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Teorema de maxwell y betti

FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL

INTRODUCCION

En este capitulo aplicaremos los metodos energeticos basados en la ley de flexibilidad de las estructuras al analisis de armaduras,vigas y marcos estaticamente indeterminados. El diseño de Estructuras implica un profundo conocimiento del comportamiento de las mismas, lo cual hace imprescindible el estudio de las cargas permanentes y accidentales, los materiales a utilizar ya que sus propiedades hacen a las condiciones de diseño, las necesidades para el funcionamiento que se le ponen al proyectista y, entre otras cosas el Análisis de la Estructura, entendiéndose por Análisis el cálculo de solicitaciones (Reacciones, Momentos flectores y torsores, Esfuerzos normales y de corte) y de deformaciones. El Análisis de Estructuras es el principal objetivo del capítulo, con la salvedad de que si sólo fuera hallar los valores numéricos de solicitaciones y deformaciones, no tendríamos más que explicar el uso de alguno de los métodos para el Cálculo de Estructuras que se presentan en las diferentes bibliografías.

ANÁLISIS ESTRUCTURAL I

Teorema de maxwell y betti

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TEOREMA DE MAXWELL Y LA LEY DE BETTI

1. TEOREMA DE MAXWELL SOBRE LOS TEOREMAS RECIPROCOS Y LA LEY DE BETTI

Supongamos que las cargas aplicadas al sólido crecen, progresivamente, desde cero hasta su valor final de una manera continua. En ese caso, el trabajo W realizado por todas las cargas que actúan sobre el sólido quedaría almacenado como energía elástica de deformación U en el sólido y, por tanto: U =W El trabajo realizado por las cargas exteriores aplicadas a un sólido es la mitad de la suma del producto de dichas cargas por los desplazamientos de sus puntos de aplicación (en las direcciones de las mismas, por supuesto).

FÓRMULAS DE CLAPEYRON:

TEOREMA DE MAXWELL DE LAS DEFLEXIONES RECÍPROCAS: Maxwell formuló su teorema de las deflexiones recíprocas en 1864, pero por no demostrarle aplicación práctica sólo vino a ser apreciado en 1886, cuando Muller- Breslau presentó su versión del método Maxwell- Mohr.

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Deformaciones debido a dos tipos de cargas: Considerando el pórtico de la figura, al aplicarle la fuerza horizontal en A la estructura se deforma de la manera indicada en (a), donde se han utilizado coeficientes de influencia definidos así: ij = desplazamiento en i, en la dirección de la carga aplicada en i, producido por una carga unitaria aplicada en j; Y el principio de superposición. Similarmente, si se aplica una carga vertical PB en B, se obtiene la deformada de (b). Si ambas cargas se aplican gradual y simultáneamente, el trabajo total externo producido por ellas será: 𝟏 𝟏 𝒘 = 𝑷𝑨 (𝑷𝑨 𝑨𝑨 + 𝑷𝑩 𝑨𝑩 ) + 𝑷𝑩 (𝑷𝑨𝑩𝑨 + 𝑷𝑩 𝑩𝑩 ) 𝟐 𝟐 Si sólo se aplica PA, se efectuará un trabajo: 𝟏 𝑾𝑰 = 𝑷𝑨 (𝑷𝑨 𝑨𝑨 ) 𝟐 Y si después de que PA alcance su valor final se aplicará gradualmente PB, habrá un trabajo adicional: 𝟏 𝑾𝑰𝑰 = 𝑷𝑨 (𝑷𝑩 𝑨𝑩 ) + 𝑷𝑩 ( 𝑷𝑩 𝑩𝑩 ) 𝟐 Pero por el principio de superposición el trabajo realizado es independiente de la secuencia. De ahí que: 𝑾 = 𝑾𝑰 + 𝑾𝑰𝑰 Y reemplazando los valores respectivos dados arriba resulta: 𝟏 𝟏 𝑷𝑩 𝑷𝑨 (𝑩𝑨 ) = 𝑷𝑨 𝑷𝑩 (𝑨𝑩 ) 𝟐 𝟐 𝑩𝑨 = 𝑨𝑩 Y generalizando: 𝒊𝒋 = 𝒋𝒊 Como i y j son dos puntos cualesquiera, es teorema de Maxwell de las deflexiones recíprocas se puede enunciar como sigue: Cualquier componente lineal de deflexión de un punto i que resulte de la aplicación de una fuerza unitaria en cualquier otro punto j, es igual en magnitud a la componente lineal de la deflexión de j (en la dirección de la fuerza aplicada

