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FUNDACIÓN UNIVERSITARIA AGRARIA DE COLOMBIA DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS www.uniagraria.edu.co

Sistema Masa- Resorte Sanabria. Carlos., Guerrero. Andrea., Romero.Hugo y López. Claudia a {Sanabria.Carlos, Guerrero.Andrea, Romero.Hugo y Lopez.Claudia1}@uniagraria.edu.co

Salcedo, Juan b b

Resumen— En la práctica N°2 denominada como Sistema Masa Resorte se realizó el estudio del comportamiento de 2 resortes, con el fin de determinar la constante de elasticidad de cada uno a partir de la Ley Hooke, esta práctica consto de dos partes; en la primera parte se usaron dos resortes de diferente longitud a los cuales se le pusieron 6 diferentes masas para analizar y medir cuanto se deformaban con respecto al valor en Kg de cada una de las masas; En la segunda parte usamos los dos mismos resortes pero esta vez con 8 masas, se tomó el tiempo que tardaba cada resorte con la masa en hacer 10 oscilaciones, para ello se toaron 5 diferentes tiempos por resorte y se promediaron para disminuir el error, con estos datos se halló el periodo y la frecuencia de un sistema armónico simple, se graficaron los resultados para facilitar la compresión de los resultados obtenidos en la práctica y se realizó un ajuste por mínimos cuadrados para determinar los errores y comprobar que el valor de “m” (pendiente de una recta) era el valor de la constante de elasticidad.

Palabras Clave— Constante elástica, periodo, frecuencia, oscilaciones y movimiento armónico simple. Abstract— In practice No. 2, called the Mass Spring System, the study of the behavior of two springs was carried out, in order to determine the elasticity constant of each one based on the Hooke Law, this practice consists of two parts; In the first part two springs of different length were used to which they were put 6 different masses to analyze and to measure how much they were deformed with respect to the value in Kg of each one of the masses; In the second part we used the same two springs but this time with 8 masses, we took the time it took each spring with the mass to make 10 oscillations, for that we used 5 different spring times and averaged to reduce the error, with These data were found the period and frequency of a simple harmonic system, the results were plotted to facilitate the compression of the results obtained in the practice and a least squares adjustment was made to determine the errors and to verify that the value of m "(Slope of a line) was the value of the elastic constant.

Keywords— Elastic constant, period, frequency, oscillations and simple harmonic motion.

OBJETIVOS OBJETIVO GENERAL: 

Determinar la constante elástica K de dos resortes, al aplicar una carga de masa M, usando la Ley de Hooke y las oscilaciones armónicas.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS: 

Estudiar la dinámica del movimiento armónico simple.



Determinar la frecuencia y el periodo de un movimiento armónico simple.



Graficar mediante los datos obtenidos la fuerza aplicada vs la deformación de los resortes. I.

INTRODUCCIÓN

En este documento se describe el efecto del posicionamiento de diferentes masas a dos resortes de diferentes longitudes, teniendo en cuenta que estas generan un desplazamiento el cual se mide en función de la fuerza aplicada y por otro lado se analiza el comportamiento de un sistema armónico simple basándonos en el tiempo t, que tarda el sistema en hacer 10 oscilaciones, para referirnos a que las deformaciones de los cuerpos elásticos son proporcionales a las fuerzas a las que son sometidos. La Ley de Hooke es muy importante ya que de esta se pueden investigar varios problemas y por esta razón es de suma importancia realizar prácticas de laboratorio como estas, para poder analizar y conocer a fondo el comportamiento de cuerpos elásticos y los fenómenos que influyen en el proceso de deformación de los cuerpos.

Una aplicación en la ingeniería civil es la deformación de cuerpos que son sometidos a cargas externas o ajenas a las propias cargas que genera su sistema, con ellos se analiza el comportamiento de algunos materiales, las propiedades del mismo y cuales son efectos que generan sobre el cuerpo la influencia de cargas P, y cuáles son sus capacidades para volver a una determinada posición con el fin de determinar la viabilidad de un material a la hora de usarlo como pieza del diseño de una estructura.

