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Unidad II: Aplicación del Cálculo Integral a Funciones de varias variables. Integral Doble. Interpretación geométrica, propiedades Integrales iteradas

Sea f una función de dos variables definida sobre una región cerrada R del plano xy. Entonces la integral doble de f sobre R, se define como

Si el límite existe, afirmamos que f es integrable sobre R y que R es la región de integración. Interpretación geométrica ∗ ∗ Si f(x, y) ≥ 0 sobre R, como se muestra en la figura, el producto 𝑓(𝑥𝑘, 𝑦𝑘 )∆𝐴𝑘 puede ∗ ∗ interpretarse como el volumen del paralelepípedo o prisma rectangular de altura 𝑓(𝑥𝑘, 𝑦𝑘 ) y área de la base ∆𝐴𝑘 .

La suma de los n volúmenes se aproxima al volumen V del solido limitado por z = f(x, y) y la región R. Propiedades de la integral doble Sean f y g funciones de dos variables que son integrables sobre una región R del plano xy. Entonces

Integrales Iteradas Para calcular integrarles iteradas definiremos dos tipos de regiones a) La región limitada por a ≤ x ≤ b y b) La región limitada por c ≤ y ≤ d y Donde g1, g2, h1 y h2 son continuas. 1

g1(x) ≤ y ≤ g2(x) se le denomina región tipo I. h1(y) ≤ x ≤ h2(y) se le denomina región tipo II. Elaborado por: Ing. Erick Murillo Vélez Departamento de Matemáticas UNI-RUPAP

Asociadas a las regiones de tipo I y tipo II definiremos las integrales iteradas de tipo I y tipo II. Integral Iterada Tipo I Se define como

A como vemos el dy esta primero, esto significa que integramos con respecto a y, x es constante y evaluamos las funciones g1(x) y g2(x) obteniendo una función de x y luego integramos con respecto a x y evaluamos a y b. Integral Iterada Tipo I Se define como

Ahora dx esta primero, esto significa que integramos con respecto a x, y es constante y evaluamos h1(y) y h2(y), obteniendo una función de y, por ultimo integramos con respecto a y, luego evaluamos c y d. Ejemplos 1) Evaluar la integral iterada de f(x, y) = 2y, donde R se muestra en la siguiente figura.

Solución La región es de tipo I y por ello tenemos

2

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2) Evaluar la integral iterada de f(x, y) = 8x + ey, donde R es la región que se muestra en la figura

Solución La región es tipo II por eso

Integración por partes

Si R es una región rectangular (ver figura) y está limitada por a≤ x ≤ b y c≤ x ≤ d entonces la región R es simultáneamente de tipo I y tipo II y se cumple que:

Ejemplo Verificar que Solución

=

Calcular la otra integral. Cálculo de Áreas y Volúmenes con la integral doble Usaremos las integrales dobles para calcular el área(A) de una región plana R

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𝑏

𝑔

Entonces, la figura se muestra que ∫𝑎 ∫𝑔 2(𝑥) 𝑑𝑦𝑑𝑥 suma verticalmente las áreas 1(𝑥)

𝑑

ℎ

rectangulares y después horizontalmente, en tanto que ∫𝑐 ∫ℎ 2(𝑥) 𝑑𝑥𝑑𝑦 muestra que suma 1(𝑥)

horizontalmente las áreas rectangulares y después verticalmente.

Ejemplos Usar integrales dobles para calcular el área de la región limitada por: 1) y = x2 , y = 8 – x2 Solución Graficamos y encontramos los puntos de intersección Tenemos una región tipo I

2) x = y2 , 2y – x = -3 Solucion La gráfica y los puntos de intersección se presentan a continuación Tenemos una región tipo II, entonces 3 2𝑦+3

3

3

𝐴 = ∫ ∫ 𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∫(2𝑦 + 3 − 𝑦 2 )𝑑𝑦 = 𝑦 2 + 3𝑦 − −1 𝑦 2

−1 1

32

3

3

=(9 + 9 − 9) − (1 − 3 + ) =

4

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𝑦3 | 3 −1

3) Por debajo de la parábola y = 4x – x2, sobre el eje x y sobre la recta y -3x + 6 Solución Al graficar vemos que tenemos que dividir R en dos regiones R1 y R2

