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La Divina Proporción por J. Ignacio Extremiana Aldana1 , Universidad de La Rioja

La Geometr´ıa tiene dos grandes tesoros: uno el Teorema de Pit´agoras; el otro es la divisi´on de una l´ınea en una proporci´on extrema y una media. Kepler

Esta charla es parte de un trabajo emprendido hace tiempo con motivo del homenaje a un querido compañero y amigo: José Javier Guadalupe (Chicho). Sin prisas (y esperamos que con pocas pausas) estudiamos y recopilamos temas geométricos que han tenido (y tienen) gran trascendencia en la historia de la humanidad y que, además, pueden ser aprovechados para “acercar las matemáticas a la sociedad” que era uno de los grandes objetivos que se planteó el Año Mundial de las Matemáticas 2000, año en el que un desgraciado accidente nos privó de Chicho para siempre. Hemos titulado la charla “La Divina Proporción” podíamos haber elegido otro título distinto para hablar del mismo tema; por ejemplo “el número de oro”, “el número aúreo”, “la proporción aúrea”, “la estética de las proporciones”, “la sucesión de Fibonacci” , etc. . . Hay mucha bibliografía al respecto. Al final daremos las razones “teológicas” por las que hemos elegido este título. Antes comentaremos algo de sus orígenes, de sus primeras propiedades y contaremos alguna historieta. La esperanza es el u ´nico bien com´ un a todos los hombres; los que todo lo han perdido la poseen a´ un. Tales de Mileto 1

Trabajo en colaboraci´on con L. Javier Hern´andez Paricio y M. Teresa Rivas Rodr´ıguez

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Figura 1 Manzanas y naranjas

“Retorna a lo antiguo y serás moderno” (Giuseppe Verdi) Comenzamos mostrando una imagen (Figura 1) tomada de la página web de George W. Hart (cuya visita recomiendo encarecidamente). Esta imagen aparece en el cartel anunciador de la presente edición del Seminario Permenente de Actualización en Matemáticas, que organiza el Departamento de Matemáticas y Computación de la Universidad de La Rioja desde hace 24 años. Se trata de un dodecaedro y de un icosaedro cuyos vértices son naranjas y manzanas respectivamente. Cuando los organizadores del Seminario eligieron la imagen se nos ocurrió que podíamos preparar una charla sobre la proporción que rige la construcción de ambos poliedros: la Divina Proporción; quizá porque, como dice Luca Pacioli en su tratado cuyo título es el mismo que el de esta charla “no hay nada en el intelecto que previamente no se haya ofrecido de alguna manera a los sentidos”. Nuestros sentidos se inclinan hacia lo que les resulta más agradable y atractivo, lo que les resulta bello. Ahora bien, ¿qué es la belleza? ¿por qué unos objetos son bellos y otros no? Estas preguntas han tratado de ser respondidas muchas veces en diferentes culturas. La idea más extendida es que la belleza podría consistir de, por ejemplo, las proporciones en las dimensiones. Esta idea se atribuye a Pitágoras quien habría descubierto el hecho de que ciertas proporciones aritméticas en los instrumentos musicales, como las longitudes de las cuerdas, producen armonía de tonos. En la Figura 2 mostramos una ilustración de la Theorica Musice, de Gafurio, 1492, en la que aparecen los números marcando o dirigiendo la escala musical. Sobre la base de estas armonías musicales los antiguos griegos

19 intentaron explicar también la belleza en las proporciones del cuerpo humano, de la arquitectura y otros objetos.

Figura 2 Escala musical Pit´ agoras y los Pitag´ oricos Llegados a Grecia, recordaremos su geometría. Herodoto (485-425 a.C.) afirma que los orígenes de la geometría griega están en Egipto: . . . Dijeron tambi´en que este rey (Sesostris) dividi´o la tierra entre todos los egipcios de modo que a cada uno le tocara un cuadr´angulo de igual tama˜ no y tomara de cada uno sus ingresos, estableciendo un impuesto que se exig´ıa anualmente. Pero cuando el r´ıo invad´ıa una parte de alguno, ´este ten´ıa que ir a ´el y notificar lo que hab´ıa sucedido. Enviaba entonces supervisores, quienes ten´ıan que medir en cuanto se hab´ıa reducido el terreno, para que el propietario pudiera pagar sobre lo que le quedaba, en proporci´ on al impuesto total que se hab´ıa fijado. En esta forma, me parece que se origin´o la geometr´ıa y pas´ o entonces a H´elade (Grecia). La principal fuente de información que tenemos sobre la Geometría griega es el Sumario de Eudemo de Proclo, que es un esbozo muy breve del desarrollo de la geometría griega desde los tiempos primitivos hasta Euclides. Proclo vivió en el siglo V d. C., pero tuvo acceso a varios trabajos históricos y críticos que ahora se han perdido. Entre ellos una historia completa de la geometría griega escrita por Eudemo el cual había sido alumno de Aristóteles. El primer gran matemático al que hace referencia es Tales de Mileto2 . El se2

Uno de los 7 sabios de Grecia junto con P´ıtaco de Mitilene, B´ıas de Priene, Cle´obulo

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gundo gran matemático que se cita en el Sumario es Pitágoras de Samos. Ambos viajaron a Egipto y Mesopotamia. El primero pudo haber iniciado al segundo en la matemática3 . Pitágoras juega un papel decisivo en la historia de las matemáticas (y de la humanidad). Nació en la isla de Samos, colonia jónica cercana a Mileto en la costa del mar Egeo, su padre fue Menesarco. Se distinguen tres etapas en su vida. De la primera se destaca su relación con Tales, quien, como hemos dicho antes, pudo iniciarle en las matemáticas. En esta etapa pudo haber participado en los Juegos de la 48◦ Olimpiada, en los que habría obtenido la rama de olivo en las competencias de pugilato. La segunda etapa corresponde a sus viajes (pudo haber viajado a Egipo y Mesopotamia) de los que regresa a Samos en la que gobierna el tirano Policrates. Por “divergencias” con éste, Pitagoras se exilia a Crotona, en el golfo de Tarento, al sur de la actual Italia. En esta ciudad se asienta y crea la hermandad Pitagórica4 . Vive en la casa de Milo, con cuya hija, Theano, se casa. De Theano se dice que fue la primera mujer matemática y que dirigió la hermandad después de la muerte de Pitágoras, a pesar de que en ella estaban prohibidas las mujeres (al menos para asistir a las reuniones públicas). Esta hermandad se extendió rápidamente y llegó a alcanzar el poder político en varias ciudades como la propia Crotona, Síbaris (vecina a Crotona y famosa por su gusto a la vida opulenta) y otras ciudades. En Crotona se produce la primera gran rebelión contra los pitagóricos, en la que durante una revuelta se incendia la casa de Milo, en la que vivía Pitágoras. Éste se refugia en Tarento y luego en Metaponto, donde muere. En Metaponto, años más tarde, hacia el 450 a. C., durante otras revueltas, mueren en un incendio gran parte de los miembros de la comunidad. Entre los que lograron salvarse se encuentran Filolao de Crotona, Hipaso de Metaponto e Hipócrates de Chios. Filolao fue acusado de haber divulgado los secretos matemáticos y filosóficos de la Comunidad en sus escritos y de haber vendido a Dionisio de Siracusa tres libros que contenían la de Linde, Periandro de Corinto, Quil´on de Lacedemonia y Sol´on de Atenas. Plat´on en el dilogo Prot´agoras se˜ nala a Mir´on en lugar de Periandro. 3 Como curiosidad se˜ nalemos que el siglo VI a. C. fue el de los grandes m´ısticos; en ese periodo vivieron: Zoroastro (Zaratustra) (660-583 a. C.), Lao Tse (604-510 a. C.), Confucio (551-479 a. C.), Buda (560-477 a. C.) y Pit´agoras (580-500 a. C.). 4 Fraternidad esot´erica, dedicada a la pr´actica del ascetismo, la comunidad de bienes y el estudio de las matem´aticas para obtener la realizaci´on de la armon´ıa interior, acorde con la gran armon´ıa del cosmos, a la que se accede por la gnosis numeral (“Todo est´a dispuesto conforme al N´ umero”).

21 doctrina secreta del pitagorismo. Platón pudo tener acceso a estos escritos, dada su amistad con el hermano de Dionisio, Dión. Arquitas de Tarento, discípulo de Filolao, que fue Regente de Tarento y siete veces generalísimo, fue quien inició a Platón en el pitagorismo. Hipaso fue expulsado de la comunidad por dar a conocer a los profanos el secreto de la esfera de los doce pent´ agonos y de la naturaleza de lo conmensurable y lo inconmensurable; sus excompañeros le construyeron una tumba para escenificar que para ellos ya había muerto. Moriría años más tarde en un naufragio del que se sospecha que fueron responsables sus excolegas. Parece que fue Hipaso quien planteó la existencia de magnitudes inconmensurables estudiando la figura del pentágono regular (luego hablaremos de esto); sin embargo, Yámblico le concede el descubrimiento al propio Pitágoras. Los Pitagóricos recopilaron las enseñanzas del Maestro en el Ieros Logos (Discurso sagrado). Se dividían en dos tipos: Matemáticos (conocedores) y Acusmáticos (oídores). Hemos mencionado que tanto Tales como Pitágoras habrían viajado a Egipto. Pues bien, es posible que en los constructores y decoradores del antiguo Egipto usasen algún tipo de teoría matemática de las proporciones. Se sabe que en torno al 600 a. C. investigadores egipcios midieron los relieves en Sakkara, en la tumba del faraón Zhoser, que fueron hechos hacia el 2800 a. C. Sobre esta base, construyeron un sistema de proporciones que más tarde fue ampliamente usado. Tal vez es este sistema lo que ahora podemos ver en muchos relieves egipcios como finas líneas sin significado aparente. En la Figura 3 podemos ver un ejemplo típico de Lepsius (1849): Denkm-aler aus Agypten und Athiopien.

Figura 3 Proporciones (?) egipcias Creaci´ on y belleza Platón, de quien ya hemos comentado su relación con el Pitagorismo, en el Timeo, quizás el más platónico de sus diálogos según los expertos, nos ofrece su visión de construcción del Universo, del Cosmos (orden), en oposición al Caos.

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Según Platón el mundo real es una copia imperfecta del mundo de las ideas hecha por el Demiurgo, ser inteligente y bueno al que le atrae la belleza y trata de recrearla. Este personaje crea en primer lugar el alma del mundo y la esfera celeste (lo hace dándole forma esférica, la más perfecta) en cuyo centro está la Tierra. Después se ocupa de la materia con la que está hecho el mundo; se compone de cuatro elementos: fuego, tierra, aire y agua. Los elementos han de ser “sólidos” (pues las cosas no solamente son planas sino que tienen profundidad) y han de ser capaces de recomponerse unos en otros. Puesto que han de ser sólidos, esto es, limitados por planos y un plano está compuesto por piezas sencillas (triángulos), el Demiurgo elige de éstos los más bellos: el triángulo rectángulo isósceles (con dos piernas — catetos— iguales, es decir, la escuadra) y el triángulo rectángulo escaleno (cojo) que posee la propiedad de tener la hipotenusa de doble longitud que uno de sus catetos (el cartabón). A partir de seis de estos últimos triángulos construye el triángulo equilátero y, con estas piezas, el tetraedro, el octaedro y el icosaedro. Con cuatro triángulos rectángulos isósceles construye el cuadrado y con seis de éstos el cubo. Concluye, analizando las propiedades de los elementos y de los cuatro poliedros anteriores, que los átomos de tierra son cubos, los de agua octaedros, los de aire icosaedros y los de fuego tetraedros. Como le queda una última configuración regular (el dodecaedro) la asocia con el cosmos, con la quintaesencia. Como podemos comprobar, la idea de belleza está presente en toda la creación platónica, relacionada con la de bondad, simplicidad y orden. Esta idea de belleza sigue considerándose así a lo largo de la historia de la humanidad. Repasaremos a continuación algunos ejemplos.

Figura 4 Proporciones medievales Vitruvio decía que un edificio es bello cuando la apariencia de la obra es agradable y de buen gusto, y cuando sus miembros son de las debidas proporciones de

23 acuerdo a los principios correctos de “simetría” (donde “simetría” significa “una concordancia correcta entre los miembros de la obra misma, y relación entre las diferentes partes y el esquema general del conjunto en concordancia con una cierta parte elegida como estándar”). En la Edad Media, la investigación de la belleza solía ser clasificada como una rama de la teología. El argumento era que la belleza es un atributo de Dios. El investigador más notable fue San Agustín. Dijo que la belleza consiste en unidad y orden que surgen de la complejidad. Tal orden podría ser, por ejemplo, ritmo, simetría o simples proporciones. Tomás de Aquino (1225 - 1274), escribió sobre la esencia de la belleza. Pensaba que la belleza era el resultado de tres prerrequisitos: integridad o perfección, armonía y claridad o brillantez. El mayor arquitecto-escritor del Renacimiento, Leon Battista Alberti (1404-72), puso el énfasis en los atributos formales de los edificios y sus detalles, proporcionalidad y ornamentación. La Belleza es “una armonía de todas las Partes, en cualquier sujeto en que aparezca, ensamblado con tal proporción y conexión, que nada podría añadirse, disminuirse o alterarse, si no es para peor”. Como curiosidad quiero añadir que el estudio de la belleza como una cualidad de los objetos fue reavivado en un enfoque moderno en 1928 cuando el matemático norteamericano George David Birkhoff presentó la siguiente ecuación: cantidad de orden valor est´etico = complejidad del artefacto El mismo Birkhoff sometió a prueba la ecuación diseñando un vaso (Figura 5) que, en su opinión, tenía un gran valor de belleza.

Figura 5 Vaso de Birkhoff No es Birkhoff el único matemático que se preocupa por la belleza. Hardy decía que no hay lugar en el mundo para las matemáticas feas. ¿Cuáles son las matemáticas más bellas? No sé responder a esta pregunta. A mí todas las matemáticas me parecen guapas. Sí sé responder a otra pregunta: ¿cuáles son los teoremas más bellos? Me fío de David Wells, quien, hacia 1989, publicó un listado de los teoremas más bellos en el Mathematical Intelligencer. En la actualidad puede encontrarse un listado similar en la siguiente página web:

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2. La Divina Proporción www.geocities.com/CapeCanaveral/Lab/6386/geobook.html

Además puede votarse por el teorema que más le guste a cada visitante. Reproducimos, por orden de belleza, un listado de algunos de los teoremas que allí aparecen referidos. 1.- eiπ = −1 2.- Fórmula de Euler: V + F = E + 2. 3.- El número de primos es infinito. 4.- Existen 5 poliedros regulares. n X π2 1 5.= lim . 2 n→∞ 6 k k=1 6.- Una aplicación continua del disco unidad en sí mismo tiene un punto fijo. √ 7.- 2 no es racional. 8.- π es trascendente. 9.- Todo plano puede ser coloreado con 4 colores. 10.- Todo número primo de la forma 4n+1 es la suma de dos cuadrados de exactamente una manera. 13.- Un icosaedro regular inscrito en un octaedro regular divide los ejes en la Razón áurea. Remarcaremos que los que ocupan los lugares 2◦ , 4◦ , 7◦ y 13◦ tienen relación directa con el tema que estamos tratando y que en todos los que aparece el número π indirecta, como veremos más adelante. Experimento Antes de continuar vamos a hacer un pequeño experimento. En la Figura 6 aparecen cinco rectángulos pintados cada uno de diferente color. Pedimos al lector que, haciendo abstracción del color en que cada uno está pintado, piense cuál le resulta más agradable por su forma, por sus proporciones. Confío en que, la mayoría de los observadores hayan elegido el rectángulo azul (¡menudo chasco si no es así!). El rectángulo rojo es el que marca el formato 16/9 (el de las televisiones panorámicas), √ el verde es el habitual de las hojas A0, A1, A2, A3, A4. . . es decir el formato 2,5 el amarillo es el 36/24 de las fotografías y √ Si a y b denotan, las longitudes de los lados de un rect´angulo y se verifica que ab = 2, √ tambi´en b/ a2 = 2. Es decir, doblando por la mitad del lado m´as largo este rect´angulo se 5

25 diapositivas; el que está en blanco y negro tiene en su interior una galaxia, lo hemos dejado así pues del cosmos y de la creación del universo algo hemos hablado. Del azul es del que nos vamos a ocupar.

Figura 6 Rect´angulos (rojo, amarillo, verde, azul y cosmos) En 1876, Fechner6 , inventor de la psicología física, estudió las ideas de belleza √ obtiene en cada una de las dos partes otro rect´angulo 2. 6 Gustav Theodor Fechner naci´o el 19 de abril de 1801. Muri´o el 18 de noviembre de 1887. Estudi´o medicina en la Universidad de Leipzig, Alemania, y posteriormente fue profesor de F´ısica en esta misma universidad. Fue el padre de la Psicof´ısica (vinculaci´on de sensaci´on y percepci´on con magnitudes de est´ımulos f´ısicos.) El inter´es de Fechner por la psicof´ısica derivaba de su esperanza de resolver con ella el cl´asico problema de la mente y el cuerpo. Fechner cre´ıa que hab´ıa resuelto dicho problema, demostrando gracias a la psicof´ısica que mente y cuerpo son s´olo dos aspectos distintos de una misma realidad subyacente.

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e hizo experimentos en su laboratorio sobre las preferencias estéticas de gente corriente sin ningún aprendizaje estético. Pidió a numerosas personas que escogieran entre diferentes rectángulos (incluyendo el cuadrado) aquél cuya forma les agradase más. Los rectángulos que resultaron mayoritariamente elegidos fueron los que tienen proporciones similares a las del azul.

Figura 7 Gustav Theodor Fechner Este rectángulo tiene una importante característica geométrica, similar a la del verde, que puede observarse en la figura 8 si se “quita” un cuadrado de lado la parte más pequeña, la región que queda es otro rectángulo de las mismas proporciones que el original.

Figura 8 Varios rect´angulos de las mismas proporciones

Proporciones (El número de oro) Así pues, aunque hay otras definiciones y opiniones acerca de lo que es la belleza, buena parte de las mismas coinciden en que la belleza es armonía en las proporciones. Estudiemos pues proporciones. Y, como queremos seguir siendo modernos, volvamos a lo antiguo: ¿qué entendían los griegos por proporción? Entendían por proporción la igualdad de dos razones y por razón el cociente de dos magnitudes homogéneas. Las magnitudes deben ser medidas y para ellos se necesitan números, pero, por ahora mejor no entramos en lo que los griegos entendían por número, ni las ciencias que lo estudian: Aritmología (Mística del

27 Número) que se ocupa del número puro; Aritmética, que se ocupa del número científico abstracto y Cálculo, que trata de números concretos. Vamos a hacer como siempre han hecho los matemáticos para tratar de cosas complicadas, comenzamos simplificando y tratando los casos más sencillos. De paso, comenzamos a cumplir alguno de los requisitos que Chicho exigía para las charlas de Matemáticas: ¡que haya alguna fórmula!

Figura 9 Consideramos la figura geométrica más sencilla que podamos imaginar (Figura 9): un segmento de línea con extremos A y B. Consideramos un punto M que esté en el segmento. Vamos a estudiar la forma en la que este punto M parte o divide el segmento original. Denotamos por a el segmento AM por b el segmento MB y por c el segmento AB. Podemos formar las siguientes 6 razones: a a b b c c ; ; ; ; ; b c a c a b Obviamente con estas 6 razones podemos formar las siguientes 15 proporciones (combinaciones de 6 elementos tomadas de 2 en 2). i) ii) iii) iv) v) vi)

a a b c b c = ; = ; = b c a a c b a c b b a c = ; = ; = b b a c c a a c c b = ; = c b a c a b c c a b = ; = ; = c c a b b a a c b a = ; = b a a c b b c a = ; = b c a b

De cualquiera de las tres primeras proporciones se obtiene que b = c es decir, que el punto M concide con el punto A, luego no hay partición del segmento. De las tres segundas se obtiene a = c, el punto M coincide con el punto B y tampoco

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hay partición. La igualdad propuesta en iii) es imposible pues una razón es mayor que 1 y la otra menor que 1. Nos quedan pues 7 razones “vivas”. De iv) se sigue que a = b , es decir obtenemos una partición simétrica (M es el punto medio del segmento). De v) y de vi) se sigue que la longitud de AB se ha dividido en dos partes desiguales de modo que la mayor es a la menor como la suma de las dos es a la mayor. b+a a = a b Dicho de otra forma, el punto M divide al segmento AB en media y extrema raz´ on. Esta es la partición asimétrica más directa y más en armonía con el mínimo esfuerzo. Esta igualdad puede escribirse: b2 + ab = a2 y, haciendo ab = x, se obtiene la ecuación: x2 − x − 1 = 0, de soluciones:

√ 1+ 5 ; 2 cuyo producto es −1 y cuya suma es 1.

√ 1− 5 2

A la primera de estas raíces, siguiendo a Mark Barr y a Schooling en los anexos de Las curvas de la vida, la denotamos por φ, en honor a Fidias. Este número es llamado (se dice que por primera vez por Leonardo) el n´ umero de oro. Observaciones sobre φ i) Obviamente φ es un número irracional ya que es solución de la ecuación x2 − x − 1 = 0, cuyas únicas posibles raíces racionales son 1 y −1. ii) φ es un número algebraico (no es trascendente). Recordar que los números algebraicos son aquellos que pueden ser raíces de una ecuación algebraica de coeficientes racionales cuyos términos sean potencias enteras de x. Algunos de estos números (como es el caso de φ) pueden ser representables por una construcción euclidiana, es decir, con regla y compás.

Propiedades de φ i) φ2 = 1 + φ. (φ es solución de la ecuación x2 − x − 1 = 0). ii) φ = 1 + 1/φ . iii) φ = 1, 618 . . .; 1/φ = 0, 618 . . .; φ2 = 2, 618 . . .

29 iv)

φ2 φ3 φ4 φ5 .. . φn

= = = =

1 φ φ2 φ3 . = .. = φn−1

+ + + +

φ φ2 φ3 φ4 . + .. + φn−2

Esta relación es válida para valores negativos y fraccionarios de los exponentes. Notar que esta progresión geométrica (1, φ, φ2 , φ3 , . . . ) cuya razón es φ verifica que cada término es la suma de los dos anteriores. En realidad esto es válido para cualquier progresión geométrica cuya razón sea φ. Algunos autores dicen: esta serie es, pues, a la vez multiplicativa y aditiva, es decir, participa al mismo tiempo de la naturaleza de una progresi´ on geom´etrica y de una aritm´etica. v)

φ0 φ1 φ2 φ3 φ4 φ5 φ6 .. .

= = = = = = =

1 1 2 3 5 8 13 . = ..

+ + + + + + +

1/φ 1/φ 2/φ 3/φ 5/φ 8/φ . + ..

Notar que en la segunda y tercera columna (en los numeradores) aparece la sucesión 1,1,2,3,5,8,13,21,. . . √ vi) φ = 1/2 (1 + √5) φ2 = 1/2 (3 + √5) φ3 = 1/2 (4 + 2√5) φ4 = 1/2 (7 + 3 √5) φ5 = 1/2 (11 + 5√5) φ6 = 1/2 (18 + 8 5) .. . . = .. Notar que en la segunda columna aparece la sucesión 1,3,4,7,11,18,. . . y en la tercera columna la sucesión 1,1,2,3,5,8,13,21. . . √ vii) Denotar ψ = 1/2 (1 − 5). Entonces:

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√ 1/2 (1 − √5) 1/2 (3 − √5) 1/2 (4 − 2√5) 1/2 (7 − 3 √5) 1/2 (11 − 5√5) 1/2 (18 − 8 5) . = .. viii) Sumando las igualdades de los dos ítems anteriores obtenemos: φ + ψ = 1 φ2 + ψ 2 = 3 φ3 + ψ 3 = 4 φ4 + ψ 4 = 7 φ5 + ψ 5 = 11 φ6 + ψ 6 = 18 .. . . = .. ψ ψ2 ψ3 ψ4 ψ5 ψ6 .. .

ix) y restándolas:

x)

φ φ2 φ3 φ4 φ5 φ6 .. .

= = = = = =

v u u t φ= 1+

− − − − − −

ψ = ψ2 = ψ3 = ψ4 = ψ5 = ψ6 = . = .. s r 1+

1+

√ √5 √5 2 √5 3 √5 5 √5 8 5

q √ 1 + ...

Para obtener esta ecuación basta aplicar “indefinidimente” la fórmula φ2 = 1 + φ. 1 xi) φ=1+ 1 1+ 1 1+ 1 1+ 1 1+ 1 + ... Para obtener esta ecuación basta aplicar “indefinidamente” φ = 1 + 1/φ.

31 1 = φ

xii)

1 1

1+

1

1+

1

1+ 1+

1 1 + ...

Consecuencia inmediata del ítem anterior. Conejos y pasatiempos Las sucesiones 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 . . . . y 1 3 4 7 11 18 29 47 76 123 199 322 . . . . que han aparecido repetidamente en la subsección anterior son, respectivamente, las sucesiones de Fibonacci y de Lucas.

Figura 10 Leonardo de Pisa (Fibonacci) El primero de ellos, Leonardo de Pisa (Figura 10), conocido como Fibonacci (hijo de buen carácter) nació en Pisa hacia 1170 y murió alrededor de 1250 (es contemporáneo de Ricardo Corazón de León). Estuvo en contacto con la cultura árabe y escribió, además de Practica Geometriae (1220) y Liber quadratorum (1225), el Liber Abaci (libro del ábaco) en 1202, de éste último sólo se conserva la versión de 1228. En él, entre otras cosas, resalta la importancia del sistema de numeración indoarábido7 . En las páginas 123 y 124 de este libro propone el conocido problema 7

Como curiosidad cabe resaltar que el primer documento del occidente europeo en el que

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sobre el nacimiento de conejos que da lugar a esta famosa sucesión que, curiosamente, aparece en multitud de situaciones en la naturaleza. Cabe resaltar que la sucesión cuyos términos son los cocientes de los números consecutivos de la sucesión de Fibonacci converge a φ. El segundo de ellos, Francois Edouard Anatole Lucas (1842-1891) (Figura 11), es conocido por sus resultados en teoría de números y en particular por haber estudiado la Sucesión de Fibonacci. Probó (¡sin ordenador!) que el número de Mersenne 2127 −1 = 170141183460469231731687303715884105727 es primo. Escribió entre 1882 y 1894 los cuatro tomos de R´ecr´eations math´ematiques, famoso libro de pasatiempos matemáticos, y fue el inventor del juego Las Torres de Hanoi, que apareció en 1883 como inventado por M. Claus (acrónimo de Lucas).

Figura 11 F. Edouard Anatole Lucas Or´ıgenes de φ Antes de continuar poniendo fórmulas y hablando de las propiedades algebricas de φ es conveniente hacer algunos comentarios sobre este número y la forma de obtenerlo. 1.- La división de un segmento en dos de tal manera que la “medida” del segmento dividida por la “medida” del trozo mayor sea igual que la “medida” del trozo mayor dividida por la del trozo menor, viene propuesta en la proposición 30 del libro VI de Los Elementos de Euclides: Dividir una recta finita dada en extrema y media raz´ on. Si bien esta proporción aparece antes en la Proposición 11 del libro II: Dividir una recta dada de manera que el rect´ angulo comprendido por la (recta) aparecen escritas las cifras indoar´abigas, del que se tienen noticias, es el C´odice Vigilanus, del siglo X; el documento est´a escrito por el monje Vigila en el desaparecido monasterio de San Mart´ın que estaba situado en Albelda (La Rioja). No est´a escrito el 0.

33 entera y uno de los segmentos sea igual al cuadrado del segmento restante. Reproducimos (Figuras 12 y 13) dos imágenes que explican dos sencillas maneras de obtener la división de un segmento en extrema y media razón y de construir un rectángulo áureo (el cociente de las longitudes de sus lados es φ). La comprobación de que el punto B divide al segmento AC en extrema y media razón es una simple aplicación del teorema de Pitágoras. Notar que únicamente se necesita regla y compás para obtener un segmento cuya medida sea φ o 1/φ; basta considerar AC como unidad de longitud para lo primero o bien AB para lo segundo.

Figura 12 Divisi´on en media y extrema raz´on

Figura 13 rect´angulo a´ ureo 2.- ¿Por qué los griegos se preocuparon de dividir un segmento en extrema y media razón? La contestación tiene que ver con la armonía, la belleza, la cosmología, la primera gran crisis de fundamentos matemáticos, la creación de método axiomático-deductivo, etc. Trataré de dar algunas ideas al respecto. Antes de Grecia la matemática tenía una carácter empírico. Carecía de la idea de demostración. Esto no quiere decir que no obtuviese logros importantes, pero desde

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2. La Divina Proporción

luego es en Grecia donde la matemática toma su carácter actual. El nacimiento de la matematica está ligado a las cuencas de grandes ríos; no sólo el Nilo, también el Eufrates y el Tigris de Mesoptamia, el Indus y el Ganges en la India y el Hwang Ho y el Yangtze en China. Se conservan algunas tablas de arcilla de la zona de Mesopotamia (las más antiguas son del 3000 a. C.) y algunos papiros de Egipto, fundamentalmente los de Moscú y Rhind (1850 a. C.; 1650 a. C.) el primero contiene 25 problemas y el segundo 85. No hay vestigios antiguos de las geometrías india y china, probablemente por los materiales que utilizaron (bambú, etc). Son los griegos los que convierten las matemáticas en la ciencia axiomáticodeductiva que es hoy. Como ya hemos comentado antes, el primer gran matemático del que tenemos noticia es Tales y el segundo Pitágoras. Éste, según dicen, oyendo los sonidos de martillos de diferentes tamaños, concibe la idea de la relación de los números con la armonía musical. Se da cuenta de que las longitudes de una cuerda que proporcinan una nota, su cuarta, su quinta y su octava son proporcionales a los números 12, 9, 8 y 6, o bien a 1, 34 , 32 y 2, es decir, que las notas fundamentales están determinadas por 1, 2, su media aritmética y su media armónica. O, dicho de otra manera, están determinadas por los números 1, 2, 3 y 4. Estos hechos, y otros, conducen a Pitágoras y a los Pitagóricos a buscar el orden y la armonía del universo en la ciencia de los números. En su juramento de silencio nombran al Maestro (Pitágoras) y a la Tetracto, que era la sucesión de los 4 primeros números naturales, considerada como sucesión y como conjunto: 1 + 2 + 3 + 4 = 10. 10 es el cuarto número triangular y tiene las cualidades trascendentes de la Década (número simbólico del Universo). Su mitad, la Péntada, característica del cinco, participa de la esencia e importancia de la década y es también el número de Afrodita, diosa de la unión fecundadora, del Amor generador, arquetipo abstracto de la generación. En efecto, 5 es combinación del primer número par, femenino (dos, díada) y del primer número impar, masculino (tres, tríada). La péntada es también el número de la armonía en la salud y la belleza realizadas en el cuerpo humano. Su imagen gráfica es el pentagrama, que llegó a ser el símbolo de los Pitagóricos y de otras muchas sociedades secretas, satánicas, cabalísticas, etc. Llegados a este punto, al pentagrama, vamos a analizar ahora algunas relaciones numéricas que se dan entre la diagonal y el lado del pentágono regular y de la forma en que pudieron descubrirse las magnitudes inconmensurables, o sea, los números

35 irracionales. Dos son las hipótesis, la primera es la relación de la hipotenusa con el lado del triángulo rectángulo isósceles. La segunda, la relación entre la diagonal del pentágono y el lado del mismo. La primera es de sobra conocida. La segunda se obtiene mediante un proceso similar al del algoritmo de Euclides para calcular el máximo común divisor de dos números (lo que los griegos llamaban la antiphairesis). Iniciando el proceso en la relación de la diagonal con el lado y repitiéndolo tres veces, se llega a la misma relación de la diagonal del pentágono que determinan las diagonales del pentágono original y su lado. De tal manera que el proceso se repite indefinidamente sin llegar a ningún “divisor” común.

Figura 14 Relaci´on entre la diagonal y el lado de un pent´agono regular Vamos a hacer, en la Figura 14 la antiphairesis de la diagonal del pentágono con su lado con el objetivo de conseguir el segmento que “mide” a los dos. En la figura se observa que: i) EB = EG + GB ; notar que EG = EA, luego EB = EA + GB. La diagonal del pentágono contiene al lado del mismo y le sobra “el trozo pequeño” de la división que produce en ella otra diagonal. ii) EA = EF + F G; notar que EF (= HG) es la diagonal del pentágono determinado por las diagonales y F G el lado del mismo. iii) HG = HK + KG, ahora bien, HK = F G, luego HG = F G + KG, que es exactamente la misma relación que la obtenida en el primer paso.

36

2. La Divina Proporción

Es obvio que este proceso puede seguirse indefinidamente. Es decir jamás encontraremos un segmento que esté contenido un “número exacto” de veces en la diagonal y en el lado. Por lo tanto la diagonal y el lado de un pentágono regular son segmentos inconmensurables. Por otra parte, ¿cuál es entonces la relación entre la diagonal y el lado? Veamos: i) Notar que los triángulos EAB y BGA son semejantes, como consecuencia: ii)

EB AB

=

AB ; GB

iii) Haciendo EG = a y GB = b, se obtiene: a+b a = . a b Es decir, la relaci´ on entre la diagonal y el lado del pent´ agono regular es φ. Como consecuencia, φ pudo haber sido el primer número irracional conocido.

Relaciones de φ Con el Tri´ angulo de Pascal. Recordemos que φn = φn−1 + φn−2 . Aplicando reiteradamente esta igualdad obtenemos la siguiente tabla: φn φn φn φn φn φn φn

= = = = = = =

1φn 1φn−1 1φn−2 1φn−3 1φn−4 1φn−5 ···

+ + + + + + +

1φn−2 2φn−3 3φn−4 4φn−5 5φn−6 ···

+ + + + +

1φn−4 3φn−5 6φn−6 10φn−7 ···

+ + + +

Fijándonos en los coeficientes de la parte triángulo de Pascal 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 6 15 20 15 ··· ··· ··· ··· ···

1φn−6 4φn−7 + 1φn−8 10φn−8 + 5φn−9 + 1φn−10 ··· + ··· + ··· ··· derecha de las igualdades, queda el

1 6 1 ···

···

37 Como ya es conocido, cada una de las filas del triángulo son los coeficientes del desarrollo del binomio de Newton. Lo que no es tan conocido es que en la segunda columna aparecen los núneros naturales n, en la tercera los números triangulares n(n + 1) , 2! en la cuarta los números tetra´edricos n(n + 1)(n + 2) , 3! en la quinta los penta´edricos n(n + 1)(n + 2)(n + 3) , 4! etc. Diferencias finitas Consideramos la sucesión infinita . . . , φ−n , . . . , φ−2 , φ−1 , 1, φ, φ2 , φ3 , φ4 , φ5 , φ6 , φ7 , φ8 , φ9 , . . . , φn , . . . calculando sus diferencias primeras y, teniendo en cuenta que φn − φn−1 = φn−2 , volvemos a obtener la misma sucesión . . . , φ−2 , φ−1 , 1, φ, φ2 , φ3 , φ4 , φ5 , φ6 , φ7 , φ8 , φ9 , . . . , φn , . . . Evidentemente, lo mismo ocurre si calculamos las diferencias segundas, terceras, etc. Relaciones “trascendentes” de φ Vamos a analizar si el número de oro tiene alguna relación con los dos números trascendentes más importantes de las matemáticas: e y π. Para ello vamos a recordar algunos desarrollos de estos últimos: i) e = 2,71828128. . . . ii) e = lim (1 + n→∞

1 n ) . n

iii) e=1+

1 1 1 1 1 + + + + ... + + ... 1 2! 3! 4! n!

38

2. La Divina Proporción

iv)

1

e=2+

1

1+

1

2+

1

1+

1

1+

1

4+

1

1+

1

1+ 8+

1 1 + ...

v) π = 3,14159265. . . . vi) π=

22 × 42 × 62 × 82 × . . . . 32 × 52 × 72 × 92 × . . .

vii) Recuerdo especial

viii)

ix)

n X 1 π2 = lim . n→∞ 6 k2 k=1

π2 1 1 1 1 = 2 + 2 + 2 + 2 + ...+ 8 1 3 5 7 4 =1+ π

1 32

2+

52

2+

72

2+ 2+

92 112 2+ 132 2+ 2 + ...

Relaciones con e • Una primera similitud es que en los desarrollos de estos números irracionales se ven aparecer “cortejos rimados” de números naturales.

39 • De la relación de φ con el triángulo de Pascal, obtenemos una segunda relación con el número e. Proviene del hecho reflejado en el ítem ii), los coeficientes de la sucesión cuyo límite es e son los números de las filas del triángulo de Pascal. • Una tercera similitud es que todas las derivadas de la función y = ex son la misma función. Hemos puesto de manifiesto que realizando diferencias finitas en la sucesión φ se vuelve a obtener la misma sucesión. Relaciones con π La relación con π está mas cogida por los pelos pero, precisamente por ello, es muy curiosa. • Evidentemente hay una relación indirecta entre φ y π que viene dada a través de e. Basta recordar las dos siguientes relaciones: 1 + eiπ = 0;

n!

√ = n→∞ nn e−n n lim

√

2π.

