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• Luis Torres

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TRANSFORMADA Z DEFINICIONES: Como se ha mencionado en los temas anteriores, la transformada de Fourier tiene una importancia fundamental en la representación y análisis de señales y sistemas discretos. Una generalización de ella es la transformada Z. La transformada z es a los sistemas en tiempo discreto lo que la transformada de Laplace es a los sistemas en tiempo continuo. Ambas representan herramientas para el análisis de ciertas propiedades de las señales, que en el dominio del tiempo sólo pueden ser evaluadas con mayor dificultad: la convolución es transformada otra vez en un producto, y las ecuaciones de diferencias, que son el equivalente discreto de las ecuaciones diferenciales, pueden ser solucionadas de forma más sencilla en el dominio de la frecuencia compleja que en el dominio del tiempo discreto. La Transformada z se usa para llevar señales en el dominio del tiempo discreto al dominio de la frecuencia de variable compleja. Juega un rol similar al que la Transformada de Laplace lleva a cabo en el dominio de tiempo continuo. Tal como en el caso de Laplace, la Transformada z abre nuevos caminos a la resolución de problemas y al diseño de aplicaciones en el dominio discreto. Puede mostrarse que la transformada Z no es más que la versión en tiempo discreto de la transformada de Laplace. Para ver esta conexión, comenzamos repasando la expresión de la transformada de Laplace dada por:

En donde x(t) es una señal en tiempo continuo. Si ahora tomamos una versión muestreada de la señal analógica x(t), dada por

Su transformada de Laplace es

Empleando la variable compleja

, tenemos

Llamada la transformada Z unilateral. La transformada Z bilateral será:

En conclusión: Dada una secuencia discreta x(n) se define su transformada Z como

Donde Z es una variable compleja

Representaciones más usuales:

REGION DE CONVERGENCIA (ROC) La región de convergencia (ROC), define la zona donde la TZ existe. En tal sentido es una región en el plano complejo donde la TZ de una señal tiene una suma finita. Lo que quiere decir que es la suma de una serie geométrica (suma de series de potencias negativas de z) y esta transformada solo existe para aquellos valores del plano complejo para los que dicha suma de serie de potencias converge. Por lo tanto, la ROC viene dada por:

 

 



Aparte de lo que supone en si la ROC de una TZ, se da el caso de que dicha transformada no determina de forma única una señal en el dominio del tiempo. Esta ambigüedad solo se resuelve si, además de las TZ, se especifica la ROC. Finalmente luego de realizar diversas evaluaciones y aplicar ciertas propiedades como la de linealidad de las TZ, se puede decir que la ROC de este tipo de transformadas será una combinación de ella misma y según esto se pueden presentar las siguientes situaciones: Señal estrictamente no causal (vale 0 para tiempos positivos): En este caso la región de convergencia va a ser un círculo. Señal estrictamente causal (vale 0 para tiempos negativos): En este caso la región de convergencia va a ser el exterior de una determinada circunferencia. Señal no causal (mezcla de las anteriores): En este caso se pueden dar dos situaciones: La ROC es un anillo. Para que se origine esta situación el mayor modulo de los polos de la TZ, correspondiente a la parte no causal, debe ser mayor que los correspondientes causales. No existe ROC. Este caso es opuesto al contrario.

CÁLCULO DE ALGUNAS TRANSFORMADAS Z Ejemplo 1 (Transformada Z de la función Impulso Unitario) Halle X[Z] si X[n]= [n].

Solución

por consiguiente,

o sea,

X[Z] = 1·Z0 = 1.

Ejemplo 2 (Transformada Z de la función Escalón Unitario) Si X[n] = U[n] , halle X[Z].

Solución Se sabe que:

por tanto,

que es una serie geométrica que converge si |Z-1| < 1 o sea si |Z| > 1.

Ejemplo 3 Sea y sea X[n] la secuencia obtenida al muestrear X(t) cada T segundos. Hallar X[Z].

Solución Acá,

por consiguiente,

Sabiendo que

se tiene,

Sí el periodo de muestreo T = 1, se tiene

Ejemplo 4 Sea

Halle X[Z].

Solución

por tanto,

como

es una serie geométrica, la expresión para X[Z] sólo es válida sí

|1/3Z-1| < 1 ó sea que |Z-1| < 3, y por tanto |Z| > 1/3. La anterior ecuación, define la región de convergencia de X[Z] en el plano complejo así:

Ejemplo 5 Dada X[Z] como,

Halle X[Z].

Solución

Si se hacen los siguientes cambios de variables: n = -m en la primera sumatoria n = 2m en la segunda sumatoria n = 2m + 1 en la tercera sumatoria se tiene :

Se trata de tres series geométricas que convergen sí:

|1/3Z| < 1 o sea |Z| < 3 |1/9Z-2| < 1 o sea |Z| > 1/3 |1/4Z-2| < 1 o sea |Z| > 1/2

El intervalo de convergencia de X[Z] será la intersección de los tres intervalos anteriores, o sea 1/2 < |Z| < 3.

por tanto:

Ejemplo 6 Halle la transformada Z de

Siendo a una constante.

Solución

converge si |aZ-1| o sea si |Z| > a.

Ejemplo 7 Si

y sea X[n] la secuencia obtenida al muestrear X[t] cada T segundos. Halle X[Z]. Solución

Se sabe que

por tanto,

por el ejemplo 2, se sabe que la transformada de X[n]=l-ant es

por tanto, en este caso se tiene:

TRANSFORMADA Z DE ALGUNAS FUNCIONES COMUNES

LA TRANSFORMADA Z INVERSA Una de las aplicaciones más importantes de la TZ es en el análisis de sistemas discretos LIT. Este análisis suele requerir calcular la TZ inversa. Los tres métodos básicos para recuperar la secuencia original a partir de su Transformada Z son: - Inspección directa o

Expansión en fracciones parciales o en series de potencias

o

Integral de inversión compleja



El método de inspección directa se trata simplemente de familiarizarse con la TZ e identificar ciertos pares.



Si la TZ es una función racional, la expresión en forma de serie de potencias puede obtenerse fácilmente mediante división de polinomios. Podremos observar como precisamente los coeficientes asociados a cada uno de los términos z-n de la serie son los valores de la secuencia , ya que por definición la TZ es:



Un procedimiento más general consiste en realizar una Descomposición en Fracciones Simples e identificar las transformadas simples de los términos así obtenidos.

M: orden de P(z)

Si

siendo

N orden de Q(z) o

Si M 0 "La Función del Sistema tendrá polos, de c/n de los cuales

contribuye con una sec. Exponencial a la k(n)"

FUNCIÓN DEL SISTEMA:

Estabilidad:

 "Si la Rdc incluye el círculo unidad, el Sistema es ESTABLE y viceversa".

 Si además de ser estable es CAUSAL, incluye el círculo unitario y la zona del plano z (se entiende hasta z =  , desde aquel). Si evaluamos X(z) sobre el círculo unidad comenzando en z=1 (w=0) hasta z=-1 (w= ), pasando por z=j (w=B/2), obtenemos la TF para 0