiento Lógico Matemático 7) 3 8) 9 9) 10 10) 9 11) 44 12) 38

Nombramiento y Contrato Docente c) 9 2) Media = 68,82 Mediana = 69 3) Media = 9,43 Mediana = 7 Moda = 2

16. PROPORCIONALIDAD Y REGLA DE TRES 1) 6 s/ 2) Es 6 veces mayor 3) 40 4) 3H 5) 24

4) a) 300 b) … 5) a) 10 b) 50% 6)

a) b) c) d) e)

inversa inversa directa directa inversa

a) b) c) d) e)

Media = 14,6 Moda = 12 Mediana = 14

17. DISTRIBUCIONES NUMERICAS Y GRAFICAS 1) 8 2) 6 3) 2 4) 3

7) a) 31 b) 37% c) Moda = 5 d)

18. METODOS OPERATIVOS (CANGREJO, ROMBO, RECTANGULO) 1) 40 2) 40 3) 8

20. PROBABILIDAD 1) a) 2/5 b) 7/20 c) 1/4 d) 3/5 e) 3/4 2) a) 1/12

19. ESTADISTICA 1) a) 25 b) 7 Mg. Teodoro Yupa M.

30 25 25 5

158

Razonamiento Lógico Matemático b) 1/12 c) 0 3) a) 1/36 b) 1/18 c) 5/18

Nombramiento y Contrato Docente 14. A • CUADRO DE DECISIONES 15. B 16. A 17. D 18. C 19. B

II. PROBLEMAS PROPUESTOS 1. REGLA CONJUNTA 1. D 2. C 3. A 4. A 5. B 6. B 7. C 8. B 9. C 10. C

3. SUCESIONES 1. D 2. A 3. D 4. C 5. B 6. B 7. A 8. A 9. D 10. D 11. A 12. C 13. C 14. B 15. C 16. C 17. D 18. C 19. B

2. ORDEN DE INFORMACION • ORDENAMIENTO LINEAL: 1. B 2. D 3. A 4. A 5. D 6. D 7. B 8. C

4. RAZONAMIENTO INDUCTIVO NÚMERICO Y GRÁFICO 1. D 2. C 3. C 4. B 5. C 6. B 7. A

• ORDENAMIENTO CIRCULAR 9. D 10. B 11. D 12. D 13. C Mg. Teodoro Yupa M.

159

Razonamiento Lógico Matemático 8. A 9. A 10. D 11. C 12. D 13. B 14. A

Nombramiento y Contrato Docente 6. C 7. A 8. B 9. B 10. D 11. B 12. A 13. B 14. B 15. D 16. B

5. ANÁLISIS COMBINATORIO 1. D 2. C 3. D 4. B 5. A 6. C 7. D 8. D 9. C 10. C 11. D 12. D

8. PORCENTAJES 1. A 2. C 3. A 4. B 5. D 6. B 7. B 8. C 9. C 10. C 11. B 12. C 13. A 14. C

6. VERDADES Y MENTIRAS 1. D 2. B 3. D 4. B 5. B 6. C 7. C 8. C 9. B

9. TEORÍA DE CONJUNTOS DIAGRAMA DE CARROLL 1. C 2. C 3. C 4. B 5. A 6. B 7. C 8. B 9. B

7. FRACCIONES 1. D 2. D 3. A 4. C 5. A Mg. Teodoro Yupa M.

160

Razonamiento Lógico Matemático 10. B 11. C

Nombramiento y Contrato Docente 17. C 18. A

10. INFERENCIA CON PREMISAS 1. C 2. D 3. A 4. C 5. D 6. D 7. B 8. B 9. D 10. D 11. B 12. B 13. B 14. C 15. A 16. D 17. D

12. CERTEZAS 1. B 2. C 3. C 4. C 5. A 6. D 7. C 8. B 9. B 10. B 13. CONTEO DE CUBOS, CARAS Y VISTAS 1. B 2. C 3. C 4. D 5. A 6. B 7. C 8. B 9. B 10. B 11. C 12. C

11. PERÍMETROS Y ÁREAS 1. C 2. A 3. D 4. A 5. D 6. B 7. A 8. B 9. D 10. B 11. D 12. B 13. B 14. B 15. D 16. A Mg. Teodoro Yupa M.

14. PARENTESCOS 1. B 2. C 3. D 4. C 5. D 6. C 7. B 161

Razonamiento Lógico Matemático 15. PLANTEO DE ECUACIONES 1. D 2. C 3. A 4. A 5. C 6. A 7. B 8. D 9. A 10. B 11. B 12. D 16. PROPORCIONALIDAD REGLA DE TRES 1. C 2. C 3. B 4. B 5. D 6. B 7. B 8. B 9. B 10. A 11. B 12. C 13. B 14. D 15. D 16. D 17. D 18. B 19. B 20. D 21. B 22. C Mg. Teodoro Yupa M.

Nombramiento y Contrato Docente 23. A 17. DISTRIBUCIONES NÚMERICAS Y GRÁFICAS 1. D 2. D 3. C 4. A 5. C 6. D 7. D 8. C 9. A 10. A 11. B

Y

18. MÉTODOS OPERATIVOS (CANGREJO, ROMBO, RECTANGULO) 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

C D B C A C B C C

19. ESTADÍSTICA 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 162

C C B B B D C

Razonamiento Lógico Matemático 8. C 9. A 10. A 11. B 12. C 13. C

Nombramiento y Contrato Docente 21. C 22. A 23. B 24. A 25. A 26. A 27. D 28. D 29. D 30. B 31. B 32. C 33. C

20. PROBABILIDAD 1. B 2. D 3. D 4. D 5. A 6. D 7. A

21. PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS 1. B 2. C 3. C 4. D 5. C 6. B 7. A 8. D 9. D 10. B 11. A 12. A 13. A 14. A 15. D 16. B 17. C 18. D 19. B 20. D Mg. Teodoro Yupa M.

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