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LA PARABOLA Tnte. Angos Maria Jose, Tnte. Gutierrez Karina, Gabriel Abarca Departamento de ciencias exactas. Universidad de las fuerzas armadas – ESPE Sangolqui – Ecuador [email protected] [email protected] [email protected]

Abstract.- Geometry is a very important subject for engineer students, because it will help us understand mathematical problems better, also keeping in mind that geometrical figures will give the real solution to equations when they are drawn correctly. I.

INTRODUCCCIÓN

Las secciones cónicas, son curvas que se obtienen al interpretar un plano, con un cono circular recto de dos mantos. Las cónicas en general son: La parábola: se obtiene al cortar el cono con un plano, cuya inclinación, es igual que la de la superficie lateral del cono

Fig 2. Elipse Hipérbola: que se obtiene al cortar el cono con un plano , cuya inclinación es mayor, al ángulo que forma la superficie lateral del cono con la base. Es de notar que en ese caso, el plano corta a los dos mantos del cono.

Fig.1 Parabola La elipse: que se obtiene al cortar el cono con un plano, cuya inclinación es menor, al ángulo que forma la superficie lateral del cono con la base.

Fig.3 Hipérbola Circunferencia: que es un caso particular de la elipse , que se obtiene al cortar al cono con un plano horizontal.

Fig. 6 Traslación de ejes Fig.4 Circunferencia En conclusión podemos deducir que las secciones cónicas son: “El conjunto de todos los puntos del plano, tales que : la distancia no dirigida de los puntos, respecto de un plano fijo, es la distancia no dirigida de los puntos respecto a una recta fija, como una constante positiva “e” denominada excentricidad. El punto fijo se llama foco de la cónica y la recta fija directriz.”

Por el punto O’(4;3) trazamos un nuevo sistema coordenado X’, Y’ paralelo al sistema original X,Y . calculamos la distancia del punto A a los nuevos ejes coordenados, mediante la proyección de punto A sobre estos : O’A’= XA’- XO’ = 8 – 4 = 4 O’B’ = YB’ – YO’ = 7 – 3 = 4 A ( 4; 4 ) Que son las coordenadas de A respecto a los nuevos ejes. Lo que en realidad hicimos fue restas la coordenadas del nuevo origen O’ de las coordenadas del punto A. (8;7)–(4;3)=(8–4);(7–3)=(4;4) Con este ejemplo podemos citar : “si se trasladan dos ejes coordenados en forma paralela, a un nuevo origen O’ (h ; k ) y si las coordenadas de cualquier punto P, antes y después de la traslación son (x; y) y ( x’ ; y’) respectivamente, las ecuaciones se transforman del sistema original al nuevo sistema son : x = x’ + h ; y = y’ + k

Fig.5 Conjunto de cónicas TRASLACION DE EJES CORDENADOS: Es un artificio para simplificar las ecuaciones de las curvas dadas, para asi estudiarlas mas fácilmente, y analíticamente se expresa como una ecuación de transformación entre las principales con: la traslación y la rotación de ejes. Con el siguiente ejemplo vamos a entender de una mejor manera : Hallar las coordenadas del punto A( 8 ; 7 ), respecto a un nuevo sistema de ejes, paralelos a los originales, cuyo nuevo origen es B (4 ; 3).

Es el lugar geométrico , de un punto que se mueve en el plano, de tal manera que su distancia no dirigida a una recta fija llamada directriz , es siempre igual a su distancia no dirigida respecto de un punto fijo llamado foco . II.

DESARROLLO DE CONTENIDO

LA PARABOLA Es el lugar geométrico , de un punto que se mueve en el plano, de tal manera que su distancia no dirigida a una recta fija llamada directriz , es siempre igual a su distancia no dirigida respecto de un punto fijo llamado foco

La parábola tienes varias formas de ecuación, las que dependen de su posición respecto de los ejes coordenados o de su presentación. Empezamos con las formas cónicas las mismas que cuyo eje coincide con uno de los ejes coordenados y tienen su vértice en el origen. PARABOLA DE VÉRTICE EN (0;0) Y EJE COINCIDE CON EL EJE X Fig. 7. Definición De acuerdo a la definición, siempre se cumplirá que d1=d2 para cualquier punto de la parábola ELEMENTOS: •

EJE: la resta que pasa por el foco y es perpendicular a la directriz

•

VERTICE: punto de corte de la curva con el eje y es punto medio entre el foco y el punto de corte del eje con la directriz

•

CUERDA: la recta que uno dos puntos cualesquiera de la parábola como AA’

•

CUERDA FOCAL: la cuerda que pasa por el foco, como CC’

•

RADIO FOCAL: denominado también radio vector, es la línea que une el foco con un punto cualquiera de la curva, como: DF,VF

•

LADO RECTO: la cuerda focal perpendicular al eje BB’.

•

DIAMETRO: la recta que une los puntos medios de un sistema de cuerda paralelas de la parábola, es siempre paralelo al eje .