• Una curiosa segunda relación se debe a los siguientes hechos: p 4 π2 1 = 1, 273 · · · ; φ = 1, 272 · · · ; = 0, 617 · · · ; = 0, 618 · · · π 4 φ Vamos a detenernos ligeramente en esta relación. Es bien conocido que el triángulo rectángulo 3, 4, 5 es (esencialmente) el único cuyos lados están en progresión aritmética8 . Nos preguntamos ahora cuántos triángulos rectángulos existen de tal manera que sus lados estén en progresión geométrica. Llamamos a y b a los catetos y c a la hipotenusa. Se verifica, por una parte, que: c2 = a2 + b2 , y, por otra, al estar los lados en progresión geométrica que: b c = ; b a

ca = b2 .

Es decir c2 = a2 + ac. 8

Los agrimensores egipcios ya usaban cuerdas divididas en 12 partes iguales con el fin de “construir” ´angulos rectos.

40

2. La Divina Proporción

Como consecuencia, c = φ; a

c b p = = φ = 1, 272 · · · b a

Es decir, el único triángulo rectángulo cuyos √ lados están en progresión geométrica es (esencialmente) aquel cuya razón es φ. En este triángulo rectángulo ABC el ángulo en B vale 51◦ 50’. . . . Volvemos a Egipto En 1840, el general Howard Vyse midió el ángulo en la base del triángulo meridiano de la gran pirámide del Gizeh y obtuvo que ese ángulo es precisamente 51◦ 50’, es decir, el semitriángulo “central” de la gran pirámide es semejante al triángulo “aúreo”. Piazzi-Smyth9 encontró la aproximación 148,208 m para la altura de la gran pirámide y 232,805 m para el lado de la base.

Figura 15 Tri´angulo meridiano de la Pir´amide de Keops Ahora bien, haciendo las cuentas oportunas, se obtiene: 148, 2 = 1, 273 ; 116, 4

148, 2 = 1, 272 116, 5

lo que ha hecho ver diferentes relaciones en la construcción de la gran pirámide, unas veces con π y otras con la razón aurea. Es decir se puede suponer que, si llamamos h a la altura de la gran pirámide, 2a al lado de la base y c a la hipotenusa del triángulo meridiano formado por a y h los constructores de la gran pirámide 9

Charles Piazzi Smyth (Astr´onomo Real de Escocia, denominaci´on que hasta recientemente otorgaba la Corona brit´anica a sus astr´onomos m´as eminentes) organiz´o un experimento en el Monte de Guajara, en la isla de Tenerife, a 2.715m de altitud (cumbre m´as elevada del Teide, al sur de la Caldera de las Ca˜ nadas).El principal objeto de esta expedici´on era determinar c´omo podr´ıan mejorar las observaciones astron´omicas eliminando el efecto de la baja atm´osfera. Adem´as, en esta expedici´on se tomaron medidas geol´ogicas y meteorol´ogicas de la zona, observaciones de la Luna (las primeras infrarrojas), de los planetas, de estrellas dobles y de la radiaci´on ultravioleta del Sol.

41 hayan querido reproducir:

c h p = = φ. h a También es posible pensar que lo que realmente han querido reproducir es: h 4 = a π

;

a π = , h 4

lo que implica: 8a = 2φ y como consecuencia se obtiene que el cociente entre el área de la base (4a2 ) y el área de la sección meridiana (ha) de la gran pirámide es precisamente π. Igualmente es posible suponer que el perímetro de la base (4a) es precisamente el perímetro de la circunferencia de radio h. Conclusión: el constructor de la gran pirámide consiguió la cuadratura del círculo. Algunos egiptólogos (Piazzi-Smyth, Petrie) defendieron la teoría de π. Otros (W Price), sin embargo defendieron la teoría aurea. Parece más probable esta última pues emana de una construcción geométrica más rigurosa. Curiosamente, el abad Moreux, autor de La science myst´eriuse des Pharaons que fue partidario de la tesis π dice: “Herodoto relata que los sacerdotes egipcios le habían enseñado que las proporciones establecidas para la Gran Pirámide entre el lado de la base y la altura eran tales que el cuadrado construido sobre la altura vertical era exactamente igual al área de cada una de las caras triangulares”. Traduciendo esto a lenguaje matemático se obtiene la hipótesis aurea.

¿Por qué Divina Proporción? Falta cumplir uno de los compromisos iniciales. Ya hemos señalado que la división de un segmento en media y extrema razón se conoce desde antiguo, que se ha utilizado como canon de belleza, que ha guiado la construcción de muchos edificios y ha sido el esquema base de muchas obras de arte. ¿De dónde viene el nombre de Divina Proporción? La respuesta la encontramos en el libro al que hemos aludido al principio: La Divina Proporción, de Fra Luca Pacioli (Figura 16).10 Fra Luca da las siguientes razones: 10

De los tres c´odices de la Divina Proporci´on que Fra Luca Pacioli mand´o copiar se conservan el que el autor dedic´o al Duque de Mil´an Ludovico il Moro, en la Biblioteca C´ıvica de Ginebra, y otro en la Biblioteca Ambrosiana de Mil´an. M´as tarde, en 1509, el libro fue impreso en Venecia por Paganino Paganini.

42

2. La Divina Proporción

Figura 16 LUCA PACIOLI 1.- “es una sola y no más” (unidad supremo epíteto de Dios mismo); 2.- “una misma proporción se encontrará siempre entre tres términos, y nunca de más o de menos” (como la Santísima Trinidad); 3.- “no puede nunca determinarse con un número inteligible ni expresarse mediante cantidad racional alguna” (Dios no puede definirse propiamente); 4.- “es siempre la misma y siempre invariable y de ninguna manera puede cambiar” (Dios no puede cambiar); 5.- “confiere, según Platón, el ser formal al cielo mismo” (Dios confiere el ser a la virtud celeste). No quiero acabar sin comentar alguna curiosidad, que me parece interesante. En el Capítulo I de La divina Proporción, el autor agradece al Duque de Milán su mecenazgo sobre las artes y la ciencias y, entre otras cosas, escribe: . . . Vuestra Alteza dijo, con sus ´aureas y melifluas palabras, que es digno de grand´ısima consideraci´ on de Dios y del mundo aquel que, estando dotado de alguna virtud, la comunica a los dem´as de buen grado, cosa que es caridad para con el pr´ojimo y alabanza y honor para ´el mismo, imitando el sagrado dicho quod ne sine figmento didice et sine invidia libenter comunico . . . . . . grandemente excitado por las mencionadas palabras recobr´e aliento en la solitaria pendiente

43 para preparar este breve compendio y util´ısimo tratado titulado La Divina Proporci´ on. . . . . . como afirman Arist´ oteles y Averroes, nuestras matem´aticas son las m´as verdaderas de las cosas verdaderas, en el primer grado de la certeza, y a ellas siguen todas las dem´as ciencias naturales. . . Estos párrafos, en mi opinión, explican buena parte del pensamiento y de la conducta de los matemáticos. Creemos que “nuestras matemáticas son las más verdaderas de las cosas verdaderas” y por otra parte que “es digno de grandísima consideración de Dios y del mundo aquel que, estando dotado de alguna virtud, la comunica a los demás de buen grado, cosa que es caridad para con el prójimo y alabanza y honor para él mismo”. Por lo tanto, no sólo no es necesario patentar teoremas ni algoritmos; es obligación difundirlos.

Más Divina Proporción El equilibrio entre el saber y el poder est´a hoy roto en partes. El instinto s´ olo da fragmentos; pero el arte magno debe corresponder al hombre completo. La Divina Proporci´ on es la medida generalizada. Paul Valèry La sucesión de Fibonacci o la razón áurea aparecen en multitud de ocasiones en la naturaleza y en el arte (. . . es la medida generalizada). Señalo (porque no hay espacio para más) alguno de ellos: arquitectura, diseño, filotaxia, proporciones del cuerpo humano, danza, música, pintura, urbanismo, tipografía, fractales, etc. Hasta Alan Turing se dedicó a estudiar la razón por la que esta proporción aparecía tanto en la Naturaleza. Para hacerse idea de ello, recomiendo uno de los textos literarios que han aparecido en www.divulgamat.net (página web de divulgación de la Real Sociedad Matemática Española), concretamente el de 2 de abril de 2004; se trata de un texto correspondiente a “El código da Vinci” de Dan Brown. El tratado La Divina Proporción está ilustrado con dibujos realizados por Leonardo de diferentes poliedros. Estudiando el tratado y analizando profundamente los maravillosos dibujos de Leonardo, he llegado a la conclusión de que, efectivamente, la divina proporción “el Universo armónico origina”. Para cerciorarse de ello, no hay más que contemplar la siguiente figura que pone de manifiesto cómo Leonardo, además de pintor, diseñador, cocinero,. . . , era futurólogo y vislumbró con gran precisión cuál iba a ser, rodando los tiempos, la actividad que iba a mover el mundo . . . ¡EL FÚTBOL! Por último, creo que, una vez que ha aparecido el fútbol, hay que finalizar el tema poéticamente, con un soneto que Rafael Alberti dedicó a la Divina Proporción:

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2. La Divina Proporción A ti, maravillosa disciplina, media, extrema raz´ on de la hermosura, que claramente acata la clausura viva en la malla de tu ley divina. A ti, c´arcel feliz de la retina, aurea secci´ ´ on, celeste cuadratura, misteriosa fontana de mesura que el Universo arm´onico origina. A ti, mar de los sue˜ nos angulares, flor de las cinco formas regulares, dodecaedro azul, arco sonoro. Luces por alas un comp´ as ardiente. Tu canto es una esfera transparente. A ti, divina proporci´ on de oro.

Existen muchísimas páginas web que tratan del número de oro. el lector tiene toda internet disponible para encontrarlas. Igualmente, hay muchísima bibliografía que trata los temas de los que hemos hablado; doy tres referencias que son básicas.

Bibliografía [1] Ghyka Matila C. El N´ umero de Oro I y II, Poseidón, 1968. [2] Ghyka Matila C. Est´etica de las proporciones en la naturaleza y en las artes, Poseidón, 1977. [3] Pacioli Luca. La Divina Proporci´ on, Ediciones Akal, S.A. 1991. Traducción del original de 1509.

1

UNIDAD IZTAPALAPA

´ LA PROPORC´ION AUREA

CARLOS ANTONIO PEREA FIGUEREDO

ASESORA: DRA. LAURA HIDALGO SOL´IS

´INDICE GENERAL

1.. Historia del n´ umero ´ aureo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

2.. Construcci´ on del n´ umero ´aureo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

3.. N´ umeros de Fibonacci, el n´ umero ´aureo y la f´ormula de Binet . . .

20

4.. N´ umero ´ aureo y su relaci´on con las bellas artes . . . . . . . . . . .

50

4.1.

Leon Batista Alberti (1404-1472) . . . . . . . . . . . . . . . .

53

4.2. Rect´ angulos est´ aticos y din´amicos . . . . . . . . . . . . . . .

57

4.3.

Piero della Francesca (1416-1492) . . . . . . . . . . . . . . .

65

4.4. Alessandro Di Mariano Filipepi (Sandro Botticelli) 1444-1510

67

4.5.

Luca Pacioli (1445-1517) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

71

4.6. Leonardo da Vinci (1452-1519) . . . . . . . . . . . . . . . . .

75

4.7.

Alberto Durero (1471-1528) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

81

4.8. Jacopo Robusti Tintoretto (1518-1594) . . . . . . . . . . . . .

93

4.9.

96

Georges Pierre Seurat (1859-1891) . . . . . . . . . . . . . . .

4.10. Diego Rivera (1886-1957) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 4.11. Salvador Dal´ı Dom`enech (1904 - 1989) . . . . . . . . . . . . . 108 5.. Cuerpo Humano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 6.. Perspectiva lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 7.. Los Inicios de la Geometr´ıa Proyectiva . . . . . . . . . . . . . . . 144 7.1. La Geometr´ıa Proyectiva de Desargues . . . . . . . . . . . . . 144 7.1.1. El teorema funadmental de Desargues para tri´angulos 151

´Indice general

3

7.1.2. La raz´ on cruzada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 7.2. Los resultados posteriores a Desargues . . . . . . . . . . . . . 160

RESUMEN

El objetivo del presente trabajo en mostrar algunos ejemplos de aplicaciones de la matem´ atica en el arte, y del arte en las matem´aticas, entre ellos estudiaremos: Las proporciones, en esta parte mostraremos, por medio de diversos ejemplos, c´ omo existen numerosas soluciones v´alidas al problema de la distribuci´ on de las formas. Proporciones est´ aticas. Proporciones din´ amicas. Entre las proporciones din´amicas, pondremos especial atenci´on en la proporci´ on ´ aurea, y estudiaremos su relaci´on con los n´ umeros de Fibonacci. Asimismo, el hecho de responder al problema de los pintores: ¿Cmo representar un espacio tridimensional en un plano, el cual tiene dimensin dos? nos lleva a los fundamentos de la perspectiva, la cual di´o origen a una bella e importante rama de la geometr´ıa, a saber, la geometr´ıa proyectiva. En la primera parte del trabajo presentamos la historia del n´ umero ´aureo, su construcci´ on y su relaci´ on con los n´ umeros de Fibonacci, lo cual constituye los cap´ıtulos 1 al 3 del presente trabajo. En la segunda parte, se presenta el n´ umero ´ aureo y su relaci´on con las bellas artes. En la tercera parte se presenta la relaci´ on entre la proporci´on ´aurea y las proporciones humanas y en la cuarta y u ´ltima parte, se presentan los fundamentos de la perspectiva lineal.

´ ´ 1. HISTORIA DEL NUMERO AUREO

El n´ umero ´ aureo es un n´ umero irracional, el cual se define como

√ 1+ 5 2

∼ =

1,6180339887..., este n´ umero ha sido tema de estudio de matem´aticos, f´ısicos, fil´ osofos, arquitectos, pintores y m´ usicos desde la antig¨ uedad. La primera aparici´ on del n´ umero ´aureo, fue alrededor del a˜ no 2500 A.C. dentro de la cultura egipcia, la gran pir´amide que forma parte de la triada de pir´ amides de Giza fue construida con esta proporci´on. Al parecer, adem´ as de ser la tumba del fara´on, la intenci´on de sus constructores era la levantar un enorme observatorio astron´omico, un gigantesco reloj. De hecho, sus cuatro caras laterales est´an perfectamente alineadas con los cuatro puntos cardinales, y el corredor que lleva a la c´amara interior est´a orientado con la estrella polar. Con ella se pod´ıan medir los d´ıas, meses, calcular los equinoccios y solsticios para precedir el cambio de estaciones, etc. El hecho es que, el ´ area total de la pir´amide y el ´area lateral se encuentran en proporci´ on ´ aurea, y tambi´en lo est´an el ´area lateral y el ´area de la base, lo que se comprobar´ a enseguida: La altura de la pir´ amide es de 146 metros, y tiene por base un cuadrado de 230 metros de lado sobre el que se apoyan 4 tri´angulos equil´ateros. El ´ area del cuadrado ser´ a: AB = lado × lado = (230)(230) = 52 900m2 Para calcular el ´ area de cada tri´angulo tenemos que conocer su altura, ya que su base la sabemos, es 230 m. Lo que haremos es formar un tri´angulo rect´ angulo con la altura de la pir´amide (146 m.), la altura de cada tri´angulo (h) y la mitad de la base (115 m.), y aplicarle el teorema de Pit´agoras:

1.

Historia del n´ umero ´aureo

6

Como h2 = 1152 + 1462 = 34 541 entonces h = 185, 8521 metros. El ´area del tri´angulo ser´a (230)(185,8521) 2

= 21 372, 9905 m2

El ´area lateral ser´a AL = (4)(21 372,9905) = 85 491,9622 m2 El ´area total ser´a la del cuadrado m´as la lateral, es decir: AT = 2302 + 85 491, 9622 = 138 391, 9622 m2 Por tanto, la relaci´ on entre las diferentes ´areas ser´a: AL AT = = 1,618 AL AB Es decir, el n´ umero ´ aureo ya aparece hace 4 500 a˜ nos.

1.

Historia del n´ umero ´aureo

7

Los griegos descubrieron el n´ umero ´aureo, as´ı que no es de extra˜ nar que el monumento m´ as representativo de la cultura cl´asica est´e dise˜ nado de acuerdo con proporciones ´ aureas.

Fig. 1.1: Parten´on. Atenas, Grecia.

El creador de esta impresionante obra fue el escultor griego Phidias. En realidad, no fue sino hasta el siglo XX que el matem´atico estadounidense Mark Barr le di´ o a esta proporci´on el nombre de Phi, y la abreviatura φ corresponde a la inicial de Phidias en griego. La fachada del parten´ on se encaja en un perfecto rect´angulo ´aureo, pero adem´ as, hay otra serie de medidas en el edificio que tambi´en poseen proporciones ´ aureas. Adem´ as, la zona de las molduras tambi´en est´a compuesta por rect´ angulos ´ aureos. Fue en el a˜ no 300 a.c. que Euclides con la publicaci´on de los Elementos, donde define una proporci´ on derivada de una simple divisi´on de un segmento al que denomina media y extrema raz´on. Libro VI, definici´ on 3. Se dide que una recta ha sido cortada en extrema y media raz´on cuando la recta entera es al segmento mayor como el (segmento) mayor es al menor. Libro VI, Proposici´ on 14. En paralelogramos iguales y equi´angulos entre s´ı, lo lados que comprenden los ´ angulos iguales est´ an inversamente relacionados, y aquellos paralelogramos equi´ angulos que tienen los lados que comprenden los ´angulos iguales inversamente relacionados, son iguales.

1.

Historia del n´ umero ´aureo

8

Libro VI, Proposici´ on 29. Aplicar a una recta dada un papralelogramo igual a una figura rectil´ınea dada y que exceda en una figura paralelograma semejante a una dada. Libro VI, Proposici´ on 30. Dividir una recta finita dada en extrema y media raz´ on. Sea AB la recta finita dada. As´ı pues hay que dividir la recta AB en extrema y media raz´on. Constr´ uyase a partir de la recta AB el cuadrado BΓ, y apl´ıquese a AΓ el paralelogramo Γ∆ igual a BΓ y que exceda en la figura A∆ semejante a BΓ [ VI, 29]. Ahora bien BΓ en un cuadrado; entonces A∆ tambi´en es un cuadrado. Y como BΓ es igual a Γ∆ quitese de ambos Γ E; entonces el (paralelogramo) restante BZ, es igual al (paralelogramo) restante A∆. Pero son tambi´en equi´angulos; Entonces los lados que comprenden los ´angulos iguales de los (paralelogramos) BZ, A∆ son inversamente proporcionales [VI, 14], entonces como ZE es a E∆, as´ı AE a EB. Pero ZE es igual a AB y E∆ a AE. Por tanto como BA es a AE, as AE a EB. Pero AB es mayor que AE; as pues AE es tambi´en mayor que EB. Por consiguiente se ha dividido la recta AB, en extrema y media raz´on por E y su segmento mayor es AE. Cabe notar que este problema tambi´en esta resuelto en Libro II, Proposici´ on 11 Dividir una recta dada de manera que el rect´angulo comprendido por la (recta) entera y uno de los segmentos sea igual al cuadrado del segmento restante. A lo largo de la historia esta proporci´on ha recibido distintos nombres algunos ejemplos son, divina proporci´on por Luca Pacioli y secci´on divina por

1.

Historia del n´ umero ´aureo

9

Johannes Kepler(1571-1639), este u ´ltimo considera que: “La geometr´ıa tiene dos grandes tesoros, el teorema de Pit´agoras y la divisi´ on de una l´ınea en una proporci´on extrema y una media”. Adem´ as el n´ umero ´ aureo posee una serie de propiedades importantes que lo hacen un n´ umero irracional u ´nico con grandes aplicaciones en la descripci´ on del crecimiento de las plantas y la estructura cristalogr´afica de ciertos s´ olidos, el desarrollo de algoritmos de computadora en la b´ usqueda de bases de datos, etc. En palabras del propio Einstein: “La cosa m´as bella que podemos experimentar es lo misterioso. Es la emoci´on fundamental que hallamos en la cuna del aut´entico arte y la ciencia. Aquel que ya lo conoce y ya no puede hacerse preguntas, quien ya no siente asombro, est´a muerto, no es m´as que una vela apagada”.

´ DEL NUMERO ´ ´ 2. CONSTRUCCION AUREO

La construcci´ on geom´etrica del n´ umero ´aureo φ =

√ 1+ 5 2 ,

es muy simple.

Fig. 2.1: Construcci´on del n´ umero ´aureo

1. Se dibuja un cuadrado de ´area = 1 (unidad). 2. Se toma el punto medio m de uno de sus lados (en este caso lado ab). 3. Se traza una circunferencia con centro en m y radio mi (donde i es el punto de intersecci´on de la circunferencia con el v´ertice superior derecho del cuadrado). 4. Se prolonga el lado ab hasta el punto de intersecci´on c con la circunferencia .

2. Construcci´on del n´ umero ´aureo

11

Entonces: ab = 1 am = mb

ac = am + mi = = 12 √

mi = mc =

1 2

√

+

5 2

−

1 2

√

5 2

bc = mi − mb =

5 2

=

=

√ 1+ 5 2

√ 1− 5 2

=φ

= − φ1

Con esto se tiene la siguiente proporc´ıon:

ac ab = =φ ab bc Ahora bien ac = 1 + bc entonces 1 + bc 1 = 1 bc si hacemos 1+ bc = x se tiene que x=

1 x−1

por lo tanto x2 = x + 1 Obteniendo as´ı una ecuaci´on de segundo grado, la cual al resolverla da como ra´ıces, x1 =

√ 1+ 5 2

y x2 =

√ 1− 5 2

o lo que es lo mismo x1 = φ

y x2 = − φ1 . Geometricamente hablando, si ab representa la unidad, entonces ac = φ.

2. Construcci´on del n´ umero ´aureo

12

Rect´ angulo ´ aureo El rect´angulo a´ureo es aquel que se construye de forma tal que la r´azon entre las longuitudes de los lados es igual al n´ umero a´ureo.

Fig. 2.2: Rect´angulo ´aureo

Se toma como base la construcci´on del n´ umero ´aureo (Fig. 2.1) 1. Se tiene entonces el cuadrado unitario abij y el segmento ac, con ac ab

=

ab bc

=φ

2. Se traza la recta cr que pasa por el punto c y es perpendicular a ac. 3. Se traza la recta ir que pasa por el punto i y es paralela a ac. 4. Entonces el punto de intersecci´on de cr e ir, es decir, r determina el rect´angulo a´ureo. Por lo tanto el rect´angulo acrj es un rect´angulo ´aureo. Veamos algunas propiedades: Sea ABCD un rect´angulo a´ureo, tal que AB : BC = φ : 1, sea E el corte a´ureo de AB y trazamos EF perpendicular a AB, formando as´ı del rect´angulo, el cuadrado AEF D. El rect´angulo que EBCF es un

2. Construcci´on del n´ umero ´aureo

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rect´angulo ´aureo y repitiendo los pasos anteriores ahora para EBCF nos queda otro cuadrado EBGH y la figura HGCF es tambi´en un rect´angulo a´ureo. Podr´ıamos repetir este proceso indefinidamente hasta el rect´angulo l´ımite O, el cual es indistinguible de un punto, a este tipo de proceso se le conoce como el principio del gnomon. Un gnomon es una porci´on de figura la cual ha sido a˜ nadida a otra tal que el todo es la misma figura que la figura m´as peque˜ na.

Fig. 2.3: Espiral logar´ıtmica

El punto l´ımite O es llamado el polo de la espiral equiangular la cual pasa a trav´es de los cortes a´ureos D, E, G, J, ... Las diagonales AC y BF son perpendiculares Los puntos E, O, J son colineales as´ı como los puntos G, O, D La espiral construida utilizando rect´angulos con la proporci´on a´urea, resulta una aproximaci´on a la espiral logar´ıtmica. Este tipo de espirales aparecen en la naturaleza. El halc´on se aproxima a su presa seg´ un una espiral logar´ıtmica: su mejor visi´on est´a en ´angulo con su direcci´on de vuelo; este a´ngulo es el mismo del grado de la espiral.

2. Construcci´on del n´ umero ´aureo

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Los insectos se aproximan a la luz seg´ un una espiral logar´ıtmica porque acostumbran a volar con un a´ngulo constante a la fuente luminosa. Normalmente el Sol es la u ´nica fuente de luz y volar de esta forma consiste pr´acticamente en seguir una l´ınea recta. Los brazos de las galaxias espirales son, aproximadamente, espirales logar´ıtmicas. Nuestra propia galaxia, la V´ıa L´actea, se cree que tiene cuatro brazos espirales mayores, cada uno de los cuales es una espiral logar´ıtmica de unos 12 grados.

Los brazos de los ciclones tropicales, como los huracanes, tambi´en forman espirales logar´ıtmicas.

En biolog´ıa son frecuentes las estructuras aproximadamente iguales a la espiral logar´ıtmica. Por ejemplo, las telas de ara˜ na y las conchas de los moluscos.

En mec´anica de suelos, la superficie de falla es el lugar geom´etrico de los puntos en donde el suelo “se rompe” y permite un deslizamiento, al estar sometido a una cierta carga mayor a la que puede soportar. Estas superficies de falla, en muchos casos son iguales o aproximables a una espiral logar´ıtmica.

2. Construcci´on del n´ umero ´aureo

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Tri´ angulo ´ aureo A partir de la construcci´on del rect´angulo a´ureo aa0 rc deduciremos el tri´angulo ´aureo, el cual es un tri´angulo is´oceles tal que los dos ´angulos que forman los v´ertices de la base son de 72 grados o v´ertice de la punta forma un a´ngulo de 36 grados o

π 5

2π 5

radianes y el

radianes.

Fig. 2.4: Construcci´on del tri´angulo ´aureo

1. Se trazan dos c´ırculos uno con centro en a0 y radio a0 r y otro con centro en a y radio ac lo que implica que los radios a0 r = ac = φ 2. Marcamos el punto de intersecci´on t de las circunferencias, el cual se situa en el interior del rect´angulo 3. Entonces a0 t = at = φ 4. Afirmaci´on el tri´angulo a0 at es el tri´angulo ´aureo 5. Para demostrar lo anterior, necesitaremos una l´ınea auxiliar que pase por el punto medio m de a0 a y sea perpendicular a a0 a

2. Construcci´on del n´ umero ´aureo

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Como el tri´angulo aa0 t es is´oceles entonces El ´angulo tma es un a´ngulo recto El 4mat es un tri´angulo rect´angulo, con at = φ y am = Luego cos β = cos β =

1 2

am at 1 2φ

1 β = arc cos 2φ

β = 72◦ =

2π 5

= β 0 por ser isoceles

y sin α2 = sin α2 = α 2 α 2

am at 1 2φ

1 = arcsin 2φ

= 18◦ =

π 10 π 5

α = 36◦ = Por lo tanto el tri´angulo a0 at es un tri´angulo ´aureo Se deduce de aqu´ı las siguientes relaciones trigonom´etricas. a´ngulo θ 18◦ =

π 10

36◦ =

π 5

54◦ =

3π 10

72◦ =

2π 5

sin θ q 1 1 − φ1 2 q 1 2 − φ1 2 √ 1 1+φ 2 √ 1 2+φ 2

cos θ √ 1 2+φ 2 √ 1 1+φ 2 q 1 2 − φ1 2 q 1 1 − φ1 2

2. Construcci´on del n´ umero ´aureo

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As´ı como en el rect´angulo a´ureo aparece de forma natural la espiral logar´ıtmica, de la misma forma aparecer´a en el tri´angulo a´ureo, utilizando el principio del gnomon.

Fig. 2.5: Espiral logar´ıtmica y tri´angulo ´aureo

La bisectriz de ]B corta a AC en un punto D tal que D es corte a´ureo de AC Entonces el tri´angulo ABC ha sido dividido en dos tri´angulos is´oceles con a´ngulos iguales, los llamados ´angulos ´aureos, es decir ]CAB = ]DBC = 36◦ y ]ACB = ]ABC = ]BDC = ]BCD = 72◦ Se le llama tambi´en ´angulo a´ureo al a´ngulo m´as peque˜ no resultante de dividir una circunferencia en dos ´angulos de modo que el cociente entre ambos sea φ. Si lo calculamos su valor es aproximadamente 137,51◦ o´ 2.399963 radianes). Bisectando ]C obtenemos E, que es el corte a´ureo de BD, obte-

2. Construcci´on del n´ umero ´aureo

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niendo as´ı otros dos tri´angulos ´aureos. Este proceso, produce una serie de gnomones, los cuales convergen al punto O, el cual es el polo de la espiral logar´ıtmica. Ahora apartir de la construcci´on del tri´angulo ´aureo, se construir´a el pent´agono, ya que se tenga el pent´agono formaremos, basandonos en este, el pentagrama.

Fig. 2.6: Construcci´on del pent´agono

1. Ubicamos el centro del tri´angulo, intesectando las mediatrices de los lados at y a0 t, obteniendo as´ı el punto c. 2. Trazamos una circunferencia C con centro c y radio ca = ca0 = ct 3. Trazamos una segunda circunferencia con centro en a0 y radio a0 a = 1, la cual corta a la circunferencia C en los puntos b y a, formando as´ı dos lados del pent´agono, el lado a0 a = a0 b = 1 4. Trazamos una tercera circunferencia ahora con centro en b de radio ba0 , la cual corta a la circunferencia C en los puntos a0 y t ,donde bt define el tercer lado del pent´agono y bt = ba0 = a0 a

2. Construcci´on del n´ umero ´aureo

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5. Trazamos una cuarta circunferencia con centro en t y radio tb, la cual corta a la circunferencia C en los puntos b y d, donde td define el cuartro lado del pent´agono y td = bt = ba0 = a0 a 6. Por u ´ltimo una quinta circunferencia con centro en d y radio dt, la cual corta C en el punto t y a, as´ı entonces da ser´ıa el quinto lado del pent´agono. 7. Entonces se obtiene un pent´agono regular cuyos lados a0 b = bt = td = da = aa0 = 1 El pent´agono esta muy relacionado con el pentagrama, al conectar con diagonales todos los v´ertices. A su vez, la diagonales forman en el centro un pent´agono de menor tama˜ no, y las diagonales de este pent´agono forman un pentagrama y un pent´agono a´ un menor, es decir un gnomon.

Fig. 2.7: Pentagrama

de la figura 2.7 se tienen las siguientes relaciones: ta0 ta ba bd ba0 = = = = =φ aa0 aa0 aa0 aa0 aa0 ta0 te ba bi bd bg ta th da0 di = 0 = = = = = = = = =φ te ea bi ia bg gd th ha di ai

´ ´ ´ 3. NUMEROS DE FIBONACCI, EL NUMERO AUREO Y LA ´ FORMULA DE BINET

De acuerdo con Ghyka. [ The Geometry of art and life], la noci´on de proporci´on es tanto l´ogica como est´etica, y es una de las m´as elementales, importantes y dif´ıcil de precisar; suele confundirse con la noci´on de raz´on, la cual suele determinarse con la caracter´ıstica que tienen las razones junto con un m´odulo, o un subm´ ultiplo com´ un; ten´ıendose el concepto m´as complejo denominado por los Griegos y Vituvio “Simetr´ıa”, y en el Renacimiento “Conmesurable”. Una raz´on es una comparaci´on cuantitativa entre dos objetos o agregados del mismo tipo o especie. Seg´ un Euclides “Proporci´on es la igualdad entre dos razones”, esto es, dada las razones

A B

y

C D

la igualdad

A B

=

C D

es una proporci´on.

Definamos formalmente los t´erminos raz´on y proporci´on. Definici´ on 1. Sean a y b dos n´ umeros o cantidades que est´an expresadas en la misma unidad (de medida) con b 6= 0; entonces, el cociente a b

se llama raz´on entre a y b. Tambi´en se escribe a: b y se lee “a es a

b” Definici´ on 2. Se llama proporci´on a la igualdad entre dos razones. Si

a b

y

c d

son dos razones, entonces

a b

=

c d

= p se llama proporci´on,

y la constante p, se llama constante de proporcionalidad. Las proporciones m´as conocidas son la aritm´etica y la geom´etrica

3. N´ umeros de Fibonacci, el n´ umero ´aureo y la f´ormula de Binet

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Definici´ on 3. Una proporci´on aritm´etica, es aquella cuyo t´ermino medio excede al primero en una cantidad en la que ´este es excedido por el u ´ltimo. a−b=b−c ⇒ b=

a+c 2

Definici´ on 4. Una sucesi´on o progresi´on num´erica es una funci´on s : N → X, donde X denota un conjunto de n´ umeros, esto es, podemos pensar una sucesi´on num´erica como un conjunto ordenado de n´ umeros el cual est´a generado por un algoritmo bien definido. En particular una progresi´on aritm´etica es una sucesi´on de n´ umeros tales que la diferencia de dos t´erminos sucesivos cualquiera de la secuencia es una constante, cantidad llamada diferencia de la progresi´on. El t´ermino general de una progresi´on aritm´etica esta dado como an = a1 + (n + 1)d, donde d es la diferencia de la progresi´on. Ejemplo 1. Los n´ umeros 2, 4, 6, 8, 10, 12,... est´an en progresi´on aritm´etica.

Fig. 3.1: Progresi´on atitm´etica

Definici´ on 5. Una proporci´on geom´etrica es aquella en la que la raz´on entre el primer t´ermino y el t´ermino medio es igual a la raz´on entre ´este y el t´ermino extremo. a b = b c

⇒ b=

√ ac

3. N´ umeros de Fibonacci, el n´ umero ´aureo y la f´ormula de Binet

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Por otra parte una progresi´on geom´etrica o sucesi´on geom´etrica est´a constituida por una secuencia de elementos en la que cada uno de ellos se obtiene multiplicando el anterior por una constante, denominada raz´on o factor de la progresi´on, si an es una progresi´on geom´etrica se cumple la f´ormula recursiva an+1 = ran en particular an = rn a0 Ejemplo 2. Los n´ umeros 2, 4, 8, 16, 32,... est´an en proporc´ıon o progresi´on geom´etrica

Fig. 3.2: Progresi´on geom´etrica

Uno de los m´etodos m´as simples de producir una sucesi´on num´erica es utilizar uno o mas valores en una relaci´on de recurrencia apropiada. El ejemplo m´as conocido es la sucesi´on aditiva, la cual est´a generada por medio de una f´ormula recursiva, si fijamos dos valores s1 y s2 , y para cada n ∈ N definimos: sn+2 = sn+1 + sn

(3.1)

Un caso particular de esta sucesi´on lo obtenemos al tomar F1 = 1, F2 = 1, aplicando la f´ormula de recursividad Fn+2 = Fn+1 + Fn , para cada n ∈ N obtenemos los primeros t´erminos de esta sucesi´on: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, . . .

(3.2)

Esta sucesi´on se conoce como la sucesi´on de Fibonacci. Los n´ umeros de Fibonacci aparecen por primera vez en el “Liber Abacci”, escrito

3. N´ umeros de Fibonacci, el n´ umero ´aureo y la f´ormula de Binet

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alrededor del a˜ no 1200 por Leonardo de Pisa (Fibonacci) como soluci´on al problema de los conejos, el cu´al dice lo siguiente: En un patio cerrado, se coloca una pareja de conejos, reci´en nacidos, para ver cu´antos descendientes produce en el curso de un a˜ no, y se supone que cada mes a partir del segundo mes de su vida, cada pareja de conejos da origen a una nueva pareja. Esta sucesi´on tiene n´ umerosas aplicaciones en la ciencia de la computaci´on, matem´atica y teor´ıa de juegos. Antes que Fibonacci escirbiera su trabajo, la sucesi´on de n´ umeros de Fibonacci hab´ıa sido descubierta por un matem´atico hind´ u llamado Hemachandra (1089 − 1173) en 1150, hab´ıa estudiado los patrones r´ıtmicos que se forman con s´ılabas o notas de uno o dos pulsos, el n´ umero de tales r´ıtmos, teniendo juntos una cantidad de “pulsos” era Fn+1 .

Fig. 3.3: El problema de los conejos

N´otese que la f´ormula de recursividad (3.1) permite extender esta sucesi´on para valores negativos de n, si queremos conocer el valor de F0 , n´otese que F2 = F1 +F0 , de donde F0 = F2 −F1 , por lo cual F0 = 0, de aqu´ı tenemos que F1 = F0 + F−1 , por lo que F−1 = F1 − F0 = 1, continuando con este proceso tenemos F0 = F−1 +F−2 , de donde F−2 = F0 − F−1 = 0 − 1 = −1, y en general tenemos F−n = F−(n−2) − F−(n−1)

(3.3)

3. N´ umeros de Fibonacci, el n´ umero ´aureo y la f´ormula de Binet

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Podemos apreciar que F0 = 0 y que los valores en ´ındices negativos son: 1, −1, 2, −3, 5, −8, 13, −21, 34, −55, 89, −144, . . .

(3.4)

Por lo cual, podemos expandir la sucesi´on indefinidamente en ambas direcciones:

. . . , −21, 13, −8, 5, −3, 2, −1, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, . . .

(3.5)

En particular, los valores de los t´erminos con ´ındices negativos son, salvo signo, num´ericamente los mismos que los t´erminos correspondientes con signos positivos, pero con signos alternados, esto es: Teorema 1. La sucesi´on de Fibonacci puede extenderse para ´ındices negativos como sigue: F−n = (−1)n+1 Fn

para cada n ∈ N.

