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DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS DEPARTAMENTO DE CIENCIAS DE LA ENERGIA Y MECANICA MATEMATICA SUPERIOR 30 EJERCICIOS INTEGRACION COMPLEJA TEOREMA DE CAUCHY INTEGRANTES: FRANKLIN BRAVO ESTEBAN GUAYASAMIN CHRISTIAN MIRANDA NRC: 1511

Enunciados y respuestas ❑

1. Evalúe la integral de contorno

∫ z 2 dz c

a lo largo de la trayectoria C de -1 +j a

5+j3 y formada por dos segmentos de recta, el primero de -1 +j a 5+j y el segundo de 5+j a 5+j3. Respuesta=−4+ i

196 3 ❑

2. Demuestre que

∫ ( z+1) dz=0 c

, donde C es la frontera del cuadrado con z=0,

z=1+j0, z=1+j1 y z=0+j1. Respuesta=0 ❑

3. Evalúe la integral

∮ dz / z c

alrededor:

a) cualquier contorno que contenga en el origen; b) cualquier contorno que no contenga en el origen.

Respuestaa ¿=2 πi , b ¿=0

4. Generalice el resultado del ejemplo anterior evaluando:

❑

∮ 1z dz=0 C

Cuando n es un entero, alrededor de cualquier contorno que contenga al origen.

1 dz=¿ 0(n ≠ 1) zn ❑

Respuesta=∮ ¿ C

5. Evalúe la integral contorno

❑

2z dz ∮ (z−1)( z+ 2) C

Donde C es un contorno que incluye los tres puntos z=1, z=-2 respectivamente.

Respuesta=0

6. Evalúe la integral de contorno ❑

4

z dz ∮ (z−1) 3 C

Donde el contorno c encierra al punto z=1.

Respuesta=12 πi

7. Evaluar e2 z sen( z2 ) ∮ z −2 dz C ❑

Sobre cualquier trayectoria que no pase por 2.

Respuesta=2 πi e 4 sen (4)

❑

8. Considere

∮ (z +2)(zz −4 i) dz , C

donde C es una trayectoria cerrada que cierra a

-2 y a 4i. Evalúe esta integral usando el teorema de deformación extendido. Respuesta=2 πi

9. Usando integración de contorno, evalué:

2π

I =∫ 0

dθ 2+ cosθ

Respuesta=

2π √3

❑

10. Ejemplo 10.16 Evaluar

z +1 dz ∮ z22 +3 iz C

donde C es el circulo |z+3i|=2 de radio y

centro -3i. Respuesta=(

−2 + 4 i) π 3

❑

11. Obtener la integral:

∮ z dz −a C

:

Donde C es el círculo considerado en el esquema. Respuesta=2 πi 12. Aplicando la fórmula de cauchy, obtener las integrales: ❑

1.−∮ C

❑

2.−∮ C

z dz z −3

ez dz z2 −3 z

Sobre respectivamente los círculos de módulos |z|=5 Respuesta1=6 πi ; 2=¿−

y |z|=1

πi∗2 3

13. Siendo C el círculo del plano complejo de radio 2, calcular las integrales:

❑

ez ∮ z 2 +1 dz C

a)

❑

b)

dz ∮ zz2+2 −1 C

Respuestaa ¿=2 πi sin(1), b ¿=2 πi

14. Integrar

❑

∮ C

Sen(z ) dz z2

C: |z|=1

Respuesta=2 πi

15. Integrar ❑

e z−1 ∮ z 3 dz C

C: |z|=2

Respuesta=π i

16. Integrar ❑

∮ C

e2 z Sen(z 2 ) dz z −2

Sobre cualquier trayectoria que no pase por 2.

Respuesta=2 πi∗e 4 Sen( 4) 17. Integrar

2

❑

ez ∮ z −i dz C Para cualquier trayectoria cerrada que no pase por i. Respuesta=2 πi∗e−1 18. Integrar

❑

z +1 dz ∮ z22 +3 iz C

Donde C es el círculo

|z +3 i|=2 de radio 2 y centro en -3i.

( −23 +4 i) π

Respuesta= 19. Integrar

3

❑

ez ∮ (z−i)3 dz C Con C cualquier trayectoria que no pase por i. −i Respuesta ¿(−6+ 9i) π e

20. Sea C la frontera del cuadrado en cerrado por las cuatro rectas x= ±2 Calcule:

❑

a)

∮ C

e y= ±2 .

cos ⁡( z) dz z 2+ 8

❑

b) Respuestaa ¿=0 , b ¿=

∮ 2 zz+1 dz C

−πi 2

21. Evalué la integral de contorno donde C es el que incluye los puntos z=1, z=-2 y z=-i.

z

∮ (z−1)(z+ 2)(z +i) dz Respuesta:

−3 π + πi 5

22. Evaluar la siguiente integral alrededor de las circunferencias: dz ∮ z (1+ z2 ) C ❑

a)

|z|=3

b)

|z−i|=1

Respuesta:a ¿=0 ; b ¿=πi 23. Evaluar la siguiente integral alrededor del circulo |z|=1 ❑

