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• Joas Gonzalez

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Integrales de línea y superficie Integral de línea Es en la que se integra sobre una curva C suave a trozos Curvas suaves a trozos Una propiedad clásica de los campos gravitatorios es que, sujeto a ciertas restricciones físicas, el trabajo realizado por la gravedad sobre un objeto que se mueve entre dos puntos en el campo es independiente de la trayectoria que siga el objeto. Una de las restricciones es que la trayectoria debe ser una curva suave a trozos. Recuérdese que una curva plana C dada por

r ( t ) =x ( t ) i+ y ( t ) j , a ≤t ≤b

dx dt

es suave si

y

dy dt

son

continuas en [a,b] y no simultáneamente 0 en (a,b). similarmente una curva C en el espacio dada por

r ( t ) =x ( t ) i+ y ( t ) j+ z ( t ) k , a ≤t ≤b

es suave si

dx dt

,

dy dt

y

dz dt

son

continuas en [a,b] y no simultáneamente 0 en (a,b). Una curva C es suave a trozos si el intervalo [a,b] puede dividirse en un numero finito de subintervalos, en cada uno de los cuales C es suave. Recuérdese que la parametrización de una curva induce una orientación de la curva.

Integral de linea (Figura 15.8) Considérese la masa de un cable de longitud finita, dado por una curva C en el espacio. La densidad del cable en el punto (x,y,z) está dada por f(x,y,z). Divídase la curva C mediante los puntos P0,P1,…,Pn produciendo n subarcos. La longitud del iésimo subarco está dada por si. A continuación, se elige un punto (xi,yi,zi) en cada subarco. Si la longitud de cada subarco es pequeña, la masa total del cable puede ser aproximada por la suma n

Masa de cable=∑ f (x i , y i , zi ) ∆ s i i=1

Si |||| denota la longitud del subarco más largo y se hace que |||| se aproxime a 0, parece razonable que el límite de esta suma se aproxime a la masa del cable. Si f está definida en una región que contiene una curva suave C de longitud finita, entonces l integral de línea de f a lo largo de C eta dada por ❑

n

C

i=1

∫ f ( x , y ) ds=‖∆lim ∑ f (x i , y i ) ∆ si ‖→ 0 ❑

n

C

i=1

∫ f ( x , y , z ) ds=‖lim ∑ f ( x i , y i , zi )∆ s i ∆‖ →0 Siempre que el límite exista

plano

Espacio

Para evaluar una integral de línea es útil convertirla en una integral definida. Puede demostrarse que, si f es continua, el límite existe y es el mismo para todas las parametrizaciones suaves de C. Para evaluar una integral de línea sobre una curva plana C dada por r(t), se utiliza el hecho de que ds=||r’(t)||dt Sea f continua en una región que contiene una curva suave C. Si C está dada por

r ( t ) =x ( t ) i + y ( t ) j donde ❑

b

C

a

a ≤ t ≤ b , entonces

∫ f ( x , y ) ds=∫ f ( x( t), y (t )) √[x ' ( t ) ]2 +[ y ' ( t ) ]2 dt Si C está dada por ❑

b

C

a

r ( t ) =x ( t ) i+ y ( t ) j+ z ( t ) k donde

a ≤ t ≤ b , entonces

∫ f ( x , y , z ) ds=∫ f ( x ( t ) , y ( t ) , z (t)) √[ x ' ( t ) ]2+[ y ' ( t ) ]2+[ z ' ( t )]2 dt Obsérvese que si f(x,y,z)=1, la integral de línea proporciona la longitud de arco de la curva C ❑

b

C

a

∫ 1 ds=∫‖r ' (t)‖dt El valor de la integral de línea no depende de la parametrización del segmento de recta C, con cualquier parametrización suave se obtendrá el mismo valor. Supóngase que C es una trayectoria compuesta de las curvas suaves C1, C2, … , Cn. Si f es continua en C, se puede mostrar que ❑

