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Pr´ actica 2 Ley de Enfriamiento de Newton Enrique G´ omez Cruz, Emanuel Garc´ıa Debora En esta pr´ actica se reproduce la ley de enfriamiento de Newton calentando cilindros y prismas de distintos materiales para despu´es dejarlos enfriar y registrar los tiempos de enfriamiento. De igual manera se utiliza agua para ver su comportamiento al enfriarse despu´es de ser calentada.

I.

´ INTRODUCCION

La diferencia de temperatura resulta del flujo de energ´ıa hacia un sistema o del sistema al entorno. La primer forma de flujo nos lleva al calentamiento del sistema, mientras que la segunda se refleja en el enfriamiento del mismo. La ley de enfriamiento de Newton establece que la raz´ on de cambio de la temperatura de un objeto es proporcional a la diferencia entre su propia temperatura y la del ambiente. La constante de proporcianlidad depende de la superficie expuesta del objeto y la capacidad t´ermica del cuerpo.La ley de enfriamiento de Newton habla de una raz´ on de cambio instant´ anea de la temperatura. Esta ley es expresada como una ecuaci´ on diferencial cuya soluci´ on es una funci´ on que registra la temperatura del objeto a trav´es del tiempo. dT = −k(T − Ta ), dt

k>0

(1.1)

Donde T (t) = Temperatura que depende del tiempo. T (0) = To = Temperatura inicial. Ta = Temperatura ambiente.

log

T − Ta To − Ta

II.

OBJETIVOS

Determinar la funci´on temperatura con respecto al tiempo, T (t), para el enfriamiento del agua en un recipiente de unicel y en uno de vidrio. Determiar la constante de proporcionalidad entre el agua y su medio ambiente. Determinar la funci´on temperatura con respecto al tiempo, T (t), para el enfriamiento de un cilindro de cobre, uno de aluminio y un prisma de aluminio. Determinar la constante de proporcionalidad de cada uno de los objetos s´olidos y su medio ambiente.

Hay que notar que la temperatura, T , es mayor que la temperatura Ta y por lo tanto T − Ta es una cantidad positiva. Adem´ as la temperatura del objeto est´a decreciendo, es decir se est´ a enfriando y la raz´ on de cambio dT dt es negativa. La constante k depende de las propiedades de la superficie del objeto, y la ley es cierta para peque˜ nas diferencias de temperatura solamente. Resolviendo la ecuaci´ on 1.1 tenemos expresada la funci´ on, T (t), de forma impl´ıcita: 

Sin embargo, para varias sustancias met´alicas en el aire, α tiene el mismo valor si las formas y los tama˜ nos de todas las muestras son id´enticas. As´ı, se puede determinar α para una sustancia met´alica de calor espec´ıfico conocido y luego, emplear este valor para determinar el calor espec´ıfico de otra sustancia met´alica de la misma forma y tama˜ no.

III. A.

´ HIPOTESIS Parte 1

Se espera que la constante de proporcionalidad cambie de acuerdo a la forma del objeto y al tipo de material. Tambi´en se espera que el cociente dT dt

T − Ta

 = −kt

(1.2)

sea constante.

Y de forma expl´ıcita: B.

T = Ta + (To − Ta ) exp(−kt)

Se espera que la constante de proporcionalidad de la ecuaci´on 1.1 sea mayor cuando el agua se enfr´ıa estando en el recipiente de vidrio que cuando est´a en el de unicel.

La constante positiva k es de la forma k=

αS ρV c

Parte 2

(1.3)

(1.4)

Se puede medir el ´ area S del objeto y su masa ρV . El coeficiente α depende de la forma y el tama˜ no de la muestra y el contacto entre la muestra y el medio que la rodea.

2 IV.

MATERIAL

Material Cantidad Marca Modelo Cilindro de Aluminio 1 Cilindro de Cobre 1 Prisma de Aluminio 1 Parrilla 1 ? Par de Guantes 1 Pinzas 1 Vernier 1 Termopar 1 Mult´ımetro 1 Soporte Universal 1 Rejilla de Asbesto 1 Cron´ ometro 1 Balanza 1 Vaso de Unicel 1 Vaso de Precipitado 2 Pyrex No.1000

Figura 2. Rejilla de asfalto, soporte universal, mult´ımetro con termopar y cilindro de cobre.

Tabla I. Materiales usados. V.

PROCEDIMIENTO A.

Parte 1

Primero se trabaja con s´ olidos, 2 cilindros y 1 prisma. Se miden las dimensiones de los objetos con el vernier. Se pone a calentar el cilindro de cobre hasta los 120◦ C. Para calentar el cilindro se utiliza la parrilla y se mide la temperatura con el mult´ımetro con termopar.