∮ C

cos ( πz ) dz z −3 z +2 2

Respuesta:−2 πi

24. Evaluar la siguiente integral alrededor del circulo |z|=3 ❑

3z

∮ ( ze+2 )3 dz C

Respuesta:0 25. Evaluar la siguiente integral alrededor del circulo |z|=4 ❑

∮ C

z dz ( z +5 ) ( z 2 +4 )

Respuesta:

10 πi 29

26. Evaluar la siguiente integral alrededor del circulo |z|=1 ❑

2 z

∮ 2zz e+i dz C

Respuesta: πi 27. Evaluar la siguiente integral alrededor del circulo |z−2|=3

❑

z

e +sin ⁡( z) ∮ z dz C Respuesta=2 πi

28. Evaluar la siguiente integral alrededor del circulo |z +2−i|=2 ❑

+i dz ∮ z 2z+2 z C

Respuesta: π +2 πi 29. ❑

Calcular la integral donde C es el círculo de radio 2 con centro en 0.

2

dz ∮ zz 2−1 +1 C Respuesta=0 30. Evaluar la integral alrededor de la circunferencia |z|=2 ❑

dz ∮ z5(zz−2 −1) C

Respuesta:10 πi

Soluciones

❑

1. Evalúe la integral de contorno

∫ z 2 dz c

a lo largo de la trayectoria C de -1 +j a 5+j3 y

formada por dos segmentos de recta, el primero de -1 +j a 5+j y el segundo de 5+j a 5+j3. Solución

Trayectoria de integración del ejercicio z 2=( x + jy )2 + ( x 2− y 2 ) + j 2 xy

❑

2 2 2 xydx + ( x − y ) dy ¿ ❑

❑

c

c

I =∫ z dz=∫ [ ( x 2− y 2 ) dx−2 xydy ]+ j ∫ ¿ 2

c

A lo largo de AB, y=1y dy=0, x 5

(¿ ¿ 2−1 ) dx+ j ∫ 2 x dx −1 5

I AB=∫ ¿ −1 5 1 5 ( x 3−x) + j x 2−1 =36+ j 24 3 −1

A lo largo de BD, x=1y dx=0,

y 25−(¿¿ 2)dy ¿ 3

3

I BD=∫ −10 y dy+ j ∫ ¿ 1

1

1 3 124 (−5 y 2 )31+ j(25− y 3) =−40+ j 3 1 3 Entonces, ❑

196 =−4+ j ∫ z 2 dz=I AB + I BD =36+ j24−40+ j 124 3 3 c

❑

2. Demuestre que

∫ ( z+1)dz=0 c

, donde C es la frontera del cuadrado con z=0, z=1+j0,

z=1+j1 y z=0+j1.

Solución

Trayectoria de integración del ejercicio ❑

❑

❑

c

c

c

I =∫ ( z +1)dz =∫ [(x +1)dx − ydy ]+ j ∫ [ ydx + ( x+1 ) dy ] A lo largo de OA, y=0 y dy=0, 1

I OA =∫ ( x+1) dx= 0

3 2

A lo largo de AB, x=1 y dx=0,

1

1

I AB =∫ −y dy + j ∫ 2 dy= 0

0

−1 + j2 2

A lo largo de BD, y=1 y dy=0, 0

0

I BD=∫ (x+1) dx+ j ∫ dx= 1

1

−3 −j 2

A lo largo de DO, x=0 y dx=0, 0

0

1 I DO=∫ − y dy + j ∫ dx= − j 2 1 1 ❑

∫ (z+1) dz=I OA + I AB + I BD + I DO=0 c

❑

3. Evalúe la integral

∮ dz / z c

alrededor:

a) cualquier contorno que contenga en el origen; b) cualquier contorno que no contenga en el origen.

Solución

Circulo de radio

ρo con centro en el origen

a) F(z)=1/z tiene un polo simple en z=0. Entonces: ❑

∮ dz / z γ

En el círculo γ : z=ρo e jθ (0 ≤ θ1 y evaluamos la integral alrededor de un circulo centrado en el origen. Al tomar

z=ρo e jθ tenemos:

2π

jθ

jρ e 1 dz=¿ ∫ o njθ d θ n z 0 ρo e ❑

∮¿ C

Donde

ρo es una vez más el radio del círculo. Si n ≠1, 2π

[

( 1−n ) 1 1 jθ 1−n e dz=¿ j d θ= j ρ ∫ o n n−1 (n−1) jθ ( 1−n ) j z e 0 ρo

2π

]

0

=

ρo1−n ( 1−n ) 2 πj (e −1 )=0 1−n

❑

∮¿ C

2 πjN Puede que e =1 para cualquier entero N, Por tanto,

1 dz=¿ 0(n ≠ 1) n z ❑

∮¿ C

5. Evalúe la integral contorno

❑

2z dz ∮ (z−1)( z+ 2) C

Donde C es un contorno que incluye los tres puntos z=1, z=-2 y respectivamente. Solución

2z f ( z ) = Como (z−1)( z +2) Tiene singularidades en los puntos z=1, z=-2 y dentro del contorno, se tiene que: ❑

❑

f ( z) dz=¿ ∮ f ( z) dz+∮ f (z )dz γ1

γ2

❑

∮¿ C

Donde γ 1 , γ 2 y son círculos centrados en las singularidades z=1, z=-2 respectivamente. Para poder utilizar el teorema de Cauchy para integrales, reescribimos como:

❑

f ( z) dz=¿ ∮ γ1

❑

{2 z /[( z+2)(z + j)] } {2 z /[(z−1)(z + j)] } dz+∮ dz z−1 z+ 2 γ2 ❑

∮¿ C

❑

❑ f 1 ( z) f 2( z) f ( z) dz=¿ ∮ dz+∮ dz γ 1 z−1 γ 2 z +2 ❑

∮¿ C

Como f 1 (z ) , f 2(z ) y f 3 ( z ) son analíticas dentro y sobre los círculos γ 1 , γ 2 , y respectivamente, se tiene: f (z)dz=¿ 2 πj[

3 −4 + ] 2 ( 1+ j ) (−3 ) (−2+ j ) ❑

∮¿ C

Para que ❑

2z dz =0 ∮ (z−1)(z+2)(z + j) C

6. Evalúe la integral de contorno ❑

4

z dz ∮ (z−1) 3 C Donde el contorno c encierra al punto z=1. Solución

Como f(z) =

z4 ( z−1)3

tiene un polo de orden tres en z=1, se sigue

❑

4

z dz 3 ( z−1)

f ( z) dz=¿=∮ γ

❑

∮¿ C

4 es un circulo centrado en z=1. Escribiendo f 1 ( z )=z , entonces

Donde γ

f 1( z )

❑

f ( z) dz=¿ ∮ γ ❑

(z−1)3

dz

∮¿ C

Y como f 1 ( z ) es analítica dentro y sobre del círculo γ , se sigue de que: 2

f ( z) dz=¿ 2 πj

❑

1 d [ f ( z) ] 2 ! dz2 1 z=1

❑

∮¿ C

f (z)dz=¿ πj(12 z 2)❑z=1 ❑

∮¿ C

Para que z4 dz=¿ 12 πj ( z−1)3 ❑

∮¿ C

❑

7. Evaluar

∮ C

2z

2

e sen( z ) dz z −2

Sobre cualquier trayectoria que no pase por 2. Solución

2z 2 Sea f(z)= e sen ( z ) . Entonces f es diferenciable para todo z. Esto lleva 2 casos.

Caso 1 Si C encierra a 2, entonces f(z)/(z-2) es diferenciable en la curva y en todos los puntos que encierra. Asi que integral es cero por el teorema de Cauchy. Caso 2 Si C encierra a 2, entonces por la formula integral, e2 z sen( z2 ) ∮ z −2 dz=2 πif ( 2 )=2 πie 4 sen (4 ) C ❑

❑

8. Considere

∮ ( z +2)(zz −4 i) dz , C

donde C es una trayectoria cerrada que cierra a -2 y a

4i. Evalúe esta integral usando el teorema de deformación extendido.

Solución

Coloque un círculo γ 1 alrededor de -2 y un circulo

γ 2 alrededor de 4i con radios

suficientemente pequeños para que ningún circulo interseque al otro o a C y que cada uno este encerrado por C. Entonces: ❑

❑

❑

C

γ1

γ2

∮ (z +2)(zz −4 i) dz=∮ ( z +2)(zz−4 i) dz +∮ ( z+ 2)(zz −4 i) dz Usamos la descomposición en fracciones parciales para escribir 1 2 4 2 − i + i z 5 5 5 5 = + z+ 2 z−4 i ( z+ 2)(z−4 i) Entonces ❑

∮ (z +2)(zz −4 i) dz= 15 − 25 i C

(

❑

∮ ( z 1+2 ) dz + 45 + 52 i γ1

)

(

❑

1 1 2 dz + − i ∮ ( z−4 5 5 i) γ1

)

(

❑

1 4 2 dz+ + i ∮ ( z +2 5 5 ) γ2

)

A la derecha la segunda y la tercera integrales son cero por el teorema de Cauchy ( γ 1 no encierra a 4i y γ 2 tanto:

no encierra a -2). La primera y cuarta integrales son iguales a 2 πi , por

(

❑

)∮ ( z−41 i γ2

❑

[

z

1 2

4 2

]

∮ (z +2)( z −4 i) dz=2 πi ( 5 − 5 i)+( 5 + 5 i) =2 πi C

9. Usando integración de contorno, evalué: 2π

I =∫ 0

dθ 2+ cosθ

Solución

z=e iθ , de manera que:

Al tomar cosθ=

1 1 dz z + , dθ= 2 z jz

( )

Sustituyendo la integral se vuelve ❑

I =∮ C

❑

1 1 jz[2+ ( z +1/ z ) ] 2

dz =

2 1 dz ∮ 2 j C z + 4 z +1

Donde C es el circulo unitario |z|=1. El integrando tiene singularidades en es, en

z=

2

z + 4 z +1=0 , esto

−4 ± √ 42−4 (1)(1) 2(1)

z=−2± √ 3 la única singularidad dentro del contorno C es el polo simple en z=-2+ Residuo en z=-2+

√3

2 1 2 1 1 ¿ lim [ ( z+2−√ 3) ]= = j 2 √3 j √ 3 z →−2+ √ 3 j ( z +2−√ 3)(z+ 2+ √3) Asi por el teorema del residuo I =2 πj

( j 1√ 3 )= j2√π3

En consecuencia

√3

2π

dθ 2π = ∫ 2+cosθ √3 0

❑

10. Evaluar

z +1 dz ∮ z22 +3 iz C

donde C es el circulo |z+3i|=2 de radio y centro -3i.