❑

❑

❑

C

C1

C2

Cn

∫ f ( x , y , z , … ,n ) ds=∫ f ( x , y , z , … , n ) ds+∫ f ( x , y , z , … ,n ) ds +…+∫ f ( x , y , z , … , n ) ds Integrales de línea de campos vectoriales Una de las aplicaciones físicas más importantes de las integrales de línea es la de hallar el trabajo realizado sobre un objeto que se mueve en un campo de fuerzas. Para ver cómo puede utilizarse una integral de línea para hallar el trabajo realizado en un campo de fuerzas F, considérese un objeto que se mueve a lo largo de una trayectoria C en el campo (Figura 15.13). Para determinar el trabajo realizado por la fuerza solo se necesita considerar aquella parte de la fuerza que actúa en la dirección que se mueve el objeto (o en la dirección contraria). Esto significa que, en cada punto de C, se puede considerar la proyección FT del vector fuerza F sobre el vector unitario tangente T. En un subarco pequeño de longitud si, el incremento de trabajo es

∆ W i =( fuerza ) ( disancia ) ≈ [F ( x i , y i , z i ) ∙ T ( x i , yi , z i) ]∆ s i

donde

( xi , yi , zi )

es un punto en el

subarco i-ésimo. Por consiguiente, el trabajo total realizado esta dado por la integral ❑

W =∫ F ( x , y , z) ∙T ( , y , z ) ds C

Esta integral de línea es la base de la definición de integral de línea de un campo vectorial Sea F un campo vectorial continuo definido sobre una curva suave C dada por r(t),

a ≤ t ≤ b . La integral de line de F sobre C está dada por b '

F ∙ Tds=¿ ∫ F (x ( t ) , y ( t ) , z ( t ) )∙ r ( t ) dt a

❑

❑

C

C

∫ F ∙ dr =∫ ¿ F ∙ Tds=F ∙

Obsérvese que

r' ( t )

‖r ' ( t )‖ dt =F ∙r ' ( t ) dt =F ∙ dr ‖r ( t )‖ '

En integrales de línea de funciones vectoriales, la orientación de la curva C es importante. Si la orientación de la curva se invierte, el vector tangente unitario T(t) cambia a -T(t), y se obtiene ❑

❑

−C

C

∫ F ∙dr =−∫ F ∙ dr Aunque el valor de la integral de línea depende de la orientación de C, no depende de la parametrización de C

Integrales de línea en forma diferencial Si F es un campo vectorial de la forma F(x,y)=Mi+Nj y C está dada por

r ( t ) =x ( t ) i + y ( t ) j , entonces Fdr se escribe a menudo como Mdx+Ndy ❑

dx dy ( M + N ) dt=¿∫ (Mdx+ Ndy) dt dt C ❑

❑

C

C

∫ F ∙ dr =∫ F ∙

b

b

dr dt=∫ ( Mi+ Nj ) ∙ ( x ' ( t ) i+ y ( t ) j ) dt=∫ ¿ dt a a

Esta forma diferencial puede extenderse a tres variables. Los paréntesis se omiten a menudo, y se escribe ❑

❑

C

C

∫ Mdx+ Ndy y ∫ Mdx+ Ndy+ Pdz La orientación de C afecta el valor de la forma diferencial de una integral de línea. Específicamente, si -C tiene orientación opuesta a C, entonces

❑

❑

−C

C

∫ Mdx+ Ndy=−∫ Mdx+ Ndy En curvas representadas por y=g(x),

a ≤ x ≤ b , se puede hacer x=t y obtener la forma

paramétrica.