A

Ahora el volumen (V) lo tomamos de la definición de integrales dobles

Ejemplos 1) Calcular el volumen del solido limitado por z = 6 – 2y, los planos x = 4, y = 2, en el primer octante y Solución La grafica del solido es

2

x 4

4

2

4

4

El volumen es 𝑉 = ∫0 ∫0 (6 − 2𝑦)𝑑𝑦𝑑𝑥 = ∫0 (6𝑦 − 𝑦 2 )|20 𝑑𝑥 = ∫0 8𝑑𝑥 = 8𝑥|40 = 32 2) Calcular el volumen V del sólido en el primer octante que está acotado por los planos de coordenadas y las gráficas del plano z = 3 – x –y y el cilindro x2 + y2 = 1 Solución Graficamos el volumen y encontramos R

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Ahora

Clase practica 1) Evalúe la integral doble sobre la región R que está acotada por las gráficas de las ecuaciones dadas. Elija el orden de integración más conveniente.

2) Use integrales dobles para calcular el área de la región limitada por las curvas dadas

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3) Utilizar una integral doble para calcular el volumen del solido que se presenta en la gráfica dada

4) Determine el volumen del sólido acotado por las gráficas de las ecuaciones indicadas.

Aplicaciones Físicas de la Integral Doble: Masa, Centro de Masa, Momentos de Inercia. Centro de masa Si una lámina que corresponde a una región R en el plano xy tiene una densidad variable (x, y) (unidades de masa por área unitaria), donde  es no negativa y continua sobre R, entonces definimos su masa m por la integral doble

Definimos las coordenadas del centro de masa de la lámina por donde

Ejemplo 7

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Hallar el centro de masa de la lámina triangular con vértices (0, 0), (0, 3) y (2, 3), dado que la densidad (x, y) = 2x + y Solución La grafica de la región R es

Calculamos la masa

Ahora calculamos 2 𝑥 3 3

𝑀𝑦 = ∬ 𝑥𝜌(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴 = ∫ ∫ 𝑥(2𝑥 + 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 = 𝑅

0 0

62 2

2 𝑥 3 3

𝑀𝑥 = ∬ 𝑦𝜌(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴 = ∫ ∫ 𝑦(2𝑥 + 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 = 11

Entonces 𝑥̅ =

𝑀𝑦 𝑚

=

62 2

10

𝑅

=

31 5

y 𝑦̅ =

0 0

𝑀𝑥 𝑚

=

11 10

Momentos de Inercia Mx y My reciben el nombre de primeros momentos de una lámina alrededor del eje x y el eje y, respectivamente. Los llamados segundos momentos de una lámina o momento de inercia en torno a los ejes x y y son, a su vez, definidos por las integrales dobles

Ejemplo Calcular los momentos de inercia para el ejemplo anterior Solución 2 𝑥 3 3

𝐼𝑥 = ∬ 𝑦2 𝜌(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴 = ∫ ∫ 𝑦2 (2𝑥 + 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 = 12 𝑅

8

0 0

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2 𝑥 3 3

𝐼𝑦 = ∬ 𝑥2 𝜌(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴 = ∫ ∫ 𝑥2 (2𝑥 + 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 = 𝑅

378 5

0 0

Encuentre el centro de masa y el momento de inercia de la lámina que tiene la forma y densidad indicadas.

Integrales Dobles en Coordenadas Polares. La integral doble en coordenadas polares se define como

Para evaluar dicha integral tenemos dos integrales iteradas que dependen de la región R. 1) Suponga que R es una región acotada por las gráficas de las ecuaciones polares r = g1() y r = g2() y los rayos  =  y  =  y que f es una función de r y u que es continua sobre R. Como se muestra en la figura

2) Por otro lado, si la región R es como se indica en la figura la integral doble de f sobre R es entonces

Cambio de variable En algunos casos una integral ∬𝑅 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴 doble que es difícil o incluso imposible de evaluar utilizando coordenadas 9

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rectangulares puede evaluarse fácilmente cuando se recurre a un cambio de variables. Si suponemos que f es continua sobre la región R, y si R puede describirse en coordenadas polares como