Solución

Una trayectoria cerrada C it Parame trizamos C ( t )=−3i+2 e

para 0 ≤t ≤2 π . C(t) recorre el circulo una vez, en

sentido contrario del movimiento de las manecillas del reloj, conforme t varia de 0 a 2 π . Primero observe que f(z) es diferenciable excepto en los puntos donde el denominador se anula, 0 y -3i. Use una descomposición en fracciones parciales para escribir. f ( z )=

1 1 6+i 1 + ( ) 3i z 3 z+ 3i

( )

Como 1/z es diferenciable en C y dentro del dominio simplemente conexo encerrado por ella, por el teorema de Cauchy. ❑

∮ 3i1 1z dz=0 C

Sin embargo,

1 z +3 i

no es diferenciable en el dominio simplemente conexo encerrado por C,

de manera que no es posible aplicar el teorema de Cauchy a la integral de esta función. Evalue it esta integral directamente escribiendo z ( t )=−3 i+2 e . ❑

∮( C

2π

6+i 1 6+i ) dz= ∫ 1 z ' (t) dt 3 z +3 i 3 0 z (t)+3 i 2π

2π

6 +i 1 6+i 6+ i ¿ 2i e it dt= idt = (2 πi) ∫ ∫ it 3 0 2e 3 0 3 ❑

z +1 6+i −2 dz= ( 2 πi )=( + 4 i )π ∮ z22 +3 3 3 iz C

❑

11.Obtener la integral:

∮ z dz −a C

:

Donde C es el círculo considerado en el esquema. Solución iθ iθ z-a= R* e ⇒ z=a+ R e iθ

dz=Rie ∗dθ Con lo cual: idθ=¿ 2 πi 2π 2π iθ dz Ri e dθ ∮ z −a =∮ R eiθ =∮ ¿ C 0 0 ❑

12. Aplicando la fórmula de cauchy, obtener las integrales:

❑

z dz ∮ z −3 C

❑

ez ∮ z 2−3 z dz C Sobre respectivamente los círculos de módulos |z|=5

y |z|=1

Solución

z dz=¿2 πi∗f ( 3 )=6 πi z−3 ❑

∮¿ C

1 1 A B 1 /3 1/3 = = + = − z z−3 z −3 z z(z −3) z z−3 2

❑

z

❑

e 1/3 1/3 z πi∗e dz=∮ ( − e dz=−2 ∮ z 2−3 ) z z −3 3 z C

C

0

=

−πi∗2 3

Puesto que la integral correspondiente a (z-3) nos da 0 por ser |3|>1 13. Siendo C el círculo del plano complejo de radio 2, calcular las integrales:

❑

z

∮ z 2e+1 dz C ❑

dz ∮ zz2+2 −1 C

Solución Primera Integral

1 1 A B i 1 1 = = + = − z +i z−i 2 z+ i z−i (z +i)(z−i ) z +1

(

2

❑

❑

z

)

1 1 + e z dz ∮ z 2e+1 dz=∮ 2i z+i z−i C C

(

)

1 ¿ ∗2 πi ( e−i−ei ) =2 πi sin(1) 2

Segunda Integral 1 1 A B 1 1 1 = = + = − z +1 z−1 2 z−1 z+1 z −1 (z +1)(z−1)

(

2

❑

❑

)

1 1 + ( z +2)dz ∮ z2+2 dz=∮ 12 z−1 z +1 C z −1 C

(

)

1 1 ¿ ∗2 πi∗3− ∗2 πi=2 πi 2 2 14. Integrar ❑

∮ C

Sen(z ) dz z2

C: |z|=1

Solución

C: |z|=1 encierra al punto singular z=0 La función Sen(z)/z, posee una singularidad evitable en z = 0, ya que su límite es 1, por lo tanto, se comporta como si fuera holomorfa. Entonces podemos definir una función f (z) en base a la anterior, de forma tal que la f (z) tenga la misma imagen que Sen(z)/z para todo z , salvo en z = 0 donde la imagen será 1. Es decir:

f ( z )=

{

Sen ( z ) z≠0 z 1 z=0

Por lo tanto, procedemos de la siguiente forma aplicando el teorema de la fórmula integral de Cauchy: ❑

∮ C

❑ Sen(z ) f ( z) dz= dz =2 πi∗f (0) ∮ 2 z z C

Tomamos f (z), como la función holomorfa del numerador del teorema de la fórmula integral de Cauchy. Entonces: ❑

∮ C

f (z ) dz=2 πi∗f ( 0 )=2 πi∗1=2 πi z

15. Integrar ❑

z

dz ∮ e z−1 3

C: |z|=2

C

Solución

C: |z|=2 encierra al punto singular z=0 donde la función a integrar no es holomorfa. Podemos entonces definir una función f (z) en base a la original, de forma tal que la nueva f (z) conserva la misma imagen para todo z, salvo en z = 0 donde la imagen será 1. Es decir:

{

z

e −1 f ( z )= z z ≠ 0 1 z=0

Por lo tanto, procedemos de la siguiente forma aplicando el teorema de la fórmula integral de Cauchy:

❑

❑

f (z) e z−1 ∮ z 3 dz=∮ z 2 dz=2 πi∗f ´ (0) C C

Calculamos la derivada z

f ( z )=

z

ze −(e −1) e z −1 ⇒ f ´ ( z )= z z2

Evaluamos el límite de la derivada en z = 0: f ´ ( 0 ) =lim

z→0

ze z −(e z−1) z2

Hopital: z

lim

z→0

ze 1 = 2z 2 ❑

❑

f (z) e z−1 ∮ z 3 dz=∮ z 2 dz=2 πi∗f ´ ( 0 )=πi C C

16. Integrar ❑

∮ C

e2 z Sen(z 2 ) dz z −2

Sobre cualquier trayectoria que no pase por 2.

