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• Andres Felipe

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TALLER INTEGRAL 1. Resuelva cada una de las integrales usando el método de integración por partes: a. ∫ 𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥. Sea 𝑢 = 𝑥 y 𝑑𝑣 = cos 𝑥 𝑑𝑥. Entonces 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥, 𝑣 = sin 𝑥 y por tanto: ∫ 𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 sin 𝑥 − ∫ sin 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 sin 𝑥 − (− cos 𝑥) + 𝐶 = 𝑥 sin 𝑥 + cos 𝑥 + 𝐶. b. ∫ 𝑥 2 ln 𝑥 𝑑𝑥. 1 𝑥

Sea 𝑢 = ln 𝑥 y 𝑑𝑣 = 𝑥 2 𝑑𝑥 entonces 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 y 𝑣 =

𝑥3 . 3

Por tanto,

𝑥3 𝑥3 1 ln 𝑥 − ∫ 𝑑𝑥 3 3 𝑥 𝑥3 1 = ln 𝑥 − ∫ 𝑥 2 𝑑𝑥 3 3 𝑥3 1 𝑥3 = ln 𝑥 − +𝐶 3 3 3 𝑥3 𝑥3 = ln 𝑥 − + 𝐶 3 9 3 𝑥 = (3 ln 𝑥 − 1) + 𝐶. 9

∫ 𝑥 2 ln 𝑥 𝑑𝑥 =

c. ∫ 𝑥 2 𝑒 𝑥 𝑑𝑥.

Sea 𝑢 = 𝑥 2 y 𝑑𝑣 = 𝑒 𝑥 𝑑𝑥. Entonces 𝑑𝑢 = 2𝑥 𝑑𝑥 y 𝑣 = 𝑒 𝑥 , por tanto, ∫ 𝑥 2 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 2 𝑒 𝑥 − ∫ 2𝑥𝑒 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 2 𝑒 𝑥 − 2 ∫ 𝑥𝑒 𝑥 𝑑𝑥. Ahora tome 𝑢 = 𝑥 y 𝑑𝑣 = 𝑒 𝑥 𝑑𝑥. Con esto se obtiene 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥, 𝑣 = 𝑒 𝑥 y fialmente ∫ 𝑥 2 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 2 𝑒 𝑥 − 2 (𝑥𝑒 𝑥 − ∫ 𝑒 𝑥 𝑑𝑥) = 𝑥 2 𝑒 𝑥 − 2(𝑥𝑒 𝑥 − 𝑒 𝑥 ) + 𝐶 = 𝑥 2 𝑒 𝑥 − 2𝑥𝑒 𝑥 + 2𝑒 𝑥 + 𝐶. 2. Usando integración trigonométrica, resuelva cada integral: a. ∫ sin3 2𝑥 cos 2 2𝑥 𝑑𝑥 ∫ sin3 2𝑥 cos 2 2𝑥 𝑑𝑥 = ∫ sin2 2𝑥 cos 2 2𝑥 sin 2𝑥 𝑑𝑥

= ∫(1 − cos2 2𝑥) cos2 2𝑥 sin 2𝑥 𝑑𝑥 Sea 𝑢 = cos 2𝑥 entonces 𝑑𝑢 = −2 sin 2𝑥 𝑑𝑥 y, 1 ∫ sin3 2𝑥 cos2 2𝑥 𝑑𝑥 = − ∫(1 − 𝑢2 )𝑢2 𝑑𝑢 2

1 ∫ sin3 2𝑥 cos2 2𝑥 𝑑𝑥 = − ∫(𝑢2 − 𝑢4 ) 𝑑𝑢 2 1 𝑢3 𝑢5 = − ( − )+𝐶 2 3 5 1 1 = − cos3 2𝑥 + cos5 2𝑥 + 𝐶 6 10 sin 𝑥

b. ∫ (1−cos 2 𝑑𝑥 𝑥) Sea 𝑢 = cos 𝑥, luego 𝑑𝑢 = − sin 𝑥 𝑑𝑥 y entonces, sin 𝑥 −𝑑𝑢 𝑑𝑥 = ∫ 2 (1 − cos 𝑥) (1 − 𝑢)2

