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ESCUELA DE MATEMÁTICAS Taller INTEGRALES DE SUPERFICIE. Cálculo III Barbosa, Mayo de 2018 1. Evaluar el flujo del campo vectorial 2

F(x;y;z) = xyi +(y2 + e xz )j +sen(xy)k a través de la superficie frontera de la región E acotada por el cilindro parabólico z = 1 - x2 y los planos z = 0, y = 0, y + z = 2 2. Verificar el teorema de Stokes para el campo vectorial F(x;y;z) = 3yi + 4zj - 6xk y la parte de la superficie z = 9 - x2 - y2 ubicada sobre el plano xy y orientada hacia arriba. 3. Verificar el teorema de Stokes para el campo vectorial F(x;y;z) = (yz -y; xz +x; xy) y la curva C intersección del plano x+y+z=1 y el cilindro x  y | 1 2

4. Evaluar

 2 x  2 y  z dS 2

2

donde S es la esfera unitaria centrada en el origen.

S

5. Calcular el flujo del campo F(x; y; z) =(0, esenxz + tanz, y2) a través del semielipsoide superior 2x2 + 3y2 + z2 = 6, z  0 con su normal apuntando hacia arriba. 6. Utilice el teorema de Stokes para evaluar la integral de F = (xy; yz; xz) sobre la curva C formada por los tres segmentos de recta que unen los puntos (2; 0; 0), (0; 1; 0) y (0; 0; 3). 7. Calcular la circulación del campo de velocidades de un fluido F(x;y;z) = (tan-1(x2); 3x; e3z tanz) a lo largo de la intersección de la esfera x2 + y2 + z2 = 4 con el cilindro x2 + y2 =1, con z > 0. 8. Calcule mediante el teorema de la divergencia el flujo exterior del campo F(x; y; z) = 3xyi + y2j - x2y4k sobre la superficie del tetraedro con vértices (0;0;0), (1;0;0), (0;1;0), y (0;0;1). 9. Usar el teorema de la divergencia para evaluar la integral del campo vectorial F(x; y; z) = z2x i +( 13 y3 + tanz) j + (x2z + y2) k sobre la mitad superior de la esfera x2 + y2 + z2 = 1. 10. Verificar la validez del teorema de la divergencia para el campo F(x; y; z) = zx i +yz j + 3z2 k y el sólido E acotado por el paraboloide x2 + y2 = z y el plano z = 1. 11. Encontrar la densidad de flujo (Flujo/Área) del campo de fuerzas F(x; y; z) = (xy2 + cosz) i +(xy2 + senz) j + ez k sobre la superficie frontera del sólido limitado por el cono z  x 2  y 2 y el plano z = 4. 12. Si integramos el campo de velocidades de un fluido sobre una superficie obtenemos el caudal que atraviesa la misma. Sea un líquido sometido a un campo de velocidades dado por

v(x; y; z) = z tan-1(y2) i +z3 ln(x2 + 1) j + z k, que incluye en su formulación todos los efectos debidos a rozamientos, viscosidad y demás factores disipativos. Hallar el caudal de este líquido que atraviesa un filtro de forma paraboloidal que consta de la parte de la superficie x2 + y2 = 1 - z que está por encima del plano z = 1. Tomar el filtro orientado hacia arriba. 13. Sea F ( x, y, z )  yz 2 iˆ  y 3 ˆj  xyzkˆ , y la superficie cerrada S 0  z  3 cuyas tapas superior e

inferior son respectivamente las superficies x 2  y 2  z  3  0 y x 2  y 2  4z  0 . Denote por C la circunferencia en el espacio, intersección de las superficies anteriores. a) Determine el valor de I   yz 2 dx  y 3 dy  xyzdz (sentido positivo) 2

C

b)

El teorema de Stoke relaciona a la anterior integral I con una integral de superficie J. Obtener una expresión para esta integral J.