Adem´as F0 = 0. Demostraci´on. Para n = 1 tenemos F−1 = 1 = (−1)2 F1 , por lo cual, se verifica la condici´on. Supongamos que la f´ormula es cierta para toda k ≤ n. Como consecuencia de la ecuaci´on (3.3) tenemos:

F−(k+1) = F−(k−1) − F−k = (−1)k Fk−1 − (−1)k+1 Fk = (−1)k Fk−1 + (−1)k+2 Fk = (−1)k+2 (Fk−1 + Fk ) = (−1)k+2 Fk+1

3. N´ umeros de Fibonacci, el n´ umero ´aureo y la f´ormula de Binet

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Otro tipo de sucesi´on num´erica es la sucesion geom´etrica, la cual est´a definida por medio de la ecuaci´on de recurrencia sn+1 = λsn

(3.6)

Esto es, cada t´ermino es el anterior multiplicado por una constante fija, en particular, diversas elecciones de λ generan distintas sucesiones geom´etricas. Consideremos ahora la posibilidad de que una sucesi´on sea al mismo tiempo aditiva y geom´etrica, esto es, que satisfaga simultaneamente las ecuaciones (3.1) y (3.6), luego entonces: sn+2 = λsn+1 = λ2 sn y sn+2 = sn+1 + sn = λsn + sn . De donde, λ2 sn = λsn + sn , o simplemente λ2 − λ − 1 = 0. Podemos ver que esta ecuaci´on tiene soluciones: √ √ 1+ 5 1− 5 1 λ1 = = φ y λ2 = =− 2 2 φ

(3.7)

Tomando el valor s1 = 1 en la ec´ uacion 3.6 y λ1 = φ tenemos la sucesi´on geom´etrica: 1, φ, φ2 , φ3 , φ4 , φ5 , . . . podemos extender esta sucesi´on para los ´ındices negativos como φ−1 , φ−2 , φ−3 , φ−4 , φ−5 , . . . obten´endose as´ı la sucesi´on doblemente geom´etrica: . . . , φ−5 , φ−4 , φ−3 , φ−2 , φ−1 , 1, φ, φ2 , φ3 , φ4 , φ5 , . . .

(3.8)

3. N´ umeros de Fibonacci, el n´ umero ´aureo y la f´ormula de Binet

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Fig. 3.4: Sucesi´on doblemente geom´etrica

Y tenemos una sucesi´on similar si utilizamos el valor λ2 = −1/φ. En particular, la sucesi´on φn es geom´etrica, teniendo a φ como constante de proporcionalidad, es decir φn+1 = φ · φn . Una propiedad inmediata y muy importante de φ se obtiene de sustituir la ra´ız x1 = φ en la ecuaci´on original φ2 − φ = 1 de aqu´ı que φ2 = φ + 1 φ3 = φ2 φ = (φ + 1)φ = φ2 + φ φ4 = φ3 φ = [(φ + 1)φ]φ = (φ + 1)φ2 = φ3 + φ2 El siguiente teorema nos dice que esta sucesi´on tambi´en es aditiva, puesto que φn+2 = φn+1 + φn para cada n ∈ N, es decir, la sucesi´on φn es una sucesi´on de Fibonacci generalizada. Definici´ on 6. Los n´ umeros de Fibonacci generalizados, Gn , se producen de la relaci´on recursiva Gn+2 = Gn+1 + Gn dando valores arbitrarios G0 = p y G1 = q. Se obtiene as´ı la sucesi´on p, q, p + q, p + 2q, 2p + 3q, 3p + 5q, . . .

(3.9)

3. N´ umeros de Fibonacci, el n´ umero ´aureo y la f´ormula de Binet

27

Es f´acil ver que, en general, Gn+2 = Fn p + Fn+1 q, aunque s´olo verificaremos esta propiedad para la sucesi´on {φn }. Teorema 2. φn+2 = φn + φn+1 ∀n ≥ 0 con n ∈ N Demostraci´on. Por inducci´on: Se cumple para n = 0, si suponemos cierto para k ≤ n con k, n ∈ N entonces φk+2 = φk + φk+1 Probar para k + 1 φk+3 = φk+2 φ = (φk + φk+1 )φ = φk+1 + φk+2

Ahora si sustituimos x2 = − φ1 en la ecuaci´on original se tiene lo siguiente 1 φ2 1 φ3 1 φ4

+ = =

1 = φ 1 1 φ2 φ 1 1 φ3 φ

1 = ( φ1 + 1) φ1 = ( φ12 ) +

1 φ

= [( φ1 + 1)] φ1 = ( φ1 + 1) φ12 =

Corolario 1.

1 φn

=

1 φn−1

+

1 φn−2

1 φ3

+

1 φ2

∀n ≥ 2

y se demuestra an´alogamente a la anterior. Por otra parte, si utilizamos la expresi´on aditiva para esta sucesi´on tenemos los valores: 1, φ, φ + 1, 2φ + 1, 3φ + 2, . . . y en general, para valores positivos de n, el n-´esimo t´ermino de esta sucesi´on est´a dado como φn−1 = Fn−1 φ + Fn−2 .

3. N´ umeros de Fibonacci, el n´ umero ´aureo y la f´ormula de Binet

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Al extender esta sucesi´on para ´ındices negativos obtenemos la sucesi´on doblemente aditiva:

. . . , −3φ + 5, 2φ − 3, −φ + 2, φ − 1, 1, φ, φ + 1, 2φ + 1, 3φ + 2, . . . (3.10) Como consecuencia de las ecuaciones y(3.8) y (3.10) tenemos que 2φ − 3 = φ−3 −φ + 2 = φ−2 φ − 1 = φ−1 1 = 1 φ = φ φ + 1 = φ2 2φ + 1 = φ3 As´ı, las potencias del n´ umero a´ureo pueden escribirse como: φn = Fn φ + Fn−1 ,

(3.11)

donde el n´ umero Fn denota el n−´esimo t´ermino de la sucesi´on de Fibonacci. Desde luego, la otra ra´ız de la ecuaci´on cuadr´atica (3.7) da lugar a otra sucesi´on que es doblemente aditiva y doblemente geom´etrica, escrita en t´erminos de sucesi´on geom´etrica tenemos: 1 1 1 . . . , −φ3 , φ2 , −φ, 1, − , 2 , − 3 , . . . φ φ φ

(3.12)

y, en t´erminos de la recursi´on aditiva, esta elecci´on de valores da lugar a la sucesi´on:

. . . , −3 −

2 1 1 1 1 2 3 , 2 − − 1 − , 1, − , 1 − , 1 − , 2 − , . . . φ φ φ φ φ φ φ

(3.13)

3. N´ umeros de Fibonacci, el n´ umero ´aureo y la f´ormula de Binet

de donde

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Fn = φn φ

Fn+1 +

obteni´endose as´ı una ecuaci´on algebraicamente equivalente a (3.11). Como − φ1 tambi´en es soluci´on de la ecuaci´on λ2 = λ + 1 en forma an´aloga podemos demostrar que 1 1 (− )n = Fn (− ) + Fn−1 φ φ

(3.14)

Otra relaci´on interesante que encontramos entre los n´ umeros de Fibonacci y el n´ umero a´ureo es la siguiente: Teorema 3. Si {Fn } denota una sucesi´on de Fibonacci, dada en (3.2), entonces l´ım

n→∞

Fn =φ Fn−1

Demostraci´on. Si este l´ımite existe y es L 6= 0 entonces L = = =

Fn n→∞ Fn−1 l´ım

l´ım

n→∞

Fn−1 + Fn−2 Fn−1

l´ım 1 +

n→∞

= 1 + l´ım

Fn−2 Fn−1 1

n→∞ Fn−1 Fn−2

= 1+ Por lo tanto L=1+

1 L

1 as´ı L2 = L + 1 L

3. N´ umeros de Fibonacci, el n´ umero ´aureo y la f´ormula de Binet

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Como mencionamos anteriormente, esta ecuaci´on tiene dos soluciones, φ y −1/φ. Como Fn /Fn−1 > 0 para n ∈ N tenemos que L = φ. Esta relaci´on fue observada por Kepler, aunque no se demostr´o hasta un siglo despu´es. Otras propiedades interesantes del n´ umero ´aureo son las siguientes: p √ √ Como φ2 = 1+φ, entonces φ = 1 + φ, de donde φ = 1 + 1 + φ, y al continuar con este proceso se obtine: v s u r u q √ t φ = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + . . .. 1 1 = 1 − , entonces 2 φ φ s r r 1 1 1 = 1− = 1− 1− , φ φ φ

Analogamente, como

iterando este proceso obtenemos v s u r u q √ 1 t = 1 − 1 − 1 − 1 − 1 − . . .. φ Por otra parte, cualquier n´ umero irracional I puede expresarse en t´erminos de un n´ umero infinito de enteros a0 , a1 , a2 , . . . como 1

I = a0 +

1

a1 + a2 +

1 a3 + . . .

Este tipo de fracci´on se denomina fracci´on continua y puede escribirse en forma continua como I = [a0 , a1 , a2 , a3 , . . .].

3. N´ umeros de Fibonacci, el n´ umero ´aureo y la f´ormula de Binet

31

El n´ umero a´ureo φ puede expresarse de esta forma, es f´acil ver esto si consideramos la ecuaci´on cuadr´atica x2 + x − 1 = 0, la soluci´on positiva de esta ecuaci´on es x = 1/φ, dicha ecuaci´on cuadr´atica puede 1 reescribirse como x(x + 1) = 1 es decir x = . Si del lado derecho 1+x 1 reemplazamos x por obtenemos 1+x 1

x = 1+

1 1+x

y en forma continua tenemos 1

x =

1

1+

1 1 + ...

1+

y como la soluci´on positiva de la ecuaci´on es 1/φ, tenemos que 1 = φ

1 1

1+ 1+

1 1 + ...

y como φ = 1 + φ1 , se obtiene φ=1+

1 1+

1 1 1+ 1+...

es decir, φ = [1, 1, 1, . . .]. Los n´ umeros de Fibonacci, al igual que el n´ umero ´aureo, satisfacen una serie de propiedades muy interesantes, en las siguientes proposiciones enunciaremos algunas de ellas.

3. N´ umeros de Fibonacci, el n´ umero ´aureo y la f´ormula de Binet

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Proposici´ on 1. La suma de los n primeros n´ umeros de Fibonacci es igual al n´ umero de Fibonacci que ocupa la posici´on n + 2 menos uno, esto es:

n X

Fk = Fn+2 − 1

k=1

Demostraci´on. Como Fn+2 = Fn+1 + Fn para cada n ∈ N, entonces Fn = Fn+2 − Fn+1 , de donde n X

Fk =

k=1

n X

(Fk+2 − Fk+1 ) = Fn+2 − F2 = Fn+2 − 1

k=1

Proposici´ on 2. La suma de los n primeros n´ umeros de Fibonacci de ´ındice par es igual al n´ umero de Fibonacci que ocupa la posici´on 2n+1 menos uno, esto es: n X

F2k = F2n+1 − 1

k=1

Demostraci´on. Para cada n ∈ N se tiene que F2n = F2n+1 − F2n−1 , por lo que n X k=1

F2k

n X = (F2k+1 − F2k−1 ) = F2n+1 − F1 = F2n+1 − 1 k=1

Proposici´ on 3. La suma de los n primeros n´ umeros de Fibonacci de ´ındice impar es igual al n´ umero de Fibonacci que ocupa la posici´on 2n-´esima menos uno, esto es:

3. N´ umeros de Fibonacci, el n´ umero ´aureo y la f´ormula de Binet

n−1 X

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F2k+1 = F2n − 1

k=1

Demostraci´on. Para cada n ∈ N se tiene que F2n+1 = F2n+2 − F2n , entonces si n ≥ 2 n−1 X

F2k+1 =

k=1

n−1 X

(F2k+2 − F2k ) = F2n − F2 = F2n − 1

k=1

Proposici´ on 4. La suma alternada de los n+1 primeros n´ umeros de Fibonacci es igual a (−1)n veces el n´ umero de Fibonacci que ocupa la posici´on n-1 menos uno, esto es: n X (−1)k Fk = (−1)n Fn−1 − 1 k=1

Demostraci´on. Se tienen dos casos caso 1.- Si n es par, digamos n = 2m, usando las proposiciones 2 y 3 tenemos: n X k=1

k

(−1) Fk =

m X

2k

(−1) F2k −

k=1

m X

F2k−1

k=1

= (F2m+1 − 1) − F2m = (F2m+1 − F2m ) − 1 = (Fn+1 − Fn ) − 1 = Fn−1 − 1 = (−1)n Fn−1 − 1 caso 2.- Si n es impar, digamos n = 2m − 1 entonces

3. N´ umeros de Fibonacci, el n´ umero ´aureo y la f´ormula de Binet

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n m m−1 X X X (−1)k Fk = (−1)2k−1 F2k−1 + (−1)2k F2k k=1 k=1 !k=1 m−1 X
= − F2k+1 − F1 + F2(m−1)+1 − 1 k=1

= (−(F2m − 1) − 1) + (F2m−1 − 1) = (−F2m + F2m−1 ) − 1 = (−Fn+1 + Fn ) − 1 = −Fn−1 − 1 = (−1)n Fn−1 − 1

Proposici´ on 5. Fn Fn+1 − Fn Fn−1 = Fn2

Demostraci´on. Para cada n ∈ N se tiene que Fn+1 = Fn + Fn−1 , entonces Fn = Fn+1 − Fn−1 entonces Fn Fn+1 − Fn Fn−1 = Fn (Fn+1 − Fn−1 ) = Fn Fn = Fn2

Teorema 4. La suma de los cuadrados de los primeros n n´ umeros de Fibonacci es igual al producto del n-´esimo y el (n+1)-´esimo n´ umeros de Fibonacci

n X

Fk2 = Fn Fn+1

(3.15)

k=1

Podemos representar gr´aficamente esta relaci´on por medio del siguiente diagrama

3. N´ umeros de Fibonacci, el n´ umero ´aureo y la f´ormula de Binet

35

Fig. 3.5: Cuadrados Fibonacci

Demostraci´on. Realizaremos la demostraci´on por inducci´on para n = 1, F1 F2 = 1×2 = 1 + 1 = F02 + F12 se cumple. Se supone cierto para m ≤ n entonces m X

Fk2 = Fm Fm+1

k=1

para m + 1 se tiene que Fm+1 Fm+2 = Fm+1 [Fm + Fm+1 ] 2 = Fm Fm+1 + Fm+1 2 = (F12 + F22 + ... + Fm2 ) + Fm+1

De manera similar podemos ver los siguientes resultados: Proposici´ on 6. Si n es impar, entonces

n+1 X

2 Fk Fk−1 = Fn+1 . Si n es

k=2

par, entonces

n+1 X

2 Fk Fk−1 = Fn+1 −1

k=2

Demostraci´on. Primero estudiaremos el caso en que n ∈ N es par. Si n = 2, entonces 3 X k=2

Fk Fk−1 = F2 F1 + F3 F2 = 1 + 2 = 3 = 22 − 1 = F32 − 1,

3. N´ umeros de Fibonacci, el n´ umero ´aureo y la f´ormula de Binet

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por lo cual se cumple el enunciado supongamos que el teorema es cierto para n par, entonces para n + 2 tenemos: n+3 X

Fk Fk−1 =

k=2

=

n+1 X

Fk Fk−1 + Fn+2 Fn+1 + Fn+3 Fn+2

k=2 2 Fn+1

− 1 + Fn+1 Fn+2 + Fn+2 Fn+3

= (Fn+1 (Fn+1 + Fn+2 ) + Fn+2 Fn+3 ) − 1 = Fn+1 Fn+3 + Fn+2 Fn+3 − 1 = (Fn+1 + Fn+2 )Fn+3 − 1 2 − 1. = Fn+3

Ahora estudiaremos el caso en que n ∈ N es impar. Si n = 1, entonces

2 X

Fk Fk−1 = F2 F1 = 1 × 1 = 12 = F22 .

k=2

Supongamos ahora que el teorema es cierto para n impar, entonces para n + 2 tenemos: n+3 X

Fk Fk−1 =

k=2

=

n+1 X

Fk Fk−1 + Fn+1 Fn+2 + Fn+2 Fn+3

k=2 2 Fn+1

+ Fn+1 Fn+2 + Fn+2 Fn+3

= Fn+1 (Fn+1 + Fn+2 ) + Fn+2 Fn+3 = Fn+1 Fn+3 + Fn+2 Fn+3 = (Fn+1 + Fn+2 )Fn+3 2 = Fn+3 .

Geom´etricamente, en el lado derecho de la figura (3.6) mostraremos un n´ umero impar de rect´angulos de Fibonacci de dimensiones Fk ×Fk−1 , donde k toma valores de 1 a n + 1. Podemos observar que es posible arreglar estos rect´angulos para obtener un cuadrado de dimensiones

3. N´ umeros de Fibonacci, el n´ umero ´aureo y la f´ormula de Binet

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Fn+1 × Fn+1 . Como el ´area del cuadrado es la suma de la a´reas de los rect´angulos obtenemos una versi´on geom´etrica de esta identidad. Por otra parte, si n es par mostraremos un cuadrado 1×1 en negro, y posteriormente los rect´angulos de Fibonacci de dimensiones Fk × Fk−1 , donde k toma valores de 1 a n + 1. Podemos observar que es posible arreglar estos rect´angulos, junto con el cuadro unitario, para obtener un cuadrado de dimensiones Fn+1 × Fn+1 . Como el ´area del cuadrado es la suma de la a´reas de los rect´angulos obtenemos una versi´on geom´etrica de esta identidad.

Fig. 3.6: Rect´angulos de Fibonacci

La forma m´as simple, y elegante, de obtener los n´ umeros de Fibonacci es por medio del n´ umero a´ureo, esta f´ormula se debe al matem´atico frances Jacques Phillipe Marie Binet [1786-1856] y puede deducirse de las f´ormulas (3.11) y (3.14) Como demostramos anteriormente φn = Fn φ + Fn−1 y, de manera an´aloga, como (− φ1 ) tambi´en es soluci´on de la ecuaci´on x2 = x + 1 tenemos que (− φ1 )n = Fn (− φ1 )+Fn−1 , substrayendo la segunda ecuaci´on de la primera obtenemos: √ 1 1 φn − (− )n = (φ + )Fn = 5Fn φ φ Tenemos entonces el siguiente resultado.

3. N´ umeros de Fibonacci, el n´ umero ´aureo y la f´ormula de Binet

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Teorema 5 (La F´ormula de Binet).√ Si {Fn } denota la sucesi´on de 1+ 5 n´ umeros de Fibonacci, y si φ = denota el n´ umero ´aureo, en2 tonces   n  1 1 n Fn = √ φ − − φ 5 Demostraci´on. Para n = 1 se tiene que F1 =

√1 (φ 5

(3.16) + φ1 ) =

√ √5 5

Suponemos cierto para k ≤ n entonces "  k # 1 1 Fk = √ φk − − φ 5 Probar para k + 1 Fk+1 = Fk + Fk−1 = =

√1 (φk 5 √1 (φk 5

− (− φ1 )k ) + + φk+1 ) −

√1 (φk−1 − (− 1 )k−1 ) φ 5 1 1 1 k √ [(− ) + (− )k−1 ] φ φ 5

Como las sucesiones φk y (− φ1 )k son aditivas 1 1 1 φk+1 = φk + φk−1 , y (− )k+1 = (− )k + (− )k−1 φ φ φ de donde

1 1 Fk+1 = √ (φk+1 − (− )k+1 ) φ 5

Proposici´ on 7. La identidad de Cassini. Fn+1 Fn−1 − Fn2 = (−1)n

=1

(3.17)

3. N´ umeros de Fibonacci, el n´ umero ´aureo y la f´ormula de Binet

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Demostraci´on. Demostraremos esta identidad por inducci´on. Si n = 1, entonces: F2 F0 − F12 = 1 × 0 − 12 = −1 = (−1)1 . Supongamos que la identidad es cierta para n, entonces

2 2 = (Fn+1 + Fn )Fn − Fn+1 Fn+2 Fn − Fn+1 2 + Fn2 = Fn+1 Fn − Fn+1

= Fn+1 (Fn − Fn+1 ) + Fn2 = Fn+1 (−Fn−1 ) + Fn2 = −(Fn+1 Fn−1 − Fn2 ) = −(−1)n = (−1)n+1

Proposici´ on 8. (Propiedad de “Shifting”). Si k ≥ 1, entonces Fn+k = Fk Fn+1 + Fk−1 Fn para cualquier n ≥ 0 Demostraci´on. Demostraremos esta proposici´on por inducci´on sobre k. Si k = 1, entonces Fn+1 = 1 × Fn+1 + 0 × Fn = F1 Fn+1 + F0 Fn . Supongamos que la f´ormula es cierta para toda m ≤ k, entonces

3. N´ umeros de Fibonacci, el n´ umero ´aureo y la f´ormula de Binet

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Fn+(k+1) = F(n+k)+1 = Fn+k + Fn+k−1 = (Fk Fn+1 + Fk−1 Fn ) + Fk−1 Fn+1 + Fk−2 Fn = (Fk + Fk−1 )Fn+1 + (Fk−1 + Fk−2 )Fn = Fk+1 Fn+1 + Fk Fn

Proposici´ on 9. 2 Fn+1 + Fn2 = F2n+1

Demostraci´on. Por inducci´on, si n = 1, entonces F22 + F12 = 12 + 12 = 2 = F3 . Supongamos que la identidad es cierta para n, como consecuencia de la propiedad Shifting tenemos F2n+2 = F(n+1)+(n+1) = Fn+1 Fn+2 +Fn Fn+1 , de donde:

2 2 Fn+2 + Fn+1 = (Fn+1 + Fn )2 + (Fn + Fn−1 )2 2 = (Fn+1 + Fn2 + Fn+1 (2Fn + Fn+1 )

= F2n+1 + Fn+1 (Fn + Fn+2 ) = F2n+1 + Fn Fn+1 + Fn+1 Fn+2 = F2n+1 + F2n+2 = F2n+3 Proposici´ on 10. Para cada n ∈ N, k ≥ 1 Fn divide a Fnk .

3. N´ umeros de Fibonacci, el n´ umero ´aureo y la f´ormula de Binet

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Demostraci´on. Por inducci´on sobre k. Si k = 1 es claro que Fn | Fn . Supongamos que el teorema es cierto para toda k, por ende, existe d ∈ Z tal que Fnk = dFn , como consecuencia de la propiedad Shifting tenemos

Fn(k+1) = Fnk+n = Fn Fnk+1 + Fn−1 Fnk = Fn Fnk+1 + Fn−1 (dFn ) = Fn (Fnk+1 + dFn−1 ) de donde Fn | Fn(k+1) . Proposici´ on 11. Cualesquiera dos n´ umeros de Fibonacci consecutivos son primos relativos, esto es, si n ∈ N, entonces el m´aximo com´ un divisor de Fn+2 y Fn+1 es uno, y el algoritmo de Euclides utiliza precisamente n divisiones para verificar esto. Demostraci´on. Aplicando el algoritmo de Euclides a Fn+1 y Fn+2 y usando la relaci´on de recurrencia tenemos: Fn+2 = 1Fn+1 + Fn Fn+1 = 1Fn + Fn−1 Fn = 1Fn−1 + Fn−2 . . . F4 = 1F3 + F2 F3 = F2 + F1 = 2F2 y el u ´ltimo residuo no es cero es F2 = 1, por lo que el m´aximo com´ un divisor de Fn+2 y Fn+1 es igual a 1, luego entonces Fn+2 y Fn+1 son primos relativos.

3. N´ umeros de Fibonacci, el n´ umero ´aureo y la f´ormula de Binet

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A continuaci´on verificaremos que se utilizan precisamente n divisiones para verificar esto. Si a, b ∈ Z con 0 < b < a, aplicando el algoritmo de Euclides encontramos el m´aximo com´ un divisor de a y b. Sea r0 = ayr1 = b, obtemos la siguiente sucesi´on de ecuaciones: r0 = q1 r1 + r2

0 ≤ r2 < r1

r1 = q2 r2 + r3

0 ≤ r3 < r2

r2 = q3 r3 + r4

0 ≤ r4 < r3

. . . rn−3 = qn−2 rn−2 + rn−1 0 ≤ rn−1 < rn−2 rn−2 = qn−1 rn−1 + rn

0 ≤ rn < rn−1

rn−1 = qn rn N´otese que aqu´ı hemos utilizado n divisiones. Adem´as cada uno de los cocientes q1 , q2 , ..., qn−1 es mayor o igual a 1 y qn = 2 ya que rn < rn−1 . De donde, rn ≥ 1 = F 2 rn−1 ≥ 2r2 ≥ 2F2 = F3 rn−2 ≥ rn−1 + rn ≥ F3 + F2 = F4 . . . r2 ≥ r3 + r4 ≥ Fn−1 + Fn−2 = Fn b = r1 ≥ r2 + r3 ≥ Fn + Fn−1 = Fn+1 Por lo que, si se utilizan n divisiones en el algoritmo de Euclides debemos tener b ≥ Fn+1 . Ahora mostramos por inducci´on el siguiente teorema.

3. N´ umeros de Fibonacci, el n´ umero ´aureo y la f´ormula de Binet

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Teorema 6. Fn+1 > φn−1 para cada n ≥ 2. Demostraci´on. Si n = 2 como φ < 2 = F3 , entonces el resultado es cierto en este caso, ademas φ2 =

√ 3+ 5 2

< 3 = F4 , por lo que el resultado

tambi´en es cierto para n = 3. Sup´ongase que φk−1 < Fk+1 para cualquier entero k tal que 2 ≤ k < n. Como φ es soluci´on de la ecuaci´on cuadr´atica x2 −x−1 = 0, entonces φ2 = φ + 1, como se hab´ıamos mostrado anteriormente en el teorema 2. φn−1 = φn−2 + φn−3 De la hip´otesis de inducci´on φn−2 < Fn y φn−3 < Fn−1 , sumando estas desigualdades tenemos: φn−1 = φn−2 + φn−3 < Fn + Fn−1 = Fn+1 Por lo que el resultado es cierto para toda n ≥ 2. Luego entonces, si b ≥ Fn+1 > φn−1 para n ≥ 2, como log10 φ > 1/5 entonces log10 b > (n − 1) log10 φ > (n − 1)/5 esto es, n − 1 < 5 log10 b. Si suponemos que b tiene k digitos decimales, b < 10k , entonces log10 b < k, de donde n − 1 < 5k. Como k es entero n ≤ 5k

Proposici´ on 12. Cada n´ umero de Fibonacci es el promedio del t´ermino que se encuentra dos posiciones antes del t´ermino que se encuentra una posici´on despu´es, esto es:

3. N´ umeros de Fibonacci, el n´ umero ´aureo y la f´ormula de Binet

Fn =

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Fn−2 + Fn+1 2

Demostraci´on. Como Fn+1 = Fn + Fn−1 y Fn = Fn−1 + Fn−2 , entonces 2Fn = Fn + Fn = (Fn+1 − Fn−1 ) + (Fn−1 + Fn−2 ) = Fn+1 + Fn−2

Proposici´ on 13. 2 2 Fn+2 − Fn+1 = Fn Fn+3

Demostraci´on. Como Fn+2 = Fn+1 + Fn , entonces Fn = Fn+2 − Fn+1 , de donde 2 2 Fn+2 −Fn+1 = (Fn+2 +Fn+1 )(Fn+2 −Fn+1 ) = (Fn+2 +Fn+1 )Fn = Fn+3 Fn .

Proposici´ on 14. 2 Fn+2 − Fn2 = F2n+2

Demostraci´on. Aplicando la propiedad “Shifting” demostrada anteriormente 2 Fn+2 − Fn2 = (Fn+2 − Fn )(Fn+2 + Fn )

= Fn+1 (Fn+2 + Fn ) = Fn+1 Fn+2 + Fn+1 Fn = F(n+1)+(n+1) = F2n+2

3. N´ umeros de Fibonacci, el n´ umero ´aureo y la f´ormula de Binet

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Proposici´ on 15. Identidad d’Ocagne Fm Fn+1 − Fn Fm+1 = (−1)n Fm−n

Demostraci´on. Supongase que m > n, y sea a = m − n y b = n, podemos reescribir esta identidad como Fa+b Fb+1 − Fb Fa+b+1 = (−1)b Fa fijamos b y hacemos inducci´on sobre a. Si a = 1 se aplica la identidad de Cassini, esto es

2 Fb+1 Fb+1 − Fb Fb+2 = Fb+1 − Fb+2 Fb = (−1)(b+1)−1 = (−1)b F1 .

Supongamos que el teorema es cierto para todo n´ umero menor o igual que a, entonces

F(a+1)+b Fb+1 − Fb Fa+b+2 = (Fa+b + Fa+b−1 )Fb+1 − Fb (Fa+b+1 + Fa+b ) = Fa+b Fb+1 + Fa+b−1 Fb+1 − Fb Fa+b+1 − Fb Fa+b = (Fa+b Fb+1 − Fb Fa+b+1 ) + (Fa+b−1 Fb+1 − Fb Fa+b ) = (−1)b Fa + (−1)b Fa−1 = (−1)b Fa+1

Proposici´ on 16. Si d ∈ Z es tal que d | Fn y d | Fm con n > m, entonces d | Fm−n Demostraci´on. Supongamos que Fn = dα y Fm = dβ con α, β ∈ Z, como consecuencia de la identidad de d’Ocagne

3. N´ umeros de Fibonacci, el n´ umero ´aureo y la f´ormula de Binet

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Fm−n = (−1)n (Fm Fn+1 − Fn Fm+1 = (−1)n (dβFn+1 − dαFm+1 = d ((−1)n (βFn+1 − αFm+1 )) Teorema 7. (Teorema de Lucas). El m´aximo com´ un divisor de dos n´ umeros de Fibonacci es otro n´ umero de Fibonacci, m´as especificamente gcd(Fn , Fm ) = Fgcd(n,m) Para demostrar el teorema de Lucas nos basaremos en el siguiente lema, y en el hecho que gcd(a, b) = gcd(a − b, b). Lema 1. Si a, b son dos enteros positivos, y suponemos que a > b entonces gcd(Fa , Fb ) = gcd(Fa−b , Fb ). Demostraci´on. (lema) Si d | Fa y d | Fb , existen enteros x, t tales que Fa = ds y Fb = dt, como consecuencia de la identidad de d’Ocagne tenemos Fa−b = (−1)b (Fa Fb + 1 − Fb Fa+1 ) = (−1)b (dsFb+1 − dtFa+1 )
= d (−1)b (sFb+1 − tFa+1+ ) de donde d | Fa−b . Reciprocamente, si d | Fa−b y d | Fb , tenemos que existen u, t ∈ Z tales que Fa−b = du y Fb = dt, como consecuencia de la propiedad Shifting Fb+c+1 = Fb Fc + Fb+1 Fc+1 , tomando c = a − b − 1

3. N´ umeros de Fibonacci, el n´ umero ´aureo y la f´ormula de Binet

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tenemos Fa = Fb+(a−b−1)+1 = Fb Fa−b−1 + Fb+1 Fa−b = dtFa−b−1 + Fb+1 du = d(tFa−b−1 + Fb+1 u) esto es, d | Fa , de lo anterior se deduce que gcd(Fa , Fb ) = gcd(Fa−b , Fb ).

Demostraci´on. (Teorema de Lucas) Como consecuencia de la proposici´on 11, el teorema de Lucas es cierto si a = b + 1, ya que dos n´ umeros de Fibonacci consecutivos son primos relativos, as´ı gcd(Fb+1 , Fb ) = 1 = F1 = Fgcd(b+1,b) . Sup´ongase que gcd(Fc , Fd ) = Fgcd(c,d) para todos los enteros positivos c, d tales que c + d < a + b. Si a > b como consecuencia del lema anterior gcd(Fa , Fb ) = gcd(Fa−b , Fb ), y (a − b) + b = a < a + b, por hip´otesis gcd(Fa−b , Fb ) = Fgcd(a−b,b) = Fgcd(a,b) ya que gcd(a − b, b) = gcd(a, b), de donde gcd(Fa , Fb ) = Fgcd(a,b) . Si a < b entonces b − a > 0 y gcd(Fa , Fb ) = gcd(Fa , Fb−a ), procediendo de manera an´aloga obtenemos gcd(Fa , Fb ) = Fgcd(a,b) . Finalmente, si a = b Fa = Fb y gcd(Fa , Fa ) = Fa = Fgcd(a,a) . Corolario 2. Si m, n ∈ N con m 6= 2, entonces Fm | Fn si, y s´olo si m | n. Demostraci´on. m | n si, y s´olo si gcd(m, n) = m, lo cual equivale a pedir F(m,n) = Fm , y como consecuencia del teorema de Lucas, esto es equivalente a gcd(Fm , Fn ) = Fm , es decir Fm | Fn

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Para estudiar una sucesi´on y sus propiedades suele ser u ´til estudiar su funci´on generadora asiciada. Definici´ on 7. Una funci´on generadora asociada a una sucesi´on {an }∞ n=0 es la funci´on f (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + ..., es decir es una serie de potencias donde cada coeficiente es un elemento de la sucesi´on. Las funciones generadoras son expresiones cerradas en un argumento formal x. A veces, una funci´on generadora se “eval´ ua.en un valor espec´ıfico x = a pero hay que tener en cuenta que las funciones generadoras son series formales de potencias, por lo que no se considera ni se analiza el problema de la convergencia en todos los valores de x. Por lo mismo es importante observar que las funciones generadoras no son realmente funciones en en el sentido usual de ser aplicaciones entre un dominio y un codominio; el nombre es u ´nicamente el resultado del desarrollo hist´orico de su estudio. “Una funcin generadora es una cuerda de tender en la que colgamos una sucesin de nmeros para mostrarla.”

Herbert Wilf

A continuaci´on deduciremos la funci´on generadora asociada a la sucesi´on de Fibonacci. P k Sea F (x) = ∞ k=0 Fk x , como Fk = Fk−1 +Fk−2 para k ≥ 2, entonces F (x) = F0 + F1 x +

P∞

Pk=2 ∞

Fk xk

= F0 + F1 x + k=2 (Fk−1 + Fk−2 )xk P P = x + k≥2 Fk−1 xk + k≥2 Fk−2 xk P P = x + x k≥2 Fk−1 xk−1 + x2 k≥2 Fk−2 xk−2 = x + xF (x) + x2 F (x)

3. N´ umeros de Fibonacci, el n´ umero ´aureo y la f´ormula de Binet

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Esto es , (1 − x − x2 )F (x) = x, de donde f (x) = x/(1 − x − x2 ) es la funci´on generadora de la sucesi´on de Fibonacci. Por otra parte, una forma cerrada es de la forma B(x) =

P

k≥0

abk xk =

a/(1−bx), entonces para encontrar la forma cerrada asociada a la suceˆ donde si´on de Fibonacci se descompone 1 − x − x2 = (x − φ)(x − φ), ˆ + b/(1 − φx), resolvemos φˆ = 1 − φ y expresamos F (x) = a/(1 − φx) ∞

1 X k ˆk k F (x) = √ (φ − φ )x 5 k=0 Finalmente, podemos mencionar que la sucesi´on de Fibonacci se puede expandir al campo de los n´ umeros reales, y a´ un m´as, al campo de los n´ umeros complejos como sigue: La funci´on anal´ıtica F e(x) =

φx − φ−x √ 5

tiene la propiedad de que F e(n) = Fn para todos los enteros pares, de manera an´aloga tenemos que la funci´on anal´ıtica φx + φ−x √ F o(x) = 5 tiene la propiedad de que F o(n) = Fn para todos los enteros impares, juntando estas expresiones tenemos la funci´on anal´ıtica φx − cos(πx)φ−x √ . 5 La cual tiene las mismas caracter´ısticas que la sucesi´on de Fibonacci: F (x) =

F (0) = 0, F (1) = 1 y F (x) = F (x − 1) + F (x − 2) para cualquier n´ umero real, o complejo x.

´ ´ ´ CON LAS BELLAS 4. NUMERO AUREO Y SU RELACION ARTES

Pintura y escultura Con la llegada del Renacimiento a Italia, apareci´o una nueva e influyente clase social constituida por los humanistas. Hasta entonces, la Iglesia hab´ıa condicionado toda la vida cultural, pero ahora la ciencia llegaba directamente al ciudadano, gracias al aristotelismo, en boga ´ durante los comienzos del Renacimiento. Esta filosof´ıa fue cediendo terreno al platonismo y el arte empez´o a basarse sobre la propia ciencia. La geometr´ıa y otras ramas de las matem´aticas ocuparon un lugar esencial en la nueva concepci´on de la cultura, se desecho el arte puramente lineal y se busco con ah´ınco la forma tridimensional. La pintura italiana de los comienzos del siglo XV es todav´ıa narrativa y escoge los muros de las Iglesias. La t´ecnica, en especial el fresco, es de gran sencillez. Sin embargo, con la pintura al ´oleo, el artista abandona la limitada tem´atica religiosa y se complace en mostrar el esplendor de la forma, la luz y el espacio infinito. En pintura, temprano amanecer del realismo de Giotto, sus figuras tridimensionales ocupando un espacio racional, y su inter´es humanista en expresar la personalidad individual en lugar de los modelos g´oticos tard´ıos, fue seguido por un retroceso a las convenciones conservadoras de finales del g´otico. El renacimiento italiano en pintura se considera que comenz´o en Florencia con los frescos de Masaccio, luego las pinturas sobre panel y frescos de Piero della Francesca y Paolo Uccello. Todos ellos comen-

4.

