• Categories
• Integral
• Metodología filosófica
• Análisis matemático
• Cognición
• Sicología y ciencia cognitiva

Citation preview

𝟏: ∫(𝒅𝒖 + 𝒅𝒗 − 𝒅𝒘) = ∫ 𝒅𝒖 + ∫ 𝒅𝒗 − ∫ 𝒅𝒘 𝑨: ∫(−𝒅𝒙 − 𝒅𝒚 + 𝒅𝒛) = − ∫ 𝑑𝑥 − ∫ 𝑑𝑦 + ∫ 𝑑𝑧 = −𝑥 − 𝑦 + 𝑧 + 𝐶 𝑩: ∫(𝟔𝒙𝟐 − 𝟖𝒙 + 𝟑)𝒅𝒙 = ∫ 6𝑥 2 𝑑𝑥 − ∫ 8𝑥 𝑑𝑥 + ∫ 3 𝑑𝑥 6𝑥 3 8𝑥 2 = 6 ∫ 𝑥 𝑑𝑥 − 8 ∫ 𝑥 𝑑𝑥 + 3 ∫ 𝑑𝑥 = − + 3𝑥 3 2 = 2𝑥 3 − 4𝑥 2 + 3𝑥 + 𝐶 2

𝟐: ∫ 𝒂 𝒅𝒗 = 𝒂 ∫ 𝒅𝒗 nota: la formula indica que las constantes salen de la integral ya que estas no dependen de la variable de integración 𝑨: ∫ 𝟑 𝒅𝒙 = 3 ∫ 𝑑𝑥 = 3𝑥 + 𝐶 𝑩: ∫ 𝟓 𝒅𝒚 = 5 ∫ 𝑑𝑦 = 5𝑦 + 𝐶 𝟑: ∫ 𝒅𝒙 = 𝒙 + 𝒄 𝑨: ∫ 𝒅𝒛 = ∫ 𝑧 = 𝑧 + 𝐶 𝑩: ∫ 𝒅𝒘 = ∫ 𝑑𝑤 = 𝑤 + 𝐶 𝒙𝒏+𝟏 𝟒: ∫ 𝒙 𝒅𝒙 = +𝒄 𝒏+𝟏 𝒏

𝑥 4+1 𝑥 5 5𝑥 5 𝑨: ∫ 𝟓𝒙 𝒅𝒙 = 5 ∫ =5 = = 𝑥5 + 𝐶 4+1 5 5 𝟒

𝐁: ∫(𝟐𝒙 + 𝟑)𝟓 𝒅𝒙 CAMBIO DE VARIABLE 𝑢 = 2𝑥 + 3 𝑑𝑢 = 2 dx 𝑑𝑢 1 𝑑𝑥 = = 2 2

𝒙𝒏+𝟏 𝒇𝒐𝒓𝒎𝒖𝒍𝒂 𝒂 𝒆𝒎𝒑𝒍𝒆𝒂𝒓 (𝟒) ∫ 𝒙 𝒅𝒙 = +𝒄 𝒏+𝟏 𝒏

∫(𝟐𝒙 + 𝟑)𝟓 𝒅𝒙 1 1 1 𝑢5+1 1 𝑢6 5 = ∫𝑢 ( ) = ∫𝑢 = ( ) = ( ) 𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑦𝑒𝑛𝑑𝑜 2 2 2 5+1 2 6 6 6 1 (2𝑥 + 3) (2𝑥 + 3) = = +𝐶 2 6 12 5

𝒅𝒙 = ∫(𝟓𝒙 + 𝟐)−𝟑 𝒅𝒙 𝟑 (𝟓𝒙 + 𝟐) 𝑢 = 5𝑥 + 2 𝑑𝑢 = 5 𝑑𝑥 𝑑𝑢 1 𝑑𝑥 = = 5 5 𝐂: ∫

𝒙𝒏+𝟏 𝒇𝒐𝒓𝒎𝒖𝒍𝒂 𝒂 𝒆𝒎𝒑𝒍𝒆𝒂𝒓 (𝟒) ∫ 𝒙 𝒅𝒙 = +𝒄 𝒏+𝟏 𝒏

−𝟑

∫(𝟓𝒙 + 𝟐) 𝒅𝒙 = ∫(𝒖)

