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• Maurizio Quiroga

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TEOREMA DE BETTI-RAYLEIGH O DEL TRABAJO RECÍPROCO Sea un sistema elástico lineal, sometido a dos sistemas de fuerzas distintos: ◊ Sistema A, compuesto por una sola fuerza PA, que produce una deformación ∆A en su punto de aplicación A y ∆B en otro punto B. ◊ Sistema B, compuesto por una sola fuerza PB, que produce una deformación ∆B en su punto de aplicación B y ∆A en el otro punto A.

Si se aplican ambos sistemas sobre el sólido, en primer lugar el sistema A y a continuación el B, el trabajo que producen es:

El primer sumando corresponde al trabajo efectuado por la fuerza PA durante su aplicación, el segundo corresponde al trabajo producido por la fuerza PB durante su aplicación y el último corresponde al trabajo efectuado por PA durante la aplicación de PB. Se considera ahora la situación inversa: se aplica en primer lugar el sistema B y a continuación el A. El trabajo que se produce es:

Esta es la expresión del teorema del trabajo recíproco, enunciado por E. Betti (1872) y Lord Rayleigh (1874). Se puede enunciar como: el trabajo producido por un sistema de fuerzas A actuando sobre las deformaciones producidas por otro sistema B es igual al trabajo producido por el sistema de fuerzas B actuando sobre las deformaciones producidas por el sistema A.

Este teorema es aplicable a sólidos elásticos y lineales, donde es aplicable el principio de superposición. Es válido para cualquier tipo de fuerza o momento, considerando en cada caso la deformación correspondiente en la dirección de la fuerza o momento. En el caso general, si actúan fuerzas de volumen y de superficie, la expresión del teorema de los trabajos recíprocos es:

TEOREMA DE MAXWELL O DE LAS DEFORMACIONES RECÍPROCAS Sea un sistema elástico lineal, sometido a dos sistemas de fuerzas distintos: ◊ Sistema A, compuesto por una sola fuerza unitaria PA = 1, que produce una deformación ∆A en su punto de aplicación A y ∆B en otro punto B. ◊ Sistema B, compuesto por una sola fuerza unitaria PB = 1, que produce una deformación ∆B en su punto de aplicación B y ∆A en el otro punto A.

Aplicando el teorema del trabajo recíproco de Betti-Rayleigh se cumple que el trabajo cruzado entre los dos sistemas es el mismo:

Al ser las dos fuerzas unitarias, se obtiene que:

Esta es la expresión del teorema de las deformaciones recíprocas. Puede enunciarse diciendo que la deformación inducida en un punto A por una fuerza unitaria aplicada en otro punto B es igual a la deformación inducida en B por una fuerza unitaria aplicada en A. Este teorema fue obtenido por Maxwell (1864) para el caso de celosías y en realidad es un caso particular el teorema del trabajo recíproco. Aunque aquí se ha deducido para fuerzas, puede aplicarse a cualquier tipo de esfuerzo (fuerza o momento) y de deformación (desplazamiento o giro), utilizando siempre fuerzas o momentos de valor unidad y midiendo la deformación correspondiente en la dirección del esfuerzo.

Generalización En algunos casos resulta interesante poder relacionar las deformaciones que se producen en estructuras que están cargadas con varias fuerzas unitarias. Sea de nuevo un sólido elástico lineal, sometido a dos sistemas de fuerzas distintos: o Sistema A, compuesto por una sola fuerza unitaria PA = 1 situada en el punto A. o Sistema B, compuesto por N fuerzas unitarias PBi = 1 situadas en los puntos Bi. El sistema A (figura 2.21) produceunas deformaciones:

• El sistema B, formado por N fuerzas unitarias PBi= 1 situadas en Bi, produce unas deformaciones: ∆AB en el punto A y ∆BiB en el punto Bi. Este sistema se puede descomponer en suma de N sistemas Bi, cada uno cargado con una sola fuerza PBi = 1 (figura 2.22). Por lo tanto se puede poner que:

Aplicando el teorema de reciprocidad de Maxwell entre los casos A y Bi, se cumple que:

y sustituyendo en la expresión resulta:

Esta es una expresión generalizada del teorema de Maxwell, para el caso de que haya varias cargas unitarias en uno de los sistemas, como se muestra en la figura.