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inicialmente en j), que resulta de la aplicación de una fuerza unitaria en i en la misma dirección de la componente original de la deflexión en i. TEOREMA RECÍPROCO DE MAXWELL Y BETTI

Dos sistemas de carga y sus componentes correspondientes de deflexión Por consiguiente las, componentes de deflexión que resultan al aplicar el sistema (I) de cargas son: 𝑨 = 𝑷𝑨 ´𝑨𝑨 + 𝑴𝑩 ´𝑨𝑩 + 𝑷𝑪 ´𝑨𝑪 𝑩 = 𝑷𝑨 𝑩𝑨 + 𝑴𝑩  ´𝑩𝑩 + 𝑷𝑪 𝑩𝑪 𝑪 = 𝑷𝑨 𝑪𝑨 + 𝑴𝑩  ´𝑪𝑩 + 𝑷𝑪 𝑪𝑪 En donde de nuevo las primas indican giros producidos por fuerzas de deflexiones debidas a momentos. Las componentes de deflexión causadas por el sistema (II) son:

𝑨 = 𝑴𝑨  ´𝑨𝑨 + 𝑷𝑩  ´𝑨𝑩 + 𝑷𝑪  ´𝑨𝑪 𝑩 = 𝑴𝑨  ´𝑩𝑨 + 𝑷𝑩  ´𝑩𝑩 + 𝑷𝑪  ´𝑩𝑪 𝑪 = 𝑴𝑨  ´𝑪𝑨 + 𝑷𝑩  ´𝑪𝑩 + 𝑷𝑪  ´𝑪𝑪 Aplicando ahora arbitrariamente las componentes correspondientes de deflexión del sistema (II), como desplazamientos virtuales del sistema (I), resulta un trabajo:

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𝑾𝟏 = 𝑷𝑨 (𝑴𝑨  ´𝑨𝑨 + 𝑷𝑩  𝑨𝑩 + 𝑷𝑪  𝑨𝑪 ) + 𝑴𝑩 (𝑴𝑨  𝑩𝑨 + 𝑷𝑩  ´𝑩𝑩 + 𝑷𝑪  ´𝑩𝑪 ) + 𝑷𝑪 (𝑴𝑨  ´𝑪𝑨 + 𝑷𝑩  𝑪𝑩 + 𝑷𝑪  𝑪𝑪 ) 𝑾𝟏 = 𝑷𝑨 𝑴𝑨  ´𝑨𝑨 + 𝑷𝑨 𝑷𝑩  𝑨𝑩 + 𝑷𝑨 𝑷𝑪  𝑨𝑪 + 𝑴𝑩 𝑴𝑨  𝑩𝑨 + 𝑴𝑩 𝑷𝑩  ´𝑩𝑩 + 𝑴𝑩 𝑷𝑪  ´𝑩𝑪 + 𝑷𝑪 𝑴𝑨  ´𝑪𝑨 + 𝑷𝑪 𝑷𝑩  𝑪𝑩 + 𝑷𝑪 𝑷𝑪  𝑪𝑪 ……. (1)

Haciendo ahora lo contrario, es decir, utilizando las componentes correspondientes de deflexión del sistema (I) como desplazamientos virtuales del sistema (II), el trabajo virtual efectuado es: 𝑾𝑰𝑰 = 𝑴𝑨 (𝑷𝑨 ´𝑨𝑨 + 𝑴𝑩 𝑨𝑩 + 𝑷𝑪 ´𝑨𝑪 ) + 𝑷𝑩 (𝑷𝑨 𝑩𝑨 + 𝑴𝑩  ´𝑩𝑩 + 𝑷𝑪 𝑩𝑪 ) + 𝑷𝑪 (𝑷𝑨𝑪𝑨 + 𝑴𝑩  ´𝑪𝑩 + 𝑷𝑪 𝑪𝑪 ) = 𝑾𝑰𝑰 = 𝑴𝑨 𝑷𝑨 ´𝑨𝑨 + 𝑴𝑨 𝑴𝑩 𝑨𝑩 + 𝑴𝑨 𝑷𝑪 ´𝑨𝑪 + 𝑷𝑩 𝑷𝑨 𝑩𝑨 + 𝑷𝑩 𝑴𝑩  ´𝑩𝑩 + 𝑷𝑩 𝑷𝑪 𝑩𝑪 + 𝑷𝑪 𝑷𝑨 𝑪𝑨 + 𝑷𝑪 𝑴𝑩  ´𝑪𝑩 + 𝑷𝑪 𝑷𝑪 𝑪𝑪 ……. (2) Si se aplica el teorema de Maxwell de las deflexiones recíprocas a los términos que tienen igual número en las ecuaciones (1) y (2), se observa que dichas ecuaciones resultan iguales, produciéndose, en consecuencia, enunciar el principio de Maxwell y Betti como sigue: Dada cualquier estructura estable con una relación lineal cargadeformación, en la cual se han escogido puntos arbitrarios en donde se consideran aplicadas fuerzas o momentos en cualquiera de dos sistemas de cargas diferentes, el trabajo virtual hecho por las fuerzas y momentos del primer sistema, al recorrer las deflexiones correspondientes causadas por el segundo sistema, es igual al trabajo virtual hecho por las fuerzas y momentos del segundo sistema al recorrer las deflexiones correspondientes causadas por el primer sistema. NOTACION: Pm, Pn:

Sistemas de fuerzas que actúan separada e independiente sobre estructura mn: Desplazamiento del punto de aplicación de una de las fuerzas Pm (en la dirección y sentido de ésta fuerza) causada por la aplicación del sistema de fuerzas Pn. nm: Desplazamiento del punto de aplicación de una de las fuerzas Pn causada por la aplicación del sistema de fuerzas Pm. ab: Desplazamiento del punto a en la dirección  debido a una carga P1 actuando en el punto b en la dirección . ba: Desplazamiento del punto b en la dirección  debido a una carga P1 actuando en el punto a en la dirección . la

En cualquier estructura de material elástico, con apoyos indeformables y bajo temperatura constante, el trabajo virtual externo de las fuerzas del sistema Pm asociadas a los desplazamientos causados por el sistema de fuerzas Pn es igual al

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trabajo virtual externo de las fuerzas del sistema Pn asociados a los desplazamientos causados por el sistema Pm:

𝑷𝒎 𝒎𝒏 = 𝑷𝒏 𝒏𝒎 TEOREMA DE BETTI (Ley de reciprocidad): De la relación del Trabajo con funciones cuadráticas de las fuerzas y deformaciones, ratificamos lo ya señalado en el temas anteriores de que no es aplicable el Principio de Superposición y por lo tanto el trabajo de deformación de varias fuerzas no es igual a la suma de los trabajos de cada una de ellas por separado. Supongamos que sobre un cuerpo actúa un sistema de fuerzas P que produce deformaciones δ y una energía de deformación U igual a un trabajo Te, y dicho sistema de cargas P esta formado por la suma de dos estados de carga que llamaremos PΙ y PΙΙ. P = PΙ + PΙΙ Si δΙ es el conjunto de desplazamientos correspondientes a la carga PΙ y δΙΙ es el correspondiente a las cargas PΙΙ se cumplirá: δ = δΙ + δΙΙ. cualquiera sea el orden en que se aplican las fuerzas. P; δ producen Te = U y veamos de aplicar las cargas P de dos formas distintas:

a) Primero PΙ y luego PΙΙ: U =UΙΙ +UΙΙ ΙΙ + UΙ ΙΙ (a) Donde Ui, j representa el valor de la energía o trabajo externo de las cargas Pi a lo largo de los desplazamientos debido a las cargas Pj (i y j con valores Ι y ΙΙ).

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b) Primero PΙΙ y luego PΙ: U =UΙΙ ΙΙ +UΙ Ι + UΙΙ Ι (b) Como los dos estados finales son iguales, también lo serán los Trabajos finales y de igualar las expresiones de a) y b) obtendremos: UΙ ΙΙ = UΙΙ Ι O sus iguales: TeΙ ΙΙ =TeΙΙ Ι Expresión del Teorema de BETTI: “El trabajo de un estado de cargas en equilibrio PΙ a lo largo de los desplazamientos producidos por otro estado de cargas en equilibrio PΙΙ es igual al trabajo de las cargas PΙΙ a lo largo de los desplazamientos producidos por PΙ.” A estos trabajos se los denomina recíprocos o indirectos.