−𝟑

1 5𝑥 + 2−2 = 5 −2 𝟓: ∫ 𝒗𝒏 𝒅𝒗 =

𝒙𝒏+𝟏 𝒏+𝟏

+𝑪

𝟏 1 1 𝑢−3+1 1 𝑢−2 −3 = ∫𝑢 = = 𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑦𝑒𝑛𝑑𝑜 𝟓 5 5 −3 + 1 5 −2 5𝑥 + 2−2 =− +𝐶 10

1

1

3

𝑣 2+1 𝑣 2+1 𝑣 ⁄2 2 3⁄ 1⁄ 𝑨: ∫ √𝒗 𝒅𝒗 = ∫ 𝑣 2 𝑑𝑣 = = = = 𝑣 2+𝐶 1 1 3 3 +1 +1 2 2 2 𝐁: ∫ 𝒙𝟑 (𝒙𝟒 + 𝟑)𝟐 𝒅𝒙 CAMBIO DE VARIABLE 𝑢 = 𝑥4 + 3 𝑑𝑢 = 4𝑥 3 dx 𝑑𝑢 1 𝑥 3 𝑑𝑥 = = 4 4 ∫ 𝑥 3 (𝑥 4 + 3)2 𝑑𝑥 = ∫(𝑥 4 + 3)2 𝑥 3 𝑑𝑥 = ∫(u)2

1 1 = ∫(u)2 4 4

𝒙𝒏+𝟏 𝒇𝒐𝒓𝒎𝒖𝒍𝒂 𝒂 𝒆𝒎𝒑𝒍𝒆𝒂𝒓 (𝟒) ∫ 𝒙 𝒅𝒙 = +𝒄 𝒏+𝟏 1 1 𝑢2+1 1 𝑢3 𝑢3 (𝑥 4 + 3)3 2 ∫(u) = ( )= = 𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑦𝑒𝑛𝑑𝑜 +𝐶 4 4 2+1 4 3 12 12 𝒏

𝐂: ∫ 𝒙√𝟐𝒙𝟐 + 𝟑 𝒅𝒙 CAMBIO DE VARIABLE 𝑢 = 2𝑥 2 + 3 𝑑𝑢 = 4𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑢 1 𝑥 𝑑𝑥 = = 4 4 1 1 2 2 2 2 ∫ 𝑥 √2𝑥 + 3 𝑑𝑥 = ∫ 𝑥(2𝑥 + 3) 𝑑𝑥 = ∫(2𝑥 + 3)2 x 𝑑𝑥 𝒙𝒏+𝟏 𝒇𝒐𝒓𝒎𝒖𝒍𝒂 𝒂 𝒆𝒎𝒑𝒍𝒆𝒂𝒓 (𝟒) ∫ 𝒙 𝒅𝒙 = +𝒄 𝒏+𝟏 𝒏

1

3

3

+1 1 2 1 1 1 (u) 1 (u)2 1 2 (u)2 ∫(2𝑥 2 + x 𝑑𝑥 = = ∫(u)2 = = = 3 4 4 4 1+1 4 4 3 2 2 3 3 2 (u)2 (u)2 √𝑢3 √(2𝑥 2 + 3)3 = = = 𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑦𝑒𝑛𝑑𝑜 = +𝐶 12 6 6 6 1 3)2

