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Laboratorio I

COMPORTAMIENTO DE UN SISTEMA MASA-RESORTE-AMORTIGUADOR Universidad Autónoma de Bucaramanga I.

INTRODUCCIÓN

Los sistemas mecánicos son constituidos fundamentalmente por componentes, dispositivos, elementos o piezas solidas que transforman o transmiten el movimiento desde las fuentes que lo generan, es decir, estos elementos están en el sistema con el objeto de realizar movimientos por acción o efecto de una fuerza. Los elementos básicos de los sistemas mecánicos son la masa, el resorte y el amortiguador, el estudio de movimiento en sistemas mecánicos corresponde con el análisis de sistemas dinámicos. Un sistema de masa-resorte-amortiguador está compuesto por una masa la cual está unida a un resorte y un amortiguador, este tiene como efecto reducir la velocidad de la masa cuando el sistema está vibrando. En el presente trabajo se estudiará la dinámica de un sistema resorteamortiguador que es un tipo de sistema mecánico simple, el cual se rige por la segunda ley de Newton. Este trabajo presenta la simulación de un sistema masaresorte-amortiguador mediante el programa SIMULINK de Matlab. La simulación nos permite obtener una respuesta del comportamiento del sistema asociado a una ecuación de transferencia, calculada anteriormente.

II. Objetivo general

OBJETIVOS

Explorar el comportamiento de un sistema masa-resorte-amortiguamiento ante la variación de distintos factores, específicamente evaluar la influencia de la variación de la constante del resorte (k) y la de amortiguamiento (b). Objetivos específicos Inicialmente bajo la segunda ley de newton se hallaron las ecuaciones que me representan el sistema y a partir de esa se hallo la función de transferencia del sistema mecánico dado. Con el fin de observar la influencia de la variación de diferentes parámetros se realizaron una serie de simulaciones con la herramienta de Matlab® Simulink sobre la ecuación de transferencia de un modelo dado. III. MARCO TEÓRICO Sistema masa-resorte-amortiguador Un sistema masa-resorte-amortiguador comprende masas, resortes mecánicos y atenuadores paralelos. El sistema puede almacenar energía potencial y cinética. Los sistemas de masa-resorte-amortiguador tienen el propósito principal de reducir la transmisión de las vibraciones y los ruidos portados por las estructuras. Los elementos flexibles (resortes) aseguran que las masas sean desacopladas en términos de la transmisión de oscilación. Se deben coordinar las dinámicas de resortes y masas para este propósito.

El resorte cuenta con una constante de resorte, una longitud en reposo y una constante de atenuación. Si el resorte está en posición de reposo, el sistema también está en su posición original. Si una masa se mueve, el resorte acumula energía potencial que es minimizada mediante el desplazamiento de los otros puntos de masa. El atenuador asegura que el sistema no continúe oscilando después de la deformación y que regrese a su posición de reposo. Un amortiguamiento débil subcrítico genera una atenuación de la oscilación, mientras que la amortiguación crítica/supercrítica genera una atenuación de fluencia. Un sistema masa-resorte-amortiguador está compuesto por una masa la cual está unida a un resorte y un amortiguador, este último tiene el efecto de reducir la velocidad de la masa cuando el sistema se encuentra vibrando (representación de las características de disipación o pérdida de energía de una estructura real). Además de la masa se considera la constante del resorte k y B que es el coeficiente de amortiguamiento.

Figura 1. Diagrama masa-resorteamortiguador

El amortiguador ejerce una fuerza dependiente de la velocidad de la masa; entre mayor sea la velocidad, mayor es la fuerza que ejerce. Por simplicidad

supondremos que la fuerza es, en magnitud, proporcional a la velocidad, es decir |𝐹𝐴 | = 𝐵|𝑣(𝑡)| donde B es la constante de proporcionalidad. Entonces la fuerza que ejerce el amortiguador es 𝐹𝐴 = −𝐵 ∗ 𝑣(𝑡) Donde el signo negativo indica que la fuerza de amortiguación va en sentido contrario a la velocidad del cuerpo. La fuerza total ejercida sobre la masa es, entonces: 𝐹𝑛𝑒𝑡𝑎 = 𝐹𝑅 + 𝐹𝐴 = −𝑘𝑦 − 𝐵 ∗ 𝑣(𝑡) Donde 𝐹𝑅 es la fuerza del resorte. Si se quiere ver el comportamiento en el tiempo del sistema, se reescribe a ecuación en función del tiempo. 𝑑2 𝑦