Teorema fundamental de las integrales de línea Sea C una curva suave a trozos contenida en una región abierta R y dada por

r ( t ) =x ( t ) i+ y ( t ) j , a ≤t ≤b Si F(x,y)=Mi+Nj es conservativo en R, y M y N son continuas en R, entonces, ❑

❑

C

C

∫ F ∙ dr =∫ ∇ f ∙ dr =f ( x ( b ) , y ( b )) −f ( x ( a ) , y ( a ) ) En el espacio, el teorema fundamental de las integrales de línea adopta la forma siguiente. Sea C una curva suave a trozos contenida en una región abierta Q y dada por

r ( t ) =x ( t ) i+ y ( t ) j + z (t) , a ≤t ≤b Si F(x,y,z)=Mi+Nj+Pk es conservativo y M, N y P son continuas, entonces ❑

❑

C

C

∫ F ∙ dr =∫ ∇ f ∙ dr =f ( x ( b ) , y ( b ) , z (b))−f ( x ( a ) , y ( a ) , z(a) ) Donde f es una función potencial de F. El teorema fundamental de las integrales de línea establece que, si el campo vectorial F es conservativo, entonces la integral de línea entre dos puntos cualesquiera es simplemente la diferencia entre los valores de la función potencial f en estos puntos. Es importante notar que el valor de la integral de línea es el mismo para cualquier curva suave C que tenga los puntos inicial y final dados

Independencia de la trayectoria Por el teorema fundamental de las integrales de línea es evidente que, si F es continuo ❑

y conservativo en una región abierta R, el valor de

∫ F ∙ dr C

es el mismo para toda

curva suave a trozos C que vaya de un punto fijo de R a otro punto fijo de R. esto se ❑

describe diciendo que la integral de línea

∫ F ∙ dr C

es independiente de la trayectoria

en la región R (Figura 15.22) Una región en el plano (o en el espacio) es conexa si cada dos puntos en la región pueden ser unidos por una curva suave a trozos que se encuentre

completamente dentro de la región. En regiones abiertas y conexas, la independencia ❑

∫ F ∙ dr

de la trayectoria de

C

es equivalente a la condición de que F sea conservativo.

Una curva C dada por r(t) para

a≤t ≤b

es cerrada si r(a)=r(b). por el teorema

fundamental de las integrales de línea, se puede concluir que, si F es continuo y conservativo en una región abierta R, entonces la integral de línea sobre toda curva cerrada C es 0. Condiciones equivalentes Sea F(x,y,z)=Mi+Nj+Pk con primeras derivadas parciales continuas en una regio abierta conexa R, y sea C una curva suave a trozos en R. Las condiciones siguientes son equivalentes 

F es conservativo ❑



∫ F ∙ dr



∫ F ∙ dr =0

es independiente de la trayectoria

C

❑ C

para toda curva cerrada C en R

Teorema de Green Este teorema establece que el valor de una integral doble sobre una región simplemente conexa R está determinado por el valor de una integral de línea a lo largo de la frontera de R Una curva C dada por r(t)=x(t)i+y(t)j, donde atb, es simple si no se corta a si misma, es decir, r(c)r(d) para todo c y d en el intervalo abierto (a,b). una región plana R es simplemente conexa si cada curva cerrada simple en R encierra solo puntos que están en R (Figura 15.26) Sea R una región simplemente conexa cuya frontera es una curva C suave a trozos, orientada en sentido contrario a las manecillas del reloj (es decir, C se recorre una vez de manera que la región R siempre quede a la izquierda). Si M y N tienen derivadas parciales continuas en una región abierta que contiene a R, entonces ❑

❑

C

R

∫ Mdx+ Ndy=∬ (

∂N ∂ M − )dA ∂x ∂ y

El teorema de Green no se puede aplicar a toda integral de línea. La curva C debe de ser simple y cerrada. Al evaluar integrales de línea sobre curvas cerradas, recuérdese que en campos vectoriales conservativos (campos en los que línea es 0.

∂N ∂ M = ∂ x ∂ y ), el valor de la integral de

También se puede utilizar el teorema para evaluar integrales dobles como integrales de línea. Si R es una región plana limitada o acotada por una curva simple C, cerrada y suave a trozos, orientada en sentido contrario a las manecillas del reloj, entonces el área de R está dada por ❑

1 A= ∫ xdy − ydx 2C El teorema de Green puede extenderse para cubrir algunas regiones que no son simplemente conexas. Sea F(x,y)=Mi+Nj definido en un disco abierto R. Se quiere demostrar que si M y N tienen

primeras

derivadas

parciales

continuas

y

∂N ∂ M = ∂x ∂ y

entonces

F

es

conservativo. Supóngase que C es una trayectoria cerrada que forma la frontera de una región conexa contenida en R. Entonces, usando el hecho de que