Frecuencia: Esta mide a cuantas vueltas realiza en un periodo de tiempo (generalmente un segundo), se mide en Hertz (Hz) equivalente a s-1 y se simboliza con la letra f. [4] 𝑓=

𝑛 𝑡

(4)

También se puede expresar de la siguiente forma: 𝑓=

1 𝑇

(5)

II. ASPECTOS TEÓRICOS III. La ley de Hooke establece que el alargamiento de un muelle es directamente proporcional al módulo de la fuerza que se le aplique, siempre y cuando no se deforme permanentemente dicho muelle. Esta se representa con la siguiente formula: 𝐹 = −𝑘 𝑥

(1)

Donde F es la fuerza ejercida, esta se da en Newton (N), k es la constante de elasticidad del resorte dada en Newton por metro (N/m), x es la distancia de elongación a partir de la posición inicial dada en metros (m) y es negativa porque esta es una fuerza restauradora. [1]

ASPECTOS EXPERIMENTALES

Para el desarrollo de esta práctica se utilizaron los siguientes materiales:       

1 soporte universal con Nuez y varilla Cinta métrica o regla Dos resortes diferentes Juego de masas Cronometro Balanza Una cámara digital

Imagen 1: Representacion de la ley de Hooke

Movimiento armónico simple (m.a.s) cuando vibra bajo la acción de fuerzas restauradoras que son proporcionales a la distancia respecto a la posición de equilibrio. [2]

Fotografia 1: Soporte universal

Para ello se derivan varios conceptos como lo son oscilación, periodo y frecuencia: Oscilación: La oscilación es el fenómeno en el que se produce un cambio en el movimiento de algo y se realiza en forma de vaivén como se muestra en la figura N° 2. [3]

Fotografia 2: Resorte

Periodo: Este mide el tiempo que se tarde en dar una vuelta completa u oscilación, se mide en segundos y se simboliza con la letra T. 𝑇=

𝑡

(2)

𝑛

En movimiento armónico simple se expresa de la siguiente forma: 𝑚

𝑇 = 2𝜋 √

𝑘

(3) Fotografia 3: Masas

a

Estudiantes de ingeniería ________. b Docente de Física, Departamento Ciencias Básicas.

Con los materiales mencionados anteriormente se realizaron las dos actividades con los resortes las cuales se describen a continuación.

Parte #2- Movimiento armónico simple 1.

Parte #1 Ley de Hooke. 1.

2.

Defina el cero o posición inicial de tal manera que le permita medir el desplazamiento o dilatación del resorte. Cuelgue del extremo libre del resorte suministrado para la práctica una carga que sea lo suficientemente grande para que el resorte inicie una dilatación apreciable, como se muestra en la figura.

2. 3.

4.

5.

Cuelgue en el extremo libre del resorte una carga conveniente, desplácela verticalmente hacia abajo una pequeña distancia y luego suéltela, cuidado que no se mueva lateralmente. Mida el tiempo para 10 oscilaciones, repita la medición del tiempo 5 veces y promedie. Divida el tiempo promedio obtenido en el literal anterior en el número de oscilaciones y determine el periodo del movimiento Duplique, triplique, etc la carga que actúa sobre el resorte y repita la medición de las 10 oscilaciones para estas nuevas cargas con el fin de determinar el periodo en cada caso. Consigne sus resultados en el cuadro 2 Presente los resultados con el margen de error correspondiente.

Imagen 2: Montaje

3.

Aumente sucesivamente la carga y mida los desplazamientos alcanzados, lleve la información y regístrela en el cuadro 1. Fotografia 4: Medicion de la deformacion del resorte

Imagen 3: Deformacion del resorte con respecto al incremento de la masa

4.

Presente los resultados obtenidos con su respectivo margen de error. Fotografia 5: Prueba de oscilacion del resorte con la masa en el extremo

Grafica 1: Deformacion en funcion de la masa

Fotografia 6: Resorte con el peso de la masa aplicado

Se utilizaron dos resortes de diferentes longitudes: Resorte #1 #2

Longitud (m) (0,096 +/- 0,01)m 0,025 +/- 0,01)m

PARTE #1: LEY DE HOOKE 

Deformacion (m) 0,032 0,075 0,112 0,15 0,189 0,227

Fuerza (N) 0,4905 0,981 1,4715 1,962 2,4525 2,943

Con los datos de la tabla anterior se realiza la gráfica de Deformación en función de la Fuerza aplicada al resorte.

Resorte #1:

Deformacion (m) 0,032 0,075 0,112 0,15 0,189 0,227

Masa (KG) 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3

Con estos datos se obtiene la gráfica de Deformación en función de la masa puesta en el resorte #1.

