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3

Geraldine Cisneros

Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones

1. INTEGRALES DOBLES En este trabajo se extiende el concepto de la integral de una función real de variable real a funciones de varias variables, comenzando en este capítulo con integrales de funciones de dos variables; es decir, funciones del tipo f : D ⊆

2

→

. La integral

doble tiene diversas aplicaciones tanto mecánicas como geométricas, pero su significado intrínseco es el volumen, así como el significado de una integral de una función de variable real es el área.

1.1 INTRODUCCIÓN: LA INTEGRAL DEFINIDA El nombre de Suma de Riemann se debe al matemático alemán: Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866).

Como referencia para la definición de la integral doble, se debe recordar la integral definida de una función real de variable real, la cual surge como solución al problema del cálculo de área bajo una curva. Sea f una función real definida en [a, b] y sea P una partición del intervalo cerrado [a, b] , donde P = {x0 , x1 , x 2 ,

, xi −1 , xi ,

, x n −1 , x n }.

Una suma de Riemann de la función f para la partición P , denotada por RP es un número real obtenido como: n

Sus contribuciones destacaron en las áreas de análisis y geometría diferencial, la fisicomatemática y la teoría de funciones de variables complejas. Su nombre también está relacionado con la función zeta. La longitud del subintervalo genérico se calcula de la siguiente manera:

∆xi = xi − xi −1

RP = ∑ f ( xi* ) ∆xi

(I.1)

i =1

donde: n es el número de subintervalos de la partición P , xi* ∈ [ xi −1 ,xi ] y ∆xi

es la longitud del subintervalo genérico

(también llamado subintervalo i-ésimo). En la figura 1 se aprecia el significado geométrico de la Suma de Riemann para el caso de una función f positiva en el intervalo cerrado [a, b] .

UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.

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Geraldine Cisneros

Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones

Significado geométrico de la suma de Riemann Si la función

f

es

[ ]

positiva ∀x ∈ a, b , entonces la suma de Riemann corresponde a un valor aproximado del área de la región comprendida bajo la gráfica de la función f , sobre el eje x, y entre las rectas x = a y x = b .

Figura 1.1 Significado geométrico de la Suma de Riemann para una función positiva en el intervalo cerrado [a, b ] .

f

En la gráfica a) la región sombreada es la que está comprendida bajo la gráfica de la función f , sobre el eje x, y entre las rectas x = a y x = b . En la gráfica b) la suma de las áreas de los rectángulos sombreados es el valor numérico de la Suma de Riemann para la función f en el intervalo cerrado [a, b ] .

Decir que la norma de la partición P tiende a cero, P → 0 , es equivalente a decir que el número de subintervalos de la partición P tiende a infinito, n → ∞ .

Si la norma de una partición P, denotada como P , se define como la longitud más grande de todos los subintervalos, entonces al hacer que la norma sea lo suficientemente pequeña, esto es P → 0 , la partición se hace más fina, lo cual lleva a la definición

de la Integral Definida.

∫

El símbolo lo introdujo el matemático alemán Gottfried Wilhelm

DEFINICIÓN: integral definida de

f en [a ,b ]

von Leibniz

Sea f una función real definida en un intervalo cerrado [a, b] .

(1646, 1716).

La integral definida de f desde a hasta b , denotada por

∫ f (x )dx , esta dada por: b

a

∫

b a

n

f ( x ) dx = Lím ∑ f ( xi* )∆x

si el límite existe.

UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.

p →0

i =1

(I.2)

5

Geraldine Cisneros La

Integral

∫ f (x )dx b

a

Definida

es un número

real que puede interpretarse como el área bajo la gráfica de la función f , sobre el eje x y entre las rectas x = a y x = b , si la función es positiva.

Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones Donde:

∫

es el signo de integración, a y b son los límites de

integración inferior y superior, respectivamente;

f ( x ) es el

integrando o función integrando y la diferencial de x, denotada por dx , indica que la variable de integración es x.