∂N ∂ M = ∂ x ∂ y , se

puede aplicar el teorema de Green para concluir que ❑

❑

❑

C

C

R

∫ F ∙ dr =∫ Mdx+ Ndy=∬ ( ∂∂ Nx − ∂∂My ) dA=0 Esto es, a su vez, equivalente a mostrar que F es conservativo

Formas alternativas del teorema de Green Si F es un campo vectorial en el plano, se puede escribir F(x,y,z)=Mi+Nj+0K por lo que el rotacional de F está dado por

|

i ∂ rot F=∇ × F= ∂x M

j ∂ ∂y N

|

k ∂ N ∂M ∂ −∂ N ∂ M = i+ j+ − k ∂ z ∂ z ∂x ∂y ∂z 0

(

)

Por consiguiente,

[

( rot F ) ⋅k =

)]

−∂ N ∂ M ∂N ∂M ∂N ∂M i+ j+ − k ⋅k= − ∂z ∂z ∂x ∂ y ∂x ∂ y

(

Con condiciones apropiadas sobre F, C y R, se puede escribir el teorema de Green en forma vectorial ❑

❑

❑

∫ F ∙ dr =∬ ( ∂∂ Nx − ∂∂My )dA=∬ ( rot F ) ⋅kdA … … … Primera forma alternativa C R R

La extensión de esta forma vectorial del teorema de Green a superficies en el espacio da lugar al teorema de Stokes. Para la segunda forma vectorial del teorema de Green, supóngase las mismas condiciones sobre F, C y R. Utilizando el parámetro de longitud de arco s para C, se tiene r(s)=x(s)i+y(s)j. Por tanto, un vector unitario tangente T a la curva C esta dado por r’(s)=T=x’(s)i+y’(s)j. (Figura 15.34) el vector unitario normal exterior N puede escribirse como N=y’(s)i+x’(s)j Por consiguiente, a F(x,y)=Mi+Nj se le puede aplicar el teorema de Green para obtener ❑

b

b

❑

❑

❑

dx ∂N ∂ M + N )ds=∫ Mdy−Ndx=∫ −Ndx+ Mdy=∬ ( − )d ∫ F ∙ Nds=∫ (Mi+ Nj)⋅ ( y ( s ) i−x ( s ) j ) ds=∫ (M dy ds ds ∂x ∂ y C a a C C R '

'

Por consiguiente, ❑

❑

C

R

∫ F ∙ Nds=∬ ¿ F dA … … … Segunda forma alternativa La generalización de esta forma a tres dimensiones se llama teorema de la divergencia.

Integrales de superficie (Figura 15.44) Sea S una superficie dada por z=g(x,y) y sea R su proyección sobre el plano xy. Supóngase que g, gx y gy son continuas en todos los puntos de R y que f está definida en S. Empleando el procedimiento usado para hallar el área de una superficie, se evalúa f en (xi,yi,zi) y se forma la suma n

∑ f ( xi , y i , z i ) ∆ S i i=i

Donde cuando

√

2

2

∆ Si ≈ 1+[g x ( xi , y i ) ] +[ g y ( x i , y i ) ] ∆ Ai . Siempre que el límite de la suma anterior

|∆| tiende a 0 exista, la integral de superficie de f sobre S se define como n

∑ f ( x i , y i , zi ) ∆ Si |∆|→0

f ( x , y , z )=¿ lim

i=i

❑

∬¿ S

Esta integral se puede evaluar mediante una integral doble. Sea S una superficie cuya ecuación es z=g(x,y) y sea R su proyección sobre el plano xy. Si g, gx y gy son continuas en R y f es continua en S, entonces la integral de superficie de f sobre S es ❑

❑

S

R

∬ f ( x , y , z ) dS=∬ f ( x , y , g ( x , y ) ) √ 1+[ g x ( x , y ) ]2 +[g y ( x , y ) ]2 dA

