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INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA UNIDAD AZCAPOTZALCO

Electricidad y magnetismo

Problemario

Profesor Edmundo López Hernández Integrantes:    

ALTAMIRANO SERENA ABDIEL. CENTENO MARTÍNEZ ANA LAURA. GARCÍA CLAVIJO JORGE ERNESTO. MENDOZA BUENDÍA SOFÍA GUADALUPE.

 SANDOVAL OLMOS JONATHAN SAMUEL. Grupo: 2RM4

1E. ¿Cuál debe ser la distancia entre la carga puntual q1 = 26 µC y la carga puntual q2=-47 µC para que la fuerza electrostática entre ellas tenga una magnitud de 570 N? Datos: q1 = 26.0 µC q2= -47.0 µC Fe= 5.70 N Formula: 𝐹𝑒 = 𝑘

𝑞1 𝑞2 𝑟2

𝑟 = √𝑘

𝑞1 𝑞2 𝐹𝑒

Resultado: 𝑟 = √(8.98𝑥109

𝑁𝑚2 (26𝑥10−6 𝐶)(−47𝑥10−6 𝐶) ) 𝐶2 5.70 𝑁 𝑟 =1.387 m

F2E. Una carga puntual de +3.00x10-6C está a 12.0 cm de distancia de una segunda carga puntual de -1.50x10-6 C. Calcule la magnitud de la fuerza sobre cada carga. Datos: q1 = +3.00x10-6C q2=-1.50x10-6 C r= 12.0 cm Formula: 𝑞1 𝑟2 𝑞2 𝐹𝑒 = 𝑘 2 𝑟 𝐹𝑒 = 𝑘

Resultado: 𝐹𝑒1 = (8.98𝑥109

𝑁𝑚2 3.00𝑥10−6 𝐶 ) 𝐶2 (0.12)2 𝑚

Fe1 =1870833.33 N 𝐹𝑒2 = (8.98𝑥109

𝑁𝑚2 −1.50𝑥10−6 𝐶 ) 𝐶2 (0.12)2 𝑚

Fe2= -935416.66 N 3E.Dos partículas de igual carga sostenidas a 3.2x10−3m de separación, se sueltan desde el reposo. Se observa que la aceleración inicial de la primera partícula es de 7.0𝑚⁄𝑠 2 y la de la segunda es de 9.0𝑚⁄𝑠 2. Si la masa de la primera es de 6.3𝑥10−7kg ¿Cuáles son a) la masa de la segunda y b) la magnitud de carga de cada una? Datos: R=3.2x10−3 𝑚 𝑎1 =7.0𝑚⁄𝑠 2 𝑎2 =9.0𝑚⁄𝑠 2 𝑚1 = 6.3𝑥10−7 𝑘𝑔 Formula: 𝐹=𝐾

𝑞2 𝑟2

𝐹 = 𝑚𝑎 Resultado: a) 𝑎1 ∗ 𝑚1 =F 𝑎2 ∗ 𝑚2 =F 7.0𝑚⁄𝑠 2 ∗ 6.3𝑥10−7 kg 9.0𝑚⁄𝑠 2 ∗ 𝑚2 (9.0𝑚⁄𝑠2 )(6.3𝑥10−7 kg ) =4.9𝑥10−7 𝑘𝑔 (7.0𝑚⁄𝑠2 )

b) 𝐹 = 𝑚𝑎 7.0𝑚⁄𝑠 2 ∗ 6.3𝑥10−7 kg=4.41𝑥10−6 𝑁 𝐹𝑟 2 𝐾

𝑞=√

(4.41𝑥10−6 𝑁)(3.2x10−3 m)2

=√

(8.98𝑥109

𝑁𝑚2 ) 𝐶2

𝑞 = 7.091𝑥10−11C 4E Dos esferas conductoras, 1 y 2, idénticas y aisladas tienen cargas iguales y están separadas por una distancia que es grande en comparación con sus diámetros (Fig.22-16a). La fuerza electrostática que actúa sobre la esfera 2 debida a la esfera 1 es F vector. Suponga ahora que una tercera esfera 3, idéntica, con una agarradera aislante e inicialmente tocada primero por la esfera 1 (Fig. 22-16b), luego por la esfera 2 (Fig. 22-16c) y por último se retira (Fig. 22-16d). En términos de la magnitud F, ¿cuál es la magnitud de la fuerza electrostática F prima que ahora actúa sobre la esfera 2?

Cuando llega la carga neutra hacia la carga uno, está se carga positiva o negativamente según sea el caso de dichas cargas que se están repulsando. Entonces cuando la carga 3 que antes era neutra ahora está cargada y por lo tanto tienen todas las 5P. En la figura 22-17, ¿Cuáles son las componentes a) horizontales y b) verticales de la fuerza electrostática neta sobre la partícula cargada situada en la esquina inferior izquierda del cuadrado, si q=1?0x10-7C y a=5.0 cm?

Datos: q=1.0x10-7 C a=5.0 cm q1= 2.0x10-7 C q2= -2.0x10-7 C q3 = -1.0x10-7 C q4 =1.0x10-7 C Formula: 𝑞1 𝑞2 𝑟2 𝑞1 𝑞3 =𝑘 2 𝑟

𝐹𝑒1−2 = 𝑘 𝐹𝑒1−3

𝐹𝑒1−4 = 𝑘

𝑞1 𝑞4 𝑟2

Resultado: 𝐹𝑒1−2 = (8.98𝑥109

𝑁𝑚2 (2.0𝑥10−7 𝐶)(−2.0𝑥10−7 𝐶) ) 𝐶2 (0.05)2 𝑚

= -0.14 N ℎ = √52 + 52 = 0.07 m 𝐹𝑒1−3 = (8.98𝑥109

𝑁𝑚2 (2.0𝑥10−7 𝐶)(−1.0𝑥10−7 𝐶) ) 𝐶2 (0.07)2 𝑚

= - 0.036 N 𝐹𝑒1−4 = (8.98𝑥109

𝑁𝑚2 (2.0𝑥10−7 𝐶)(1.0𝑥10−7 𝐶) ) 𝐶2 (0.05)2 𝑚

=0.071 N Θ = cos−1

0.05 = 44.41° 0.07

∑ 𝑓𝑦 = 0.071𝑁 − 0.036 sin 44.41° = 0.04𝑁 ∑ 𝑓𝑥 = − 0.14𝑁 − 0.036 cos 44.41° = 0.16𝑁 𝐹𝑒 = √(0.04)2 + (0.16)2 = 0.191𝑁 7P. Dos esferas conductoras idénticas, fijas en un lugar, se atraen entre sí con una fuerza electrostática de 0.108N cuando están separadas por 50 cm, de centro a centro. Las esferas se conectan entonces por un delgado alambre conductor. Cuando éste se retira las esferas se repelen entre sí con una fuerza electrostática de 0.0360N. ¿Cuáles fueron las cargas iniciales sobre las esferas? Datos: q1 =q2 r= 0.5m Fi=0.108N Ff=0.0360N 𝑁𝑚2 𝑐2

K=8.98x109 Formula: 𝐹=𝑘

𝑞1 𝑞2 𝑟2

𝐹=𝑘

(𝑞1−2 )2 𝑟2

𝑟2𝐹 𝑞=√ 𝑘 Resultado: (0.5)2 (0.108) 𝑞=√ 8.98𝑥109 𝑞 = 1.73498x10-6 C 8P. En la figura 22-18, tres partículas cargadas se encuentran sobre una recta separada por distancias d. Las cargas q1 y q2 se mantienen fijas. La carga q1 está libre de moverse, pero está en equilibrio. Encuentre q1 en términos de q2.