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51

zaron a realzar el realismo de sus trabajos utilizando nuevas t´ecnicas de perspectiva a fin de representar m´as aut´enticamente el mundo tridimensional en dos dimensiones. Piero della Francesca escribi´o tratados sobre perspectiva cient´ıfica. La creaci´on de espacios cre´ıbles permiti´o a los artistas mejorar la representaci´on del cuerpo humano sobre paisajes naturales. Las figuras de Massaccio tienen una plasticidad desconocida hasta esa ´epoca. Comparadas con el aspecto llano de la pintura g´otica, estas obras eran revolucionarias. En el siglo XVI, especialmente en el norte de Italia, los artistas tambi´en comenzaron a utilizar nuevas t´ecnicas en la manipulaci´on de la luz y sombra, como en los contrastes evidentes usados en varios retratos de Tiziano, y en el desarrollo del esfumado y el claroscuro por Leonardo da Vinci y Giorgione. Esta ´epoca vi´o tambi´en aparecer los primeros temas seculares, no religiosos. Se ha debatido si el secularismo del Renacimiento, debido a la presencia de algunas pinturas mitol´ogicas no ha sido exagerado por escritores de principios del Siglo XIX. Uno de los principales pintores cuyas obras seculares han llegado a nuestros d´ıas es Botticelli, conocido por su profunda religiosidad (fue seguidor de Savonarola) y por su producci´on general plena de obras de temas religiosos. En escultura, el estudio de Donatello sobre las obras de la antig¨ uedad llev´o al desarrollo de posiciones cl´asicas y los temas desnudos. Su segunda escultura del “David” fue el primer desnudo en bronce creado en Europa desde el Imperio romano. El progreso hecho por Donatello influy´o toda la producci´on subsiguiente: quiz´a el m´as grande artista de ´ todos fue Miguel Angel, cuyo David de 1500 es tambi´en un estudio de desnudo masculino. Esta obra es m´as realista que la de Donatello y de mayor intensidad emocional. Ambas esculturas est´an apoyando su peso en una pierna. La etapa conocida como alto renacimiento representa la culminaci´on

4.

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de las metas del per´ıodo temprano, especialmente la acabada representaci´on de las figuras en un espacio diagramado con movimiento cre´ıble y en un apropiado y decoroso estilo. Los m´as famosos pin´ tores de esta ´epoca son Leonardo da Vinci, Rafael, y Miguel Angel. Sus im´agenes est´an entre las m´as conocidas obras de arte de todo el ´ mundo. La Ultima cena de Leonardo, la Escuela de Atenas de Rafael ´ o el cielorraso de la capilla Sixtina de Miguel Angel, son los ejemplos b´asicos de este per´ıodo. Arquitectura Desde sus inicios, la arquitectura renacentista tuvo un car´acter profano y, l´ogicamente, surgi´o en una ciudad en donde el G´otico apenas hab´ıa penetrado, Florencia; en la Europa de las grandes catedrales, el car´acter renacentista se implant´o con dificultades. El estilo renacentista, introducido en Italia trae un nuevo sentimiento de luz, claridad y amplitud de espacio, que es t´ıpico del renacimiento temprano en Italia. Su arquitectura refleja la filosof´ıa del humanismo, la iluminaci´on y claridad mental en oposici´on a la oscuridad y espiritualidad de la Edad Media. La revitalizaci´on de la antig¨ uedad cl´asica puede ser bien ilustrada por el Palazzo Ruccelai. Aqu´ı las pilastras siguen la superposici´on de o´rdenes cl´asicos, con capiteles d´oricos en el piso bajo, j´onicos en el piano nobile y corintios en los pisos superiores. La arquitectura en este periodo se caracteriz´o tambi´en por el empleo de proporciones modulares, superposici´on de ´ordenes, empleo de c´ upulas e introducci´on del orden colosal. En el Quattrocento fue frecuente recurrir a columnas y pilastras adosadas, a los capiteles cl´asicos (con preferencia el corintio, aunque sustituyendo los caul´ıculos por figuras fant´asticas o de animales), los fustes lisos y el arco de medio punto, a la b´oveda de ca˜ no´n y de arista, as´ı como a cubiertas de madera con casetones. Lo que fundamental-

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mente distingue a la arquitectura del Quattrocento de la del Alto Renacimiento (o Cinquecento) es la decoraci´on menuda (putti, guirnaldas de flores o frutos, grutescos, etc.), el alargamiento de la c´ upula (catedral de Florencia, de Filippo Brunelleschi) y las fachadas de piedra tosca (Palacio Medici-Riccardi, de Michelozzo di Bartolommeo) o con los sillares en realce (Palacio Rucellai, de Bernardo Rosellino, proyecto de Alberti). La arquitectura del Cinquecento tuvo como centro Roma: En 1506, Donato d’Angelo Bramante terminaba su c´elebre proyecto para la bas´ılica de San Pedro en el Vaticano. Los palacios se adornaron de valiosos bajorrelieves (Palacio Grimani de Venecia, 1549, obra de Michele Sanmicheli).

4.1.

Leon Batista Alberti (1404-1472)

Para comenzar el estudio de esta ´epoca, tenemos que remitirnos primero que nada a Leon Batista Alberti que fue sin duda pionero en tratar de establecer bases matem´aticas en el arte de la construcci´on, pintura y escultura, las obras de Alberti no tuvieron mucha influencia en los pintores de su ´epoca. Sin embargo los ideales de Alberti ser´ıan retomados en el siglo siguiente por Leonardo Da Vinci y Rafael . Alberti escribi´o un voluminoso tratado de arquitectura De re aedificatoria (De la contrucci´on), publicada en lat´ın en Florecia en 1485, el cual dedic´o a la papa Nicolas V, Della pittura el texto latino fue dedicado al Marquez de Mantua, mientras que la vers´ıon vern´acula estuvo dedicada al arquitecto Filippo Brunelleschi (1337-1446) y Della statua e della pittura el cual fue escrito en 1436 A pesar de que este u ´ltimo no fue publicado hasta el siglo XVI, el tratado circul´o r´apidamente dentro del ´ambito de los talleres art´ısticos.

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De re aedificatoria, que circul´o igualmente antes de su publicaci´on, tuvo una influencia todav´ıa mas considerable. Se trata de un tratado de arquitectura, pero algunos cap´ıtulos sobre las proporciones, sobre la decoraci´on, pudieron interesar a todos los artistas, y el tono del libro, la est´etica muy particular que propugna, calma y serena, encontr´o gran eco entre los pintores. Dejando a un lado los primeros libros dedicados a problemas m´as t´ecnicos - planos, materiales, forma de llevar una obra, etc. - y deteng´amonos en el libro IX que trata la ornamentaci´on de los edificios privados. Las condiciones de la belleza son aqu´ı expuestas de la manera m´as precisa. En el cap´ıtulo V, Alberti explica c´omo los intervalos musicales agradables al o´ıdo, la octava, la quinta y la cuarta, se corresponden con la divisi´on de una cuerda en 2, en 3 o un 4, es decir, 2 3

y

3 . 4

1 2

,

Son las proporciones que en esa ´epoca se le llamaban diapas´on,

diapente y diatesar´on, servir´ıan tambi´en para las artes pl´asticas, y en primer lugar para la arquitectura. Esto lo estudia con detalle en el cap´ıtulo VI que trata de las superficies: Las “superficies cortas” ser´an cuadradas, o de

2 3

o de 34 . Si lo que

queremos es que una de las dimensiones sea mas larga que la otra, tomaremos dos veces estas proporciones, es decir, dos veces 23 , lo que da, partiendo del lado peque˜ no, 4, 6 y 9 para el lado mayor ( 64 = 3 4

o bien dos veces

9 lo que da partiendo de 9: 9,12 y16 ( 12 =

Tambi´en podemos tomar simplemente la relaci´on

1 2

6 9 12 16

= 23 ); = 34 ).

, sin olvidar que la

octava esta formada por la quinta y la cuarta o la cuarta y la quinta. La primera combinaci´on dividir´a la superficie del muro de esta manera: 4,6, 8 ( 46 o quinta, 4,6

( 34

6 8

o cuarta,

o cuarta); y la segunda lo dividir´a, por ejemplo, en 3, 4 6

o quinta). Estas proporciones pueden ser duplicadas,

o combinadas, sin superar no obstante el n´ umero 27, el tercer cubo, ya que seg´ un los Antiguos las leyes matem´aticas de la m´ usica no eran validas para los n´ umeros bajos.

4.

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De la teor´ıa de las relaciones musicales se tiene lo siguiente: Diapas´on o doble.- Se tienen los n´ umeros que corresponden a una relaci´on doble, como el dos a la unidad y el todo a la mitad de s´ı mismo. (Octava: 21 ). Diapente o Sesqui´alterea.- La cuerda mayor contiene a toda la menor mas la mitad de esta (Quinta: 32 ) Diatesar´on o sesquitercia.- La cuerda mayor contiene toda la menor mas una tercera parte de esta. (Cuarta: 43 ) Diapas´on-Diapente o triple.- Aqu´ı la relaci´on es una entera contra su tercera parte. ( 12 × 23 = 31 ) Los n´ umeros musicales son, en definitiva y para resumirlos, los siguientes: uno, dos, tres, cuatro. Como ya se ha dicho, tambi´en existe el tono, en el que la cuerda mayor en comparaci´on con la menor la supera en una octava parte de esta u ´ltima. En el capitulo VI, Alberti aplica esta teor´ıa a los planos de los arquitectos, a las “superficies” por ejemplo: Hablaremos en primer lugar de las superficies que est´an sujetas a dos dimensiones. Unas son cortas, otras largas, otras medianas. La m´as corta de todas es la cuadrada, cualquiera de cuyos lados es igual a los dem´as, con los a´ngulos todos rectos. A continuaci´on viene la superficie sesqui´altera (diapente 23 ); tambi´en entre las superficies cortas la sesquitercia (diatesar´on 43 ). Las tres coinciden tambi´en con las superficies medianas. La primera de estas es la doble (diapas´on 21 ). A continuaci´on tenemos la compuesta por la duplicaci´on de dos superficies sesqui´alteras, y se construye como

4.

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sigue: Una vez trazada la dimensi´on menor de la superficie, por ejemplo, igual a un cuarto, se construye una primera sesqui´altera; tendr´a una longuitud de seis; a esta u ´ltima se le a˜ nade tambi´en una sesqui´altera; la longuitud ser´a 9. En este caso la longuitud mayor doblar´a la medida de la menor, mas el tono del doble. Entra tambi´en en el grupo de las medianas aquella que se obtiene de la dupicaci´on de la sesquitercia, en este caso habr´a entre l´ınea menor y mayor una proporci´on de nueve a diecis´eis. Por lo que, la l´ınea mayor es separada por el doble de la menor en menos de un tono. Superficies cortas

Superficies medianas

Cuadrado

Doble (Diapas´on 21 )

Sesqui´altera (Diapente 23 )

Sesqui´altera doble (Doble diapente 4/6/9)

Sesquitercia (Diatesar´on 34 )

Sesquitercia doble(Doble diatesar´on 9/12/16)

4.

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57

En el caso de las superficies largas se sigue el siguiente procedimiento. En efecto o bien se une una doble

1 2

con una sesqui´altera 32 ,

convirti´endose as´ı en triple 13 ; o tambi´en una sesquitercia 1 , 2

3 4

a una doble

y los n´ umeros que marcan la proporci´on son el tres y el ocho, o se

llevan a cabo de forma que una dimensi´on sea cuatro veces la otra. Superficies largas Diapas´on diapente

Diapas´on diatesar´on

1 3

(3/6/9)

3 8

(3/6/8)

Los artistas del renacimiento tomaron al pie de la letra el texto de Alberti, bas´andose preferentemente en los n´ umeros que ´este propon´ıa. Las superficies medias resultaban particularmente u ´tiles a los pintores que estaban especialmente interesados en las relaciones 4/6/9 y 9/12/16. Las superficies largas apenas les eran u ´tiles, y sus proporciones raras veces se correspond´ıan con las de un cuadro. 4.2. Rect´angulos est´aticos y din´amicos

Se le denomina simetr´ıa discreta o est´atica, a aquellas que est´an dadas por fracciones racionales, empezando por 12 , 32 , 34 , etc. la cuales corresponden a la octava, quinta y cuarta como se vi´o anteriormente. Los rect´angulos est´aticos se caracterizan por tener razones o propor-

4.

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58

ciones “aritm´eticas” tales como 12 , 32 , 33 , 43 , etc. Donde el numerador indica las unidades de la base, y el denominador las unidades de la altura.

Fig. 4.1: Rect´angulos est´aticos

4.

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Los rect´angulos din´amicos se caracterizan por tener razones o pro√ porciones “geom´etricas”, fracciones irracionales o n´ umeros como, 2, √ √ √ 3, 5, φ, φ2 , φ etc.

Fig. 4.2: Rect´angulos din´amicos

J. Hambidge define dos puntos: 1. Los rect´angulos est´aticos no ayudan a producir subdivisiones arm´onicas ni interact´ uan con las superficies. 2. Los rect´angulos din´amicos pueden producir las mas variadas y satisfactorias subdivisiones y combinaciones arm´onicas. A continuaci´on mostraremos algunos ejemplos de divisiones arm´onicas

4.

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en rect´angulos din´amicos

60

√ √ √ 2, 3, 5, φ, as´ı como algunos ejemplos de

descomposiciones arm´onicas del cuadrado en t´erminos de φ.

Fig. 4.3: Rect´ angulo

√

2 descomposiciones arm´onicas

4.

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Fig. 4.4: Rect´ angulo

√

3 descomposiciones arm´onicas

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4.

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Fig. 4.5: Rect´ angulo

√

5 descomposiciones arm´onicas

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4.

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Fig. 4.6: Rect´ angulo φ descomposiciones arm´onicas

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4.

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Fig. 4.7: El cuadrado, descomposiciones arm´onicas en t´erminos de φ

64

4.

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4.3.

65

Piero della Francesca (1416-1492)

Famoso pintor y matem´atico, escribe tres tratados que tienen como finalidad formular y divulgar, con un estilo de extrema precisi´on cient´ıfica, las reglas de la representaci´on art´ıstica. “De prospectiva pingendi” (1472-1475), es el primer manuscrito de Piero; est´a dedicado al duque Federico. Es un tratado de perspectiva el cual esta dirigido a los pintores y se abre con una referencia a Alberti. La pintura, dec´ıa este u ´ltimo, en su libro II, comprende tres partes: la circunscripci´on, la composici´on y la distribuci´on de la luces. Piero sustituye respectivamente estas tres palabras por el dibujo, las medidas y el color. Cabe mencionar que en la segunda de las tres partes, insiste todav´ıa m´as que Alberti en el predominio de los n´ umeros. Digamos que es mas albertiano que el propio Alberti cuando sustituye la palabra composizione - distribuci´on de las superficies - por la palabra conmensuratio. El segundo manuscrito es un op´ usculo de aritm´etica y geometr´ıa titulado “De Abaco ”. Donde muestra una amplia gama de problemas sobre el pent´agono y los cinco s´olidos plat´onicos. Calcula longitudes de los lados y de las diagonales, las ´areas y los vol´ umenes. Muchas de las soluciones incluyen la proporci´on a´urea, y algunas t´ecnicas dan fe de un pensamiento innovador y original. Finalmente el tercero De quinque corporibus regularibus el cual se caracteriza por un gran rigor matem´atico. Piero Della Francesca identifica la pintura con la perspectiva y lleva la infinita variedad de las formas naturales a la medida y regularidad de las formas geom´etricas. Su pintura se convierte en medio para la investigaci´on del espacio en t´erminos cient´ıficos, un medio de conocimiento de la realidad sobre bases matem´aticas.

4.

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A continuaci´on se muestra un an´alisis de la obra, La Virgen y el Ni˜ no rodeado de santos.

Este retablo dividido en dos a lo alto y a lo ancho, sigue una composici´on sobre la relaci´ on 2/3 o Diapente; sus personajes verticales e inm´ oviles est´ an inscritos en un c´ırculo. Una composici´ on que tiene su reflejo en la arquitectura: la banda oscura se sit´ ua sobre el segundo tercio de la altura; los dos c´ırculos de la b´oveda cortan otro c´ırculo, centrado sobre el primer tercio de la altura y en el cual se inscriben dos hex´ agonos. Las prolongaciones de los lados de uno de los hex´ agonos determinan la altura de la b´ oveda. De este modo, a pesar del aparente desfase en la distribuci´ on de los espacios, la composici´on es monol´ıtica como un cuerpo pitag´orico.

Fig. 4.8: La Virgen y el Ni˜ no rodeados Pinacoteca 1472-74,

de

santos,

di

Brera

Oleo

sobre

tela, 248 × 170 cm.

4.

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67

Un ejemplo claro de Albertismo en la pintura es: 4.4. Alessandro Di Mariano Filipepi (Sandro Botticelli) 1444-1510

Fig. 4.9: El Nacimiento de Venus. Galeri´a Uffizi, Florencia. T´empera sobre lienzo, 172.5 x 278.5 cm.

El Nacimiento de Venus es una de las obras m´as famosas de Botticelli. Fue pintada para un miembro de la familia M´edici, decorando uno de sus palacios de descanso en el campo. El tema mitol´ogico era habitual en estos emplazamientos campestres, surgiendo im´agenes como la Primavera o Venus y Marte. El momento que nos presenta el artista es la llegada de la diosa, tras su nacimiento, a la isla de Citera, empujada por el viento, como describe Homero quien sirvi´o de fuente literaria para la obra de Botticelli. Venus ha surgido del mar en una concha, que es dirigida por los dioses del viento hacia la costa entre una lluvia

4.

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de rosas. Cuando est´a a punto de dar un paso en tierra, una de las Ninfas, la recibe con una capa p´ urpura. La Venus de Botticelli es tan hermosa que no advertimos la longitud antinatural del cuello, la ca´ıda escarpada de los hombros y la manera rara en que el brazo izquierdo es desprendido del cuerpo. Debemos decir que estas libertades que Botticelli tom´o con la naturaleza para la belleza y armon´ıa del dise˜ no, por que ellos aumentan la impresi´on de un ser infinitamente delicado que lleg´o por aire a nuestras costas como un obsequio del Cielo. Lado superior izquierdo: El C´efiro del Viento de Oeste y Chloris con miembros entrelazados como una entidad de doble: el C´efiro sopla vigorosamente; mientras que Chloris suspira suavemente para entibiar el viento que dirige a tierra a Venus. Por todas partes caen rosas cada una con un coraz´on dorado que, seg´ un la leyenda, aparecieron durante el nacimiento de Venus. Lado derecho superior: La Costa Arbolada corresponde al jard´ın sagrado del Hesp´erides en el mito griego y cada flor blanca peque˜ na se vuelca con oro. El oro muestra a trav´es de la pintura, la posici´on divina de Venus. Cada hoja verde obscura se tiene una espina dorsal y el resumen oros, y en los troncos de a´rbol se ponen los toques de luz con l´ıneas diagonales. El lado derecho: La Ninfa es una de las tres diosas griegas de las temporadas, que eran asistentes de Venus. Su vestido lujosamente decorado y en la bata magnifica con que reviste a Venus se bordan margaritas rojas y blancas, con primaveras amarillas, y con flores color azul, todo florece apropiado al tema del nacimiento. Ella lleva una guirnalda de mitro, el a´rbol de Venus y una banda de la rosa. El centro: Botticelli representa a Venus con una compleja y armoniosa serie de torsiones y vueltas, cuando ella est´a a punto de dar un paso lejos de su gigante concha dorada. Venus es la diosa del amor y su nacimiento se debe a los genitales del dios Urano, cortados por su hijo

4.

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Cronos y arrojados al mar. Sus largos cabellos rubios cubren sus partes ´ıntimas mientras que con su brazo derecho trata de taparse el pecho, repitiendo una postura t´ıpica en las estatuas romanas de las Venus P´ udicas. T´ecnicamente, Botticelli ha conseguido una figura magn´ıfica aunque el modelado es algo duro, reforzando los contornos con una l´ınea oscura, como si se tratara de una estatua cl´asica. De esta manera, el artista toma como referencia la antig¨ uedad a la hora de realizar sus trabajos. Los ropajes se pegan a los cuerpos de los personajes, destacando todos y cada uno de los pliegues y los detalles para demostrar su formaci´on como orfebre en su juventud. El resultado es sensacional pero las pinturas de Botticelli parecen algo fr´ıas e incluso primitivas. An´ alisis del cuadro

En esta obra Botticelli utiliza la segunda de las relaciones caracter´ısticas de Alberti, el doble diatesar´ on, 9/12/16. Venus sigue la l´ınea oblicua de las cesuras 9 tomadas: arriba de izquierda a derecha y debajo de derecha a izquierda.

Las l´ıneas que sirven de apoyo a los Vientos y a la Ninfa forman los lados de un tri´ angulo cuya altura es oblicua de Venus. La posici´ on desequilibrada de este tri´angulo acent´ ua el movimiento de traslaci´on.

4.

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La Ninfa queda dentro de un tri´angulo principal, que a su vez es dividido por la l´ınea en la cual se apoya se brazo izquierdo y su pierna derecha, y otras dos que marcan el centro del cuerpo, haciendo que converjan en el antebrazo las l´ıneas principales.

Finalmente se tiene el an´alisis siguiente:

70

4.

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4.5.

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Luca Pacioli (1445-1517)

Naci´o en la peque˜ na localidad de Borgo San Sepolcro, la misma en la que naciera Piero della Francesca del que fue alumno y amigo. Hacia 1470 se va a Roma aloj´andose en casa de Leon Battista Alberti y coincidiendo all´ı con su maestro.(Este es un dato interesante, ya que se puede resaltar el hecho de c´omo estos tres personajes llegan a coincidir) Gran parte de la obra algebraica de Piero se incorpor´o a un libro publicado por Luca Paccioli y titulado Summa de aritm´etica, geometr´ıa, proportioni et proporcionalita. La mayor parte de la obra de Piero sobre los s´olidos, que apareci´o en lat´ın, la tradujo Luca Pacioli al italiano, incorpor´andola de nuevo (o plagi´andola, como dicen muchos ´ con menos tacto) en su famoso libro sobre la Proporci´on Aurea: Divina Proportione. Publicado en Venecia en 1509, el cual consta de tres vol´ umenes. El primer volumen, Compendio de Divina Proportione, con´ tiene un resumen detallado de las propiedades de la Proporci´on Aurea (a la que Pacioli se refriere como Proporci´on Divina), as´ı como un estudio de los s´olidos plat´onicos y otros poliedros. En la primera p´agina de La Proporci´on Divina, Pacioli declara de un modo grandilocuente que ´esta es “una obra necesaria para todas las mentes perspicaces y curiosas, en la que todo aquel que ame estudio de la filosof´ıa, la perspectiva, la pintura, la escultura, la arquitectura, la m´ usica y otras disciplinas matem´aticas, se encontrar´a con una ense˜ nanza muy delicada, sutil, y admirable, y se regocijar´a con las diversas cuestiones de una ciencia muy secreta”. Pacioli dedic´o el primer volumen de La Proporci´on Divina a Ludovico Sforza y, en el quinto cap´ıtulo, ofrece cinco razones por las que cree que La Proporci´on Divina deber´ıa ser el nombre apropiado para ´ la Proporci´on Aurea.

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1. “Es una y nada m´as que una”. Pacioli compara el valor u ´nico ´ de la Proporci´on Aurea, al hecho de que la unidad “es el ep´ıteto supremo de Dios”. 2. Pacioli encuentra una similitud entre el hecho de que la definici´on ´ de la Proporci´on Aurea comprenda tres longitudes y la existencia de la Sant´ısima Trinidad: Padre, Hijo y Esp´ıritu Santo. 3. Para Pacioli, la inconmensurabilidad de Dios y el hecho de que la ´ Proporci´on Aurea sea un n´ umero irracional son equivalentes. En palabras suyas: “Del mismo modo que Dios no puede ser definido ni comprendido con palabras, nuestra proporci´on no puede designarse con n´ umeros intangibles ni expresarse con ninguna cantidad racional, sino que ha de permanecer escondida y en secreto, y es denominada irracional por los matem´aticos” 4. Pacioli compara la omnipresencia y la invariabilidad de Dios con ´ la auto-similitud asociada a la Proporci´on Aurea, es decir, el valor es siempre el mismo y no depende de que se divida la longitud de la l´ınea o del tama˜ no del pent´agono en que se calculen las proporciones de las longitudes. 5. La quinta raz´on nos revela una visi´on de la existencia m´as plat´onica que la del mismo Plat´on. Pacioli afirma que, del mismo modo que Dios cre´o todo el cosmos a trav´es de la quinta esencia, represen´ tada por el dodecaedro, la Proporci´on Aurea crea el dodecaedro, ´ ya que no puede construirse sin la Proporci´on Aurea. A˜ nade que ´ sin la Proporci´on Aurea es imposible comparar los otros cuatro s´olidos plat´onicos ( que representan la tierra, el agua, el aire y el fuego) entre s´ı.

4.

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Fig. 4.10: S´ olidos Plat´ onicos de la Divina Proporci´on realizados por Leonardo Da Vinci

Los dibujos de poliedros trazados por, seg´ un Pacioli, una “indescriptible mano izquierda”. Para asegurar el atractivo del libro, Pacioli consigui´o para La Proporci´on Divina los servicios del ilustrador so˜ nado por cualquier autor: el mism´ısimo Leonardo da Vinci se encarg´o de las sesenta ilustraciones de s´olidos, dibujando tanto la estructura como su forma s´olida. Pacioli se apresur´o a expresarle su agradecimiento. Escribi´o lo siguiente sobre la contribuci´on de Leonardo: “el mejor pintor de perspectiva, arquitec-

4.

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to, m´ usico, el hombre dotado de todas las virtudes, Leonardo da Vinci, que dedujo y elabor´o una serie de diagramas de s´olidos regulares”. El segundo libro de La Proporci´on Divina es un tratado sobre la proporci´on y su aplicaci´on en la arquitectura y escultura del cuerpo humano. El tratamiento de Pacioli se basaba en su mayor parte en la obra del ecl´ectico arquitecto romano Marcos Vitruvius Pollio. El tercer volumen (un peque˜ no libro dividido en tres tratados parciales sobre los cinco cuerpos regulares) es b´asicamente una traducci´on italiana, palabra por palabra, de los Cinco S´olidos Regulares de Piero escrita en lat´ın. El hecho de que Pacioli no reconociera, en ning´ un pasaje del texto, que no era m´as que el traductor del libro, provoc´o una airada denuncia por parte del historiador del arte Giorgio Vasari.

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4.6. Leonardo da Vinci (1452-1519) ´ El aspecto actual del fresco de Leonardo titulado “La Ultima Cena”nos hace agradecer la existencia de un estudio previo tan completo como el que ahora podemos ver. Una de las caracter´ısticas que m´as impact´o a los contempor´aneos de Leonardo que vieron el fresco reci´en terminado fue la galer´ıa de personalidades, de retratos psicol´ogicos, que el artista hab´ıa plasmado en ´el. El deterioro r´apido y brutal del fresco nos impide hoy d´ıa apreciar ese efecto de contraste, en el que rostros ancianos estaban ancianos estaban junto al de los j´ovenes, bellos junto a feos, sorprendidos frente a serenos... en ello se basa la riqueza de esta obra. El u ´nico modo que se ha tenido de reconstruir idealmente la fuerza original del conjunto ha sido este dibujo, en el que de pu˜ no y letra de Leonardo aparecen individualizados cada uno de los disc´ıpulos, con valiosas anotaciones que indican sus nombres, actitudes, ubicaci´on, etc. A Leonardo le llevo siete a˜ nos completar la obra. Las figuras que representan a los doce ap´ostoles y a Jes´ us fueron tomadas de personas reales. La persona que ser´ıa el modelo para ser Cristo fue la primera en ser seleccionada. Cuando se supo que Da Vinci pintar´ıa esa obra, cientos de j´ovenes se presentaron ante ´el para ser seleccionados. Da Vinci buscaba un rostro libre de la cicatrices y los rasgos duros que deja la vida intranquila del pecado. Finalmente, despu´es de algunos meses de b´ usqueda seleccion´o a un joven de 19 a˜ nos de edad como modelo para pintar la figura de Jes´ us. Por seis meses Leonardo trabaj´o para lograr pintar al personaje

4.

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principal de esta magn´anime obra. Durante los seis siguientes a˜ nos continu´o su obra buscando personas que representar´ıan a 11 ap´ostoles, dejando para el final a aquel que representar´ıa a Judas. Por semanas estuvo Da Vinci buscando a un hombre con una expresi´on dura y fr´ıa. Un rostro marcado por cicatrices de avaricia, decepci´on, traici´on, hipocres´ıa y crimen. Lleg´o a los o´ıdos de Leonardo que exist´ıa un hombre con tales caracter´ısticas en el calabozo de Roma. Este hombre estaba sentenciado a muerte por haber llevado una vida de robo y asesinatos. Da Vinci vi´o ante el un hombre maltratado, el cabello largo ca´ıa sobre su rostro escondiendo dos ojos llenos de rencor, odio y ruina. Al fin hab´ıa encontrado a quien modelar´ıa a Judas en su obra. Por medio del permiso del rey, este prisionero fue trasladado a Mil´an al estudio del maestro. Por varios meses este hombre se sent´o silenciosamente frente a Da Vinci mientras el artista continuaba con la ardua tarea de plasmar en su obra al personaje que hab´ıa traicionado a Jes´ us. Cuando Leonardo di´o el u ´ltimo trazo, se volvi´o a los guardias del prisionero y les di´o la orden de que se lo llevaran. Mientras sal´ıan del recinto el prisionero se solt´o y corri´o hacia Leonardo Da Vinci grit´andole: ¡Da Vinci! ¡observame! ¿no reconoces qui´en soy? Leonardo lo estudi´o cuidadosamente y le respondi´o: Nunca te he visto en mi vida, hasta aquella tarde fuera del calabozo de Roma. El prisionero levanto los ojos , cayo de rodillas al suelo y grit´o desesperadamente: Leonardo Da Vinci: M´ırame nuevamente, pues yo soy aquel joven cuyo rostro escogiste para representar a Cristo hace siete a˜ nos...! ´ El encargo de La Ultima Cena lo efectu´o Ludovico el Moro, duque

4.

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de Mil´an. Lo quer´ıa para el monasterio de Santa Mar´ıa delle Grazie, que hab´ıa convertido en la capilla familiar de los Sforza. El duque sol´ıa ir a cenar los jueves con el abad, y pidi´o a Leonardo que adornara la sala con este fresco. La composici´on de Leonardo ha resultado crucial. Su ´exito se basa en la fuerza psicol´ogica de la escena. Contra lo habitual hasta el momento, el pintor no centra la escena en el momento de la consagraci´on del pan, la instituci´on de la Eucarist´ıa, sino en el momento en el que Cristo denuncia la traici´on de uno de los disc´ıpulos. Ante su palabra, cada disc´ıpulo reacciona de una manera diferente, lo que permite realizar a Leonardo un completo estudio de los temperamentos humanos: la c´olera, la sorpresa, la incredulidad, la duda... la culpabilidad. Judas no est´a, como tradicionalmente, a un extremo de la mesa, sino en medio, sin hablar con nadie. No s´olo eso. La manera tradicional de organizar un grupo tan abundante en un friso horizontal, se sol´ıa colocar dos grupos de seis a ambos lados de Cristo. Pero Leonardo los distribuye en grupos de tres. Destaca a Cristo no con los atributos conocidos, como el halo de santidad, sino con una ventana tras ´el, abierta al paisaje, cuya luz natural destaca su figura.

´ Fig. 4.11: La Ultima Cena. Museo: Santa Maria delle Grazie. Fresco, 480 x 880 cm.

4.

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An´ alisis del cuadro La composici´on de esta obra se basa rigurosamente en una construcci´on geom´etrica. En este fresco se sigue una disposici´on simple: la figura del diapas´on, el doble cuadro o proporci´on de 1 a 2, recordemos que se llamaba en esa ´epoca diapas´on por tener el mismo significado que este t´ermino musical. Hay que recordar tambi´en que Leonardo era un apasionado de la m´ usica y hablaba frecuentemente de la sutileza de las relaciones del arte de los sonidos con la pintura.

Leonardo coloca un cuadrado junto a dos medios cuadrados, luego traza las diagonales del cuadrado central.

Traza las diagonales del rect´angulo mayor y divide en seis partes iguales el cuadrado central mediante l´ıneas verticales partiendo de la l´ınea central.

4.

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Al intersectar las diagonales del cuadrado central con las l´ıneas verticales de divisi´ on , se inscriben dos cuadrados, el central mas peque˜ no y limitado por los lados de las ventanas y el borde superior de la mesa, rodea a la figura de Cristo; a su alrededor el cuadrado intermedio delimita el muro del fondo. La altura de los p´ aaneles viene dada por las diagonales del rect´ angulo. Si traz´ aramos el c´ırculo sugerido por el front´ on de la ventana, obtendr´ıamos una vasta aureola en torno a la cabeza de Cristo.

Se trazan los tri´ angulos correspondientes para definir personajes centrales y secundarios

Trazando l´ıneas paralelas a las diagonales del rect´ angulo mayor, se tiene que las figuras de los ap´ ostoles est´ an dispuestas, de tres en tres, en cada uno de los pol´ıgonos de la escena, algunos por encima de la horizontal y otros por debajo.

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4.

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As´ı finalmente se tiene el an´alisis completo

80

4.

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4.7.

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Alberto Durero (1471-1528)

Fig. 4.12: Melancol´ıa I. Biblioteca Nacional de Francia. Grabado, 23.9 x 16.8 cm.

Si en el caso de los otros dos grabados que suelen asociarse con la Melancol´ıa I, el Caballero, la Muerte y el Diablo y San Jer´onimo en su celda, ve´ıamos que cada uno se correspond´ıa con una virtud, en este caso tenemos la representaci´on de la virtud intelectual. Melancol´ıa I significa la vida del genio profano en el mundo racional e imaginario de la ciencia y el arte. El Caballero... y San Jer´onimo son dos v´ıas

4.

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diferentes de conseguir lo mismo. Pero Melancol´ıa y San Jer´onimo representan dos aspiraciones antit´eticas. Se suele considerar que estos dos grabados son pareja, puesto que la abundancia de elementos opuestos casi como en un espejo es sorprendente. Melancol´ıa es una mujer, sentada en un banco de piedra, en lo que parece un edificio inacabado. El lugar es fr´ıo y solitario, cerca del mar, en mitad de la noche (por un lado tenemos la sombra que proyecta la luna sobre los objetos, y por otro el brillo de un cometa encerrado en un arco iris lunar). A Melancol´ıa le acompa´ nan un angelote trist´on y un perro fam´elico dormido a sus pies. Tambi´en Melancol´ıa est´a absorta, pero no en un trabajo sino en un estado de inactividad completa. Es indiferente a su aspecto descuidado, al cabello despeinado. Apoya la cabeza en el pu˜ no mientras que la otra ase mec´anicamente un comp´as y reposa sobre un libro cerrado. Sus enormes ojos est´an abiertos y fijos, con expresi´on sombr´ıa. El estado espiritual atormentado de la mujer se traduce tambi´en en los objetos desordenados que la rodean: sobre el muro hay una balanza, un reloj de arena, una campana y un cuadro m´agico con n´ umeros. Al lado, la escalera apoyada en la pared sugiere los trabajos reci´en abandonados. En el suelo hay herramientas de carpinter´ıa y arquitectura, un tintero, una pluma y dos objetos simb´olicos: una esfera de madera torneada y un poliedro de piedra. Resulta evidente que cada objeto es un s´ımbolo deliberadamente amontonado junto a los otros, por lo que el autor nos plantea una lectura bastante compleja. Ser´ıa arduo tratar de analizar en profundidad todos los elementos y la lectura final de la alegor´ıa, por lo que trataremos de repasar los m´as importantes y trascendentes en la historia del arte. Melancol´ıa no era un estado depresivo, pasajero en el ser humano, tal como se la entiende hoy d´ıa. Desde la Antig¨ uedad hasta la ´epoca de Durero, Melancol´ıa era uno

4.