Grafica 2: Fuerza Vs Defromacion del resorte #1

Según esta grafica la constante de elasticidad seria 12,65 que es equivalente al valor de la pendiente de la gráfica. Al realizar el ajuste por mínimos cuadrados se realiza la siguiente tabla:

Xi 0,032 0,075 0,112 0,15 0,189 0,227 0,785

Yi 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 1,05

Xi*Yi 0,0016 0,0075 0,0168 0,03 0,04725 0,0681 0,17125

Xi^2 0,001024 0,005625 0,012544 0,0225 0,035721 0,051529 0,128943

La cual al realizar el cálculo de m encontramos para m el siguiente valor:

m=

0,26271298

Que es igual al valor de la pendiente arrojado en la gráfica o al valor de K arrojado por Excel. Para encontrar el valor teórico de K usamos la siguiente ecuación. 𝐾=

𝑚𝑔 ℎ



𝐾1 = 𝐾2 = 𝐾3 = 𝐾4 = 𝐾5 = 𝐾6 =

9,81𝑚 ) 𝑠2

0,05𝑘𝑔∗(

0,032𝑚 0,01𝑔∗(

9,81𝑚 ) 𝑠2

0,075𝑚

= 15,33

= 13,08

9,81𝑚 ) 𝑠2

Parte #2 Movimiento armónico simple 

Resorte #1

Tiempo #1

Tiempo #2

Tiempo #3

Tiempo #4

Tiempo #5

5,51 6,98 7,63 8,45 9,3 10,43 11,01 11,04

6,02 6,6 7,79 8,49 9,81 10,01 10,95 11,12

5,78 6,56 7,59 8,48 9,48 10,4 10,59 11,3

5,44 6,99 7,64 8,62 9,3 10,02 10,96 11,27

5,46 6,78 7,67 8,57 9,49 10,39 11,02 11,18

Tiempo Promedio 5,642 6,782 7,664 8,522 9,476 10,25 10,906 11,182

Masa (kg) 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,43

Tiempo Experimental 0,5642 0,6782 0,7664 0,8522 0,9476 1,025 1,0906 1,1182

Para hallar el valor de la constante K, se remplazaron en la ecuación y se promediaron los resultados para obtener el valor Promedio de K.

0,15𝑘𝑔∗(

0,112𝑚 9,81𝑚 0,2𝑘𝑔∗( 2 ) 𝑠

0,15𝑚

0,15𝑚 0,3𝑘𝑔∗(

9,81𝑚 ) 𝑠2

0,227𝑚

= 13,13 𝐾=

= 13,08

𝑚𝑔 ℎ



9,81𝑚 0,25𝑘𝑔∗( 2 ) 𝑠

= 12,97

= 12,96

𝐾𝑝𝑟𝑜𝑚 = (13,42+/- 0,01)

Tiempo Teorico 0,5424 0,6643 0,7671 0,8576 0,9395 1,0148 1,0849 1,1248

𝐾1 = 𝐾2 = 𝐾3 = 𝐾4 = 𝐾5 =

0,1𝑘𝑔∗(

9,81𝑚 ) 𝑠2

0,75𝑚 0,15𝑔∗(

9,81𝑚 ) 𝑠2

0,112𝑚 0,2𝑔∗(

9,81𝑚 ) 𝑠2

0,15𝑚

= 13,08

= 13,13

= 13,08

9,81𝑚 ) 𝑠2

0,25𝑘𝑔∗(

0,18𝑚 0,3𝑘𝑔∗(

9,81𝑚 ) 𝑠2

0,22𝑚

= 13,62

= 13,37

𝐾6 = 𝐾7 = 𝐾8 =

9,81𝑚 0,35𝑘𝑔∗( 2 ) 𝑠

0,253𝑚 0,4𝑘𝑔∗(

9,81𝑚 ) 𝑠2

0,286𝑚

= 13,73

= 13,72

9,81𝑚 ) 𝑠2

0,43𝑘𝑔∗(

0,31𝑚

= 13,60

Periodo Experimental prom (s) 0,8803

Masa (kg)

𝑇 = 2𝜋 √

𝑚 𝑘

0,1 𝑇1 = 2𝜋 √ = 0,5424 13,4162

Error (s)

Error (%)

0,0059

0,59%

Con los datos obtenidos de la tabla de masa y tiempo promedio se calculó el periodo por masa equivalente y se genera la siguiente tabla de masa y periodo al cuadrado, lo cual arroja una gráfica que nos permite obtener el valor de la constante k arrojado por Excel, que como ya se explicaba en el caso anterior equivale a la pendiente m de la gráfica.

