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UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE MANIZALES DEPARTAMENTO DE FÍSICA Y QUÌMICA

GUIAS DE LABORATORIOS DE FÍSICA MECÁNICA

JAIRO DE JESÚS AGUDELO CALLE FRANCY NELLY JIMÉNEZ GARCÍA

2019

TABLA DE CONTENIDO

LABORATORIO 1 .......................................................................................................... 3 TRATAMIENTO DE DATOS EXPERIMENTALES ............................................ 3 LABORATORIO 2 ........................................................ ¡Error! Marcador no definido. LEYES EMPÍRICAS ............................................................................................. 16 LABORATORIO 3 ........................................................................................................ 21 INSTRUMENTOS DE MEDIDA ......................................................................... 21 LABORATORIO 4 ........................................................................................................ 23 MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE ACELERADO................. 26 LABORATORIO 5 ........................................................................................................ 31 ACELERACIÓN DE LA GRAVEDAD ................................................................ 31 LABORATORIO 6 ........................................................................................................ 35 MOVIMIENTO DE PROYECTILES .................................................................... 35 LABORATORIO 7 ........................................................................................................ 40 MOVIMIENTO SEMIPARABÓLICO .................................................................. 40 LABORATORIO 8 ........................................................................................................ 48 EQUILIBRIO DE TRASLACIÓN DE UNA PARTÍCULA ................................. 48 LABORATORIO 9 ........................................................................................................ 55 SEGUNDA LEY DE NEWTON............................................................................ 55 LABORATORIO 10 ..................................................................................................... 61 ROZAMIENTO Y PLANO INCLINADO ............................................................ 61 LABORATORIO 11 ..................................................................................................... 68 TRABAJO Y ENERGÍA ........................................................................................ 68 LABORATORIO 12 ...................................................................................................... 69 COLISIONES UNIDMENSIONALES .................................................................. 74 LABORATORIO 13 ...................................................................................................... 82 PENDULO BALÍSTICO ........................................................................................ 82 LABORATORIO 14 ...................................................................................................... 89 EQUILIBRIO DE ROTACIÓN ............................................................................. 89 LABORATORIO 15 ...................................................................................................... 95 ACELERACIÓN ANGULAR Y MOMENTO DE INERCIA .............................. 95 LABORATORIO 16 ...................................................... ¡Error! Marcador no definido. FUERZA CENTRÍPETA ....................................... ¡Error! Marcador no definido.

Autores: Jairo de Jesús Agudelo Calle y Francy Nelly Jiménez García

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LABORATORIO 1 TRATAMIENTO DE DATOS EXPERIMENTALES OBJETIVOS 1. Cuantificar el error en las medidas de datos experimentalmente. 2. Modelar fenómenos físicos mediante la correlación de datos experimentales empleando el método de mínimos cuadrados. 3. Linealizar funciones teniendo en cuenta el tipo de gráfica que relaciona sus variables físicas. 4. Obtener los errores presentes al emplear el método de los mínimos cuadrados, en el caso particular de la regresión lineal. PRE INFORME 1. Definir los siguientes conceptos: Cantidad física, medida, magnitud fundamental, cantidad escalar y cantidad vectorial. 2. ¿Qué son cifras significativas y cómo se manejan? 3. ¿Cuál es la diferencia entre precisión y exactitud? 4. ¿Cuáles son los errores más comunes en la toma de datos experimentales? 5. Consultar en qué consiste el método de los mínimos cuadrados y usarlo, mostrando todo el proceso (empleando las fórmulas), para obtener la relación lineal que existe entre las variables Voltaje (V) contra corriente (I), v = f(I), cuyos datos se muestran a continuación: I(A)

3.0

3.2

3.8

4.1

4.5

5.3

6.0

V(v)

4.5

4.9

5.6

6.2

6.8

8.1

8.9

6. Consultar lo que significa el coeficiente de determinación (r2) y el coeficiente de correlación (r) en el modelo de regresión. 7. Explique en qué consisten los errores en el método de mínimo cuadrados y cómo calcularlos. Use esta información para calcular dichos errores en el problema del punto anterior. 8. Realizar una breve descripción acerca de lo que trata la linealización y mostrar un ejemplo. Revisar los ejemplos del marco teórico. MATERIALES    

Calculadora Regla Lápiz 4 hojas de papel milimetrado

MARCO TEÓRICO

Autores: Jairo de Jesús Agudelo Calle y Francy Nelly Jiménez García

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1. Definiciones Fundamentales: Errores en la medición Algo de lo cual se tiene certeza es que cada vez que realizamos una medida existe una gran probabilidad de cometer algún tipo de error que nos ofrezca un resultado más o menos alejado del que realmente deberíamos obtener. De entre los errores más comunes se pueden distinguir dos grandes grupos: 

Errores sistemáticos. relacionados con la forma en la que se utiliza el instrumento de medida. Dentro de estos se pueden distinguir: o Error de calibrado. Es uno de los más frecuentes y está ligado directamente al instrumento. Muchos de ellos deben ser configurados de forma apropiada antes de ser utilizados (calibrado), si esto no se hace correctamente todas las medidas realizadas tendrán añadidas un sesgo. o Error de paralaje. Es propio de instrumentos de medida analógicos como por ejemplo aquellos que poseen agujas para marcar los valores. Dos observadores situados en posiciones oblicuas a la aguja pueden leer valores diferentes.



Errores aleatorios o accidentales. Se tratan de errores que se producen debido a causas que no se pueden controlar. Para intentar reducir el efecto de este tipo de errores se suele medir varias veces en las mismas condiciones y se considera como valor final más probable la media aritmética de los datos obtenidos.

Dado que todas las medidas están afectadas por un error experimental, en el mundo científico es común hacer constar cada resultado obtenido en una medición junto con la incertidumbre sobre esa medida. La incertidumbre es un valor numérico que se obtiene por medio de dos nuevos conceptos denominados error absoluto y error relativo.

Longitud  3.624  0.002 metros valor incertidumbre

magnitud

unidad

1.1 Media aritmética o valor promedio una medida: Sea X la cantidad a medir, si se repite la medición en las mismas condiciones n veces, se obtienen n resultados para x (x1,x2,x3,x4,…xn), y se puede calcular el promedio aritmético x de los xi medidos, así:

x

x1  x2  x3  .....  xn n x

(1)

x

i

n

1.2 Desviación media absoluta y desviación típica (Errores absolutos y Errores relativos):

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Cada valor xi presenta una variación con respecto al valor medio x , conocida como error absoluto y está dado por:

xi  x  xi La media de estos errores absolutos permite obtener la desviación media absoluta o el error absoluto medio así:

x DAM

n

xi

(2)

El error relativo, ε, de cada medida xi , se define como el error absoluto dividido por la media x . El error relativo medio se acostumbra escribir en porcentaje y se obtiene al multiplicar por 100:

% 

DAM

x

100

Los experimentos que se hacen en este nivel deberían arrojar resultados con errores relativos menores al 10%. Un resultado de un experimento significativo en un laboratorio de investigación debe tener un error del 1% o menos. El error absoluto bien es el resultado final que se quiere obtener, tiene un inconveniente. Si se afirma que la longitud, L, se mide con un error de 1 cm, no se puede concluir nada sobre la calidad de la medida ya que no se sabe cuál era la cantidad a medir. Si L es 50 cm, se tiene un error relativo de 1/50 = 0,02 = 2% lo que es aceptable. Mientras que si la cantidad a medir es de 5 m el error relativo es ahora 1/500 = 0,002 = 0,2% lo que es excelente.

1.3 Valor real de una magnitud: El valor real de una magnitud medida puede expresarse empleando las ecuaciones (1) y (2) es decir, X = valor promedio ± error absoluto medio

X

x

DAM

1.4 Porcentaje de error relativo: Cuando se tiene un valor medido experimentalmente y se tiene un valor teórico con el cual comparar, se puede hallar el porcentaje de error relativo de la siguiente forma: % 

Valor teórico  Valor exp erimental 100 Valor teórico

Ejercicio 1: Con un flexómetro mida una altura mínima de 2,00 m, posteriormente tome un objeto (balín) y déjelo caer desde dicha altura y anote en la tabla el tiempo que Autores: Jairo de Jesús Agudelo Calle y Francy Nelly Jiménez García

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tarda en recorrer dicha distancia (medida que debe realizar otro estudiante); repita dicho proceso cuatro veces más. Después de realizadas las medidas calcule el promedio, la DAM y la desviación estándar.

t1 =

t2 = x

Valor medio:

t3 =

t4 =

t5 =

x1  x2  x3  x4  x5  5

Error absoluto:

x1  x  x1  x2  x  x2 

x3  x  x3  x4  x  x4  x5  x  x5  Error absoluto medio: DAM 

x1x2 x3 x4 x5  5

Error relativo medio de las medidas:



DAM



x

en porcentaje es:

El resultado en la medida del tiempo es:

xx 

DAM 

La desviación estándar es:  = ¿Qué puede concluir de los resultados anteriores?:

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2. Método de los Mínimos Cuadrados: Surge con frecuencia a nivel práctico la necesidad de resolver problemas que involucren un conjunto de variables que se relacionan entre sí; variables que tienen una relación inherente, y es necesario explorar la naturaleza de la misma. El análisis de regresión es una técnica estadística para modelar e investigar la relación entre dos o más variables, y utiliza el método de mínimos cuadrados, el cual es procedimiento más preciso que se utiliza para buscar la curva de ajuste óptimo que minimiza la suma de los cuadrados de los errores, de un conjunto de datos experimentales (ver figura 1).

x x1 x2 . . xn

y y1 y1 . . yn

ˆ y i

yˆ1 yˆ 2

. . yˆ n

Figura 1. Gráfica datos experimentales y ajuste teórico Desde un punto de vista estadístico, un requisito implícito para que funcione el método de mínimos cuadrados es que los errores de cada medida estén distribuidos de forma aleatoria. A continuación se muestran algunos modelos de regresión simple utilizados en las calculadoras comunes, Excel y Geogebra Regresión lineal: Regresión cuadrática:

y

Bx

Regresión logarítmica: Regresión Exponencial:

y y

Cx 2 Bx A A B ln x

y

Ae Bx

Regresión potencia:

y

Ax B

y

A

y y

A.B x A B sin(Cx D) A 1 Be Cx

Regresión Inversa: Crecimiento Seno (en Geogebra) Logística (en Geogebra)

y

A

B x

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Una condición importante de los modelos de regresión anterior es poder conocer cuál es el poder explicativo del modelo de ajuste obtenido. Esto puede hacerse mediante el coeficiente de determinación (r2) . Un r2 = 1 indica que el 100% de todos los datos experimentales son explicados por el modelo de ajuste calculado (en condiciones experimentales jamás dará 1), es decir que todos los datos pertenecen a la curva del modelo de regresión supuesto. Acá en los laboratorios de física se aconseja un r2 > 0,9. Valores menores demuestra dos cosas, o que los datos fueron obtenidos de manera incorrecta y se debería realizar de nuevo la toma de datos, o que el modelo de ajuste supuesto no es el adecuado. La raíz cuadrada del resultado anterior se denomina el coeficiente de correlación, e indica la fuerza de la relación entre x y y. Para que la correlación sea buena, se recomienda que r esté comprendida entre 0,95 y 1, e incluso, en algunos casos, se aceptan valores inferiores a 0,95 pero teniendo en cuenta las causas de error y algunas consideraciones estadísticas. Ejercicios 2: Para cada una de las siguientes tablas de datos, construya una gráfica de dispersión para identificar el modelo de regresión que más se ajuste, obteniendo la relación funcional y el coeficiente de determinación con su respectiva interpretación. CASO 1: w 3,0 w 1 y

f ( y)

CASO 2: x 0 t 0 x

f (t)

6,0 2

1 3,9

10,0 3

2 10,5

15,9 4

3 19,8

22,8 5

4 33,6

Autores: Jairo de Jesús Agudelo Calle y Francy Nelly Jiménez García

5 52,7

27,6 6

6 74,3

31,2 7

7 99,7

8

CASO 3: T 0 d 0 T

f (d) 1 3,2

2 4,4

3 5,1

4 6,3

5 6,9

6 7,4

7 8,0

Ejercicios 3: Si los datos de la tabla abajo relacionada hacen parte de cierto fenómeno 3 32 cuyo modelo matemático se relaciona mediante la función w f (t ) t , entonces n encontrar el valor de n y el coeficiente de determinación, con base en el modelo de regresión adecuado:

w t

12,4 1

37,5 2

67,1 3

103,7 4

145,1 5

191,2 6

240,9 7

Suponiendo que el valor teórico de n = 0,81, entonces calcular el porcentaje de error. % 

Valor teórico  Valor exp erimental 100  Valor teórico

3. Linealización: En ciertas ocasiones se tienen datos cuya relación funcional no coincide con alguno de los modelos de regresión con que se cuenta a la mano, por lo tanto es necesario realizar alguna modificación a estos datos a través de algún artificio matemático o cambio de variable para permitir que la suposición se ajuste al modelo simple de regresión lineal.

