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• jose

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Ley de Betty De la relación del Trabajo con funciones cuadráticas de las fuerzas y deformaciones, donde supongamos que sobre un cuerpo actúa un sistema de fuerzas P que produce deformaciones  y una energía de deformación U igual a un trabajo Te, y dicho sistema de cargas P está formado por la suma de dos estados de carga que llamaremos P y P P = P + P Si  es el conjunto de desplazamientos correspondientes a la carga P y  es el correspondiente a las cargas P se cumplirá:

 =  +  cualquiera sea el orden en que se aplican las fuerzas. P;  producen Te = U y veamos de aplicar

P 

las cargas P de dos formas distintas: a) Primero P y luego P U =U +U  + U 

P

P

Donde Ui, j representa el valor de la energía o trabajo externo de las cargas Pi a lo largo de los desplazamientos debido a las cargas Pj (i y j con valores  y )



Primero P y luego P 

P

U =U  +U  + U 



En el caso generalizado de la ley de Maxwell, fue anunciada en 1872 por E. Betty y se expresa de las siguiente Manera: En un sólido elástico y lineal, siendo Pi y Qj dos sistemas de cargas independientes, se establece que el "trabajo interno" realizado por el sistema de cargas Pi sobre el campo de desplazamientos producido por el sistema Qj es igual al "trabajo interno" realizado por el sistema Qj sobre los desplazamientos producidos por el sistema Pi. Enrico Betti

A estos trabajos se los denomina recíprocos o indirectos. Una aplicación teórica a una viga permite explicitar el significado de las expresiones:

P1

P2

P

U    P1 a  P2 c  1 2

a

U    1 P3 e 

b

2 P3

U    P1 d  P2 f

PII U    P3 b d

e

P1

P3

f

P2

P a+d

b+e

c+f

Caso A

Caso B

cuando maxwell desarrollo el método de análisis de la fuerza, también publico el teorema que relaciona los coeficientes de flexibilidad de cualquiera de los dos puntos en una estructura elástica, ya sea una armadura, una viga o un marco. Este teorema se conoce como el teorema de los desplazamientos recíprocos y puede enunciarse como que sigue: El desplazamiento de un punto B en una estructura debido a una carga unitaria que actúa en el punto A es igual al desplazamiento del punto A cuando la carga unitaria actúa en el punto B, es decir, 𝑓𝐵𝐴 = 𝑓𝐴𝐵 .

𝑓𝐵𝐴 = ∫

𝑚𝐵 𝑚𝐴 𝑑𝑥 𝐸𝐼

La comprobación de este teorema puede realizarse fácilmente mediante el principio del trabajo virtual.

Del mismo modo, si debe determinarse el coeficiente de flexibilidad 𝑓𝐴𝐵 cuando una carga unitaria real actua en B. 𝑓𝐴𝐵 = ∫

𝑚𝐴 𝑚𝐵 𝑑𝑥 𝐸𝐼