𝐾𝑝𝑟𝑜𝑚 = (13,4162+/- 0,01) Para hallar el tiempo Teórico del sistema se utilizó la siguiente formula en la cual se remplazó el valor de K calculado anteriormente y las masas en Kg de la tabla:

Periodo teórico prom (s) 0,8744

0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,43

Periodo= T teorico (Perido)^2 0,294 0,441 0,588 0,735 0,883 1,030 1,177 1,265

0,15 𝑇2 = 2𝜋 √ = 0.6643 13,4162 0,2 𝑇3 = 2𝜋 √ = 0,7671 13,4162 0,25 𝑇4 = 2𝜋 √ = 0,8576 13,4162

𝑇5 = 2𝜋 √

0,3 = 0,9395 13,4162

0,35 𝑇6 = 2𝜋 √ = 1,0148 13,4162 0,4 𝑇7 = 2𝜋 √ = 1.0849 13,4162 0,43 𝑇8 = 2𝜋 √ = 1,1248 13,4162

La ecuación que representa la ecuación lineal y= mx+b se analiza en este caso como y=kx-mg. Al realizar el ajuste por mínimos cuadrados encontramos que el valor que se calcula para “m” es el mismo que el que arroja la gráfica.

Xi 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,43 2,18

Yi 0,294 0,441 0,588 0,735 0,883 1,030 1,177 1,265 6,414

Xi*Yi 0,029419776 0,066194174 0,117688482 0,18386944 0,264798075 0,360436664 0,470803204 0,544025267 2,037235082

m=

2,94254916

IV. a.

X^2 0,01 0,0225 0,04 0,0625 0,09 0,1225 0,16 0,1849 0,6924

ANÁLISIS

A partir de los datos obtenidos en la práctica de laboratorio se refleja cierta cercanía entre los datos teóricos y los datos experimentales, en cual nos da un aproximado de la constante elástica que presenta casa resorte, siendo en el caso experimental un poco más elevada que en el caso teórico pero solo en cifras decimales, el margen de error se debe principalmente a la precisión de la medición el cual fue de milímetros que para ser un resorte de corto recorrido se debió haber utilizar un nivel más alto de precisión, así mismo con respecto a los datos tomados del tiempo que tardo el resorte en hacer cierta cantidad de oscilaciones.

b.

De los análisis de la constante K del resorte encontramos que la constante obtenida en la parte #1 es de 13,42 +/o,o1 y la obtenida en la parte # 2 es de 13,4162+/o,o1 lo que refleja que la discrepancia en el valor de la constante cambia por una cifra decimal pero si tenemos en cuenta las cifras significativas y la aproximación de las mismas nos arrojaría el mismo valor de K, 13.42+/- o,o1.

c.

Para el valor de la constante K se esperaba obtener el mismo valor ya que el resorte no cambia lo que cambia son las masas pero esto no afecta el valor de la constante de elongación.

V. 

CONCLUSIONES

El sistema estudiado cumple con las características de un movimiento armónico simple ya que el desplazamiento de la masa desde el punto 0, varia con respecto al tiempo, lo que indica que se mueve periódicamente desde el punto 0, el punto de equilibrio.



La deformación y el periodo de oscilación de un resorte son proporcionales a la masa que cuelga en el extremo del resorte.



La constante de elasticidad varía dependiendo del resorte, esta no es igual sin importar que los resortes sean o no de la misma longitud.



La constante k de elasticidad varío en 0,0038 entre los valores calculados en la parte #1 y en la parte #2.



La deformación que se produce en un cuerpo elástico es proporcional a la fuerza que se le aplique.



El porcentaje de error de la práctica para el tiempo es de 0,01 seg. Para la constante de elasticidad es de 0,01m lo que nos daría un porcentaje total de error de 0,01 m/s2 .

VI.

REFERENCIAS

[1] Tipler, M. (1985), Física para la ciencia y la tecnología Vo 1. Ed Reverte, México. [2] Sears, F. – Zemansky, M. (1999) Física Universitaria I. Ed. Pearson, México. [3] Física Práctica. “Frecuencia y periodo” (2007), recuperado de http://www.fisicapractica.com/frecuencia-periodo.php [4] Física Lab. “Movimiento armónico simple”, recuperado de https://www.fisicalab.com/apartado/concepto-osciladorarmonico#contenidos