1.2 INTEGRAL DOBLE SOBRE RECTÁNGULOS Sea f :

2

→

una función definida sobre la región rectangular

cerrada D , dada por: D = [ a,b ] × [ c,d ] =

Una partición

Px

del

intervalo [a, b] es un conjunto finito de elementos, donde se cumple:

{( x, y ) ∈

2

}

a ≤ x ≤ b ∧ c ≤ y ≤ d (I.3)

Sea P una partición de la región D , la cual se logra con el producto cartesiano de las particiones Px y Py de los intervalos

[a, b] y [c, d ] , respectivamente, como se muestra a continuación:

a = x0 < x1 < … < xi −1 < xi < … < xn = b

Px = {x 0 , x1 , x 2 , … , xi −1 , xi , … , x n −1 , x n }

(I.4)

Py = {y 0 , y1 , y 2 , … , y j −1 , y j , … , y m −1 , y m }

(I.5)

P = Px × Py

(I.6)

entonces

Si la partición Px tiene n + 1 elementos y n subintervalos [ xi −1, xi ] de longitud ∆xi = xi − xi −1 , y la partición Py tiene m + 1 elementos y

[

m subintervalos y j −1, y j

]

de longitud ∆y j = y j − y j −1 , entonces la

región rectangular D queda dividida por la partición P en n ⋅ m rectángulos denominados Dij , tal como se muestra en la figura 1.2.

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Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones

En la figura 1.2, se aprecia que: *

xi −1 ≤ xi ≤ xi *

y j −1 ≤ y j ≤ y j

Figura 1.2 Partición

Figura 1.3 Subrectángulo

El

punto

(x

*

i

El subrectángulo denotado Dij , es un elemento de la partición P ,

Dij

, y j ) ∈ Dij

Esquina inferior izquierda * xi , y j * = xi −1 , y j −1

) (

(

Esquina inferior derecha xi * , y j * = xi , y j −1

(

Esquina superior izquierda xi * , y j * = xi −1 , y j

) ( ) (

)

) (

)

i

*

(I.7)

Al tomar un punto arbitrario (xi * , y j * ) en el subrectángulo Dij , se puede establecer la doble suma de Riemann para la función f

n

m

)

)

 x + x y j −1 + y j  , y j * ) =  i −1 i ,  2  2 

(

)

S D = ∑∑ f xi , y j ∆Aij i =1 j =1

Punto medio

(x

∆Aij = ∆xi ⋅ ∆y j

en la partición P , denotada como S D :

Esquina superior derecha * * xi , y j = x i , y j

(

cuya área, denotada ∆Aij se calcula como:

*

por lo tanto existen diferentes alternativas para su selección las más comunes son:

(

P de una región rectangular D .

*

*

(I.8)

Esta doble suma de Riemann es un valor numérico que se obtiene al efectuar la suma del producto de la imagen de la función f en cada punto arbitrario (xi * , y j * ) y el área de cada rectángulo Dij . Al expandir la expresión (I.8) se obtiene:

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Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones

(

*

*

)

(

*

) )∆A

( + f (x

*

S D = f x1 , y1 ∆A11 + f x1 , y 2 ∆A12 +

(

*

)

* 1

(

*

f x 2 , y ∆A21 + f x 2 , y 2

(

*

*

)

(

*

*

22

*

*

*

*

*

) )∆A

+ f x1 , y m ∆A1m +

+

)

2

(

f x n , y1 ∆An1 + f x n , y 2 ∆An 2 +

, ym

*

2m

*

+

(I.9)

)

+ f x n , y m ∆Anm

Si se define la norma P de la partición P como la longitud de la diagonal más grande de todos los rectángulos Dij y se hace que P → 0 , entonces la partición P se hace más fina, esto es, ahora

la región R queda dividida en muchos más rectángulos, y se puede plantear: n

m

(

)

Lim S D = Lim ∑∑ f xi , y j ∆Aij P →0

P →0

i =1 j =1

*

*

(I.10)

Todo esto permite establecer la definición de la integral doble.

1.2.1 INTEGRAL DOBLE DE f SOBRE D Así como la suma de Riemann es una aproximación de la integral definida, la doble suma de Riemann es una aproximación de la integral doble.

DEFINICIÓN: Integral doble de f sobre D Sea f :

2

→

una función real definida sobre un rectángulo

D del plano. La integral doble de f sobre D , denotada por

∫∫ f (x , y )dA , se define como: D

∫∫

Otras notaciones para la integral doble son:

∫∫ f (x , y )dxdy D

D

n

m

(

)

f ( x , y )dA = Lim ∑∑ f xi , y j ∆Aij P →0

i =1 j =1

*

*

(I.11)

si el límite existe.