𝑑𝑦

𝑓(𝑡) = 𝑀 ∗ 𝑑𝑡 2 + 𝐵 𝑑𝑡 + 𝑘𝑦 (Ecu. 1) Donde, M, masa B, es la constante de amortiguamiento K, es la constante del resorte La ecuación (1) modela el movimiento amortiguado de la masa. En este caso, la fuerza de amortiguación produce una pérdida de energía en el sistema. Todos los parámetros del modelo (M, k y B) son cantidades positivas. En la siguiente tabla se muestran las variables, coeficientes y unidades del Sistema Internacional para un sistema masa-amortiguador-resorte, también conocido como sistema mecánico de traslación. SÍMBOLOS y M k B f a v

VARIABLES Y COEFICIENTES Distancia Masa Constante del resorte Coeficiente de amortiguamiento Fuerza Aceleración Velocidad

Tabla 1. Variables y coeficientes de un sistema masa-amortiguador-resorte

SIU m Kg Kg/s2 Kg/s Kgm/s2 m/s2 m/s

Función de transferencia de un sistema masa-resorte-amortiguador Con el fin de hallar la función de transferencia del sistema, se determina la transformada de Laplace de la ecuación 1, con la condición inicial de Y(s)=0

Figura 2. Sistema mecánico para estudiar como función de transferenci a

𝐹(𝑠) = 𝑀𝑠 2 𝑌(𝑠) + 𝐵𝑠𝑌(𝑠) + 𝑘𝑌(𝑠) 𝐹(𝑠) = 𝑌(𝑠)[𝑀𝑠 2 + 𝐵𝑠 + 𝑘]

Por último, la ecuación de transferencia se puede obtener dividiendo la salida sobre la entrada 𝐺𝑝 (𝑠) =

𝑌(𝑠) 𝐹(𝑠)

=

1 𝑀𝑠2

+ 𝐵𝑠 + 𝑘

Este procedimiento se hace en los sistemas de masa-resorte-amortiguamiento.

Sistema masa-resorte-amortiguador en lazo abierto Una vez que se conoce como se comporta el proceso, se dibuja el diagrama del proceso en lazo abierto y de este modo se determina cómo se comporta el sistema. La entrada del sistema F(s) es la fuerza aplicada a la masa y la salida Y(s) es la distancia que se desplaza la masa por efecto de la fuerza aplicada. G(s) F(s)

1

Y(s)

𝑀𝑠2 + 𝐵𝑠 + 𝑘

𝐹𝑘1 + 𝐹𝑏1 = 𝐹𝑘2

(Ecu. 2)

𝐹𝑘2 = 𝐹𝑏2

(Ecu. 3)

A continuación, teniendo en cuenta que el resorte acumula energía potencial que es minimizada mediante el desplazamiento de los otros puntos de masa y el amortiguador se asegura que el sistema no continúe oscilando después de la deformación y que regrese a su posición de reposo, se reescriben las ecuaciones 2-3. 𝑘1(𝑥1 − 𝑥𝑜 ) + 𝑏1(𝑥1̇ − 𝑥𝑜̇ ) = 𝑏2(𝑥𝑜̇ − 𝑦̇ )(Ecu. 4)

IV.

METODOLOGÍA

Partiendo de un modelo de resorte dado (Ogata, 2010, cap. 3 figura 3-23a) se hizo el análisis de fuerzas y se sacaron las siguientes ecuaciones, con el fin de analizar el comportamiento del sistema.

𝑘1 ∗ 𝑥1 − 𝑘2 ∗ 𝑥𝑜 + 𝑏1 ∗ 𝑥1̇ − 𝑏1 ∗ 𝑥𝑜̇ = 𝑏2 ∗ 𝑥𝑜̇ − 𝑏2 ∗ 𝑦̇ 𝑘1 ∗ 𝑥1 − 𝑘2 ∗ 𝑥𝑜 = 𝑏2 ∗ 𝑥𝑜̇ − 𝑏2 ∗ 𝑦̇ − 𝑏1 ∗ 𝑥1̇ + 𝑏1 ∗ 𝑥𝑜̇ 𝑘1 ∗ 𝑥1 − 𝑘2 ∗ 𝑥𝑜 = 𝑥𝑜̇ (𝑏1 + 𝑏2) − 𝑏2 ∗ 𝑦̇ − 𝑏1 ∗ 𝑥1̇ 𝑘2𝑦 = 𝑏2(𝑥𝑜̇ − 𝑦̇ ) 𝑘2𝑦 + 𝑏2 ∗ 𝑦̇ = 𝑏2𝑥𝑜̇