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Por ejemplo, y  12 gt 2 es un modelo matemático de un fenómeno físico que relaciona el tiempo que tarda un objeto en caída libre en recorrer una distancia vertical y. Si se gráfica y contra t, se obtiene una curva como se muestra en la figura 2.

y

t

T = t2

y1 y2 y3

t1 t2 t3

(t1)2 (t2)2 (t3)2

.

.

.

. yn

.

.

tn

(tn)2

Figura 2. Altura (y) en función del tiempo (t)

De acuerdo a la forma de la curva se puede pensar en una relación de tipo parabólico lo cual está corroborado por la ecuación de movimiento. Ahora, si se hace t 2  T , nos da una ecuación de la forma y   12 g  T , la cual representa la ecuación de una recta (y=f(T) ver figura 3), y mediante el método de regresión lineal optimizado con el método de mínimos cuadrados se obtiene una ecuación de la forma y Bx A BT A

Figura 3. Altura (y) en funcion del tiempo al cuadrado (t2)

Ejemplo 4: En el análisis de un objeto en caída libre en cierto planeta se obtuvieron los datos de la tabla 3: Tabla 3. Datos desplazamiento contra tiempo (caída libre) t (s) y (m)

0 0

1 11,9

2 48,8

3 111,2

4 197,6

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5 308,9

6 446,9

7 609,1

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Con base en dicha información, halle la ecuación que relaciona las variables y la aceleración del movimiento. ¿En qué planeta considera que se realizó dicho experimento?

Solución: Primero se gráfica x vs t para suponer con base en ella algún tipo de relación. La gráfica tiene la forma de una parábola con concavidad positiva, entonces puede suponerse en primera instancia que: x  mt  b , donde probablemente b sea muy cercano a cero ya que de acuerdo a los datos experimentales el vértice de la parábola debe estar en el origen. Grafique ahora x vs t2. 2

f (T ) Se crea una nueva Variable T = t2 y se busca ahora la recta x esto se hace por mínimos cuadrados de acuerdo a los ejercicios anteriores.

BT

A,

De donde se obtienen A, B y r:

B

A

r2 

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r 

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Por lo tanto, la ecuación

de la recta que relaciona las variables iniciales es:

x Como la función que relaciona las variables en cuestión, para un objeto en caída, está dada por:

1 y  vot  gt 2 2 Y cuando se suelta o parte del reposo

1 2

vo  0 , entonces se tiene que: y   gt 2

Lo cual indica que la aceleración del movimiento es:

g

m s2

¿En qué planeta considera que se realizó dicho experimento? _____________. Con base en dicha suposición, entonces el porcentaje de error en la medida experimental es:

%  Ejemplo 5: Para el círculo dibujado en la hoja siguiente, marque un punto P dentro de él (que no sea su centro); trace por este punto un segmento (A9a9), luego otro segmento perpendicular a este y que pase por P (A0a0), por último trace otros ocho segmentos que pasen por P y que estén contenidos entre los dos segmentos anteriores como se observa en la figura.

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Figura 1.1. Círculo segmentado 1. Mida los segmentos AP y aP en el que el punto P divide los segmentos, anote los resultados en la tabla 1.4. Tabla 1.4. Datos de los segmentos del círculo AP (cm)

aP(cm)

2. Haga una gráfica de aP = f(AP). ¿Qué tipo de gráfico obtuvo?. Con ayuda de su gráfica. ¿Qué relación existirá entre AP y aP?

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3. Realice una gráfica de las nuevas variables, de acuerdo a la suposición que hizo.

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4. Emplee la calculadora para obtener la pendiente, el intercepto y el coeficiente de determinación y el de correlación para establecer la relación entre estas variables. Pendiente = Intercepto = Coeficiente de determinación = Ecuación que relaciona las variables: 5. Empelando la ecuación que relaciona las variables, obtenida en el paso anterior, halle el valor de aP si AP fuera 3.0 cm.

CONCLUSIONES

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LABORATORIO 2 LEYES EMPÍRICAS OBJETIVOS 1. Deducir empíricamente la relación funcional entre el diámetro de un anillo y su periodo de oscilación. PRE INFORME 1. ¿Qué significa que dos cantidades sean directamente proporcionales? ¿y que sean inversamente proporcionales? ¿Cómo se expresa esto matemáticamente? 2. ¿Cuáles son las propiedades básicas de los logaritmos? Y demostrar que si y a.xb , entonces una expresión equivalente a esta será: ln y b ln x ln a 3. Defina físicamente que representa el periodo. 4. Realice la gráfica de y  3 x 5. Consulte una expresión para el periodo de un péndulo de anillo en función de su diámetro de tal manera que se identifiquen claramente los valores de A y n mencionados en el marco teórico. ¿Cuales son dichos valores teóricos?

MARCO TEÓRICO Las leyes físicas se traducen en ecuaciones matemáticas que muestran como unas magnitudes físicas se relacionan con otras. Por ejemplo, la relación entre el periodo de un anillo oscilante y su diámetro, se puede escribir como una relación proporcional a alguna potencia, así:

T  Ad n

(1)

donde A y n son constantes. Como lo indica la experiencia previa que generalmente es cierta, se espera que n sea un número entero pequeño o una pequeña fracción compuesta de dos enteros pequeños. De esta manera, la suposición hecha al escribir la ecuación anterior, es razonable y uno de los problemas en el experimento es determinar si la relación es expresada correctamente por la ecuación. Si esta es correcta, entonces hay que determinar las constantes A y n mediante un proceso de linealización. Tomando el logaritmo de cada miembro de la ecuación anterior, se tiene: Log T = n Log d + Log A

(2)

Si las suposiciones hechas al escribir la ecuación (1) son válidas, el gráfico obtenido de Log T = f (Log d) es una línea recta; esta se puede ver comparando la ecuación (2) con la ecuación de una recta. De esta ecuación se puede ver que la pendiente es n y el intercepto de la recta con el eje de las ordenadas es Log A.

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MATERIALES  Regla  Cronómetro  5 aros de diámetros diferentes PROCEDIMIENTO 1. Determine el diámetro medio (d) de cada anillo y lleve estos valores a la tabla 1. 2. Coloque el primer anillo en el soporte como muestra la figura 1, sepárelo levemente de su posición de equilibrio y determine el tiempo (t) que tarda en realizar 10 oscilaciones completas. Repita el procedimiento anterior tres veces, halle el tiempo promedio (tm) y con éste el periodo T. Consigne los resultados en la tabla 1.

Figura 2.1. Montaje para los anillos 3. Repita el procedimiento anterior para cada uno de los anillos restantes y complete la tabla 1. Tabla 2.1. ANILLO

DIÁMETRO MEDIO (cm)

t1

t2

t3

tm

T

1 2 3 4 5

4. Construya una gráfica de T = f(d). Autores: Jairo de Jesús Agudelo Calle y Francy Nelly Jiménez García

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¿Qué tipo de funcionalidad existe entre las variables?

5. Haga una tabla de Log T vs Log d (proceso de linealización) y grafique estos valores.

log T log d 6. Halle la mejor recta de ajuste por mínimos cuadrados.

log T  n log d  log A



y  mx  b

y

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7. Analice los resultados anteriores y determine las constantes A y n:

n 

r2 =

A 

CÁLCULO DE ERRORES 1. Compare los valores anteriores (A y n) con los valores teóricos pedidos en el preinforme, hallando el porcentaje de error en cada uno.

n Teórico 

n Experimental 

A Teórico 

A Experimental 

% (n) 

% ( A) 





100 

100 

2. ¿Cuáles causas de error pueden involucrarse en la práctica?

3. ¿Qué puede decir de los porcentajes de error encontrados en la práctica?

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CONCLUSIONES

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LABORATORIO 3 INSTRUMENTOS DE MEDIDA DE LONGITUD OBJETIVOS 1. Identificar los principios básicos sobre los cuales están construidos algunos aparatos de medida: Vernier y Tornillo micrométrico, con sus respectivos errores. 2. Emplear dichos instrumentos para realizar algunas mediciones. 3. Calcular la densidad de ciertos objetos sólidos regulares y compararlos con los valores reportados en la teoría. PRE INFORME 1. Realice una breve descripción acerca de los instrumentos de medida más utilizados en ingeniería. 2. ¿Qué da la precisión y la exactitud en un instrumento de medida? 3. Escriba las fórmulas matemáticas para obtener los volúmenes de: a) Un cubo:______________ b) Un paralelepípedo:_________________ c) Un cilindro macizo:________________ d) Un cilindro hueco:______________________ 4. Consulte las densidades de: la madera (intervalo de valores reportados), el cobre, el aluminio, el hierro, el acero, el bronce y el latón. 5. ¿Cuáles son los tipos de errores que se pueden presentar al medir con un calibrador y cuáles con un tornillo micrométrico? ¿Qué incertidumbre se puede presentar en cada uno? 6. ¿Explique en qué consiste el error en las medidas directas e indirectas? 7. Revise las imágenes y enlaces que se encuentran en el blog del docente acerca del vernier y el tornillo micrométrico. Con la manipulación de los applets podrá aprender a manejar tales instrumentos de medida. Practique lo más que pueda hasta que entienda su funcionamiento, para que pueda dar respuesta al numeral siguiente. 8. Escribir en el recuadro de cada imagen, el valor observad tanto en cm como en mm:

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Abajo se observa una imagen ampliada de un tornillo micrométrico. ¿Qué valor corresponde en cm y mm?

9. Repase las definiciones sobre errores dadas en el marco teórico y el laboratorio 1.

MARCO TEÓRICO Nonio o Vernier: Es una escala auxiliar que puede deslizarse a lo largo de una escala principal.