1 ∫(u)2

𝟔: ∫

𝒅𝒗 = 𝒍𝒏 𝒗 + 𝑪 𝒗

𝟑 3𝑑𝑥 3 𝑑𝑥 3 𝑨: ∫ 𝐝𝐱 = ∫ = ∫ = 𝒍𝒏 𝒙 + 𝑪 𝟐𝒙 2𝑥 𝟐 𝒙 𝟐 𝟐𝒙 + 𝟏 𝒅𝒙 𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝟏 CAMBIO DE VARIABLE 𝑢 = 𝑥2 + 𝑥 + 1 𝑑𝑢 = 2𝑥 + 𝑑𝑥 𝒅𝒗 Formula a emplear (𝟔) ∫ = 𝒍𝒏 𝒗 + 𝑪 𝒗 𝑑𝑢 ∫ = ln 𝑢 + 𝐶 𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑦𝑒𝑛𝑑𝑜 = ln 𝑥 2 + 𝑥 + 1 + 𝐶 𝑢 𝐁: ∫

𝒂𝒗 𝟕: ∫ 𝒂 𝒅𝒗 = +𝑪 𝒍𝒏 𝒂 𝒗

2𝑥 ∫ 𝟐 𝒅𝒙 = +𝐶 𝑙𝑛2 𝒙

10𝑥 ∫ −𝟏𝟎 𝒅𝒙 = − +𝐶 𝑙𝑛10 𝒙

𝟖 ∶ ∫ 𝒆𝒗 𝒅𝒗 = 𝒆𝒗 + 𝑪 Nota: La integral de e elevado a una variable siempre será igual más la constante. 𝑨: ∫ 𝟐𝒆𝒙 𝒅𝒙 = 2 ∫ 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 = 2𝑒 𝑥 + 𝐶 𝑩: ∫ 𝟓𝒆𝒙 𝒅𝒙 + ∫ 𝟓𝒆𝒙 𝒅𝒙 = ∫ 10𝑒 𝑥 𝑑𝑥 = 10 ∫ 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 = 10𝑒 𝑥 + 𝐶

9: ∫ 𝒔𝒆𝒏 𝒗 𝒅𝒗 = −𝒄𝒐𝒔 𝒗 + 𝑪 𝑨: ∫ 𝟐 𝒔𝒆𝒏 𝒙 𝒅𝒙 = 2 ∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = 2 − cos 𝑥 = −2 cos 𝑥 + 𝐶 𝐁: ∫ 𝒔𝒆𝒏 (𝟓𝒙) 𝒅𝒙 CAMBIO DE VARIABLE u=5x du=5 dx 𝑑𝑢 1 𝑑𝑥 = = 5 5 Formula a emplear (𝟗) ∫ 𝒔𝒆𝒏 𝒗 𝒅𝒗 = −𝒄𝒐𝒔 𝒗 + 𝑪 1 1 1 cos 5𝑥 ∫ 𝑠𝑒𝑛 (5𝑥) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑠𝑒𝑛 (𝑢) = ∫ 𝑠𝑒𝑛 (5𝑥) = − cos 5𝑥 = − 5 5 5 5 𝟏𝟎: ∫ 𝒄𝒐𝒔𝒗 𝒅𝒗 = 𝒔𝒆𝒏 𝒗 + 𝑪 𝑨: ∫ 𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒙 𝒅𝒙 CAMBIO DE VARIABLE u=2x du=2 𝑑𝑢 1 𝑑𝑥 = = 2 2 1 1 ∫ 𝑐𝑜𝑠 2𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 𝑐𝑜𝑠 𝑢 = ∫ 𝑐𝑜𝑠 𝑢 2 2 Formula a emplear (𝟏𝟎) ∫ 𝒄𝒐𝒔𝒗 𝒅𝒗 = 𝒔𝒆𝒏 𝒗 + 𝑪 1 1 1 ∫ 𝑐𝑜𝑠 𝑢 = 𝑠𝑒𝑛 𝑢 + 𝐶 𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑦𝑒𝑛𝑑𝑜 = 𝒔𝒆𝒏 𝟐𝒙 + 𝑪 2 2 2 𝐁: ∫ 𝟑 𝐜𝐨𝐬(𝟑𝒙 + 𝟐) 𝒅𝒙 CAMBIO DE VARIABLE 𝑢 = 3𝑥 + 2 du= 3 dx formula a emplear (10) ∫ 𝒄𝒐𝒔𝒗 𝒅𝒗 = 𝒔𝒆𝒏 𝒗 + 𝑪