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de los cuatro humores del hombre. Cada humor se asocia a uno de los cuatro elementos, de las cuatro estaciones, las cuatro edades del hombre, los cuatro vientos, los cuatro puntos cardinales y las cuatro fases del mundo. Melancol´ıa era el peor considerado de los cuatro humores y se asociaba a la tierra, la sequedad, el fr´ıo, el viento Boreal, el oto˜ no, la tarde y la edad de los sesenta en el hombre. Los hombres de constituci´on melanc´olica pose´ıan una constituci´on f´ısica diferente de los otros humores, lo que afectaba a su color de piel (terroso), cabellos, ojos, a su vulnerabilidad ante ciertas enfermedades (mentales, la locura principalmente) y por unas caracter´ısticas morales e intelectuales. As´ı, cualquier alteraci´on del humor melanc´olico provocaba la locura. Incluso en ausencia de una patolog´ıa declarada, los melanc´olicos pasaban por ser gente desdichada y descontenta, malhumorados y sombr´ıos. De los melanc´olicos se dec´ıa que eran malvados, avaros, mentirosos, olvidadizos, ap´aticos y con tendencia al estudio en soledad. Antes de la Melancol´ıa de Durero, esta alegor´ıa s´olo aparec´ıa en tratados de Medicina y almanaques (por su relaci´on con las cuatro estaciones). Se consideraba una enfermedad y se propon´ıan como remedios la m´ usica, los azotes, las plantas acu´aticas... As´ı, Melancol´ıa aparece coronada por hojas de ran´ unculos y lotos, para combatir su car´acter. La Melancol´ıa se asociaba a uno de los siete pecados capitales, la Pereza. Pero Durero cambia la Pereza por la inactividad, no por desidia sino por otros motivos. Est´a sumida en una intensa actividad intelectual, totalmente est´eril. No contin´ ua su trabajo por pereza sino porque le parece que no tiene sentido. Es la inteligencia la que paraliza su energ´ıa. El hecho de su superioridad intelectual se traduce en las alas que adornan su espalda, s´ımbolo de la imaginaci´on y la creatividad. Los diferentes objetos que la rodean son los atributos de la Geometr´ıa, que era la s´ıntesis de las Artes Liberales, propias de los arist´ocratas, y las Artes Mec´anicas, de los artesanos y villanos. Durero de este modo, intelectualiza la Melan-

4.

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col´ıa y la asocia al Arte. Lo que est´a tratando de conseguir es identificar al artista con un car´acter melanc´olico, dotado de ciertos rasgos que le hacen u ´nico y genial, puesto la Melancol´ıa se asocia con Saturno. Saturno es el planeta de los creadores. Su influencia es terrible sobre el a´nimo de los melanc´olicos, por lo que han de protegerse con talismanes astrol´ogicos: la mala influencia se aprecia en el cometa, un fen´omeno mal´efico. La protecci´on est´a en el cuadro m´agico, conocido como la “mesa de J´ upiter”, cuyas cifras le´ıdas en cualquier sentido suman 34. Adem´as, incluyen las cifras de la muerte de la madre de Durero, que afect´o mucho al artista (ocurri´o el mismo a˜ no de 1514). En fin, los s´ımbolos y los significados van mucho m´as all´a de lo que razonablemente podemos incluir en esta descripci´on y s´olo puede decirse que Durero realiz´o un aut´entico manifiesto lleno de modernidad en la constituci´on del artista, tal y como hoy lo conocemos. Las caracteristicas del artista como genio, atormentado por la creatividad, sometido a sus impulsos, hura˜ no, solitario, etc., las acu˜ naron artistas renacentistas como Durero, que contribuyeron a crear un mito tan artifical como efectivo, puesto que se ha mantenido hasta nuestros d´ıas. S´ olido de Durero

Fig. 4.13: S´olido de Duero

El autor de Melancol´ıa I, nunca especific´o como fue construido este

4.

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s´olido de 8 caras, Schreiber (1999) not´o que este parec´ıa una especie de cubo distorsionado, el cual primero se estira, dando as´ı las caras rombales con a´ngulos de 72◦ , y luego trunca la parte superior e inferior para producir las caras triangulares cuyos v´ertices se encuentran en la circunsfera a los v´ertices del cubo azimutal.

El esqueleto del s´olido de Durero es una graf´ıca de Pateasen generalizada P2,6 . Comenzando con un cubo como unidad el cual estar´a orientado paralelamente con los ejes del sistema coordenado, rotando por a´ngulos √ de Euler es decir ψ = π4 y θ = sec−1 3, para alinear un triple eje de simetr´ıa a lo largo del eje z. El factor de estiramiento necesario para producir ´angulos rombales de 72◦ es. s s=

3 1+ √ 5

Los puntos azimutales est´an a una distancia d =

s 2

del origen, y

ordenando los v´ertices de los tri´angulos obtenidos por truncar la posici´on a la misma distancia, se debe truncar a una distancia de

√ 3− 5 2

a

lo largo de uno de los puntos azimutatles, correspondiente a la altura.

4.

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s h=

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23 1 √ − 5 4

Entonces el s´olido resultante tiene seis caras pentagonales (126◦ − 108◦ − 72◦ − 108◦ − 126◦ ), de la cuales dos son tri´angulos equil´ateros y la longitudes de los lados tienen la proporci´on. √ 1 1 : (3 + 5) : 2

r

√ 1 (5 + 5) 2

An´ alisis ´ aureo de Melancol´ıa I A continuaci´on se da una descripci´on del a´nalisis de los trazos del cuadro, realizado por Santos Balmori en su libro “Aurea Mesura, la composici´on en las artes pl´asticas”. De acuerdo con Santos Balmori La logica de la “composici´on”, es magn´ıfica y nos pareci´o digna de intentarse “en sus elementos puramente geom´etricos”, descartando decididamente todo elemento figurativo que la viste. Aqu´ı presentamos el resultado de este planteamiento “geom´etricolum´ınico”, elaborado as´ı con el prop´osito de enfatizar los ordenamientos constructivos de la obra. Ante la interrogaci´on de que si en verdad pudo haber sido as´ı el trazado lineal en que se apoyan los elementos figurativos de ese espl´endido grabado, casi podemos contestar afirmativamente, y a´ un sugerir que tal vez su complicaci´on fue m´as profusa, si tenemos en cuenta la minuciosidad, la “eficiencia”germ´anica con que Durero laboraba. Toda la composici´on parece brotar del extremo en que esta colgada la campana y tambi´en de las caras irregulares del poliedro. La esfera igualmente desempe˜ na una funci´on muy importante, mucho m´as que los otros elementos figurativos.

4.

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Podemos a˜ nadir que las proporciones φ, se suceden unas a otras en magn´ıfico ritmo consecutivo, y nada es obra de la tan invocada casualidad [op. cit. P´aginas 148-149]. Con el fin de encontrar la relaci´on entre los trazos que indica Santos Balmori, y los cortes a´ureos, no trabajamos con el rect´angulo ´aureo, ni con el a´rea total del cuadro, para dar una mejor aproximaci´on geom´etrica de los trazos trabajamos con el rectangulo de base 1, la anchura del √ cuadro, y altura φ La decisi´on de tomar esta a´ltura se debe a que, las dimensiones del cuadro son: 23,9 × 16,8 cuya raz´on es 1,4226190476190476190476 o bien, 31 × 26 (Wikipedia), cuya raz´on es 1,1923076923076923076923 √ El valor de φ es aproximadamente 1.2720196495140689642524 En el primer caso, obtenemos un error de -0.150599398104978654795 cm. Mientras que, en el segundo caso, el error es de 0.0797119572063766 cm. Teni´endose, en ambos casos, un error inferior a 2mm. La figura con la que contamos, y sobre la cual se realiz´o el an´alisis, tiene dimensiones 26.37 cm. de alto por 20.39 cm. de ancho, cuyo cociente es 1.2927905836194212849435. A continuaci´on, presentamos las relaciones ´aureas que encontramos en el cuadro al reconstuir el an´alisis realizado por Santos Balmori. Este consta de 28 cortes a´ureos, 9 puntos medios de segmentos dados, y un √ rectangulo arm´onico de base unitaria y altura φ. Primeramente, consideramos el cuadrado unitario ABCD, donde el segmento AB indica la base del grabado. Posteriormente, trazamos el rect´angulo arm´onico ABEF cuyos lados √ est´an en proporci´on EF/AB = φ. En la siguiente parte, procederemos a construir un ret´ıculo que pasa por cortes a´ureos de los lados, o bien, de sus mitades, y que enlistamos

4.

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a continuaci´on: G corte ´aureo de

BE as´ı

BE BG

=

BG GE

=φ

H

punto medio de F E as´ı

F H = HE

I

punto medio de AB as´ı

AI = IB

J

corte ´aureo de

K

punto medio de HJ

as´ı

HK = KJ

L

punto medio de

as´ı

AL = IL

M

punto medio de AL as´ı

AM = M L

N

punto medio de

IN = N B

O

punto medio de HE as´ı

EH as´ı AI IB

as´ı

P

corte ´aureo de

BG as´ı

Q

corte ´aureo de

EG as´ı

R

corte ´aureo de

EO as´ı

S

punto medio de BE as´ı

T

corte ´aureo de

BS

as´ı

U

corte ´aureo de

BT

as´ı

V

corte ´aureo de

BU as´ı

W

corte ´aureo de

UV

as´ı

Z

punto medio de BV

as´ı

A1 corte a´ureo de

BZ as´ı

B1 corte a´ureo de

RE as´ı

EH EJ

=

EJ JH

=φ

HO = OE BG BP EG EQ EO ER

= = =

BP PG EQ QG ER RO

=φ =φ =φ

BS = SE BS BT BT BU BU BV UV UW

= = = =

BT TS BU UT BV VU UW WV

=φ =φ =φ =φ

BZ = ZV BZ BA1 RE RB1

= =

BA1 A1 Z RB1 B1 E

=φ =φ

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4.

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Fig. 4.14: Ret´ıculo base para el an´alisis de melancol´ıa

B1 corte a´ureo de

RE

as´ı

C1 punto medio de

EQ

as´ı

D1 corte a´ureo de

BA

as´ı

E1 corte a´ureo de F 1 corte a´ureo de

D1 A as´ı QC

as´ı

RE RB1

=

RB1 B1 E

=φ

EC1 = C1 Q BA BD1 D1 A D1 E1 QC QF 1

= = =

BD1 =φ D1 A D1 E1 =φ E1 A QF 1 =φ F1C

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4.

N´ umero ´ aureo y su relaci´on con las bellas artes

90

T´omese la perpendicular a lado BE que pasa por el punto F 1, y sea G1 el punto de intersecci´on de esta recta con la recta F A. T´omese la perpendicular a lado BE que pasa por el punto G, y sea H1 el punto de intersecci´on de esta recta con la recta F A. H1 G1 I1 I1 corte ´aureo de G1 H1 as´ı G1 = I1 =φ G1 I1 H1 D1 E1 J1 J1 corte a´ureo de E1 D1 as´ı E1 = J1 =φ E1 J1 D1 T´omese ahora la circunferencia con centro en E y que pasa por G. Esta

circunferencia corta la recta EF en el punto K1. Tr´acese la circunferencia con centro E y que pasa por K, y sea M 1 el punto de intersecci´on de esta circunferencia con el segmento BE. Con centro en E tr´acese una circunferencia por J. T´omese el segmento N 1 M 1 perpendicular a la recta F A. Y, en general, formemos el ret´ıculo formado por las rectas perpendiculares a los lados del rect´angulo ABEF que pasa por los puntos construidos anteriormente. Trace el segmento G I1, y sea Q1 el punto de intersecci´on de la perpendicular a BE por el punto P con la recta F A. Sea R1 el punto de intersecci´on de la recta F A con la perpendicular por S al segmento BE. O1 corte a´ureo de N 1 H1 as´ı P 1 corte a´ureo de O1 N 1 as´ı S1 corte ´aureo de R1 Q1 as´ı

N 1 H1 N 1 O1 O1 N 1 O1 P 1 R1 Q1 R1 S1 Q1 S1 Q1 T 1

= = =

N 1 O1 O1 H1 O1 P 1 P 1 N1 R1 S1 S1 Q1 Q1 T 1 T 1 S1

=φ =φ =φ

T 1 corte ´aureo de Q1 S1 as´ı = =φ Sea U 1 el punto donde se cortan las rectas F E con la perpendicular a AB por el punto D1. V 1 corte a´ureo de U 1 H as´ı W 1 corte a´ureo de V 1 H as´ı

U1 H = UV11VH1 = φ U1 V 1 V 1H = VW11WH1 = φ V 1W1 L E1 L Z1 = Z1 =φ L Z1 E1

Z1 corte a´ureo de L E1 as´ı Consideremos ahora los puntos B2, C2, D2, E2 y F 2 como muestra el diagrama (4.14).

4.

N´ umero ´ aureo y su relaci´on con las bellas artes

G2 corte a´ureo de S1 R1 as´ı H2 corte a´ureo de U 1 F 2 as´ı

S1 R1 S1 G2 U1 F 2 U 1 H2 U1 V 1 U 1 I2

= =

S1 G2 G2 R1 U 1 H2 H2 F 2 U 1 I2 I2 V 1

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=φ =φ

I2 corte a´ureo de U 1 V 1 as´ı = =φ Para continuar con la construcci´on, t´omese los puntos J2, K2, L2, M 2, N 2, O2, P 2, Q2, R2, S2, T 2 y U 2 como se muestra en el diagrama: Sea A3 el corte a´ureo de C1 E, esto es

C1 E C1 A3

=

C1 A3 A3 E

Se trazan los segmentos de recta y de circunferencia como indica la figura (4.15) Finalmente, se borran los trazos auxiliares, quedando el an´alisis final de luz y sombra de Balmori.

Fig. 4.15: An´alisis de Melancol´ıa I

4.

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Fig. 4.16: Estudio de luz y sombra realizado por Santos Balmori

92

4.

N´ umero ´ aureo y su relaci´on con las bellas artes

93

4.8. Jacopo Robusti Tintoretto (1518-1594) Tintoretto es posiblemente el primero que utiliza de manera particularmente din´amica los trazos habituales, aptos desde ahora para expresar el nuevo arte. Entre las grandes batallas de los Gonzaga, hay una:

Fig. 4.17: La Batalla de Pav´ıa

4.

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Cuyo primer plano esta barrido por oblicuas que delimitan las ´areas de sombra. Esta violenta e irregular triangulaci´ on acent´ ua el ´ımpetu de la batalla, pero parece escapar a todo trazado est´ atico.Efectivamente genera un desfase en secciones musicales cuyas figuras aqu´ı reproducidas clarifican la composici´ on. Sobre las figuras a, a’, b, b’, vemos una serie de trazos oblicuos que hacen girar los lados del cuadro en distintos sentidos y sugieren un movimiento basculante, a´ un estando s´ olidamente basados en la divisi´ on simple de rect´angulo. Cada uno tiene su propio car´ acter: el trazado 9/12/16, con el punto sobre

1 4

del lado,

dibuja un gran parelelogramo central.

94

4.

N´ umero ´ aureo y su relaci´on con las bellas artes

95

La proporci´ on 4/6/9, que utiliza aqu´ı Tintoretto con el punto de apoyo en

1 3

del

lado genera oblicuas m´ as violentas y un peque˜ no paralelogramo central. En las figuras a” b” el ritmo giratotio es sustituido por una concentraci´ on de trazados sobre las oblicuas, variando en funcion de la anchura de su haz.

S´olo as´ı se comprende el esfuerzo de los artistas barrocos por flexibilizar los principios tradicionales heredados y extraer de ellos nuevos esquemas, capaces de sostener la exuberancia de sus concepciones.

Fig. 4.18: Ya vimos c´ omo, en El nacimiento de Venus de Botiticelli, el movimiento part´ıa de la inversi´on de una relaci´on; este procedimiento proporcionar´ a grandes recursos a los artistas ´avidos de movimiento y expres´ıon dram´ atica. Tintoretto, en la Batalla de Pav´ıa, lo utiliza con gran seguridad.

4.

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4.9.

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Georges Pierre Seurat (1859-1891)

En 1878 o 1879 Seurat descubre el tratado de Chevreul y conoce entre otras cosas, la ley del contraste simult´aneo de los colores. Esta ley dice, “Si observamos al tiempo y con alguna atenci´on dos objetos coloreados, ninguno parecer´a de su color, es decir, tal como lo ver´ıamos aisladamente, sino con un matiz resultante del color real y del complemetario del color del otro objeto. Por otra parte, si los colores de los objetos no son del mismo tono, el tono de m´as claro se rebajar´a y el tono del m´as oscuro subir´a. En definitiva, por yuxtaposici´on parecer´an diferentes de lo que en realidad son. Pero la aplicaci´on que hace a la pintura de la ley del contraste simultaneo de los colores no es m´as que un aspecto, y el m´as discutible, de este arte voluntario apoyado en una est´etica precisa y consciente”. Robert Rey demostr´o un hecho muy importante: Seurat habr´ıa hecho una lectura muy atenta, l´apiz en mano, de un art´ıculo de David Sutter, del que extraer´ıa determinadas nociones de composici´on lineal. En este curioso art´ıculo resalta la importancia de “las l´ıneas est´eticas”, con la ayuda de ejemplos tomados del bajorrelieve o de la pintura de la Antig¨ uedad. La obra de Sutter, la philosophie des Beaux Arts apliqu´ee ´a la peinture, anterior y de car´acter m´as general (Par´ıs 1870), fue tambi´en sin duda para Seurat un libro de cabecera. ¿Qu´e encontramos en ´el? Primero lo siguiente: Ya dijo Plutarco: “En las artes, nada de lo que est´a bien hecho lo est´a por azar”, y yo no conozco obra alguna que haya triunfado de otro modo que por la previs´ıon y ciencia del artista. Para todo usan las reglas, las l´ıneas, las medidas, los n´ umeros. Y mas adelante: Una figura blanca que se eleva sobre un fondo negro desplaza al ojo por la brusca oposici´on del negro con el blanco y la monoton´ıa de esta oposici´on; la masa negra lucha con la blanca; no existe unidad. Pero si aclaramos una parte de este fondo, la intoducci´on de un blanco

4.

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subalterno determinar´a una unidad blanca, lo mismo si sumimos una parte de esta figura en la sombra, la masa negra se volver´a dominante y la unidad se ver´a restablecida . ¿No reside acaso en esta ley del blanco y el negro el principio de los admirables dibujos de Seurat y el secreto de su unidad? Pero todav´ıa hay m´as: Cuando la dominante es horizontal, podremos situar una serie de objetos verticales, porque esta serie compensar´a la l´ınea horizontal, mientras que una l´ınea vertical aislada crecer´ıa una segunda unidad. Seurat reflexionar´a profundamente sobre estas ideas, antes de formular su est´etica en la famosa carta del 28 de agosto de 1890 dirigida a Maurice Beaubourg. Esta carta constituye una declaraci´on de principios tan fundamentada, tan densa, que cada palabra es insustituible. S´olo extraeremos lo que tiene inter´es para nuestro estudio: El arte es armon´ıa. La armon´ıa es analog´ıa de los contrarios, la analog´ıa de los semejantes, en tono, color, l´ınea, considerados por la dominante y bajo la influencia de una iluminaci´on en combinaciones alegres, claras o tristes. Los contrarios son (...) para la l´ınea, los que se sit´ uan un ´angulo recto... La alegr´ıa de la l´ınea, las l´ıneas por encima de la horizontal; (...) la calma, es la horizontal; la tristeza, las direcciones descendentes. Y todas las obras de Seurat siguen fielmente estas ideas por ´el expuestas un a˜ no antes de su muerte; y como Seurat era de temperamento apacible y no se dejaba llevar por la tristeza, adopto frecuentemente la dominante horizontal. La obra siguiente, Las modelos, donde reproduce una parte de La Grande Jatte, es, con este u ´ltimo, el mas cautivador de los lienzos de Seurat; existe en ´el una especie de benevolencia -si no de ternuraque a´ un no se ha te˜ nido de dura iron´ıa, tambien la geometr´ıa es m´as discreta: las mujeres no se han transformado en aut´omatas. Dicho esto no parece dif´ıcil ver c´omo las tres mujeres de los lados se inscriben en

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tri´angulos y la mujer del centro sobre una gran banda vertical.

´ Fig. 4.19: Las Modelos. Instituto de Arte de Chicago. Oleo sobre lienzo, 207.6 x 308 cm.

Las proyecciones de los lados menores establecen dos ejes. a derecha e izquierda, AA, BB. Las diagonales de los cuadrados as´ı obtenidos dibujan un peque˜ no cuadrado central; sus proyecciones horizontales ser´ an a, b, y las verticales: c, c.

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Los cuatro puntos de intersecci´on, d, de las diagonales de las mitades horizontales con las diagonales de los cuadrados establecen la banda vertical central.

Las l´ıneas EE est´ an definidas por los puntos de cruce de las diagonales de las mitades y de las l´ıneas a, b. La l´ınea EE de la izquierda es el eje de la mujer de La Grande Jatte.

Las diagonales de cada cuadrado cortan el lado del otro cuadrado en un punto c’ que determona dos horizontales, c’c’, arriba y abajo. La de arriba, sirve de base a los marcos y de v´ertice superior al tri´angulo de la derecha. Estas horizontales vuelven a cortarse con las diagonales de los cuadrados en los puntos c, c; cort´ andose en otro punto con las diagonales del cuadro determinan, una vez m´ as, las l´ıneas EE.

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As´ı se establecen, en torno a la banda central, los tri´ angulos de los lados. Tri´angulo de la derecha: ´ angulo del cuadro, l´ınea c’, extremo inferior de la vertical c c. Tri´ angulo superior izquierdo: ´angulo del cuadro, l´ınea E, extremo inferior del eje mediano. Tri´ angulo inferior izquierdo: ´angulo del cuadro, l´ınea aa, extremo inferior de la vertical dd. La l´ınea xx pasa por los puntos de intersecci´on de las diagonales de los cuadrados y de las l´ıneas EE.

Fig. 4.20: As´ı pues la mujer situada de frente y de pie, sobre el eje del cuadro se inscribe rigurosamente en una banda vertical entre el borde de La Grande Jatte y el de los marcos . Las otras mujeres a uno y otro lado, obedecen a tri´ angulos is´ oceles. El de la derecha es el m´as esticto: a la derecha por la l´ınea de las piernas, a la izquierda por la del quitasol; la cabeza se encierra en el ´ angulo agudo. A la izquierda, la geometr´ıa es m´as discreta: sobre el tri´ angulo del grupo de La Grande Jatte, se superpone el de la mujer de espaldas, sentada sobre una especie de taburete, sobre el cruce de un quitasol y la perpectiva del muro subrayada por un abanico.

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4.10. Diego Rivera (1886-1957) Diego Rivera emple´o la secci´on ´aurea en todas sus grandes composiciones, casi siempre como medio para trazar una red constructiva, que le permit´ıa situar sus personajes en perfecta armon´ıa con otros o con el resto de la escena a describir. Es decir compon´ıa para “ubicar bien”todos los elementos de una escena, de manera que fueran independientes entre s´ı, partes separables de un total indivisible. Eran composiciones magn´ıficas, pero raramente trazadas para “acentuar un dinamismo de acci´on”, pues a excepci´on de las escenas de La Guerra Florida pintadas en los muros de Palacio Nacional de la ciudad de M´exico, y sobre todo, en la escenas de La Lucha pintadas en la escalera de honor del mismo Palacio, todas sus obras tienen una belleza m´as est´atica que din´amica. Era este modo de componer m´as af´ın a su personalidad de la b´ usqueda para expresar la acci´on en pleno desarrollo. El Museo Mural Diego Rivera alberga, desde 1988 el mural Sue˜ no de una tarde dominical en la Alameda Central, luego de los severos da˜ nos que el Hotel del Prado sufriera con los sismos de septiembre de 1985. Cuando Rivera pint´o este mural, lo hizo en una superficie de 74 metros cuadrados, ya hab´ıa realizado otros murales en mas de 20 ciudades de M´exico y Estados Unidos. En este cuadro se nos muestra un recorrido imaginario por la Alameda, en el que el pintor nos hace part´ıcipes de los recuerdos de su ni˜ nez y juventud, ejecutando el trazo original de la composici´on directamente sobre el muro. En la imagen aparecen 140 personajes, de los cuales conoci´o algunos que fueron protagonistas de la historia de M´exico, desde la conquista y la ´epoca colonial hasta la modernizaci´on de M´exico en la d´ecada de los 40. El recorrido est´a dividido en tres secciones de izquierda a derecha: en la primera est´an representados personajes de la conquista, el movimiento de independencia, la

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invaci´on norteamericana, los periodos presidenciales de Antonio L´opez de Santa Ana, la intervenci´on francesa y la Reforma. En la segunda parte est´an tres figuras centrales de la vida del muralista, la calavera Catrina, Jos´e Guadalupe Posada, Frida Khalo su tercera esposa y ´el mismo, autoretratado como un ni˜ no de nueve a˜ nos que toma de la mano a la “muerte Catrina”, rodeados de personajes del Porfiriato. En la trecera secci´on aborda los movimientos campesinos y las luchas populares, para concluir con una recreaci´on del M´exico moderno de la d´ecada de los 40: la nueva burgues´ıa, la arquitectura contempor´anea y la industia, donde Rivera se retrata nuevamente como un ni˜ no comiendo una torta. Se se˜ nala que en el mural se cumple con una tradici´on de la pintura renacentista, la de pintar a sus familiares, por lo que en la pintura se encuentran a Guadalupe Mar´ın, su segunda esposa, sus hijas Ruth y Guadalupe y su nieto Juan Pablo. Al igual que el hotel el mural ser´ıa inaugurado en 1948, pero Rivera incluy´o en la obra la pol´emica frase “Dios no existe”, pronunciada por Ignacio Ram´ırez, El Nigromante, lo que provoc´o que un grupo de enardecidos creyentes atacaran la pintura, raspando el rostro del ni˜ no con el que Rivera se hab´ıa retratado y la frase que hab´ıa provocado la controversia. El fresco qued´o oculto durante nueve a˜ nos con un biombo que se retiraba discretamente a petic´ıon de los visitantes, hasta que en 1956, un a˜ no antes de morir, Diego Rivera cambi´o la frase por “Conferencia en la Academia de Letr´an, el a˜ no de 1836”. En el fresco titulado Sue˜ nos de un domingo en la Alameda (19471948), la composici´on contiene recuerdos de mi vida, de mi ni˜ nez y de mi juventud y cubre de 1895 a 1910. Los personajes del paseo sue´ nan todos, unos durmiendo en los bancos y otros andando y conversando. Los m´as viejos recuerdan lo m´as pret´erito o hablan de ellos so˜ nando tambi´en y los m´as jovenes sue˜ nan en el futuro. Es decir, en el tiempo actual. En cuanto a la frase “Dios no existe”que aparece ah´ı, fue una

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cita hist´orica para situar la ´epoca del principio del liberalismo mexicano y tambi´en la del liberalismo cat´olico en contraste con la intolerancia inquistorial de la colonia espa˜ nola expresado en el mural con el martirio de la familia Carvajal, los primeros judios constructores de la industria en la Nueva Espa˜ na. Si esta frase hiere, si molesta a mi pueblo, para el que vivo, sue˜ no y lucho, salga de ah´ı en buena hora. Diego Rivera

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Fig. 4.21: Sue˜ no de una tarde dominical en la Alameda Central, fresco sobre tablero transportable, 1947, Museo Mural Diego Rivera, INBA

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An´ alisis del mural

Partimos del rect´angulo principal ABCD donde M es punto medio de CD H es corte a´ureo de DM K es corte a´ureo de CM, teniendo as´ı simetr´a para definir las tres partes que componen el mural. Se analizar´an las tres partes por separado: Primera parte: se divide en cuatro partes iguales a lo ancho, a lo alto, se tienen dos puntos J que es corte ´aureo de DA y K que es corte ´ aureo de AD, que para los primeros tres bloques los utiliza para ubicar la altura de los personajes quedando en una franja principal la mayoria, resaltando as´ı los que quedan fuera, el u ´ltimo bloque se tiene el punto n que es punto medio de HG y separa los globos de los cuatro personajes, los cuales a su vez estan separados por m que es punto medio de GG’ y J en cuanto altura.

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Segunda parte: se tiene el punto n que es punto medio, se tiene m1 que es corte a´ureo de HM y m2 que es corte a´ureo de KM. m1 y m2 son sim´etricos con respecto a M. Se hacen cortea a´ureos progresivos de m1 a H, para que apartir de n hacia abajo se distribuyan los personajes principales de esta secci´on y donde el punto medio q de GN sirve para delimitar rostros y torsos, luego separa los siguientes dos con punto medio de m1 y M, los u ´ltimos cuatro personajes est´an distribuidos por el corte ´aureo de m2 a K y de K a m2. Tercera parte: se tiene el punto o que es corte a´ureo de KC, las rectas que pasan por o y n dividen a esta secci´on en cuatro partes, en las que distrubuye los personajes. Para (1) divide en cuatro partes iguales el rect´angulo, para (2) usa las diagonales principales, para (3) divide en cuatro partes iguales a lo ancho y con punto medio q a lo alto, quedando entre n y q los personajes, quedando distribuidos en el primer cuarto, segundo y tercer cuarto, y el u ´ltimo cuarto, para (4) divide en cuatro partes iguales.

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Fig. 4.22: An´alisis final.

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Salvador Dal´ı Dom`enech (1904 - 1989)

´ Fig. 4.23: Cristo de San Juan de la Cruz. Museo Kelvingrove, Reino Unido. Oleo sobre lienzo, 205 x 116 cm.

Para pintar este cuadro, Dal´ı se bas´o en las teor´ıas contenidas en el Discurso sobre la forma c´ ubica del arquitecto del siglo XVI, Juan de Herrera, responsable del Escorial. Dal´ı tom´o al famoso doble de Hollywood, Russ Saunders, como modelo para pintar a Cristo, aunque hay quien afirma que el artista tom´o como modelo en realidad al trapecista Diego Schmieldl. La originalidad de la perspectiva y la habilidad t´ecnica a la hora

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de pintar el cuadro lo han hecho una de las obras maestras de Dal´ı. El a´ngulo llamativo del Cristo crucificado en la cruz, el contraste misterioso de luz y sombra, y los m´agicos efectos superficiales que sin esfuerzo hacen todo una impresi´on inolvidable en el espectador. Dal´ı se inspir´o en un dibujo hecho a pluma y tinta por el fraile carmelita espa˜ nol que fue canonizado como San Juan de la Cruz, con´ servado en el monasterio de la Encarnaci´on de Avila y en una imagen que dec´ıa haber so˜ nado de un c´ırculo dentro de un tri´angulo. Esta figura, que seg´ un ´el era como el n´ ucleo del a´tomo, era similar al dibujo del monasterio, as´ı que decidi´o usarla en el cuadro. El paisaje en calma se inspira en Port Lligat y en un dibujo de Vel´azquez para la redenci´on de Breda. Los pescadores est´an inspirados en una pintura de Le Nain. La pintura caus´o controversia por una variedad de razones. Los cr´ıticos del arte moderno sent´ıan que era un paso hacia atr´as, pues fue pintado en un estilo tan tradicional y pensado que seg´ un era claro que truncaba la carrera del artista. El Cristo de San Juan de la Cruz es una de las obras m´as conocidas y representativas de Dal´ı. La pintura muestra a Jes´ us crucificado, tomado en perspectiva y visto desde arriba, cuya cabeza, mirando hacia abajo, es el punto central de la obra. La parte inferior del cuadro es un paisaje apacible, formado por un lago rodeado de monta˜ nas. En un peque˜ no puerto, se afanan dos pescadores. Ambos son en realidad pintores famosos retratados por Dal´ı. Entre el crucificado y el lago se interponen unas nubes de tonos m´ısticos y misteriosos, iluminadas por el resplandor que emana de la cruz y de Cristo. La obra simboliza al Cristo Redentor. El fuerte clarooscuro sirve para resaltar la figura de Jes´ us y provocar un efecto dram´atico. Cristo es representado de forma humana y sencilla. Tiene el pelo corto, muy distinto a las representaciones cl´asicas y tiene una posici´on

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relajada. El letrero en la parte superior de la cruz donde se dice que se colocaron las iniciales INRI, que de acuerdo con el evangelio seg´ un San Juan capitulo XIX vers´ıculos 19 al 22,“Pilato mando a escribir un letrero, y ponerlo sobre la cruz Jes´ us el Nazareno, Rey de los Judios, en hebreo, latin y griego”, lo cual fue protestado por los judios, a lo que Pilato contesto “lo que he escrito, escrito esta.”, en el cuadro de Dal´ı est´a representado con una hoja de papel peque˜ na y doblada. En el n´ umero especial de 1952, editado por la Scottish Art Review, Dal´ı explica la pintura con las siguientes palabras: La posici´on de Cristo ha provocado una de las primeras objeciones respecto a esta pintura. Desde el punto de vista religioso, esa objeci´on no est´a fundada, pues mi cuadro fue inspirado por los dibujos en los que el mismo San Juan de la Cruz represent´o la Crucifixi´on. En mi opini´on ese cuadro debi´o ser ejecutado como consecuencia de un estado de ´extasis. La primera vez que vi ese dibujo me impresion´o de tal manera que m´as tarde, en California, vi en sue˜ nos al Cristo en la misma posici´on pero en paisaje de Prot Lligat y o´ı voces que me decian: “¡ Dal´ı tienes que pintar ese Cristo!.”

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An´ alisis del cuadro

Fig. 4.24: An´ alisis Cristo de San Juan de la Cruz

El centro de perspectiva E marca la l´ınea del horizonte. K corte ´aureo de

SF

H punto medio de

AC

as´ı

SF SK

=

SK KF

=φ

HI HT HT HU HU HV HV HW WH WY

=

HT TI HU UT HV VU HW WV WY YH

=φ

I

punto medio de BD

T

corte ´aureo de

HI

as´ı

U

corte ´aureo de

HT

as´ı

V

corte ´aureo de

HU

as´ı

W corte ´aureo de

HV

as´ı

Y

W H as´ı

corte ´aureo de

= = = =

=φ =φ =φ =φ

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Del An´alisis anterior se obtienen cinco tri´angulos principales. 1. 4EW1 W2 , en color blanco es un tri´angulo ´aureo, en el cual se desarrolla toda la perspectiva. 2. 4W2 T2 W1 y 4W1 W2 T3 en azul son gnomones del anterior. Los cuales a su vez se intersectan en el corte ´aureo X del segmento W2 T2 y del segmento W1 T3 , formando as´ı, 3. el tri´angulo ´aureo menor, 4XW1 W2 4. 4XSS 0 en color amarillo es un tri´angulo rect´angulo, que junto con los gnomones siguen la l´ıneas de los brazos. 5. 4T SS 0 en color violeta es un tri´angulo is´oceles, el cual pasa por los tres puntos donde supuestamente estan los tres clavos.

5. CUERPO HUMANO

La percepci´on de las proporciones humanas ha variado a lo largo de las pocas. Uno de los primeros documentos escritos sobre las proporciones humanas es de Marcus Vitruvius Pollio, arquitecto y escritor romano del siglo I. Comienza su obra Diez libros sobre arquitectura con la recomendaci´on de que los templos, para ser magn´ıficos, se construyan an´alogos al cuerpo humano bien formado, en el cual, dice, existe una perfecta armon´ıa entre todas las partes. Un ejemplo de proporci´on humana armoniosa que el mismo Vitruvio menciona es la altura que, en el hombre bien formado, es igual a la amplitud de sus brazos extendidos. Estas medidas iguales generan un cuadrado que abarca todo el cuerpo, un tanto que las manos y los pies desplazados tocan un c´ırculo centrado en el ombligo. Esta relaci´on del cuerpo humano con el c´ırculo y el cuadrado se asienta en la idea arquet´ıpica de la cuadratura del c´ırculo, que fascin´o a los antiguos, porque esas formas se consideraban perfectas e incluso sagradas, tom´andose el primero como s´ımbolo de las orbitas celestiales y el segundo como representaci´on de la “cuadrada”solidez de la tierra. Los dos combinados en el cuerpo humano sugieren, en el lenguaje simb´olico de los modelos, que aunamos en nosotros las diversidades del cielo y de la tierra, idea compartida por muchas mitolog´ıas y religiones. Cuando el Renacimiento redescubri´o la vigencia cl´asica de Grecia y Roma, Leonardo da Vinci ilustr´o con su famoso dibujo la versi´on de esta idea expuesta por Vitruvio.

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Fig. 5.1: Homo Cuadratus. Leonardo da Vinci. Galerias de la Academia. Dibujo, 34.2 x 24.5 cm.

Leonardo en su Tratado de la pintura (Proporciones y Movimientos del Cuerpo Humano) menciona lo siguiente: Todos los hombres alcanzan al tercer a˜ no de vida la mitad de la altura que tendr´an cuando sean adultos. Si un hombre que mida dos brazas es peque˜ no y uno que mida cuatro es grande en demas´ıa, habr´a de admirarse el t´ermino medio. Tres es el t´ermino medio entre dos y cuatro. Toma entonces un hombre de tres brazas de alto, m´ıdelo seg´ un las reglas que he de brindarte. Si crees que puedo estar equivocado, tomando por proporcionado a un hombre que no lo es en absoluto, respondo que ver´as muchos hombres que midan tres brazas de alto, y a un n´ umero todav´ıa mayor que tengan miembros regulares. Debes medir al m´as proporcionado. Este es un ejemplo de como Leonardo analiza las proporciones humanas, en este caso la cabeza humana: El largo de la mano es la tercera parte del brazo y entra nueve veces

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en la altura de un hombre, lo mismo sucede con el rostro y los espacios que est´an comprendidos entre la juntura del hombro y las clav´ıculas, entre la tetilla y el hombro, entre una y otra tetilla y entre cada tetilla y la anterior juntura. La distancia que hay entre la base de la nariz y el principio de la boca es un s´eptimo del rostro. La distancia que hay entre la boca y la l´ınea del ment´on es un cuarto del rostro y es equivalente al largo de la boca. La distancia que hay entre el puente de la nariz, de donde parten las cejas, y la l´ınea del ment´on, es igual a dos tercios del rostro. La distancia entre la l´ınea de la boca y el nacimiento del ment´on, all´ı donde comienza el labio inferior, es un tercio de la distancia que hay entre la l´ınea de la boca y la l´ınea inferior del ment´on, as´ı como es, tambi´en, la doceava parte de la cara. La distancia que hay entre el nacimiento del ment´on y su base, por otra parte, es igual a la fracci´on sexta de la cara y a la cincuenta y cuatroava parte del alto total de una persona. Desde la boca hasta la l´ınea inferior del ment´on hay un cuarto del rostro, al igual que desde la saliente u ´ltima del ment´on hasta la garganta. La distancia entre el ment´on y la nuca es igual a la que hay entre la boca y el nacimiento del cabello, esto es: tres cuartos de la cabeza. La distancia entre el ment´on y la quijada es equivalente a la mitad de la cabeza, as´ı como al ancho del cuello si se lo observa de perfil.