Figura 3.1. Nonio o calibrador vernier Se construye de tal forma que n-1 divisiones de la escala principal corresponden a n divisiones del vernier. Entre las dos escalas se debe satisfacer la siguiente relación:

nV  (n  1)S

donde,

n: Es el numero de divisiones del Vernier. V: Es la longitud de una división del Vernier. S: Es la longitud de la división más pequeña de la escala principal (generalmente 1 mm)

En el calibrador Vernier (o simplemente Vernier), puede leerse directamente el intervalo mínimo o aproximación (Im) que se define como:

Im  S V 

S n

Con este puede efectuarse la lectura de la medida de la siguiente manera: Se lee el numero de divisiones sobre la escala principal entre el cero de esta y el cero del vernier, seguidamente se registra cual es la división del vernier que coincida con una de la escala principal. Finalmente se multiplica el resultado anterior por Im y este resultado se adiciona al hallado en el primer paso. Tornillo Micrométrico: Lo constituye una pieza en forma de herradura, unida a una escala lineal fija (escala principal), sobre ésta avanza una escala circular unida al

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tornillo como se muestra en la figura 2. Por lo general cuando el tornillo da una vuelta completa, la escala circular avanza 0.5 mm sobre la escala principal. La escala circular tiene 50 divisiones, con cada división de 0.01 mm, en tanto que la escala principal tiene divisiones de 0.5 mm. La lectura de este instrumento, una vez dispuesto al objeto a medir, será la de la escala principal mas la de la escala circular. La precisión de este aparto es de 0.01 mm.

Figura 3.2. Tornillo micrométrico Densidad: La definición más general de la densidad es la relación existente entre la masa de un cuerpo y su volumen. Si la masa de un objeto esta uniformemente distribuida a través del mismo, su densidad ρ está definida como la masa total m dividida entre el volumen V del objeto así:



m V

Las unidades en el sistema internacional son los kg/m3 pero es común emplear el g/cm3. MATERIALES        

Vernier Tornillo micrométrico Balanza Cilindro metálico hueco Cilindro metálico macizo Bloque de madera Bloque metálico Esfera metálica

PROCEDIMIENTO PARTE A. INSTRUMENTOS DE MEDIDA 1. Realice las medidas de las dimensiones de los cuerpos sólidos entregados en la práctica, empleando el Vernier y el Tornillo Micrométrico. Use los dos instrumentos para tomar las mismas medidas de un objeto sólo para aquellos elementos en que sea posible usar ambos para medir todas sus dimensiones y regístrelas en la tabla1. Autores: Jairo de Jesús Agudelo Calle y Francy Nelly Jiménez García

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Tabla 3.1. Datos instrumentos de medida

Cuerpo

DIMENSIONES MEDIDAS Medidas con el Tornillo Medidas con el Vernier Micrométrico

PARTE B. DENSIDAD DE CUERPOS SÓLIDOS REGULARES 1. Mida la masa de estos cuerpos en la balanza y regístrelas en la tabla 2. 2. Con los valores medidos que considere más precisos determine el volumen de cada uno de los cuerpos y regístrelos en la tabla 2. Calcule la densidad de cada cuerpo. 3. Calcule el porcentaje de error en sus resultados para la densidad de cada material comparando con los valores de densidad reportados en la literatura en tablas de densidades y regístrelo en la tabla 2.

Tabla 3.2. Datos para determinar densidades y porcentajes de error Cuerpo

Masa (g)

Volumen (cm3)

Densidad

Densidad

Experimental

Teórica

(g/cm3)

(g/cm3)

% 

1. ¿Qué puede decir acerca de la precisión y la exactitud de los instrumentos de medida acá utilizados?

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2. ¿Entre el vernier y el tornillo micrométrico cual es de mayor precisión? ¿Porque?

3. ¿Qué puede decir acerca de los porcentajes de error en las medidas de la densidad de objetos?

CONCLUSIONES

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LABORATORIO 4 MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE ACELERADO OBJETIVOS 1. Calcular experimentalmente el valor de la aceleración de un móvil en movimiento uniformemente acelerado. PRE INFORME 1. ¿Qué características tiene un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado? 2. En general cómo se define la velocidad y la aceleración promedia e instantánea, distancia recorrida, desplazamiento y rapidez. 3. ¿Qué se entiende por posición inicial y velocidad inicial? 4. ¿Qué representa el área bajo la curva en una gráfica de velocidad contra tiempo? 5. Si la posición y la velocidad inicial de un móvil son cero, deduzca una expresión para v en función de x y t, empleando las ecuaciones dadas en el marco teórico. MARCO TEÓRICO Un movimiento rectilíneo es aquel en el cual la trayectoria descrita por el móvil es una línea recta y se denomina uniforme cuando su velocidad permanece constante. En un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado se tienen que la aceleración es constante y la velocidad varía de acuerdo a la expresión:

v f  vo  at La posición del móvil puede obtenerse mediante:

1 x  vot  at 2 2 Se tiene además una expresión independiente del tiempo:

v 2f  v02  2a( x  x0 ) En todas estas ecuaciones se debe tener en cuenta que a, v y x son cantidades vectoriales. MATERIALES  Equipo MRUA (Hilo, 1 carro, 1 tope, 1 porta pesas, juego de Pesas, Software Cobra)

PROCEDIMIENTO

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1. Realice el montaje como muestra la figura 1.

Figura 4.1. Sistema con riel de aire 2. Seleccione un peso que se ubicará en el porta pesas (masa 2) mediante un hilo de longitud adecuada, teniendo en cuenta que cuando el carro (masa 1) golpee el tope, el porta pesas no haya llegado al piso. 3. Anote los valores de m1 = ____________

y

m2 = ________________

4. Suelte el carro manualmente y tome los datos distancia tiempo que arroja el software del equipo y llévelos a la tabla 4.1. 5. Obtenga las velocidades para cada uno de los tiempos promedios con la expresión

v  2x

t y complete la tabla 4.1.

Tabla 4.1. Datos Movimiento Rectilíneo Uniformemente acelerado x (cm) t (seg) v(m/s) 6. Construya un gráfico de x = f(t) en el recuadro con cuadrículas de la siguiente hoja. ¿Qué tipo de gráfico obtuvo? ¿Cuál podría ser la relación entre x y t? ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________

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7. Con base en la relación encontrada entre las variables, use el método de regresión adecuado para obtener la relación funcional experimental de dichas variables. En la medida de lo posible, encuentre el coeficiente de determinación.

x

r2 

8. Con base en la ecuación anterior, halle la velocidad para cualquier instante de tiempo y el valor de la aceleración.

v(t ) 

a(experimental)  9. Análisis de la velocidad. En el recuadro milimetrado de la siguiente imagen, trace la gráfica v = f(t).

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28

¿Qué tipo de gráfica obtuvo? ¿Qué tipo de relación existe entre las variables?. Use el método de regresión adecuado y halle la relación funcional entre dichas variable y el coeficiente de determinación y el de correlación.

10. Por integración de la ecuación anterior halle el área bajo la curva v = f(t) con las unidades que correspondan.

(

)dt

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29

11. Responda al frente de cada uno de los ítems siguientes lo que le corresponda. En una gráfica velocidad en función tiempo: a.

La pendiente representa _________________________________________

b. El área bajo la curva representa____________________________________ c. El intercepto de la gráfica representa________________________________

CÁLCULO DE ERRORES 1. Un valor “teórico” para la aceleración de este movimiento está dada por la segunda ley de Newton, la cual permite plantear que:

m2 g  (m1  m2 )a

. Halle el valor

de esta aceleración teórica.

a("teórica")  2. Halle el porcentaje de error entre la aceleración “teórica” del punto anterior con la experimental hallada en el punto 8.

% (a) 



100 

3. Halle el porcentaje de error entre el valor del área encontrada en el punto 10 y el valor correspondiente de la tabla 4.1.

% (área) 



100 

CONCLUSIONES

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30

LABORATORIO 5 ACELERACIÓN DE LA GRAVEDAD OBJETIVOS 1. Determinar el valor de la aceleración de la gravedad en el lugar de trabajo, con base en la medida del tiempo que le toma a un cuerpo que está en caída libre, para recorrer una determinada distancia. PRE INFORME 1. ¿Cuál es la aceleración en caída libre de un objeto y de qué depende? ¿Cualquier objeto en caída libre tiene la misma velocidad final? Explique. 2. Cuando se emplea el término objeto en caída libre se incluye tanto el soltar como el lanzar hacia arriba o hacia abajo el objeto. ¿El despegue de un cohete puede ser considerado de igual forma? Explique. 3. Repasar el método de mínimos cuadrados y la linealización. 4. ¿En que formas puede medirse la aceleración de la gravedad? 5. Si dos cuerpos de diferente masa caen libremente, ¿Podrá afirmarse que el de mayor masa se acelera más que el de menor masa? Explique. 6. ¿Qué valor teórico de la aceleración gravitacional se reporta en Manizales?

MARCO TEÓRICO Caída libre: Fue el célebre italiano Galileo Galilei quien rebatió la concepción de Aristóteles al afirmar que, en ausencia de resistencia de aire, todos los objetos caen con una misma aceleración uniforme. Cuando se emplea el término objeto en caída libre se incluye tanto el soltar como el lanzar hacia arriba o hacia abajo el objeto. Cualquier objeto que cae libremente tiene una aceleración dirigida hacia abajo, independientemente del movimiento inicial del objeto. La causa de esta aceleración fue encontrada por Newton, quien estableció en su ley de Gravitación Universal que las masas se atraen en proporción directa al producto de sus masas e inversamente a su separación al cuadrado. Es la masa de la Tierra la que origina esta aceleración en su superficie. Las ecuaciones cinemáticas para el movimiento rectilíneo bajo la aceleración de gravedad son las mismas que para cualquier movimiento rectilíneo uniformemente acelerado:

1 y  vot  gt 2 2

v  vo  gt

v 2  v02  2 g (y)

MATERIALES  Equipo caída libre , 1 regla y 1 esfera .

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31

PROCEDIMIENTO 1. Realice el arreglo de caída libre como muestra la figura 5.1. Separe los elementos del dispositivo de medida una distancia no inferior a 5 cm.

Figura 5.1. Montaje caída libre 2. Una esfera es sostenida por un mecanismo liberador que cierra el circuito. El plato en el cual impacta la esfera se debe levantar con la mano (suavemente) para iniciar el movimiento de caída, de tal manera que después del impacto este al moverse hacia abajo unos cuantos milímetros cierre el circuito. La altura de caída debe medirse con el plato levantado desde la marca roja hasta el borde superior del mismo. 3. Libere la esfera mediante el dispositivo manual para tal fin y tome el dato de tiempo de caída que arroja el software. Para cada altura repita el proceso dos veces y note el valor del tiempo promedio y la altura en la tabla 4.1. 4. Tome cuatro medidas más, variando la posición de los elementos del dispositivo y complete la tabla 4.1.

Tabla 5.1. Altura vs tiempo y (cm) t1 (s)

0

t2 (s)

0

tprom (s)

0

0

5. Grafique y = f(t). Autores: Jairo de Jesús Agudelo Calle y Francy Nelly Jiménez García

32

¿Qué tipo de gráfica obtuvo? ¿Qué tipo de relación existe entre las variables?

6. Con base en lo observado en la gráfica anterior y en las características de un MRUA, utilice el método de regresión adecuado y encuentre la relación funcional entre las variables x y t, al igual que el coeficiente de determinación. Ecuación que relaciona las variables:

y(t ) 

r2 

12. Con base en la ecuación anterior, halle la velocidad para cualquier instante de tiempo y el valor de la aceleración (g).

v(t ) 

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33

g(experimental)  CÁLCULO DE ERRORES 1. Halle el porcentaje de error entre el valor de g obtenido en paso anterior y el valor de la gravedad conocido en Manizales.

% ( g ) 



100 

2. De acuerdo al valor hallado del porcentaje de error ¿qué puede concluir acerca del método empleado para obtener la gravedad?