Para superficies descritas por funciones de x y z o de y y z, se pueden hacer los siguientes ajustes a la integral anterior. Si S es la gráfica de y=g(x,z) y R es su proyección sobre el plano xz, entonces ❑

❑

S

R

∬ f ( x , y , z ) dS=∬ f ( x , g (x , z) , z) √1+[g x ( x , z )]2+[g z ( x , z ) ]2 dA Si S es la gráfica de x=g(y,z) y R es su proyección sobre el plano yz, entonces ❑

❑

S

R

∬ f ( x , y , z ) dS=∬ f ( g ( y , z ) , y , z )√ 1+[ g y ( y , z ) ]2 +[ g z ( y , z ) ]2 dA Si

f ( x , y , z )=1 , la integral de superficie sobre S da el área de la superficie de S. ❑

Area de la superficie=∬ 1 dS S

Por otro lado, si S es una lámina de densidad variable y (x,y,z) es la densidad en el punto (x,y,z), entonces la masa de la lámina está dada por ❑

Masa de la lamnia=∬ ρ(x , y , z)dS S

Superficies paramétricas Para representar una curva en el plano o en el espacio hacemos uso de un conjunto de ecuaciones paramétricas o, equivalentemente, por una función vectorial r(t)=x(t)i+y(t)j Curva en el plano r(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)k Curva en el espacio Obsérvese que, en el caso de las curvas, la función vectorial r es una función de un solo parámetro t. en el caso de las superficies, la función vectorial es una función de dos parámetros u y v. Sean x, y y z funciones de u y v, continuas en un dominio D del plano uv. Al conjunto de puntos (x,y,z) dado por r(u,v)=x(u,v)i+y(u,v)j+z(u,v)k se le llama superficie paramétrica. Las ecuaciones x=x(u,v), y=y(u,v) y z=z(u,v) son las ecuaciones paramétricas para la superficie (Figura 15.35) Si S es una superficie paramétrica dada por la función vectorial r, entonces S es trazada por el vector de posición r(u,v) a medida que el punto (u,v) se mueve por el dominio D. Como ocurre con las representaciones paramétricas de curvas, las representaciones paramétricas de superficies no son únicas, es decir, hay muchos conjuntos de ecuaciones paramétricas que podrían usarse para representar la superficie Ecuaciones paramétricas para superficies El problema inverso, el de asignar un conjunto de ecuaciones paramétricas a una superficie dada, es generalmente más difícil. Sin embargo, un tipo de superficie para la

que el problema es sencillo, es una superficie dada por z=f(x,y). Tal superficie se puede parametrizar como r(x,y)=xi+yj+f(x,y)k Vectores normales y planos tangentes Sea S una superficie paramétrica dada por r(u,v)=x(u,v)i+y(u,v)j+z(u,v)k sobre una región abierta D tal que x, y y z tienen derivadas parciales continuas en D. Las derivadas parciales de r con respecto a u y v están definidas como

r u=

∂x ∂y ∂z ( u , v ) i+ ( u , v ) j+ (u , v) k ∂u ∂u ∂u

y

rv=

∂x ∂y ∂z ( u , v ) i+ ( u , v ) j+ (u , v) k ∂v ∂v ∂v

Cada una de estas derivadas parciales es una función vectorial que puede interpretarse geométricamente en términos de vectores tangentes. (Figura 15.40) Por ejemplo, si v=v0 se mantiene constante, entonces r(u,v0) es una función vectorial de un solo parámetro y define una curva C1 que se encuentra en le superficie S. el vector tangente a C1 en el punto (x(u0,v0), y(u0,v0), z(u0,v0)) está dado por

r u (u0 , v 0 )=

∂x ∂y ∂z (u0 , v 0 )i+ (u 0 , v 0) j+ (u 0 , v 0) k ∂u ∂u ∂u

De manera similar si u=u0 se mantiene constante, entonces r(u0,v) es una función vectorial de un solo parámetro y define una curva C2 que se encuentra en la superficie S. El vector tangente a C2 en el punto (x(u0,v0), y(u0,v0), z(u0,v0)) está dado por

