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Pagina de soluciones https://facultystaff.richmond.edu/~ggilfoyl/qm/solutions.html CAPÍTULO 1 RESUMEN DE CONCEPTOS MECÁNICA DE CLÁSICOS Este es un capítulo preparatoria en la que se revisan los conceptos fundamentales de la clásica mecánicos importantes para el desarrollo y la comprensión de la mecánica cuántica. ecuaciones de Hamilton s se introducen y se observa la relevancia de las coordenadas y las constantes del movimiento cíclico. Al discutir el estado de un sistema, nos encontramos brevemente nuestra primera distinción entre las descripciones clásicas y cuánticas. Las nociones de prohibido dominios y puntos de inflexión de interés para movimiento clásico, que encuentran aplicación en cuántica la mecánica, así, también se describen. La motivación experimental y antecedentes históricos planta de la mecánica cuántica se describen en el Capítulo 2. 1.1 COORDENADAS generalizada o "bueno" Nuestra discusión se inicia con el concepto de coordenadas generalizadas o buenas. Un cordón (idealizado para una partícula puntual) obligado a moverse en una rígida recta alambre tiene un grado de libertad (Fig. 1.1). Esto significa que sólo una variable (o Se necesita parámetro) para especificar la ubicación única de la perla en el espacio. Para el problema en discusión, la variable puede ser el desplazamiento de una arbitraria pero origen especificada a lo largo del alambre.

Figura 1.1 Un cordón obligado a moverse en

un alambre recto tiene un grado de libertad. Una partícula obligado a moverse en un plano piso tiene dos grados de libertad. Dos variables independientes son suficientes para determinar de forma única la posición de la partícula en espacio. Con respecto a un arbitrario, pero origen especificado en el plano, tales variables podrían ser las coordenadas cartesianas (x, y) o las coordenadas polares (Ó, Â) de la partícula (Fig. 1.2). Dos perlas obligado a moverse en el mismo cable rígida recta tienen dos grados de libertad. Un conjunto de coordenadas adecuadas son los desplazamientos de la persona partículas (xu x2) (Fig. 1.3).

Figura 1.2 Una partícula limitada a se mueven en un plano tiene dos grados de libertad. Ejemplos de coordenadas son (x, y) o (г, в).

FIGURA 1.3 Dos bolas en un alambre tienen dos grados de libertad. Las coordenadas x, y x2 denotar desplazamientos de las partículas 1 y 2, respectivamente.

FIGURA 1.4 Una mancuerna rígida en un plano tiene tres grados de freex dom. Un buen conjunto de coordenadas son: (x, y), la ubicación del centro, y в, la inclinación de la barra con la horizontal. Una barra rígida (o dumbbell) obligado a moverse en un plano tiene tres grados de libertad. coordenadas apropiadas son: la ubicación de su centro (x, y) y el angular desplazamiento de la varilla de la horizontal, в (Fig. 1.4). coordenadas independientes que sirven para determinar de forma única la orientación y ubicación de un sistema en el espacio físico se llaman generalizada o canónico o buena coordenadas. Un sistema con las coordenadas generalizadas N tiene n grados de libertad. la orientación y ubicación de un sistema con, por ejemplo, tres grados de libertad no son especificada hasta que se especifiquen las tres coordenadas generalizadas. El hecho de que buena coordenadas pueden especificarse independientemente uno de otro medio que, dada la valores de todas menos una de las coordenadas, el último de coordenadas sigue siendo arbitraria. Teniendo especificadas (x, y) para una partícula puntual en el espacio de 3 dimensiones, uno sigue siendo libre de elegir de manera independiente z de los valores asignados de x e y. PROBLEMAS 1.1 Para cada uno de los siguientes sistemas, especifique el número de grados de libertad y un conjunto de buenas coordenadas. (A) Un cordón obligado a moverse en un aro circular cerrado que se fija en el espacio. (B) Un cordón obligado a moverse en una hélice de paso constante y radio constante. (C) Una partícula en un cilindro circular recto. (D) Un par de tijeras en un avión.