3. ¿Qué se puede decir acerca de la precisión y la exactitud de los instrumentos utilizados en esta práctica?

CONCLUSIONES

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LABORATORIO 6 MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES (Movimiento de proyectiles –modelo idealizado-) OBJETIVOS 1. Deducir la relación entre el alcance horizontal máximo y el ángulo de lanzamiento de un proyectil. 2. Deducir la relación entre el alcance horizontal máximo y la velocidad inicial del proyectil. PRE INFORME 1. 2. 3. 4.

¿A qué se le denomina un proyectil? ¿Cuál es la trayectoria idealizada de un proyectil?, dibújela. ¿Qué es el alcance máximo y la altura máxima en el movimiento de proyectiles? Deduzca las expresiones de ymax y xmax dadas en las ecuaciones (5) y (6) del marco teórico.

MARCO TEÓRICO Suponga que se lanza un proyectil con una velocidad inicial vo y formando un ángulo θ con la horizontal. La velocidad inicial tiene dos componentes:

Voy  V0 sen Vox  V0 cos  y Las componentes de velocidad en cualquier instante están dadas por:

(1)

Vx  V0 x  Vo cos

(2)

y

Vy  V0 y  gt

Y la velocidad en cualquier instante está dada por: v

vx

2

vy

2

La ubicación del proyectil en cualquier instante, con respecto al punto de lanzamiento, está dado por el par ordenado (x, y), donde: La posición horizontal en cualquier instante, con respecto al punto de lanzamiento, está dada por: Autores: Jairo de Jesús Agudelo Calle y Francy Nelly Jiménez García

35

x  Vxt  Vo cos t

(3)

La posición vertical en cualquier instante, con respecto al punto de lanzamiento, está dada por: g (4) y  Vo sen t  t 2 2 La altura máxima, puede obtenerse teniendo en cuenta que la velocidad vertical en el punto de máxima altura es cero y está dada por:

V02 sen 2 (5) 2g El alcance horizontal máximo, puede obtenerse conociendo que el tiempo de vuelo es el doble del tiempo que tarda en alcanzar la máxima altura y está dado como: ymax 

xmax

V02 sen2  g

(6)

MATERIALES      

Equipo Lanzamiento de Proyectiles Cinta adhesiva Papel carbón Papel blanco Esfera metálica Flexómetro

PROCEDIMIENTO PARTE A. 1. Haga el montaje de la figura 1. Selecciona la posición 1 del disparador con el fin de tener una velocidad inicial determinada. Sitúe la esfera en el centro del disparador y con el lanza proyectiles expúlsela con diferentes ángulos (cada 15º) y mida el alcance horizontal para cada ángulo. Repita la medida tres veces para el mismo ángulo y promedie los resultados. lleve los valores a la tabla 1 y complétela.

Figura 6.1. Montaje movimiento parabólico Autores: Jairo de Jesús Agudelo Calle y Francy Nelly Jiménez García

36

Tabla 6.1. θ (grados) 2 (grados)

0

90

0

180

0

0

x

0

0

(cm)

0

0

xprom (m)

0

0

w 2. Construya la gráfica de x = f(2θ).

¿Qué gráfica obtuvo (revise el marco teórico para que se dé una idea de qué tipo de gráfica se debería obtener)?

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37

3. Linealice la curva anterior (realizando el cambio de variable adecuado para transformarlo en un modelo lineal) y luego use el modelo de regresión lineal para encontrar la relación funcional de la forma xmáx Bw A

B

A=

r2

xmáx 4. Con base en lo anterior, compare, la relación funcional obtenida con el modelo teórico del alcance máximo, y a partir de ello obtenga el valor de la velocidad inicial del proyectil.

vo  PARTE B. 1. Tomando el ángulo fijo de 45º, use las tres posiciones del disparador y mida el alcance máximo de cada uno, repitiendo tres veces con cada posición. Lleve los resultados a la tabla 6.2. Tabla 6.2. v0 (m/s) xmax (m)

2. Revise la ecuación de xmáx del marco teórico, reemplace en ésta el ángulo 450 y compare el resultado obtenido con los modelos de regresión dados en el laboratorio 1. Seleccione el modelo adecuado, use la calculadora para introducir los valores y obtener la ecuación que relaciona las variables: xmáx = f(vo)

xmax (experimental) 

r2 

3. Compare la ecuación obtenida en el numeral anterior con la ecuación teórica después de sustituir 450 . ¿Qué puede inferir de esta comparación?

xmax (teórica) 

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CÁLCULO DE ERRORES 1. Halle el porcentaje de error para el valor de velocidad obtenida en el punto 4 de la PARTE A al compararlo con la velocidad del sensor.

% (v) 



100 

2. Halle el porcentaje de error de lo inferido al comparar los modelos del alcance máximo teórico y del alcance máximo experimental (punto 2 y 3) de la PARTE A. % (

)

% (

)





100 

100 

3. ¿Qué se puede concluir de los porcentajes de error en esta práctica y de la precisión y exactitud del instrumento usado?

CONCLUSIONES

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LABORATORIO 7 MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES (Movimiento de proyectiles - semiparabólico) OBJETIVOS 1. Deducir la relación entre el desplazamiento vertical y el horizontal en un movimiento en dos dimensiones (semiparabólico). 2. Determinar las relaciones existentes entre las variables: posición horizontal, posición vertical y las componentes de la velocidad con la variable tiempo. PRE INFORME 1. ¿Qué es un movimiento semiparabólico? 2. ¿Qué características tiene movimiento semiparabólico? 3. ¿Qué se entiende por principio independencia de movimiento? 4. Construya las gráficas de: y  5t y x  3t , luego grafique y  f ( x) . 5. Deduzca la ecuación y  f ( x) para el movimiento semiparabólico a partir de las ecuaciones 3 y 4 del marco teórico. 2

MARCO TEÓRICO Suponga que se lanza un proyectil horizontalmente con una velocidad inicial vo .

Teniendo en cuenta las ecuaciones del movimiento parabólico y haciendo α0=0, se tiene: Voy  0 Vox  V0 y (1) Las componentes de velocidad en cualquier instante están dadas por: Vx  V0 x  Vo

y

Vy   gt

Y la velocidad en cualquier instante está dada por: v

vx

(2) 2

vy

2

La posición horizontal en cualquier instante, con respecto al punto de lanzamiento (  0) , está dada por: Autores: Jairo de Jesús Agudelo Calle y Francy Nelly Jiménez García

40

x  Vot

(3)

La posición vertical en cualquier instante, con respecto al punto de lanzamiento (  0) , está dada por: g (4) y   t 2 2 MATERIALES        

Tabla soporte Cinta adhesiva Papel carbón Papel blanco Esfera metálica Nuez Regla Rampa

PROCEDIMIENTO 1. Haga el montaje como lo indica la figura 1.

Figura 7.1. Montaje movimiento semiparabólico 2. Pegue el papel blanco en la tabla (1 cm por encima de la altura de la mesa) y encima de este pegue el papel carbón de modo que deje marcas sobre el papel blanco cuando la esfera lo golpee. 3. Con la tabla pegada a la mesa, suelte la esfera. Sobre el punto de impacto trace una recta horizontal para tomarla como punto de referencia.

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41

4. Tome 6 distancias horizontales garantizando que en todas ellas la esfera golpee la tabla. Con cada distancia horizontal suelte la esfera en la parte superior de la rampa y mida la distancia vertical y en la tabla (donde impacta la esfera), ver figura 7.1; repita este proceso 3 veces con cada distancia horizontal y calcule el promedio, anotando los resultados en la tabla 7.1 hasta completarla. Tabla 7.1. Datos distancia y vs distancia horizontal x (cm)

0 0

-

-

-

-

-

-

∆y (cm)

0

-

-

-

-

-

-

0

-

-

-

-

-

-

∆yprom (cm) Variable Linealizada ( )

0

-

-

-

-

-

-

0

5. Construya la gráfica de y = f(x). ¿Qué gráfica obtuvo, qué relación funcional existe entre las variables en cuestión?

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42

6. Con base en el gráfico anterior, haga la suposición correspondiente y linealice los datos de la tabla 7.1. Construya la gráfica de la linealización (y = f(variable linealizada)).

7. Encuentre la ecuación que relaciona y con la variable linealizada mediante el modelo de regresión lineal y Bx A :

B

r2

A

y 8. Comparando la ecuación anterior con la deducción de y  f ( x) realizada en el preinforme (teniendo en cuenta acá la variable que linealiza), encuentre el valor de la velocidad inicial de la esfera.

v0  9. Realice las gráficas: x=f(t), y= f(t), vx=f(t), vy=f(t) Para ello debe calcular el tiempo, la velocidad en x y la velocidad en y de acuerdo a las expresiones planteadas en el marco teórico. Completa la Tabla 7.2.

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43

Tabla 7.2. Datos del movimiento semiparabólico x (m)

yprom (m)

0

0

t (s)

vx (m/s)

vy (m/s)

V (m/s)

Gráficas x = f(t)

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44

Gráficas y = f(t)

Gráficas Vx = f(t)

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45

Gráficas Vy = f(t)

10. ¿Qué puede concluir acerca de las relaciones entre las variables x, y, vx, vy y el tiempo?

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CÁLCULO DE ERRORES

1. Compare el valor de la velocidad inicial obtenida en el numeral 8, con el obtenido por el sensor que el docente le facilitará. Halle el porcentaje de error.

% (v) 



100 

2. ¿Qué puede concluir sobre este porcentaje de error? ¿a qué puede deberse?

3. ¿Qué puede afirmar acerca de la precisión y exactitud de los instrumentos acá utilizados?

CONCLUSIONES

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LABORATORIO 8 EQUILIBRIO DE TRASLACIÓN DE UNA PARTÍCULA OBJETIVOS 1. Comprobar gráfica y analíticamente la condición para que un sistema de fuerzas concurrentes se mantenga en equilibrio. PRE INFORME 1. ¿Qué es un diagrama de cuerpo libre? 2. ¿Qué son fuerzas concurrentes? 3. Cuándo se aplica un conjunto de fuerzas concurrentes a un objeto este tiende a moverse en la dirección de: _______________________________________ 4. Que son fuerzas paralelas y como se obtiene su resultante. 5. Una hamaca esta soportada por dos ganchos colocados al mismo nivel. Un hombre está sentado en esta. ¿En qué condiciones la tensión en cada gancho es igual al peso del hombre? 6. Resolver los siguientes diagramas de fuerzas. Hallar la fuerza resultante del sistema El sistema mostrado está en equilibrio, por lo mostrado en la figura en función de las tanto, expresar W en función de FA y FB, al fuerzas FA y FB igual que FN en función de FA y FB

7. Sean tres fuerzas de igual magnitud, ¿cómo deben estar aplicadas estas para que la resultante sea cero? MARCO TEÓRICO Un cuerpo está en equilibrio de traslación cuando la fuerza neta que actúa sobre él es cero. La ley de equilibrio de Newton establece que un cuerpo en equilibrio de traslación, mantiene constante su velocidad de manera que si inicialmente estaba en reposo, Autores: Jairo de Jesús Agudelo Calle y Francy Nelly Jiménez García

48

continúa en reposo y si inicialmente se movía continúa moviéndose a la misma velocidad por la inercia. Para el caso en el que el sistema este en equilibrio de translación se tiene que cumplir que:

F

0

(1)

F

0

(2)

x

y

MATERIALES  1 plano inclinado con cuerpo rodante  Mesa de fuerzas concurrentes  Juego de poleas, nueces dobles, pesas y aro con cuerdas

PROCEDIMIENTO PARTE A: Plano inclinado con cuerpo rodante 1. Realice el montaje tal y como se muestra en la figura 8.1

Figura 8.1. Fuerzas concurrentes en un plano inclinado 2. Realice un diagrama de cuerpo libre sobre el cuerpo rodante y muestre todas las fuerzas que actúan sobre éste:

3. Varíe el ángulo del plano inclinado a tres valores distintos y anote los resultados observados de las tensiones (dinamómetros) en la tabla 8.1

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49

Tabla 8.1. Datos del equilibrio del cuerpo rodante sobre el plano inclinado 1 = T1(N)

2 = T2(N)

T1(N)

3 = T2(N)

T1(N)

m=

m=

m=

N=

N=

N=

T2(N)

4. Con base en el diagrama del punto 2 y los datos de la tabla 8.1, plantee las ecuaciones del equilibrio en cada caso y calcule la masa m y la normal N; complete la tabla 8.1. Posteriormente calcule el promedio de las masas y de la normal de los tres equilibrios:

m

N

PARTE B: Mesa de fuerzas concurrentes 5. Haga el montaje tal como se lo indica la figura 1.

