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INTEGRADOR DE ECUACIONES DIFERENCIALES CIRCUITO ELETRICO CON TRANSFORMACION DE LAPLACE Diego Fernando Cedillo Arévalo; Jaime Andrés Sancho Taday Martha Catalina Ortiz Mora

[email protected]; [email protected] [email protected] Universidad Politécnica Salesiana - Sede Cuenca Resumen:

En el presente informe detallaremos la implementación de un circuito RLC en serie con valores reales de sus elementos y fuente de tensión, para lograr esto aplicaremos los conocimientos aprendidos como la transformada de Laplace, para ser comprobado con la ayuda de software matemático. Finalmente comparamos los gráficos y con las ecuaciones obtenidas para analizar su comportamiento, determinar la amplitud de corriente estable y el tiempo relativo en el que se estabiliza la corriente. Abstract: For this report we will detail the implementation of a RLC series circuit, with real values of its elements and the voltage source, for this we will apply the knowledge learned such as the Laplace, and check it with mathematical software, imposing our initial values. Finally we compare the graphs and charts with the equations obtained to analyze its behavior, stable current amplitude and the relative time when the current stabilizes.

Palabras Claves: Ley de enfriamiento de Newton, Hipótesis, ecuaciones de primer orden, transformación de Laplace.

una F(s). A continuación definiremos la Transformada de Laplace como: ∞

𝑙{(𝑡)} = 𝐹(𝑠) = ∫ 𝑒 −𝑠𝑡 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 0

El símbolo 𝑙 denota el operador Transformada de Laplace, donde s es una variable compleja y 𝑒−𝑠𝑡 es llamado el núcleo de la transformación. 

CIRCUITOS ELECTRICOS RLC

Los circuitos RLC están constituidos por un resistor R (medida en ohm ߗ), un capacitor C (medido en faradios F) y un inductor L (medida en Henry H). Otras variable asociadas a los circuitos RLC son la corriente i(t),medida en ampere, la tensión v(t) medida en volts y el flujo de corriente está relacionado con la carga q (medida en Coulomb) mediante la relación:

Objetivo General: 𝑖(𝑡) = Aplicar ecuaciones diferenciales en un modelo físico (Circuito RLC). Objetivos Específicos: Resolver mediante Laplace el circuito RLC. Aplicar sistemas de ecuaciones diferenciales en la resolución del circuito planteado.

I. INTRODUCCIÓN. En este trabajo se realiza la solución de la ecuación diferencial que modela el sistema de un circuito RLC serie y se calcula el voltaje en el condensador, la corriente que circula por el circuito, simular el circuito y se realiza la gráfica en función del tiempo para la misma, todo esto se va realizar con un voltaje de la fuente igual a cero, con un voltaje de la fuente igual a una constante y con una fuente igual a un coseno de wt.

II. MARCO TEÓRICO. La Transformada de Laplace es muy utilizada en la rama de la ingeniería sobre todo para la resolución de ecuaciones diferenciales y circuitos eléctricos, ya que dichos circuitos y la Transformada de Laplace se nutren de condiciones iniciales para ser resueltos o para reducir la complejidad de sus ecuaciones. La Transformada de Laplace toma una función ƒ(t), que utiliza como variable al tiempo t, para transformarla en

𝑑𝑞 𝑑𝑡

Los tres elementos tienen un variable en común que es la corriente. Cada uno de estos elementos se puede relacionar mediante las Leyes de Kirchhoff que enunciaremos a continuación: A. 1ªLEY: La suma de todas las corrientes que entran en un nodo, en un circuito, es cero.

B. 2ªLEY: La suma de las caídas de tensión de cada elemento en un lazo cerrado, en un circuito, es cero. Las caídas de tensión en cada elemento son: • En el resistor 𝑣(𝑡) = 𝑖𝑅. 1

• En el capacitor 𝑣(𝑡) = ∫ 𝑖(𝑡)𝑑𝑡 𝑐 • En el inductor 𝑣(𝑡) = 𝐿

𝑑𝑖 𝑑𝑡

Utilizando estas leyes, principalmente la segunda ley de Kirchhoff, la Transformada de Laplace, la anti transformada y teniendo en cuenta las condiciones iniciales del circuito se puede proceder a resolver o simplemente analizar un circuito RLC.