(E) una varilla rígida en 3-espacio. (F) Una cruz rígida en 3-espacio. (G) Un resorte lineal en 3-espacio. (H) Cualquier cuerpo rígido con un punto fijo. (I) un átomo de hidrógeno. (J) Un átomo de litio. (K) Un péndulo compuesto (dos péndulos extremo a extremo adjuntos). 1.2 muestran que una partícula obligado a moverse en una curva de cualquier forma tiene un grado de libertad. Responder Una curva es un locus unidimensional y puede ser generado por las ecuaciones parametrizadas x = x (n), у = y (ri), z = z (r \) Una vez que la variable n independiente (por ejemplo, la longitud a lo largo de la curva) se da, x, y, y z se especifican. 1.3 Demostrar que una partícula obligado a moverse sobre una superficie de forma arbitraria tiene dos grados de libertad. Responder Una superficie es un locus de dos dimensiones. Es generado por la ecuación u (x. y. z) = 0 Cualquier dos de las tres variables x, y, z determinar el tercero. Por ejemplo, podemos resolver para z en el ecuación anterior para obtener la ecuación más familiar para un (z altura en el punto x, y) de la superficie, z = z {x, y) En este caso, x e у pueden servir como coordenadas generalizadas. 1.4 ¿Cuántos grados de libertad que hace compuesta de un gas clásico de 1023 partículas puntuales han?

1.2 ENERGÍA, el hamiltoniano, y el momento angular Estos tres elementos de la mecánica clásica han sido elegidos porque tienen contrapartes directas en la mecánica cuántica. Además, como en la mecánica clásica,

su papel en la mecánica cuántica es muy importante. Tengamos en cuenta que una partícula de masa m en el campo de potencial V (x, y, z) se mueven sobre la Trayectoria x = x(t) у = y(t)

(1.1)

z = z(t) En cualquier instante t, la energía de la partícula es

La velocidad de la partícula es v. Los puntos denotan derivadas respecto al tiempo. La fuerza sobre la partícula F es el gradiente negativo del potencial.

Los tres vectores unitarios (ex, ey,, ez) se encuentran a lo largo de los tres ejes cartesianos. He aquí dos ejemplos de potencial. La energía de una partícula en el gravitacional campo de fuerza, es

La partícula está a la altura z sobre el nivel del mar. Para este ejemplo,

Un electrón de carga q y masa m, entre las placas del condensador que se mantienen en la diferencia de potencial Фо y separados por la distancia d (Fig. 1.5), tiene potencial

Figura 1.5 electrón en un campo del condensador uniforme. El desplazamiento del electrón de la placa inferior es z. La energía del electrón es

En ambos ejemplos anteriores, el sistema (de partículas) tiene tres grados de libertad. los coordenadas cartesianas (x, y, z) de la partícula son de ninguna manera el único "bueno" coordenadas para estos casos. Por ejemplo, en el último ejemplo, podemos expresar la energía del electrón en coordenadas esféricas (Fig 1.6.):

En coordenadas cilíndricas (Fig. 1.7) la energía es

El átomo de hidrógeno tiene seis grados de libertad. De (x1, y1,z3) son las coordenadas del protón y (x2, y2, z2) son las coordenadas del electrón, la energía de la átomo de hidrógeno aparece como

(Fig. 1.8). La masa del protón es M y la del electrón es m. En todos los casos anteriormente, la energía es una constante del movimiento. Una constante del movimiento es un proceso dinámico función que es constante ya que el sistema se despliega en el tiempo. Para cada uno de estos casos,

FIGURA 1.8 El átomo de hidrógeno tiene seis grados de libertad. el cartesiana coordenadas del protón y el electrón

servir como buenos coordenadas generalizadas.

FIGURA 1.9 Momento angular de una partícula con momento p sobre el origen 0. E es lo inicialmente, mantiene ese valor, no importa lo complicado que el movimiento subsiguiente es. Constantes del movimiento son extremadamente útiles en la mecánica clásica y a menudo sirven para facilitar el cálculo de la trayectoria. Un sistema que de ninguna manera interactúa con cualquier otro objeto en el universo se llama un sistema aislado. La energía total, la cantidad de movimiento, y el momento angular de una aislados sistema son constantes. Recordemos la definición de tum cantidad de movimiento lineal y angular para una partícula. Una partícula de masa m que se mueve con velocidad v tiene la cantidad de movimiento

El momento angular de esta partícula, medido sobre un origen específico, es

donde r es el radio vector desde el origen a la partícula (Fig. 1.9). Si no hay ningún componente de la fuerza sobre una partícula en una dirección dada (constante), la componente del momento en esa dirección es constante. Por ejemplo, para una partícula en un campo gravitatorio que está en la dirección z, px y py son constantes. Si no hay componente del par de torsión N en una dirección dada, el componente de momento angular en esa dirección es constante. Esto se deduce directamente de la de Newton

segunda ley de momento angular,

Para una partícula en un campo gravitatorio que está en la dirección menos z, el par de torsión sobre la partícula es

