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• Eric Suhr

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Unidad 3 Integrales Múltiples

Parte 1: Integrales Dobles Análisis Matemático II 1

Integrales Dobles sobre R=[a;b]x[c;d] Integrales Iteradas Integrales Dobles sobre regiones Generales Integrales Dobles en polares Aplicaciones

2

∫

Integral Definida

a

n

lim

∆xi → 0 ( n→∞ n →∞ )

Cátedra Análisis Matemático II

b

∑ i =1

Tema 3: Integrales Múltiples

f ( x)dx

f ( xi* )∆xi

Integral Definida Si ese límite existe n

* lim f ( x i )∆ xi = ∆x → 0 ∑ i

( n →∞ )

i =1

∫

b

a

f ( x)dx

f (x) función continua o seccionalmente continua (condición suficiente )

Cátedra Análisis Matemático II

Tema 3: Integrales Múltiples

Integral Definida b

c

d

b

a

a

c

d

∫ f (x)dx = ∫ f (x)dx + ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx b

b

b

f ( x) + g ( x) ) dx = ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx

a

a

a

∫( b

∫α a

b

f ( x ) dx = α ∫ f ( x ) dx a

b

b

a

a

Si f (x) < g(x) ⇒ ∫ f (x) dx < ∫ g(x) dx

Cátedra Análisis Matemático II

Tema 3: Integrales Múltiples

Integral Definida Una aplicación

b

Si f ( x) ≥ 0 ⇒ A=∫ f ( x)dx a

Cátedra Análisis Matemático II

Tema 3: Integrales Múltiples

Integrales Dobles sobre R

Cátedra Análisis Matemático II

Tema 3: Integrales Múltiples

7

Integral Doble sobre R

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Tema 3: Integrales Múltiples

Integral Doble sobre R

R

R = [ a; b ] × [ c; d ] = R = {( x; y ) ∈ℜ2 / a ≤ x ≤ b ; c ≤ y ≤ d }

Integral Doble sobre R

Solido = {( x; y; z ) ∈ ℜ3 / a ≤ x ≤ b ; c ≤ y ≤ d ;0 ≤ z ≤ f ( x; y )}

Cátedra Análisis Matemático II

Tema 3: Integrales Múltiples

Integral Doble sobre R

Si f ( x, y ) ≥ 0 ⇒ Vij = f ( xi* ; yi* ) ∆ A i j m

n

V ≈ ∑∑ f ( xi* ; y*j )∆ A i j i =1 j =1

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Tema 3: Integrales Múltiples

Integral Doble sobre R m

n

V ≈ ∑∑ f ( xi* ; y*j )∆ A i j i =1 j =1

f (x,y) función continua o seccionalmente continua en R (condición suficiente ) Si ese límite existe

V = lim

m

n

* * f ( x ; y ∑∑ i i )∆ A i j

P →0 m , n →∞ i =1 j =1

Cátedra Análisis Matemático II

= ∫∫ f ( x, y )dA R

Tema 3: Integrales Múltiples

L

Integral Doble: Ejemplo Dado el sólido que está sobre el cuadrado [− 2; 2]× [− 2 ; 2] y debajo del paraboloide z = 9 − x 2 − y 2 . Estimar para cada caso el volumen de un sólido usando la regla del punto medio utilizando particiones de igual longitud (interpretar gráficamente) a) m = n = 1 b) m = n = 2 c) m= n = 4 d) m=8; n=12 d) m=20; n=20 d) m=30; n=30

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Tema 3: Integrales Múltiples

Integral Doble: Ejemplo

z = 9 − x2 − y2

[− 2; 2]× [− 2 ; 2]

Estimar el volumen de un sólido usando la regla del punto medio a) m = n = 1 b) m = n = 2 c) m= n = 4

d) m=8; n = 12

e) m= n = 20

f) m=n=30

Propiedades de las integrales dobles.

∫∫ [ f ( x, y) + g ( x, y)] dA = ∫∫ f ( x, y)dA + ∫∫ g ( x, y)dA

•

R

R

R

∫∫ cf ( x, y)dA = c ∫∫ f ( x, y)dA

•

R

R

Si ∀( x; y ) ∈ R ; f ( x, y ) ≥ g ( x, y ) ⇒ ∫∫ f ( x, y ) dA ≥ ∫∫ g ( x, y ) dA

•

R

•

Si ∀( x, y ) ∈ R

f ( x, y ) ≥ 0 ⇒ V = ∫∫ f ( x, y ) dA R

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Tema 3: Integrales Múltiples

R

Integral Doble: Ejemplo Calcular, usando la definición e interpretar geométricamente la integral doble sobre una región rectangular R si f ( x, y ) = 1