r v (u0 , v 0 )=

∂x ∂y ∂z (u0 , v 0 )i+ (u 0 , v 0) j+ (u0 , v 0) k ∂v ∂v ∂v

Si el vector normal

r u ×r v

no es 0 para todo (u,v) en D, se dice que la superficie S es

suave y tendrá un plano tangente. El vector

r v ×r u

también es normal a S y apunta

en la dirección opuesta. De manera informal, una superficie suave es una superficie que no tiene puntos angulosos o cúspides. Por ejemplo, esferas, elipsoides y paraboloides son suaves, mientras que un cono no es suave. Sea S una superficie paramétrica suave r(u,v)=x(u,v)i+y(u,v)j+z(u,v)k definida sobre una región abierta D en el plano uv. Sea

(u0 , v 0 ) un punto en D. Un vector normal en

el punto (x0,y0,z0)= (x(u0,v0), y(u0,v0), z(u0,v0)) está dado por

| |

i ∂x N=r u ( u0 , v 0)×r v ( u 0 , v 0 ) = ∂ u ∂x ∂v

j ∂y ∂u ∂y ∂v

k ∂z ∂u ∂z ∂v

Área de una superficie paramétrica (Figura 15.42) Para definir el área de una superficie paramétrica se construye una partición interna de D que consiste en n rectángulos, donde el área del rectángulo iésimo Di es Ai=uivi. En cada Di sea (ui,vi) el punto más cercano al origen. En el

punto (xi,yi,zi)= (x(ui,vi), y(ui,vi), z(ui,vi)) de la superficie S, se construye un plano tangente Ti. El área de la porción S que corresponde a Di, Ti, puede ser aproximada por un paralelogramo en el plano tangente. Es decir, TiSi. Por tanto, la superficie de

∑ ∆ S i ≈ ∑ ∆T i

S está dada por

. El área del paralelogramo en el plano tangente es

‖∆ u i r u × ∆ v i r v‖=‖r u ×r v‖ ∆ ui ∆ v i Sea S una superficie paramétrica suave r(u,v)=x(u,v)i+y(u,v)j+z(u,v)k definida sobre una región abierta D en el plano uv. Si cada punto de la superficie S corresponde exactamente a un punto del dominio D, entonces el área de la superficie S está dada por ❑

❑

S

D

Area de la superficie=∬ dS=∬‖r u ×r v‖ dA

r u=

Donde

∂x ∂y ∂z (u , v )i + ( u , v ) j+ (u , v) k ∂u ∂u ∂u

rv=

y

∂x ∂y ∂z ( u , v ) i+ ( u , v ) j+ (u , v) k ∂v ∂v ∂v

Para una superficie S dada por z=f(x,y) se puede parametrizar la superficie utilizando la función vectorial r(x,y)=xi+yj+f(x,y)k se tiene

|

|

i j k r x ×r y = 1 0 f x (x , y ) =−f x ( x , y ) i−f y ( x , y ) j+ k 0 1 f y (x , y)

‖r x × r y‖= √[ f x ( x , y ) ]

Y

2

+[ f y ( x , y )]2+1 . Esto implica que el área de la superficie de S es

❑

❑

Area de la superficie=∬‖r x ×r y‖dA=∬ S

D

√[f

2

x

( x , y ) ] +[f y ( x , y ) ]2 +1 dA

Superficies paramétricas e integrales de superficies Se puede mostrar que para una superficie S dada por la función vectorial r(u,v)=x(u,v)i+y(u,v)j+z(u,v)k definida sobre una región D en el plano uv, la integral e superficie de F(x,y,z) sobre S está dada por ❑

