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Universidad Tecnológica de Panamá. Sede Regional de Panamá Oeste.

Matemática Superior para Ingenieros.

Prof. Javier Herrera

Preparado por:

Gloria Illueca 8-886-2065 Yackeline Gálvez 2-732-1732

2014

La Transformada Z Introducción

La transformada de Fourier tiene una importancia fundamental en la representación y análisis de señales y sistemas discretos. Una generalización de ella es la transformada Z. El motivo principal para tratar con la transformada Z consiste en que la transformada de Fourier no converge para todas las secuencias; lo que hace necesario plantear una transformación que cubra una más amplia gama de señales. Adicionalmente, la transformada Z presenta la ventaja de que, en problemas analíticos, el manejo de su notación, expresiones y álgebra es con frecuencia más conveniente. El empleo de la transformada Z en señales discretas tiene su equivalente en la transformada de Laplace para señales continuas y cada una de ellas mantiene su relación correspondiente con la transformada de Fourier.

La Transformada Z 1. Definición: Para una señal en tiempo discreto general x(n), la transformada Z, X(z), se define como: X (z)= ∑

( )

(1)

La variable z es generalmente compleja y en forma polar se expresa como Z= r

(2)

Donde r es la magnitud de z y Ω es el ángulo de z. La transformada Z definida en la ecuación (1) con frecuencia se denomina la transformada Z bilateral para distinguirla de la Transformada Z unilateral, y la cual se define como: X (z)= ∑

( )

(3)

Claramente ambas transformadas son equivalentes solo si x(n)=0 para t|a|, para cualquier valor finito de z. Entonces: X (z)= ∑

(

X (z)=

)n |z|>|a|

Alternativamente, multiplicando el numerador y el denominador por z tenemos: X (z)=

Del ejemplo vemos que hay un cero en z=0 y un polo en z=a. La RDC y el diagrama de polo y ceros para este ejemplo se muestran a continuación. En las aplicaciones de la transformada Z al plano complejo se le refiere comúnmente como el plano z.

(7)

La Transformada Z 3. Transformada Z de secuencias importantes: A. La Secuencia Impulso Unitario ( ) De la definición dada tenemos X (z)= ∑

( )

X (z)= X (z)= 1 Y, por consiguiente, ( ) ↔ 1 todo z; siendo fácil demostrar que (

)↔

(8)

B. La Secuencia Escalón Unitario u(n) Haciendo a=1 en la Ec. (6) a (7), obtenemos u (n) ↔

=

|z|>1

(9)

C. Funciones Sinusoidales Sea x(n)= cos Ω0n. Escribiendo x(n) como x(n) = (

+

)

Y usando el resultado dado en la Ec (7), se obtiene que X (z)= ( X (z)=

(

+ )

) (10)

La Transformada Z 4. Propiedades de la Transformada Z:

a. Propiedad de la Superposición: Se compone de las características de:  Homogeneidad: Z{x (n)} ↔ X(z) Z{ax(n)} ↔ aX(z)  Aditivita: Z{x (n)} ↔ X(z) Z{ bx(n)} ↔ X(z) entonces:

x(n)+ x(n)} ↔ X (z) + X(z) Por lo tanto, la propiedad de superposición establece que si: x(n) = ax (n) + bx(n) La transformada Z correspondiente es: Z {x(n)}= Z {a x(n) + b x(n)}= Z a x(n) + Z x(n) X (z) = aX (z) + bX (z)

b. Desplazamiento en el tiempo o Traslación Real Si Z{x (n)} ↔ X(z) Entonces Z{x (n-n0)} ↔

X(z)

Casos especiales de esta propiedad son: Z{x(n-1)} ↔

X(z)

Z{x(n+1)} ↔ zX(z)

RDC= R

La Transformada Z c. Inversión en el Tiempo Si la transformada Z de x(n) es X(z), es decir, x(n) ↔ X(z) RDC=R x(-n) ↔ X( )

R’=

En consecuencia, un polo (o cero) en X(z) en z=zk se mueve a 1/zk luego de inversión en el tiempo. La relación R’=1/R indica la inversión de R, reflejando el hecho de que una secuencial latera derecha se convierte en latera izquierda si se invierte el tiempo y viceversa.

d. Desplazamiento en la Frecuencia (Multiplicado por

)

Si x(n) ↔ X (z)

RDC=R

Entonces x(n) ↔ X(

)

R’=|z0| R

Un polo (o cero) en z=zk en X(z) se mueve a z=z0zk luego de la multiplicación por y la RDC se expande o contrae por el factor |z0|, y la propiedad especificada queda demostrada.

e. Diferenciación en el Dominio (Multiplicado por n) Si x(n) tiene transformada z con RDC=R, es decir, X(n) ↔ X(z)

RDC=R

Entonces nx(n) ↔ - z

( )

R’=R

forma generalizada: Z{nkx(n) = (- z)

X(z)

La Transformada Z f. Acumulación Si la secuencia x(n) tiene transformada Z igual a X(z) con RDC=R, es decir, x(n) X(z)

RDC=R

entonces ∑

( ) ↔

X(z)=

X(z)

Obsérvese que la expresión ∑ ( ) es la contraparte en tiempo discreto de la operación de integración en el dominio del tiempo y se denomina acumulación. El operador comparable de la transformada de Laplace para la integración es 1/s.

g. Convolucion Si x1(n) y x2(n) son tales que x1(n) ↔ X1(z)

RDC=R1

x2(n) ↔ X2(z)

RDC=R2

Entonces la transformada de la convolucion de estas secuencias es dada por: x1(n) * x2(n) ↔ X1(z)X2(z) Esta relación juega un papel importante en el análisis y diseño de sistemas LIT de tiempo discreto, en analogía con el caso de tiempo continuo.

La Transformada Z Tabla de Transformadas Z frecuentes.