FIGURA 1.10 El par r x F no tiene un componente en la dirección z. El vector de radio desde el origen de la partícula es г (Fig. 1.10). Desde ez x г no tiene componente en la dirección z (ez • ez x г = 0), se deduce que

FIGURA 1.11 El movimiento proyectada en el plano xy es una recta línea. Su ecuación viene dada por el componente z constante de angular impulso: Lz = xpy - ypx. Las ecuaciones de Hamilton Las constantes de movimiento para sistemas más complicados no se encuentran tan fácilmente. Sin embargo, hay un formalista que trata este problema directamente. Es hamiltoniano mecánica. Considere la expresión de la energía de un electrón entre las placas del condensador 15). Reescritura de esta expresión en términos de la cantidad de movimiento p (a diferencia de velocidad) da

1.3 EL ESTADO DE UN SISTEMA Para conocer los valores de las coordenadas generalizadas de un sistema en un instante dado es conocer la ubicación y orientación del sistema en ese instante. En la física clásica nos se puede pedir más información sobre el sistema en cualquier instante dado. Podemos pedir su movimiento también. La ubicación, orientación, y el movimiento del sistema en un determinado instante especificar el estado del sistema en ese instante. Para una partícula puntual en el espacio de 3 dimensiones, Г el estado clásica está dada por las seis cantidades (Fig. 1.14)

Más en general, el estado de un sistema es un agregado mínima de información acerca de la sistema que es máximamente informativo. Un conjunto de buenas coordenadas y sus derivadas temporales correspondientes (las velocidades generalizadas) o impulsos (impulsos canónica) que corresponde siempre sirve como un agregado tan mínimo que es máximamente informativo y sirve para especificar el estado de un sistema en la física clásica. El estado del sistema compuesto de dos partículas de punto que se mueve en un plano es dado por los ocho parámetros

Al igual que el conjunto de coordenadas generalizadas se asigna a un determinado sistema no es única, ni es la descripción del estado Г. Por ejemplo, el estado de un punto partícula que se mueve en un plano de representación cartesiana es

Todas las representaciones del estado de un sistema dado en la mecánica clásica contienen un número igual de variables. Si pensamos en Г como un vector, a continuación, para un sistema con N grados de libertad, Г es de 2N dimensiones. En la mecánica clásica el cambio de la representación se efectúa mediante un cambio de un conjunto de coordenadas canónicas y momentos (q, p) a otro conjunto válido de coordenadas canónicas y los momentos (q´, p ').

Una forma de transformación canónica resulta simplemente de un cambio en las coordenadas. Por ejemplo, la transformación de cartesiano de coordenadas polares para una partícula se mueve en un plano los siguientes efectos del cambio en la representación:

Representaciones en la mecánica cuántica A continuación, vamos a examinar brevemente la forma estos conceptos tienen en la mecánica cuántica. La especificación de los parámetros que determina el estado de un sistema en la mecánica cuántica es más sutil que en la mecánica clásica. Como se verá en el curso del desarrollo de este texto, en la mecánica cuántica no se es libre para especificar al mismo tiempo cierta conjuntos de variables relativas a un sistema. Por ejemplo, mientras que el estado de una conexión clásica partícula que se mueve en la dirección x está dada por los valores de su posición x, y el impulso px, en la mecánica cuántica tal especificación simultánea no se puede hacer. Por lo tanto, si la posición x de la partícula se mide en un instante dado, la partícula se deja en un estado en el momento de la partícula es máximamente incierto. Si, por otra la mano del impulso se mide px, la partícula se deja en un estado en el que su posición es máximamente incierto. Supongamos que se sabe que la partícula tiene un valor específico de impulso. Entonces, uno puede preguntarse si hay otras variables cuyos valores pueden ser verifique sin destruir el valor establecido de cantidad de movimiento. Para un país libre una partícula puede especificar aún más la energía £; es decir, en la mecánica cuántica es

