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INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERIA MECANICA Y ELECTRICA

Ondas Guiadas

Profesor: Lopez Ruiz Gabriel Alumnos: Lopez Galvan Miguel Angel

2016302502

Garcia Fernandez Josue Roberto

2016301994

Grupo: 4CV4

3.2 Ecuaciones de onda para campo magnético y eléctrico en guías de ondas Guía de onda rectangulares y circulares cilíndricas. Solución general e interpretación física. Guía de onda rectangular La geometría de una guía de onda rectangular se muestra en la siguiente figura. La ecuación de Helmholtz en este caso asume la forma:

La ecuación para ondas TE se resuelve asumiendo una solución producto: u(x, y) = X(x)Y (y), donde las funciones X y Y dependen exclusivamente de las variables (x , y), respectivamente:

Esta última se separa en dos ecuaciones:

Las soluciones de las ecuaciones son:

Y por lo tanto:

Para las ondas TE, la aplicación de las condiciones de borde especificadas en la Ecuación permite obtener la solución para hz:

La ecuación anterior representa la familia de modos de propagación TE o H. Para las ondas TM, la aplicación de las condiciones de borde especificadas en la ecuación permite obtener la solución para ez:

La ecuación (2) representa la familia de modos de propagación TM o E. A partir de las soluciones 1 y 2, se pueden determinar las componentes restantes de los campos.

Guía de onda circular

La geometría de una guía de onda circular se muestra en al figura 7. La ecuación de Helmholtz en este caso asume la forma:

Para las ondas TE:

Para las ondas TM:

La ecuación se resuelve asumiendo una solución producto: u(ρ, ϕ) = P(ρ)Φ(ϕ), donde las funciones P y Φ dependen exclusivamente de las variables ρ y ϕ, respectivamente:

multiplicando este resultado por ρ2 se obtiene:

La ecuación

o

donde ν2 es cierta constante de separación Las solución de la ecuación de arriba es: Φ(ϕ) = A cos(νϕ) + B sin(νϕ)

se separa en dos ecuaciones:

donde A y B son dos constantes indeterminadas. Como la función Φ(ϕ) ha de ser unievaluada: Φ[ν(α + 2π)] = Φ(να), ν ha de ser un número entero: Φ(ϕ) = A cos(nϕ) + B sin(nϕ)

La solución de la ecuación CJn(κT ρ) + DYn(κT ρ)

es:

donde C y D son dos constante indeterminadas, Jn es la función de Bessel de orden n –ver la Fig. 7(a)–, y Yn es la función de Neuman de orden n –ver la Fig. 7(b)–.

La función de Bessel Jn(x) se define como:

Las funciones Jn y Yn se conocen también como funciones de Bessel de primer y segundo tipo, respectivamente, de orden n. La función de Bessel de segundo tipo se le suele denominar también de Newman, y en algunos textos se le designa con letra N: Nn(x).

La ecuación se denomina ecuación de las funciones cilíndricas o ecuación de Bessel. Sus soluciones, las funciones J n y Yn, se denominan funciones cilíndricas. Las funciones Jn y Yn no son periódicas, pero al crecer ρ, oscilan cerca de cero, decrecen monótonamente, y se aproximan a las funciones trigonométricas para ρ → ∞ (ver figuras 7(a) y 7(b)). Es cómodo comparar la ecuación de funciones cilíndricas con la ecuación de funciones trigonométricas y exponenciales, así como las soluciones respectivas:

Comparación entre las ecuaciones diferenciales de las funciones cilíndricas y de las funciones trigonométricas.

donde Hh1i n (x) = Jn(x) + Yn(x) y Hh2i n (x) = Jn(x) − Yn(x) son las funciones de Hankel de primero y segundo tipo, o especie, respectivamente. Asi como las funciones exponenciales son ideales para representar procesos propagantes, de la misma manera lo son las funciones de Hankel. Por otro lado, las funciones de Bessel y de Newman naturalmente representan procesos estacionarios. La función de Neuman Yn(κT ρ) → ∞ para ρ → 0 –ver Fig. 7(b)–. Por esta razón la solución de la ecuación 145 asume definitivamente la forma: u(ρ, ϕ) = [A cos(nϕ) + B sin(nϕ)]Jn(κT ρ)

BIBLIOGRAFIA Hermann A. Haus and James R. Melcher. Electromagnetic Fields and Energy. Prentice Hall, USA, 1989. Stanley V. Marshall, Richard E. DuBroff, and Gabriel G. SkiteK. Electromagnetismo, conceptos y aplicaciones. Prentice Hall Hipanoamericana, México, 1997.