Fig 9 EJE X Llamaremos “p” a la distancia que hay del origen de coordenadas al foco, por lo tanto las coordenadas de este son f ( 4, 0) y la ecuación de la directriz será x =-p. Sea P(x;y) un punto cualquiera pertenece al lugar geométrico, trazamos PA perpendicular a la directriz, y trazamos también Pf; de acuerdo a la definición enunciada de la parábola se cumple que : Afirmación

Justificación Igualamos las distancias

cada distancia equivale cada distancia equivale

igualamos

Elevamos al Cuadrado Fig 8. ELEMENTOS ECUACIONES DE LA PARABOLA

opero 1 era ecuación canónica de la parábola

Podemos enunciar las siguientes conclusiones:  

Si p es positiva “x” será también positiva y la curva se abrirá hacia la derecha Si p es negativa “x” será también negativa y la curva se abrirá hacia la izquierda.

PARABOLAS DE VERTICE EN ( h ; k ) Y EJERS PARALELOS A LOS EJES COORDENADOS. Como en todas las parábolas, se sigue cumpliendo que: para

facilitar

la

obtención

de

su

ecuación,

realizaremos el siguiente análisis: Si por el vértice ( h; k ) trazamos un nuevo sistema de eje x’ ; y’ paralelos a los ejes originales; tendremos ya una parábola de vértice en el origen que coincide con el eje x’ siendo su ecuación de la forma : ( 1)

Fig.10. X POSITIVA PARABOLAS DE VERTICE EN (0;0) Y EL EJE COINCIDE CON EJE Y Las coordenadas del foco serán para este caso f( 0, p ) y la ecuación de la directriz ( paralela al eje x); x = -p; aplicando la definición de lugar geométrico y siguiendo un proceso idéntico al anterior, obtenemos la ecuación de la parábola:

Fig. 12 VERTICE ( h ; k ) Para obtener la ecuación respecto de los ejes orígenes, usamos las ecuación de traslación de ejes:

2da ecuación canónica de la parábola x = x’ + h ; y = y’+ k

de donde

x’= x – h ; y’= y – k

reemplazo en (1)

( y – k )2 = 4p ( x - h )

Ec. Ordinaria

Podemos enunciar las siguientes conclusiones:       

La curva pasa por el origen de coordenadas. La curva es simétrica al eje de las y Si p es positivo la curva se abre hacia arriba Si p es negativa la curva se abre hacia abajo La curva resultante es de longitud infinita La curva carece de asíntotas La magnitud del lado recto, es igual valor absoluto de 4p.

Realizando un procedimiento similar, obtendremos la ecuación de las parábolas de vértice 8H;k) y eje paralelo al eje y: ( x – h )2 = 4p ( y - k )

Ec. Ordinaria

En estas formas ordinarias, se sigue cumpliendo que :    

P es la magnitud de la distancia del vértice al foco Las parábolas para abrirse en determinado sentido, dependerá del signo de o Las parábolas son simétricas respecto a su eje Su lado recto, sigue siendo igual al valor absoluto de 4p

ECUACIONES GENERALES DE LAS PARABOLAS EN POSICIONES ORDINARIAS Fig. 11. Y POSITIVO

( y – k )2 = 4p ( x - h ) eje horizontal

( x – h )2 = 4p ( y - k )

eje vertical

Si desarrollamos respectivamente:

estas

Repitiendo el procedimiento anterior, llegamos a la conclusión de que la ecuación:

ecuaciones

obtendremos x2 + Dx + Ey + F = 0 representa una parábola de eje vertical, si :

x2 – 2hx – 4py + h2 + 4pk = 0

0 o dos rectas verticales, o ningún lugar geométrico

si E = 0

y2 - 4px – 2ky + k2 + 4ph =0 Observamos que cada una contiene solamente un término de segundo grado, sea este x2 o y2 .Haciendo referencia a la ecuación general de segundo grado:

Después de nuestro análisis podemos concluir : “Una ecuación de segundo grado, que carece de termino en “xy” y que carece del termino en x2 o en y2 representa:

Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + + Ey + F = 0



Esto significa que si: B = 0 y A = 0 o C = 0 la ecuación general de segunda grado toma la forma de una de las ecuaciones ordinarios. Para saber si todas las ecuaciones que tomen estas formas representan parábolas, realizamos el siguiente análisis.



1er caso : si :A= B = 0. Dividiendo toda la ecuación por el coeficiente de y2. y2 + Dx +Ey + F = 0 si ahora pasamos esta ecuación completando cuadrados , tendremos: = -Dx – F +

ala forma ordinaria

(1)

Una parábola en posición ordinaria , si contiene las dos variables. Dos rectos horizontales o verticales, o bien, no representa ningún lugar geométrico, si contiene una sola variable.