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El ancho del cuello entra una vez y tres cuartos en la distancia que media entre las cejas y la nuca. La distancia entre la inserci´on de una oreja y de la otra es igual a la que hay entre el ment´on y el entrecejo. En un rostro hermoso, la boca es tan grande como la distancia entre la l´ınea de los labios hasta la l´ınea inferior del ment´on. La depresi´on o l´ınea que hay debajo del labio inferior, se ubica en la mitad de la distancia entre l´ınea inferior del ment´on y la base de la nariz. Por s´ı mismo el rostro engendra un cuadrado: su ancho se da entre uno y otro extremo del ojo y su alto entre el nacimiento de la nariz y la base del labio inferior. Aquello situado por debajo y por encima de tal cuadrado tiene la altura de otro cuadrado equivalente.

Fig. 5.2: Proporciones de la cabeza humana (1488 h.). Leonardo da Vinci. Royal Library, Windsor Castle. Dibujo, 21.3 x 15.3 cm.

As´ı como este ejemplo del an´alisis de la cabeza humana, Leonardo analiza cada parte del cuerpo, pies, brazos, manos, piernas e incluso huesos y movimiento de articulaciones. Leonardo, como otros maestros

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del Renacimiento, fue un gran estudioso de las proporciones humanas y lo sintetiza con las siguientes palabras “...toda parte est´a dispuesta a unirse con el todo para as´ı, quiz´as, escapar de su incompletitud” Esta disposici´on de diversas partes del cuerpo humano a unirse con el todo tambi´en fascino a otro gran pintor renacentista, Alberto Durero, que public´o varios vol´ umenes sobre las proporciones humanas. Sus teor´ıas incluyen varias t´ecnicas que mostraremos a continuaci´on. El desnudo en la obra de Durero sufri´o un giro significativo tras su primer viaje a Italia. Su prototipo ideal proced´ıa del mundo antiguo. Sin embargo, sus desnudos, con una tendencia severa a la belleza y la proporci´on, presentan un modelo real en el que se pueden analizar las complexiones del cuerpo humano. La b´ usqueda de los secretos del arte representativo le llev´o durante sus u ´ltimos a˜ nos a la redacci´on de varios tratados te´oricos mediante los que quer´ıa ense˜ nar, con fundamento, la pr´actica pict´orica. Durero public´o los siguientes libros de arte: “Introducci´on para medir con regla y comp´as”(1525), “Tratado sobre fortificaciones”(1527); y los cuatro libros “Sobre proporciones humanas”(1528 - estos u ´ltimos p´ostumos-). Hablar del cuerpo humano se convirti´o en esta ´epoca (primer Renacimiento) en objeto de estudio art´ıstico. Y as´ı como el resto de artistas renacentistas se volcaron en el estudio del cuerpo humano y su representaci´on, tambi´en esto le pas´o a Durero. Dice el pintor: “Comprobando que el hombre es la m´as digna de las criaturas, se explcia que en todos los cuadros, la figura humana sea empleada como centro de inter´es”. Pero Durero, lejos de basar el estudio del cuerpo humano en el an´alisis anat´omico del mismo, como har´ıa Leonardo, se fijar´a exclusivamente en la apariencia exterior. Con ello, Durero efectivamente se aproximaba a las tesis m´as idealistas sobre la belleza corporal de Alberti, pero profundiz´o mucho m´as que el cr´ıtico italiano en la ordenaci´on de la est´etica corporal. As´ı, mientras Alberti divid´ıa la figura

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humana en seis pies, cada pie en diez pulgadas y cada pulgada en unidades m´ınimas, Durero continu´o la subdivisi´on a unidades m´as ´ınfimas. Pero su originalidad no qued´o ah´ı. Su principal aportaci´on es el descubrimiento de reglas para la composici´on del cuerpo humano en movimiento. Es cierto que Alberti y Leonardo hablaban del movimiento de la figura, pero siempre que lo hac´ıan, era partiendo de la figura en reposo. Durero analiz´o el movimiento en s´ı mismo. Y as´ı, analiz´o el movimiento del cuerpo humano desde dos puntos de vista: el primero, hablando de las posibilidades mec´anicas; el segundo: desarroll´ando los estados de a´nimo. Dicho esto, hay que advertir que al ver los cuadros de Durero es dif´ıcil de advertir: la composici´on de la figura humana es perpendicular o frontal. Opta por una composici´on r´ıgida, alejada de la naturalidad, buscando la representaci´on estereotipada. El estereotipo no obedec´ıa a una u ´nica concepci´on sobre la belleza. Lejos de las tesis de Alberti, Durero se acerca m´as a Leonardo, llegando a considerar que existen varios tipos de belleza, y que la funci´on del pintor es representarla a trav´es de la diferencia: “Y as´ı, en todas las figuras, sean fuertes o blandas, corpulentas o delgadas, una parte no debe ser gorda y otra huesuda... Pues todas las cosas deben concordar en simetr´ıa, y no estar mezcladas erroneamente. Las cosas que concuerdan en simetr´ıa se llaman bellas”(The Writtings of Albrech Durer, 248). En definitiva, manteniendo una profunda conexi´on con la pintura y teor´ıas est´eticas del Renacimiento italiano, Durero imprimi´o un sello original a su obra est´etica, preocup´andose y desarroll´ando temas pict´oricos con criterio propio.

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Veamos a continuaci´on ejemplos de las t´ecnicas que Durero utilizaba. Primeras construcciones proporcionales basadas en De Barbari

Seg´ un reporta Durero, primero aprendi´ o sobre construcci´ on de la figura humana de Jacopo de Barbari. Una de las primeras figuras. El pecho esta basado en un rect´ angulo.

Contrucci´on proporcional basado en Vitruvius La contrucci´on de este dibujo esta basada en los canones de Vitruvius, sin embargo el pecho esta inm´ovil, construido en un cuadro. La pierna derecha esta corregida. Su sistema esta basado en una combinaci´on de medidas an´alogas de partes del cuerpo y un rudimentario sistema de relaciones fraccionales de partes del cuerpo con su estatura.

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El “M´etodo Tri´angular”

Construido por medio del “m´etodo tri´angulo” combinado el uso de un comp´as. Durero experimenta con varios m´etodos de construcci´on para la figura humana antes de llegar a el sistema fraccional puro basado en la altura del cuerpo. La nota de Durero dice: “Dibuja una l´ınea, dividela en ocho partes, llamale “a” a la divisi´on superior. La primera secci´on de las ocho denota la cabeza. El largo del c´ırculo denota los brazos. Es un cuarto de la altura (el di´ametro). En el centro est´a la depresi´on del coraz´on. El c´ırculo peque˜ no tiene un cuarto del di´ametro del grande. El punto m´as bajo del c´ırculo peque˜ no es la ingle. Marcalo con una “a”. Ahora toma el comp´as y colocalo en el u ´ltimo punto mencionado y abrelo hasta el centro de la depresi´on del coraz´on. Luego mu´evelo hacia el ombligo y dibuja un arco largo. Donde se cruzan el c´ırculo largo marca “b” y “c”. Este es el punto de adherencia de los brazos”.

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El “Metodo Circular”

Fig. 5.3: Construcci´ on experimental de una figura inclinada, hecha mediante comp´ as

El sistema antropom´etrico, 1507 Este sistema esta basado en la longitud del cuerpo, ha reemplazado los m´etodos geom´etricos

Fig. 5.4: Izquierda; hombre de ocho cabezas de longuitud. derecha; mujer de ocho cabezas de longuitud

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Proporci´on progresiva

Fig. 5.5: Construcci´ on de hombre de ocho cabezas de longuitid

Figura humana en movimiento

Fig. 5.6: Construcci´ on de hombre de ocho cabezas de longuitid

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Construcciones esterom´eticas

Fig. 5.7: Construcci´ on de hombre de ocho cabezas de longuitid

A continuaci´on se muestran varias fotograf´ıa de Rocio Lafuente, bailarina del Tarrer Coreogr´afico de la UNAM, en donde se analiza del lado derecho sus proporciones de manera general, utilizando rect´angulos ´aureos y el lado izquierdo su distribuci´on corporal en t´erminos de la raz´on a´urea.

El cuerpo humano promedio, as´ı como el rostro humano, muestran una cantidad extraordinaria de relaciones arm´onicas en t´erminos de

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razon ´aurea, incluso en movimiento.

Fig. 5.8: Rocio Lafuente, Taller Coreogr´afico de la UNAM. Fotograf´ıa: Luis Angel Hidalgo Sol´ıs.

6. PERSPECTIVA LINEAL

Este cap´ıtulo esta basado en cuatro de los autores (anteriores a Desargues) que m´as se preocuparon por el estudio de la perspectiva, cada uno en su tiempo, aportando cada quien estudios muy valiosas, ´ comenzando por Euclides y su libro “Optica”, Leon Batista Alberti con su tratado “Della Pittura”, Leonardo da Vinci con su “Tratado de la pintura” y Piero della Francesca y su “Prospectiva Pingendi” ´ Al analizar el contenido de la Optica de Euclides notamos que esta consta de 7 definiciones y 58 proposiciones. Cabe destacar las definiciones 1 y 2, en la primera se afirma que los rayos visuales se propagan en l´ınea recta, la segunda definici´on dice que la figura contenida por los rayos visuales tiene forma de cono. Lo que respecta a las proposiciones: 15 de ellas la 2,4,5,7,37-47 se ocupan de los efectos de la distancia en nuestra percepci´on visual de los tama˜ nos. Otras de las formas, 6 y 22 (entre otras). 5 de los fen´omenos o´pticos relacionados con la esfera, 23-27. 2 de los fen´omenos o´pticos relacionados con el cilindro, 28 y 29 4 de los fen´omenos o´pticos relacionados con el cono, 30-33 Otras proposiciones resuelven problemas de altimetr´ıa y longimetr´ıa (18-21), Fen´omenos o´pticos relativos a figuras en movimiento (50-56) y de como una magnitud puede ser vista en determinada proporci´on (8, 48 y 49), Cabe notar que ninguna de sus proposicones trata sobre el tema del color. Y salvo las proposiciones 25-28 (fen´omenos relaciona-

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dos con esfera y cilindro) las proposiciones restantes trabajan sobre el supuesto de la visi´on monocular. Se agrupa igual a los “Elementos” de acuerdo al m´etodo axiomatico y su modelo es el tratado geom´etrico. Por otra parte, Alberti, en su tratado “Della Pittura” (inciso 1) solicita no ser considerado como un matem´atico, sino como un pintor que escribe sobre estos temas, pero aclara que tomar´a de los matem´aticos aquellas cosas que considere relativas para el tema. (inciso 2) Define punto, l´ınea (rectas y curvas), superficie y c´ırculo. Las propiedades permanentes de las superficies son de dos tipos, el contorno y sus clases “forma plana”, “esferica”y c´oncava. En el inciso 4, imagina los rayos de luz como fin´ısimos hilos que forman un haz, estrechamente unidos en el ojo, donde tiene su asiento el sentido de la visi´on. Los rayos, unidos en un haz dentro del ojo, son como tallos que brotan y se dirigen en l´ınea recta hacia la superficie opuesta al ojo y distingue entre aquellos que insiden sobre el contorno de las cosas, y miden su magnitud, y los otros.

Fig. 6.1: La forma general del diagrama muestra los tres tipos de rayos, OC representa el rayo c´entrico, en ´ angulo recto con cualquier l´ınea sobre la superficie. Las l´ neas OE representan los rayos extr´ınsecos, los cuales van hacia los puntos en la frontera de la superficie. Las l´ıneas OM corresponden a los rayos medianos, mismos que se dirigen hacia puntos dentro del contorno

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Los extr´ınsecos permiten medir dimensiones, y describe que: “La vision funciona mediante un tri´angulo cuya base es la cantidad observada y cuyos lados son esos mismos rayos que se extienden hacia el ojo a partir de los puntos extremos de dicha cantidad.” Conforme sea mas agudo el ´angulo en el ojo, m´as peque˜ na lucira la cantidad. En el caso de la superficie esf´erica el observador ve menos conforme se acerca y, al contrario, ve mas al alejarse de ellas. A una gran distancia una cantidad parece ser no mas grande que un punto. Entre mas rayos se utilicen para ver, la cantidad parecer´a m´as grande y entre menos rayos m´as peque˜ na. Los rayos extr´ınsecos, sosteniendose firmemente al contorno forman un cono alrededor de la superficie entera, por esta raz´on se dice que la visi´on se da a trav´es de una pir´amide de rayos. La pir´amide es un cuerpo oblongo de cuya base surgen l´ıneas rectas que prolongadas hacia arriba terminan en un punto com´ un. La base de la pir´amide es la superficie observada y los lados son los rayos visuales extr´ınsecos. La c´ uspide de la pir´amide se encuentra dentro del ojo, donde los ´angulos de las cantidades en los distintos tri´angulos se unen. Los rayos medianos son la masa de rayos contenida dentro de la pir´amide y encerrados por los rayos extr´ınsecos. El rayo c´entrico es el u ´nico rayo que incide directamente sobre la cantidad de forma tal que los a´ngulos en todas las direcciones son iguales. Este rayo, el m´as activo y fuerte de todos, act´ ua de

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manera que ninguna cantidad se muestra m´as grande que cuando es tocada por ´el, es el u ´ltimo en abandonar la cosa vista. Si se cambia la distancia y la posici´on del rayo c´entrico, la superficie parecer´a haber sido alterada. En la siguiente parte Alberti habla del efecto de las luces (naturales y artificiales) sobre los rayos visuales. La reflexi´on de los rayos siempre tiene lugar formando a´ngulos iguales (con la vertical que pasa por el punto de incidencia) Los rayos extr´ınsecos, intr´ınsecos y c´entricos y la pir´amide visual, se agrega el enunciado matem´atico, si una l´ınea recta intersecta dos lados del tri´angulo, y si esta l´ınea, que a su vez forma un nuevo tri´angulo, equidista de uno de los lados del primer tri´angulo, entonces el tri´angulo mayor sera proporcional al menor. Se dice que dos tri´angulos son proporcionales cuando sus lados y sus ´angulos guardan la misma relaci´on unos respecto a otros

Fig. 6.2: DE ha sido trazada paralela a BC. Los tri´angulos ABC y ADE son semejantes. ´ Esta es una consecuencia inmediata de las proposiciones 6 y 3 de los Elementos, si bien ah´ı no se encuentra demostrada.

Las partes del tri´angulo usual son los a´ngulos y los rayos, los cuales son iguales en las cantidades proporcionales y desiguales en

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las no proporcionales. Ya que la pir´amide visual se comprende de tri´angulos todo lo dicho acerca de los tri´angulos puede trasladarse a la pir´amide visual.

Fig. 6.3: La pir´amide visual es OAC. Los planos A’B’C’ y A”B”C” son intersecciones de ella (es decir, posibles pinturas). Lo que Alberti se˜ nala es que las proporciones entre magnitudes paralelas al objeto permanecen constantes. Por ejemplo, la proporci´ on entre las longuitudes A”B” y B”C” es la misma que la que corresponde a AB y BC y la de A’B’ con B’C’.

Despu´es Alberti habla un poco sobre cantidades no equidistantes. Algunas cantidades no equidistantes son colineales con los rayos visuales y otros son equidistantes de algunos rayos visuales. Los colineales no participan en la intersecci´on, no ocupan espacios pues no forma un tri´angulo.

Fig. 6.4: Objeto colineal con un rayo visual. Si un objeto est´a colocado a lo largo de un rayo visual sus dos extremos no pueden formar los v´ertices de un tri´ angulo cuyo otro v´ertice se encuentre en O y por ende el objeto no ocupa espacio en la pintura (o intersecci´ on).

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En lo que se refiere a cantidades equidistantes de los rayos visuales (i.e. paralelo al objeto, i.e. la l´ınea del objeto no pasa por O) cuanto m´as obtuso sea el a´ngulo mayor en la base del tri´angulo, menor ser´an los rayos que ocupar´a dicha cantidad y, en consecuencia, menor ser´a el espacio que ocupe en la intersecci´on, es decir, cuanto m´as obtuso sea el ´angulo mayor del tri´angulo en la base, mayor sera la alteraci´on que sufran.

Fig. 6.5: AB no es colineal con un rayo visual. Conforme aumenta el a´ngulo α m´as peque˜no se hace q’.

Preparac´ıon de la construcci´on en perspectiva.

1. Se elige la forma y el tama˜ no de la pintura. 2. Luego decide qu´e tama˜ no debe tener la figura humana y divide este tama˜ no en tres unidades 3. Se marcan estas unidades a lo largo de la base de la pintura

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4. Se escoge la posici´on del punto c´entrico (C es el punto opuesto al ojo del observador), cuidando que su altura este sobre la base sea inferior a la de un hombre en la pintura. 5. Se trazan rectas desde el punto c´entrico hasta cada una de las divisiones colocadas en la base del cuadr´angulo.

Para trazar las l´ıneas transversales (que equidistan de la base). El m´etodo consiste en hacer que los espacios entre cada par sucesivo de l´ıneas sea dos tercios del anterior, habiendo tomado la base como la primera l´ınea, i.e. P Q = 23 P B, QR = 32 P Q y as´ı sucesivamente. Continuando as´ı los espacios siempre ser´an, seg´ un dicen los matem´aticos, superbipartiens (i.e. a : b con a > b) respecto a los espacios que anteceden. Y cr´ıtica que la primera l´ınea se coloca al azar y no saben donde colocar el v´ertice de la pir´amide para que se tenga un punto de observaci´on correcto. Hecho del cual se derivan errores en la pintura.

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Para corregir este error, propone el siguiente m´etodo. 1. Inicia con los puntos de divisi´on a lo largo de la base unida al punto c´entrico. Las divisiones de la base son transferidas a una recta horizontal. 2. Sobre un extremo de esta l´ınea se construye un punto D a la misma altura que C. 3. Se trazan l´ıneas de D a las marcas de la divisi´on de la base. 4. Se traza una vertical a la distancia de la intersecci´on. 5. El patr´on de puntos de intersecci´on producidos se transforma a la orilla de la pintura. Los espacios paralelos son los espacios entre dos lineas equidistantes de la que ya hab´ıamos hablado anterirmente, es trazar una diagonal de cuadr´angulos contiguos en el punto.

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Ahora Leonardo da Vinci en su “Tratado de la pintura”, menciona y propone lo siguiente: La pintura se fundamenta en la perspectiva, que no consiste sino en el exacto conocimiento de los mecanismos de la visi´on. Todos los problemas de perspectiva pueden ser resueltos por medio de los cinco t´erminos matem´aticos, a saber: el punto, la l´ınea, el ´angulo, la superficie y el cuerpo. De entre ellos, el punto es u ´nico en su origen pues carece de altura, de longuitud y de anchura o profundidad; de donde se concluye que es indivisible y no conoce lugar. Las l´ıneas son de tres naturalezas, a saber: recta, curva y sinuosa. No conocen altura, ni anchura o profundidad; son pues, indivisibles, a excepci´on de lo que toca a su longuitud, y sus extremos los contituyen dos puntos. El a´ngulo es la conjunci´on de dos l´ıneas en un punto. Mecanismo de la visi´on. De ´optica. En esta secci´on, Leonardo habla de la importancia del sentido de la vista sobre los otros sentidos, del funcionamiento del ojo, y de c´omo se generan las im´agenes en el cristalino. Este apartado consta de los enunciados 107-123. Al igual que Alberti, en el apartado 118 habla de las pir´amides visuales (conos visuales), afirmando: 118.- El aire est´a lleno de pir´amides, cuyas aristas parten de todos los puntos del cuerpo luminoso y forman ´angulos tanto m´as agudos cuanto m´as se alejan de su punto de origen. 119.- La intensidad de las cosas presentes a la vista adquiere grados, lo mismo que los adquieren las voces que llegan a nuestro oido.

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120.- Los rayos de los cuerpos luminosos crecen tanto m´as cuanto m´as alejados de su origen.

1

121.- Los objetos no env´ıan su imagen al ojo con arreglo a las proporciones reales. La convergencia de los rayos rectos experimentan una inflexi´on al penetrar en el ojo. Acerca de la perspectiva, escribe del enunciado 124 al 142 124.- Entre los estudios de las causas y razones naturales tiene preferencia por sus muchos adeptos, el estudio de la luz; entre las grandes cosas matem´aticas, la certidumbre de la demostraci´on regocija, muy especialmente, el esp´ıritu de los investigadores. La perspectiva preside, pues, todos los tratados y disiplinas humanas all´ı donde las l´ıneas se complican con los modos de la demostraci´on, encontrando la gloria de la matem´atica y, a´ un m´as, de la fisica, floridas la una y la otra. 125.- La pintura se cimenta con la perspectiva, que no es sino el arte de representar lo que se ve, o sea de hacer objetos parecidos a los que contemplamos con los ojos. Semejante arte consiste en ir captando las formas y los colores de los objetos contemplados por medio de pir´amides. Hablo de pir´amides porque no hay objeto tan peque˜ no que no sea mayor que la retina, v´ertice de esas pir´amides. Si tomas, pues, las l´ıneas que parten de las extermidades de cada cuerpo y las contin´ uas hasta un punto u ´nico, formar´an entre si una pir´amide. La perspectiva es una raz´on demostrativa por la cual confirma la experiencia que todo objeto env´ıa a los ojos, por medio de l´ıneas piramidales, su propia semejanza. 1

Es obvio que el rayo luminoso sea tanto m´ as largo cuanto mayor la distancia entre el

ojo y el origen de la luz. Tan obvio que la frase de Leonardo ha de entenderse, a nuestro juicio, suponiendo que el autor se refiere a los a ´ngulos que forman los rayos luminosos convergentes en el ojo y tanto m´ as abiertos, en efecto, cuanto m´ as largos los rayos.

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Los cuerpos de igual magnitud formar´an un ´angulo m´as o menos grande, en la pir´amide correspondiente, seg´ un la distancia entre ellos. El punto, indivisible por su peque˜ nez, convergen todos los puntos de las pir´amides. 126.- La perspectiva es brida y tim´on de la pintura. La magnitud de la figura debe indicarnos la distancia a que se encuentra de nosotros. Si ves en el natural una figura grande, sabe que aparece as´ı porque est´a cerca. 127.- Hay tres perspectivas: una estudia las razones de la disminuci´on; la otra, el alejamiento de los colores; la otra el grado de lo finito, seg´ un el alejamiento BAC, tal como indica la figura. 128.- La perspectiva lineal consiste y tiene por oficio marcar, por medio de l´ıneas bien medidas, c´omo la segunda del segundo plano es menor que la del primero; la del tercero, menor que la del segundo; y as´ı de grado en grado, hasta perderse de vista. 129.- la perspectiva de la disminuci´on demuestra que cuanto m´as alejado est´a el objeto m´as peque˜ no nos parece. 130.- ... La visi´on llega al ojo por medio de diversas pir´amides, pir´amides que quedan seccionadas por el cristal. 131.- La naturaleza nos muestra la magnitud de los objetos con arreglo a la distancia. 132.- De dos cosas iguales aparece menor la m´as distante.

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133.- Es posible que el ojo no vea lo lejano demasiado diminuto, desmintiendo la perspectiva natural, pues los espacios disminuyen seg´ un la curvatura del ojo, que corta las pir´amides seg´ un ´angulos rectos esf´ericos. 136.- Para dar a los objetos su tama˜ no natural deben ser acabadas las figuras de los primeros planos, lo mismo en las miniaturas que en los cuadros grandes; en aqu´ellas vemos figuras de cerca; en ´estos, de lejos pero unas y otras figuras, aunque de dimensiones diferentes, parecen del mismo tama˜ no a causa de la abertura del a´ngulo con el que se mira. En la figura adjunta, sea el objeto BC y el ojo A; sean FG y DE el cristal por donde pasa la imagen representada en B, si el ojo A no se mueve, la magnitud de la pintura BC debe ser tanto m´as peque˜ na cuanto m´as cerca del ojo A se encuentre el cristal DE. Si haces la figura BC sobre el vidrio DE, la figura no debe estar tan acabada como la figura BC; pero, en cambio, debe m´as acabada que la figura NM. Hecha sobre el cristal FG, porque si PO estuviese tan acabada como BC, la perspectiva de PO ser´ıa falsa. Est´a bien que BC quede disminuida hasta el tama˜ no PO; pero su acabamiento, en cambio, no corresponder´ıa con la distancia, a pesar de la disminuci´on de la figura, porque buscando la perspectiva del natural BC con arreglo al grado de acabamiento, parecer´ıa muy cerca de OP. Si quieres que, dando a la figura el tama˜ no de OP parezca estar a la distancia BC, tienes que afinar el acabado hasta la minuciosidad del cristal FG. 139.- Entre los cuerpos de igual altura, el que est´e m´as lejos de los ojos ser´a el que aparezca m´as bajo. Notad las dos nubes de la figura.

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Aunque la primera , que est´a m´as cerca del ojo, est´e m´as baja que la otra, parecer´a m´as alta, conforme se demuestra trazando la l´ınea perpendicular AN que corta la pir´amide del rayo visual; en la MA, para que la parte que corresponde a la nube m´as baja, y en NM, que est´a debajo de la MA, en lo que respecta a la segunda. 140.- Entre las figuras de un mismo cuadro tendr´a m´as relieve aquella que est´e m´as cerca del espectador. 142.- Entre dos objetos de la misma magnitud, pero a distancias diversas, el m´as alejado se nos aparece bajo un a´ngulo menor. En la figura adjunta, BD es igual a CE, pero CE llega al ojo mediante un a´ngulo m´as peque˜ no que BD cuando est´a a mayor distancia de A seg´ un puede verse en el a´ngulo CAE con relaci´on al ´angulo BAD.

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Acerca de Dibujo Leonardo nos presenta lo siguiente: Proposiciones 154-270 169.- ... A la pintura le es imposible, incluso ejecutada a la perfecci´on y con exacta precisi´on de contornos, sombras, luces y colores, alcanzar tanto relieve como el natural a menos de que no sea vista con un solo ojo. La raz´on es porque como los dos ojos AB ven un objeto despu´es de otro, MN, el primero de ´estos ,M, nunca puede ocupar todo el espacio del segundo, N, ya que la base de la l´ıneas visuales es tan larga que ve el cuerpo segundo despu´es del primero. Pero cerrando un ojo, como en S, el cuerpo F ocupar´a el espacio de R, porque la visual entonces nace de un solo punto y hace su base en el primer cuerpo, por lo cual, siendo el segundo de igual magnitud, no puede ser visto, tal como se indica en la figura. De aqu´ı puede deducirse el porqu´e una figura pintada tapa el espacio que est´a detras de ella y no hay medio de descubrir la parte de fondo que corresponde a su contorno 172.- Los cuerpos opacos se nos aparecen con m´as relieve cuanto m´as cerca se encuentran de nosotros. En la figura adjunta sea P la parte m´as adelantada del objeto PH, m´as ceracana al ojo que N, parte m´as adelantada del objeto MN; y sea el campo DF el que deber´ıa ver detr´as de estos dos objetos. Consideremos ahora al ojo A; del objeto PH ve todo el fondo DF y no ve detr´as del segundo objeto, NM, sino parte del fondo DG. Esta proposici´on demuestra, pues, el relieve de los objetos, de un fondo al otro fondo, del fondo DG al fondo DF.

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173.- Las cosas de relieve pareceran pinturas cuando las veamos de cerca con un solo ojo. Si vemos el punto C de la figura con los dos ojos AB, parecer´a que el punto C est´a en DF; si se mira con un ojo M, parece que H est´a en G. En la pintura no se dan nunca estas dos variedades. 240.- Entre varias cosas iguales aquella que est´e menos alejada aparecer´a m´as clara y a la vez m´as peque˜ na 241.- Entre varias cosas iguales de tama˜ no, claridad y campo, aparecer´a m´as grande la m´as plana. Por u ´ltimo Piero y su “Prospectiva Pingendi”, el cual en su primera parte (Libro I) es dedicado solo al estudio de la perspectiva. Este libro comienza con una perspectiva euclideana, es decir, una ´optica natural. El primer teorema original que presenta Piero aparece en la proposici´on 8 en el que menciona lo siguiente: Teorema 8. Una determinada recta BC, se divide en varias partes. Otra l´ınea HI se dibuja paralela a la primera. El teorema establece que si las l´ıneas de divisi´on de los puntos BC convergen en el punto A, HI se dividir´a en la misma proporci´on que BC.

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La prueba utiliza tri´angulos semejantes. Dado que las dos l´ıneas son paralelas, HK BD

=

KL . DE

AK AD

=

HK . BD

Adem´as,

AK AD

=

KL . DE

De ello se deduce que

Como DE = BD, esto significa HK = KL. El mismo

razonamiento puede extenderse a LM, MN y NI.

Fig. 6.6: Proposici´on 8, Libro I

De hecho, este resultado fue tan influyente, que el tratado de Piero que las siguientes proposiciones no son m´as que simplificaciones de la misma. Proposici´ on. 12. El punto A es la posici´on del ojo, BC es la “superficie asignada”, B el punto en el cual la pintura intersecta las l´ınea DC. Piero prueba que BE es la “superficie degradada” requerida, ya que subtiende a A en un ´angulo igual al subtendido por la “superficie asignada”BC.

Fig. 6.7: Proposici´on 12, Libro I

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La primera instrucci´on para dibujar la proposici´on 13, establece que, como en el diagrama previo, AD y BF son perpendiculares a la l´ınea recta DBC. Luego se pide dibujar al cuadrado BCGF, AI la bisectriz perpendicular de BC y las l´ıneas AA y EDEK paralelas a DC. Se nota que la figura tiene un fuerte parecido a las construcciones Albertianas, aunque la construcci´on de Piero solo nos da un transversal, a saber la l´ınea DE, la cual representa el borde posterior del cuadrado. BCGF es el cuadrado el cual esta representado en forma degradada y A es el ojo. Por lo tanto si la imagen del plano es como BF la parte posterior del cuadrado, entonces GC debera verse como HE, porque estas longitudes subtienden el mismo ´angulo en A.

Fig. 6.8: Proposici´ on 14, Libro I. muestra la divis´ıon del cuadrado por ortogonales

Propocici´ on 14. Sea BCDE el cuadrado y sea A el ojo. Divide BC en tantas partes como tu quieras, en este caso en los puntos F,G,H e I los cuales dividen a DE en K,L,M y N. Entonces DE ha sido dividido en la misma proporci´on que dividimos a BC...

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Fig. 6.9: Proposici´ on 15, Libro I. muestra el procedimiento para completar el pavimento

Como Alberti, Piero requiere de la distancia entre el ojo y la pintura, la cual es representada por una longuitid medida m´as alla del borde de la pintura, sin embargo, este punto solo es usado una vez, para construir m´as transversales, despu´es de eso Piero usa las diagonales. Proposici´ on 30. El cuadrado BKL21, ha sido construido del mismo tama˜ no que los dem´as y AK ha sido dibujado para cortar a F21 en M. La posici´on del plano de la pintura esta dado por la l´ınea FG, pero la pintura es ahora imaginada como una extensi´on a fin de incluir a L.

Fig. 6.10: Proposici´ on 30, Libro I. detalle de la parte superior izquierda del diagrama original

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Piero ha probado que si K esta m´as all´a de la diagonal AFB, y que la longuitud del segmento de la ortogonal por K corta, la primera transversal ser´a mayor que KB. Veamos ahora un ejemplo de como utilizan la perspectiva lineal. En esta pintura el artista hizo uso de la perspectiva lineal para indicar que la iglesia se encuentra en la distancia. Las l´ıneas de los cuadrados del piso son paralelas en el mundo real, de modo que parecen converger en la pintura. N´otese que arriba a la izquierda hay un lugar donde el artista no dibujo las l´ıneas en convergencia: son paralelas. Esta ausencia de perspectiva lineal hace parecer que hay una inclinaci´on justo a la izquierda de la iglesia.

7. LOS INICIOS DE LA GEOMETR´ıA PROYECTIVA

La geometr´ıa proyectiva nace como consecuencia de los esfuerzos realizados por los artistas del Renacimiento para representar de manera m´as realista el mundo que les rodeaba. El gran problema al que se enfrentaron los pintores del Renacimiento era c´omo plasmar el mundo tridimensional real en un lienzo bidimensional. La clave para resolver esta cuesti´on fue la interpretaci´on de una propiedad de la visi´on monocular, debida principalmente a Le´on Battista Alberti, y que mencionamos en el cap´ıtulo anterior. Este esfuerzo por reflejar de forma m´as real los objetos tridimensionales llev´o a muchos artistas y arquitectos del Renacimiento a indagar en las leyes formales que rigen la proyecci´on y secci´on. Una cuesti´on b´asica, planteada por Alberti, era el estudio de aquellas propiedades geom´etricas que tienen en com´ un el objeto original y cualquiera de sus secciones. Es obvio que tanto las distancias como los a´ngulos no se conservan al proyectar y seccionar una figura. La b´ usqueda de una respuesta a esta cuesti´on condujo, en el siglo XV, a la creaci´on de los principios de una teor´ıa de la perspectiva geom´etrica. 7.1. La Geometr´ıa Proyectiva de Desargues Con objeto de dar soluci´on a ciertas necesidades del arte de la pintura y arquitectura de la ´epoca, Gerard Desargues (1591-1661) public´o en Par´ıs, en 1939, un tratado original pionero en geometr´ıa proyectiva titulado “Borrador de un ensayo de tratado de los resultados de los

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encuentros de un cono con un plano”(Brouillon proiect d’une atteinte aux evenemens des rencontres du cone avec un plan). En esta obra introduce, como veremos a continuaci´on, la noci´on de punto y recta al infinito, prueba la invarianza por proyecci´on de una cuatrena arm´onica, y desarrolla la teor´ıa de polos y polares entre otras cosas. Algunas de estas nociones hab´ıan sido introducidas por autores cl´asicos como Pappus de Alejandr´ıa (290-350) o Apolonio de Perga (262-190 A.C.), sin embargo ellos nunca razonaron en t´erminos de proyecci´on y secci´on. Su plan de trabajo consist´ıa en el estudio de resultados comunes a las tres c´onicas, descubriendo para ello aquellas propiedades de la circunferencia que se conservan bajo proyecci´on, pues toda c´onica se obtiene como secci´on de la proyecci´on de una circunferencia. Desde el punto de vista hist´orico, el trabajo de 1639 se presenta como los Elementos, un contexto absolutamente cierto. Desargues explica sus definiciones como hace Euclides, las ideas son simples, y algunas de ellas son meras convenciones, as´ı: Cada recta puede prolongarse, si es necesario, al infinito en ambas direcciones. Y tambi´en Cada plano puede extenderse al infinito en cualquier direcci´on. Actualmente estas formulaciones parecen generales, pero no era as´ı en 1639, ya que en los Elementos, prolongar una recta, significaba prolongarla hasta otro punto, lo infinito y lo indefinido eran equivalentes. Desargues es el primer matem´atico en dar la idea de un infinito bajo control. Utiliza el concepto en una forma matem´atica completamente precisa. Esto no es inmediato, pues tuvo que introducir el infinito basado en definiciones de objetos matem´aticos muy simples, cuyo significado

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no es, en principio, aparente, as´ı: Cuando se toman varios puntos de una l´ınea recta y a trav´es de ellos pasan otras l´ıneas rectas, en cualquier direcci´on, la recta que contiene a estos puntos se denomina tronco, y los puntos sobre el tronco a trav´es de los cuales pasan las otras rectas se llaman nudos. Las rectas que pasan por los nudos se denominan ramas. Ra ma s

Tr onc o

Nudos

Fig. 7.1: Tronco, nudos y ramas.

Esto es, en efecto, un ´arbol, el cual se convierte en un elemento crucial en el razonamiento de Desargues. El conviene que, si diversas l´ıneas rectas son paralelas, o bien, todas se cortan en el mismo punto, entonces tienen el mismo orden, lo que indica que en uno u otro caso, ellas convergen en el mismo lugar. El lugar donde ellas convergen se denomina un l´ımite del orden de las rectas. Lo que Desargues denomina un orden de rectas actualmente se denomina un pincel de rectas, y lo que llamaba un l´ımite es el centro del pincel, esto es: Cuando el pincel no es de rectas, sino es de planos, esto es, cuando tenemos un conjunto de planos que pasan por la misma recta, el l´ımite se convierte en un eje. Desargues denomina a los puntos en sus diagramas de manera general, consecuentemente, uno de los primeros resultados que demuestra es el Teorema de Menelao. Si ABC es un tri´angulo y la transversal P QR, el teorema de Menelao

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da la relaci´on entre las longitudes de los lados que cortan la transversal, esto es: P C RB QC = . QA P B RA

Fig. 7.2: El diagrama para el teorema de Menelao, con tri´angulo ABC y transversal P QR.