Entonces Esta ecuación es particularmente útil cuando f contiene la expresión x2 + y2 puesto que, en coordenadas polares, podemos escribir Ejemplos 1) Sea R la región anular comprendida entre los dos círculos x2 + y2 = 1 y x2 + y2 = 5, evaluar

Solución Hacemos las transformaciones a coordenadas polares r = 1 y r = √5, la gráfica se muestra en la figura Ademas x2 = r2cos2, y = rsen

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2) Use coordenadas polares para evaluar Solución La región R es Transformando tenemos x2 + y2 = 8 , r = √8 y = x, r sen = rcos ,  = /4 1/(5 + x2 + y2) = 1/(1+r2)

Entonces

Calculo de Área y Volumen El área de una región R que se muestra en la figura es

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Ejemplo Utilizar una integral doble para hallar el área encerrada por la gráfica de r = 3cos3 Solución La grafica es una rosa de tres pétalos De la gráfica vemos que los límites son

El área de un pétalo es:

El área total es A = 9/4. Volumen Ejemplos 1) Encuentre el volumen del sólido que está bajo el hemisferio y sobre la región acotada por la gráfica de la circunferencia x2 + y2 – y = 0 Solución La gráfica del solido es La región R en el plano xy es la circunferencia x2 + y2 – y = 0, en coordenadas polares es r = sen. Y 0 ≤  ≤ 2 𝑧 = √1 − 𝑥 2 − 𝑦 2 = √1 − 𝑟 2 Entonces el volumen es

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Hallar la masa y centro de masa de la lámina correspondiente a la porción en el primer cuadrante del círculo x2 + y2 = 4, donde la densidad es 𝜌(𝑥, 𝑦) = 𝑘√𝑥 2 + 𝑦 2 Solución La gráfica de la región R es

Para simplificar la integración, se puede convertir a coordenadas polares, utilizando los límites 0 ≤  ≤ /2 y 0 ≤ r ≤ 2

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𝜋/2

Ahora 𝑀𝑦 = ∬𝑅 𝑥𝜎(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴 = ∫0

2

𝜋/2

∫0 𝑘𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃√𝑟 2 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃 = ∫0

𝜋/2 2

2

∫0 𝑘𝑟 3 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑑𝑟𝑑𝜃 = 4𝑘

𝜋/2 2

𝑀𝑥 = ∬ 𝑦𝜎(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴 = ∫ ∫ 𝑘𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃√𝑟 2 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃 = ∫ ∫ 𝑘𝑟 3 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑑𝑟𝑑𝜃 = 4𝑘 𝑅

El centro de masa es 𝑥̅ = 𝑦̅ =

0 4𝑘 4𝜋𝑘 3

0

0

0

=𝜋

Área de una Superficie Sea f una función para la cual las primeras derivadas parciales fx y fy son continuas sobre una región cerrada R. Entonces el área de la superficie sobre R está dada por

Ejemplos 1) Hallar el área de la superficie de la porción del plano z = 2 – x – y, que se encuentra sobre el círculo x2 + y2 ≤1. Solución La gráfica es

Calculamos fx(x, y) = -1 y fy(x, y) = -1, ahora

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Observamos que el área es un cuarto del área de un círculo de radio 1, entonces es /4, 𝜋 𝐴(𝑆) = √3 4 2) Hallar el área de la superficie del paraboloide z = 1 + x2 + y2 que se encuentra sobre el círculo unidad o unitario, como se muestra en la figura

Solución Como fx(x, y) = 2x , fy(x, y) = 2y 2

𝐴(𝑆) = ∬ √1 + [𝑓𝑥 (𝑥, 𝑦)]2 + [𝑓𝑦 (𝑥, 𝑦)] 𝑑𝐴 = ∬ √1 + 4𝑥 2 + 4𝑦 2 𝑑𝐴 𝑅

𝑅

Cambiando a coordenadas polares tenemos

Cambio de variables: Jacobianos Un cambio de variables en una integral múltiple puede utilizarse para una simplificación del integrando o para una simplificación de la región de integración. El cambio de variables real utilizado muchas veces se inspira en función de la estructura del integrando f(x, y) o por las ecuaciones que definen la región R. Cambio de variables en la integral doble Si x = x(u, v) y y = y(u, v) es una transformación que mapea una región S en el plano uv y hacia la región R en el plano xy y f es una función continua sobre R, entonces