III. DESARROLLO 1.

CON V=0 ESTABLECER LA ECUACION QUE MODELA EL SISTEMA

𝑉𝑐 =

𝑞 𝑐

𝑞 = 0.01078 𝑞′ = 0 0.648ℒ{𝑞 ′′ }(𝑠) + 10ℒ{𝑞 ′ }(𝑠) + 9090.9ℒ{𝑞}(𝑠) = 0 ℒ{0.648𝑞 ′′ }(𝑠) = 𝑠 2 𝑄(𝑠) − 𝑠𝑞(0) − 𝑞′(0)

PRIMERA PARTE:

ℒ{0.648𝑞 ′′ }(𝑠) = 𝑠 2 𝑄(𝑠) − 0.01078𝑠 ℒ{0.648𝑞 ′′ }(𝑠) = 0.648𝑠 2 𝑄(𝑠) − 0.00698544𝑠 ℒ{10𝑞 ′ }(𝑠) = 𝑠𝑄(𝑠) − 𝑞(0) ℒ{10𝑞 ′ }(𝑠) = 10𝑠𝑄(𝑠) − 0.1078 ℒ{9090.9𝑞 }(𝑠) = 9090.9𝑄(𝑠) 0.648𝑠 2 𝑄(𝑠) − 0.00698544𝑠 + 10𝑠𝑄(𝑠) − 0.1078𝑠 + 9090.9𝑄(𝑠) = 0 Condiciones iniciales: 𝑉𝑜 𝐶 = 98𝑉

𝑄(𝑠)[0.648𝑠 2 + 10𝑠 + 9090.9] = 0.00698544𝑠 + 0.1078

𝐼𝑜 𝐿 = 10𝐴 a)

Establecer la ecuación diferencial que modela el sistema Aplicando las leyes de Kirchhoff tenemos que: 𝑉𝐿 + 𝑉𝑅 + 𝑉𝐶 = 0 𝑑𝐼 𝑞 𝐿 + 𝐼𝑅 + = 0 𝑑𝑡 𝑐 𝑑2𝑞 𝑑𝑞 𝑞 𝐿 2 +𝑅 + =0 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑐 𝑞 𝐿 𝑞 ′′ + 𝑅𝑞 ′ + = 0 𝑐

𝑄(𝑠) =

0.00698544𝑠 + 0.1078 0.648𝑠 2 + 10𝑠 + 9090.9

Calculamos la transformada inversa para dejar en función de t la ecuación.

ℒ −1 {

0.00698544𝑠 + 0.1078 } (𝑡) = 0.648𝑠 2 + 10𝑠 + 9090.9 𝑞(𝑡) =

Remplazando los valores de los elementos del circuito tenemos que: 0.648𝑞 ′′ + 10𝑞 ′ +

𝑞 =0 110 × 10−6

𝟎. 𝟔𝟒𝟖 𝒒′′ + 𝟏𝟎𝒒′ + 𝟗𝟎𝟗𝟎. 𝟗𝒒 = 𝟎 Aplicando la transformada de Laplace tenemos: 0.648ℒ{𝑞 ′′ }(𝑠) + 10ℒ{𝑞 ′ }(𝑠) + 9090.9ℒ{𝑞}(𝑠) = 0 Calculo de las condiciones iniciales: 𝑉𝑜 𝑐 = 98𝑉

2.

CALCULAR EL VOLTAJE DEL CONDENSADOR

𝑞 𝑉𝐶 = 𝑐 100000 𝑉𝑐(0) = × 𝑞(𝑡) = 11

1048654166033965234375 cos(0) 𝑉𝑐(0) = 𝑒 0 ( + 0) = 78460508013162858213801984 1048654166033965234375 𝑉𝑐(0) = 1 ( )= 78460508013162858213801984 1048654166033965234375 𝑉𝑐(0) = ( )= 78460508013162858213801984 1048654166033965234375 𝑉𝑐(0) = 1 ( )= 78460508013162858213801984

5.

GRAFICA DE LA CORRIENTE DEL CIRCUITO RLC

Evaluando con un tiempo igual a 0 𝐼(0) = 10 𝐴

𝑉𝑐(0) = 98 𝑣 3.

GRAFICA DEL VOLTAJE EN EL CONDENSADOR

4.

CALCULAR LA CORRIENTE DEL CIRCUITO 6.

𝑞"(𝑡) =

MODELAR EL CIRCUITO EN UN SIMULADOR ELECTRONICO OBTENIEDO LAS GRAFICAS DEL VOLTAJE

7. 1)

8.