∫∫ f (x , y )dydx D

Decir que el límite existe significa que:

∫∫ f (x , y )dA = L D

donde L ∈

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(I.12)

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Geraldine Cisneros Definición del límite de una función:

Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones Si el límite de la expresión (I.11) existe se dice que

f

es

integrable sobre D , recordando la definición del límite, esto significa que para todo ε > 0 existe un número δ > 0 , tal que:

El límite

Lim f ( x ) = L x → x0

existe si ∀ ε > 0 ∃ δ > 0

∑∑ f (x n

tal que f ( x ) − L < ε

m

i =1 j =1

* i

)

(I.13)

P h ( x ) , entonces:

∫

d c

F ( x, y ) dy = ∫

h( x ) g ( x)

F ( x, y ) dy = ∫

h( x ) g ( x)

f ( x, y ) dy

(I.38)

Por lo que se puede definir la integral doble sobre una región de tipo 1 de la siguiente manera:

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Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones DEFINICIÓN: Integrales dobles sobre regiones de tipo 1 Sea f una función real y continua de dos variables, definida en una región D del tipo 1, tal que

D=

{ ( x, y )

}

g ( x) ≤ y ≤ h ( x)

a≤ x≤b ∧

(I.39)

La integral doble de f sobre una región D de tipo 1, denotada

∫∫ f ( x, y ) dA , está dada por: D

b

h( x )

a

g ( x)

∫∫ f ( x, y )dA = ∫ ∫ D

f ( x, y )dydx

(I.40)

Si por el contrario, la región D es de tipo 2, se debe seleccionar un rectángulo R = [ a,b ] × [ c,d ] que contenga a D , tal como se muestra en la figura 1.29.

y

x = h(y)

d

D R

c x = g(y) a

b

x

Figura 1.29 Rectángulo

R que contiene a la región D de tipo 2

Como ∫∫ f ( x, y )dA = ∫∫ F ( x, y )dA , por el teorema de Fubini se D

R

tiene: d

b

c

a

∫∫ F ( x, y )dA = ∫ ∫ R

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F ( x, y ) dxdy

(I.41)

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Geraldine Cisneros

Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones donde F ( x, y ) = 0 si x < g ( y ) ∨ x > h ( y ) , entonces:

∫

b a

F ( x, y ) dx = ∫

h( y ) g( y)

F ( x, y ) dx = ∫

h( y ) g( y)

f ( x, y ) dx

(I.42)

La integral doble sobre una región del tipo 2 se puede definir como: DEFINICIÓN: Integrales dobles sobre regiones de tipo 2 Sea f una función real y continua de dos variables, definida en una región D del tipo 2, tal que

D=

{ ( x, y )

g ( y) ≤ x ≤ h( y) ∧ c ≤ y ≤ d

}

(I.43)

La integral doble de f sobre una región D de tipo 2, denotada

∫∫ f ( x, y ) dA , está dada por: D

d

h( y )

c

g( y)

∫∫ f ( x, y )dA = ∫ ∫ D

COMENTARIO

f ( x, y )dxdy

(I.44)

De ahora en adelante, para indicar el orden de integración y para una mejor visualización de los límites de integración, se emplearán unas flechas, sobre la gráfica de la región D , que indicarán el valor inicial y final de la variable de acuerdo a la entrada y salida de la flecha, respectivamente. En una región de tipo 1, la integral doble de la función f se obtiene como

b

h( x )

a

g ( x)

∫ ∫

f ( x, y )dydx , de acuerdo a la ecuación (I.40),

esta integral indica que la primera integración se realiza respecto a la variable y , por lo cual se indicará sobre la región D como se ilustra en la siguiente figura:

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Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones

: Indica cual es el valor de la variable y a la salida de la región D (límite superior). : Indica cual es el valor de la variable y a la entrada de la región D (límite inferior).

Figura 1.30 Orden de integración para la integral doble de

f sobre una región tipo 1

Por otra parte, la ecuación (I.44) señala que en una región de tipo 2, la integral doble de la función d

h( y )

c

g( y)

∫ ∫

se obtiene como

f

f ( x, y )dxdy , lo que indica que la primera integración se

realiza respecto a la variable x, por lo cual se señalará sobre la región D como se muestra a continuación:

y : Indica cual es el valor de la variable x a la salida de la región D (límite superior). : Indica cual es el valor de la variable x a la entrada de la región D (límite inferior).

x = h(y)

d

D R

c x = g(y) a

b

x

Figura 1.31 Orden de integración para la integral doble de

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f sobre una región tipo 2

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Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones

EJEMPLO 1.5

Evalúe las siguientes integrales iteradas, dibuje la región D determinada por los límites de integración e indique cuales regiones son del tipo 1, del tipo 2 o de ambos. a) ∫ c) ∫

1 0

2 0

∫ ∫

x2 0

b)

dydx 4− y2

− 4− y

2

d)

dxdy

3 x +1

2

∫ ∫ 1

2x

1

ey

0

y

∫ ∫

dydx xdxdy

Solución: a) Para resolver la integral ∫

1 0

∫

x2 0

dydx , se evalúa primero la integral

interna, pero a diferencia del ejemplo 1.4 de aquí en adelante se mantendrá la integral externa, como sigue:

Figura 1.32 Sólido del ejemplo 1.5 parte a

1

x2

0

0

∫ ∫

1 x dydx = ∫  ∫ dy dx = ∫  y 0 0   0  1

2

1

x2

0

0

∫ ∫

x2 0

dydx =

3 dx = 1 x 2 dx = x ∫0  3

1

= 0

1 3

1 3

La región D de este ejercicio es de tipo 1 y de tipo 2, ya que se puede definir como: Figura 1.33 Función f definida en la región D del ejemplo 1.5 parte a

Región tipo 1: D =

{( x, y )

Región tipo 2: D =

{( x, y )

0 ≤ x ≤ 1 ∧ 0 ≤ y ≤ x2

}

}

y ≤ x ≤1 ∧ 0 ≤ y ≤1

La gráfica de la región D, junto con el orden de integración se muestra en la siguiente figura:

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Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones Valor de y a la salida de D

y = x2

En el ejemplo 1.5 a la integral 1 x dydx = 1 , lo

∫ ∫ 0

2

0

3

cual quiere decir que el sólido definido sobre D bajo la gráfica de f , tiene como volumen 3 1 (UL) , donde UL son

D

3

unidades de longitud. Valor de y a la entrada de D

y=0

Figura 1.34

Región D del ejemplo 1.5 a

b) Se desea resolver la integral ∫ 2

∫ ∫ 1

3 x +1 2x

2 1

∫

3 x +1 2x

dydx

2 3 x +1 2 2 3 x +1 dydx = ∫  ∫ dy dx = ∫  y 2 x dx = ∫ ( x + 1)dx  2x  1  1  1 

( x + 1) ∫ 1 ( x + 1)dx =

Figura 1.35 Sólido del ejemplo 1.5 parte b

2

2

=

2

2

∫ ∫ 1

3 x +1 2x

2

1

dydx =

5 2

5 2

La región D es una región de tipo 1, definida como: Figura 1.36 Función f definida en la región D del ejemplo 1.5 parte b

D=

{( x, y )

1≤ x ≤ 2 ∧

}

2 x ≤ y ≤ 3x + 1

La gráfica de la región D se muestra en la siguiente figura

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Geraldine Cisneros

Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones Valor de y a la salida de D

y = 3x + 1

x=2

x =1

D Valor de y a la entrada de D

y = 2x

Figura 1.37 Región

D del ejemplo1.5 b

c) Resolviendo la integral doble ∫

∫ ∫ 0

Figura 1.38 Sólido del ejemplo 1.5 parte c

−

Esta

0

∫

4− y2 − 4− y2

2 4− y 2 2   dxdy = ∫ 0  ∫ − 4− y2 dx dy = ∫ 0  x 4− y2

4− y2

2

2

integral

se

resuelve

dxdy , se tiene:

4− y2 − 4− y2

dy = 2 2 4 − y 2 dy ∫0 

empleando

una

sustitución

trigonométrica: 2

4− y 2

2

0

− 4− y

0

∫ ∫ Figura 1.39 Función f definida en

dxdy = 2∫ 2

4 − y 2 dy = 4∫

Al sustituir el cambio de variable se tiene:

la región D del ejemplo 1.5 parte c

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2 0

2

 y 1 −   dy 2

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Geraldine Cisneros

Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones

CV: Cambio de Variable y = senθ 2

2

∫ ∫ 0

4− y2 − 4− y2

dxdy = 4 ∫

π

π

1 − ( senθ ) 2 cos θ dθ = 8∫ 2 cos 2 θ dθ 2

2 0

0

dy = 2 cos θ dθ

CLI: Cambio de los límites de integración LI: y = 0 → θ = arcsen0 = 0 LS:

y = 2 → θ = arcsen1 =

∫ ∫ 0

1 + cos ( 2θ )  sen ( 2θ )  dxdy = 8∫ 2 dθ = 4 θ +  2 4− y 0 2 2   π

4− y2

2

−

2

∫ ∫

π

0

2

4− y2

− 4− y 2

π 2

= 2π

0

dxdy = 2π

La región D del ejemplo 1.5 c es de tipo 1 y de tipo 2, ya que se puede definir como: De radio = 2 y altura = 1 por lo tanto se puede calcular su volumen como: 2 π ( 2 ) (1) V= = 2π 2

lo que coincide con la integral: 2

∫ ∫ 0

4− y2 − 4− y2

Región tipo 1: D =

{( x, y )

− 2 ≤ x ≤ 2 ∧ 0 ≤ y ≤ 4 − x2

Región tipo 2: D =

{( x, y )

− 4 − y2 ≤ x ≤ 4 − y2

} }

∧ 0≤ y≤2

dxdy = 2π

La gráfica de la región D se muestra en la siguiente figura:

Valor de x a la entrada de D

Valor de x a la salida de D

x = − 4 − y2

x = 4 − y2

D

Figura 1.40 Región D del ejemplo 1.5 c

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y =0

43

Geraldine Cisneros

Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones 1

ey

0

y

∫ ∫

d) La integral

xdxdy es diferente a las tres partes

anteriores, ya que la función integrando es diferente a la unidad. 1

ey

0

y

1

ey

0

y

∫ ∫ Figura 1.41 Sólido del ejemplo 1.5 parte d

∫ ∫

e xdxdy = ∫  ∫ 0  y 1

12 3 xdx  dy = ∫  x 2 0 3  

y

2  2 3y 2 5  xdxdy =  e 2 − y 2  3 3 5 

1

ey

0

y

∫ ∫ Figura 1.42 Función f definida en

1

= 0

ey y

 1 2  3y 3   dy = ∫ 0 e 2 − y 2  dy 3  

2  2 3 2 2  2  4 3 2 32  e − −  = e − 3  3 5  3 9 45

4 3 32 xdxdy = e 2 − 9 45

La región D es una región de tipo 2, definida como:

la región D del ejemplo 1.5 parte d

D=

{( x, y )

}

y ≤ x ≤ ey ∧ 0 ≤ y ≤ 1

La gráfica de la región D se muestra en la siguiente figura: y=1

D

Valor de x a la entrada de D

Valor de x a la salida de D

x= y

x = ey

y=0 Figura 1.43 Región D del ejemplo 1.5 d

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44

Geraldine Cisneros

Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones 1.7 PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DOBLE A continuación se presentan las propiedades de la integral doble de una función f :

2

→

real de dos variables sobre una región

general D. 1.7.1 Propiedad de linealidad 2

Sean f :

→

y g:

2

→

dos funciones reales y continuas

definidas en una región D , y sean α y β dos números reales cualesquiera, entonces:

∫∫

D

α f ( x, y ) + β g ( x, y ) dA = ∫∫ α f ( x, y ) dA + ∫∫  β g ( x, y ) dA D D (I.45)

1.7.2 Propiedad de orden 2

Sean f :

→

y g:

2

→

dos funciones reales y continuas

definidas en una región D , tales que f ( x, y ) ≥ g ( x, y ) ∀ ( x, y ) ∈ D , entonces:

∫∫ f ( x, y )dA ≥ ∫∫ g ( x, y )dA D

D

(I.46)

1.7.3 Propiedad aditiva respecto a la región de integración Sea f :

2

→

una función real y continua definida en una región

general D . Si la región D está dividida en dos subregiones D1 y D2 (es decir D = D1 ∪ D2 ), entonces:

∫∫ f ( x, y )dA = ∫∫ D

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D1

f ( x, y )dA + ∫∫ f ( x, y )dA D2

(I.47)

45

Geraldine Cisneros EJEMPLO 1.6

Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones Evalúe la siguiente integral doble y dibuje la región D .

∫∫ ( x + y + 1) dA , D

D=

{ ( x, y ) y ≥ x

2

+ 2x ∧

}

y≤3 ∧

y ≤ 3x + 6

Solución: El primer paso para resolver este ejercicio es identificar si la región D es tipo 1 o tipo 2. En la siguiente figura se muestra la región D . Figura 1.44 Función f definida en la región D del ejemplo 1.6

y=3 y = 3x+6

Nótese como en este ejemplo la función f no es estrictamente positiva.

y = x2+2x

Figura 1.45 Región D del ejemplo 1.6

La región D de este ejemplo no es de tipo 1, ni de tipo 2, por lo tanto, para evaluar la integral doble pedida, se empleará la propiedad señalada en la ecuación (I.47). Para este ejemplo, se tienen dos alternativas: dividir a la región D en dos subregiones tipo 1 o dividirla en dos subregiones tipo 2. A continuación se analizan ambas situaciones. i) Cuando la región D es dividida por la recta x = −1 , se obtienen dos subregiones de tipo 1; es decir, D = D1 ∪ D2 , donde: D1 =

{( x, y )

D2 =

}

− 2 ≤ x ≤ −1 ∧ x 2 + 2 x ≤ y ≤ 3 x + 6 y

{( x, y )

}

−1 ≤ x ≤ 1 ∧ x2 + 2 x ≤ y ≤ 3

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46

Geraldine Cisneros

Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones En la figura 1.46 se aprecia la región D dividida en dos regiones tipo 1. x = −1

Valor de y a la salida de D2 y =3

Valor de y a la salida de D1 y = 3x + 6

D2

D1

Valor de y a la entrada de D1 y = x2 + 2 x

Valor de y a la entrada de D2 y = x2 + 2 x

Figura 1.46

Región D del ejemplo 1.6 dividida en dos regiones tipo 1

Por lo tanto: I = ∫∫ ( x + y + 1) dA = ∫ D

−1

3 x+6

1

3

( x + y + 1)dydx + ∫ −1 ∫ x + 2 x ( x + y + 1)dydx −2 ∫ x + 2 x 2

2

−1  1  15   x4 5x2 x4 I = ∫  −24 − − 3 x3 + + 25 x  dx + ∫  − − 3 x3 + 5 x 2 + x  dx −2 −1 2 2 2 2    

I=

29 172 + 60 15

I = ∫∫ ( x + y + 1) dA = D

239 20

ii) Cuando se traza la recta y = 0 , la región D se divide en dos subregiones de tipo 2; es decir, D = DA ∪ DB , donde: DA =

{( x, y )

− 1 − 1 + y ≤ x ≤ −1 + 1 + y ∧

 DB = ( x, y ) 

y−6  ≤ x ≤ −1 + 1 + y ∧ 0 ≤ y ≤ 3 3 

UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.

}

−1 ≤ y ≤ 0 y

47

Geraldine Cisneros

Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones La figura 1.47 muestra la región D dividida en dos regiones tipo 2.

Valor de x a la entrada de DB

Valor de x a la salida de DB

y −6 x= 3

x = −1 + 1 + y

DB

y=0

Valor de x a la entrada de DA x = −1 − 1 + y

Valor de x a la salida de DA

DA

x = −1 + 1 + y

1

Figura 1.47 Región D del ejemplo 1.6 dividida en dos regiones tipo 2

Entonces, siendo I = ∫∫ ( x + y + 1) dA , se tiene que: D

I =∫

0 −1

∫

−1+ 1+ y

3

−1+ 1+ y

( x + y + 1)dxdy + ∫ 0 ∫ y −6 −1− 1+ y

( x + y + 1)dxdy

3

Resolviendo se obtiene I = −

8 749 + , luego: 15 60

I = ∫∫ ( x + y + 1) dA = D

UC. Facultad de Ingeniería. Departamento de Matemática.

239 20

48

Geraldine Cisneros EJEMPLO 1.7

Integrales Múltiples y Sus Aplicaciones Evalúe la siguiente integral doble y dibuje la región D .

∫∫ (10 + 4 x

2

D

− y ) dA , D =

{ ( x, y )

y−x ≤2 ∧

}

x2 + y 2 ≤ 4

Solución: Tal como se explicó en los ejemplos anteriores, el primer paso para resolver la integral doble planteada consiste en clasificar a la Figura 1.48 Función f definida en la región D del ejemplo 1.7

región D en una región de tipo 1 o tipo 2. Para ello se deben estudiar las inecuaciones que definen a la región D . La solución de la inecuación y − x ≤ 2 es la intersección de las i) y − x ≤ 2 (si y ≥ x )

inecuaciones:

ii) x − y ≤ 2 (si y < x ) Según la definición del valor absoluto:  y − x si  y−x =  x − y si 

y≥x y