Se apuntan los intervalos de tiempo para cada 2◦ C que disminuye la temperatura. Con los datos recopilados se grafica y se hace un ajuste para determinar la constante de propocionalidad k. Se repite el procedimiento para el cilindro y prisma de aluminio.

B.

Parte 2

Se calientan 100ml de agua hasta los 80◦ C. Para calentar el agua se utiliza la parrilla y un vaso de precipitado.

Figura 1. Parrilla, mult´ımetro con termopar y cilindro de cobre.

Despu´es se retira el cilindro de la parrilla y se pone sobre la rejilla de asfalto. De esta manera el cilindro se comienza a enfriar. Los cambios de temperatura se registran con el mult´ımetro.

Figura 3. Agua calentada hasta los 80◦ C en el vaso de precipitado

Con los guantes se retira el vaso de precipitado de la

3 parrilla y se vierte el agua en un vaso de unicel para que comience a enfriar. Se registran las temperaturas con el mult´ımetro con termopar.

Di´ ametro[d] Longitud[l] Masa[m] (cm) ± 0.0025cm (cm) ± 0.0025cm (g) ± 0.05g Aluminio 1.885 5.145 39.7 Cobre 1.93 7.585 190.0 Cilindro

Tabla II. Dimensiones de la superficie de contacto de los cilindros con el aire.

Las dimensiones de los prismas se midieron de la misma manera que los cilindros, con el vernier, y la masa con la balanza. Los resultados se muestran en la siguiente tabla. Lado[a] Longitud[l] Masa[m] (cm) ± 0.0025cm (cm) ± 0.0025cm (g) ± 0.05g Aluminio 1.93 5.96 59.3 Prisma

Tabla III. Dimensiones de la superficie de contacto del prisma con el aire.

Con los datos anteriores se calcula el ´area de la superficie de contacto de los objetos. Para los cilindros se tiene que la superficie de contacto es

S=

1 2 πd + (πd)l 4

(6.1)

La incertidumbre asociada est´a dada por  ∆S = π

Figura 4. Agua enfriandose en el vaso de unicel.

Por u ´ltimo se gr´ afican y se ajustan los datos empleando el software de an´ aisis, QtiPlot. Se repite el procedimiento pero ahora cambiando el vaso de unicel por el segundo vaso de precipitado.

  1 d + l ∆d + d∆l 2

(6.2)

Con la ecuaci´on 6.1 y los datos de la tabla II obtenemos las ´areas de superficie de contacto con el aire de los cilindros. Los resultados calculados se muestran en la siguiente tabla. ´ Area Superficial[S] (cm2 ) ± ∆S Cobre 48.9 ± 0.082 Aluminio 33.2 ± 0.063 Cilindro

´ Tabla IV. Area de la superficie de contacto de los cilindros con el aire. VI.

RESULTADOS A.

Parte 1

Las dimensiones de los cilindros se midieron con el vernier y la masa con la balanza. Los resultados se muestran en la siguiente tabla.

Se conometraron los tiempos de enfriamiento para intervalos de 2◦ C. El cilindro de cobre se calent´ o hasta los 120◦ C pero pas´o muy r´apido a los 108◦ C que fue en donde empez´o el registro de tiempos. La siguiente tabla muestra una separaci´on entre los 56◦ C y los 54◦ C debido a que en ese punto el experimento fue detenido y reanudado posteriormente. Para continuar en donde se dej´o el experimento, el cilindro de cobre se calent´ o hasta los 70◦ C para despu´es continuar tomando los tiempos de enfriamiento. Los resultados se muestran en la siguiente tabla.

4

Tabla V. Datos recopilados del cilindro de cobre enfri´ andose.

La gr´ afica de puntos se hizo utilizando QtiPlot con la opci´ on Scatter. El ajuste se hizo con la opci´on Exponential Decay y un Decay Time de 10.

Temperatura ExpDecay1Fit1 Function: y0+A*exp(-x/t) R^2 = 0.912 A = 1.0987e+02 +/- 7.4556e+00 t = 6.1617e+01 +/- 7.8146e+00 y0 = 2.9237e+01 +/- 3.1645e+00

120

100

Temperatura(°C)

Tiempo[t] Temperatura[T ] (s) ± 0.05s (◦ C) ± 0.5◦ C 44.1 106 44.2 104 25.8 102 26.6 100 30.0 98 16.9 96 43.6 94 35.5 92 43.9 90 40.7 88 46.9 86 46.7 84 48.0 82 45.4 80 50.0 78 45.4 76 49.6 74 54.5 72 55.9 70 52.6 68 66.5 66 64.8 64 54.3 62 75.4 60 78.5 58 80.2 56 85.0 54 77.8 52 93.8 50 94.1 48 99.6 46 144.4 44 143.1 42 163.6 40 193.7 38 207.1 36 218.8 34 266.9 32 322.0 30 409.3 28 339.6 26

80

60

40

20 0

100

200

300 Tiempo(s)

400

500

Figura 5. Gr´ afica de la funci´ on 1.3 para el cilindro de cobre. 1 De la gr´afica anterior vemos que K = 1t = 62s . Ahora podemos calcular α para el cilindro de cobre usando la ecuaci´on 1.4. Conocemos K, S, m. El calor espec´ıfico, c, se muestra en el ap´endice.

2

(190g)(3844 skg2 gcm ◦C ) mcK kg α= = = 240.899 3 ◦ 2 S (62s)(48.9cm ) s C El cilindro de aluminio se calent´o hasta los 150◦ C y pas´o inmediatamente a los 114◦ C. La siguiente tabla muestra los resultados a partir del cambio de los 114◦ C a los 112◦ C.

5

120

Temperatura ExpDecay1Fit1 Function: y0+A*exp(-x/t) R^2 = 0.9558 A = 1.1313e+02 +/- 5.1240e+00 t = 3.5296e+01 +/- 3.1335e+00 y0 = 3.2339e+01 +/- 2.1982e+00

100

Temperatura(°C)

Tiempo[t] Temperatura[T ] (s) ± 0.05s (◦ C) ± 0.5◦ C 15.9 112 14.2 110 14.1 108 15.8 106 15.8 104 19.5 102 16.7 100 21.2 98 18.2 96 23.5 94 22.9 92 28.2 90 25.4 88 27.9 86 27.2 84 29.3 82 32.2 80 30.4 78 25.2 76 32.2 74 33.4 72 71.6 70 39.1 68 40.3 66 36.2 64 54.9 62 39.6 60 49.5 58 61.4 56 59.4 54 55.5 52 66.5 50 67.6 48 62.5 46 93.7 44 90.4 42 112.9 40 116.8 38 139.7 36 160.6 34 156.3 32 210.1 30 364.9 28 373.0 26

80

60

40

20 0

50

100

150

200

250

300

350

400

Tiempo(s)

Figura 6. Gr´ afica de la funci´ on 1.3 para el cilindro de aluminio. 1 De la gr´afica anterior vemos que K = 1t = 35s . Ahora podemos calcular α para el cilindro de aluminio usando la ecuaci´on 1.4. El calor espec´ıfico, c, se muestra en el ap´endice. 2

(39.7g)(9040 skg2 gcm ◦C ) mcK kg α= = = 308.854 3 ◦ S (35s)(33.2cm2 ) s C

Para el prisma de aluminio se tiene que la superficie de contacto est´a dada por S = a2 + 4 l a

(6.3)

Y su respetiva incertidumbre est´a dada por ∆S = (2 a + 4 l)∆a + 4 a ∆l

(6.4)

Tabla VI. Datos recopilados del cilindro de aluminio enfri´ andose.

´ Area Superficial[S] (cm2 ) ± ∆S Aluminio 49.7 ± 0.088

En la siguiente gr´ afica se muestran los datos obtenidos del cilindro de aluminio y su ajuste exponencial.

´ Tabla VII. Area de la superficie de contacto del prisma con el aire.

Prisma

El prisma de aluminio se calent´o hasta los 150◦ C y disminuy´o su temperatura hasta los 106◦ C en el momento en que se coloc´o en la rejilla de asfalto. La siguiente tabla muestra los datos a partir del cambio de los 106◦ C a los 104◦ C.

6

Tabla VIII. Datos recopilados del prisma de aluminio enfri´ andose.

En la siguiente gr´ afica se muestran los datos obtenidos del prisma de aluminio y su ajuste exponencial.

