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LABORATORIO 01: ANÁLISIS COMBINATORIO 1. Determine si las siguientes funciones son iguales. Explique. a) f : , con f (n) n2 1 , con g (n) n2 1 , con f (n) 2n , con g (n) 2n 2. Determine la imagen de cada de las funciones siguientes: a) f : , con f (n) n2 b) g : , con g (n) 3n c) h : , con h(n) 4n 1 3. Diga cuál de las siguientes funciones es inyectiva, sobreyectiva o biyectiva. Explique con un gráfico. x a) f : , con f ( x)

g: b) f : g:

b)

f:

f ( n)

,

( 1) n

definida

por:

n 2

c) Responda la pregunta para las funciones de los problemas 1 y 2. 1 , entonces existe 4. Si m un único n tal que s(n) m . En otras palabras, la función s: 1 es sobreyectiva. 5. Si a definimos las potencias n como sigue: a , n 1 i) a a n ii) Si a ya está definido, se define a n 1 a n . a . Demuestre las siguientes propiedades: a) a m n a m . a n , m, n b) (a m )n

a mn , m, n a n . bn , a, b, n

c) (ab)n 6. Las torres de Hanoi: En un templo budista en Asia, los monjes tienen un juego que consiste en 3 torres y 64 discos

de tamaño diferente, ordenados de arriba hacia abajo con el mayor disco abajo y el menor arriba, de tal forma que encima de cualquier disco dado no hay un disco mayor que el disco dado. Los discos se hallan acomodados en, digamos, la torre A, y el problema es trasladar todos los discos a la torre C (usando a la torre B como intermediaria) de acuerdo con las reglas siguientes: (i) sólo se puede mover un disco a la vez, (II) nunca se puede poner un disco de tamaño mayor sobre un disco de tamaño menor. Resuelva el problema para n discos hallando el menor número de movidas para llevar los discos de A a C. ¿Qué sucede si no existe la torre B? 7. Defina la sucesión siguiente: n 2 , si s0 s1 1 y,

sn : sn

sn

1

2

a) Calcule los 10 primeros términos de la sucesión. b) Usando inducción demuestre que: n 1

sn

n 1

5

, para n

2,

donde y son las raíces de la ecuación cuadrática: x2 x 1 0 . Sugerencia: demuestre primero

que

similarmente para se sigue

1

1

y

. De esto que n 2 n 1 n y similarmente para . c) La sucesión anterior se conoce como la sucesión de Fibonacci. Investigue quién fue Fibonacci.

8. La Moneda Falsa: Suponga que se tienen 3n monedas y se sabe que una de ellas es falsa y pesa menos que las otras. Suponga también que se tiene una báscula con dos platos sin graduación ni pesas para la báscula, de tal manera que la única forma de pesar las monedas es poner algunas en un plato y otras monedas en el otro plato y comparar si los platos quedan o no balanceados. Con este procedimiento usted tiene que encontrar la moneda falsa. Usando inducción demuestre que n pesadas bastan para encontrar la moneda falsa. Explique. 9. Decir cuál de los siguientes conjuntos son finitos, infinitos, Enumerables y no Enumerables. Justifique su respuesta.

C  x 

/ x 2  4  0

E  x 

/ x 2  4  0

D  x 

/ x 2  4  0

F   x  / x  5 G  x 

/ x  5

H   x  / x 2  16

K  1,5, 25,125,... N  1,3,6,10,15, 21,... 1  1 1 1 1 1 O , , , , ,   3 9 27 81 243 729  P   x  / 0  x  5 3 3 3 3  Q   , , , ,...  2 5 10 17  R   x   /1  cos x  0 S  x 

T  x 

U  x 

 

/ senx  0

/1  senx  0

/1  cos 2 x  0

W  11, 9, 7, 5, 3, 1

1 2 3 4  Y   , , , ,...  2 5 8 11   2 4 6 8 10 12  Z  , , , , ,   6 11 16 21 26 31  1 1 1 1  J   , , , ,...  2 8 26 80 

N  2,5, 8,11,...

   x  

/x

5  k   5  2k 

10. Use inducción para demostrar: a) (a 1)(1 a ... a n ) a n Para cualquier a, n

1

1

.

n

b) n 4 n! 2 11. Sea X un conjunto con n elementos. Use inducción para probar que el conjunto de las biyecciones f : X  X tiene n ! elementos. 12. Sean X e Y conjuntos finitos a) Pruebe que:

Card ( X  Y )  Card ( X  Y )  Card ( X )  Card (Y ) b) ¿Cuál sería la fórmula para tres conjuntos? c) Generalice. 13. Dado un conjunto finito X , pruebe que una función f :X X es inyectiva si y sólo si es sobreyectiva (y por tanto es una biyección). 14. ¿Cuántos subconjuntos con p elementos posee un subconjunto X , sabiendo que X tiene n elementos? 15. Defina una función sobreyectiva tal que, n  , el f:  conjunto f 1 (n) sea infinito. 16. Pruebe que si X es infinito enumerable, el conjunto de las partes finitas de X también es (infinito) enumerable.