MODELAR EL CIRCUITO EN UN SIMULADOR ELECTRONICO OBTENIEDO LAS GRAFICAS DE LA CORRIENTE

CON V=K ESTABLECER LA ECUACION QUE MODELA EL SISTEMA

Condiciones iniciales: V=K V=10V 𝑉𝑜 𝐶 = 0𝑉 𝐼𝑜 𝐿 = 0𝐴 a)

Establecer la ecuación diferencial que modela el sistema Aplicando las leyes de Kirchhoff tenemos que: 𝑉𝐿 + 𝑉𝑅 + 𝑉𝐶 = 10 𝑑𝐼 𝑞 𝐿 + 𝐼𝑅 + = 10 𝑑𝑡 𝑐 𝑑2𝑞 𝑑𝑞 𝑞 𝐿 2 +𝑅 + = 10 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑐 𝑞 𝐿 𝑞 ′′ + 𝑅𝑞 ′ + = 10 𝑐

𝐴=

Remplazando los valores de los elementos del circuito tenemos que: 𝑞 0.648𝑞 + 10𝑞 + = 10 110 × 10−6 ′′

10 9090.9

A= 0.0011

′

Cuando s=1

𝟎. 𝟔𝟒𝟖 𝒒′′ + 𝟏𝟎𝒒′ + 𝟗𝟎𝟗𝟎. 𝟗𝒒 = 𝟏𝟎 Aplicando la transformada de Laplace tenemos: 0.648ℒ{𝑞 ′′ }(𝑠) + 10ℒ{𝑞 ′ }(𝑠) + 9090.9ℒ{𝑞}(𝑠) = ℒ10

𝑠(0.648𝑠 2

10 + 10𝑠 + 9090.9 𝐴(0.648𝑠 2 + 10𝑠 + 9090.9) + 𝐵(𝑠) = 𝑠(0.648𝑠 2 + 10𝑠 + 9090.9

10 = 𝐴(0.648𝑠 2 + 10𝑠 + 9090.9) + 𝐵(𝑠) 10 = 0.0011(0.648 ∗ 1 + 10 ∗ 1 + 9090.9) + 𝐵(1)

Calculo de las condiciones iniciales:

10 = 10.011 + 𝐵

𝑉𝑜 𝑐 = 𝑉 𝑞 𝑉𝑐 = 𝑐

𝐵 = 10 − 10.011 B=0.011

𝑞=0 𝑞 =0 ′

Reemplazando A y B

0.648ℒ{𝑞 ′′ }(𝑠) + 10ℒ{𝑞 ′ }(𝑠) + 9090.9ℒ{𝑞}(𝑠) = ℒ10 ℒ{0.648𝑞 ′′ }(𝑠) = 𝑠 2 𝑄(𝑠) − 𝑠𝑞(0) − 𝑞′(0)

𝑄(𝑠) =

0.0011 0.011 + 2 𝑠 (0.648𝑠 + 10𝑠 + 9090.9)

Calculamos la inversa de Laplace

ℒ{0.648𝑞 ′′ }(𝑠) = 𝑠 2 𝑄(𝑠) ℒ{0.648𝑞 ′′ }(𝑠) = 0.648𝑠 2 𝑄(𝑠) ℒ{10𝑞 ′ }(𝑠) = 𝑠𝑄(𝑠) − 𝑞(0) ℒ{10𝑞 ′ }(𝑠) = 10𝑠𝑄(𝑠) ℒ{9090.9𝑞 }(𝑠) = 9090.9𝑄(𝑠) 0.648𝑠 2 𝑄(𝑠) + 10𝑠𝑄(𝑠) + 9090.9𝑄(𝑠) =

10 𝑠

10 + 10𝑠 + 9090.9) 𝐴 𝐵 𝑄(𝑠) = + 𝑠 (0.648𝑠 2 + 10𝑠 + 9090.9) 𝑄(𝑠) =

𝑠(0.648𝑠 2

𝑠(0.648𝑠 2

10 + 10𝑠 + 9090.9 𝐴(0.648𝑠 2 + 10𝑠 + 9090.9) + 𝐵(𝑠) = 𝑠(0.648𝑠 2 + 10𝑠 + 9090.9

Cuando s=0 10 = 𝐴(0.648 ∗ 0 + 10 ∗ 0 + 9090.9) + 𝐵(0) 10=A*(9090.9)

2)

CALCULAR EL VOLTAJE DEL CONDENSADOR

Calculamos el voltaje en el condensador

3)

4)

5)

GRAFICA DE LA CORRIENTE DEL CIRCUITO RLC

6)