∫ 3 cos(3𝑥 + 2) 𝑑𝑥 = ∫ cos(3𝑥 + 2) 3 𝑑𝑥 = ∫ cos(𝑢) 𝑑𝑢 = 𝑠𝑒𝑛 (𝑢) = 𝑠𝑒𝑛 (3𝑥 + 2) + 𝐶 𝟏𝟏: ∫ 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒗 𝒅𝒗 = 𝒕𝒂𝒏 𝒗 + 𝑪 𝐀: ∫ 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝟓𝐱 𝐝𝒙 CAMBIO DE VARIABLE 𝑢 = 5x 𝑑𝑢 = 5 𝑑𝑥 𝑑𝑢 1 𝑑𝑥 = = 5 5 ∫ 𝑠𝑒𝑐 2 5x 𝑑𝑥 = ∫ 𝑠𝑒𝑐 2 (u)

1 1 = ∫ 𝑠𝑒𝑐 2 (u) 5 5

𝒇𝒐𝒓𝒎𝒖𝒍𝒂 𝒂 𝒆𝒎𝒑𝒍𝒆𝒂𝒓 (𝟏𝟏) ∫ 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒗 𝒅𝒗 = 𝒕𝒂𝒏 𝒗 + 𝑪 1 1 1 ∫ 𝑠𝑒𝑐 2 (u) = tan(𝑢) 𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑦𝑒𝑛𝑑𝑜 = tan(5𝑥) + 𝐶 5 5 5 𝐁: ∫ 𝒔𝒆𝒄𝟐 (𝟑𝐲) 𝐝𝒚 + ∫ 𝒔𝒆𝒄𝟐 (𝟑𝐲) 𝐝𝒚 ∫ 𝑠𝑒𝑐 2 (3y)d𝑦 + ∫ 𝑠𝑒𝑐 2 (3y) d𝑦 = 2 ∫ 𝑠𝑒𝑐 2 (3y) d𝑦 CAMBIO DE VARIABLE 𝑢 = 3y 𝑑𝑢 = 3 𝑑𝑦 𝑑𝑢 1 𝑑𝑦 = = 3 3 2 ∫ 𝑠𝑒𝑐 2 (3y)d𝑦 = 2 ∫ 𝑠𝑒𝑐 2 (u)

1 1 2 = 2 ( ) ∫ 𝑠𝑒𝑐 2 (u) = ∫ 𝑠𝑒𝑐 2 (u) 3 3 3

𝒇𝒐𝒓𝒎𝒖𝒍𝒂 𝒂 𝒆𝒎𝒑𝒍𝒆𝒂𝒓 (𝟏𝟏) ∫ 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒗 𝒅𝒗 = 𝒕𝒂𝒏 𝒗 + 𝑪 2 2 2 ∫ 𝑠𝑒𝑐 2 (u) = tan 𝑢 + 𝐶 𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑦𝑒𝑛𝑑𝑜 = tan(3𝑦) + 𝐶 3 3 3

𝟏𝟐: ∫ 𝒄𝒔𝒄𝟐 𝒗 𝒅𝒗 = −𝒄𝒕𝒈 𝒗 + 𝑪 𝐀: ∫ 𝒄𝒔𝒄𝟐 (𝟗𝒙)𝒅𝒙 CAMBIO DE VARIABLE 𝑢 = 9𝑥 du = 9𝑑𝑥 𝑑𝑢 1 𝑑𝑥 = = 9 9