∫

Si 𝑧 = 1 − 𝑢 se sigue que 𝑑𝑧 = −𝑑𝑢 y se obtiene: ∫

sin 𝑥 𝑑𝑧 𝑑𝑥 = ∫ 2 = ∫ 𝑧 −2 𝑑𝑧 = −𝑧 −1 + 𝐶. 2 (1 − cos 𝑥) 𝑧

Devolviéndonos a la variable original, se tiene: ∫

sin 𝑥 1 𝑑𝑥 = − +𝐶 2 (1 − cos 𝑥) 1−𝑢 =

1 + 𝐶. cos 𝑥 − 1

√tan 𝑥

c. ∫ sin 𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥. √tan 𝑥 √tan 𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 𝑑𝑥 sin 𝑥 sin 𝑥 cos 𝑥 2𝑥 cos cos 𝑥 √tan 𝑥 =∫ sec 2 𝑥 𝑑𝑥 tan 𝑥 1 =∫ sec 2 𝑥 𝑑𝑥 √tan 𝑥 Sea 𝑢 = tan 𝑥 entonces 𝑑𝑢 = sec 2 𝑥 𝑑𝑥. ∫

∫

1 √tan 𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 𝑑𝑢 sin 𝑥 cos 𝑥 √𝑢 = 2∫

1

𝑑𝑢 2√𝑢 = 2√𝑢 + 𝐶 = 2√tan 𝑥 + 𝐶. 3. Aplicando el método de sustitución trigonométrica, resuelva las siguientes integrales: 1

a. ∫ 2 2 2 𝑑𝑥. 𝑥 √𝑎 −𝑥 Sea 𝑥 = 𝑎 sin 𝜃 entonces 𝑑𝑥 = 𝑎 cos 𝜃 𝑑𝜃 y sustituyendo en la integral

∫

1 𝑥 2 √𝑎2 − 𝑥 2

1

𝑑𝑥 = ∫

1

𝑎 cos 𝜃 𝑑𝜃 𝑎2 sin2 𝜃 √𝑎2 − 𝑎2 sin2 𝜃 1 =∫ 𝑎 cos 𝜃 𝑑𝜃 2 2 𝑎 sin 𝜃 𝑎√1 − sin2 𝜃 𝑎 cos 𝜃 = 3∫ 2 𝑑𝜃 𝑎 sin 𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃 1 = 2 ∫ csc 2 𝜃 𝑑𝜃 𝑎 1 = − 2 cot 𝜃 + 𝐶 𝑎 1 cos 𝜃 =− 2 +𝐶 𝑎 sin 𝜃 1 √𝑎2 − 𝑥 2 =− 2 +𝐶 𝑎 𝑥

b. ∫ 2 2 𝑑𝑥. 𝑎 +𝑥 Sea 𝑥 = 𝑎 tan 𝜃, entonces 𝑑𝑥 = 𝑎 sec 2 𝜃 𝑑𝜃. Así, 1 1 ∫ 2 𝑑𝑥 = ∫ 2 𝑎 sec 2 𝜃 𝑑𝜃 2 𝑎 +𝑥 𝑎 + 𝑎2 tan2 𝜃 =

𝑎 sec 2 𝜃 ∫ 𝑑𝜃 𝑎2 1 + tan2 𝜃

=

1 sec 2 𝜃 ∫ 𝑑𝜃 𝑎 sec 2 𝜃

=

1 ∫ 𝑑𝜃 𝑎

=

1 𝜃 + 𝐶. 𝑎

𝑥

Claramente 𝜃 = arctan (𝑎), por tanto, ∫ c. ∫

𝑎2

1 1 𝑥 𝑑𝑥 = arctan ( ) + 𝐶. 2 +𝑥 𝑎 𝑎

√𝑥 2 −𝑎2 𝑑𝑥. 𝑥

Sea 𝑥 = 𝑎 sec 𝜃, entonces 𝑑𝑥 = 𝑎 sec 𝜃 tan 𝜃 𝑑𝜃. Reemplazando en la integral, ∫

√𝑥 2 − 𝑎2 √𝑎2 sec 2 𝜃 − 𝑎2 𝑑𝑥 = ∫ 𝑎 sec 𝜃 tan 𝜃 𝑑𝜃 𝑥 𝑎 sec 𝜃 = ∫ 𝑎√sec 2 𝜃 − 1 tan 𝜃 𝑑𝜃 = 𝑎 ∫ tan 𝜃 tan 𝜃 𝑑𝜃 = 𝑎 ∫ tan2 𝜃 𝑑𝜃

