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BALANCE DE NATERIA Y ENERGIA

NOMBRE: EDWIN NICOLAS MELENDREZ RAMOS CODIGO: 2014102007

16) Dos grandes tanques A y B del mismo tamaño se llenan con fluidos diferentes. Los fluidos en los tanques A y B se mantienen a 0°C y a 100°C, respectivamente. Una pequeña barra de metal, cuya temperatura inicial es 100°C, se sumerge dentro del tanque A. Después de 1 minuto la temperatura de la barra es de 90°C. Después de 2 minutos se saca la barra e inmediatamente se transfiere al otro tanque. Después de 1 minuto en el tanque BB la temperatura se eleva10°C. ¿Cuánto tiempo, desde el inicio del proceso, le tomará a la barra alcanzar los 99.9°C?

ley de enfriamiento de newton 𝑑𝑇 = 𝑘 (𝑇 − 𝑇𝑎) 𝑑𝑡

donde 𝑇𝑎 es la temperatura ambiente, utilizando el método de variables separables.

𝑑𝑇 = 𝑘𝑑𝑡 𝑇 − 𝑇𝑎

Integrando ∫

𝑑𝑇 = ∫ 𝑘𝑑𝑡 + 𝑐 𝑇 − 𝑇𝑎

ln(𝑇 − 𝑇𝑎) = 𝑘𝑡 + 𝑐 𝑒 ln(𝑇−𝑇𝑎) = 𝑒 𝑘𝑡+𝑐 𝑇 − 𝑇𝑎 = 𝑐𝑒 𝑘𝑡 𝑇 = 𝑐𝑒 𝑘𝑡 + 𝑇𝑎 Si para el primer tanque A, la temperatura ambiente del fluido es de 0℃, entonces 𝑇 = 𝑐𝑒 𝑘𝑡 + 0

ahora bien si la temperatura inicial de la barra es de 100℃, entonces 100 = 𝑐𝑒 𝑘(0) con lo cual 𝑐 = 100, si pasado 1 minutos la temperatura de la barra es 90℃, entonces 90 = 100𝑒 𝑘(1) 90 = 𝑒𝑘 100 simplificando y despejando k. ln (

9 )=𝑘 10

como al cabo de 2 minutos se sacó del contenedor A, la temperatura de la barra está dada por: 9

𝑇 = 100𝑒 ln(10)𝑡 𝑇 = 100( 𝑇 = 100(

9 𝑡 ) 10

9 2 ) 10

𝑇 = 92 𝑇 = 81 cuando la barra de metal es retirada del tanque A es de 81℃, retomando la ecuación 𝑇 = 𝑐𝑒 𝑘𝑡 + 𝑇𝑎 como la temperatura del tanque B es de 100℃, entonces 𝑇 = 𝑐𝑒 𝑘𝑡 + 100 y la temperatura en ese instante es de 81℃, es decir t=0, de esta forma 81 = 𝑐𝑒 𝑘(0) + 100 81 − 100 = 𝑐 −19 = 𝑐 como al cabo de 1 minutos la barra en el tanque B aumenta en 10℃, es decir la temperatura es de 91℃, la cual se puede modelar por. 91 = −19𝑒 𝑘(1) + 100

despejando el valor de k. 91 − 100 = −19𝑒 𝑘 −9 = −19𝑒 𝑘 9 = 𝑒𝑘 19 𝑙𝑛

9 =𝑘 19

la ecuación que modela la temperatura en el tanque B es: 9

𝑇 = −19𝑒 ln(19𝑡) + 100 𝑇 = −19(

9 𝑡 ) + 100 19

el tiempo que tarda para alcanzar la temperatura de 99.9℃ es 99.9 = −19(

9 𝑡 ) + 100 19

99.9 − 100 = −19( −0.01 = −19(

9 𝑡 ) 19

9 𝑡 ) 19

0.01 9 = ( )𝑡 19 19 0.01 ln( 19 ) =𝑡 9 ln (19) 𝑡 = 10.10 con lo cual el tiempo que tardo en alcanzar desde que se sumerge en el tanque dos hasta que alcanza los 99.9℃ es t=10.10 minutos. El cambio de temperatura de la barra de metal en cada tanque es dado por la siguiente tabla. A t 0 1 2

B T 100 90 81

t 0 1 10.10

T 81 91 99.9

entonces el tiempo total que tardo desde el comienzo hasta que al alcanzo los 99.9∘C en el tanque B es de 12.10 minutos.