Figura 8.1. Aparato para fuerzas concurrentes. 6. El “punto” donde convergen las fuerzas se considera un anillo que se coloca en el centro del disco del aparato de fuerzas concurrentes (ver figura 1). Del anillo salen tres hilos en direcciones diferentes en donde se encuentran los porta-pesas, de tal manera que de estos pendan diferentes masas. Se espera lograr el equilibrio del sistema, ya sea variando las masas o la dirección de las fuerzas. 7. Luego de obtener el equilibrio registre la masa de cada pesa y el ángulo (dirección) de cada una de las cuerdas correspondientes a cada pesa en la tabla 1, y de igual manera dibuje el vector correspondiente a cada tensión.

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50

8. Repita el procedimiento anterior para otras dos configuraciones de diferentes de masas y direcciones para completar la tabla 1. Tabla 1.

EQUILIBRIO Equilibrio 1 Equilibrio 2 Equilibrio 3

Equilibrio 1

m1(Kg)

1

m2(Kg)

Equilibrio 2

2

m3(Kg)

3

Equilibrio 3

9. Para las tres configuraciones realizadas demuestre que se cumple la condición de equilibrio Fr 0 Equilibrio 1:

Equilibrio 2:

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51

Equilibrio 3:

CÁLCULOS DE ERROR 1. Calcule el porcentaje de error del valor de la masa obtenida en el punto 4 de la parte A con la masa del cuerpo rodante.



% (v) 

100 

2. Seleccione el equilibrio de la parte B que menos cumple la condición de equilibrio y calcule el porcentaje de error relativo medio tanto para las componentes verticales como las componentes horizontales, recordando que: x 

 xi

n



x1  x  x2  x  x3  x  ....

% 

n

x

 100

x

Y para este caso particular: x 

x1  x  x2  x 2

Donde x1 sería la suma algebraica de todas las componentes (horizontales o verticales) de las tensiones dirigidas en un sentido, x2 la suma algebraica de todas las componentes de las tensiones dirigidas en el sentido contrario al anterior y x es el promedio entre x1 y x2.

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52

Componentes horizontales:

Componentes verticales:

3. ¿Que concluye acerca de los porcentajes de error de la práctica?

4. ¿Qué puede decir acerca de la precisión y exactitud de los instrumentos utilizados en esta práctica?

CONCLUSIONES

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53

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LABORATORIO 9 SEGUNDA LEY DE NEWTON OBJETIVOS 1. Deducir la relación que existe entre la aceleración, la fuerza y la masa. PRE INFORME 1. Defina los siguientes conceptos físicos: Masa, peso, fuerza, inercia, segunda ley de newton, acción y reacción. 2. Escribir las unidades en el S.I. de: a) Velocidad ____________ b) Aceleración___________ c) Masa___________ d) Peso ________________ e) Fuerza _______________ 3. ¿Cuál es la unidad de masa y cual la de fuerza en el sistema inglés? ¿Cuál es su equivalente en el sistema internacional? 4. Si se desprecia la masa de la polea, muestre que la tensión T en la cuerda que une los dos cuerpos de masa m1 y m2 como se observa en la figura, está dada por:

T

m1m2 g m1 m2

5. Escriba las ecuaciones del MRUA. MARCO TEÓRICO La dinámica es la parte de la mecánica que estudia las causas por las cuales todo cuerpo cambia o mantiene su estado de reposo o de movimiento. Las leyes de Newton no son producto de deducciones matemáticas, sino una síntesis obtenida por los físicos al realizar un sinnúmero de experimentos con cuerpos en movimiento. Dichas leyes son verdaderamente fundamentales porque no pueden deducirse ni demostrarse a partir de otros principios. La segunda ley de Newton llamada también ley del movimiento establece la relación existente entre la fuerza, la masa y la aceleración de un cuerpo. MATERIALES  Equipo MRUA (hilo, 1 carro, 1 tope, 1 porta pesas, Juego de Pesas, Software Cobra) PROCEDIMIENTO

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55

1. Monte el equipo como lo indica la figura 9.1.

Figura 9.1. Montaje Segunda ley de Newton PARTE A: 2. Coloque el carro en el extremo izquierdo del carril (el cual se denotará como masa m1). Ate el portapesas (el cual se denotará como masa m2) a un extremo del carro con un hilo, haciéndolo pasar por la polea. Suelte el carrito; copie ahora los datos necesario que arroja el software y péguelos en Excel para encontrar el modelo de regresión cuadrático (MRUA x=f(t)), y con este modelo encuentre la aceleración y anótela en la tabla 9.1. Para esto recuerde que

a

d 2x dt 2

3. Repita el proceso anterior adicionándole masas al postapesas y complete la tabla 9.1. 4. Calcule la tensión del hilo, con la cual es halado el carrito, para cada una de las masas (m2); para esto utilice la deducción de la tensión obtenida en el preinforme. Tabla 9.1. Datos de tensión y aceleración con masa del carrito constante Masa del carrito (m1): _____________ Masa m2 (kg)

a (m/s2) Tensión (N) Escribir acá los cálculos realizados:

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5. Grafique Tensión vs aceleración para una masa constante de acuerdo a los datos de las tablas 9.1.

6. Deduzca la relación funcional entre estas cantidades, y utilice la calculadora o el computador para obtener el modelo de regresión adecuado:

T

r2

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¿Qué se puede deducir del modelo anterior, qué información se puede obtener?

7. ¿Qué tipo de relación hay entre la aceleración que adquiere un cuerpo y la fuerza que se le aplica?

PARTE B 8. Ahora deje una pesa en el portapesas y empiece a poner pesos en forma equilibrada sobre el carrito haciendo las medidas como se explica en el paso 2. La primera medida puede hacerla con el carrito sin adición de masas. Lleve los valores de aceleración a la tabla 9.2. 9. Sabiendo que la suma de fuerzas para el sistema total está dada como:

m2 g  (m1  m2 )a , es decir F = M.a, donde F es el peso en el porta pesas y M la suma de las masas (m1 + m2), entonces puede estudiarse la relación entre a y M teniendo en cuenta que F es constante. 10. Calcule la tensión en el hilo (F) y la suma de masas de los cuerpos m1 y m2. Lleve los valores a la tabla 9.2.

m2 (Kg) = _____________

F = m2g = ___________

Tabla 9.2. Datos de masa y aceleración con F constante

m1 Masa M (kg)

a (m/s2) 11. Grafique aceleración vs masa (M) para una fuerza constante de acuerdo a los datos de las tablas 9.2.

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58

12. Deduzca la relación funcional entre estas cantidades, y utilice la calculadora o el computador para obtener el modelo de regresión adecuado.

a

r2

¿Qué se puede deducir del modelo anterior, qué información se puede obtener?

13. ¿Qué tipo de relación hay entre la aceleración que adquiere un cuerpo y su masa?

CÁLCULOS DE ERROR 1. Calcule el porcentaje de error para el valor de la masa del carro obtenida en el paso 6 (del análisis del modelo de regresión). Autores: Jairo de Jesús Agudelo Calle y Francy Nelly Jiménez García

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%





100 

2. Calcule el porcentaje de error para el valor de la fuerza obtenida en el paso 12 (del modelo de regresión.

%





100 

14. ¿Qué puede decir acerca de los porcentajes de error encontrados en la práctica?

15. ¿Qué puede decir acerca de la precisión y exactitud de los instrumentos utilizados en esta práctica?

CONCLUSIONES

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60

LABORATORIO 10 ROZAMIENTO Y PLANO INCLINADO OBJETIVOS 1. Identificar las fuerzas que actúan sobre un objeto en un plano inclinado. 2. Calcular los coeficientes de rozamiento cinético y estático de distintos materiales. PRE INFORME 1. Defina los siguientes conceptos: Fuerza de fricción o rozamiento, Coeficiente de fricción, Fricción por deslizamiento, Fricción por rodadura, Plano inclinado, Diagrama de cuerpo libre, Fuerza normal. 2. Consulte los rangos en que se encuentran valores de coeficiente de rozamiento tanto cinético como estático para madera sobre madera. 3. Con base en la figura 10.1, ¿a qué es equivalente Fk cuando el bloque se mueve a velocidad constante con la fuerza F aplicada? MARCO TEÓRICO En la figura 10.1, se muestra un bloque de masa m arrastrado por una fuerza F horizontal. Sobre el bloque actúan el peso mg, la fuerza normal N, la fuerza de rozamiento Fk entre el bloque y el plano sobre el cual desliza y la fuerza F. De las condiciones de equilibrio se obtiene que la fuerza normal N es igual al peso mg, N=mg. Si el bloque desliza con velocidad constante la fuerza aplicada F será igual a la fuerza de rozamiento por deslizamiento Fk,

Figura 10.1. Fuerzas presentes sobre un cuerpo en un plano horizontal La fuerza de rozamiento por deslizamiento Fk es proporcional a la fuerza normal N. Fk=µk N La constante de proporcionalidad µk es un número sin dimensiones que se denomina coeficiente de rozamiento cinético. El valor de µk es casi independiente del valor de la velocidad para velocidades relativas pequeñas entre las superficies, y decrece lentamente cuando el valor de la velocidad aumenta.

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61

Si ahora, el plano está inclinado un ángulo θ como indica la figura 10.2, el bloque está en equilibrio en sentido perpendicular al plano inclinado por lo que la fuerza normal N es igual a la componente del peso perpendicular al plano, N=mgcosθ. y de la sumatoria de fuerzas en y se tiene que: Fk

mg sin .

Figura 10.2. Fuerzas presentes sobre un cuerpo en reposo sobre un plano inclinado

MATERIALES     

Plano inclinado con cuerpo rodante Plano inclinado de madera Tacos de madera (1 con juego de pesas, 1 normal) Dinamómetro Juego de pesas

PROCEDIMIENTO PARTE A.

DIAGRAMAS INCLINADO

DE

CUERPO

LIBRE

SOBRE

UN

PLANO

1. Realice el montaje que se muestra en la figura 10.3, asegurándose de que los dinamómetros estén correctamente calibrados. Ubíquelo en un ángulo cualquiera y dibuje en el recuadro un diagrama de cuerpo libre, mostrando las fuerzas que actúan sobre el cuerpo rodante.