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donde se llama Jacobiano =

Ejemplos 2

2

1) Evaluar ∬𝑅 (𝑥 + 𝑦)𝑒 𝑥 −𝑦 𝑑𝐴, donde R está limitada por: x – y = 0, x – y = 2, x + y = 0, x + y = 3. Solución Graficando Obtenemos

Podemos rescribir la integral como ∬𝑅 (𝑥 + 𝑦)𝑒 𝑥

2 −𝑦 2

𝑑𝐴 = ∬𝑅 (𝑥 + 𝑦)𝑒 (𝑥+𝑦)(𝑥−𝑦) 𝑑𝐴

Esto sugiere que hagamos las transformaciones: u = x + y y v = x – y, ahora tenemos que escribir x = f(u, v), y = g(u, v) Igualando y = u – x = x - v , de acá 2x = u + v, o sea x = ½( u + v) ahora v = ½( u + v) – y, de donde obtenemos que y = ½(u – v). Ahora tenemos que encontrar los límites de u y v, para esto analizamos la región R: x – y = 0, entonces v = 0, x – y = 2, v = 2. x + y = 0, entonces u = 0, x + y = 3, u = 3. Nuestra región S es un rectángulo v 2

3

v

Para calcular el Jacobiano calculamos 𝜕𝑥 𝜕𝑢

16

=

1 𝜕𝑥 , 2 𝜕𝑣

=

1 𝜕𝑦 , 2 𝜕𝑢

=

1 𝜕𝑦 , 2 𝜕𝑣

=

1 −2

, entonces

𝜕(𝑥,𝑦) 𝜕(𝑢,𝑣)

=

1 |21 2

1 2

1| −2

1

= −2

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Ahora nuestra integral es

2 3

∬(𝑥 + 𝑦)𝑒 𝑅

(𝑥+𝑦)(𝑥−𝑦)

1 1 𝑑𝐴 ∫ ∫ 𝑢 𝑒 𝑢𝑣 |− | 𝑑𝑢𝑑𝑣 = (𝑒 6 − 7) 2 2 0 0

2) Sea R la región limitada o acotada por el cuadrado cuyos vértices son (0,1) , (1, 2), @, 1) y (1, 0) y Evaluar la integral

Solución Los lados de R se encuentran sobre las rectas x + y = 1, x – y = 1, x + y = 3 y x – y = -1, como se muestra en la figura.

Despejando x y y en funciuon de u y v obtuenemos

Las derivadas parciales de x y y son

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Clase practica 1) Use integrales dobles en coordenadas polares para calcular el área acotada por las regiones que se indican. a. r = 3 + 3 sen b. r = 2sen, r = 1, área común c. Dentro del círculo r = 2cos y fuera del círculo r = 1 d. Dentro de la cardiode r = 2 + 2cos y fuera del círculo r =1. 2) Use integrales dobles en coordenadas polares para calcular el volumen del solido acotado por las gráficas de las ecuaciones dadas. a. x2 + y2 = 4, 𝑧 = √9 − 𝑥 2 − 𝑦 2 , 𝑧 = 0 b. z = √𝑥 2 + 𝑦 2 , x2 + y2 = 25, z = 0 c. z = 3 + x2 + y2 , x2 + y2 = 1, z = 0 3) Evalúe la integral iterada que se indica cambiando a coordenadas polares

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4) Calcule el área de superficie de z = f(x, y) sobre la región R. a. f(x, y) = 12 + 2x – 3y , R ={(x, y): x2 + y2 ≤ 9} b. Porción de la esfera x2 + y2 + z2 = 25, en el interior del cilindro x2 + y2 = 9 5) Utilizar el cambio de variables indicado para hallar la integral doble.