(Ecu. 5)

Las ecuaciones 4-5 se transforman al dominio de Laplace y se despeja con respecto a Y(s) 

𝑘1 ∗ 𝑋1 (𝑠) − 𝑘2 ∗ 𝑋𝑜 (𝑠) = 𝑋𝑜 (𝑠) ∗ 𝑠(𝑏1 + 𝑏2) − 𝑠𝑏2 ∗ 𝑌(𝑠) − 𝑠𝑏1 ∗ 𝑋1

𝑠𝑏2 ∗ 𝑌(𝑠) = 𝑋𝑜 (𝑠) ∗ 𝑠(𝑏1 + 𝑏2) − 𝑠𝑏1 ∗ 𝑋1 − 𝑘1 ∗ 𝑋1 (𝑠) + 𝑘2 ∗ 𝑋𝑜 (𝑠) 𝑠𝑏2 ∗ 𝑌(𝑠) = 𝑋𝑜 (𝑠) ∗ [𝑠(𝑏1 + 𝑏2) + 𝑘2] − 𝑋1 (𝑠)(𝑘1 + 𝑠𝑏1) 𝑌(𝑠) = 𝑠𝑏1) 

𝑋𝑜 (𝑠) 𝑠𝑏2

∗ [𝑠(𝑏1 + 𝑏2) + 𝑘2] − (Ecu. 6)

𝑋1 (𝑠) 𝑠𝑏2

∗ (𝑘1 +

𝑘2 ∗ 𝑌(𝑠) = 𝑠𝑏2 ∗ 𝑋𝑜 (𝑠) − 𝑠𝑏2 ∗ 𝑌(𝑠) 𝑘2 ∗ 𝑌(𝑠) + 𝑠𝑏2 ∗ 𝑌(𝑠) = 𝑠𝑏2 ∗ 𝑋𝑜 (𝑠)

𝑌(𝑠) =

𝑠𝑏2∗𝑋𝑜 (𝑠)

(Ecu. 7)

𝑘2+𝑠𝑏2

Con el fin de calcular la ecuación de transferencia del sistema se hace la igualación de la ecuación 6 con la ecuación 7. 𝑠𝑏2 ∗ 𝑋𝑜 (𝑠) 𝑋𝑜 (𝑠) = ∗ [𝑠(𝑏1 + 𝑏2) + 𝑘2] 𝑘2 + 𝑠𝑏2 𝑠𝑏2 𝑋1 (𝑠) − ∗ (𝑘1 + 𝑠𝑏1) 𝑠𝑏2 𝑋1 (𝑠) ∗ (𝑘1 + 𝑠𝑏1) = 𝑋𝑜 (𝑠) ∗ [𝑠(𝑏1 + 𝑏2) + 𝑘2] 𝑠𝑏2 ∗ 𝑋𝑜 (𝑠) − 𝑠𝑏2 ∗ 𝑘2 + 𝑠𝑏2 𝑋1 (𝑠) ∗ (𝑘1 + 𝑠𝑏1) = 𝑋𝑜 (𝑠) ∗ [(𝑠(𝑏1 + 𝑏2) + 𝑘2) − 𝑠𝑏2 ∗

𝑠𝑏2 ] 𝑘2 + 𝑠𝑏2

𝑋1 (𝑠) ∗ (𝑘1 + 𝑠𝑏1) = 𝑋𝑜 (𝑠) ∗ [(𝑠(𝑏1 + 𝑏2) + 𝑘2) − 𝑠𝑏2 ∗

𝑠𝑏2 ] 𝑘2 + 𝑠𝑏2

La ecuación de transferencia en el sistema 𝑋 (𝑠)

mecánico dado sería 𝑋𝑜(𝑠). 1

(𝑘1+𝑠𝑏1) 𝑠2 𝑏22 [(𝑠(𝑏1+𝑏2)+𝑘2)− ] 𝑘2+𝑠𝑏2

=

𝑋𝑜 (𝑠) 𝑋1 (𝑠)

(Ecu.8)