Figura 10.3. Plano inclinado con cuerpo rodante y diagrama de cuerpo libre

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2. Coloque el plano en un ángulo deseado y desplace lentamente el dinamómetro que está perpendicular al plano hasta el instante en que el cuerpo rodante deje de estar en contacto con la superficie. Anote los valores que registran los dinamómetros en la tabla 10.1. 3. Repita el proceso anterior para otros cuatro ángulos distintos y complete la tabla 10.1. Tabla 10.1 Datos de fuerzas aplicadas sobre el cuerpo rodante Ángulo  Dinamómetro paralelo T1 (N) Dinamómetro perpendicular T2 (N) 4. Utilizando el modelo de regresión adecuado (linealizando si es necesario), encuentre las ecuaciones que relacionan T1 = f() y T2 = f(). Ver punto 1.

T1

r2

T2

r2

5. Con base en las ecuaciones anteriores y teniendo en cuenta el diagrama del punto 1, infiera acerca de cuál es el valor de la masa m del cuerpo rodante, en cada caso. Posteriormente calcule un promedio entre dichas masas.

m(de T1 ) m(de T2 )

mprom

PARTE B. COEFICIENTE DE ROZAMIENTO CINÉTICO 6. Limpie el taco y la superficie de contacto (mesa). Coloque el taco de fricción en la mesa, de modo que esté apoyado en la superficie de área mediana. Coloque pesos sucesivos en el taco (figura 10.4) y hale hasta que se tenga un movimiento con velocidad constante. Realice este proceso con cinco masas distintas. Lleve los datos a la tabla 10.2.

Figura 10.4. Montaje para determinar coeficiente de rozamiento cinético

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7. Haga una sumatoria de fuerzas y calcule la fuerza normal y la fuerza de rozamiento (ver punto 3 del preinforme). Lleve los resultados a la tabla 10.2. Tabla 10.2. Datos para rozamiento cinético Masa (g) Fuerza (N) F. Rozamiento (N) Normal (N) 8. Grafique la fuerza de rozamiento vs la normal. Con base en la gráfica, utilice el modelo de regresión adecuado para encontrar la relación funcional entre estas variable, y con base en ella, infiera y halle el coeficiente de rozamiento.

Fk 

r2 

k  9. ¿Está el valor obtenido del coeficiente de rozamiento cinético dentro del rango de valores reportados de la literatura? ________

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PARTE B. COEFICIENTE DE ROZAMIENTO ESTÁTICO 10. Realice el montaje mostrado en la figura 10.5, limpie las superficies y coloque el bloque sobre la superficie del plano inclinado (inicialmente horizontal). 11. Empiece a inclinar el plano lentamente, hasta que el bloque esté a punto de moverse, mida el ángulo y lleve el resultado a la Tabla 10.3.

Figura 10.5. Plano inclinado 12. Repita el paso 2 colocando pesos sucesivos sobre el bloque y complete la tabla 10.2. Realice una sumatoria de fuerzas y calcule la fuerza normal y la fuerza de rozamiento en cada caso (ver marco teórico y figura 10.2).

Tabla 10.3. Datos para rozamiento estático Peso (N) Angulo Normal F. Rozamiento

13. Trace la gráfica de fuerza de rozamiento vs la normal en el siguiente plano.

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14. ¿Qué tipo de gráfica obtuvo? Realice el ajuste de regresión correspondiente para obtener la relación funcional entre las variables en cuestión, y con base en ella infiera para encontrar el coeficiente de rozamiento estático.

Fs 

r2 

s  15. ¿Está el valor obtenido del coeficiente de rozamiento estático dentro del rango de valores reportados de la literatura?

16. ¿Qué representa la pendiente en un gráfico fuerza de rozamiento vs fuerza normal?

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66

17. ¿Qué puede decir sobre la exactitud y precisión de los instrumentos acá utilizados?

CONCLUSIONES

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LABORATORIO 11 TRABAJO Y ENERGÍA OBJETIVOS 1. Determinar el trabajo realizado por una fuerza tanto constante como variable a partir de la medida de esta y el desplazamiento del cuerpo. PRE INFORME 1. 2. 3. 4. 5.

¿Qué se entiende por trabajo en términos físicos? ¿Bajo qué condiciones el trabajo es positivo, negativo o cero? ¿Cuáles son las unidades del trabajo? ¿Qué sentido físico tiene el área comprendida entre la fuerza y el desplazamiento? ¿En cuales de las siguientes situaciones la fuerza que ejerce la persona está realizando trabajo? Explique. a. Al sostener una caja con las manos sin moverse b. Al caminar horizontalmente sosteniendo una pesa con las manos en alto. c. Al levantar una maleta desde el piso hasta la altura de los hombros d. Al empujar fuertemente una roca sin lograr moverla

MARCO TEÓRICO Se denomina trabajo infinitesimal, al producto escalar del vector fuerza (Ft) por el vector desplazamiento infinitesimal (dr):

dW  F. dr  Fdr cos  Ft dr Donde Ft es la componente de la fuerza a lo largo del desplazamiento, dr es el módulo del vector desplazamiento dr, y  el ángulo que forma el vector fuerza con el vector desplazamiento. El trabajo total a lo largo de la trayectoria entre los puntos A y B es la suma de todos los trabajos infinitesimales B

B

A

A

W   F .dr   Ft ds Cuando la fuerza es constante, el trabajo se obtiene como:

W  F. s

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Cuando se tiene un resorte de constante elástica K, la fuerza no es constate y está dada como:

F   Kx

el trabajo, en ese caso se obtiene como:

W 

1 Kx 2 2

donde x, es el desplazamiento total realizado por la fuerza. MATERIALES          

Soporte Dinamómetro Polea Porta pesas Papel milimetrado Hilo Regla Cinta adhesiva Pesa Resortes

PROCEDIMIENTO PARTE A. TRABAJO DE UNA FUERZA CONSTANTE PARTE A. TRABAJO DE UNA FUERZA CONSTANTE 1. Realice el montaje como indica la Figura 11.1, empleando para ello una pesa entre 50 y 100 g. Trace unas líneas sobre una hoja de papel milimetrado separadas 2 cm entre si y numere las divisiones. Fíjelo sobre la mesa con cinta adhesiva.

Figura 11.1. Montaje trabajo de una fuerza constante 2. Enganche el dinamómetro a la pita y posiciónelo en el cero marcado en la hoja.

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3. Tire suavemente del dinamómetro, hasta que el gancho haya avanzado 2 cm. Anote el valor de la fuerza (constante) en la tabla 11.1. Tabla 11.1. Datos para una fuerza constante d total (cm) Fuerza (N) d recorrida (m) Trabajo (J)

0

2

4

6

8

10

12

14

4. Siga tirando de modo que el gancho avance 2 cm cada vez y anote las lecturas del dinamómetro y distancia o desplazamiento (d) en la tabla 11.1. 5. ¿Cómo son los valores de las fuerzas?_____________________________________ 6. Calcule el trabajo en cada caso. ¿Cómo son los valores de los trabajos?

7. Haga una gráfica de fuerza contra desplazamiento y por medio de ella calcule el trabajo total realizado por la fuerza.

8. ¿Qué concluye sobre el trabajo de una fuerza constante?

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PARTE B. TRABAJO DE UNA FUERZA VARIABLE 1. Calcule la constante elástica del resorte que se va a emplear en esta parte así: Cuelgue una masa conocida (m = ) al resorte, anote la cantidad que éste se alarga (x = ) emplee la relación K= mg/x usando unidades del sistema internacional.

2. Haga el montaje que indica la figura 11.2. Emplee la misma hoja numerada de la parte anterior.

Figura 11.2. Montaje de una fuerza variable 3. Tire suavemente del dinamómetro, hasta que el gancho haya avanzado 2 cm. Anote el valor de la fuerza en la tabla 11.2. 4. Siga tirando de modo que el gancho avance 2 cm cada vez y anote las lecturas del dinamómetro en la tabla 11.2. Tabla 11.2. Datos para una fuerza variable Distancia (cm)

0

2

4

6

8

10

12

Fuerza (N)

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5. Calcule el trabajo total realizado mediante la gráfica fuerza contra desplazamiento.

6. Calcule analíticamente el valor del trabajo realizado por la fuerza elástica empleando la ecuación adecuada del marco teórico.

7. ¿Qué concluye sobre el trabajo de una fuerza variable?

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CÁLCULOS DE ERRORES 1. Calcule el porcentaje de error entre el valor teórico del trabajo y el experimental que obtuvo en el punto 5 y 6.

% (W ) 



100 

2. ¿Qué puede decir acerca de los porcentajes de error encontrados en la práctica?

3. ¿Qué puede decir sobre la exactitud y precisión de los instrumentos acá utilizados?

CONCLUSIONES

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LABORATORIO 12 COLISIONES UNIDMENSIONALES OBJETIVOS 1. Comprobar experimentalmente la conservación del momentum lineal sistema de dos partículas que están en movimiento rectilíneo.

para un

PRE INFORME 1. ¿Qué es Momentum lineal? 2. Explique los diferentes tipos de choques. 3. ¿En qué consiste la ley de conservación del momentum lineal? MARCO TEÓRICO Todos los cuerpos que se encuentran en movimiento, tienen la característica de presentar un momentum lineal, que es una magnitud vectorial y está dada por: P  mv . Conservación del momentum: la ley de conservación del momentum propone que si la resultante de las fuerzas externas que interactúan en el sistema es nula, el momentum se conserva, es decir.

Pi  Pf





(mi vi )  (mi v f ) , La suma de los productos de las masas por las velocidades iniciales será igual a la suma del producto de las masas por las velocidades finales. Las fuerzas internas pueden producir variaciones en el momentum de las partículas de un sistema, pero no producen variación en el momentum total del mismo. Si se tiene un sistema de dos cuerpos de masa m1 y m2 que presentan velocidades iniciales v1i y v2i, después de la colisión tendrán velocidades v1f y v2f. Por tanto la conservación de momentum establece que:

Pi  Pf

m1v1i  m2v2i  m1v1 f  m2v2 f La velocidad es una cantidad vectorial por eso es preciso tener en cuenta la dirección de dichas velocidades, que para un movimiento en línea recta quedara indicada con un signo (positivo o negativo) dependiendo de la dirección del movimiento de cada cuerpo. MATERIALES  Equipo Colisiones (2 Carros, 1 Juego de pesas, 2 Barreras de luz cortas, Caja de Aditamentos) PROCEDIMIENTO PARTE A. COLISIÓN ELÁSTICA

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1. Realice el montaje que se muestre en la figura 12.1. Verifique que el carril esté horizontal empleando un nivel. Asesórese del docente o monitor para realizar el montaje completo. Tenga presente la longitud de las barreras de luz para anotarla en el software.

Figura 12.1. Montaje colisión elástica 2. Lleve los dos carros a los extremos opuestas del carril de aire y deles un pequeño impulso hacia el centro del carril, garantizando que la colisión suceda después de pasar por los dos sensores. 3. Inicialmente las dos barreras de luz miden la velocidad de los carros antes de la colisión. La colisión debe tomar lugar totalmente entre las dos barreras de luz. Después de colisionar y por ser una colisión elástica, los dos carros se mueven en dirección contraria a la inicial y de nuevo pasan a través de los dos sensores que ahora miden la velocidad después de la colisión. 4. Tome los valores de las masas de los carros y las velocidades medidas por los sensores antes y después de la colisión (recuerde tener en cuenta los signos de las velocidades). 5. Repita las medidas para otras dos masas diferentes. Lleve los valores a la tabla 12.1. Tabla 12.1. Datos masas y velocidades colisión elástica Masa 1 (kg)

Masa 2 (kg)

Velocidad inicial 1 (m/s)

Velocidad inicial 2 (m/s)

Velocidad final 1 (m/s)

Velocidad final 2 (m/s)

6. Calcule el momentum total antes y después de la colisión.

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7. Calcule la energía cinética antes y después de la colisión.