posible que la partícula para estar en un estado tal que la medición de impulso definitivamente Busca el valor px y la medición de la energía sin duda encuentra que el valor E. Supongamos no hay más propiedades observables de la partícula libre que pueden ser especificados simultáneamente con las dos variables. En consecuencia, los valores de px y E comprenden la declaración más informativa se puede hacer sobre la partícula y estos valores pueden ser llevado a comprender el estado del sistema de la partícula Como se señalaba anteriormente, si la partícula está en este estado, lo cierto es que la medición de el impulso encuentra px y la medición de la energía encuentra E. Tales valores de px y E se denominan en ocasiones buenos números cuánticos. Al igual que con su contraparte clásica, la buena números cuánticos son un conjunto independiente de parámetros que se pueden especificar al mismo tiempo y que son máximamente informativo. Para algunos problemas en la mecánica cuántica que resultará conveniente para dar la Estado en términos de las componentes cartesianas de momento angular: Lx, Ly y Lz. Encontraremos que especifica el valor de Lz, por ejemplo, induce una incertidumbre en los componentes que se acompañan de Lx y Ly, de modo que, por ejemplo, es imposible especificar simultáneamente Lz y Lx para un sistema dado. Uno puede, sin embargo, simultáneamente especificar Lz junto con el cuadrado de la magnitud de la cantidad de movimiento total, L2. para una partícula que se mueve en un entorno con simetría esférica, también se puede especificar de forma simultánea la energía de la partícula. Este es el más informativo 1 comunicado se puede hacer sobre una partícula tal, y los valores de energía, L2 y Lz, comprender una estado cuántico del sistema.

Los valores de E, L2 y Lz son entonces buenos números cuánticos. Es decir, que son una conjunto independiente de los parámetros que se pueden especificar al mismo tiempo y que son máximamente informativo. Así como el cambio en la representación, como se discutió anteriormente, desempeña un papel importante en

la física clásica, lo mismo ocurre con su contrapartida en la mecánica cuántica. Una representación en la mecánica cuántica se refiere a los observables que se puede especificar con precisión en una estado dado. Al transformar a una nueva representación, nuevos observables se especifican en el estado. Para una partícula puntual libre de moverse en el espacio de 3, en una representación de los tres componentes del momento lineal px, py, pz y se especifican mientras que en otra representación de la energía p2 / 2m, el cuadrado del momento angular L2, y cualquier componente del momento angular, dicen Lz, se especifican. En este cambio de la representación,

Cuando se trata el problema de la cantidad de movimiento angular de dos partículas (L1 y L2, respectivamente) en una representación, ( L1^2, L2^2, LZ1, LZ2) se especifican mientras que en otra representación, (L 1^2, L2^2, L^2, Lz) se especifican. Aquí estamos escribiendo L para el momento angular total del sistema L = L1 + L2. En este cambio de la representación,

Por último, en esta breve descripción introductoria, nos volvemos al concepto de la el cambio del estado cuántico en el tiempo. En la mecánica clásica, las leyes del movimiento de Newton determinar el cambio del estado del sistema en el tiempo. En la mecánica cuántica, la Evolución en el tiempo del estado del sistema se incorpora en la onda (o estado) función y su ecuación de movimiento, la ecuación de Schrödinger. A través de la función de onda, se puede calcular los valores (esperado) de propiedades observables del sistema, incluyendo el tiempo de desarrollo del estado del sistema. Estos conceptos del estado cuántico de su evolución en el tiempo y el cambio en representación comprenden temas principales en la mecánica cuántica. Su comprensión y aplicación son importantes y están completamente desarrollados más adelante en el texto. PROBLEMAS 1.13 Escriba un conjunto de variables que pueden ser utilizados para prescribir el estado clásica para cada uno de los 11 sistemas enumerados en el problema 1.1.

Respuesta (parcial) (E) Una varilla rígida en 3-espacio: Dado que el sistema cuenta con cinco grados de libertad, el estado clásica del sistema viene dada por 10 parámetros. Por ejemplo,

[Nota: El estado cuántico es menos informativa. Por ejemplo, tal estado se prescribe por cinco variables momentos

. Otra especificación del estado cuántico está dada por cinco

- Sin embargo, la especificación simultánea de, digamos, x e px no es posible en la mecánica cuántica]. 1.14 (a) las ecuaciones de Hamilton uso para un sistema con / V grados de libertad para mostrar que H es constante en el tiempo si H no contiene el tiempo de forma explícita. [Indicación: Escribir

(B) Construir un sistema simple para la que H es una función explícita del tiempo. 1.15 Para un sistema con n grados de libertad, el soporte de Poisson de dos funciones dinámicas A y В se define como

(a) las ecuaciones de Hamilton de uso muestran que la tasa de tiempo total de cambio de una dinámica función A puede ser escrito

donde H es el hamiltoniano del sistema. (b) Demostrar la siguiente: 1) Si A (q, p) no contiene el tiempo de manera explícita y {A, H} = 0,

entonces A es una constante del movimiento. 2) Si A contiene el tiempo de forma explícita, es constante si dA / dt ={A,H}. (C) Para una partícula libre se mueve en una dimensión, demostrar que

satisface la ecuación

de manera que es una constante del movimiento. Lo que hace esta constante corresponden a físicamente? 1.16 ¿Cuántos grados de libertad hace que el péndulo compuesto representado en la Fig. 1.15 tener? Elija un conjunto de coordenadas generalizadas (tener la certeza de que son independientes). ¿Cuál es el hamiltoniano para este sistema en términos de las coordenadas que han elegido? ¿Cuáles son las constantes inmediatos de movimiento? 1.17 ¿Cuántas constantes del movimiento no un sistema con n grados de libertad tiene? Responder Cada una de las coordenadas {qi} y el impulso {pi} satisface una ecuación diferencial de primer orden en el tiempo (es decir, las ecuaciones de Hamilton). Cada una de dichas ecuación tiene una constante de integración. estos comprenden 2n constantes del movimiento.