1 1 ∫ 𝑐𝑠𝑐 2 (9𝑥 )𝑑𝑥 = ∫ csc 2 (𝑢) = ∫ csc 2 (𝑢) 9 9 𝒇𝒐𝒓𝒎𝒖𝒍𝒂 𝒂 𝒆𝒎𝒑𝒍𝒆𝒂𝒓 (𝟏𝟐) ∫ 𝒄𝒔𝒄𝟐 𝒗 𝒅𝒗 = −𝒄𝒕𝒈 𝒗 + 𝑪 1 1 1 ∫ csc 2 (𝑢) = − ctg(𝑢) + 𝐶 = − ctg(𝑢) + 𝐶 𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑦𝑒𝑛𝑑𝑜 9 9 9 𝟏 = − ctg(9𝑥 ) + 𝐶 𝟗 𝐁: ∫ 𝟐 𝒄𝒔𝒄𝟐 (𝟓𝒙)𝒅𝒙 ∫ 2 𝑐𝑠𝑐 2 (5𝑥 )𝑑𝑥 = 2 ∫ 𝑐𝑠𝑐 2 (5𝑥 )𝑑𝑥 CAMBIO DE VARIABLE 𝑢 = 5𝑥 du = 5𝑑𝑥 𝑑𝑢 1 𝑑𝑥 = = 5 5 2 ∫ 𝑐𝑠𝑐 2 (5𝑥 )𝑑𝑥 = 2 ∫ 𝑐𝑠𝑐 2 (u)

1 1 2 = 2 ( ) ∫ 𝑐𝑠𝑐 2 (u) = ∫ 𝑐𝑠𝑐 2 (u) 5 5 5

𝒇𝒐𝒓𝒎𝒖𝒍𝒂 𝒂 𝒆𝒎𝒑𝒍𝒆𝒂𝒓 (𝟏𝟐) ∫ 𝒄𝒔𝒄𝟐 𝒗 𝒅𝒗 = −𝒄𝒕𝒈 𝒗 + 𝑪 2 2 2 2 ∫ 𝑐𝑠𝑐 2 (u) = − ctgu + C = − ctg u + C 𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑦𝑒𝑛𝑑𝑜 = − ctg 5x + C 5 5 5 5

𝟏𝟑: ∫ 𝒔𝒆𝒄 𝒗 𝒕𝒂𝒏 𝒗 𝒅𝒗 = 𝒔𝒆𝒄 𝒗 + 𝑪 𝐴: ∫

𝒔𝒆𝒄 𝒙 𝒕𝒂𝒏𝒈 𝒙

𝒅𝒙 =

1

∫ 𝑠𝑒𝑐 𝑥 𝑡𝑎𝑛𝑔 𝑥 𝑑𝑥 =

1

sec 𝑥 + 𝐶 √𝟐 √2 √2 B: ∫ 𝟓𝒔𝒆𝒄 𝒙 𝒕𝒂𝒏 𝒙 𝒅𝒙 + ∫ 𝟐𝒔𝒆𝒄 𝒙 𝒕𝒂𝒏 𝒙 𝒅𝒙 = 7 ∫ 𝑠𝑒𝑐 𝑥 𝑡𝑎𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = 7 𝑠𝑒𝑐 𝑥 + 𝐶 𝟏𝟒: ∫ 𝒄𝒔𝒄 𝒗 𝒄𝒕𝒈 𝒗 𝒅𝒗 = −𝒄𝒔𝒄 𝒗 + 𝑪 𝟑

𝐴: ∫ √𝟒 𝒄𝒔𝒄 𝒙 𝒄𝒕𝒈 𝒙 𝒅𝒙 =

1 43 ∫ csc 𝑥

=

1 −43 csc 𝑥

𝑐𝑡𝑔𝑥 𝑑𝑥 =

1 43

− 𝑐𝑠𝑐 𝑥 + 𝐶

+ 𝐶 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 −

1 2 3 (2 ) csc 𝑥

+𝐶 =

2 −23 csc 𝑥

+𝐶

𝐵: ∫ 𝟐𝟒 𝒄𝒔𝒄 𝒚 𝒄𝒕𝒈 𝒙 𝒅𝒚 − ∫ 𝟏𝟒 𝒄𝒔𝒄 𝒚 𝒄𝒕𝒈 𝒙 𝒅𝒚 = ∫ 10 csc 𝑦 𝑐𝑡𝑔𝑦 𝑑𝑦 = = 10 ∫ csc 𝑦 𝑐𝑡𝑔𝑦 𝑑𝑦 = 10 − 𝑐𝑠𝑐 𝑥 + 𝐶 = −10 csc 𝑥 + 𝐶

𝟏𝟓: ∫ 𝒕𝒂𝒏 𝒗 𝒅𝒗 = −𝒍𝒏 ⎸𝒄𝒐𝒔 𝒗 ⎸ + 𝑪 = 𝒍𝒏 ⎸𝒔𝒆𝒄 𝒗 ⎸ + 𝑪 𝐀: ∫ 𝐭𝐚𝐧(𝟐𝟒𝒙) 𝒅𝒙 CAMBIO DE VARIABLE u=24x du=24dx 𝑑𝑢 1 𝑑𝑥 = = 24 24

1 1 ∫ tan(24𝑥) 𝑑𝑥 = ∫ tan(𝑢) = ∫ tan(𝑢) 𝑑𝑥 24 24 Formula a emplear (15) ∫ 𝒕𝒂𝒏 𝒗 𝒅𝒗 = −𝒍𝒏 ⎸𝒄𝒐𝒔 𝒗 ⎸ + 𝑪 = 𝒍𝒏 ⎸𝒔𝒆𝒄 𝒗 ⎸ + 𝑪 1 ∫ tan(𝑢) 𝑑𝑥 24 1 1 = − ln ⎸cos(𝑢) ⎸ + 𝐶 = − ln ⎸ cos(𝑢) ⎸ + 𝐶 𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑦𝑒𝑛𝑑𝑜 = 24 24 1 − ln ⎸ cos(24𝑥 ) ⎸ + 𝐶 24

𝐁: ∫ √𝟏𝟎 𝒕𝒂𝒏(𝟐𝟒𝒙)𝒅𝒙 ∫ √10 𝑡𝑎𝑛(24𝑥)𝑑𝑥 = √10 ∫ 𝑡𝑎𝑛(24𝑥)𝑑𝑥 = √10 ∫ 𝑡𝑎𝑛(24𝑥)𝑑𝑥 CAMBIO DE VARIABLE u=24x du=24dx 𝑑𝑢 1 𝑑𝑥 = = 24 24 1 1 √10 √10 ∫ 𝑡𝑎𝑛(𝑢) = √10( ) ∫ 𝑡𝑎𝑛(𝑢) = ( ) ∫ 𝑡𝑎𝑛(𝑢) 24 24 24 Formula a emplear (15) ∫ 𝒕𝒂𝒏 𝒗 𝒅𝒗 = −𝒍𝒏 ⎸𝒄𝒐𝒔 𝒗 ⎸ + 𝑪 = 𝒍𝒏 ⎸𝒔𝒆𝒄 𝒗 ⎸ + 𝑪 √10 √10 ( ) ∫ 𝑡𝑎𝑛(𝑢) = − 𝒍𝒏 ⎸𝒄𝒐𝒔 𝒖 ⎸ + 𝑪 24 24 √10 =− 𝑙𝑛 ⎸𝑐𝑜𝑠 𝑢 ⎸ + 𝐶 𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑦𝑒𝑛𝑑𝑜 24 √10 =− 𝑙𝑛 ⎸𝑐𝑜𝑠 24𝑥 ⎸ + 𝐶 24 𝟏𝟔: ∫ 𝑪𝒕𝒈 𝒗 𝒅𝒗 = 𝒍𝒏 ⎸𝑺𝒆𝒏 𝒗 ⎸ + 𝑪 𝐀: ∫ 𝐂𝐨𝐭(𝟓𝒙) 𝒅𝒙 CAMBIO DE VARIABLE u=5x du=5dx 𝑑𝑢 1 𝑑𝑥 = = 5 5 1 1 ∫ Cot(5𝑥 ) 𝑑𝑥 = ∫ Cot(𝑢) = ∫ Cot(𝑢) 5 5 𝐟𝐨𝐫𝐦𝐮𝐥𝐚 𝐚 𝐞𝐦𝐩𝐥𝐞𝐚𝐫 (𝟏𝟔) ∫ 𝒄𝒐𝒕 𝒗 𝒅𝒗 = 𝒍𝒏 ⎸𝒔𝒆𝒏 𝒗 ⎸ + 𝑪 1 1 1 ∫ Cot(𝑢) = ln ⎸𝑆𝑒𝑛 (𝑢) ⎸𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑦𝑒𝑛𝑑𝑜 = ln ⎸𝑆𝑒𝑛(5𝑥 ) ⎸ + 𝐶 5 5 5