EJERCICIO DE APPLICACIÓN: En la estructura de la figura 1, se aplican separadamente: Una carga P=1 ton en B Un momento M= 4ton-m en C Se pide determinar: a) cb b) bc c) cb / bc

SOLUCIÓN: Según la figura (a):

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𝑀𝐶 = 0 −𝑅𝐴(2𝑟) + 1(𝑟) − 𝑚 = 0 𝟏 𝒎 𝑹𝑨 = − 𝟐 𝟐𝒓

Tramo AB: 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑟 𝒅𝒔 =

√𝟐

𝒅𝒙

𝒙=𝒚

𝟏 𝒎 𝑴 = ( − ) 𝒙 − 𝟏(𝒚) 𝟐 𝟐𝒓 𝟏 𝒎 = ( − )𝒙− 𝒙 𝟐 𝟐𝒓

𝑴 𝒙 =− 𝒎 𝟐𝒓 𝑴

𝟐

 𝑴 𝒙𝟐 =  𝒎 𝟒𝒓

Tramo CB: 0 ≤  ≤

𝜋 2

𝒅𝒔 = 𝒓𝒅 𝟏 𝒎 𝑴 = − ( − ) (𝒓 − 𝒓𝒄𝒐𝒔 ) − 𝒎 𝟐 𝟐𝒓 𝟏 𝒎 𝑴 = − 𝒓(𝟏 − 𝒄𝒐𝒔) + (𝟏 − 𝒄𝒐𝒔) − 𝒎 𝟐 𝟐

 𝑴 𝟏 − 𝒄𝒐𝒔 = −𝟏 𝒎 𝟐

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𝑴

𝑴 𝒓 𝟏 − 𝒄𝒐𝒔 𝒓 𝒓 = − (𝟏 − 𝒄𝒐𝒔) ( − 𝟏) = − (𝟏 − 𝒄𝒐𝒔)𝟐 + (𝟏 − 𝒄𝒐𝒔) 𝒎 𝟐 𝟐 𝟒 𝟐

Aplicando el primer teorema de Castigliano:

 = ∫𝑴 𝒓

𝒄𝒃 = ∫

𝟎

 𝑴 𝒅𝒔  𝒎 𝑬𝑰

/𝟐 𝒙𝟐 𝟐 𝒅𝒙 𝒓 𝒓 𝒓𝒅 + ∫ (− (𝟏 − 𝒄𝒐𝒔)𝟐 + (𝟏 − 𝒄𝒐𝒔)) 𝟒𝒓 √𝟐 𝑬𝑰 𝟒 𝟐 𝑬𝑰 𝟎

𝝅

𝒙𝟑 𝒓 𝟐 𝒓 𝒓𝒅 ∫ + ∫ − ( 𝟏 + (𝒄𝒐𝒔)𝟐 ) − 𝟐𝒄𝒐𝒔 − 𝟐 + 𝟐𝒄𝒐𝒔) 𝟒 𝑬𝑰 𝟐√𝟐 𝒓 𝟑𝑬𝑰 𝟎 𝟎 𝟏

𝝅

𝒓𝟐

𝝅

𝒓𝟐 𝟐 𝒓𝟐 𝒓𝟐 𝟐 − ∫ ((𝒄𝒐𝒔)𝟐 − 𝟏)𝒅 = + ∫ (𝒔𝒆𝒏)𝟐 𝒅 𝟒𝑬𝑰 𝟒𝑬𝑰 𝟔√𝟐𝑬𝑰 𝟔√𝟐𝑬𝑰 𝟎 𝟎 𝝅

𝒓𝟐 𝟏 𝟏 𝟐 𝒓𝟐 𝒓𝟐  𝒓𝟐 𝟐  + (  − 𝒔𝒆𝒏𝟐) ∫ = + ( )= ( + ) 𝟒 𝟒𝑬𝑰 𝟑√𝟐 𝟒 𝟔√𝟐𝑬𝑰 𝟒𝑬𝑰 𝟐 𝟔√𝟐𝑬𝑰 𝟒𝑬𝑰 𝟒 𝟎 𝒓𝟐

𝒄𝒃 =

𝒓𝟐 𝟐  𝒓𝟐 ( + ) = 𝟎. 𝟑𝟏𝟒𝟐 𝟒𝑬𝑰 𝟑√𝟐 𝟒 𝑬𝑰

Segú la figura (b):