∫∫

f ( x, y )dA = lim

R

∫∫ dA = R

m

n

∑∑ f ( x ; y )∆ A

P →0 m , n →∞ i =1 j =1

m

lim

n

∑∑

P →0 m , n →∞ i =1 j =1

* i

* i

ij

∆ Aij

∫∫ dA = A( R) = (b − a)(d − c) R

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Tema 3: Integrales Múltiples

Integral Doble: Ejemplo

0≤ x+ y ≤2 0 ≤ sen( x + y ) ≤ 1

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Tema 3: Integrales Múltiples

Integral Doble: Ejemplo

2 2

1- Estimar ∫ ∫ f ( x; y )dydx −2 −2 para cada usando la regla del punto medio utilizando particiones de igual longitud (interpretar gráficamente) a) m = n = 1 b) m = n = 2 c) m= n = 4

2- Acotar el valor de la integral

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Tema 3: Integrales Múltiples

Integrales Iteradas e Integrales Dobles sobre R

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Tema 3: Integrales Múltiples

19

Integrales Iteradas: Definición

b d

∫∫ a c

d b

∫∫ c a

b d  f ( x; y )dydx = ∫  ∫ f ( x; y )dy  dx = ∫ A( x)dx = I1 a c a  b

d b  f ( x; y )dxdy = ∫  ∫ f ( x; y )dx  dy = ∫ B( y )dy = I 2 c a c  d

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Tema 3: Integrales Múltiples

Teorema de Fubini • H) f(x,y) continua o seccionalmente continua en R = [a; b]× [c; d ]

• T)

b d

d b

a c

c a

∫∫ f ( x, y)dA = ∫ ∫ f ( x; y)dydx = ∫ ∫ f ( x; y)dxdy R

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Tema 3: Integrales Múltiples

Teorema de Fubini Prueba intuitiva

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Tema 3: Integrales Múltiples

Teorema de Fubini B(y) A(x)

b d

b

∫ ∫ f ( x; y)dydx = ∫ A( x)dx a c

a

d b

d

c a

c

∫ ∫ f ( x; y)dxdy = ∫ B( y)dy

∫∫ f ( x, y)dA R

Integral Doble: Ejemplo Dado el sólido que está sobre el cuadrado [− 2; 2]× [− 2 ; 2] y debajo del paraboloide z = 9 − x 2 − y 2 . Calcular el volumen del mismo (interpretar gráficamente). 2 2

V =

∫ ∫ (9 − x

−2 2

2

2 2

− y )dydx = 4 (9 − x 2 − y 2 )dydx ∫∫ 2

0 0

2

V = 4 ∫ (9 y − x 2 y − y

2

3

3

0

) dx 0

2

 38 2x  304 V = 4 y− = ≈ 101, 33  3 0 3  3 3

Integrales Iteradas: Ejemplos Utilice un SAC para mostrar que para k > 0

¿Contradice el teorema de Fubini? Cátedra Análisis Matemático II

Tema 3: Integrales Múltiples

¿Cómo calcular los volúmenes de estos sólidos?

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Tema 3: Integrales Múltiples

26

Integrales Dobles sobre regiones Generales D

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Tema 3: Integrales Múltiples

27

Integral Doble: Para pensar Estimar el volumen del sólido graficado.

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Tema 3: Integrales Múltiples

Integral Doble: Para pensar Estimar el volumen del sólido graficado.

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Tema 3: Integrales Múltiples

Resolución

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Tema 3: Integrales Múltiples

30

Definición Integrales Dobles sobre regiones generales D  f (x; y) F(x, y) =  0

si (x, y) ∈ D si (x, y) ∈ R ∧ (x, y) ∉ D

∫∫ f ( x, y)dA = ∫∫ F ( x, y)dA D Cátedra Análisis Matemático II

R Tema 3: Integrales Múltiples

31

Integrales Dobles sobre regiones generales D

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Tema 3: Integrales Múltiples

32

Integrales Dobles sobre regiones generales D

Cátedra Análisis Matemático II

Tema 3: Integrales Múltiples

33

Integral Doble Calcular el volumen del sólido graficado.

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Tema 3: Integrales Múltiples

Propiedades de las integrales dobles.

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Tema 3: Integrales Múltiples

Propiedades de las integrales dobles.

