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• Victoria Leire

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INTRODUCCIÓN AL DISEÑO DE FILTROS DIGITALES TAREA 1 PARTE I. MUESTREO Y CUANTIZACIÓN

1. Determina cuales de las siguientes señales senoidales son periódicas e indica cual es su periodo fundamental. a) cos(30πn/105) b) cos(3πn) c) sen (3n) d) sen(62πn/10) e) x(n) = 3cos(5n + π/6) f) x(n) = 2ej(n/6 - π) g) x(n) = cos(n/8) cos(πn/8) h) x(n) = cos(πn/2) – sen(πn/8) + 3cos(πn/4 + π/3) 2. Considera la señal senoidal analógica xa(t) = 3 sen(100 πt) a) Dibuja la señal xa(t) para 0 ≤ t ≤ 30 ms. b) Si xa(t) se muestrea a Fs = 300 muestras/s, determina la frecuencia de la señal discreta x(n) = xa(nT), T = 1/Fs, y demuestra que es periódica. c) Calcula los valores muestreados para un periodo de x(n). Dibuja x(n) sobre el mismo diagrama de xa(t). ¿Cuál es el periodo en milisegundos de la señal discreta? d) ¿Es posible hallar una tasa de muestreo Fs tal que x(n) presente un valor pico máximo de 3? ¿Cuál es la Fs mínima adecuada para esta tarea? 3. Una señal analógica contiene frecuencias de hasta 10 kHz. a) ¿Cuál es el rango de frecuencias de muestreo que permiten una reconstrucción perfecta de la señal a partir de sus muestras? b) Si la señal se muestrea a Fs = 8 kHz ¿Qué pasa con la frecuencia F1 = 5 kHz? c) ¿Y qué pasa con la frecuencia F2 = 9 kHz? 4. Una señal analógica xa(t) = sen(480πt) + 3 sen(720πt) se muestrea 600 veces por segundo. a) Determina la tasa de Nyquist para xa(t) b) Determina la frecuancia máxima a la que se puede muestrear para que no exista ambigüedad al refconstruir la señal original. c) ¿Cuáles son las frecuencias en radianes de la señal discreta x(n)? d) Si x(n) se pasa a través de un convertidor D/A ideal. ¿Cuál es la señal reconstruida ya(t) que se obtiene?

5. Por un enlace de comunicaciones digitales se transmiten palabras codificadas en binario que representan muestras de la señal de entrada xa(t) = 3 cos 600πt + 2 cos 1800πt El enlace trabaja a 10,000 bits/s y cada muestra de entrada en cuantificada con 1024 niveles de tensión diferentes. a) ¿Cuál es la frecuencia de muestreo y la máxima que no produce ambigüedad al recuperar la señal original? b) ¿Cuál es la tasa de Nyquist para la señal xa(t)? c) ¿Cuáles son las frecuencias de la señal resultante en el tiempo discreto x(n)? d) ¿Cuál es la resolución Δ? 6. Considera el sistema de procesamiento de señal mostrado. Los periodos de muestreo de los conversores A/D y D/A son T = 5 ms y T’ = 1 ms, respectivamente. Determina la salida del sistema ya(t) si la entrada es xa(t) = 3 cos 100πt + 2 sen 250πt y t está en segundos. El posfiltrado elimina cualquier componente de frecuencia por encima de Fs/2.

7. Determina la tasa de bits y la resolución del muestreo de una señal sísmica cuyo rango dinámico es un volt si la velocidad de muestreo es Fs = 20 muestras/s y se usa un convertidor A/D de 8 bits ¿Cuál es la máxima frecuencia que aparece en la señal sísmica resultante? 8. La señal discreta x(n) = 6.35 cos (πn/10) es cuantizada con una resolución (a) Δ = 0.1 y (b) Δ = 0.02. ¿Cuántos bits se requieren en cada caso? PARTE II. TRANSFORMADA Z

1. Determina la transformada z de las siguientes señales a través de la definición (a) x(n) = {3, 0, 0, 0, 0, 6, 1, -4} ⎧⎛ 1 ⎞ n ⎪ (b) x(n) = ⎨⎜⎝ 2 ⎟⎠ n ≥ 5 ⎪ 0 n≤4 ⎩ 2. Determina la transformada z y dibuja la ROC de las siguientes señales empleando la definición ⎧ ⎛ 1 ⎞ n n≥0 ⎪ ⎜ ⎟ ⎪ (a) x1 (n) = ⎨ ⎝ 3 ⎠−n ⎪⎛⎜ 1 ⎞⎟ n