Solución

2z 2 Sea f(z)= e Sen( z ) . Entonces f es diferenciable para todo z. Esto nos lleva a:

Caso I: C no encierra a 2. E n este caso f(z)/(z-2) es diferenciable en la curva y en todos los e2 z Sen(z 2 ) puntos que encierra. Así que ∮ z −2 dz=0 C ❑

Caso II: C encierra a 2. Por la fórmula de la integral de Cauchy, con

z 0 =i,

e2 z Sen(z 2 ) ∮ z −2 dz=2 πi∗f ( 2 )=2 πi∗e 4 Sen (4 ) C ❑

17. Integrar ❑

2

ez ∮ z −i dz C

Para cualquier trayectoria cerrada que no pase por i. 2

z Sea f(z)= e . Entonces f es diferenciable para todo z.

Solución ❑

2

ez Caso I: C no encierra a i. E n este caso ∮ z −i dz=0 C

2

por el teorema de Cauchy que

es diferenciable en C y dentro de ella.

Caso II: C encierra a i. Por la fórmula de la integral de Cauchy, con ❑

2

z ∮ ze−i dz=2 πi∗f ( i )=2 πi∗e−1 C

18. Integrar ❑

z +1 dz ∮ z22 +3 iz C

Donde C es el círculo

Solución

|z +3 i|=2 de radio 2 y centro en -3i.

z 0 =i,

ez z−i

Podemos parametrizar F(t)=-3i+2 e

it

para 0 ≤t ≤2 π . F(t) recorre el círculo una vez en

sentido contrario del movimiento de las manecillas del reloj, conforme t varía de 0 a 2 π . 2 z +11 2 z +1 2 z+1 3 (2 z +1) 1 1 1 = = 2 + i= − 2 2 2 z−1 z+1 z +3 iz z( z +3 i) z +9 z ( z + 9)

(

)

Como 1/z es diferenciable en C y dentro del dominio simplemente conexo encerrado por ella, por el teorema de Cauchy: f ( z )=

(6+i) 1 + 3 iz 3( z +3 i)

❑

1 dz=0 ∮ 3iz C

Sin embargo, 1/(z+3i) no es diferenciable en el dominio simplemente conexo encerrado por C, de manera que no podemos aplicar el teorema de Cauchy a la integral de esta función. Evaluaremos it esta integral directamente escribiendo z ( t )−3 i+2 e 2π

❑

(6+i) 1 z ´ (t )dt ∮ 3( z+ 3i) dz= 6+i ∮ 3 0 z ( t ) +3 i C 2π

¿

6 +i 1 2i e it dt ∮ it 3 0 2e 2π

¿

6 +i ( 2 πi) ∮ idt= 6+i 3 0 3 ¿

( −23 + 4 i) π

19. Integrar ❑

3

ez ∮ (z−i)3 dz C

Con C cualquier trayectoria que no pase por i.

Solución

Si C no encierra a i entonces esta integral es cero por el teorema de Cauchy, ya que el único 3

ez ( z−i)3

punto en el que

no es diferenciable es i. Entonces supongamos C encierra a i. Debido

a que el factor z-i aparece a la tercera potencia en el denominador, usamos n=2 en el teorema, z con f(z)= e , para obtener: 3

❑

3

ez ∮ (z−i)3 dz= 22!πi f (2) ( i )=πif ´ ´ (i) C ¿ πi [ 6 ie +9 e ]=(−6+ 9i)π e −i

−i

−i

20. Sea C la frontera del cuadrado en cerrado por las cuatro rectas x= ±2

e y= ±2 .

Calcule: ❑

∮ C

cos ⁡( z) dz z 2+ 8

❑

∮ 2 zz+1 dz C

Solución

❑

∮ C

cos ⁡( z) dz z 2+ 8

Vemos que ❑

∮ C

cos ⁡( z) z2 +8

es analítica en C\{-2

√ 2, 2 √2 }, por lo tanto es holomorfa en Ω, y así

cos ⁡( z) dz=0 , por el Teorema de Cauchy. z 2+ 8

❑

∮ 2 zz+1 dz C

Vemos que

z 2 z +1

❑

es analítica en C\{-1/2},

❑

∮ 2 zz+1 dz= 12 ∮ z+1z /2 dz= −πi 2 C C 21. Evalué la integral de contorno donde C es el que incluye los puntos z=1, z=-2 y z=-i. z

∮ (z−1)(z+ 2)(z +i) dz

z A B C = + + ( z−1 )( z +2 )( z +i ) ( z−1 ) ( z+2 ) ( z +i ) A ( z+2 )( z +i )+ B ( z−1 ) ( z +i ) +C ( z−1 ) ( z+ 2 )=z Si z=1