Solución del denominador [(

𝑠(𝑏1 + 𝑏2) ∗ (𝑘2 + 𝑠𝑏2) 𝑘2 ∗ (𝑘2 + 𝑠𝑏2) + ) 𝑘2 + 𝑠𝑏2 𝑘2 + 𝑠𝑏2 𝑠 2 𝑏22 − ] 𝑘2 + 𝑠𝑏2

𝑠 2 ∗ 𝑏1𝑏2 + 𝑠(𝑏1𝑘2 + 𝑏2𝑘2 + 𝑘1𝑏2) + 𝑘2𝑘1 𝑘2 + 𝑠𝑏2

Finalmente, se reescribe la función de transferencia, esto con el fin de poderla ingresar en la herramienta Matlab® Simulink (𝑘1 + 𝑠𝑏1) 𝑠 2 ∗ 𝑏1𝑏2 + 𝑠(𝑏1𝑘2 + 𝑏2𝑘2 + 𝑘1𝑏2) + 𝑘2𝑘1 𝑘2 + 𝑠𝑏2 𝑋𝑜 (𝑠) = 𝑋1 (𝑠) (𝑘2 + 𝑠𝑏2) ∗ (𝑘1 + 𝑠𝑏1) 𝑠 2 ∗ 𝑏1𝑏2 + 𝑠(𝑏1𝑘2 + 𝑏2𝑘2 + 𝑘1𝑏2) + 𝑘2𝑘1 𝑋𝑜 (𝑠) = 𝑋1 (𝑠)

𝑠2 ∗𝑏1𝑏2+𝑠𝑏1𝑘2+𝑠𝑏2𝑘1+𝑘1𝑘2 𝑠2 ∗𝑏1𝑏2+𝑠(𝑏1𝑘2+𝑏2𝑘2+𝑘1𝑏2)+𝑘2𝑘1 𝑋𝑜 (𝑠) (Ecu. 9) 𝑋1 (𝑠)

=

Con la Ecuación de transferencia obtenido se ingresa a herramienta Matlab® Simulink, como un sistema de masa-resorte-amortiguamiento en lazo abierto.

Figura 3. Ecuación de transferencia del sistema mecánico dado en la herramienta de Matlab® Simulink Finalmente, se les dan valores a las constantes de los resortes (k) y a las constantes de amortiguamiento (b), y se ingresan a la herramienta de Matlab para ser utilizada por el montaje del sistema en Simulink.

V. ANÁLISIS Y RESULTADOS

A partir del montaje en simulink, se realizó la simulación del comportamiento del sistema mecánico, inicialmente se le hizo una variación de la constante del resorte (k), tanto en aumento como en descenso y se observó el comportamiento del sistema.

Figura 3. Simulación del Sistema mecánico con aumento y disminución de la constante del resorte (k), la línea amarilla representa el comportamiento del sistema original, la línea azul claro es el comportamiento aumentando el valor de las k en 1, la línea naranja es el comportamiento aumentando el valor de k en 2, la línea azul oscuro es el comportamiento aumentando el valor de k en 3. En cuanto a disminución, la línea verde es el comportamiento disminuyendo el valor de k en 0.5, la línea roja es el comportamiento disminuyendo el valor de k en 1, y por último la línea rosada es el comportamiento disminuyendo el valor de k en 1.5. La función del resorte es almacenar energía potencial y desprenderse de ella sin sufrir deformación permanente, llevando al sistema mecánico a la posición de reposo (inicial). En esta simulación podemos observar el comportamiento del sistema mecánico en el tiempo cuando es sometido a una fuerza o tensión, cuanto tarda en llegar a la posición inicial y cómo se comporta de acuerdo con la variación de k. De acuerdo con la Fig. 3, podemos deducir que entre menor sea k, el sistema se va a demorar mas en volver a su posición inicial. Esto debido a que la fuerza del resorte en el tiempo es proporcional a la posición de este 𝑓(𝑡) = 𝑘 ∗ 𝑥, tal que si el resorte necesita absorber la misma energía potencial y la constante es menor, el desplazamiento del resorte va a aumentar por lo que va a tardar mas en volver a su estado inicial. Así mismo se puede comprobar en el aumento de la k donde verificamos que también cumple esta proporcionalidad ya que al aumentar la k el desplazamiento del resorte disminuye. Además, se realizó la simulación, pero en este caso se varió la constante de amortiguamiento (b), tanto en aumento como en descenso y se observó el comportamiento del sistema.

