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Ley de Newton de Enfriamiento y Calentamiento La ley de enfriamiento de Newton establece, que la rapidez de cambio de temperatura de un cuerpo en cualquier tiempo t es proporcional a la diferencial de las temperaturas del cuerpo y del medio circundante en el tiempo t. Si consideramos a T como la temperatura del cuerpo en el tiempo t, Tm la temperatura del medio circundante y To la temperatura inicial del cuerpo (t=0). Como las variaciones de la temperatura puede ser que aumenta o disminuya. Por tanto de acuerdo a la ley de enfriamiento de Newton se expresa mediante la ecuación diferencial:

(

) (

(1) Para aumento o calentamiento ) (2) Para disminución o enfriamiento

Donde K es una constante de proporcionalidad. Y la solución de (1) es:

(

)

Y la solución de (2) es:

(

)

Ejemplos Ejemplo 1. Según la ley de Newton, la velocidad de enfriamiento de un cuerpo en el aire es proporcional a la diferencia en la temperatura T del cuerpo y la temperatura Tm del aire. Si la temperatura del aire es de 20°C y el cuerpo se enfría en 2 minutos desde 100°C a 60°C. ¿En cuanto tiempo su temperatura descenderá hasta 30°C? Solución: Sea T= Temperatura del Cuerpo Tm= Temperatura del aire T0 = Temperatura inicial Teniendo en cuenta que es enfriamiento entonces se toma la ecuación diferencial (2). Entonces usamos la ecuación:

(

)

Donde tenemos Tm= 20°C, T= 60°C, T 0 = 100°C y t = 20 minutos. Remplazamos en la ecuación anterior para hallar el valor de k. Luego se tiene que 60 = 20 + (100 – 20) e–20k De lo anterior se obtiene 40 = 80 e–20k, por lo tanto k = ln2/20 por tanto k es aproximadamente k ≈ 0,0347 Ahora con el valor de k se remplaza en la ecuación para hallar el tiempo que solicitan, entonces: T = 20 + 80 e–0,0347t

Entonces como están requiriendo el tiempo t para T = 30°C se remplaza en la ecuación anterior entonces se tiene: 30 = 20 + 80 e–0,0347t → 30 – 20 = 80 e–0,0347t → 1/8 = e–0,0347t, despejamos a t luego t = –ln (1/8) /(0,0347), de aquí que es igual a: Respuesta t = 60 minutos

Ejemplo 2. Un termómetro que marca 18°F se lleva a un cuarto cuya temperatura es de 70°F, un minuto después la lectura del termómetro es de 31°F. Determinar las medidas como una función del tiempo y en particular encontrar la temperatura que marca el termómetro cinco minutos después que se lleve al cuarto. Solución Tenemos: T = Temperatura del cuerpo T0 = Temperatura inicial Tm = Temperatura del cuarto t = tiempo Luego: T = 31°F, Tm = 70°F, T0 = 18°F, t = 1 minuto después. Como es calentamiento se tiene en cuenta la ecuación

(

)

Remplazando los datos en la ecuación anterior se halla el valor de k, se tiene entonces que: 31 = 70 + (18 – 70)ek 39 = 52ek 39/52 = ek K = ln (3/4) Como ya conocemos k, tenemos entonces la ecuación general: T = 70 – 52 et*ln(3/4) Con esta ecuación hallamos la temperatura después de cinco minutos, luego: T = 70 – 52 e(5)*ln(3/4) T = 58°F

Crecimiento y reacciones químicas

La rapidez del crecimiento del número de bacterias en una solución es proporcional al número de bacterias presente. Si S representa la masa de una sustancia radiactiva presente en el tiempo t, o el número de bacterias en una solución en el tiempo t, entonces la Ley de descomposición y crecimiento esta expresado por dP/dt= –kP para la descomposición y dP/dt= kP para el crecimiento, en donde K es un factor de proporcionalidad. Al resolver la ecuación diferencial dP/dt = kP por el método de variables separables, se obtiene la solución P = P0 ekt, donde P0 representa la cantidad inicial para t=0 Ejemplos