Como tan2 𝜃 = sec 2 𝜃 − 1, se obtiene ∫

√𝑥 2 − 𝑎2 𝑑𝑥 = 𝑎 (∫ sec 2 𝜃 𝑑𝜃 − ∫ 𝑑𝜃) = 𝑎(tan 𝜃 − 𝜃) + 𝐶 𝑥

Devolviendo a la variable original, ∫

√𝑥 2 − 𝑎2 √𝑥 2 − 𝑎2 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑎 ( − arcsec ( )) + 𝐶 𝑥 𝑎 𝑎 𝑥 = √𝑥 2 − 𝑎2 − 𝑎 arcsec ( ) + 𝐶 𝑎

4. Resuelva cada una de las siguientes integrales usando fracciones parciales 𝑥

a. ∫ 𝑥+1 𝑑𝑥 ∫

b. ∫

𝑥 𝑥+1−1 𝑑𝑥 = ∫ 𝑑𝑥 𝑥+1 𝑥+1 𝑥+1 1 = ∫( − ) 𝑑𝑥 𝑥+1 𝑥+1 1 = ∫ (1 − ) 𝑑𝑥 𝑥+1 1 = ∫ 𝑑𝑥 − ∫ 𝑑𝑥 𝑥+1 = 𝑥 − ln(𝑥 + 1) + 𝐶

𝑥 3 +1 𝑑𝑥 𝑥−2

∫

𝑥3 + 1 𝑥3 − 8 + 9 𝑑𝑥 = ∫ 𝑑𝑥 𝑥−2 𝑥−2 (𝑥 − 2)(𝑥 2 + 2𝑥 + 4) − 9 =∫ 𝑑𝑥 𝑥−2 9 = ∫ (𝑥 2 + 2𝑥 + 4 − ) 𝑑𝑥 𝑥−2 𝑥3 1 = + 𝑥 2 + 4𝑥 − 9 ∫ 𝑑𝑥 3 𝑥−2 𝑥3 = + 𝑥 2 + 4𝑥 − 9 ln(𝑥 − 2) + 𝐶 3

𝑥 3 +1

c. ∫ (𝑥+2)(𝑥−1)3 𝑑𝑥. 𝑥3 + 1 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 = + + + (𝑥 + 2)(𝑥 − 1)3 𝑥 + 2 𝑥 − 1 (𝑥 − 1)2 (𝑥 − 1)3 𝑥 3 + 1 = 𝐴(𝑥 − 1)3 + 𝐵(𝑥 + 2)(𝑥 − 1)2 + 𝐶(𝑥 + 2)(𝑥 − 1) + 𝐷(𝑥 + 2) 𝑥 3 + 1 = (𝐴 + 𝐵)𝑥 3 + (−3𝐴 + 𝐶)𝑥 2 + (3𝐴 − 3𝐵 + 𝐶 + 𝐷)𝑥 − 𝐴 + 2𝐵 − 2𝐶 + 2𝐷 Por tanto, 𝐴+𝐵 =1 −3𝐴 + 𝐶 = 0 { 3𝐴 − 3𝐵 + 𝐶 + 𝐷 = 0 −𝐴 + 2𝐵 − 2𝐶 + 2𝐷 = 1 Y resolviendo el sistema:

7 20 7 2 ,𝐵 = ,𝐶 = ,𝐷 = . 27 27 9 3 Entonces la integral queda determinada por, 𝑥3 + 1 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 ∫ 𝑑𝑥 = ∫ ( + + + ) 𝑑𝑥 (𝑥 + 2)(𝑥 − 1)3 𝑥 + 2 𝑥 − 1 (𝑥 − 1)2 (𝑥 − 1)3 7 1 20 1 7 1 2 1 = ∫ 𝑑𝑥 + ∫ 𝑑𝑥 + ∫ + ∫ 𝑑𝑥 2 (𝑥 (𝑥 27 𝑥 + 2 27 𝑥 − 1 9 − 1) 3 − 1)3 7 20 7 1 = ln(𝑥 + 2) + ln(𝑥 − 1) − (𝑥 − 1)−1 − (𝑥 − 1)−2 + 𝐶 27 27 9 3 7 20 7 1 1 1 = ln(𝑥 + 2) + ln(𝑥 − 1) − − +𝐶 27 27 9 𝑥 − 1 3 (𝑥 − 1)2 𝐴=