❑

S

D

∬ f (x , y , z)dS=∬ f (x ( u , v ) , y ( u , v ) , z ( u , v ) )‖r u (u , v )× r v (u , v )‖ dA Observese la analogía con una integral de línea sobre una curva C en el espacio ❑

b

S

a

∬ f (x , y , z)ds=∫ f (x ( t ) , y ( t ) , z (t ) )‖r ' ( t )‖dt

Orientación de una superficie Para inducir una orientación en una superficie S en el espacio se utilizan vectores unitarios normales. Se dice que una superficie es orientable si en todo punto de S que no sea un punto frontera puede definirse un vector unitario normal N manera tal que los vectores normales varíen continuamente sobre la superficie S. Si esto es posible, S es una superficie orientada Una superficie orientable S tiene dos caras. Asi, cuando se orienta una superficie, se elige uno de los dos vectores unitarios normales posibles. Si S es una superficie cerrada se acostumbra a escoger como vector unitario normal N, el que apunta hacia afuera. (Figura 15.50) Las superficies más comunes, como esferas, paraboloides, elipses y planos, son orientables. En una superficie orientable, el vector gradiente proporciona una manera adecuada de hallar un vector unitario normal. Es decir, n una superficie orientable S dada por z=f(x,y) se hace G(x,y,z)=z-g(x,y). Entonces, S puede orientarse, ya sea por el vector unitario normal hacia arriba o por el vector unitario normal hacia abajo Si la superficie suave orientable S está dada en forma paramétrica r(u,v)=x(u,v)i+y(u,v)j+z(u,v)k los vectores unitarios normales están dados

N=

r u × rv ‖r u × r v‖ y

N=

por por

r v × ru ‖r v × r u‖

Supóngase que la superficie orientable está dada por y=g(x,z) o x=g(y,z). Entonces se puede usar el vector gradiente de G(x,y,z)=y-g(x,z) o G(x,y,z)=x-g(y,z) para orientar la superficie

Integrales de flujo Una de las aplicaciones principales que emplean la forma vectorial de una integral de superficie se refiere al flujo de un fluido a través de una superficie S. supóngase que una superficie orientada S se sumerge en el fluido que tiene un campo de velocidad continua F. Sea S el área de una pequeña porción de la superficie S cobre la cual F es casi constante. Entonces la cantidad de fluido que atraviesa esta región por unidad de tiempo se aproxima mediante el volumen de la columna de altura FN (Figura 15.51). Es decir, V=(altura)(área de la base)=(FN)S Por consiguiente, el volumen del fluido que atraviesa la superficie S por unidad de tiempo (llamada el flujo de F a través de S) está dado por la integral de superficie de la siguiente definición Sea F(x,y,z)=Mi+Nj+Pk, donde M,N y P tienen primeras derivadas parciales continuas sobre la superficie S orientada mediante un vector unitario normal N. La integral de flujo de F a través de S está dada por ❑

∬ F ∙ NdS S

Geométricamente, una integral de flujo es la integral de superficie sobre S de la componente normal de F. Si (x,y,z) es la densidad del fluido en (x,y,z), la integral de

❑

flujo

∬ ρF ∙ NdS

representa la masa del fluido que fluye a través de S por unidad de

S

tiempo Para evaluar una integral de flujo de una superficie dada por z=g(x,y), se hace G(x,y,z)=z-g(x,y). Entonces, NdS puede escribirse como

NdS=∇ G ( x , y , z ) dA

Sea S una superficie orientada por z=f(x,y) y sea R su proyección sobre el plano xy. ❑

❑

S

R

❑

❑

S

R

∬ F ∙ NdS=∬ F ∙[−g x ( x , y ) i−g y ( x , y ) j+ k ]dA ∬ F ∙ NdS=∬ F ∙[ g x ( x , y ) i+ g y ( x , y ) j−k ] dA

Orientada hacia arriba Orientada hacia abajo

Para una superficie orientada S dada por la función vectorial r(u,v)=x(u,v)i+y(u,v)j+z(u,v)k definida sobre una región D del plano uv, se puede definir la integral de flujo de F a través de S como

r F ∙(¿ ¿u × r v )dA ❑ ❑ ❑ ru × rv ∬ F ∙ NdS=∬ F ∙ ‖r × r ‖ ‖r u × r v‖dA=∬ ¿ S D u v D

(

)

Teorema de divergencia de Gauss Una alternativa del teorema de Green es ❑

❑

❑

C

R

R

∫ F ∙ Nds=∬ ( ∂∂ Nx + ∂∂My )dA=∬ ¿ F dA De manera análoga, el teorema de la divergencia da la relación entre una integral triple sobre una región solida Q y una integral de superficie sobre la superficie de Q. La superficie S es cerrada en el sentido de que forma toda la frontera completa el sólido Q. (Figura 15.54) Se supone que Q es una región solida sobre la cual se evalúa una integral triple, y que la superficie cerrada S está orientada mediante vectores normales unitarios dirigidos hacia el exterior. Sea Q una región solida limitada o acotada por una superficie cerrada S orientada por un vector normal unitario dirigido hacia el exterior de Q. Si F es un campo vectorial cuyas funciones componentes tienen derivadas parciales continuas en Q, entonces ❑

❑

S

Q

∬ F ∙ Nds=∭ ¿ F dV (Figura 15.59) Aunque el teorema de la divergencia se formuló para una región solida simple Q limitada o acotada por una superficie cerrada, el teorema también es válido para regiones que son uniones finitas de regiones solidas simples. Por ejemplo, sea Q el sólido limitado o acotado por las superficies cerradas S1 y S2. Para aplicar el teorema

de la divergencia a este sólido, sea S=S1US2. El vector normal N a S está dado por -N1 en S1 y por N2 en S2. Por tanto, se puede escribir ❑

❑

❑

❑

Q

S

S1

S2

∭ ¿ F dV =∬ F ∙ Nds=∬ F ∙ (−N 1 ) ds +∬ F ∙ N 2 ds Flujo y el teorema de la divergencia ❑

❑

S

Q

∬ F ∙ Nds=∭ ¿ F dV Se sabe que la integral de flujo determina el flujo total de fluido que atraviesa la superficie S por unidad de tiempo. Esto puede aproximarse sumando el flujo que fluye a través de fragmentos pequeños de la superficie. La integral triple mide este mismo flujo de fluido a través de S, pero desde una perspectiva muy diferente; a saber, calculando el flujo de fluido dentro, o fuera, de cubos pequeños de volumen Vi. El flujo en el iésimo cubo es aproximadamente

¿ F( x i , y i , z i) ∆ V i

para algún punto

( xi , yi , zi )

en el

i-ésimo cubo. Nótese que, en un cubo en el interior de Q, la ganancia, o perdida, de fluido a través de cualquiera de sus seis caras es compensada por una perdida, o ganancia, correspondiente a través de una de las caras del cubo adyacente. Después de sumar sobre todos los cubos en Q, el único flujo de fluido que no se cancela uniendo cubos es el de las caras exteriores en los cubos del borde. Así la suma n

∑ F ( x i , y i , z i )∆V i i=1

aproxima el flujo total dentro, o fuera, de Q, y por consiguiente a través de la superficie S. (Figura 15.60) Para ver que se quiere dar a entender con divergencia de F en un punto, considérese

∆Vα

como el volumen de una esfera pequeña S de radio y centro

(x 0 , y 0 , z0 ) , contenida en la región Q. Aplicando el teorema de la divergencia a

Sα

resulta ❑

Flujode F a traves de S α =∭ ¿ F dV ≈÷F ( x 0 , y 0 , z0 ) ∆ V α Qα

Donde

Qα

es el interior de

¿ F( x 0 , y 0 , z 0) ≈

S α . Por consiguiente, se tiene

Flujo de F a traves de Sα ∆V α

Y, tomando el limite cuando α0, se obtiene la divergencia de F en el punto

(x 0 , y 0 , z0 ) .

¿ F ( x 0 , y 0 , z 0 )=lim α →0

Flujo de F a traves de S α =flujo por unidad de volumen en( x 0 , y 0 , z0 ) ∆Vα

En un campo vectorial el punto

(x 0 , y 0 , z0 )

es clasificado como una fuente, un

sumidero o incomprensible (Figura 15.61)   

Fuente, si div F>0 Sumidero, si div F