MODELAR EL CIRCUITO EN UN SIMULADOR ELECTRONICO OBTENIEDO LAS GRAFICAS DEL VOLTAJE

GRAFICA DEL VOLTAJE EN EL CONDENSADOR

CALCULAR LA CORRIENTE DEL CIRCUITO

Derivamos la expresión para obtener la corriente

𝜔 = 2𝜋𝑓

7)

MODELAR EL CIRCUITO EN UN SIMULADOR ELECTRONICO OBTENIEDO LAS GRAFICAS DE LA CORRIENTE

𝑓=

𝜔 2𝜋

𝑓=

571 2𝜋

𝑓 = 90.88𝐻𝑧 𝑡=

𝑡=

1 𝑓

1 90.88

𝑡 = 110𝑚𝑠 𝑡2 =

0.011 2

𝑡 = 0.00551𝑠

𝟎. 𝟔𝟒𝟖 𝒒′′ + 𝟏𝟎𝒒′ + 𝟗𝟎𝟗𝟎. 𝟗𝒒 = 𝟏𝟎𝒄𝒐𝒔(𝟓𝟕𝟏𝒕) q′′ + 15.44q′ + 14029.1666q = 15.44cos(571t) 0 ≤ t ≤ 0.00551 1.

CON V = KCos(wt) ESTABLECER LA ECUACION QUE MODELA EL SISTEMA

ℒ{𝑞 ′′ + 15.44𝑞 ′ + 14029.166𝑞} = ℒ(15.44 cos 571𝑡) ℒ{𝑞 ′′ } + 15.44ℒ{𝑞 ′ } + 14029.166ℒ{𝑞} = ℒ(15.44 cos 571𝑡)

𝑠 2 𝑄(𝑠) − 𝑠𝑞(0) − 𝑞 ′ (0)+15.44(sQ(s)q(0))+14029.1666Q(s) =

15.44𝑠 𝑠2 +32

𝑄(𝑠) = 𝑠 2 + 15.44𝑠 + 14029.1666 =

𝑄(𝑠) =

2.

𝑠2

15.44𝑠 + 326041

15.44𝑠 (𝑠 2 + 326041)(𝑠 2 + 15.44𝑠 + 14029.1666)

GRAFICA DEL VOLTAJE EN EL CONDENSADOR

5.

3.

MODELAR EL CIRCUITO EN UN SIMULADOR ELECTRONICO OBTENIEDO LAS GRAFICAS CORRIENTE

GRAFICA DE LA CORRIENTE DEL CIRCUITO RLC

IV. CONCLUSIONES

4.

MODELAR EL CIRCUITO EN UN SIMULADOR ELECTRONICO OBTENIEDO LAS GRAFICAS DEL VOLTAJE

Podemos establecer que el uso de la transformada de Laplace para la resolución de circuitos eléctricos RLC es más sencillo y fácil de aplicar, ya que en su resolución se puede aplicar las condiciones iniciales impuestas con anterioridad con el fin de solucionar la ecuación. Con la transformada de Laplace podemos analizar todo tipo de circuitos con las diferentes señales de entrada que tengamos como fuentes, que pueden ser triangulares, dientes de sierra, cuadradas, sinusoidales, etc. Ya que por el cálculo de periodo de Laplace podemos analizar y expresarlas en función de frecuencias para nuestro cálculo en simulaciones. El modelo matemático obtenido en nuestro circuito coincide con el simulado en el software derive, donde obtuvimos los diferentes graficas de los voltajes en cada elemento de nuestro circuito.

Volviendo al régimen transitorio, hemos aprendido que su forma variará en función de la ubicación de los polos de la función de red, pero hemos visto que para obtener la forma a partir de la función de red tendremos que hacer uso de una nueva herramienta matemática, la transformada de Laplace. Se debe modificar bien las escalas para las gráficas ya que al graficar el voltaje en el capacitor igualado a una fuente pareciera que este se estabilizará más sin embargo esta no es estable sino periódica

IIV. RECOMENDACIONES Se recomienda contrastar los resultados de la aplicación con datos tomados de la realidad Es necesario que se hagan ejercicios y pruebas en la aplicación de todos los posibles casos de la ley de Enfriamiento de Newton es decir realizar ejercicios de calentamiento y/o enfriamiento y observar el comportamiento inverso que presentan. Se recomienda el modelo de forma manual en papel para poder tener una idea de cómo proceder en el levantamiento de datos.

IIIV. BIBLIOGRAFIA IX. BIOGRAFIA: