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Ley de Enfriamiento de Newton Proyecto Feria del Conocimiento EFPEM 2017

No.

Nombre y apellidos completos

Carné

Carrera

1

Julio Guillermo Can Patzán

200511439

Lic. en Enseñanza MF

2

Wendy Fabiola López Morataya

201344324

Lic. en Enseñanza MF

3

Luis Gustavo Marroquín García

200819651

Lic. en Enseñanza MF

4

Edy Rolando Mulul Tuy

200711149

Lic. en Enseñanza MF

5

Mauricio Roberto Muyus

9114303

Lic. en Enseñanza MF

6

Karina Alejandra Santizo López

200318495

Lic. en Enseñanza MF

Universidad San Carlos de Guatemala Escuela de Formación de Profesores de Enseñanza Media -EFPEMLicenciatura en Enseñanza de Matemática y Física Cálculo Superior y Análisis Vectorial Lic. Edwin Marroquin A. Guatemala 2017

INTRODUCCIÓN El nombre de Isaac Newton (1641-1727) es ampliamente reconocido por sus numerosas contribuciones a la ciencia. Probablemente se interesó por la temperatura, el calor y el punto de fusión de los metales motivado por su responsabilidad de supervisar la calidad de

la

acuñación

mientras

fue

funcionario de la casa de

la

moneda

Inglaterra. observó

de

Newton que

al

calentar al rojo un bloque de hierro y tras retirarlo del fuego, el bloque se enfriaba más rápidamente cuando estaba muy caliente, y más lentamente cuando su temperatura se acercaba a la temperatura del aire. Sus observaciones dieron lugar a lo que hoy conocemos con el nombre de ley de enfriamiento de Newton. La ley de enfriamiento de Newton se escribe como:

Donde la derivada de la temperatura respecto al tiempo dT/dt representa la rapidez del enfriamiento, T es la temperatura instantánea del cuerpo, k una constante que define el ritmo de enfriamiento y Ta es la temperatura ambiente, que es la temperatura que alcanza el cuerpo luego de suficiente tiempo. Nuestra tarea en este trabajo es estudiar si la mencionada ley se ajusta a la observación en el caso del enfriamiento de una taza de café.

Marco Teórico: Acerca de la temperatura de los Alimentos Para iniciar vale la pena recordar que la temperatura de algunos alimentos puede llegar a opacar o potencializar las características organolépticas (aroma, sabor, et.) de éstos, según la naturaleza del producto y de cómo culturalmente se sugiera su consumo. Poe ejemplo los alimentos que se consumen en las diferentes regiones del país tienden a presentar una temperatura que está relacionada con el clima en el que se encuentre el individuo, es decir, la temperatura a la que una persona de tierra fría prefiere una bebida puede ser diferente al gusto de alguien que sea de tierra caliente, pues se puede pensar que el entorno a veces influye en la selección de la temperatura de consumo de los alimentos Sin duda responder a la pregunta ¿para qué los tomamos?, puede de alguna forma explicar el comportamiento de las personas a la hora de preferir caliente o frío, por ejemplo ¿qué es lo que se busca? aumentar la temperatura corporal o disminuirla para refrescarlo. Tampoco se puede olvidar que ésta selección de "temperatura" puede estar seleccionada con los hábitos alimentarios que el individuo va adquiriendo a lo largo de la vida. Actualmente en el campo de las Bebidas se ha despertado algo parecido a una "revolución" en la que pueden encontrar productos fríos que anteriormente se consumían casi que exclusivamente calientes, o viceversa, por mencionar algunos ejemplos tenemos: la versión granizada de Café, o en el comercio las botellas de Té frío listo para consumir. Elegir como consumir las bebidas, si calientes o frías, también depende de los ingredientes que las componen, pues unos se aprecian mejor en determinadas temperaturas, por ejemplo si tienen mucho Azúcar como las bebidas carbonatadas se prefieren frías, pues al dejarlas al ambiente se puede apreciar el sabor dulzón y éste no es un efecto deseable. Lo cierto es que hay quienes sugieren de la temperatura a la que consumamos los alimentos no tan fría ni tan caliente, puesto que evita choques térmicos a la hora que ingrese la comida al 11 cuerpo, por ejemplo sugieren que las bebidas frías en exceso pueden afectar de manera importante el hígado, mientras que si se consume a temperatura media tendrán menor impacto; Sin embargo ésta información se puede cuestionar si cualquiera revisa el proceso por el que pasa el alimento desde el momento en que entra en la boca, (Diferencias de pH, etc.) pero la medicina china sugiere manejar en armonía la temperatura a la que se consuman los alimentos. Hay personas que sudan mucho y al mismo tiempo que pierden líquidos tienen la necesidad de reponerlos indiferentemente si están en clima caliente o frío y se asocia que en lugares con mucho Calor elijan bebidas refrescantes para amortiguar la sensación de sed, sin embargo hay que revisar de no caer en la "trampa" de que estas bebidas sean ricas en azúcar porque algunas por el hecho de estar frías enmascaran la sensación Dulce- algunas gaseosas- y tienden a producir más sed de la que se cree que quitan. También existen quienes asocian las bebidas calientes con la pérdida de peso y por ésta razón tomas 2 o 3 tazas de Agua caliente al día, o simplemente lo hacen habitualmente por la sensación de bienestar que genera después de haber consumido algunos alimentos pesados para sentirse más "livianos". La parte interesante al escoger la bebida sin duda

es que esté acorde con nuestros gustos personales (sabor, cuerpo, color, etc.), pero también que contenga elementos sanos como edulcorantes alternativos o de origen Orgánico como la Panela, stevia, Miel de Abejas, Miel de Agave o miel de caña, que los componentes sean productos de calidad de origen Natural (por ejemplo en el caso de Jugos: fruta). Con sorpresa podemos ver que muchas de las bebidas que se consumen a diario contienen Aditivos a componentes agregados de manera intencional que les confieren características organolépticas de viscosidad, color, sabor, textura, pero que en su mayoría son agentes químicos y cada vez presentan en menos proporciones los componentes naturales. Así que a revisar cuales son las necesidades personales y que temperatura si caliente o fría según sea el momento del día, el clima, la edad y otros factores) puedan brindar plenitud a tu organismo. Isaac Newton Fue un físico, filósofo, teólogo, inventor, alquimista y matemático inglés, nacido el 4 de enero de 1643. Demostró que las leyes naturales que gobiernan el movimiento de la Tierra y la de los cuerpos celestes son las mismas. Historia  Newton condujo los primeros experimentos en materia de enfriamiento en los últimos años del siglo 17.  El noto que cuando la diferencia de temperatura entre 2 cuerpos es pequeña, la razón de perdida de calor será proporcional a la diferencia de temperatura.  La ley de enfriamiento de Newton nos dice que la temperatura de un cuerpo cambia a una velocidad que es proporcional a la diferencia de las temperaturas entre el medio externo y el cuerpo. Ley de Enfriamiento de Newton La transferencia de calor está relacionada con los cuerpos calientes y fríos llamados; fuente y receptor, llevándose a cabo en procesos como condensación, vaporización, cristalización, reacciones químicas, etc. en donde la transferencia de calor, tiene sus propios mecanismos y cada uno de ellos cuenta con sus peculiaridades. La transferencia de calor es importante en los procesos, porque es un tipo de energía que se encuentra en tránsito, debido a una diferencia de temperaturas (gradiente), y por tanto existe la posibilidad de presentarse el enfriamiento, sin embargo, esta energía en lugar de perderse sin ningún uso es susceptible de transformarse en energía mecánica, por ejemplo; para producir trabajo, generar vapor, calentar una corriente fría, etc. En virtud de lo anterior es importante hacer una introducción al conocimiento de los procesos de transferencia de calor a través de la determinación experimental de la ecuación empírica que relaciona la temperatura de enfriamiento de una cantidad de sustancia con respecto al medio.

La ley de enfriamiento de Newton enuncia que, cuando la diferencia de temperaturas entre un cuerpo y su medio ambiente no es demasiado grande, el calor transferido por unidad de tiempo hacia el cuerpo o desde el cuerpo por conducción, convección y radiación, es aproximadamente proporcional a la diferencia de temperaturas entre el cuerpo y dicho medio externo, siempre y cuando este último mantenga constante su temperatura durante el proceso de enfriamiento. La genialidad de Newton se pone de manifiesto nuevamente cuando utilizando un horno de carbón de una pequeña cocina, realizó un sencillo experimento: calentó al rojo vivo un bloque de hierro, al retirarlo lo colocó en un lugar frío y observó cómo se enfriaba el bloque de metal en el tiempo. Sus conjeturas sobre el ritmo al cual se enfriaba el bloque dieron lugar a lo que hoy conocemos con el nombre de ley de enfriamiento de Newton. Esta ley describe que la razón de pérdida de calor de un cuerpo es proporcional a la diferencia entre la temperatura del cuerpo y el medio ambiente que lo circunda. Se expresa de la siguiente forma:

Donde α es el coeficiente de intercambio de calor y S el área superficial del cuerpo que se encuentra expuesta al medio ambiente. Si la temperatura del cuerpo es mayor que la ambiental, entonces deberá experimentar una pérdida de calor, la cual será proporcional a la diferencia de temperaturas, podemos expresar esto en forma diferencial como:

Donde m es la masa del cuerpo y Ce su calor específico, el signo menos indica una pérdida calorífica. Podemos combinar las ecuaciones anteriores en una forma simplificada:

Donde k es una constante de proporcionalidad conocida como parámetro de enfriamiento y TA es la temperatura ambiente, que se supone siempre es constante. Resolviendo esta

ecuación diferencial para un cuerpo que se enfría desde una temperatura T0 hasta una temperatura T, obtenemos la temperatura del cuerpo en función del tiempo:

Aplicación de la ley de enfriamiento de Newton  Ciencias Forenses  Enfriamiento de cuerpos en el entorno.  Modelos climáticos.

Competencia a Desarrollar:  Utiliza el cálculo integral y las ecuaciones diferenciales para comprobar y verificar la Ley de Enfriamiento de Newton. Indicadores de Logro:  Utiliza diferente instrumentos de medición tales como termómetros y cronómetros para determinar el cambio de temperatura en una taza de café de forma precisa y eficaz.  Calcula la constante “K” para verificar el cambio o el ritmo de enfriamiento en la taza de café de forma numérica.  Comprueba datos experimentales y datos numéricos para verificar de forma correcta la ley de Enfriamiento de Newton.  Utiliza programas específicos para trazar la gráfica y comprobar el decrecimiento de enfriamiento de la taza de café.

Materia y equipo a utilizar:  Termómetro analógico de 150°C  Una taza de café a 76°C  Programa para realizar cálculos numéricos  Cuaderno de notas  Calculadora  Cronómetro

Procedimiento: 1. Calentar agua para realizar el café 2. El café debe estar a una temperatura aproximada de 76 °C o más 3. Determinar con ayuda del termómetro la temperatura ambiente y registrar el dato en el cuaderno de notas. 4. Establecer como tiempo de referencia t= 0.00 segundos 5. Del inciso anterior (4) realizar la primera medición. En este caso en t=0 segundos la temperatura inicial sería de 76°C 6. Es necesario utilizar un termómetro adecuado para la medición, de lo contrario puede causar un estallido en el bulbo del termómetro, haciendo que el mercurio del mismo se salga. 7. Luego, con ayuda del cronómetro, hacer mediciones de 5 minutos y verificar nuevamente la variación de temperatura con ayuda del termómetro. 8. Realizar por lo menos 5 – 6 mediciones a cada 5 minutos. 9. Registrar las mediciones correspondientes en el cuaderno de notas 10. Con ayuda del programa Excel, registrar los valores obtenidos. 11. Realizar una columna de tiempo y otra columna para temperatura. 12. Con ayuda de los comandos realizar o insertar una gráfica para verificar el proceso descrito anteriormente. 13. Si el proceso es correcto, se debe obtener una gráfica exponencial decreciente con una asíntota aproximada en 30°

Datos obtenidos: De la práctica anterior obtuvimos los siguientes datos: 1. Se realizó una medición a cada 5 minutos, considerando como temperatura inicial del café de 76°C 2. Se registró una temperatura ambiente de 22°C 3. A continuación obtuvimos las siguientes mediciones:

Registro de Datos Tiempo Temperatura 0 76 5 64 10 56 15 51 20 48 25 44.5 30 41 35 39 40 37 45 36 50 34 55 33 60 32 65 31 70 30.5

TEMPERATURA AMBIENTE: 22°C TEMPERATURA INICIAL DEL CAFÉ : 76°C

En la tabla anterior se detallan 15 mediciones de 5 minutos cada uno. Obteniendo variaciones de temperatura en cada una de ellas.