Ejercicios: Hallar las ecuaciones de la parábola y de la directriz, y el valor del lado recto, si la curva tiene eje coincidente con el eje y. vértice en el origen, y pasa por el punto (2,-1) Como el eje coincide con el eje y el vértice está en el origen ( 0 ; 0 ), la ecuación de la curva es de la forma x 2 = 4py. Las coordenadas del punto satisfacen la ecuación. Afirmación

Justificación

(-1)2 = 4p(2)

reemplazo l punto en la ecuación opero

x2 = 4

Por tanto si D

la ecuación obtenida representa una

x

ecuación de la parábola

La ecuación de la directriz es de la forma: x = -p por tanto x= -

parábola de eje horizontal. Si D = 0 la ecuación 1 se reduce a:

Esta ecuación representara dos rectas horizontales diferentes, dos rectas horizontales coincidentes o ningún lugar geométrico, según el segundo término de la ecuación sea positivo, cero o negativo ( la variable x no aparece en la ecuación). 2do caso: si B = C = 0

lado recto

Fig. 13 ejercicio Una recta pasa por el foco de una parábola, de vértice en el origen y el eje coincide como el eje x, cortando la directriz en el punto (2 ; 7). Hallar las coordenadas del punto de corte de la parábola y la recta Afirmación P=2

Justificación coord., del foco f(2,0) Ecua. De la parábola

m=

la pendiente de la recta

Fig.15 ejercicio

Ecua. De la recta 5y+ 7x – 14 =0 x=

opero

Si la excentricidad es uno, la curva es una parábola, porque la distancia del punto al foco es igual a la distancia del punto a la directriz

despejo x

Reemplazo valores

7

+ 40y – 112 = 0

opero

P1(7,54; 7,77)

l.q.q.d.

P2( 0,52; -2,057)

l.q.q.d.

Fig.16 Ejercicio

Fig.14 ejercicio II Hallar la ecuación de la cónica a partir de los siguientes datos: F(0,0) ,e=1 y directriz de la recta: x+2y+2=0 Graficamos un sistema referencias, con los datos propuestos:

Igualamos las distancias y elevamos al cuadrado a los dos términos:

Fig. 17 ejercicio

Hallar el área del triángulo equilátero inscrito en la parábola y 2 = -8x, si uno de los vértices coincide con el origen de coordenadas: Afirmación

Justificación

AOB = 30°

AOB rectángulo y AOC equilátero

AO = 150°

Áng. Inclinación

Pendiente AO = -0,577

tangente de 150°

1)y = -0,577x

ecuación recta AO

2)y2 = -8x

ecuación parábola

(-0,577x)2 = -8x

reemplazo 1) en 2)

2

0,333x + 8x = 0

operación

x ( 0,333x + 8 ) = 0

factor común

x = 0 y x = -8/0,333

resultados

x = -24

posible solución

y = -0,577 (-24)

valor x reemplazo en 1)

y = 13,86

operación

A

AOC = (base * altura)/2

fórmula

A

AOC =( 13,86*2)(24)/2

reemplazo valores

A

AOC = 332,50 u2

SOLUCION

El cable de un puente colgante soporta una calzada de 300 m. mediante cables verticales, si el cable principal, cuelga adoptando una forman parabólica y los cables verticales más largos y más cortos miden 90 m. y 20 m. respectivamente. Cuál es la longitud de los cables verticales, que están a 50 m. del centro del puente? Afirmación

Justificación

( x – h)2 = 4p (y – k) vertical que se abre hacia arriba

fórmula parábola de eje

( x – 0)2 = 4p (90 – 20) del vértice

reemplazo coordenadas

1502 = 4p (70)

reemplazo del punto (150; 90)

225.000/70 = 4p

operación

4p = 321,428

solución

x2 = 321,428 (y – 20)

ecuación de la parábola

2.500 = 321,428 (y – 20)

reemplazo valor x = 50 m.

2.500 = 321,428y – 6428,571

operación

8.928,57 = 321,428y

términos semejantes

y = 27,777 m.

SOLUCION

http://www.monografias.com/trabajos82/conicas-yaplicaciones/conicas-y-aplicaciones.shtml

III.

CONCLUSIONES. Podemos determinar que la parábola Es el lugar geométrico , de un punto que se mueve en el plano, de tal manera que su distancia no dirigida a una recta fija llamada directriz , es siempre igual a su distancia no dirigida respecto de un punto fijo llamado foco.

IV.

RECONOCIMIENTOS.

Agradecimientos especiales al Ing. Richard Berniz profesor de la asignatura, quien envió la investigación y a través de ella obtuvimos amplios conocimientos de este tema con la base de la geometría plana. V.

BIBLIOGRAFIA

GEOMETRIA ANALITICA, Ing. Hugo Iñiguez, segunda edición http://cursosgratis.aulafacil.com/matematicasconicas/curso/Lecc-18.htm http://math2.org/math/algebra/es-conics.htm http://books.google.com.ec/books? id=pIMxSZN3fskC&pg=PA12&lpg=PA12&dq=rotacion+de +ejes+coordenados+demostracion&source http://www.taringa.net/posts/apuntes-ymonografias/14665466/Conicas-Geometria.html