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Tema 3: Integrales Múltiples

∫∫ x y dA

Ejemplo: Ejercicio 38

D

∫∫ x y dA = ∫∫ x y dA + ∫∫ x y dA D

D1 1

∫∫ x y dA = ∫ ∫

D2 x 2 +1

−1 1

D

1

x y dy dx + ∫

∫

y2

−1 −1

x y dx dy

∫∫ x y dA = 0 + 0 = 0 D

¿ Cómo calcularía el área de la región D? Determinar

la masa si la densidad en cada punto

es proporcion al al cuadrado de la distancia al origen

8

∫∫

Ejemplo: Ejercicio 50

8

∫∫ 0

8

∫∫ 0

2

3

3

y

e dxdy

e dxdy = ∫ x

y

x4

4

2

0

e dxdy = ∫ x4

y

3

0

2

2

2

0

∫

x3

0

x4

e dydx

1 x 4 2 1 16 x e dx = e = (e − 1) 0 4 4 3 x4

Integral Doble: Calcular el volumen

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Tema 3: Integrales Múltiples

Integrales Dobles en coordenadas polares

Cátedra Análisis Matemático II

Tema 3: Integrales Múltiples

40

RP = {( r ;θ ) / a ≤ r ≤ b ; α ≤ θ ≤ β } Rij = {( r ;θ ) / ri −1 ≤ r ≤ ri ; θ j −1 ≤ θ ≤ θ j }

∫∫ D

f ( x, y )dA = lim

m

n

∑∑

P →0 i =1 j =1 m , n →∞

f (ri* cos θ *j ; ri* senθ *j )ri*∆ri ∆θ j

∫∫ f ( x, y)dA = ∫∫ f (r cosθ , r sin θ )rdrdθ D

RP

β b

∫∫ f ( x, y)dA = ∫α ∫

a

f (r cos θ ; r senθ )r dr dθ

D

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Tema 3: Integrales Múltiples

41

Integral Doble: Calcular el volumen RP = {( r ;θ ) / 0 ≤ r ≤ 2 ; 0 ≤ θ ≤ 2π }

V = ∫∫ zdA = ∫∫ (4 − x 2 − y 2 )dA = D

V=

V=

D

2π 2

2 ( 4 − r )rdrdθ ∫∫

0 0 2π 2

2π

2

0

0

3 3 ( 4 r − r ) drd θ = d θ ( 4 r − r )drdθ ∫∫ ∫ ∫ 0 0

 r4 2  V = 2π 2r −  4  Cátedra Análisis Matemático II

  = 2π (8 − 4) = 8π  0 2

Tema 3: Integrales Múltiples

Ejemplo: Centro de masa Un artista que desea colgar desde un techo una obra de arte con la forma de semicírculo, con un sólo cable y desea que la misma quede en perfecta posición horizontal. Usará dos materiales de distintas densidades superficial (10 y 20 kgm/m^2 respectivamente). El encargado de diseñar el soporte deberá conocer el peso de la obra y en que lugar soldar el gancho donde se colocará la única cuerda que lo amarrará al techo.

M y = ∫ ∫ xδ ( x, y )dA = D

M x = ∫ ∫ yδ ( x, y )dA = D

π /2 1

π 1

0 0

/2 0

π /2 1

π 1

0 0

/2 0

∫ ∫ 10r cos θrdrdθ + π∫ ∫ 20r cos θrdrdθ ∫ ∫ 10r sin θ rdrdθ + π∫ ∫ 20r sin θ rdrdθ

− 10 My −4 3 xc = = = ≈ −0.1415 30 m π 9π 4

My

10 4 yc = = = ≈ 0.42 30 π 3π m 4

Integrales Dobles en coordenadas polares Regiones r-simples y θ-simples.

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Tema 3: Integrales Múltiples

44

Ejemplo: Calcular el área sombreada

π

2

0

¿

A=

r

A = ∫ ∫ rdθdr

3 sen (3θ )

A=3∫

1

∫ rdrdθ

1 0

0

2π sen (3θ )

∫ ∫ rdrdθ 0

0

0,5 2

?

¿

A=

1 θ −1

∫ ∫ rdrdθ + ∫ ∫ rdrdθ 0 1

0,5 1

?

∫

Ejemplo:

∫∫

−∞

−∞ ∞

∫∫

−∞

∞

∞

−∞

e

e

− x2 − y 2

∞

dxdy = ∫ e

−x2

−∞

−x − y 2

2

dxdy =

2π

∫∫

∞

0

0

∞

dx ∫ e −∞

e

−r

2

− y2

e

− x2

−∞

Una integral doble para resolver un viejo problema

∞

∞

dx = I

dy = I 2 2π

1 rdrdθ = ∫ dθ = π = I 2 2 0

I= π Cátedra Análisis Matemático II

Tema 3: Integrales Múltiples

46

= ∫∫ f ( x, y )dA R

b d

d b

a c

c a

∫∫ f ( x, y)dA = ∫ ∫ f ( x; y)dydx = ∫ ∫ f ( x; y)dxdy R

β b

∫∫ f ( x, y)dA = ∫α ∫

a

f (r cos θ ; r senθ )r dr dθ

D

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47

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Unidad 3 Integrales Múltiples

Fin Parte 1: Integrales Dobles Análisis Matemático II 49