110

Temperatura ExpDecay1Fit1 Function: y0+A*exp(-x/t) R^2 = 0.8804 A = 9.7730e+01 +/- 7.9210e+00 t = 3.8848e+01 +/- 6.0516e+00 y0 = 3.0906e+01 +/- 3.3889e+00

100 90

Temperatura(°C)

Tiempo[t] Temperatura[T ] (s) ± 0.05s (◦ C) ± 0.5◦ C 17.2 104 15.2 102 12.9 100 16.6 98 16.7 96 35.9 94 35.9 92 25.2 90 26.7 88 35.1 86 20.6 84 21.7 82 24.7 80 23.2 78 21.8 76 28.5 74 33.8 72 28.2 70 33.1 68 28.4 66 30.8 64 34.8 62 48.5 60 38.1 58 46.6 56 52.1 54 72.8 52 53.5 50 60.6 48 72.8 46 66.6 44 98.2 42 90.4 40 138.3 38 153.8 36 148.3 34 195.5 32 287.9 30 406.1 28 651.0 26

80 70 60 50 40 30 20 0

100

200

300 400 Tiempo(s)

500

600

700

Figura 7. Gr´ afica de la funci´ on 1.3 para el prisma de aluminio. 1 De la gr´afica anterior vemos que K = 1t = 39s . Ahora podemos calcular α para el prisma de aluminio usando la ecuaci´on 1.4. 2

(59.3g)(9040 skg2 gcm ◦C ) kg mcK = = 308.854 3 ◦ α= 2 S (39s)(49.7cm ) s C B.

Parte 2

El vaso de unicel no era un cilindro pero se tomaron sus mediciones como si fuera uno. El di´ametro y longitud de la superficie de contacto del vaso de precipitado y el vaso de unicel con el agua se muestran en la siguiente tabla. Di´ ametro[d] Longitud[l] (cm) ± 0.0025cm (cm) ± 0.0025cm Vaso de Precipitado 8.56 1.73 Vaso de Unicel 7.93 2.10 Vaso

Tabla IX. Dimensiones de la superficie de contacto de los vasos con el agua.

Se calienta el agua hasta los 80◦ C pero se tiene una p´erdida de temperatura de 10◦ C de forma casi instant´anea por lo tanto las mediciones se hacen desde los 70◦ C. Los resultados se muestran en la siguiente tabla.

7 Tiempo[t] Temperatura[T ] (s) ± 0.05s (◦ C) ± 0.5◦ C 20 68 23.8 66 31.8 64 35.7 62 30.8 60 34.6 58 48.5 56 48.9 54 52.2 52 72.3 50 62.7 48 70.2 46 100.1 44 96.9 42 121.7 40 136.0 38 144.9 36 184.9 34 194.4 32 277.2 30 334.5 28 394.6 26

est´a dada por 6.1 y su error por 6.2. Haciendo los c´ alculos se obtiene que el a´rea de contacto del agua y el vaso de unicel es de (101 ± 0.11)cm2 La gr´afica anterior muesra que K = todos estos datos tenemos que 2

El experimento se repite pero ahora dejando enfriar el agua en un vaso de precipitado. El agua se calienta hasta los 80◦ C pero pierde inmediatamente 18◦ C al quitarse de la parrilla. Los resultados desde los 62◦ C se muestran a continuaci´on.

El enfriamiento del agua muestra un comportamiento exponencial, esto se muestra en la siguiente gr´ afica.

70

Temperatura(°C)

Ahora con

(100g)(4181 skg2 gcm ◦C ) mcK kg α= = = 51.106 3 ◦ S (81s)(101cm2 ) s C

Tabla X. Datos recopilados del agua enfriandose en el vaso de unicel.

Function: y0+A*exp(-x/t) R^2 = 0.9834 A = 5.0299e+01 +/- 1.6227e+00 t = 8.0880e+01 +/- 6.9409e+00 y0 = 2.7559e+01 +/- 1.1507e+00

60

1 81s .

50

Tiempo[t] Temperatura[T ] (s) ± 0.05s (◦ C) ± 0.5◦ C 23.7 60 49.7 58 30.6 56 34.3 54 42.9 52 49.6 50 54.9 48 56.2 46 65.9 44 66.7 42 86.8 40 107.7 38 124.9 36 152.8 34 153.9 32 175.2 30 306.2 28 348.3 26 Tabla XI. Datos recopilados del agua enfriandose en el vaso de precipitado.

40

El comportamiento del agua enfri´andose se muestra a continuaci´on en la siguiente gr´afica.

30

20 0

50

100

150

200 250 300 Tiempo(s)

350

400

450

Figura 8. Gr´ afica de la funci´ on 1.3 para el agua en el vaso de unicel.

La superficie de contacto del agua con el vaso de unicel

8 r´apido. Pero de los tres el que se enfri´o m´as r´ apido fue el prisma de aluminio pues adem´as de tener la mayor ´ area de contacto con el aire tambi´en tiene la mayor capacidad de intercambio de calor.

65

Temperatura ExpDecay1Fit1 Function: y0+A*exp(-x/t) R^2 = 0.9535 A = 4.5614e+01 +/- 3.0712e+00 t = 7.4774e+01 +/- 1.2130e+01 y0 = 2.6501e+01 +/- 1.8748e+00

60

Temperatura(°C)

55 50

B.