17. Pruebe que si A tiene n elementos, entonces P( A) tiene

2n elementos. 18. Sean ( , s) y

', s ' dos pares

formados, cada uno por un conjunto y una función. Suponga que ambos cumplen los axiomas de Peano. Pruebe que existe una biyección f : ' tal que f (1) 1' , f (s(n)) s '( f (n)) . Concluya que: a) b) c) 19.

m n f (m) f (n) f (m n) f (m) f (n) f (mn) f (m) f (n) (a) Hallar el espacio muestral (  ), que se obtiene al lanzar un dado dos veces consecutivas. b) De la parte a) obtener los siguientes subconjuntos de  : i) El conjunto, que al sumar los puntos sea 7. ii) El conjunto, que se obtiene 6 puntos sólo en la segunda tirada. iii) A  ( x, y)  / x  5 iv) El conjunto de obtener “sumar” 6 puntos o 5 puntos. v) B  ( x, y)  / x  y  8

20. Determinar y clasificar el espacio muestral de los siguientes experimentos aleatorios: a) Sacar una carta de una baraja. b) Medir la temperatura atmosférica en Lambayeque. c) Tiempo de corrosión de una pieza de máquina. d) Nota de una práctica calificada en el curso de Matemática II. e) Número de lanzamientos de un dado hasta conseguir un 6. 21. Una contraseña para acceder a una computadora consiste de 6 caracteres que pueden ser letras (26) o números (10).

a) ¿Cuántas contraseñas distintas se pueden formar? b) ¿Cuántas contraseñas distintas se pueden formar conteniendo sólo números? c) ¿Cuántas contraseñas distintas se pueden formar si debe tener por lo menos una letra? 22. Una señora tiene 8 amigas y desea invitar a 5 de ellas a una fiesta. ¿De cuántas maneras puede hacerlo si dos de ellas están enojadas entre si y no pueden ser invitadas juntas? 23. Supongamos que tenemos el siguiente experimento aleatorio: Se saca tres bolas al azar, sin reposición, de una urna compuesta por 5 bolas rojas y tres grises. Determine el espacio muestral y su cardinalidad. 24. Un etólogo construye un modelo para estudiar la capacidad de memoria de las ratas albinas. Para ello, diseña el experimento de colocar una rata de laboratorio en un laberinto con cinco salidas, de las cuales sólo una conduce al exterior y las otras, después de un recorrido, retornan a la rata al centro del laberinto; luego estimula al animal para que intente salir. Se define el experimento como el número de intentos de escape hasta que la rata logra salir. Halle el espacio muestral, si: a) La rata no tiene memoria alguna. b) La rata tiene memoria perfecta. 25. Supongamos que tenemos el siguiente experimento aleatorio: Se saca tres bolas al azar, sin reposición, de una urna compuesta por 5 bolas rojas y tres grises. Determine el espacio muestral y su cardinalidad. 26. Un experimento consiste en observar la vida útil de dos

objetos, describa el evento “la duración del primero más la duración del segundo es al menos 4 años”. Además clasifique dicho espacio muestral. 27. Cierta marca de sierra eléctrica es calificada por especialistas, en cuanto a rendimiento, como: “Muy buena”, (B1); o, “buena”, (B2); o “regular”, (B3), y en cuanto al precio, como “cara”, (C1), o “barata”, (C2). ¿De cuántas maneras es calificada la sierra eléctrica por los especialistas? 28. Sean A, B y C tres eventos cualesquiera de un espacio muestral  , expresar cada uno de los siguientes eventos compuestos en términos de operaciones entre A, B y C : a) Ocurra por lo menos uno de los eventos. b) Ocurra todos los eventos. c) Ocurra exactamente uno de los eventos. d) No ocurran ninguno de los eventos. e) No ocurra más de uno de los eventos. 29. Se tiene n objetos iguales numerados de 1 a n , n  3 a) Si se permutan los n objetos, ¿de cuántas maneras k ( k  n ) de ellos ocuparán sus posiciones correspondientes? b) Si se tienen 3 cajas en las cuales se distribuyen los objetos, ¿de cuántas maneras diferentes se pueden distribuir a fin de que sólo una caja quede vacía? k 30. Se distribuyen bolas numeradas de 1 a k en n ( k  n ) cajas alineadas, ¿de cuántas maneras k cajas vecinas contienen una sola cada una? 31. De un conjuntos n objetos numerados de al n ( n  4 ), se