A ( 1+ 2 )( 1+i )=1 ; A=

1−i 6

Si z=-2

B (−2−1 ) (−2+ i ) =−2 ; B= Si z=-i

C (−i−1 )(−i+ 2 )=−i ; C=

−4−2 i 15

1+ 3i 5

z

∮ (z−1)(z+ 2)(z +i) dz=



f ( z )=

1 ( z−1 ) ;

1−i 1 dz −4−2i 1dz 1+3 i 1 dz + + ∮ ∮ 6 15 5 ∮ ( z +i ) ( z−1 ) ( z +2 )

f ' ( z ) no es continua en z=1, por la tanto f(z) no es analítica

en z=1, que pertenece a C, como z=1 es un solo punto y m=1. Por consecuencia del (TCG)

1−i 1 dz 1−i = (πi) 6 ∮ ( z−1 ) 3



f ( z )=

1 ( z+ 2 ) ;

f ' ( z ) no es continua en z=-2, por la tanto f(z) no es analítica

en z=-2, que pertenece a C, como z=-2 es un solo punto y m=1. Por consecuencia del (TCG)

−4−2i 1 dz −4−2 i = (2 πi) ∮ 15 15 ( z −2 ) 

f ( z )=

1 ( z+i ) ;

' f ( z ) no es continua en z=-i, por la tanto f(z) no es analítica

en z=-i, que pertenece a C, como z=-i es un solo punto y m=1. Por consecuencia del (TCG)

1+3 i 1 dz 1+3 i = (2 πi) 5 ∮ ( z +i ) 5

z 1−i −4−2 i 1+ 3i −3 π +πi dz=¿ ( πi )+ ( 2 πi ) + ( 2 πi ) = 3 15 5 5 ( z−1 )( z +2 )( z +i ) ∮¿

Respuesta:

−3 π + πi 5

22. Evaluar la siguiente integral alrededor de las circunferencias: dz ∮ z (1+ z2 ) C ❑

c)

|z|=3

d)

|z−i|=1

|z|=3

Para

❑

∮ |z|=3

❑

dz dz =∮ 2 z (1+ z ) |z|=3 z ( z−i)(z+i)

1 A B C = + + z ( z−i)( z+ i) z ( z −i) ( z+i) A ( z−i )( z +i )+ B ( z )( z +i ) +C ( z−i )( z )=1 Si z=0

A ( 0−i ) ( 0+i )=1 ; A=1

Si z=i

B ( i ) ( i+i )=1 ; B=

−1 2

Si z=-i

C (−i−i )(−i )=1; C= ❑

∮ |z|=3

−1 2

❑

❑

❑

dz dz dz dz =∮ −(1 /2) ∮ −(1/2) ∮ z ( z−i)( z+i) |z|=3 z |z|=3 z −i |z |=3 z +i



f ( z )=

1 (z) ;

f ' ( z ) no es continua en z=0, por la tanto f(z) no es analítica en

z=0, que pertenece al circulo

|z|=3 , como z=0 es un solo punto y m=1.

Por consecuencia del (TCG) ❑

∮ |z|=3



dz =2 πi z

f ( z )=

1 ( z−i ) ;

f ' ( z ) no es continua en z=i, por la tanto f(z) no es analítica

en z=i, que pertenece al circulo

|z|=3 , como z=i es un solo punto y m=1.

Por consecuencia del (TCG)

1 − 2

❑

dz =−πi ( ) ∮ z−i



|z|=3

f ( z )=

1 ( z+i ) ;

f ' ( z ) no es continua en z=-i, por la tanto f(z) no es analítica

en z=-i, que pertenece al circulo m=1. Por consecuencia del (TCG)

❑

∮ |z|=3

1 2

❑

dz =−πi ( ) ∮ z+i

−

|z|=3

dz =2 πi−πi−πi=0 z ( z−i)( z+i)

Respuesta:0

|z|=3 , como z=-i es un solo punto y

|z−i|=1

Para

❑

∮ |z −i|=1



❑

❑

❑

dz dz dz dz = ∮ −(1/2) ∮ −(1/2) ∮ z ( z−i)(z +i) |z−i|=1 z |z −i |=1 z−i |z−i|=1 z +i

f ( z )=

1 (z) ;

f ' ( z ) no es continua en z=0, por la tanto f(z) no es analítica en

z=0, que pertenece al circulo

|z−i|=1 , como z=0 es un solo punto y m=1.

Por consecuencia del (TCG) ❑

dz =2 πi z

∮ |z −i|=1



f ( z )=

1 ( z−i ) ;

f ' ( z ) no es continua en z=i, por la tanto f(z) no es analítica

en z=i, que pertenece al circulo

|z−i|=1 , como z=i es un solo punto y

m=1. Por consecuencia del (TCG)

1 − 2

❑

dz =−πi ( ) ∮ z−i



|z|=3

f ( z )=

1 ( z+i ) ;

f ' ( z ) no es continua en z=-i, por la tanto f(z) es analítica en

z=-i, que pertenece al circulo Por consecuencia del (TCG)

(

−

1 2

❑

)∮

|z|=3

dz =0 z+i

|z−i|=1 , como z=-i es un solo punto y m=1.