𝐁: ∫ 𝟏𝟎 𝐂𝐨𝐭(𝟖𝒙) 𝒅𝒙 CAMBIO DE VARIABLE u=8x du=8dx 𝑑𝑢 1 𝑑𝑥 = = 8 8

1 1 ∫ 10 Cot(8𝑥 ) 𝑑𝑥 = ∫ Cot(8𝑥 ) 10 𝑑𝑥 = ∫ Cot(u) 10 ( ) = 10 ( ) ∫ Cot(u) 8 8 10 5 = ( ) ∫ Cot(u) = ( ) ∫ Cot(u) 8 4 𝐟𝐨𝐫𝐦𝐮𝐥𝐚 𝐚 𝐞𝐦𝐩𝐥𝐞𝐚𝐫 (𝟏𝟔) ∫ 𝒄𝒐𝒕 𝒗 𝒅𝒗 = 𝒍𝒏 ⎸𝒔𝒆𝒏 𝒗 ⎸ + 𝑪 5 5 5 ∫ Cot(u) = ln ⎸𝑆𝑒𝑛 (𝑢) ⎸𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑦𝑒𝑛𝑑𝑜 = ln ⎸𝑆𝑒𝑛(8𝑥 ) ⎸ + 𝐶 4 4 4

𝟏𝟕: ∫ 𝒔𝒆𝒄 𝒗 𝒅𝒗 = 𝒍𝒏 ⎸𝑺𝒆𝒄 𝒗 + 𝑻𝒂𝒏 𝒗 ⎸ + 𝑪 𝑨: ∫ 𝐒𝐞𝐜(𝟏𝟗𝒙) 𝒅𝒙 CAMBIO DE VARIABLE u=19x du=19dx 𝑑𝑢 1 𝑑𝑥 = = 19 19

1 1 = ∫ Sec(u) 19 19 Formula a emplear (17) ∫ 𝑺𝒆𝒄 𝒗 𝒅𝒗 = 𝒍𝒏 ⎸𝑺𝒆𝒄 𝒗 + 𝑻𝒂𝒏 𝒗 ⎸ + 𝑪 1 1 ∫ Sec(u) = ln ⎸ Sec(𝑢) + 𝑇𝑎𝑛(𝑢) ⎸ + 𝐶 𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑦𝑒𝑛𝑑𝑜 19 19 1 = ln ⎸𝑆𝑒𝑐 (19𝑥 ) + Tan(19𝑥) ⎸ + 𝐶 19 ∫ Sec(19𝑥 ) 𝑑𝑥 = ∫ Sec(u)