Teorema 9 (El Teorema de Menelao). (Menelao de Alejandr´ıa 70-140 d.C.) Dados tres puntos A, B, C que forman un tri´angulo ABC, si los puntos P, Q, R est´an sobre las rectas BC, AC y AB respectivamente, entonces P, Q, R son colineales si y s´olo si AR BP CQ · · = −1. RB P C QA En esta ecuaci´on AB puede tomar valores negativos, por ejemplo, AR/RB ser´a positivo s´olo si la recta P QR intersecta la arista AB, y an´alogamente para los otros t´erminos. Despu´es del teorema de Menelao, Desargues investig´o algunas propiedades del tronco, esto es, que puede decirse de los rangos de puntos en una recta. La propiedad m´as importante establece lo que es un ´arbol. Para esto, Desargues involucra m´as definiciones. En t´erminos modernos, tres

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pares de puntos colineales B, H; C, G; D, F forman un ´arbol si existe un punto A tal que AB · AH = AC · AG = AD · AF.

´ ´ Fig. 7.3: (a) Arbol donde el punto A separa cada par B, H; C, G; D, F (b) Arbol donde A no separa cada par B, H; C, G; D, F .

El punto A se denomina el toc´on del a´rbol. Hay dos casos distintos, si A separa cada par, o si no lo hace. Cada cosa se expresa en t´erminos ordinarios, y lo que se debe probar es que el producto de las longitudes AB, AH se describe como el rect´angulo contenido por los segmentos de la recta AB y AH. Este es el estilo Euclidiano de Desargues, con el cual los lectores originales estaban familiarizados. Habiendo definido un a´rbol, Desargues procede a mostrar los tres pares de puntos, pueden definirse por medio de relaciones de unos con respecto a otros sin involucrar el toc´on. Si los pares son B, H; C, G; D, F como antes, entonces BD BF BC BG · = · . HC HG HD HF Esto significa que el producto de las razones en las cuales los puntos C, G dividen el segmento BH es igual al producto de las razones en las cuales los puntos D, F dividen al segmento BH. Se dice que los seis puntos forman una involuci´on. Esta es la u ´nica nueva palabra que forma parte del vocabulario t´ecnico de Desargues de este tipo de matem´aticas. La involuci´on no es un concepto simple y no sabemos si fue de interes matem´atico, aunque con el tiempo si lo

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Fig. 7.4: Los puntos B, H; C, G; D, F forman una involuci´on.

fue. Esta parte de la matem´atica de Desargues es esencialmente una preparaci´on necesaria para los importantes resultados que le seguir´ıan. Siguiendo el ideal matem´atico de dar un m´aximo grado de generalidad, Desargues prefiere considerar involuciones en vez de una simple relaci´on que se obtiene cuando seis puntos colapsan a cuatro. De la ecuaci´on

BD BF BC BG · = · , HC HG HD HF la reducci´on en el n´ umero de puntos debe hacerse cuidadosamente. Si haccemos que el par de puntos C, G coincidan con D, F es decir, C = D y G = F , entonces obtenemos la misma expresi´on en ambos lados de la ecuaci´on. Desargues consider´o que los pares C, G y D, F colapsaban a un s´olo punto, as´ı C = G y D = F , por lo que la ecuaci´on BC BG BD BF · = · HC HG HD HF se transforma en

BF BG = HG HF

o equivalentemente BG HF · = 1. HG BF Es decir B y H dividen al segmento HG en la misma raz´on (interna y externamente). Esta relaci´on es m´as f´acil de visualizar que la involuci´on de seis puntos. La expresi´on del lado izquierdo de la ecuaci´on BG HF · =1 HG BF

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la cual es la raz´on de la raz´on en la cual los puntos B y H dividen F G se conoce como la raz´on cruzada de los cuatro puntos del rango. Desargues no utiliz´o esta noci´on, por lo cual no da este nombre, y prefiere trabajar con el concepto de involuci´on. Cuando s´olo hay cuatro puntos, ´el se refiera a cuatro puntos en involuci´on. (En el siglo XX se le denomin´o rango arm´onico). El trabajo sobre involuciones es consecuencia del teorema de Menelao, el cual ya ha sido mencionado. El enuncia y demuestra un resultado que recalca la importancia de las involuciones. El resultado es que si tres pares de puntos sobre una recta est´an en involuci´on, entonces sus im´agenes bajo proyecci´on desde un punto sobre otra recta tambi´en lo est´an. Desargues enuncia: Cuando sobre una recta GH hay tres pares diferentes de nudos BH, DF, CG, los cuales est´an en involuci´on, y a trav´es de ellos pasan tres pares de ramas partiendo del tronco F K, DK; BK, HK; CK, GK todos con el mismo orden cuyo l´ımite es K, estos tres pares de ramas pertenecen a un orden llamado las ramas de un a´rbol, y para cualquier otra recta cb ubicada en el mismo plano, cada una de ellas determina tres pares de nudos en involuci´on gh, df, cg.

Fig. 7.5: Diagramas que muestran que seis puntos en involuci´on es una propiedad proyectiva

El inter´es pict´orico es, por supuesto, m´ınimo. Adem´as, el diagrama es una generalizaci´on del teorema de Piero. En el teorema de Piero la

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segunda recta es paralela a la primera y Piero demuestra que el patr´on de divisiones, (es decir, la serie de proporciones) a lo largo de la segunda recta es la misma que a lo largo de la primera. El resultado de Desargues involucra una forma de definir el patr´on de divisi´on que se repite si la segunda recta no es paralela a la primera. Matem´aticamente hablando, Desargues generaliza el teorema de Piero. Cabe notar que Desargues no esta viendo el cambio de perspectiva como los artistas lo hicieran, est´a interesado en ver qu´e propiedades no cambian bajo proyecci´on. Las relaciones que permanecen bajo proyecci´on se denominan propiedades proyectivas de la figura. As´ı el teorema de Desargues, que seis puntos en involuci´on se proyectan en otros seis puntos en involuci´on puede expresarse en t´erminos modernos diciendo que seis puntos en involuci´on es una propiedad proyectiva. Desargues demuestra su teorema sobre la involuci´on por el uso repetido del teorema de Menelao. Posteriormente, Desargues public´o su teorema fundamental sobre tri´angulos y otros resultados, entre ellos la invarianza de la doble cruzada por proyecci´on, en un ap´endice de un libro de Abraham Bosse (16021676) titulado “M´etodo universal del Sr. Desargues para practicar la perspectiva”(Mani`ere universelle de Mr Desargues pour pratiquer la perspective par petit pied, comme le geometral...) Par´ıs, (1648). Con esta obra, publicada en 1648, Bosse intent´o divulgar y hacer m´as populares las ideas de Desargues, de las cuales ´el fue un gran defensor. 7.1.1. El teorema funadmental de Desargues para tri´angulos Se dice que dos figuras est´an en perspectiva, si todas las l´ıneas rectas que unen puntos correspondientes de las dos figuras son concurrentes. El punto por el cual pasan estas rectas es llamado centro de perspec-

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tiva. Las figuras homot´eticas est´an en perspectiva, pero las figuras en perspectiva, no necesariamente son homot´eticas, puesto que rectas correspondientes de figuras no son paralelas en general. Teorema 10 (El teorema fundamental de Desargues). Si dos tri´angulos est´an en perspectiva, los puntos de intersecci´on de lados correspondientes son col´ıneales; e inversamente, si los puntos de intersecci´on de lados correspondientes de dos tri´angulos son col´ıneales, los tri´angulos est´an en perspectiva.

Fig. 7.6: El teorema fundamental de Desargues

Desargues not´o en el enunciado de su teorema, que los tri´angulos pod´ıan estar en el mismo plano o en distinto. La demostraci´on para el caso en que los tri´angulos no est´an en el mismo plano es muy elegante. El caso en que los tri´angulos son coplanares depende del uso repetido del teorema de Menelao. La objeci´on que puede hacerse al caso en que haya rectas paralelas, ha sido eliminado por Desargues con la introducci´on de los puntos al infinito, as´ı dos rectas en el mismo plano siempre se intersectan. Demostraci´on. Primeramente, supongamos que los tri´angulos est´an en el mismo plano. Sean los tri´angulos ABC y ABC en perspectiva, con O como centro de perspectiva, y hagamos que AB y AB se corten en P ,

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BC y BC en Q y CA y CA en R. Si aplicamos el teorema de Menelao al tri´angulo ABO con BAP como transversal, obtenemos AP BB 0 OA0 = −1. P B B 0 O A0 A An´alogamente, del tri´angulo BCO, con BCQ como transversal, se sigue que BQ CC 0 OB 0 = −1. QC C 0 O B 0 B Y del tri´angulo CAO con ACR como transversal que CR AA0 OC 0 = −1. RA A0 B CC 0 El producto de estas tres ecuaciones nos da AP BQ CR = −1. P B QC RA Que demuestra que P, Q y R son colineales. Ahora sean dados, P, Q y R colineales, y consideremos los tri´angulos AAR y BBQ. Estos tri´angulos est´an en perspectiva con P como centro de perspectiva. M´as a´ un O, C y C son los puntos de interseccin de sus pares de lados correspondientes. Entonces estos tres puntos son colineales; es decir, la lnea CC pasa por el punto de intersecci´on de AA y BB. Esto establece el inverso. La l´ınea en que est´an P, Q y R es el eje de perspectiva de los tri´angulos ABC y ABC. Veamos ahora la versi´on tridimensional del teorema, cuando los tri´angulos est´an incluidos en planos distintos no paralelos, es sencilla. Las rectas determinadas por A y B, y por A0 y B 0 , pertenecientes al plano determinado por O, A, B, A0 y B 0 , se cortan en un punto que est´a situado sobre la recta r de intersecci´on de los planos Π1 y Π1 (se trata del punto de intersecci´on del plano determinado por los puntos

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O, A, B, A0 , B 0 con la recta r). Lo mismo sucede con los otros dos pares de rectas. (Si uno de los lados de los tri´angulos es paralelo a la recta r, la intersecci´on de las prolongaciones de los dos lados ser´ıa el punto del infinito de la recta r, y el resultado sigue siendo v´alido).

Fig. 7.7: El teorema fundamental de Desargues

Como aplicaci´on del teorema de Desargues tenemos un sencillo m´etodo que permite resolver el siguiente problema: “Utilizando s´olo una regla (sin marcar), trazar por un punto dado la recta que pasa por el punto de intersecci´on de otras dos rectas dadas que se cortan fuera de nuestro alcance”.

Fig. 7.8: Aplicaci´ on del teorema fundamental de Desargues

Demostraci´on. Sea A el punto dado, y denotemos por p y q las rectas dadas. Marcamos dos puntos cualesquiera B y C sobre p y q respectiva-

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mente, formando as´ı un tri´angulo ABC. Trazamos una recta caulquiera t que corte a los tres lados BC, AC y AB del tri´angulo ABC dentro de los l´ımites del dibujo en los puntos P, Q, R respectivamente. Trazamos ahora una recta (distinta de BC) que pase por P , la cual cortar´a a p y q en B 0 y C 0 respectivamente. Las rectas B 0 R y C 0 Q determinan un punto A0 . Del teorema de Desargues oncluimos que AA0 es la recta buscada 7.1.2. La raz´on cruzada. Como mencionamos anteriormente la raz´on cruzada, llamada por Desargues cuatro puntos en involuci´on, es un invariante proyectivo m´as f´acil de vizualizar que seis puntos en involuci´on, podemos decir que responde a la siguiente pregunta: ¿Si tenemos k puntos alineados, bajo que condiciones puede definirse un invariante proyectivo asociado a ellos? Sean A, B dos puntos en una recta ` , y A0 , B 0 otros dos puntos en una recta `0 . Sea O = AA0 ∩ BB 0 el punto de intersecci´on de las rectas AA0 y BB 0 , es claro que, por proyecci´on desde O el par A, B se transforma en el par A0 , B 0 . Por otra parte, si tenemos tres puntos A, B, C en ` y A0 B 0 C 0 en `0 es claro que para poder transformar la primer terna en la segunda necesitamos al menos dos proyecciones. Sean O1 y O2 dos puntos distintos en la recta AA0 , y consideremos los puntos de intersecci´on B1 = BO1 ∩ B 0 O2 , y C1 = CO1 ∩ C 0 O2 . Si `” es la recta B1 C1 , la terna A, B, C se transformar´a en A0 , B 0 , B 0 por la proyecci´on de ` sobre `” desde O1 seguida de la proyecci´on de `0 sobre `0 desde O2 . Sin embargo, si se consideran dos cuaternas de puntos alineados, en general ya no es posible llevar una sobre la otra por proyecciones y secciones sucesivas. La raz´on es que existe un invariante proyectivo

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Fig. 7.9: Tres puntos colineales son enviados en tres puntos cualesquiera por medio de una sucesi´ on de dos proyecciones.

asociado a cuatro puntos alineados, el cual se denomina la raz´on doble (tambi´en llamada raz´on cruzada o relaci´on anarm´onica). Este concepto recibi´o un nuevo impulso a principios del siglo XIX, con la noci´on de magnitud con sentido, introducida por Lazare Nicholas-Marguerite Carnot (1790-1823) en su Geometr´ıa de la posici´on de 1803, y por August Ferdinand M¨obius (1790-1868) en su obra Der Barycentriche calcul de 1827, lo que di´o lugar a una notaci´on m´as comoda y eficaz. El tratamiento moderno de la raz´on doble se debe principalmente a las obras de M¨obius y Chasles. Consideremos una recta orientada AB, denotaremos por AB la distancia con su signo o sentido del punto A al punto B, en particular BA = −AB La expresi´on raz´on doble, o raz´on cruzada, proviene del hecho de que esta cantidad queda definida como un cociente de razones simples, esto es: Definici´ on 8. Dado un segmento ordinario AB y P un punto colineal con A y B tal que P 6= B, se denomina la raz´on simple en la que el punto P divide al segmento AB al cociente AP . PB Es claro que esta definici´on no depende de la orientaci´on asignada (AB, P ) =

a la recta AB. Por otra parte, si A y B son fijos, y P se desplaza a lo

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largo de la recta que contiene al segmento AB, tanto si P se aleja por la derecha como por la izquierda, la raz´on simple (AB, P ) tiende a −1. Lo cual sugiere definir la raz´on simple en la que el punto ideal I divide a un segmento dado como −1, esto es (AB, I) = −1. Por otro lado, si P = B entonces se conviene representar la raz´on simple (AB, B) por el s´ımbolo ∞. De esta forma, hay una correspondencia uno a uno entre los puntos de la recta ampliada que contiene al segmento AB y los valores del campo R ampliado con ∞. Una forma alternativa de calcular la raz´on simple es la siguiente: Proposici´ on 17. Si C es cualquier punto de la recta amplicada que contiene al segmento AB, entonces (AB, C) =

OA · sin ∠AOC , OB · sin ∠COB

donde O es cualquier punto que no pertenece a dicha recta, y donde los ´angulos ∠AOC y ∠COB se considera con signo.

Fig. 7.10: Raz´on simple

Demostraci´on. Consideremos las alturas h por O sobre AB, h1 por C sobre OA y h2 por C sobre C sobre OB, entonces:

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sin ∠OAC =

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h1 , AC

sin ∠AOC =

de donde h1 = AC sin ∠OAC = AC h1 , OC

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h , OA

de donde h1 = OC sin ∠AOC,

y sin ∠OBC =

h2 , CB

de donde h2 = CB sin ∠OBC = CB

h . OB

De donde,

AC = CB = = = =

h1 sin ∠OAC h2 sin ∠OBC h1 sin ∠OBC h2 sin ∠OAC OC sin ∠AOC sin ∠OBC OC sin ∠COB sin ∠OAC OC sin AOC h/OB · OC sin COB h/OA OA sin ∠AOC OB sin ∠COB

En el caso en que C fuera el punto ideal, el valor de la raz´on simple es, por definici´on −1. Dicha expresi´on muestra que el cociente OA/OB impide la invarianza proyectiva, por lo cual, es necesario cancelar este cociente considerando un cuarto punto. Es decir: Definici´ on 9. Dados cuatro puntos ordinarios A, B, C, D distintos y colineales, definimos su raz´on doble, o raz´on cruzada, como el cociente

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de las razones simples dado por (AB, CD) =

(AB, C) . (AB, D)

La raz´on doble depende del orden en que se elijan los puntos, aunque de los 4 valores posibles que puede tomar la raz´on doble de cuatro puntos dados, se reducen en realidad a s´olo seis. Proposici´ on 18. La raz´on doble es una propiedad proyectiva

Fig. 7.11: Raz´on doble

(AB, CD) =

(AB, C) (OA sin ∠AOC)/(OB sin ∠COB) = (AB, D) OA sin ∠AOD)/(OB sin ∠DOB) sin ∠AOC · sin ∠DOB = sin ∠AOD · sin ∠COB sin ∠A0 OC 0 · sin ∠D0 OB 0 = sin ∠A0 OD0 · sin ∠C 0 OB 0 (OA0 sin ∠A0 OC 0 )/(OB 0 sin ∠C 0 OB 0 ) = OA0 sin ∠A0 OD0 )/(OB 0 sin ∠D0 OB 0 ) (A0 B 0 , C 0 ) = = (A0 B 0 , C 0 D0 ) (A0 B 0 , D0 )

Observemos que la raz´on simple se ha definido para puntos ordinarios, pero teniendo en cuenta la invarianza por proyecci´on y los convenios anteriores, es claro c´omo definir la raz´on doble cuando uno de los puntos es el ideal, o incluso cuando los cuatro puntos son ideales,

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es decir, est´an en la recta al infinito, por lo cual, obtenemos un invariante proyectivo asociado a cada cuaterna de puntos alineados del plano extendido. Definici´ on 10. Cuatro puntos alineados A, B; C, D tales que su raz´on doble (AB, CD) es igual a −1, se dice que forman una cuaterna arm´onica, o bien, que el punto B es el conjugado arm´onico de A con respecto a C y D. Por ejemplo, dos puntos ordinarios, su punto medio y el punto ideal de la recta en la que yacen forman una cuaterna arm´onica, es decir, el conjugado arm´onico del punto medio de un segmento cualquiera es el punto del infinito de la recta. De manera similar a la vista en la proposici´on 2, puede mostrarse que seis puntos en involuci´on es una propiedad proyectiva. 7.2. Los resultados posteriores a Desargues A pesar del desprecio generalizado a la obra de Desargues, algunos matem´aticos contempor´aneos, al conocer los detalles de su trabajo, reconocieron el gran talento geom´etrico del autor. Entre ellos cabe destacar a Descartes, Pierre de Fermat (1601- 1665) y Blaise Pascal (1623-1662). Este u ´ltimo, animado por el propio Desargues, obtuvo interesantes resultados usando el m´etodo de proyecci´on y secci´on. Su teorema m´as famoso en geometr´ıa proyectiva es conocido como el hexagrama m´ıstico de Pascal, demostrado a la edad de diecis´eis a˜ nos. La geometr´ıa proyectiva fundada sobre la obra original de Desargues y sobre el “Ensayo sobre las c´onicas”(1640) de Pascal qued´o olvidada r´apidamente hasta el punto de que los escasos ejemplares de estas obras se perdieron. Los m´etodos proyectivos en geometr´ıa no volvieron a ser considerados hasta finales del siglo XVIII, cuando el matem´atico

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franc´es Gaspard Monge (1746-1818) desarroll´o su geometr´ıa descriptiva, que inclu´ıa una forma de representar y estudiar objetos tridimensionales a trav´es de sus proyecciones sobre ciertos planos. La geometr´ıa sint´etica, es decir, la que s´olo usa argumentos puramente geom´etricos, hab´ıa sido eclipsada durante casi dos siglos por la geometr´ıa anal´ıtica de Descartes, hasta que Monge junto con un grupo de brillantes estudiantes, entre ellos Charles Julien Brianchon (1785-1864) y Jean-Victor Poncelet (1788-1867), se lanz´o a la dif´ıcil batalla de intentar demostrar que los argumentos sint´eticos pod´ıan ir m´as all´a que los anal´ıticos. Pero el resurgimiento real de la geometr´ıa proyectiva fue debido a Poncelet, quien durante su estancia como prisionero de guerra en Saratoff (Rusia) a ra´ız de su participaci´on como oficial en la campa˜ na napole´onica, reconstruy´o sin la ayuda de ning´ un libro sus conocimientos sobre geometr´ıa, obtuvo nuevas aportaciones a la teor´ıa proyectiva y concibi´o esta materia como una rama totalmente nueva y aut´onoma. Tras su libertad public´o en Par´ıs en 1822 su gran obra sobre geometr´ıa proyectiva: “Tratado de las propiedades proyectivas de las figuras”. A ra´ız de esta obra fueron muchos los matem´aticos que hicieron aportaciones a la geometr´ıa proyectiva, entre los que se encontraron Joseph Diez Gergonne (1771-1859), Michel Chasles (17931880), Jakob Steiner (1796-1863), Karl Georg Christian von Staudt (1798-1867), Julius Pl¨ ucker (1801-1868), Arthur Cayley (1821-1895), Luigi Cremona (1830-1903), Edmond Laguerre (1834-1886), Theodor Reye (1838-1919), Moritz Pasch (1843-1930), Felix Klein (1849-1925), Federigo Enriques (1871- 1946), Gino Fano (1871-1952), John Wesley Young (1879-1932) y Oswald Veblen (1880-1960). Durante el siglo XIX la mayor´ıa de los resultados de Desargues y de Pascal a los que hemos aludido anteriormente tuvieron que ser redescubiertos de forma independiente por ge´ometras de la ´epoca. Afortunadamente Chasles encontr´o en una librer´ıa en 1845 una copia manuscrita del tratado de

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Desargues, que hab´ıa sido realizada por Philippe de la Hire (16401718). Desde entonces el trabajo de Desargues fue situado en el lugar que le correspond´ıa y fue reconocido por todos como un cl´asico en el desarrollo de la geometr´ıa proyectiva.

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LA DIVINA PROPORCIÓN Y EL PENTAGRAMA PITAGÓRICO Pitágoras como profeta religioso y como matemático ha tenido una influencia inconmensurable, y los dos campos de su actividad no distan tanto el uno de otro como puede parecer a una mente moderna. B.RUSSELL. Historia de la Filosofía Occidental, Austral, Madrid, 1995, Vol.1, Libro 1, p.72.

Mefistófeles: – Hay un pequeño obstáculo que me impide salir de aquí, y es esa estrellita de cinco picos [pentagrama pitagórico] que se atraviesa en el umbral. ... Fausto: – ¿Te preocupa el pentagrama? ... W.GOETHE. Fausto. Escena tercera de la primera parte (diálogo entre Fausto y Mefistófeles). Aguilar. Madrid, 1968. p.59.

Así como Dios confiere el Ser a la virtud celeste, llamada quintaesencia, y mediante ella a los otros cuerpos simples –es decir, a los cuatro elementos: tierra, agua, aire y fuego –que tienen su forma propia: cubo, icosaedro, octaedro, tetraedro [...], nuestra santa proporción confiere el ser formal, según el antiguo Platón en su Timeo, al cielo mismo, atribuyéndole la figura del dodecaedro. LUCA PACIOLI. La Divina Proporción. Akal. Madrid, 1991. Cap. V, p.42.

La Geometría tiene dos grandes tesoros, uno es el Teorema de Pitágoras y el otro es la Sección Áurea; si el primero es una joya de oro, el segundo viene a ser una piedra preciosa. J.KEPLER. Mysterium Cosmographicum. Tubinga, 1596.

La Sección áurea o Divina Proporción es uno de los capítulos más curiosos de la Geometría pitagórica, donde se entremezclan los aspectos propiamente matemáticos con otros de naturaleza mística y esotérica. Como tópico pitagórico aparece a lo largo de Los Elementos de Euclides en los Libros II, IV, VI y XIII. En los Libros II y VI aparece la cuestión en relación con la propia construcción geométrica de la «división de un segmento en media y extrema razón», que así llamaban los griegos a la subdivisión de un segmento en forma áurea, en el ámbito de la Aplicación de las Áreas del Álgebra Geométrica, es decir, la resolución geométrica de ecuaciones. En el Libro IV, la sección áurea se aplica a la construcción del triángulo áureo vinculado a la inscripción del pentágono regular en un círculo. En el Libro XIII, tras el estudio del propio pentagrama místico pitagórico, se demuestran bellísimas propiedades que vinculan de forma áurea los lados de polígonos inscritos en un mismo círculo. Además de sus hermosas propiedades geométricas, la Divina Proporción tiene mucha relación con los números de Fibonacci, de donde surge su valor en la explicación de la belleza en la naturaleza. Pero donde su aplicación es omnipresente es en la creación artística. Allí donde haya una especial intensificación de la belleza y la armonía de las formas, se encontrará la Divina Proporción, empezando por la naturaleza, de donde muchos artistas extraen su inspiración. Por todo lo dicho, la Divina Proporción ha fascinado, cultura tras cultura, y ha propiciado importantes especulaciones filosóficas, teológicas, científicas, estéticas e incluso mágicas, desde que la humanidad empieza a reflexionar sobre las formas geométricas que conforman el universo, siendo el Pitagorismo el sistema de pensamiento que empieza a dar consistencia racional a toda esta doctrina, hasta llegar a Gaudí y Dalí, en nuestro tiempo.

La Sección áurea o Divina Proporción. La Sección áurea en Los Elementos de Euclides. El número áureo y los números de Fibonacci. El rectángulo áureo y las espirales áureas. La Divina Proporción en la Belleza y el Arte. La obra de Luca Pacioli La Divina Proporción. El Pentagrama místico pitagórico. Geometría y Mística. El triángulo áureo. El simbolismo del Pentagrama místico pitagórico. Bibliografía.

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La Sección áurea o Divina Proporción La Sección áurea o Divina Proporción es uno de los tópicos de la Geometría pitagórica más fascinantes por la decisiva influencia que ha tenido sobre el Arte, la Mística, la Biología e incluso la Magia. Aunque Euclides realiza una construcción equivalente a la Sección Áurea en la Proposición II.11. de Los Elementos, introduce la noción en la Definición VI.3: «Se dice que un segmento está dividido en media y extrema razón cuando el segmento total es a la parte mayor como la parte mayor es a la menor».

A

C B

AC BC = BC AB

Esta subdivisión de un segmento era tan familiar y habitual para los antiguos griegos que no sintieron la necesidad de darle un nombre concreto para designarla, se la llamaba «división de un segmento en media y extrema razón» o de forma sucinta y lacónica «la sección». Desde los tiempos de Luca Pacioli se la denomina «la Divina Proporción» y Leonardo da Vinci y Kepler (para quien era «una piedra preciosa de la Geometría») la llaman «la Sección Áurea». Tomando AB=1, BC=x, la razón áurea se escribirá: (x+1)/x = x/1. Al número x se le llama el «número de oro». Tradicionalmente se le representa por la letra griega φ, que es la inicial del nombre del artista griego Fidias, escultor y arquitecto del Partenón. Así pues, φ es la solución de la ecuación: φ2-φ-1=0, cuya raíz positiva es: φ = (1+ 5 )/2 = 1,61803399... La otra raíz es: φ' = (1- 5 )/2 = -0,61803399... Ambas verifican al ser soluciones de una ecuación cuadrática: φ + φ' = 1 φ · φ' = -1 Una de las propiedades más curiosas de la sección áurea es que es «auto-reproductiva» (Euclides XIII.5), lo cual no es más que una ratificación de su relación con la sucesión de Fibonacci, según se verá más adelante. Sea un segmento RS y un punto P1 que lo divide de forma áurea, siendo RP1 el segmento más largo. Ahora si sobre RP1 tomamos el punto P2 de forma que RP2=P1S, entonces el segmento RP1 queda subdivido a su vez de forma áurea por el punto P2. Si tomamos un nuevo punto P3 sobre RP2 de forma que RP3=P1P2, entonces el segmento RP2 queda dividido por P3 de forma áurea. El procedimiento se puede iterar indefinidamente, obteniéndose un segmento RPn, cada vez más pequeño, dividido de forma áurea por un punto Pn+1.

S

R P3

P2

P1

R,P1,S, en proporción áurea

En efecto, al estar R,P1,S, en proporción áurea: RS − RP1 P S RP2 RS RP1 RP1 = = = [Euclides 5.19] = = 1 = RP1 P1S RP2 RP1 − RP2 P2P1 P2P1 Así pues,

RP1 RP2 , es decir, R,P2,P1, están en proporción áurea. = RP2 P2 P1 77

La Sección áurea en Los Elementos de Euclides Como tema importante de la Geometría pitagórica, la Sección áurea aparece de forma notable en Los Elementos de Euclides en los Libros II, IV, VI y XIII. En orden a acercarnos a la forma pitagórica original de la resolución de ecuaciones (lo que se llama, según el término acuñado por Zheuthen, el «Álgebra Geométrica» de los griegos, que nutre el Libro II de Los Elementos de Euclides, de origen totalmente pitagórico), veamos la construcción geométrica de la Sección Áurea. La construcción de la sección áurea requiere la resolución de una ecuación cuadrática. En efecto, sea el segmento AB=a, dividido por el punto H de forma áurea, siendo AH=x el segmento mayor de la división; la propiedad áurea se escribe: a/x = x/(a-x), de donde se obtiene la ecuación: x2=a2–ax, cuya resolución algebraica Pitágoras debió aprender de los babilonios. No obstante es plausible que Pitágoras la resolviera por un procedimiento análogo al que encontramos en Los Elementos de Euclides II.11 y VI.30 : Euclides II.11: «Dividir una recta en dos partes de modo que el rectángulo comprendido por la recta entera y por una de sus partes sea equivalente al cuadrado de la otra parte». Euclides VI.30. «Dividir un segmento en media y extrema razón».

F

G

A

H

B

En efecto: hay que probar que AH2=AB·HB, equivalente a que el cuadrado de lado AH sea igual en área al rectángulo de lados BD y HB, equivalente a su vez a que el rectángulo de lados FC y FG sea equivalente al cuadrado de lado AB.

E

C

Para dividir un segmento AB en media y extrema razón, Euclides construye en la Proposición II.11 el cuadrado ABCD de lado AB, divide el segmento AC en dos partes iguales mediante el punto E, traza el segmento EB y extiende el segmento CEA hasta F de manera que EB=EF. Por último obtiene el punto H buscado completando el cuadrado AFGH. Se comprueba que H resuelve el problema mostrando fácilmente que AB/AH = AH/HB.

D

Ahora bien según Euclides I.47 (Teorema de Pitágoras), se tiene:EB2 = AE2+AB2 . Además, se verifica:

EB2 = EF2 = (AF+AE)2 = AF2+AE2+2AE·AF = AF2+AE2+AC·AH = AE2+FC·FG. Simplificando AE2 de ambas expresiones resulta: AB2 = FC·FG, lo que había que probar.

LA DIVINA PROPORCIÓN EN LOS ELEMENTOS DE EUCLIDES

La Proposición II.11 de Los Elementos de Euclides en la edición de E.Ratdolt (Venecia, 1482). Este ejemplar procede de la Biblioteca Monástica de Yuso del Monasterio de San Millán de la Cogolla. Esta proposición euclídea contiene el fundamento geométrico de la Seción Áurea mediante la solución geométrica de la ecuación cuadrática ax+x2=a2 por el método de Aplicación de las Áreas.

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LA DIVINA PROPORCIÓN EN LOS ELEMENTOS DE EUCLIDES

La Proposición XIII.1 sobre propiedades de la división de un segmento en media y extrema razón en la edición de Zamberti de Los Elementos de Euclides de 1505. Previamente al estudio de los poliedros, Euclides estudia en la seis primeras proposiciones del Libro XIII nuevas propiedades de la división de un segmento en media y extrema razón, que, quizá, hubieran estado mejor ubicadas a continuación de la Proposición II.11, completando la parte de Álgebra Geométrica del Libro II. No obstante, estos resultados son una especie de lemas requeridos para pruebas posteriores. Se cree que proceden de Eudoxo, pues Proclo escribe en su Comentario que Eudoxo «hizo progresar las cuestiones relativas a la sección a partir de Platón». Se supone que se trata de la sección áurea. Los enunciados de estas proposiciones son los siguientes: • Proposición XIII.1. Si se divide una recta en media y extrema razón, el cuadrado del segmento mayor junto con el de la mitad de la recta entera es cinco veces el cuadrado de la mitad. • Proposición XIII.2. Si el cuadrado de una línea recta es cinco veces el de un segmento parte de ella, cuando se divide el doble de este segmento en media y extrema razón, el segmento mayor es la parte que queda de la recta inicial. • Proposición XIII.3. Si se divide una recta en media y extrema razón, el cuadrado del segmento menor junto con el de la mitad del segmento mayor es cinco veces el cuadrado de la mitad del segmento mayor. • Proposición XIII.4. Si se divide una recta en media y extrema razón, el cuadrado de la recta entera y el del segmento menor juntos, son el triple del cuadrado del segmento mayor. • Proposición XIII.5. Si se divide una recta en media y extrema razón, y se le añade otra recta igual al segmento mayor, la recta entera queda dividida en media y extrema razón, y la recta inicial es el segmento mayor. • Proposición XIII.6. Si una recta expresable [racional] se divide una recta en media y extrema razón, cada uno de los segmentos es la recta sin razón expresable [irracional] llamada apótoma.

79

El número áureo y los números de Fibonacci A partir de la relación φ2-φ-1=0 que verifica el numero áureo, se obtienen las expresiones:

φ = 1+ φ ,φ = 1+

1 , de donde por aplicación reiterada de las mismas obtenemos las φ

siguientes expresiones infinitas para φ:

1

φ = 1+ 1+ 1+ 1+" , φ = 1+

1

1+

1

1+ 1+

1 1+"

Por otra parte, calculando las sucesivas potencias de φ, se obtiene: φ0=0+1=1+0, φ1=0+φ=1+(1/φ), φ2=1+φ=2+(1/φ), φ3=1+2φ=3+(2/φ), φ4=2+3φ=5+(3/φ), φ5=3+5φ=8+(5/φ), φ6=5+8φ=13+(8/φ), φ7=8+13φ=21+(13/φ), φ8=13+21φ=34+(21/φ),

Busto de Leonardo de Pisa, conocido por Fibonacci, en una estatua de Pisa. Fibonacci es uno de los matemáticos medievales más importantes. A él se debe la famosa sucesión que lleva su nombre: {1,1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...}, aplicada al estudio del crecimiento armónico en la naturaleza e íntimamente vinculada a la Proporción Áurea.

de donde se advierte la relación entre el número de oro y la sucesión de Fibonacci definida mediante Fn+1= Fn+Fn-1, n≥1, F1=1, F2=1. Fn+1 Fn 1 es igual al número de oro φ, = 1+ , se deduce que el límite Lím n→∞ F Fn−1 Fn n Fn−1 resultado que expresa la propiedad que publicó en 1753 el matemático escocés R.Simpson en la revista Philosophical Transactions:

Ya que

«La razón de un término y el siguiente, en la sucesión de Fibonacci, se acerca al número de oro, a medida que se avanza en ella.» El vínculo entre el número de oro φ y la sucesión de Fibonacci explica, como veremos, la admirable influencia de la Divina Proporción en la conformación de la belleza en la naturaleza. Al investigar las relaciones entre los términos de la sucesión de Fibonacci y el número de oro, el matemático Binet descubrió la siguiente relación: n n 1  1 + 5   1 − 5   1 1 n +1 n  Fn =   −   =  n + ( −1) φ  . 5  2   2   5 φ   

A partir de esta fórmula se obtiene una expresión para el cociente del límite anterior: Fn 1 + ( −1)n+1 φ2n =φ . Fn+1 1 + ( −1)n+ 2 φ2n+ 2

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El rectángulo áureo y las espirales áureas Un rectángulo AFGD se llama áureo cuando las dimensiones guardan las proporciones áureas. La Proposición II.11 de Euclides nos permite realizar la construcción de un «rectángulo áureo» a partir de un cuadrado ABCD.

A

E

B

F

En la construcción AE=EB y EF=EC. Observamos que si AE=EB=1, al ser BC=2, por el Teorema de Pitágoras EC= 5 , por tanto AF=1+ 5 . Luego efectivamente los lados del rectángulo AFGD están en proporción áurea:

D

C

G

AF 1 + 5 = = φ. AD 2

La constatación del carácter áureo del rectángulo AFGD AF/FG=FG/BF determina que los rectángulos AFGD y BFGC son semejantes y por tanto éste último también es áureo. Esto muestra el carácter auto-reproductivo del rectángulo áureo. En efecto, si partimos de un rectángulo áureo ABCD, sustrayendo el cuadrado AEFD de lado la dimensión menor AB del rectángulo, resulta que el rectángulo EBCF es áureo. Si ahora de éste sustraemos el cuadrado EBGH, el rectángulo resultante HGCF es áureo. Este proceso se puede reproducir indefinidamente, obteniéndose una sucesión de rectángulos áureos encajados que convergen hacia el polo O de una espiral logarítmica.

La espiral logarítmica vinculada a los rectángulos áureos gobierna el crecimiento armónico de muchas formas vegetales (flores y frutos) y animales (conchas de moluscos), aquellas en las que la forma se mantiene invariante. Se trata de un crecimiento gnomónico cuyo ejemplo más visualmente representativo es la concha del Nautilus.