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PARTE B. COLISIÓN INELÁSTICA 1. Cambie ahora los aditamentos de los carros como muestra la figura 12.2. Asesórese del docente o monitor para completar el montaje.

Figura 12.2. Montaje colisión inelástica 2. Lleve los dos carros a los extremos opuestos del carril de aire y deles un pequeño impulso hacia el centro del carril. Es recomendable darle a uno de los carros un impulso mayor que al otro para que no queden en reposo entre las barreras después de la colisión. 3. Las dos barreras de luz miden la velocidad de los carros antes de la colisión. La colisión debe tener lugar totalmente entre las dos barreras de luz. En el caso de una colisión inelástica los dos carros quedan unidos y se mueven en una dirección en común. La barrera de luz localizada en la dirección del movimiento dará valores de velocidad similares para los dos carros y se debe tomar el valor promedio entre ellas. 4. Tome los datos de las masas de los carros y las velocidades medidas por los sensores antes y después de la colisión. 5. Repita las medidas con otras dos masas y lleve los datos a la tabla 12.2. Tabla 12.2. Datos masas y velocidades colisión inelástica Masa 1

Masa 2

Velocidad inicial 1

Velocidad inicial 2

Velocidad promedio final

6. Calcule el momentum total antes y después de la colisión.

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77

7. Calcule la energía cinética antes y después de la colisión.

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78

CÁLCULO DE ERRORES 1. Calcule los errores relativos entre los valores de los momentum antes y después de la colisión elástica, para cada ensayo realizado. Para esto recuerde, del laboratorio 8, que para un caso particular:

x 

Donde

x1  x  x2  x 2

x1

x2 x es el promedio entre x1 y x2

es la suma del momentum antes de la colisión,

momentum después de la colisión y

es la suma del

¿Se conserva el momentum en la colisión elástica?.

2. Calcule los errores relativos entre los valores de los momentum antes y después de la colisión inelástica, para cada ensayo realizado (revise el punto anterior)

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79

¿Se conserva el momentum en la colisión inelástica?.

3. Calcule los errores relativos entre los valores de las energías cinéticas antes y después de la colisión elástica, para cada ensayo realizado (revise el punto 1)

¿Se conserva la energía cinética en la colisión elástica?

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80

4. Calcule los errores relativos entre los valores de las energías cinéticas antes y después de la colisión inelástica, para cada ensayo realizado (revise el punto 1).

¿Se conserva la energía cinética en la colisión inelástica?.

CONCLUSIONES

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81

LABORATORIO 13 PENDULO BALÍSTICO OBJETIVOS 1. Determinar la velocidad inicial de un proyectil por medio de un péndulo balístico. 2. Verificar el principio de conservación de la cantidad de movimiento utilizando el péndulo balístico. PRE INFORME 1. Describa en forma breve con sus propias palabras, qué sucede físicamente cuando dos objetos colisionan. 2. ¿Qué es un péndulo balístico? 3. Explique el principio de conservación del momentum lineal. 4. ¿Qué es un choque inelástico? 5. ¿Hay conservación de la energía cinética en un péndulo balístico? 6. Para la imagen mostrada, demuestre que si el objeto de masa m se suelta desde el punto A, bajo condiciones ideales, entonces la rapidez que tiene el cuerpo cuando pasa por B (punto más bajo de su trayectoria) es: v  2 gh .

MARCO TEÓRICO Los principios de conservación son fundamentales para la física ya que por medio de estos se puede estudiar y predecir la evolución en el tiempo de muchos sistemas. En la Mecánica, por ejemplo, se tiene los principios de conservación de la energía, conservación del momentum lineal y conservación del momentum angular. En esta práctica se utilizará el principio de conservación del momentum lineal para estudiar el funcionamiento de un péndulo balístico. Este es un dispositivo clásico que permite medir la rapidez de disparo de un proyectil o balín de masa m, el cual se dispara con rapidez u, y al chocar contra el péndulo de masa M (para esta práctica es de 92,68 g) queda incrustado en él. Como resultado del impacto, el conjunto péndulo-proyectil se mueve con una velocidad v después del impacto y oscila alrededor del punto de suspensión alcanzando una altura máxima Δh como indica la figura 1.

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82

Figura 13.1. Esquema Péndulo Balístico La conservación del momentum del sistema para este choque completamente inelástico, indica que:

mu  (M  m)v u

( M  m) v m

Como la energía mecánica se conserva despues del impacto,

1 ( M  m)v 2  ( M  m) gh 2

v  2 gh De la figura 13.1 se tiene que:

h  r (1  cos  )

Por tanto la velocidad inical del balín será:

u

mM m

2.g.r.(1  cos  )

(1)

MATERIALES    

Equipo Péndulo 1 Esfera 1 Regla 1 Adaptador

PROCEDIMIENTO

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1. Haga el montaje que se muestra en la figura 13.2.

Figura 13.2. Montaje péndulo balístico 2. Realice tres disparos con la misma velocidad inicial (posicionando el disparador en un mismo punto) y registre los valores del ángulo φ y la velocidad en la tabla 3.1. Obtenga un promedio tanto del ángulo como de la velocidad. 3. Con las otras dos posiciones del disparador repita el paso 2 para completar las tabla 13.1. Tabla 13.1. Datos de velocidades y ángulos Velocidad P1

Ángulo (φ)

Velocidad P2

Ángulo (φ)

Velocidad P3

Ángulo (φ)

Promedio 4. Anote los valores de masa del balín, masa del péndulo, el radio del péndulo medido desde el punto pivote hasta el extremo superior del balín incrustado.

mbalín 

rpéndulo 

M pendulo  5. Halle la velocidad inicial del proyectil en cada caso de acuerdo a la expresión obtenida por conservación del momentum (ecuación 1).

u1:

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84

u2:

u3:

6. Calule el momentum lineal antes y después de la colisión, para cada caso, empleando el valor de velocidad del sensor. Momento lineal antes

Momento lineal después

1

2

3

7. Calcule la energía cinética antes y depués de la colisión.

Energía cinética antes

Energía cinética después

1

2

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85

3

CÁLCULO DE ERRORES 1. Halle los porcentaje de error para los valores de velocidad obtenidos en el paso 5, comparándolos con los valores que indicaba el sensor en cada momento.



% (u1 ) 



% (u2 ) 



% (u3 ) 

100 

100 

100 

2. ¿Qué puede decir de éstos porcentajes de error?

3. Calcule los porcentajes de error relativo entre los valores del momentum inicial y final en cada caso. Para esto recuerde, del laboratorio 8, que para un caso particular: x 

Donde

x1  x  x2  x 2

x1

x2 es x es el promedio entre x1 y x2

es la suma del momentum antes de la colisión,

momentum después de la colisión y

la suma del

1

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86

2

3

4. De acuerdo al resultado anterior, ¿puede decirse que se cumple la ley de conservación del momentum en esta colisión? ¿Por qué?

5. Calcule los porcentajes de error relativo entre los valores de la energía cinética antes y después de la colisión en cada caso (igual que el punto 3). 1

2

3

6. ¿Puede decirse que se conserva la energía cinética en esta colisión? ¿Por qué?

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7. ¿Qué puede decir de la precisión y exactitud de los instrumentos utilizados en esta práctica?

CONCLUSIONES

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88

LABORATORIO 14 EQUILIBRIO DE ROTACIÓN OBJETIVOS 1. Identificar las condiciones de equilibrio traslacional de un cuerpo rígido. 2. Verificar el cumplimiento de las condiciones de equilibrio rotacional para un cuerpo rígido en particular. PRE INFORME 1. Definir los siguientes conceptos: Momento de fuerza o torque, Primera condición de equilibrio, Segunda condición de palancas, Pares de fuerza. 2. Ejercicio: En dónde se debería poner el punto de apoyo para que el sistema de la figura este en equilibrio, teniendo en cuenta que el peso de la viga es de 50N y las fuerzas son F1=28 N F2= 42 N.

MARCO TEÓRICO Se tiene un cuerpo que puede girar alrededor de un eje fijo perpendicular al plano del dibujo en el plano O.

Si aplicamos la fuerza F1 en un punto A del cuerpo, este no se mueve. Si aplicamos ahora la fuerza F2, de igual magnitud que F1, en el mismo punto A, el cuerpo gira. Si desplazamos esta fuerza al punto B, el cuerpo girará más rápidamente. Esto indica que el efecto que produce una fuerza sobre un cuerpo que puede girar, respecto a un eje fijo, depende de la dirección de la fuerza aplicada y de su distancia al eje de rotación. La cantidad física que define esta tendencia a girar se denomina torque o momento de una fuerza, es una cantidad cuya magnitud está dada matemáticamente como:

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  Fb Donde b es el brazo de la fuerza definido como la distancia medida desde el eje de giro hasta la línea de acción de la fuerza en forma perpendicular. Para que un cuerpo rígido esté en equilibrio es necesario que se cumplan dos condiciones: 1. Equilibrio de Traslación: 2. Equilibrio de Rotación:

F  0

  0

MATERIALES         

Varillas soportes 2 Dinamómetros 2 nueces dobles Hilo 1 Regla 1 Porta pesas 3 pinzas soporte regla 1 Juego de Pesas 1 Soporte de madera

PROCEDIMIENTO PARTE A. EQUILIBRIO DE TRASLACIÓN DE UN CUERPO RÍGIDO: 1. En los extremos de la viga ponga dos pinzas soporte para sujetarla con los dinamómetros (figura 14.1), pero primero determine el peso de la viga con un dinamómetro (incluidas las dos pinzas soporte).

Figura 14.1. Montaje primera condición de equilibrio

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90

2. Antes de cada medición observe que la viga esté horizontal (dirección de los dinamómetros perpendiculares con la regla). Lea los dos dinamómetros y anote las fuerzas en la tabla 14.1. 3. Busque otras dos condiciones de equilibrio como en el paso 2, variando la ubicación de los dinamómetros. Anote los resultados de los dinamómetros en la tabla 14.1. Tabla 14.1. Datos del peso de la viga y resultado de los dinamómetros Peso de la viga (N) Fuerza 1 (N) Fuerza 2 (N)

4. Haga la suma de fuerzas en los tres casos para verificar la primera condición de equilibrio.

PARTE B. EQUILIBRIO DE ROTACIÓN DE UN CUERPO RÍGIDO: 5. Ponga las tres pinzas soportes en la regla (la del medio en sentido contrario a las dos de los extremos y realice el montaje como lo indica la figura 14.2.

Figura 14.2. Montaje segunda condición de equilibrio

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91

6. Coloque pesas en las dos pinzas soportes externas y en diferentes posiciones sobre la regla hasta que ésta permanezca en equilibrio de rotación. Registre la posición de estas con relación al punto de suspensión (pinza soporte del medio) y la magnitud de las pesas. 7. Busque otras dos condiciones de equilibrio similar a como se hizo en el paso 2 y anote los resultados en la tabla 14.2. Tabla 14.2. Datos de las condiciones de equilibrio

Equilibrio 1

Equilibrio 2

Equilibrio 3

Fuerza 1 (N) Brazo 1 (m) Fuerza 2 (N) Brazo 2 (m) 8. Calcule la sumatoria de momentos para verificar la segunda condición de equilibrio. Equilibrio 1:

Equilibrio 2:

Equilibrio 3:

CÁLCULO DE ERRORES 1. Calcule los porcentajes de error relativo del punto 4 de la parte A, entre el peso de la viga con la suma de los valores registrados en los dinamómetros. Para esto recuerde, del laboratorio 8, que para un caso particular: x 

Donde

x1  x  x2  x 2

x1

es el peso de la viga,

dinamómetros y

x

x2

es la suma de los valores registrados en los

es el promedio entre x1 y x2.