𝑩: ∫ 𝟏𝟗 𝐬𝐞𝐜(𝟏𝟗𝒙) 𝒅𝒙 CAMBIO DE VARIABLE u=19x du=19 dx ∫ 19 Sec(19𝑥 ) 𝑑𝑥 = ∫ Sec(19𝑥 ) 19 𝑑𝑥 = ∫ Sec(u) 𝑑𝑢 Formula a emplear (17) ∫ 𝑺𝒆𝒄 𝒗 𝒅𝒗 = 𝒍𝒏 ⎸𝑺𝒆𝒄 𝒗 + 𝑻𝒂𝒏 𝒗 ⎸ + 𝑪 ∫ Sec(u) = ln ⎸ Sec(𝑢) + 𝑇𝑎𝑛(𝑢) ⎸ + 𝐶 𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑦𝑒𝑛𝑑𝑜 = ln ⎸𝑆𝑒𝑐 (19𝑥 ) + Tan(19𝑥) ⎸ + 𝐶 𝟏𝟖: ∫ 𝒄𝒔𝒄 𝒗 𝒅𝒗 = 𝒍𝒏 ⎸𝒄𝒔𝒄 𝒗 − 𝒄𝒕𝒈 𝒗 ⎸ + 𝑪 𝑨: ∫ 𝐂𝐬𝐜 (𝟑𝟎𝒙) 𝒅𝒙 CAMBIO DE VARIABLE u=30x du=30dx 𝑑𝑢 1 𝑑𝑥 = = 30 30 ∫ Csc (30𝑥 ) 𝑑𝑥 = ∫ Csc (u)

1 30

𝐟𝐨𝐫𝐦𝐮𝐥𝐚 𝐚 𝐞𝐦𝐩𝐥𝐞𝐚𝐫 (𝟏𝟖) ∫ 𝑪𝒔𝒄 𝒗 𝒅𝒗 = 𝒍𝒏 ⎸𝑪𝒔𝒄 𝒗 − 𝑪𝒕𝒈 𝒗 ⎸ + 𝑪 ∫ Csc (u)

1 1 1 = ∫ Csc (u) = 𝑙𝑛 ⎸𝐶𝑠𝑐 𝑢 − 𝐶𝑡𝑔 𝑢 ⎸ + 𝐶 𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑦𝑒𝑛𝑑𝑜 30 30 30 1 = 𝑙𝑛 ⎸𝐶𝑠𝑐 (30𝑥) − 𝐶𝑡𝑔 (30𝑥) ⎸ + 𝐶 30

𝑩: ∫ 𝟏𝟓 𝐂𝐬𝐜 (𝟑𝟎𝒙) 𝒅𝒙 CAMBIO DE VARIABLE u=30x

du=30dx 𝑑𝑢 1 𝑑𝑥 = = 30 30 ∫ 15 Csc (30x) 𝑑𝑥 = ∫ Csc (30x) 15 𝑑𝑥 = ∫ Csc (u) 15 ( = 15 (

1 ) 30

1 15 1 ) ∫ Csc (u) = ∫ Csc (u) = ∫ Csc (u) 30 30 2

𝐟𝐨𝐫𝐦𝐮𝐥𝐚 𝐚 𝐞𝐦𝐩𝐥𝐞𝐚𝐫 (𝟏𝟖) ∫ 𝒄𝒔𝒄 𝒗 𝒅𝒗 = 𝒍𝒏 ⎸𝒄𝒔𝒄 𝒗 − 𝒄𝒕𝒈 𝒗 ⎸ + 𝑪 1 1 ∫ Csc (u) = 𝑙𝑛 ⎸𝐶𝑠𝑐 𝑢 − 𝐶𝑡𝑔 𝑢 ⎸ + 𝐶 𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑦𝑒𝑛𝑑𝑜 2 2 1 = 𝑙𝑛 ⎸𝐶𝑠𝑐 (30𝑥) − 𝐶𝑡𝑔 (30𝑥) ⎸ + 𝐶 2