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• BryanCoello

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Artificios de Integración

Integración por sustitución de una nueva variable; racionalización. De las funciones algebraicas no racionales, es decir, las que contienen radicales, no se pueden integrar en términos de funciones elementales sino unas pocas, hablando relativamente. En algunos casos, sin embargo, sustituyendo una nueva variable, estas funciones pueden transformarse en funciones equivalentes que o son racionales o se encuentran en la lista de las formas elementales ordinarias El método de integrar una función no racional, reemplazando la variable por una nueva variable de manera que el resultado sea una función racional, se llama a veces integración. por racionalización. Este es uno de los artificios más importante en la integración. Ahora vamos a tratar algunos de los casos más importantes. La dificultad del método es escoger un cambio útil, ya que, en caso contrario, la integral resultante puede ser de mayor dificultad. En la siguiente tabla se recogen los cambios de variable que tienen alta probabilidad de funcionar en las integrales que usualmente veremos:

El método de cambio de variable es un poco más complicado cuando se aplica en integrales definidas porque al cambiar la variable, deben actualizarse los extremos de integración. Por ejemplo, si los extremos de la integral inicial con variable x son 0 y 1 y la nueva variable es z=2x, entonces, los nuevos extremos serán 0 y 2. Una forma de evitar este problema es resolver primero la integral indefinida. Diferenciales que contienen solamente potencias fraccionarias de x. Una expresión que contiene solamente potencias fraccionarias de x puede transformarse en forma racional mediante la sustitución: x= zn 

Siendo n el menor denominador común de los exponentes fraccionarios de x.



En efecto, x, dx y cada radical pueden entonces expresarse racionalmente en términos de z.

EJEMPLO:

Diferenciales que contienen solamente potencias fraccionarias de a + bx. Una expresión que contiene solamente potencias fraccionarías de a + bx puede transformarse en forma racional mediante la sustitución: a + bx = zn,  

Siendo n el menor denominador común de los exponentes fraccionarios de la expresión a + bx . En efecto, x, dx y cada radical pueden entonces expresarse racionalmente en términos de z.

EJEMPLO

Diferenciales binomias. Se llaman integrales de diferenciales binomias a las integrales del tipo (1)

p

xm (a + bxn ) dx,

Siendo a y b constantes cualesquiera y los exponentes m, n, p números racionales, se llama una diferencial binomia, Hagamos:

x = zn; entonces dx = aza-1dz, y , 𝑥 𝑚 (𝑎 + 𝑏𝑥 𝑛 )𝑝 𝑑𝑥 = 𝑎𝑧 𝑚𝑎+𝑎−1 (𝑎𝑏𝑧 𝑚 )𝑝 𝑑𝑧

Si se elige un número entero a de manera que ma y na sean números enteros, * vemos que la diferencial dada es equivalente a otra de la misma forma, donde m y n se han reemplazado por números enteros, Además, la sustitución: 𝑥 𝑚 (𝑎 + 𝑏𝑥 𝑛 )𝑝 𝑑𝑥 = 𝑥 𝑚+𝑛𝑝 (𝑎𝑥 −𝑛 + 𝑏)𝑝 𝑑𝑥

Transforma la diferencial dada en otra de la misma forma, donde – n reemplaza el exponente n de x, Por tanto, cualquiera que sea el signo algebraico de n, el exponente de x dentro del paréntesis será positivo en una de las dos diferenciales. Cuando p es un número positivo, se puede desarrollar la potencia del binomio según la fórmula de Newton e integrar el diferencial término a término. En lo que sigue, p se supone una 𝒓 fracción; por tanto, la reemplazamos por: 𝒔, siendo r y s números enteros. Por consiguiente, podemos enunciar la siguiente proposición: Todo diferencial binomio. puede reducirse a la forma: 𝑟

𝑥 𝑚 (𝑎 + 𝑏𝑥 𝑛 )𝑠 𝑑𝑥

Siendo m, n, r y s números enteros, y n positivo, En el artículo siguiente demostraremos que se pueden quitar en (1) los radicales en los siguientes casos: CASO 1: cuando n

a+ bx = z

𝑚+1 𝑛

= un número entero o cero. En este caso se efectúa la sustitución

n

Siempre es posible elegir a de manera que ma y na sean números enteros, puesto que podemos tomar para valor de a el mínimo común múltiplo de los denominadores m y n En el caso de ser p un número entero no se excluye, sino que aparece como especial; a saber, r = p , s=1 EJEMPLO

CASO 2 : cuando

𝑚+1 𝑛

sustitución a+ bxn = zsxn EJEMPLO:

𝑟

+𝑠 = un número entero o cero. En este caso se efectúa la