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2. Calcule el error relativo entre los valores de los momentos obtenidos en el punto 8 de la PARTE B. Igual que en el punto anterior pero teniendo presente que x1 es el momento la izquierda y x2 es el momento de la derecha.

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3. ¿Qué concluye acerca de los errores obtenidos en las medidas realizadas?

4. ¿Qué puede decir de la precisión y exactitud de los instrumentos usados en esta práctica?

CONCLUSIONES

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94

LABORATORIO 15 ACELERACIÓN ANGULAR Y MOMENTO DE INERCIA OBJETIVOS 1. Encontrar la relación entre ángulo de giro y el tiempo para un movimiento de rotación uniformemente acelerado (MCUA). 2. Obtener el valor de la aceleración en un movimiento rotacional con aceleración constante. 3. Calcular el momento de inercia de un cuerpo rígido que gira con (MCUA) entorno a un eje fijo. PRE INFORME 1. Defina: Velocidad angular, aceleración angular y momento de una fuerza. 2. ¿Qué se entiende por momento de inercia de un cuerpo rígido? 3. ¿Cuál es la expresión que define el momento de inercia de un disco que gira en torno a un eje perpendicular que pasa por su centro? MARCO TEÓRICO Un Movimiento de rotación es aquel en el cual la trayectoria descrita por el móvil es por ejemplo una circunferencia y se dice que varía uniformemente cuando su aceleración angular (α) permanece constante. En dicho movimiento la velocidad angular varía a una razón constante de acuerdo a la expresión:

 f  o   t

donde α es la aceleración angular y

ω0 la velocidad angular inicial del movimiento.

La posición del móvil puede obtenerse mediante:

1     0  ot   t 2 2 donde θ0 es la posición inicial. En estas ecuaciones se debe tener en cuenta que α, ω y θ son cantidades vectoriales y su dirección es a lo largo del eje de rotación. La relación entre el momentum angular Iz de un cuerpo rígido en un sistema de coordenadas estacionarias con su origen en el centro de gravedad y el momento () que actúa sobre el está dado como:

 z  Iz

d  I z dt

(15.1)

para el caso en que z es la dirección del eje de inercia principal.

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Figura 15.1. Esquema rotación de un cuerpo rígido (disco) El momento (τ) está definido como:

 rF y para el caso ilustrado en la figura 15.1, como r y F son perpendiculares se tiene:

z  r m g

(15.2)

El momento de inercia para el cuerpo rígido de la figura 15.1 se obtiene igualando las ecuaciones 15.1 y 15.2:

Iz 

rmg



MATERIALES  Equipo Rotación (Hilo, Pesas, Portapesas, Software cobra)

PROCEDIMIENTO 1. Realice el montaje ilustrado en la figura 15.2. Asegúrese de que el hilo que conecta el eje de rotación con la rueda de la barrera de luz este horizontal.

Figura 15.2. Montaje sistema de rotación

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2. Ajuste el alimentador de aire de tal forma que el rotor se levante ligeramente por la presión del aire y rote sin vibración. 3. Seleccione una pesa y póngala en el porta pesas. Enrolle el hilo en uno de los discos y anote el valor del radio del mismo. Pase el hilo sobre la polea de la barrera de luz. Posicione el plato con el elemento sostenedor en la posición inicial. 4. Tome los datos de masa de la pesa (m), masa y radio del disco que gira (M y R) y el radio del disco seleccionado (r).

M

m

R

r

5. Encienda la bomba de aire e inicie la medida. 6. Justo antes de que el porta pesas toque el suelo detenga la medida. 7. Consigne en la tabla 15.1 los datos de ángulo vs tiempo que entrega el software a través del computador. Tabla 15.1. Datos de posición angular vs tiempo para un cuerpo rígido que se encuentra en rotación uniformemente acelerada θ (rad) t (seg)

8. Grafique θ vs t.

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9. Con base en el gráfico anterior, infiera acerca de la relación funcional que existe entre las variables  y t.

10. Use el modelo de regresión adecuado para obtener la relación funcional experimental de dichas variables. En la medida de lo posible, encuentre el coeficiente de determinación.

 (t) 

r2 

11. Con base en la ecuación anterior, halle la velocidad angular para cualquier instante de tiempo y el valor de la aceleración angular.

 (t ) 

(experimental)  12. Calcule, con el valor de aceleración angular obtenido en el paso anterior, el momento de inercia del disco que está rotando.

13. Calcule el momento de inercia del disco que gira en torno a un eje perpendicular que pasa por su centro, mediante la expresión consultada en el preinforme.

CÁLCULO DE ERRORES 1. Calcule el porcentaje de error entre el momento de inercia hallado experimentalmente en el punto 12 con el momento de inercia teórico hallado en el punto 13.

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% (v) 



100 

2. ¿Que concluye acerca del porcentaje de error obtenido?

CONCLUSIONES

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LABORATORIO 16 FUERZA CENTRÍPETA OBJETIVOS 1. Determinar la fuerza centrípeta como una función de la masa del cuerpo, la velocidad angular y la distancia del eje de rotación al centro de gravedad del cuerpo. PREINFORME 1. Defina: Velocidad angular, fuerza centrípeta, fuerza centrífuga. 2. Imagine que usted une un objeto pesado a un extremo de un resorte, sostiene el otro extremo del resorte y luego hace girar el objeto en un círculo horizontal. ¿Se estira el resorte? Si es así, ¿por qué? Analice esto en términos de la fuerza que hace que el movimiento sea circular. MARCO TEÓRICO Considérese el movimiento de un cuerpo de masa m alrededor de un punto O en una trayectoria circular de radio r, como se muestra en la figura 16.1.

Figura 16.1. Esquema de rotación de un cuerpo En cualquier instante dado, el cuerpo tiene una velocidad lineal v constante, tangente a la circunferencia. Debido a lo anterior el cuerpo no tiene aceleración tangencial, pero como la dirección de la velocidad lineal cambia constantemente, debe haber una aceleración radial denominada aceleración centrípeta (ac) dada por la expresión:

v2 ac  r donde r es el radio del circulo descrito en el movimiento. Aplicando la segunda ley de Newton, se tiene:

v2 Fc  m r Autores: Jairo de Jesús Agudelo Calle y Francy Nelly Jiménez García

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donde Fc es la fuerza centrípeta. Se sabe que la velocidad lineal está dada en términos de la velocidad angular ω y está en función del periodo T así:



v  r

2 T

Por tanto la fuerza centrípeta es:

Fc  m 2 r MATERIALES  Equipo fuerza centrípeta (Pesas, Banda elástica, Sensor, Software cobra, Hilo) PROCEDIMIENTO 1. Realice el montaje que muestra la figura 16.2. Verifique que el eje movible del medidor de fuerza, el hilo y el ojo estén horizontales. Tome el valor de la masa del carro.

Figura 16.2. Montaje para medir la fuerza centrípeta 2. Encienda el motor, inicialice el software en los parámetros establecidos. De la fluctuación periódica de la fuerza en función del tiempo que da el software, halle el valor promedio de la fuerza. 3. Cuente las oscilaciones entre dos marcas de tiempo en la gráfica y calcule el periodo del movimiento y la velocidad angular.

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4. Empiece a variar el valor de la velocidad angular cambiando la posición del botón correspondiente del motor y obtenga de nuevo la fuerza promedio y el periodo de la oscilación. Lleve los valores a la tabla 16.1. Tabla 16.1. Datos Fuerza vs velocidad angular Periodo(s) ω (rad/s) Fuerza (N)

5. Ponga una pesa sobre el carro y obtenga de nuevo el valor de la fuerza para una velocidad angular determinada. Repita este paso tres veces más sin cambiar la velocidad angular. Lleve los datos a la tabla 16.2.

Tabla 16.2. Datos Fuerza vs Masa Masa (gm) Fuerza (N) 6. Para una masa seleccionada empiece a soltar el hilo para hacer variaciones en el radio, anote de nuevo el valor de la fuerza para la misma velocidad angular y mida el radio. Lleve los datos a la tabla 16.3.

masa  Tabla 16.3. Datos Fuerza vs radio Radio (cm) Fuerza (N) 7. Realice la gráfica fuerza vs masa y con base en ella use el modelo de regresión más adecuado para encontrar la relación funcional entre las variables F y m. Modelo de regresión usado: ___________________________________

F

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r2 

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Gráfica F vs m

8. Realice la gráfica fuerza vs radio y con base en ella use el modelo de regresión más adecuado para encontrar la relación funcional entre las variables F y r. Modelo de regresión usado: ___________________________________

F

r2  Gráfica F vs r

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9. Realice la gráfica fuerza vs velocidad angula y con base en ella use el modelo de regresión más adecuado para encontrar la relación funcional entre las variables F y . Modelo de regresión usado: ___________________________________

r2 

F Gráfica F vs 

CÁLCULO DE ERRORES 1. ¿Qué representa el valor de la pendiente en la gráfica F vs m? Calcule el porcentaje de error entre el valor obtenido de esta pendiente y el teórico.

% (v) 



100 

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2. ¿Qué representa el valor de la pendiente en la gráfica F vs r? Calcule el porcentaje de error entre el valor obtenido de esta pendiente y el teórico.

% (v) 



100 

3. ¿Qué representa el valor de pendiente de la linealizacion en la curva F vs w pendiente? Calcule el porcentaje de error entre el valor obtenido de esta pendiente y el teórico.

% (v) 



100 

4. ¿Qué concluye acerca de los porcentajes de error obtenidos?

CONCLUSIONES

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BIBLIOGRAFÍA

1. SERWAY, Raymond A. HEWETT, Jhon W. Física para Ciencias e Ingenierías. Volumen I. Sexta edición. México: Editorial Thomson. (2005) 2. SEARS, Francis W., ZEMANSKY, Mark W., YOUNG, Hugh D., FREEDMAN, Roger A. Física Universitaria. Volumen I. Undécima edición. México: Editorial Pearson Education. (2008). 3. HALLIDAY, David, RESNICK, Robert, KRANE, Kenneth S. Physics. Volumen I. Quinta edición. Editorial Wiley. (2001) 4. TIPPLER, Paul A. GENE, Mosca. Física para la Ciencia y la Tecnología. Mecánica oscilaciones y ondas. Volumen I. Quinta edición. España: Editorial Reverte. (2006). 5. ALONSO, Marcelo, FINN. Edward J. Física Mecánica. Volumen I. España: Editorial Fondo Educativo Interamericano S.A. (1970) 6. SCHAEFER, Bergmann. Experiencias demostrativas. Mecánica de los sólidos. LEYBOLD. 7. Catalogue of Physics Experiments. Germany: LEYBOLD DIDACTIC GmbH. (2001) 8. SPANGLER, Wolfgang. La Física en experimentos. Mecánica. Primera Edición. Gottingen: Physics System Phywe. (2005) 9. Jairo de Jesús Agudelo Calle. http://jairodejesusagudelo.blogspot.com/

Blog

de

Física

Mecánica.

10. Aparatos de medida. http://members.shaw.ca/ron.blond/index.html 11. Laboratorios virtuales de http://phet.colorado.edu/es/simulations/category/physics

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