𝑀𝐶 = 0 −𝑅𝐴(2𝑟) + 𝑄(𝑟) − 4 = 0 𝑹𝑨 =

𝑸 𝟐 − 𝟐 𝒓

Tramo AB: 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑟

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𝒅𝒔 = 𝑸

𝟐

𝑸

𝟐 √𝟐

𝒅𝒙

𝒙=𝒚

𝟐

𝑴 = ( 𝟐 − 𝒓) 𝒙 − 𝑸(𝒚) = ( 𝟐 − 𝒓) 𝒙 − 𝑸𝒙

𝑴 𝒙 =−  𝑸 𝟐 𝑴

 𝑴 𝒙𝟐 = 𝒎 𝒓

Tramo CB: 0 ≤  ≤

𝜋 2

𝒅𝒔 = 𝒓𝒅 𝑸 𝟐 𝑴 = − ( − ) (𝒓 − 𝒓𝒄𝒐𝒔 ) − 𝟒 𝟐 𝒓 𝑴=−

𝑸 𝒓(𝟏 − 𝒄𝒐𝒔) + 𝟐(𝟏 − 𝒄𝒐𝒔) − 𝟒 𝟐

𝑴 𝒓(𝟏 − 𝒄𝒐𝒔) =− 𝒎 𝟐 𝑴

𝑴 𝒓(𝟏 − 𝒄𝒐𝒔) = (𝟐(𝟏 − 𝒄𝒐𝒔) − 𝟒)(− ) = −𝒓(𝟏 − 𝒄𝒐𝒔)𝟐 + 𝟐𝒓(𝟏 − 𝒄𝒐𝒔) 𝒎 𝟐

Aplicando el primer teorema de Castigliano:

 = ∫𝑴

 𝑴 𝒅𝒔  𝒎 𝑬𝑰

/𝟐 𝒙𝟐 𝟐 𝒅𝒙 𝒓𝒅 𝒃𝒄 = ∫ + ∫ (−𝒓(𝟏 − 𝒄𝒐𝒔)𝟐 + 𝟐𝒓(𝟏 − 𝒄𝒐𝒔)) 𝑬𝑰 𝟎 𝒓 √𝟐 𝑬𝑰 𝟎 𝒓

𝝅

𝒙𝟑 𝒓 𝟐 𝒓𝒅 ∫ + ∫ 𝒓( − 𝟏 − (𝒄𝒐𝒔)𝟐 ) + 𝟐𝒄𝒐𝒔 + 𝟐 − 𝟐𝒄𝒐𝒔) 𝟑𝑬𝑰 𝑬𝑰 √𝟐 𝒓 𝟎 𝟎 𝟐

𝟐𝒓𝟐

𝝅

𝝅

𝒓𝟐 𝟐 𝟐𝒓𝟐 𝒓𝟐 𝟐 + ∫ ((𝟏 − 𝒄𝒐𝒔)𝟐 )𝒅 = + ∫ (𝒔𝒆𝒏)𝟐 𝒅 𝟑√𝟐𝑬𝑰 𝑬𝑰 𝟎 𝟑√𝟐𝑬𝑰 𝑬𝑰 𝟎 𝝅

𝒓𝟐 𝟏 𝟏 𝟐 𝟐𝒓𝟐 𝒓𝟐  𝒓𝟐 𝟐  + (  − 𝒔𝒆𝒏𝟐) ∫ = + ( )= ( + ) 𝟒 𝑬𝑰 𝟑√𝟐 𝟒 𝟑√𝟐𝑬𝑰 𝑬𝑰 𝟐 𝟑√𝟐𝑬𝑰 𝑬𝑰 𝟒 𝟎 𝟐𝒓𝟐

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𝒃𝒄 =

𝒓𝟐 𝟐  𝒓𝟐 ( + ) = 𝟏. 𝟐𝟓𝟔𝟖 𝑬𝑰 𝟑√𝟐 𝟒 𝑬𝑰

Relacionando ambos desplazamientos: 𝒓𝟐 𝟐  𝑐𝑏 𝟒𝑬𝑰 (𝟑√𝟐 + 𝟒) 1 = 𝟐 = 𝒓 𝟐  𝑏𝑐 4 𝑬𝑰 (𝟑√𝟐 + 𝟒)

SEGÚN EL TEOREMA DE MAXWELL Y BETTI:

[Fuerzas del sistema (a)][Deformaciones del sistema (b)] = [Fuerzas del sistema (b)][Deformaciones del sistema (a)] (𝟏)(𝒃𝒄) = (𝟒)(𝒄𝒃) 𝒄𝒃 𝟏  = 𝒃𝒄 𝟒

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CONCLUSIONES  El teorema que se ha demostrado para una carga real unitaria,pero si es valido para esta carga tiene que serlo para cualquiera.  El teorema de Maxwell simplifica notablemente el calculo de deformaciones en los metodos de analisis estructuras hiperestaticas como se vera en los capitulos posteriores del curso.  Ademas es un enunciado importante el uso de la energia de la deformacion en relacion al trabajo ocasiona en ella.  El teorema de Maxwell y Betti es aplicado para dos o más sistemas en las cuales ya son conocidos los desplazamientos.

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BIBLIOGRAFIA

 Timoshenko, S., Resistencia de materiales. Teoría elemental y problemas, Espasa-Calpe, 1970,  Analisis estructural R.C HIBBELER.  Analisis estructural Jeffrey P. LAIBLE.

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