PROPIEDADES DE LA FUNCIÓN POTENCIAL UNIDIMENSIONAL Considere una partícula que está obligado a moverse en una dimensión, x. La partícula se encuentra en el campo de potencial V (x) representa en la Fig. 1.16. ¿Cuál es la dirección de la fuerza en el punto x = A? Podemos calcular el gradiente (en la dirección x) y la conclusión de que la dirección de la fuerza en A se encuentra en la dirección + x. Hay una técnica simple. Imagina que la curva dibujada es el contorno de una serie de picos de las montañas. Si una bola se coloca en Una, que rueda colina abajo. La fuerza está en la dirección + x. Si está colocado en В (o C), se

permanece allí. Si se coloca en D, retrotrae hacia el origen; la fuerza está en el - x dirección. Esta técnica funciona siempre (incluso para el potencial tridimensional superficies) porque el potencial de la gravedad es proporcional a la altura z, por lo que el potencial superficie de una partícula obligado a moverse en la superficie de una montaña es el mismo superficie. El potencial del resorte unidimensional,

, se representa en la Fig. 1.17. Si

la partícula se inicia desde el reposo en x = A, que oscila hacia adelante y hacia atrás en el potencial así entre x = + A y

x = - A.

Movimiento descrito por una función de potencial se dice que es conservadora. Para tal movimiento, la energía

es constante. En función de la energía cinética T,

Dominios prohibidos De 1.45) vemos que si V> E, entonces T 0? (b) T -> oo? 2.8 Como se discutió anteriormente, el campo de radiación interior de una cavidad cerrada, cuyas paredes están en equilibrio térmico (es decir, a la misma temperatura) con el campo de radiación se llama radiación de cuerpo negro. Demostrar que la radiación de cuerpo negro tiene las siguientes propiedades, mostrando que si cualquiera de estas propiedades no son verdad, un dispositivo se puede construir lo que viola la segunda ley de la termodinámica. (a) El flujo de radiación es el mismo en todas las direcciones. (El campo de radiación es isótropa.) (b) (B) La densidad de energía es el mismo en todos los puntos dentro de la cavidad. (El campo de radiación es homogénea). (C) La densidad de energía interior de la cavidad es el mismo (función de la frecuencia) a una dada temperatura, independientemente del material de la pared de la cavidad 2.9 Demostrar que la radiación emitida por la superficie de un cuerpo negro ideal a la temperatura T es la misma que la que se desplaza en una dirección dentro de una cavidad isotérmica cerrado a la misma temperatura. Responder Sumergir un cubo negro ideal dentro del recipiente isotérmico. La radiación que incide sobre cualquier cara del cubo se absorbe por completo. Para el equilibrio se mantenga, la radiación emitida debe ser equilibrado por la absorbida, de manera que la radiación emitida es precisamente lo que desemboca en la cara. Si, por el contrario, el cubo no es idealmente negro, el equilibrio se mantiene por el equilibrio de la radiación absorbida por la radiación reflejada más emitida. Dado que la densidad de energía en la cavidad es la misma que en el caso anterior (ambos experimentos son a la misma temperatura), la radiación emitida por la superficie que no sea negra es menos intensa que la emitida por la superficie idealmente negro.

2.10 Una de las teorías sobre el origen del universo es que estaba contenida en una bola de fuego primigenia que se inició su expansión hace unos 1.010 años. A medida que se expande, se enfría. Las mediciones del espectro de energía de los fotones cósmicos sugieren una temperatura (cuerpo negro) de 3 K. ¿A qué frecuencia se observa la máxima energía? 2.11 Suponga que se encuentra dentro de una cavidad radiación del cuerpo negro, que es a la temperatura T. Su trabajo consiste en medir la energía en el campo de radiación en el intervalo de frecuencia de 1014 a 89 x 1014 Hz. Tiene un detector que va a hacer el trabajo. Para obtener los mejores resultados, si la temperatura de la detector de T sea T '> T, T' = T, T '