45

Parte 2

El agua en el vaso de unicel se enfri´o m´as lento que cuando se enfri´o en el vaso de precipitado, es decir, Kunicel < Kvidrio . La capacidad de intercambiar calor es menor para el vaso de unicel que para el vaso de precipitado, es decir, αunicel < αvidrio .

40 35 30 25

VIII. 0

50

100

150

200 250 Tiempo(s)

300

350

Figura 9. Gr´ afica de la funci´ on 1.3 para el agua en el vaso de precipitado.

La superficie de contacto del agua con el vaso de precipitado est´ a dada por 6.1 y su error por 6.2. Haciendo los c´ alculos se obtiene que el a´rea de contacto del agua y el vaso de precipitado es de (104 ± 0.11)cm2 La gr´ afica anterior muesra que K = todos estos datos tenemos que

1 75s .

OBSERVACIONES

400

Ahora con

Inicialmente se hab´ıa contemplado trabajar con 3 cilindros y 3 prismas pero el tiempo se interpuso y terminamos trabajando s´olo con los 2 cilindros y el prisma mostrados en los resultados. En todos los experimentos a excepci´on del cilindro de aluminio las primeras 6 o 7 mediciones fueron un poco imprecisas ya que a temperaturas tan altas el calor se libera mas r´apido e irregularmente. Ademas en principio los experimentos del agua empezaban a los 80◦ C pero como ten´ıamos que vaciar el agua del vaso de precipitados donde lo calentamos el agua entraba en contracto directo con el aire durante la ca´ıda y eso hizo que empez´ aramos el experimento debajo de los 70◦ C en ambos casos.

2

(100g)(4181 skg2 gcm ◦C ) kg mcK = = 53.602 3 ◦ α= S (75s)(104cm2 ) s C

IX.

CONCLUSIONES A.

VII. A.

Parte 1

´ ANALISIS Parte 1

Los cilindros est´ an en contacto con el aire del medio ambiente excepto su base que est´ a sobre una rejilla de asbesto la cual tiene una conductividad menor a 1 mWK . Por lo tanto el primer sumando de la ecuaci´ on 6.1 sale del ´ area de la cara superior de los cilindros. El segundo sumando es el ´ area del cuerpo del cilindro. La ecuaci´ on 6.2 sale por la forma general de obtener incertidumbres: ∂f ∂f ∆f (x, y) = ∆x + ∆y (7.1) ∂x ∂y El cilindro de aluminio tiene una menor ´ area superficial que el de cobre y se enfr´ıa m´ as r´ apido pues KCu < KAl , adem´ as αCu < αAl lo que nos dice que el aluminio tiene mayor capacidad de intercambiar calor con el medio ambiente. Tiene sentido pues el aluminio se enfri´o m´as

Se cumpli´o la hip´otesis pues los coeficientes de proporcionalidad fueron distintos de acuerdo al material y a la forma del mismo. Adem´as el cociente entre la raz´ on de cambio de la temperatura y (T − Ta ) es constante pues los datos efectivamente tienen el comportamiento de la ecuaci´on diferencial 1.1.

B.

Parte 2

Se observ´o el comportamiento de las paredes de unicel y vidrio, consideradas como paredes adiab´aticas. Se cumpli´o la hip´otesis de que la constante de proporcionalidad ser´ıa mayor en el vaso de precipitado. Se formaliz´ o nuestra intuici´on de que el unicel tiene menos capacidad de intercambio de calor con el medio que el vidrio.

X.

BIBLIOGRAF´ IA

9

[1] Worsnop, Flint Advanced Practical Physics for Students. Methuen, London, 2nd edition, 1927. [2] Wolfram Alpha LLC. 2009. Wolfram|Alpha. http://www.wolframalpha.com/input/?i=aluminum+copper+heat+capacity (acceso Agosto 28, 2014). ´ [3] Angel Franco Garc´ıa. http://www.sc.ehu.es/ sbweb/fisica/estadistica/otros/enfriamiento/ enfriamiento.htm (acceso Agosto 23, 2014). [4] Amrita. http://amrita.vlab.co.in/?sub=1&brch= 194&sim=354&cnt=1 (acceso Agosto 23, 2014)

XI.

´ APENDICE

Calor Espec´ıfico J/(g ◦ C) Cobre .385 Aluminio .902 Agua 4.179 Vidrio .840 Aire 1.01 Material

Tabla XII. Calor espec´ıfico de distintos materiales.