❑

∮ |z −i|=1

dz =2 πi−πi−0=πi z ( z−i)(z +i)

Respuesta: πi

23. Evaluar la siguiente integral alrededor del circulo |z|=1 ❑

∮ C

cos ( πz ) 2

z −3 z +2

dz

❑ cos ( πz ) cos ( πz ) dz =¿ ∮ (z −2)(z−1) dz 2 z −3 z +2 C ❑

∮¿ C

1 A B = + ( z−2)(z−1) ( z−2) ( z−1) A ( z−1 ) +B ( z−2 ) =1 Si z=1

B ( 1−2 )=1 ; B=−1 Si z=2

A ( 2−1 )=1 ; A=1

❑

❑

❑

cos ( πz ) cos ( πz ) cos ( πz ) ∮ (z−2)(z−1) dz=∮ (z −2) dz−∮ ( z−1) dz C C C

f ( z )=



1 ( z−2 ) ;

f ' ( z ) no es continua en z=2, por la tanto f(z) es analítica en

z=2, que pertenece al circulo

|z|=1 , como z=2 es un solo punto y m=1.

Por consecuencia del (TCG) ❑

∮ |z|=1

cos ( πz ) dz=0 ( z−2) f ( z )=



1 ' f ( z ) no es continua en z=1, por la tanto f(z) no es analítica ( z−1 ) ;

en z=1, que pertenece al circulo

|z|=1 , como z=1 es un solo punto y

m=1. Por consecuencia del (TCG) ❑

−∮ |z|=1

cos ( πz ) dz=−cos ( πz ) 2 πi ( z−1 )

cos ( πz ) dz =¿ 0−cos ( πz ) 2 πi=−2 πi z 2−3 z +2 ❑

∮

¿

|z|=1

Respuesta:−2 πi

24. Evaluar la siguiente integral alrededor del circulo |z|=3 ❑

3z

∮ ( ze+2 )3 dz C

f ( z )=



1 ( z+ 2 ) ;

f ' ( z ) no es continua en z=-2, por la tanto f(z) no es analítica

en z=-2, que pertenece al circulo

|z|=3 , como z=-2 es un solo punto y

m=3. Por consecuencia del (TCG) ❑

∮

|z|=3

e3 z dz=e3 z ( 0 )=0 3 ( z +2 )

Respuesta:0

25. Evaluar la siguiente integral alrededor del circulo |z|=4 ❑

∮ C

❑

z dz ( z +5 ) ( z 2 +4 )

❑

z dz ∮ z dz2 =∮ ( z+ 5)( z −2i)(z+2 i) C ( z +5 ) ( z +4 ) C

z A B C = + + ( z+ 5)(z −2i )(z+ 2i) z +5 z−2 i z+ 2i A ( z−2i ) ( z+ 2i ) +B ( z +5 ) ( z+ 2i ) +C ( z +5 ) ( z −2i )=z Si z=-5

A (−5−2 i ) (−5+ 2i )=−5 ; A=

−5 29

Si z=-2i

C (−2i+5 ) (−2 i−2 i )=−2i ; C=

5+2 i 58

Si z=2i

B ( 2 i+5 )( 2 i+2i )=2 i; B=

5−2i 58

❑

dz 5+ 2i dz +¿ ∮ 58 C ( z +2i) (z−2 i) dz 5−2i ❑ +¿ ¿ 58 ∮ ( z +5) C ❑ ❑ z dz −5 = ∮ (z +5)( z−2i)( z+ 2i) 29 ∮ ¿ C C

f ( z )=



1 ( z+5 ) ;

f ' ( z ) no es continua en z=-5, por la tanto f(z) es analítica en

z=-5, que esta fuera del circulo

|z|=4 , como z=-5 es un solo punto y m=1.

Por consecuencia del (TCG) ❑

−5 ∮ dz =0 29 C (z +5) f ( z )=



1 ( z−2 i ) ;

f ' ( z ) no es continua en z=2i, por la tanto f(z) no es

analítica en z=2i, que pertenece al circulo punto y m=1. Por consecuencia del (TCG) ❑

( 2 πi )∗5−2 i 2 π+ 5 πi 5−2 i dz = = ∮ 58 C ( z −2i) 58 29

|z|=4 , como z=2i es un solo

f ( z )=



1 ( z+ 2i ) ;

f ' ( z ) no es continua en z=-2i, por la tanto f(z) no es

analítica en z=-2i, que pertenece al circulo

|z|=4 , como z=-2i es un solo

punto y m=1. Por consecuencia del (TCG) ❑

( 2 πi )∗5+2 i −2 π +5 πi 5+ 2i dz = = ∮ 58 C ( z−2 i) 58 29 z dz 2 π +5 πi −2 π +5 πi 10 πi =0+¿ + = 2 29 29 29 ( z +5 ) ( z + 4 ) ❑

∮¿ |z|=4

Respuesta:

10 πi 29

26. Evaluar la siguiente integral alrededor del circulo |z|=1 ❑

2 z

∮ 2zz e+i dz C

❑

2

z e

z

❑

2 z

1 z e dz= ∮ dz ∮ 2C i i C z + 2 z+ 2 2

( )



f ( z )=

1 ( z+i /2 ) ;

f ' ( z ) no es continua en z=-i/2, por la tanto f(z) no es

analítica en z=-i/2, que pertenece al circulo

|z|=1 , como z=-i/2 es un solo

punto y m=1. Por consecuencia del (TCG) ❑

( 2 πi )∗1 1 z2 e z dz= =πi ∮ 2 |z|=1 i 2 z+ 2

Respuesta: πi

27. Evaluar la siguiente integral alrededor del circulo |z−2|=3

e z +sin ⁡( z) ∮ z dz C ❑



f ( z )=

1 (z) ;

f ' ( z ) no es continua en z=0, por la tanto f(z) no es analítica en

z=0, que pertenece al circulo

|z−2|=3 , como z=0 es un solo punto y

m=1. Por consecuencia del (TCG) ❑

∮

|z −2|=3

e z +sin ⁡( z ) dz=2 πi z

28. Evaluar la siguiente integral alrededor del circulo |z +2−i|=2 ❑

+i dz ∮ z 2z+2 z C

❑

z +i z +i dz=¿ ∮ dz 2 z +2 z C z ( z +2) ❑

∮¿ C

z +i A B = + z ( z +2) z z+2 A ( z+2 )+ Bz=z +i Si z=0

A ( 0+2 )=0+i; A=i−2 Si z=-2

B (−2 )=−2+i; B=

2−i 2

❑

❑

C

c

dz ∮ z (zz +i+2) dz=(i−2)∮ dzz + 2−i ∮ 2 z+2

f ( z )=



1 (z) ;

f ' ( z ) no es continua en z=0, por la tanto f(z) es analítica en

z=0, que esta fuera del circulo

|z +2−i|=2 , como z=0 es un solo punto y

m=1. Por consecuencia del (TCG) ❑

∮

( i−2 )

|z+ 2−i|=2

dz =( i−2 )∗0=0 z

f ( z )=



1 ( z+ 2 ) ;

f ' ( z ) no es continua en z=-2, por la tanto f(z) no es analítica

en z=-2, que pertenece al circulo

|z +2−i|=2 , como z=-2 es un solo punto

y m=1. Por consecuencia del (TCG) ❑

2−i 1 2−i = ∗( 2 πi )=π +2 πi ∮ 2 |z +2−i|=2 z +2 2 ❑

∮ |z +2−i|=2

z +i dz=0+ π +2 πi=π + 2 πi z +2 z 2

Respuesta: π +2 πi

29. Calcular la integral donde C es el círculo de radio 2 con centro en 0. ❑

z 2−1 ∮ z 2+1 dz C

❑

2

❑

2

z −1 dz=∮ dz ∮ zz 2−1 +1 C C ( z−i)(z+i) z 2−1 A B = + ( z−i)(z +i) z−i z +i

A ( z+i ) + B(z−i)¿ z 2−1 Si z=i

A ( i+i ) ¿(i)2 −1; A=i Si z=-i

B (−i−i ) ¿ (−i )2−1 ; B=−i ❑

2

❑

❑

C

C

z −1 dz dz dz=i ∮ −i ∮ ∮ (z−i)( z+i) z−i z+i C

f ( z )=



1 ( z−i ) ;

f ' ( z ) no es continua en z=i, por la tanto f(z) no es analítica

en z=i, que pertenece al circulo

|z|=2 , como z=i es un solo punto y m=1.

Por consecuencia del (TCG) ❑

i∮ C

dz =i ( 2 πi )=−2 π z −i f ( z )=



1 ' f ( z ) no es continua en z=-i, por la tanto f(z) no es analítica ( z+i ) ;

en z=-i, que pertenece al circulo

|z|=2 , como z=-i es un solo punto y

m=1. Por consecuencia del (TCG) ❑

−i ∮ C

dz =−i ( 2 πi )=2 π z +i

z 2−1 dz=¿−2 π +2 π=0 ( z−i)(z +i) ❑

∮¿

|z|=2

Respuesta=0 30. Evaluar la integral alrededor de la circunferencia |z|=2 ❑

dz ∮ z5(zz−2 −1) C

5 z −2 A B = + z ( z−1) z z−1 A ( z−1 ) +Bz=5 z−2 Si z=0

A ( 0−1 ) =0−2; A=2 Si z=1

B=5−2; B=3 ❑

❑

5 z −2 dz dz dz =2∮ +¿ 3 ∮ z ( z−1) C z C z −1 ❑

∮¿ C



f ( z )=

1 (z) ;

f ' ( z ) no es continua en z=0, por la tanto f(z) no es analítica en

z=0, que pertenece al circulo

|z|=2 , como z=0 es un solo punto y m=1.

Por consecuencia del (TCG) ❑

∮

2

|z|=2



dz =2 ( 2 πi ) =4 πi z

f ( z )=

1 ( z−1 ) ;

' f ( z ) no es continua en z=1, por la tanto f(z) no es analítica

en z=1, que pertenece al circulo m=1. Por consecuencia del (TCG) ❑

3

∮ |z|=2

dz =3 ( 2 πi )=6 πi z−1

|z|=2 , como z=1 es un solo punto y

❑

∮ |z|=2

5 z−2 dz=4 πi+ 6 πi=10 πi z ( z−1)

Respuesta:10 πi