La espiral logarítmica ha cautivado, por su belleza y propiedades, la atención de matemáticos, artistas y naturalistas. Se le llama espiral equiangular (el ángulo de corte del radio vector con la curva es constante, Descartes), espiral geométrica (el radio vector crece en progresión geométrica mientras el ángulo polar decrece en progresión aritmética, Halley). J.Bernouilli fascinado por sus encantos la llamó spira mirabilis rogando que fuera grabada en su tumba.

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La Divina Proporción en la Belleza y el en el Arte Importantes especulaciones filosóficas, teológicas, naturales y estéticas han surgido en torno a la Divina Proporción desde que la humanidad empieza a reflexionar sobre las formas geométricas que conforman el mundo, siendo el pitagorismo quien comienza a dar consistencia racional a toda esta doctrina. La Sección Áurea está presente en el arte sacro de Egipto, la India, China y el Islam, domina el arte griego, persiste, aunque oculta, en la Arquitectura gótica de la Edad Media y resurge para su consagración en el Renacimiento. Puede decirse que donde haya una especial intensificación de la belleza y la armonía de las formas, ahí se encontrará la Divina Proporción, por ejemplo en muchos aspectos de la naturaleza, de donde muchos artistas extraerán su inspiración. La Divina Proporción, sobre todo en forma de rectángulo áureo, constituye uno de los métodos canónicos de composición para obras de arte más utilizados por toda clase de artistas a lo largo de toda la Historia del Arte. Mencionemos a título de ejemplo algunas obras, que según numerosos estudios, son emblemáticas de la utilización de las proporciones áureas: •

Arquitectura: la gran Pirámide de Keops, el Partenón, la Tumba rupestre de Mira, el templo de la Concordia de Agrigento, El arco de Septimio Severo, la gran muralla china, la Puerta de la muralla de Bagdad, San Pablo de Londres, El Castillo de Windsor, Santa María de las Flores de Florencia, Palacios de la Plaza de la Concordia de París, la fachada de la Universidad de Salamanca, etc. • Pintura: el Bautismo de Cristo de P. della Francesca, la Primavera de Boticelli, la Santa Cena y la Anunciación de Leonardo, San Miguel abatiendo al demonio y la bella Jardinera de Rafael, La Creación de Miguel Ángel, Los Pastores de la Arcadia de Poussin, las Meninas de Velázquez, Saturno devorando a sus hijos de Goya, el Cristo (Corpus Hipercubicus ) y «Leda atómica (el famoso cuadro representando a Gala), ambos de Dalí, etc. En cuanto a escultura son legión las obras que guardan las proporciones áureas ya que es precisamente en el cuerpo humano donde podemos descubrir el significado físico y metafísico del número de oro, tal y como lo expresa el aforismo de Heráclito y de Protágoras: «El hombre es la medida de todas las cosas». Numerosos trabajos a caballo entre el Arte y la Anatomía establecen que la Divina Proporción interviene en el canon ideal de la belleza humana, en particular en las dimensiones del rostro y de la mano. Quizá sea Vitrubio en su obra De Architectura quien más explícitamente trata estas cuestiones, en relación con proporciones medias e ideales del cuerpo. Según Vitrubio, los escultores griegos habían estudiado con profundidad las proporciones del cuerpo humano, esculpiendo sus obras según las dimensiones áureas como lo habían hecho los arquitectos en los templos y monumentos. Para Vitrubio mientras los órganos sexuales dividen en dos mitades exactas el cuerpo humano, el ombligo divide al cuerpo de acuerdo con la sección áurea. No obstante, al nacer, el ombligo divide al niño exactamente en dos, y en el curso de la maduración el ombligo se traslada al punto de la división áurea. La descripción que con todo detalle realiza Vitrubio es plasmada por la genialidad artística de Leonardo da Vinci en su diseño más conocido sobre la figura humana: «El Hombre de Vitrubio». La proporción de oro es una razón que desde sus orígenes pitagóricos ha fascinado cultura tras cultura. A partir del Renacimiento se convirtió en la proporción utilizada por arquitectos, pintores, escultores, impresores y diseñadores y en nuestra época las múltiples proporciones áureas presentes en el cuerpo humano influyeron sobre el arquitecto Le Corbusier en muchos de sus proyectos. Duckworth encontró en Princeton en 1940 que la Divina Proporción presidía la longitud de los parágrafos de La Eneida de Virgilio y Lendvay ha demostrado que Bela Bartok usó la razón áurea en sus composiciones. También ciertos estudios musicales (alguno publicado en revistas tan prestigiosas como American Scientist) han establecido el uso de la proporción de oro en algunas composiciones de Mozart, Beethoven, Schubert, Debussy y Satie. Todo ello ha llevado a plantearse si los artistas han usado la Divina Proporción de forma consciente como una referencia para su trabajo creativo o inconscientemente debido a la ubicuidad de esta razón en el mundo que nos rodea ya que vivimos en un mundo proporcionado por la razón áurea.

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PROPORCIONES ÁUREAS EN LA PIRÁMIDE DE KEOPS El área total de la pirámide y el área lateral se encuentran en proporción áurea, y también lo están el área lateral y el área de la base. Demostración : La altura de la pirámide es de 146 metros, y tiene por base un cuadrado de 230 metros de lado sobre el que se apoyan 4 triángulos equiláteros.

El área del cuadrado de la base es: AB = lado·lado = 230·230 = 52900 Para calcular el área de cada triángulo hay que conocer su altura, ya que se conoce su base que es 230. Se forma un triángulo rectángulo con la altura de la pirámide(146), la altura de cada triángulo(h) y la mitad de la base (115).

Se aplica el Teorema de Pitágoras : h2 = 1152 + 1462 = 34541 h=185,8521 m. At: = área del triángulo = 230·185,8521/2=21372,9905 m2 AL = área lateral = 4·21372,9905 = 85491,9622 m2 AT = área total = AB + AL =2302 + 85491,9622 = 138391,9622 m2 Por tanto, la relación entre las diferentes áreas será: AT/AL=1,618 ≈ φ y AL/AB=1,618 ≈ φ . es decir, el número de oro ya aparece hace 4500 años. Herodoto escribe: «Según los sacerdotes egipcios las proporciones establecidas para la Gran Pirámide entre el lado de la base y la altura eran tales que el cuadrado construido sobre la altura vertical era exactamente igual al área de cada una de las caras triangulares». x x Teorema de Pitágoras x+1=x2, luego x=φ.

El perímetro del cuadrado de la base de la "Gran Pirámide" es sensiblemente igual a la circunferencia cuyo radio es la altura de la pirámide: Cálculo de π

8 = 2 π φ ; π = 4 / φ = 4 / 1,618 = 4 / 1, 272 = 3.144654 83

LA DIVINA PROPORCIÓN EN EL PARTENÓN DE ATENAS

La Divina Proporción aparece expresamente en el Partenón en las razones: AB/CD, AC/AD, CD/CA, DE/EA, según el análisis armónico geométrico que aparece en la obra de M.C.Ghyka, Estética de las Proporciones en la Naturaleza y en las Artes (Poseidón. Barcelona, 1983, P.202).

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LA DIVINA PROPORCIÓN EN SANTA MARÍA NOVELLA DE FLORENCIA

Fachada de Santa María Novella de Florencia. La Divina Proporción en su forma de rectángulo áureo está presente en buena parte de la geometría de la fachada de Santa María Novella de Florencia.

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EL HOMO CUADRATUS DE LEONARDO

El Homo Cuadratus de Leonardo (Academia de Bellas Artes. Venecia). 2. Autorretrato de Leonardo da Vinci (Biblioteca Real, Turín). El Homo Cuadratus es un diseño de Leonardo de la figura humana bajo los cánones de Vitrubio, por eso se llama también El Hombre de Vitrubio. Iba a formar parte de un futuro Tratado de la Pintura de Leonardo, pero al final pudo contemplarse por primera vez en 1511, formando parte de una reedición del tratado De Architectura de Vitruvio, como ejemplo de las proporciones ideales del cuerpo de un hombre, que puede inscribirse tanto en un círculo como en un cuadrado. El círculo está centrado en el ombligo y el cuadrado en los genitales. Las proporciones ideales del cuerpo humano corresponden a la razón áurea entre el lado del cuadrado y el radio del círculo. 1.

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LAS PROPORCIONES ÁUREAS EN MONUMENTOS EMBLEMÁTICOS

Comprobación empírica mediante el compás áureo de las proporciones áureas que guardan algunas dimensiones de magníficas construcciones como la Puerta de Bagdad, la Gran Muralla China, El Castillo de Windsor y San Pablo de Londres.

LA PROPORCIÓN ÁUREA EN EL DISEÑO DE TARJETAS.

La Divina Proporción en su forma de rectángulo de oro se aplica en la actualidad al diseño de elementos de uso muy común como las tarjetas.

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LA DIVINA PROPORCIÓN COMPONENTE MATEMÁTICO DE LA BELLEZA

Comprobación empírica mediante el compás áureo de las proporciones áureas que guardan algunas dimensiones de tallos con hojas, flores, insectos y pájaros. La Divina Proporción es un componente matemático de la belleza natural.

Comprobación empírica mediante el compás áureo de las proporciones áureas que guardan las dimensiones de algunos objetos.

La Divina Proporción o Sección Áurea se encuentra por doquier, con tal de que se la quiera buscar. Y en la actualidad, donde el diseño juega un papel esencial en el consumo, la Divina Proporción incide decisivamente en la conformación de muchos objetos.

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La obra de Luca Pacioli La Divina Proporción La Divina Proporción de Luca Pacioli (Venecia, 1509) es una de las obras más significativas del ambiente científico y artístico de la Italia de finales del siglo XV, convirtiéndose en uno de los puntos de partida de los numerosos estudios dedicados a las proporciones en el cuerpo humano y en el Arte que se escribieron a lo largo del Renacimiento. La obra responde a la visión filosófica, teológica y estética del neopitagorismo y neoplatonismo que interpretaban la imagen del universo como un macrocosmos concebido armónicamente, en el que el hombre y su visión a través del Arte sería un microcosmos reflejo del supremo orden universal. En el tratado la razón áurea es concebida como principio universal de la belleza y como modelo de evolución de las formas que conservan la imagen de perfección de la unidad divina original, como manifestación de la afinidad del mundo creado con la perfección de su fuente divina y de su potencial evolución futura. En los primeros capítulos de su obra, La Divina Proporción, Luca Pacioli se refiere a las propiedades y «singulares efectos» de la sección áurea, para pasar después a estudiar de forma muy profunda, con argumentos teológicos y filosóficos, las propiedades geométricas y místicas de los poliedros regulares bajo una orientación totalmente inspirada en la cosmogonía platónica del Timeo.

La Divina Proporción de Luca Pacioli, Akal, Madrid, 1991. De esta edición se toman las referencias, con indicación de página.

Previamente, Luca Pacioli escribe un auténtico panegírico sobre la concepción y el supremo grado de certeza de las diversas ciencias matemáticas, alude a los beneficios que producen en el estudio de todo tipo de disciplinas desde la Filosofía y la Teología a las Leyes y la ciencia militar, al contener sus propios fundamentos, y pone como hitos históricos fundacionales de la Matemáticas los trabajos de Pitágoras, Platón, Euclides y Arquímedes.

En el Capítulo II de La Divina Proporción, Luca Pacioli escribe (Akal, Madrid, 1991, p.33): Proemio del presente tratado llamado La Divina Proporción «Las Matemáticas son el fundamento y la escala para llegar al conocimiento de cada una de las demás ciencias, por encontrarse en el primer grado de certeza, como afirma el filósofo cuando dice “Mathematicae enim scientiae sunt in primo grado certitudinis et naturales sequuntur eas”. Como se ha dicho, las ciencias y disciplinas matemáticas se encuentran en el primer grado de certeza y las siguen todas las ciencias naturales; y sin el conocimiento de aquellas se hace imposible. Igualmente está escrito en la sabiduría que “omnia consistunt in numero, pondere et mensura”, es decir, que todo aquello que se encuentra distribuido por el universo inferior y superior se reduce necesariamente a número, peso y medida.»

Y en el Capítulo III de la obra de Luca Pacioli podemos leer (Akal, p.38): Lo que de be entenderse por los vocablos «matemático» y »disciplinas matemáticas» «El vocablo matemática es griego, derivado de la palabra que en nuestra lengua equivale a decir disciplinable; y, para nuestro propósito, por ciencias y disciplinas matemáticas se entienden la aritmética, la geometría, la astronomía, la música, la perspectiva, la arquitectura y la cosmografía, así como cualquier otra dependiente de éstas. Sin embargo, comunmente los sabios consideran como tales a las cuatro primeras, es decir, la aritmética, la geometría, la astronomía y la música, llamando a las demás subalternas. Así lo quiere Platón y Aristóteles, Isidoro en sus Etimologías y Boecio en su Aritmética.»

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LA DIVINA PROPORCIÓN DE LUCA PACIOLI

1.

2.

Fragmento de un cuadro atribuido por J. De Barbari en 1495 (Museo de Capidemonte, Nápoles) que retrata a Luca Pacioli en un ambiente místico con elementos geométricos relativos a una página de Euclides, en relación con los poliedros y la sección áurea, que el franciscano estudiará en su famosa obra La Divina Proporción. Primera página de la obra de Luca Pacioli La Divina Proporción (Venecia, 1509) ilustrada de forma bellísima por Leonardo da Vinci. A pesar del título, la obra está dedicada sobre todo a un exhaustivo estudio de los poliedros.

A LA DIVINA PROPORCIÓN A ti, maravillosa disciplina, media, extrema razón de la hermosura que claramente acata la clausura viva en la malla de tu ley divina. A ti, cárcel feliz de la retina, áurea sección, celeste cuadratura, misteriosa fontana de mesura que el universo armónico origina. A ti, mar de los sueños angulares. flor de las cinco formas regulares, dodecaedro azul, arco sonoro. Luces por alas un compás ardiente. Tu canto es una esfera trasparente. A ti, divina proporción de oro.

Rafael Alberti

El bellísimo soneto del ilustre poeta gaditano R. Alberti sobre la Divina Proporción, cierra con broche de oro lírico el Proemio de la edición de Editorial Losada (Buenos Aires, 1946) de La Divina Proporción de Luca Pacioli.

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LA DIVINA PROPORCIÓN Y LOS ATRIBUTOS DE DIOS SEGÚN LUCA PACIOLI El propio nombre que acuña Luca Pacioli –Divina Proporción– sintetiza las correspondencias que guarda la razón áurea con los atributos de la Divinidad, relacionados en el Capítulo V de la obra (Akal, Madrid, 1991, pp. 41–42) :

Del título que conviene al presente tratado o compendio «Páreceme, que el título conveniente a nuestro tratado ha de ser el de La Divina Proporción, y ello por numerosas correspondencias de semejanza que encuentro en nuestra proporción, de la que tratamos en este utilísimo discurso, que corresponden a Dios mismo. Para nuestro propósito será suficiente considerar cinco de ellas, entre otras : 1. «Es una sola y no más, [...], y dicha unidad es el supremo epíteto de Dios mismo». 2. La Divina Proporción se corresponde con la Santísima Trinidad: «Así como in divinis hay una misma sustancia entre tres personas, [...], de igual modo una misma proporción se encontrará siempre entre tres términos, [...]. ». La correspondencia que expresa Luca Pacioli se φ+1 interpreta mediante la relación: =φ . φ Los tres términos del primer miembro con las operaciones de suma y cociente son como las tres personas de la Santísima Trinidad, que, sin embargo, constituyen el único Dios, permaneciendo idéntico a sí mismo [= φ]. 3. Así como Dios es indefinible, también la Divina Proporción «no puede nunca determinarse con un número inteligible, [...]», (es irracional). 4. «[...] Dios nunca puede cambiar y está en todo», así también es la Divina Proporción.

Dedicatoria al Duque de Milán en la primera página de La Divina Proporción de Luca Pacioli, El autor llama a la obra Epístola sobre la Divina Proporción.

5. «Así como Dios confiere el Ser a la virtud celeste, llamada quintaesencia, y mediante ella a los otros cuerpos simples –es decir, a los cuatro elementos: tierra, agua, aire y fuego– que tienen su forma propia: cubo, icosaedro, octaedro, tetraedro [...], nuestra santa proporción confiere el ser formal, según el antiguo Platón en su Timeo, al cielo mismo, atribuyéndole la figura del dodecaedro, [...] ».

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El Pentagrama místico pitagórico. Geometría y mística Buena parte de la Geometría pitagórica en relación con los poliedros y con la sección áurea, tuvo que ver con el pentágono regular. La figura de la estrella de cinco puntas que se forma al trazar las cinco diagonales de una cara pentagonal de un dodecaedro regular, llamado pentágono estrellado, Pentacle, Pentalfa o pentagrama místico, parece haber sido una especie de símbolo esotérico de identificación, a modo de anagrama, de la Escuela Pitagórica (según Jámblico en su obra, Vida de Pitágoras). Por eso los pitagóricos estudiaron exhaustivamente la construcción y propiedades del pentagrama. El Pentagrama místico fue uno de los tópicos geométricos más importantes de la Escuela pitagórica por sus bellísimas propiedades geométricas de las que nace su simbolismo místico que será ampliamente desarrollado en el capítulo quinto. Además, según veremos, el Pentagrama místico pudo estar en la base del más importante hallazgo científico de los pitagóricos: el descubrimiento de las magnitudes inconmensurables, una de las causas de la profunda crisis que arruinó a la cofradía pitagórica. De momento digamos que una de las curiosas propiedades del Pentagrama, que imponía respeto a los pitagóricos era su «unicursalidad»: «la estrella pentagonal puede ser trazada por el movimiento de un punto sin pasar dos veces por el mismo lado» Una segunda propiedad profundamente aritmológica en su esencia inspiraba a los pitagóricos un entusiasmo místico, relacionando el pentagrama con la palabra salud (υγιεια =higieia, de donde deriva higiene). Aunquela υ palabra υγιεια tiene seis letras, a veces se producía una contracción que hacía desaparecer la primera (como atestiguan algunas inscripciones) quedando entonces con cinco letras υγεια, que se situaban α γ sobre cada uno de los vértices del Pentagrama, que de esta forma se convertía en el anagrama supremo de la salud. Al ser el Pentagrama, a su vez, el símbolo de reconocimiento de los pitagóricos, de aquí podría provenir el término ¡Salud! como saludo ante el encuentro de dos personas. ι ε

EL HOMBRE–MICROCOSMOS

El Hombre-Microcosmos. Ilustración de Pedro Lario Cruz. El Hombre-Microcosmos inscrito en Pentagrama místico pitagórico representa imperio del Espíritu (número 3) sobre Materia (número 2) de acuerdo con Aritmología pitagórica.

el el la la

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SIMBOLISMO DE LOS ATRIBUTOS MATEMÁTICOS EN LA COMUNIDAD PITAGÓRICA

La Arcadia pitagórica, una atmósfera mística impregnada de música y simbología matemática, donde la comunidad pitagórica desarrollaba la pasión por el conocimiento mediante especulaciones filosóficas y matemáticas como base moral para la consecución de la armonía interior y con el entorno, de acuerdo con el orden natural de las cosas que emana de Dios, supremo ordenador cósmico a través del maravilloso poder de la armonía matemática y musical, metáforas del orden universal. El Dodecaedro como quintaesencia de la Cosmogonía pitagórica, la sagrada Tetractys como fuente y raíz de la naturaleza eterna, el triángulo rectángulo depositario de la inconmensurabilidad, el Pentagrama místico símbolo de identificación de los pitagóricos y de la salud, son los talismanes de la actividad intelectual del «modo de vida pitagórico», en el que la música –cuya armonía es de naturaleza matemática– ejerce una influencia definitiva en el equilibrio emocional. La comunidad pitagórica, de carácter científico y religioso, se basaba en un ideario común fundamentado en todo un cuerpo de doctrina sobre el hombre, el alma, la sociedad, el cosmos, etc., que conducía necesariamente al estudio, a la reflexión filosófica y a la especulación matemática y cosmológica, actividades en las que el adquisición del conocimiento participaba más del carácter de una iniciación religiosa que de una mera instrucción o investigación, es decir, religión y ciencia son aspectos íntimamente vinculados en un tipo de vida llamado pitagórico (Platón, República, 600b) y la actividad científica es una consecuencia de la doctrina, no el móvil inicial como sería en la Academia platónica, en el Liceo de Aristóteles o en el Museo de Alejandría. En este sentido escribe Russell (Historia de la Filosofía Occidental,Austral, Madrid, 1995,Vol.1, Libro 1, p.72): «Pitágoras como profeta religioso y como matemático ha tenido una influencia inconmensurable, y los dos campos de su actividad no distan tanto el uno de otro como puede parecer a una mente moderna.»

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El triángulo áureo El pentagrama místico pitagórico se obtiene a partir de tres triángulos isósceles iguales (por eso al pentagrama pitagórico se le llama también «tripletriángulo») que tienen los ángulos iguales dobles del ángulo desigual. Este tipo de triángulo se construye en la Proposición 10 del Libro IV de Los Elementos de Euclides, cuyo contenido es de raíz pitagórica en su mayor parte. En la siguiente Proposición, la IV.11, se construye efectivamente el pentagrama a base de inscribir en un círculo un pentágono regular y trazar las diagonales, las cuales de forma sorprendente se cortan determinando segmentos que están en proporción áurea siendo el segmento mayor igual al lado del pentágono (Euclides XIII.8). En efecto: A

H

E

B

G

D

C

Por razones de simetría la diagonal EB es paralela al lado DC de modo que DCHE es un paralelogramo, por tanto EH=DC=AB. Además, los triángulos ∆ABE y ∆HAB son semejantes, de modo que según Euclides VI.4: EB/BA = AB/BH; y al ser AB=EH EB EH resulta: = = φ. EH HB

Por otra parte el triángulo isósceles ABG cumple una propiedad muy especial: los lados iguales están en proporción áurea con el lado menor ya que φ = EH/HB = AB/GB. A un tal triángulo que es el que construye Euclides en la Proposición IV.10 de Los Elementos se le llama «triángulo áureo»; tiene ángulos en la base de 72º y en el vértice de 36º, y al igual que el rectángulo áureo es «auto-reproductivo»: Partiendo del triángulo ABC, la bisectriz del ángulo B corta a AC in D de forma áurea. El triángulo BCD siendo semejante al original ABC resulta ser un triángulo áureo. La bisectriz del ángulo C corta a BD en el punto E de forma áurea y el triángulo CDE resulta ser áureo. Este proceso, que es otra forma del crecimiento gnomónico, es indefinido, obteniéndose una sucesión de triángulos áureos que convergen hacia el polo de una espiral logarítmica que pasa por los sucesivos vértices de los triángulos. Además, es fácil advertir las siguientes relaciones: Si tomamos HG como unidad de longitud se verifica: HG = 1 FE = 1φ + 1 ED = 2φ + 1 DC = 3φ + 2 CB = 5φ + 3 BA = 8φ + 5 ........... donde nuevamente aparece la relación con la sucesión de Fibonacci.

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EL TRIÁNGULO ÁUREO EN EL LIBRO IV DE LOS ELEMENTOS DE EUCLIDES

Fragmentos de las Proposiciónes IV.10 y IV.11 de Los Elementos de Euclides en la edición de E.Ratdolt (Venecia, 1482).. Ejemplar de la Biblioteca del Monasterio de San Millán de Yuso. En la Proposición IV.10 Euclides construye el Triángulo Áureo– un triángulo isósceles que tiene los ángulos iguales dobles del ángulo desigual– como preliminar de la Proposición IV.11 donde inscribe un pentágono regular en un círculo dado. El Triángulo Áureo tiene una gran importancia en la formación del Pentagrama místico pitagórico.

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LA DIVINA PROPORCIÓN Y EL PENTAGRAMA MÍSTICO EN

EL LIBRO XIII DE LOS ELEMENTOS DE EUCLIDES

Fragmentos de las Proposiciones XIII.8, XII.9, XII.10 de Los Elementos de Euclides sobre propiedades muy curiosas, hermosas e interesantes acerca de relaciones entre los lados de polígonos inscritos en el mismo círculo y que constituyen la base de los teoremas posteriores sobre las construcciones de los poliedros inscritos en una esfera. En la Proposición 8 Euclides demuestra que las diagonales de un pentágono se cortan en razón áurea –un resultado pitagórico de presunta trascendencia sobre el descubrimiento de los inconmensurables–. De la Proposición 9 resulta que los lados del hexágono y el decágono se yuxtaponen de forma áurea; y de la Proposición 10 que los lados del pentágono, hexágono y el decágono inscritos en un mismo círculo forman un triángulo rectángulo. He aquí los enunciados de estas proposiciones: • XIII.8. Si en un pentágono equilátero y equiángulo, unas rectas opuestas subtienden dos ángulos consecutivos, se cortan entre sí en media y extrema razón y sus segmentos mayores son iguales al lado del pentágono [las diagonales de un pentágono regular se cortan en media y extrema razón, siendo el segmento mayor igual al lado del pentágono]. • Proposición XIII.9. Si se unen el lado de un hexágono y el de un decágono inscritos en el mismo círculo, la recta entera resultante queda dividida en media y extrema razón, y su segmento mayor es el lado del hexágono. • Proposición XIII.10. Si se inscribe un pentágono equilátero en un círculo, el cuadrado del lado del pentágono es igual a los cuadrados de los lados del hexágono y del decágono inscritos en el mismo círculo [Teorema de Ptolomeo]. En esta edición de Ratdolt (Ejemplar de la Biblioteca del Monasterio de San Millán de Yuso), las Proposiciones 8 y 12 ocupan el lugar 11 y 8, respectivamente.

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El simbolismo del pentagrama místico pitagórico El simbolismo del pentagrama místico no es privativo de la Escuela pitagórica como muestran las siguientes ilustraciones:

Pentagrama mesopotámico (2600 a.C.), pentagrama judío (500 a.C.) y pentagrama romano (78 a.C.).

Monedas griegas con simbología pitagórica pentagonal halladas en Metaponto (440 a.C.), Melos (420 a.C.) y Pitane (350 a.C.).

Pitágoras debió recoger en su viajes de juventud la tradición mesopotámica y a su vez la doctrina pitagórica se trasmitió a otros pueblos mediterráneos como judíos y romanos. La cuestión es que el pentagrama místico de Pitágoras fue un diagrama simbólico esencial del esoterismo geométrico de los pitagóricos, trasmitido desde la antigüedad hasta el siglo XVIII, y bajo la forma ideológica que adquirió en el Timeo de Platón, recogida por Vitrubio, forma parte de dos tradiciones culturales importantes: los trazados de los arquitectos y las estrellas pentagonales del simbolismo mágico europeo, corrientes subterráneas que emergen a la luz a través de la obra de Luca Pacioli La Divina Proporción, que con finalidad teológica racionaliza los arcanos del misticismo geométrico pitagórico, exhumando una ciencia geométrica en cuyas fuente beberán Alberti, Durero y otros muchos artistas del Renacimiento. Las cofradías de constructores, albañiles y artesanos medievales trasmitieron de generación en generación un ritual iniciático en el que la Geometría pitagórica desempeñaba un papel preponderante, interviniendo en la construcción de las grandes catedrales góticas donde encontramos toda una enciclopedia gráfica en los trazados de rosetones donde el místico símbolo pitagórico irradia luminosa magnificencia a través de los vitrales. Ejemplos bellísimos del pentagrama encontramos en Notre-Dame de París, en Saint-Ouen de Rouen, en el magnífico rosetón norte de la Catedral de Amiens, en Santa Catalina de Estrasburgo, en la abadía de Westminster, en la iglesia de Santa María de Lemgo, etc. En España uno de los más elegantes, aunque muy modesto es el de la Iglesia de San Juan de Castrogeriz (Burgos) en el Camino de Santiago.

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EL SIMBOLISMO DEL PENTAGRAMA MÍSTICO EN LA ARQUITECTURA RELIGIOSA

El pentagrama místico pitagórico en rosetones góticos: 1. Iglesia de Santa María en Lemgo (Alemania). 2. Catedral de Amiens. 3. Ermita templaria de San Bartolomé en el Cañón del Río Lobos (Ucero,Soria)

Estructura áurea triangular y pentagonal en la Tumba rupestre de Mira (Turquía)

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EL SIMBOLISMO DEL PENTAGRAMA MÍSTICO EN LA ARQUITECTURA RELIGIOSA

Pentagrama místico pitagórico en un rosetón mudéjar de Calatayud (Zaragoza)

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El aspecto geométrico de la metafísica de los números introducido por el pitagorismo en la Filosofía de la Estética aparece en multitud de signos lapidarios y se incorporó a la Magia europea, en lo que se ha llamado la Magia Gótica, que en sus técnicas y supersticiones adoptó muchas fórmulas pitagóricas obtenidas a través de la Gnosis, el Hermetismo y la Kábala. El carácter geométrico del esoterismo de esta magia la distingue de sus compañeras de Asia, África y América. El pentagrama es la figura, por excelencia, que se utiliza en los conjuros y que confiere, al que sabe servirse de ella, el conocimiento supremo, aunque mal empleado a propósito, sobre todo como pentagrama negro o maléfico, invertido, con dos puntas para arriba (como la cabeza de un macho cabrío) puede desencadenar la furia de los demonios. El célebre mago Cornelio Agrippa (a quien Descartes estudió con interés) publicó un importante tratado de magia De Occulta Philosophia, que contiene un libro sobre la Kábala de evidente influencia pitagórica. En su obra (donde aparece la famosa ilustración que presenta a un hombre inscrito en el pentagrama como símbolo del Microcosmos) Agrippa escribe: «Las Ciencias matemáticas son parientes de la magia,... porque todo cuanto pueda existir en las fuerzas naturales esclavas no consiste más que en número y armonía». Siguiendo a Pitágoras Agrippa vincula el pentagrama con las virtudes del número cinco, aclamándolo como «símbolo de la felicidad y de la gracia, sello del Espíritu Santo y vínculo que todo lo enlaza». Paracelso, gran experto en talismanes y símbolos mágicos, reduce a dos todos los signos a que obedecen los espíritus: el Hexagrama o Sello de Salomón, representación del Macrocosmos y el Pentagrama representación del Microcosmos humano, que es «el signo más poderoso de todos». Paracelso aplica el Pentagrama en una Teoría armónica de la Fisiología y considera que todo estado patológico se debe a la ruptura de la armonía interior.

Simbología mágica del Pentagrama pitagórico: el macho cabrío (que desencadena la furia de los demonios por torcida utilización del pentagrama y el Hombre Microcosmos de Agrippa de Nettesheim (De Occulta Philosophia, Amberes, 1530), que se adapta perfectamente a las proporciones áureas de la estrella pentagonal inscrita en la armonía de los círculos cósmicos.

La leyenda del nigromante Fausto en relación con Mefistófeles (uno de los siete príncipes de las tinieblas infernales) abunda en alusiones al pentagrama. La imaginación popular alemana del siglo XVI atribuye al propio Fausto el tratado de conjuros mágicos Höllenzwang, Geisterzwang, Cabala nigra et Alba que contiene un repertorio de diagramas de estrellas de cinco puntas que destila una Geometría tan sabia como los símbolos lapidarios o los rosetones góticos. Goethe inmortalizará la leyenda en su excelsa obra Fausto, donde en la escena tercera de la primera parte aparece, en el diálogo entre Fausto y Mefistófeles, una alusión mágica al símbolo pitagórico: Mefistófeles: Hay un pequeño obstáculo que me impide salir de aquí, y es esa estrellita de cinco picos que se atraviesa en el umbral... Fausto: ¿Te preocupa el pentagrama? ...

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LA REPRODUCCIÓN GEOMÉTRICA DEL PENTAGRAMA PITAGÓRICO

Máscara de Hermes. Mármol romano, copia de uno griego. S.I. a.C. Glyptotheck. Munich. En el pentagrama cualquier segmento es sección áurea del inmediatamente mayor. El pentágono regular y el pentagrama pitagórico son auténticos manantiales de proporciones áureas y de nuevos pentagramas.

φ2

φ

φ 1

φ

φ

1 1

φ

φ φ2

φ2

φ

φ

1

1 φ

φ

φ2

φ φ2

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ESPIRALES ÁUREO–PENTAGONALES

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FRACTALES ÁUREO–PENTAGONALES

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REMINISCENCIAS PITAGÓRICAS EN OBRAS DE GAUDÍ Y DALÍ

La estrella pentagonal pitagórica (Pentagrama místico) en tres mosaicos del Parque Güell de Barcelona.

El famoso cuadro (óleo sobre tela) de Dalí «Leda Atómica» pintado en 1949, sintetiza siglos de tradición matemática y simbólica, especialmente pitagóricas. Se trata de una filigrana basada en la Proporción áurea, pero elaborada de tal forma que no es evidente al espectador. En el boceto de 1947 «Esbós per a Leda Atómica» se advierte la meticulosidad del análisis geométrico realizado por Dalí, basado en el Pentagrama místico pitagórico.

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EL SIMBOLISMO DEL PENTAGRAMA MÍSTICO PITAGÓRICO

Maniqueos, cátaros, albigenses, vadeses, templarios, masones, utilizaron la simbología pitagórica como emblema del conocimiento, de conjuros ocultistas, de llamada a los poderes buenos o maléficos. En las ilustraciones: 1. El pentagrama flamígero de una logia masónica, símbolo utilizado, a modo pitagórico, como elemento de reconocimiento entre los iniciados. 2. Símbolo lapidario sepulcral. 3. Anagrama rosacruz.

El Pentagrama pitagórico, tal vez utilizado como símbolo de poder, forma parte de la parafernalia militar, sobre todo en los distintivos de los mandos. También el Pentágono es el símbolo y la forma física de la más importante institución militar de los EEUU. Probablemente de aquí puede provenir el hecho de que la estrella pentagonal aparezca en numerosas banderas (Argelia, Burkina Faso, Burundi, Cabo Verde, Camerún, Rep. Centoaficana, Chile, China, Comores, Corea, Cuba, Djibuti, EEUU, Filipinas, Ghana, Granada, Guinea-Bissau, Honduras, Irak, Liberia, Marruecos, Mauritania, Micronesia, Mozambique, Paquistán, Panamá, Papúa, Puerto Rico, Salomón, Samoa, Santo Tomé, Senegal, Singapur, Siria, Somalia, Surinam, Togo, Túnez, Turquía, Uzbequistán, Venezuela, Vietnam y la Unión Europea). En la ilustración las banderas de Cuba y la Unión Europea.

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PITÁGORAS FILÓSOFO Y MATEMÁTICO Pitágoras filósofo. Grabado de History of Philosophy. Thomas Stanley, 1660. La extensa e intensa actividad intelectual de Pitágoras y su Escuela ha dejado un legado que está en la raíz de la Filosofía, la Ciencia, la Matemática, la Cosmología, la Música, ..., y ha tenido influencia decisiva en el Arte, la Educación, la Literatura, la Religión, la Mística, la Ecología, e incluso en la Magia y el Esoterismo. Para Pitágoras Filosofía, Ciencia, Matemáticas, Cosmología y Religión, son aspectos indisociables que conforman un estilo de vida: «el modo de vida pitagórico», imbuido por un entusiasmo místico que promueve una pasión por el conocimiento mediante la especulación filosófica y matemática como parámetros esenciales cotidianos de la existencia. El Pitagorismo, tamizado por la Filosofía platónica, está en la base de la fundamentación filosófica e ideológica del Cristianismo. En Pitágoras encontramos el primer antecedente histórico del sincretismo cultural OrienteOccidente, del pacifismo, del feminismo, del socialismo, del vegetarianismo, del ecologismo y de otros muchos «ismos» y tendencias que hoy son lugares corriente en nuestra cultura. Pitágoras es «el filósofo del número» artífice máximo del «milagro griego». Su figura histórica crea «las raíces de la Filosofía y de la Matemática», por eso su entidad intelectual es tan inconmensurable, que debemos situarla en «el umbral del pensamiento occidental», como «cuna del saber y del conocimiento». Pitágoras con los atributos de matemático: el Dodecaedro, la Tetractys, el Triángulo Rectángulo, el Pentagrama Místico y la Música. Ilustración de Pedro Lario Cruz, 09/ 2000. Pitágoras y los pitagóricos aportaron un ingente caudal de conocimientos matemáticos que fluían en el ambiente místico y filosófico de la Escuela Pitagórica: • La doctrina aritmética incluye la Aritmología pitagórica de los números místicos, la clasificación de los números, los números perfectos y amigos y los números poligonales. Es lo que se llama el misticismo aritméticogeométrico, que incluye el descubrimiento del fundamento aritmético de la armonía musical y la construcción del primer sistema cosmológico no geocéntrico. • La doctrina geométrica clásica atribuye a los pitagóricos infinidad de teoremas elementales sobre triángulos, polígonos, rectas paralelas, círculos, esferas, etc., resultados que conforman gran parte de los trece libros de Los Elementos de Euclides. Los pitagóricos aplicaban una teoría restringida de figuras semejantes (válida únicamente para el caso conmensurable) y según testimonio de Proclo conocían los poliedros regulares. Además, se consideran tópicos pitagóricos el famoso Teorema sobre el triángulo rectángulo y la Divina Proporción, ambos depositarios históricos del descubrimiento de las magnitudes inconmensurables. Pero lo más importante del legado pitagórico matemático es la propia instauración la Matemática como ciencia racional a través de la práctica de la demostración.

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BIBLIOGRAFÍA

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