A continuación se detalla la gráfica donde se puede observar el decrecimiento del Enfriamiento de una taza de café.

80 70 60 50 40

Series1

30

20 10 0 0

20

40

60

80

En la gráfica se detalla el Decrecimiento Exponencial de una taza de café en un lapso de 5 minutos. En el eje “x” de la gráfica se detalla el tiempo, y en el eje “y” se detalla la temperatura. Se puede observar que la gráfica inicia precisamente en 76°C en t = 0 segundos.

Análisis numérico:

TA = Temperatura Ambiente = 22°C To = Temperatura Inicial = 76 °C To - TA = 54°C T(30) = 41°C Temperatura a los 30 minutos

Cálculo de “k”

22  54e 30 k  41

Ecuación original

54e 30 k  41  22

Restando en ambos lados 22

54e 30 k  19 e 30 k 

19 54

Dividiendo en ambos lados 54

 19  ln e 30 k  ln   Aplicando "ln" en ambos lados 54   1  19  k   *ln   Despejando "k" 30  54  k  0.03 k=constante que define el ritmo de enfriamiento que depende del tipo de objeto. T (t )  22  54e 0.03t Ahora bien: En t = 55 minutos

T (55)  22  54e 0.03(55) T (55)  32.37C T (55)  33C

Dato Numérico Dato Experimental según datos obtenidos

Diferencia de 0.63°C La Ecuación fundamental si funciona. La ley de Enfriamiento de Newton si se aplica.

Cálculo del Error Porcentual:

Ep%= Ep% 

Vteórico  V experimental V experimental 32.37  33 33

*100  1.91%

*100

Conclusiones:  A través de la gráfica, nos pudimos dar cuenta al contrastar el modelo matemático y los valores experimentales, que todas y cada una de las cifras obtenidas se asemejan formando un buen modelo para describir, en este caso, como es que paulatinamente disminuye la temperatura de una taza de café.  Se obtuvo una constante k= - 0.03. Esta constante indica el define el ritmo de enfriamiento y depende del objeto que se esté tomando como muestra, para esta práctica se utilizó una taza de café.  Al verificar la ecuación, tomamos como referencia base en un tiempo de t= 55 minutos obteniendo un valor numérico de 32.37°C. Si comparamos este valor con el dato experimental, obtenemos un valor de 33 °C. Se verifica entonces que los datos no son del todo alejados del dato experimental y numérico.  Al realizar el cálculo del Error porcentual (%) se obtuvo un valor de 1.90%. Esto nos sugiere dos cosas: primero, que el experimento fue llevado en perfecto orden y se establecieron correctamente los parámetros para realizarlo; segundo, que el modelo matemático es el adecuado y en términos matemáticos “corresponde a la solución” del problema.  Ahora el error porcentual obtenido se debe a diversas causas: por ejemplo al momento de medir con el termómetro no es muy preciso verificar con exactitud el valor indicado. Es recomendable para ello entonces utilizar un termómetro digital. Otra de las causas podría ser el lugar, ya que por ser una habitación es posible que en el sistema se añadan corrientes de aire, y esto hace que tienda a variar el descenso en la temperatura, registrando entonces valores un tanto desviados.  Se Verificó que el modelo que postuló en su momento Sir Isaac Newton, describe perfectamente el comportamiento térmico de los diferentes materiales al enfriarse.  En la gráfica se observa una función exponencial decreciente con asíntota en 30°C aproximadamente.

Bibliografía Consultada

Ref. 1 Stewart, James. Pre cálculo. Matemáticas para el Cálculo. 7ma. Edición. Cengage Learning.

Ref. 2 Stewart, James. Cálculo. Conceptos y Contextos. 4ta. Edición. Cengage Learning.

Ref. 3 S. Gil y E. Rodríguez, Guía de trabajo, Red Creativa de Ciencia, 2002.

ANEXOS

FOTOGRAFÍAS DEL PROCESO REALIZADO Realizando los preparativos para realizar las mediciones

Midiendo la temperatura inicial del Café

Verificando la temperatura cada 5 minutos.

Realizando los cálculo numéricos Integrales

Registrando los datos en Excel