seleccionan k objetos a la vez. ¿En cuántos casos, a) Todos son menores que m ( 1  m  n )? b) Sólo 3 son mayores a m ( k  3 )? 32. Un microbús tiene 29 asientos para pasajeros, distribuidos en 6 filas de 4 asientos cada uno, con un pasillo en el medio y al final 5 asientos juntos. ¿De cuántas maneras diferentes podrán ubicarse 25 pasajeros de modo tal, que los 14 asientos que dan a las ventanillas queden ocupados? 33. Muestre que si un conjunto finito X tiene un número impar de elementos, entonces X tiene el mismo número de subconjuntos que contienen un número par de elementos que el de subconjuntos con un número impar de elementos (cero se considera como un número par). 34. Se tiene 13 monedas del mismo valor, y una de ellas, falsa, pesa menos que las demás. Muestre que con tres pesadas a lo más es posible determinar cuál es la moneda falsa. Construya el diagrama secuencial correspondiente. Generalice para n monedas. 35. En un taller una pieza debe pasar por 5 máquinas A, B, C D y E . (a) ¿cuántas trayectorias posibles existen si no se tiene en cuenta el orden de pasada por cada una de las máquinas? (b) ¿cuántas trayectorias posibles existen si la pieza debe pasar por A antes de pasar por B y D , y por C antes de pasar por E ? Construya el diagrama secuencial correspondiente. 36. Hallar el número de maneras diferentes en que se pueden formar números de 5 cifras con los dígitos 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9 de

manera que empiecen con 6 o terminen en 8, si los dígitos: a) No se repiten b) Se repiten 37. ¿De cuántas formas diferentes se pueden ordenar todos los elementos del conjunto

A

1, 2,3, 4,5,6,7,8,9

de

manera que los elementos 1 y 9 no aparezcan juntos? 38. ¿De cuántas maneras diferentes pueden sentarse 9 personas alrededor de una mesa elipsoidal, si dos personas determinadas deben estar uno al lado del otro? 39. Determinar el número de formas diferentes de permutar 12 objetos iguales en todo, salvo el color, de los cuales 3 son negros, 4 son blancos y 5 son rojos. 40. Determinar el número de combinaciones de 3 dígitos tomados de: 1, 2, 3, 4 y 5 41. Una caja contiene 20 tornillos similares, de los cuales 10 son buenos, 8 tienen defectos del tipo A, 5 defectos del tipo B, y 3 los dos tipos de defectos. ¿Cuántos elementos tiene el espacio muestral que resulta de escoger al azar 11 tornillos de manera que 2 tengan defectos A y B, 3 defectos sólo A, 2 con defectos sólo B y 4 sin defectos? 42. Dados los eventos A de 4 elementos, y B de 8 elementos ¿cuántos eventos de 6 elementos pueden formarse si cada uno debe contener: a) Un solo elemento de A? b) Cuando menos un elemento de A? 43. Un grupo de 5 hombres y 10 mujeres, se divide al azar en 5

grupos de 3 personas cada una. Calcular el número de maneras en que cada grupo contenga un hombre. 44. Un experimento consiste en observar la vida útil de dos objetos, describe el evento “la duración del primero más la duración del segundo es al menos 4 años”. 45. Sea p primo. Demuestre que

p

p , k

k ,1

k

p 1 . Usando

este hecho, demuestre, por inducción sobre n , que p divide a np n 46. De un grupo de 24 alumnos, ¿cuántos equipos de futbol se pueden formar? Si uno de los 24 ha sido elegido capitán y siempre debe jugar, ¿de cuántas maneras se puede elegir el equipo? 47. ¿De cuántas maneras pueden distribuirse 3n objetos en 3 cajas distintas, de modo que cada caja reciba n objetos? 48. ¿De cuántas maneras pueden repartirse 25 objetos entre cuatro personas? 49. De los 32 equipos que participarán en el mundial de Brasil 2014, al término del torneo quedan cuatro equipos semifinalistas que se disputan los primeros cuatro lugares. (a) ¿De cuántas maneras pueden resultar las eliminatorias iniciales para determinar los primeros cuatro lugares? (b) ¿De cuántas maneras pueden resultar las eliminatorias para determinar los primeros cuatro lugares, si el equipo de Brasil siempre debe ser uno de ellos?