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Integrales Triples, Interpretación Geométrica. Propiedades Integrales iteradas. Integrales Triples Sea f una función de tres variables definida sobre una región cerrada D del espacio tridimensional. Entonces la integral triple de f sobre D, denotada por medio de ∭𝐷 𝑓(𝑥, , 𝑦, 𝑧)𝑑𝑉 se define como

Las propiedades de la integral triple son iguales a las de la integral doble. Integrales Iteradas Si la región D está acotada por arriba la gráfica de z = g2(x, y) y acotada por abajo por la gráfica de z = g2(x, y) y R es la proyección de D sobre el plano xy. En particular R es una región tipo I limitada por a ≤ x ≤ b y h1(x) ≤ y ≤h2(x) entonces la integral triple puede expresarse como

Si por otro lado R es una región tipo II, tenemos

En la integral triple hay seis posibles órdenes de integración

Ejemplo Evaluar la integral triple Solución Para la primera integración, se mantienen x y y constantes y se integra con respecto a z.

Para la segunda integración, mantener x constante y se integra con respecto a y

Por último, se integra con respecto a x

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Aplicaciones Volumen Si f(x, y, z) = 1, entonces el volumen del sólido D es

Masa Si (x, y, z) es la densidad (masa por volumen unitario), entonces la masa del sólido D está dada por

Primeros momentos: Los primeros momentos del sólido alrededor de los planos de coordenadas indicados por los subíndices están dados por

Centro de masa: Las coordenadas del centro de masa de D están dadas por

Segundos momentos: Los segundos momentos, o momentos de inercia, de D alrededor de los ejes de coordenadas indicados por los subíndices están dados por

Ejemplos 1) Encuentre el volumen del sólido en el primer octante acotado por las gráficas de z = 1 – y2, y = 2x y x = 3. Solución La gráfica del sólido y la proyección del sólido en el plano xy es

Observamos que la región R es tipo II El volumen es

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2) Hallar el centro de masa del cubo unidad mostrado en la figura dado que la densidad en el punto (x, y, z) = k(x2 + y2 + z2).

Solución

El primer momento con respecto al plano yz es

Nótese que x puede sacarse como factor fuera de las dos integrales interiores, ya que es constante con respecto a y y a z. Después de factorizar, las dos integrales interiores son iguales con respecto a la masa m. Por tanto, se tiene 22

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Puede comprobar que 𝑥̅ = 𝑦̅ = 𝑧̅ = 12 Clase práctica 1) Evalúe la integral iterada que se indica.

2) Dibuje la región D cuyo volumen V está dado por la integral iterada

3) Calcule el volumen del sólido limitado por las gráficas de las siguientes curvas x = y2, y2 = 4 – x, z = 3, z = 0. x = 2, y = x, z = x2 + y2, y = 0, z = 0. La región en el primer octante acotada superiormente por el cilindro z = 1 – y2 y comprendida entre los planos verticales x + y = 1 y x + y =3. 4) Hallar las coordenadas del centro de la masa del sólido limitado por la gráfica de z = 4 – x, en el primer octante y con (x, y, z) = ky.

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Integrales Triples en Coordenadas cilíndricas y coordenadas esféricas. Coordenadas cilíndricas El sistema de coordenadas cilíndricas combina la descripción polar de un punto en el plano con la descripción rectangular de la componente z de un punto en el espacio. Como se advierte en la figura a), las coordenadas cilíndricas de un punto P se denotan mediante la triada ordenada (r, , z). La palabra cilíndricas surge del hecho de que un punto P en el espacio está determinado por la intersección de los planos z = constante,  = constante, con un cilindro r = constante. Vea la figura b).

Coordenadas cilíndricas a coordenadas rectangulares De la figura a) también vemos que las coordenadas rectangulares (x, y, z) de un punto se obtienen de las coordenadas cilíndricas mediante las ecuaciones, x = rcos, y = rsen y z = z. Ejemplo Convierta (8, /3, 7) a coordenadas rectangulares. Solución

Entonces (8, /3, 7) es equivalente a (4, 4√3, 7) en coordenadas rectangulares. Coordenadas rectangulares a coordenadas cilíndricas Para convertir las coordenadas rectangulares de un punto en coordenadas cilíndricas usamos