    F  nˆ dS con F  ( yz,2 x  y  1, x 2  2 z) donde S es la superficie 14. Calcule  S

2 2 2 x 2  z 2  a 2 en el primer octante limitada por x  y  a .

  ˆ F  n dS F  ( x, y,2 z ) y S es la superficie externa del sólido 15. Calcule la integral  con S

acotado por x  y  1  z y 2

16. Calcule la integral

2

 y dS

z  0.

donde

S es la porción del plano 3x  2 y  z  6

comprendida en

S

el primer octante. 17. Considere F ( x, y, z)  yiˆ  xˆj  zkˆ , y la sección S del cono x 2  y 2  4z 2 ( z  0) , que es interior al cilindro x 2  y 2  4 y . Comprobar el teorema de Stokes. 18. Calcule la integral

  ˆ F  n dS F  ( x, y, z ) y S es el elipsoide cuya ecuación es con  S

2x  1   y  1  z 2  1   ˆ F  n dS F  (e x , e y , z) sobre el triángulo (0,0,0), (1,1,0), (1,-1,0) 19. Calcule la integral  con 2

2

S

con orientación hacia arriba. 20. El campo de velocidad de un fluido se describe por F = (1; x; z) (expresado en metros/segundo). ¿Cuántos metros cúbicos de fluido cruzan por segundo la superfcie S = x 2  y 2  z 2  1 ( z  0) 21. Utiliza la Ley de Gauss para determinar la carga el_ectrica contenida en el hemisferio sólido x 2  y 2  z 2  a 2 ( z  0) , si el campo el_ectrico es E(x; y; z) = (x; y; 2z).

22. Calcular el flujo a través de S del campo F mediante el teorema de Gauss, con orientación exterior para: a. F = (3x; 2y; 6z); S es la superficie del tetraedro de vértices (0; 0; 0), (1; 0; 0), (0; 2; 0) y (0; 0; 3). b. F = (x; y; z); S es la superficie limitada por z = -x2-y2-2x+4y+4 y por el plano XY . 23. Hallar el flujo de F a través de S hacia el exterior, donde S el casquete de paraboloide x y z ˆj  iˆ  kˆ 4  x 2  y 2  z ( z  0) y F ( x, y, z )  3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x y z x y z x y z













24. Hallar el flujo de F a través de S hacia el exterior, donde S es la superficie: x 2  y 2  z 2  1 1 1 y F ( x, y, z)   xziˆ  yz ˆj  x 2  y 2  z 2 kˆ  z 2 2 25. Verificar el teorema de Stokes para los campos F y superficies S siguientes: a. F = (-y; x; z); S es la porción del cilindro z = x2 interior al cilindro x2 + y2 = 4. b. F = (5y; 3x; z4); S es la porción de z  x 2  y 2  4x  4 y  8 bajo el plano z = 5. 26. Calcular el trabajo para llevar una partícula a través del campo de fuerzas F en la curva generada por C: a. F = (0;-x; 2x + 3y + z5); con C la intersección entre x + y + z = 1 y x2 + y2 = 1. b. F = (0; 0; xy); con C la intersección de z = y con x2 -2x+y2 = 0. c. F = (xyz; z2; xz); con C la intersección de z = x2 + y2 con z = x. 27. Calcular el ujo del campo F(x; y; z) = (2x; 4-y;-z) a través de la porción de paraboloide 4  z  x 2  y 2 limitada por y + z = 4 y z = 1 orientada al exterior, mediante los teoremas de Gauss y Stokes. 28. Hallar el ujo del campo F(x; y; z) = (z; x; y) a través de la superfcie S dada por y = x2 0  x  1 ; 0  z  1 directamente y mediante el Teorema de Stokes. 884 29. Calcula el flujo del campo vectorial F a través de la superficie S dada por el casquete de elipsoide 2x  1   y  1  z  1 1  2 2 x  2 y F(x; y; z) = (x; y;-2z), usando (a) El teorema de la divergencia. (b) El teorema de Stokes. 2

2

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