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Universidad San Francisco de Quito Laboratorio No.10 Física General II Circuitos RL e Inducción magnética Indira Llerena (00132700), Cristian Pavón (00131637) Circuitos RL 1. A partir de los datos obtenidos en el laboratorio, realice una regresión exponencial para el voltaje en función del tiempo y calcule el valor teórico de la inductancia de la bobina 𝐿. Deduzca las ecuaciones teóricas para el voltaje 𝑉𝐿=𝑉(t) y la ecuación de la corriente 𝐼𝐿 = 𝐼(𝑡) en función del tiempo.

Gráficas •

Carga

Tiempo Voltaje (V) (s) ±𝟎, 𝟏 ∗ ±𝟎, 𝟎𝟑

𝟏𝟎−𝟑

0,01 4,31 5,81 10,01 13,21 14,61 15,41 15,81 16,01 16,21

0,0005 0,00053 0,00054 0,00058 0,00063 0,00068 0,00072 0,00077 0,00083 0,00099

Grafico1: regresión exponencial del voltaje en función del tiempo para la carga.

V(t) = 0,3631e4976x

Carga 60

Voltaje [v]

50 40 y = 0,3631e4976x

30 20 10 0

0,0005 0,00053 0,00054 0,00058 0,00063 0,00068 0,00072 0,00077 0,00083 0,00099

Tiempo [s] Carga

•

Exponencial (Carga )

Descarga

Tiempo Voltaje (s) ±𝟎, 𝟏 ∗ (V) ±𝟎, 𝟎𝟎𝟓 𝟏𝟎−𝟑 16,001 0,00001 14,501 0,00002 13,001 0,00003 11,201 0,00004 10,001 0,00005 8,801 0,00006 4,801 0,00011 2,201 0,00018 1,001 0,00027 0,601 0,00049 Grafico 2: Regresión exponencial del voltaje en función del tiempo para descarga

Descarga

30

25

Voltaje [V]

20

15

y = 39,205e-0,362x

10

5

0 0,00001

0,00002

0,00003

0,00004

0,00005

0,00006

0,00011

0,00018

Tiempo [s] Descarga

Exponencial (Descarga)

V(t)=39,205e-0,362x [V] Para la deducción:

Fuente: Laboratorio de Física 2 (USFQ) Para la corriente: Planteamos la malla y las ecuaciones para la figura uno: 𝑉𝜀 − 𝑉𝑅 − 𝑉𝐿 = 0 Usando las siguientes relaciones:

0,00027

0,00049

𝑉𝑅 = 𝑅𝐼; 𝑉𝐿 = −𝐿

𝑑𝐼 ;𝑉 = 𝜀 𝑑𝑡 𝜀

Calculamos: 𝜀 − 𝑅𝐼 − 𝐿

𝑑𝐼 =0 𝑑𝑡

Obtenemos una ecuación diferencial 𝜀 − 𝑅𝐼 = 𝐿

𝑑𝐼 𝑑𝑡

Resolvemos: 𝑑𝑡 𝑑𝐼 = 𝐿 𝜀 − 𝑅𝐼 𝑡

𝐼 𝑑𝑡 𝑑𝐼 =∫ 𝑡=0 𝐿 0 𝜀 − 𝑅𝐼

∫

Utilizamos el exponente:

(𝜀 − 𝑅𝐼 ) 𝑡 ln 𝜀 = 𝐿 −𝑅 𝑅𝑡

𝑒− 𝐿 = Despejamos la corriente: 𝐼=

𝜀 − 𝑅𝐼 𝜀

𝑅𝑡 𝜀 (1 − 𝑒 − 𝐿 ) 𝑅

Como tenemos la corriente sin variación: 𝑅𝑡

𝐼 = 𝐼𝑚𝑎𝑥 (1 − 𝑒 − 𝐿 ) [A]

Para el voltaje determinamos en función del capacitor L 𝑑𝐼 𝑉𝐿 = −𝐿 𝑑𝑡 Derivamos la corriente 𝑅𝑡 𝑑𝐼 𝑅 = 𝐼𝑚𝑎𝑥 (−𝑒 − 𝐿 ) (− ) 𝑑𝑡 𝐿

𝑅𝑡 𝑑𝐼 𝜀 𝑅 = ( ) (𝑒 − 𝐿 ) 𝑑𝑡 𝑅 𝐿

Despejamos el voltaje:

𝜀 𝑅𝑡 𝑉𝐿 (𝑡) = −𝐿 𝑒 − 𝐿 𝐿 𝑅𝑡

𝑉𝐿 = −𝜀𝑒 − 𝐿 [V] Inductancia teórica:

𝐿=

𝜇𝑁 2 𝐴 4 ∗ 𝜋 ∗ 10−7 ∗ (15002 ) ∗ 𝜋 ∗ (0,025)2 = = 0,0463 ± 5 ∗ 10−4 [H] 𝑙 0,12

2. En una misma gráfica dibuje la curva teórica del voltaje 𝑉𝐿 = 𝑉(𝑡) y los pares experimentales del voltaje y tiempo medidos en el laboratorio. Grafique también la corriente 𝐼𝐿 = 𝐼(𝑡) obtenida anteriormente. Reemplazamos los datos de la fem, la resistencia y la inductancia: −

400𝑡

𝑉𝐿 = −10𝑒 0,0463 [V] Resolvemos en funcion de t y la ecuación nos dacomo resultado: 𝑉𝐿 = −10𝑒 −8639.30𝑡 [V]

Voltaje [V]

Tiempo [s]

Potencial teórico

Potencial real

Grafico 3: Representación de la curva teórica y real de voltaje vs el tiempo Para el potencial: Para la corriente: Utilizamos la formula ya deducida y reemplazamos los datos: 𝑅𝑡

𝐼 = 𝐼𝑚𝑎𝑥 (1 − 𝑒 − 𝐿 ) 𝐼 = (1 − 𝑒 −8639𝑡 ) [A]

Corriente [A]

Tiempo [s]

Gráfico 4: Representación gráfica de la corriente vs el tiempo mediante la formula deducida.

3. Calcule el error porcentual entre los valores teórico (la lectura del puente de Wheatstone) y experimental de la inductancia de la bobina

Usamos la inductancia teórica y la medida en el laboratorio para obtener el porcentaje de error:

𝑒=

|0,0463 − 54 ∗ 10−3 | 0,0463

𝑥 100% = 16,63%  0,01 %

Inducción magnética 4) Para cada caso, calcule el valor de la inductancia 𝐿𝑝 de la bobina considerando que la frecuencia es de 60 Hz. Utilice la siguiente ecuación 𝑽𝟏𝒓𝒎𝒔 = 𝑰𝒓𝒎𝒔√(𝒘𝑳𝒑)𝟐 + (𝒓𝒑 + 𝑹𝒔)𝟐 . Utilizando la ecuación contenida en el enunciado despejamos L p para obtener la inductancia de la bobina para cada caso con los valores obtenidos en el laboratorio:

√(

𝐿𝑝 =

𝑉1𝑟𝑚𝑠 2 ) −(𝑟𝑝+𝑅𝑠)2 𝐼1𝑟𝑚𝑠

𝑤

[H]

Tabla 1: Valores de las inductancias para la bobina externa. Bobina Externa

Corriente (A) ±𝟎, 𝟎𝟎𝟏 0,08 0,156 0,222 0,293 0,36 0,442 0,508 0,572 0,655 0,719 0,789 0,862 0,93 1,002 1,044 1,116

Bobina interna

Voltaje (V) ±𝟎, 𝟎𝟎𝟓 4,575 9,45 13,7 18,23 22,61 27,79 31,88 35,8 41,02 45,05 49,52 54,1 58,49 63,29 67 71,5

Voltaje (V) ±𝟎, 𝟎𝟎𝟓 0,4846 1,045 1,573 2,06 2,55 3,133 3,587 4,012 4,585 5,004 5,469 5,928 6,36 6,86 7,18 7,58

Inductancia [H] ±𝟎, 𝟎𝟎𝟑 0,935 0,992 1,012 1,020 1,030 1,031 1,029 1,026 1,027 1,028 1,029 1,029 1,032 1,036 1,053 1,051 Promedio Inductancia=1,023 ±0,005

5) Calcule el error estadístico de la inductancia de la bobina, y el error porcentual comparado con la lectura del puente de Wheatstone. Utilizamos la formula del error estadístico: 𝜎=√

∑𝑛𝑖=1(𝑋𝑖 − 𝜇)2 𝑛−1

Donde 𝜇=

∑𝑛𝑖=1 𝑋𝑖 𝑛

Utilizando la función desvest de Excel se calcula el error estadístico como: 𝜎 =0,008 Para calcular el error porcentual utilizamos la formula siguiente:

𝑒=

|𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑡𝑒ó𝑟𝑖𝑐𝑜 − 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑒𝑥𝑝𝑒𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑙 | |1,023 − 54 ∗ 10−3 | ∗ 100 = ∗ 100 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑡𝑒ó𝑟𝑖𝑐𝑜 1,023 𝑒 = 99,47% ±0,01

6) Grafique el valor de la FEM de salida V2 en función de la FEM de entrada V1 y determine mediante la pendiente de la recta la relación del número de vueltas entre ambas bobinas.

FEM Entrada vs FEM Salida 9 y = 0,1066x + 0,1238

8

FEM salida (V)

7 6 5 4 3 2 1 0 0

10

20

30

40

50

60

70

80

FEM entrada (V)

Gráfico 5: Representación gráfica de la fem de entrada vs la fem de salida para las bobinas interna y externa. Mediante la ecuación de regresión lineal podemos observar que m=0,1066 siendo esta la relación del número de vueltas entre ambas bobinas. 7) Conclusiones El objetivo de esta práctica fue analizar los conceptos estudiados en clase de teoría acerca de inductancia y fem, aplicando la ley de Faraday que establece que una corriente variable produce un campo magnético variable. En la primera parte del experimento se pudo determinar que la inductancia del sistema no altera instantáneamente la corriente, lo cual se demuestra en las gráficas exponenciales de decaimiento indicadas en la sección anterior. Por otra parte, para el segundo experimento se determinó que el voltaje que se indujo a través del circuito que está cerrado es proporcional a la velocidad con la que el flujo magnético cambia, y atraviesa la superficie, lo cual experimentalmente nos indica que este transformador y el número de vueltas de la bobina está ligado

estrechamente con la potencia. Finalmente, nuestro error porcentual calculado es de 16% para circuitos RL, y se debe a que las oscilaciones entre los valores medidos en la práctica son altos en unos, y bajos en otros. Por último, el segundo error porcentual fue de 99% en inducción magnética el cual es un valor alto, y también se debe a la posición de la bobina, ya que esta se supone que debe estar uniforme, sin ninguna superposición de alambres lo cual fue imposible, ya que este material ha sido usado y manipulado por varios estudiantes, además el hecho de no tener un sistema fijo y el error humano también contribuye a este valor. Se recomienda, que las bobinas no tengan alambres superpuestos, y que el trabajo en equipo sea de mejor manera, ya que se debían tomar varios datos, y anotar los mismo a la ve, mientras el otro regulaba el sistema, y el dato real que aparecía en el multímetro, no podía ser anotado con tanta precisión y exactitud. Se concluye que la práctica fue un éxito, debido a que se aplicaron los conocimientos de flujo de campo magnético mediante la ley de Faraday, y se demostró experimental, y numéricamente los procesos de carga y descarga del circuito RL, de donde R quiere decir resistencia, y L inductancia.

Referencias: Giancoli, D. (s/f). Física para ciencias e ingenierías. Vol. 2. Ed. PearsonPrentice Hall.

Tipler, P. A., & Mosca, G. (2005). Física para la ciencia y la tecnología (Vol. 2). Reverté.