Ejemplo Convertir (-√2, √2, 1) a coordenadas cilíndricas. Solución Si tomamos r = 2, entonces consistente con el hecho de que x < 0, y > , tomamos  = 3/4. Si usamos  = 7/4, entonces es posible usar r = -2. Las combinaciones de r = 2 y  = 7/4 y r = -2  = 3/4 son inconsistentes, en consecuencia (-√2, √2, 1) equivale a (2, 3/4, 1) en coordenadas cilíndricas. 24

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Integrales triples en coordenadas cilíndricas De la figura a) vemos que el volumen de una “cuña cilíndrica” es simplemente Entonces, si f(r, , z) es una función continua sobre la región D, como se ilustra en la figura b), la integral triple de F sobre D está dada por

Ejemplo Hallar el volumen de la región sólida D que corta en la esfera el cilindro x2 + y2 + z2 = 4 y el cilindro r = 2sen como se muestra en la figura.

Solución Como x2 + y2 + z2 = 4, r2 + z2 = 4 los límites de z son −√4 − 𝑟 2 ≤ 𝑧 ≤ √4 − 𝑟 2 , ahora los límites de para r y , los encontramos en la región R, sobre el plano r. 0≤ r ≤2sen y 0≤  ≤. Entonces el volumen es 25

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Coordenadas esféricas. Como se ve en la figura a), las coordenadas esféricas de un punto P están dadas por la triada ordenada (, , ) donde  es la distancia del origen a P,  es el ángulo entre el eje z ⃗⃗⃗⃗⃗ y  es el ángulo medido desde el eje x positivo hasta la proyección positivo y el vector 𝑂𝑃 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ del vector 𝑂𝑄 de𝑂𝑃. El ángulo  es el mismo ángulo que en coordenadas polares y cilíndricas. La figura b) muestra que un punto P en el espacio está determinado por la intersección de un cono  = constante, un plano  = constante y una esfera  = constante; de ahí surge el nombre de coordenadas “esféricas”.

Coordenadas esféricas a coordenadas rectangulares y cilíndricas Para transformar coordenadas esféricas (, , ) a coordenadas rectangulares (x, y, z) usamos Para transformar de (, , ) a cilíndricas (r, , z) usamos

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Ejemplo Convierta las coordenadas esféricas (6, /4, /3) en a) coordenadas rectangulares y b) coordenadas cilíndricas. Solución a)  = 6,  = /4,  = /3

El punto en coordenadas rectangulares es b)

En coordenadas cilíndricas Coordenadas rectangulares a coordenadas esféricas Para convertir las coordenadas rectangulares (x, y, z) en coordenadas esféricas(, , ) usamos

Integrales triples en coordenadas esféricas Como se observa en la figura, el volumen de una “cuña esférica” está dado por la aproximación

De tal modo, en una integral triple de una función continua en coordenadas esféricas f(, , ) a diferencial de volumen es Por consiguiente, una integral triple común en coordenadas esféricas tiene la forma

Ejemplo 27

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Calcule el volumen del sólido limitado por el cono 𝑧 = √𝑥 2 + 𝑦 2 , los planos z = 1, x = 0, y = 0 en el primer octante. Use coordenadas esféricas. Solución El sólido se muestra en la siguiente gráfica.

Como se muestra en la figura

Clase práctica 1) Convierta el punto dado de coordenadas cilíndricas a coordenadas rectangulares.

2) Convierta el punto dado de coordenadas rectangulares a coordenadas cilíndricas.

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3) Convierta la ecuación dada a coordenadas cilíndrica

4) Convierta la ecuación dada a coordenadas rectangulares.

5) Use una integral triple y coordenadas cilíndricas para determinar el volumen del sólido que está acotado por las gráficas de las ecuaciones que se indican.

6) Convierta el punto dado de coordenadas esféricas a a) coordenadas rectangulares y b) coordenadas cilíndricas

7) Convierta los puntos dados de coordenadas rectangulares a coordenadas esféricas.

8) Convierta la ecuación dada a coordenadas esféricas.

9) Convierta la ecuación dada a coordenadas rectangulares.

10) Emplee una integral triple y coordenadas esféricas para determinar el volumen del sólido que está acotado por las gráficas de las ecuaciones que se indican:

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