Figura 4. Simulación del Sistema mecánico con aumento y disminución de la constante de amortiguamiento (b), la línea amarilla representa el comportamiento del sistema original, la línea azul claro es el comportamiento aumentando el valor de las b en 1, la línea naranja es el comportamiento aumentando el valor de b en 2, la línea azul oscuro es el comportamiento aumentando el valor de b en 3. En cuanto a disminución, la línea verde es el comportamiento disminuyendo el valor de b en 0.5, la línea roja es el comportamiento disminuyendo el valor de b en 1, y por último la línea rosada es el comportamiento disminuyendo el valor de b en 1.5. La función del amortiguador es recibir, absorber y mitigar una fuerza tal, ya sea porque se ha dispersado o porque la energía se ha transformado la fuerza inicial se hace menor. Cuanto mejor sea la amortiguación de la fuerza inicial, menor será la fuerza recibida sobre el punto final. Un amortiguamiento débil subcrítico genera una atenuación de la oscilación, mientras que la amortiguación crítica/supercrítica genera una atenuación de fluencia (cuando un material experimenta alargamientos crecientes en función del tiempo). Debido a que la fuerza del amortiguador es proporcional a la velocidad o rapidez de este, se tiene la siguiente ecuación 𝐹𝐴 = 𝐵 ∗ 𝑣(𝑡), donde la velocidad se puede reescribir en términos de la posición 𝑑𝑦 𝐹𝐴 = 𝐵 ∗ 𝑑𝑡 .

Teniendo en cuenta lo anterior y lo que se puede observar en la grafica si el amortiguamiento es débil o menor, genera una atenuación en la oscilación mayor por lo que el desplazamiento del sistema va a ser menor, tal que el sistema vuelve más rápido a la posición de reposo, debido a que la fuerza recibida en el punto final es menor, es decir la fuerza de amortiguamiento impide el desplazamiento del sistema, así que tardará menos en volver a su punto de reposo además que disminuirá las oscilaciones en el sistema entra más débil sea. VI.

CONCLUSIONES

Teniendo en cuenta las simulaciones realizadas en la herramienta simulink Matlab, en la Fig 3 se pudo comprobar que a entre menor sea la K del resorte, más va a tardar en volver a su posición de reposo, esto se debe a que, si la constante del resorte es muy pequeña y tiene que transportar altas cantidades de energía potencial, la deformación del resorte por dicha energía va a aumentar en ocasiones no permitiendo al resorte volver a su estado original. Por esta razón en sistemas mecánicos es importante evaluar el comportamiento dinámico de las constantes de acuerdo con lo que desee soportar el resorte, para tener un buen rendimiento del sistema. El amortiguamiento se instala en un sistema para disminuir las oscilaciones cuando se le aplique una fuerza, como se puede observar en la simulación Fig 4, entre menor sea la constante de amortiguamiento, el sistema va a oscilar menor. Esto comprobando que un amortiguamiento débil subcrítico genera una atenuación de la oscilación, mientras que la amortiguación crítica/supercrítica genera una atenuación de fluencia. Por lo que cuando se desee instalar un amortiguamiento en un sistema mecánico, se debe tener en cuenta si lo que deseamos es atenuar las oscilaciones (b menor) o atenuar la fluencia. VII. REFERENCIAS [1] OGATA, K. (2010). INGENIERIA DE CONTROL MODERNA (5th ed.). PRENTICE HALL. [2] Dennis G. Zill, Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones de Modelado, VIII Edición, International Thomson, 2005. [3] UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE YUCATÁN. (2015). DINÁMICA Y CONTROL DE UN SISTEMA MASA-RESORTE-AMORTIGUADOR. LUIS ALBERTO BARRALES ROJAS. Retrieved from https://es.scribd.com/document/271500208/Dinamica-y-control-de-un-sistema-masa-resorteamortiguador [4] Definiciones - Sistema masa-resorte-amortiguador - item Glossar. (2019). Retrieved 15 September 2019, from https://glossar.item24.com/es/indice-de-glosario/articulo/item//sistemamasa-resorte-amortiguador-1.html [5] Ardila Urueña, W. (2017). SIMULACIÓN DE UN SISTEMA MASA RESORTE AMORTIGUADOR CON CIRCUITOS ELECTRÓNICOS.