Formulas: 𝐹𝑁 = 𝐹13 + 𝐹23 𝐹𝑁 = 𝐾

𝑞13 𝑞23 +𝐾 2 2 𝑟 𝑟

Resultado: 𝑞13 𝑞23 = −𝐾 2 2 𝑟 𝑟 𝑞1 𝑞3 𝑞2 𝑞3 𝐾 = −𝐾 2 (2𝑑) (𝑑)2 𝐾

𝑞1 𝑞2 =− 2 2 4𝑑 𝑑 𝑞1 = −

4𝑑 2 𝑞2 𝑑2

𝑞1 = −4𝑞2

10P. Dos partículas fijas, de cargas q1 = +1.0 µC y q2 = -3.0 µC, están a 10cm de separación. ¿A qué distancia de cada una debe colocarse una tercera carga, de modo que sobre ella no actué una fuerza electrostática neta? Datos: q1 = +1.0 µC q2 = -3.0 µC d= 0.1m Formula: 𝐹𝑒1−3 = 𝑘

𝑞1 𝑞3 (0.1 − 𝑥)2

𝐹𝑒2−3 = 𝑘

𝑞2 𝑞3 (𝑥)2

Resultado: 𝑘

𝑞1 𝑞3 𝑞2 𝑞3 =𝑘 2 (0.1 − 𝑥) (𝑥)2 𝑞1 𝑞2 = 2 (0.1 − 𝑥) (𝑥)2

𝑥 2 𝑞1 = 𝑞2 (0.1 − 𝑥)2 𝑥 2 𝑞1 = 𝑞2 . 01 − 𝑞2 . 2𝑥 + 𝑞2 𝑥 2 𝑥 2 𝑞1 − 𝑞2 𝑥 2 + 𝑞2 . 2𝑥 − 𝑞2 . 01 𝑥 2 (1𝑥10−6 ) − (3𝑥10−6 )𝑥 2 + (3𝑥10−6 ). 2𝑥 − (3𝑥10−6 ). 01 2(1𝑥10−6 )𝑥 2 − 6𝑥10−7 𝑥 + 3𝑥10−8

X1= -0.7887 m X2=0.0634 m 12P. Las cargas y coordenadas de dos partículas cargadas que se mantienen fijas en el plano xy son q1 = +3.0 µC, x1= 3.5 cm, y1 = 0.50 cm, y q2 = -4.0 µC, x2 = -2.0 cm, y2 = 1.5 cm. Encuentre la magnitud y dirección de la fuerza electrostática sobre q2. Datos: q1 = +3.0 µC

x1= 3.5 cm y1 = 0.50 cm q2 = -4.0 µC x2 = -2.0 cm y2 = 1.5 cm Formula: 𝑐 2 = √𝑎2 + 𝑏 2 − 2𝑎𝑏 cos 𝜃

𝐹𝑒1−2 = 𝑘

𝑞1 𝑞2 𝑟2

Resultado: 0.5

1.5

y/x =3.5 = 0.1428

y/x = −2 = −0.75

tan−1 = 8°

tan−1 = −36°

3.5

d q1 cos 8 = 3.53𝑐𝑚 =

2

d q2=cos 36 = 2.5𝑐𝑚

𝑐 2 √(2.5)2 + (3.5)2 − 2(2.5)(3.53) cos 153° =5.60 cm 𝐹𝑒1−2 = (8.98𝑥109

𝑁𝑚2 (−4𝑥10−6 𝐶)(−2.0𝑥10−6 𝐶) ) 𝐶2 (0.056)2 𝑚 = -34 N

13P. Cierta carga Q esta divida en dos partes q y Q-q, separadas por cierta distancia. ¿Cuál debe ser q en términos de Q para hacer máxima la repulsión electrostática entre las dos cargas? Datos: Q= q, Q-q Formulas: 𝐹=𝐾

(𝑞)(𝑄 − 𝑞) 𝑟2

Resultado: 𝑑𝐹 𝐾 = (𝑄 − 2𝑞) 𝑑𝑞 𝑟 2 𝐹

′ (𝑞)

𝑟2 =0∗ = 𝑄 − 2𝑞 𝑘

0=Q-2q Q=2q

14P. Una partícula con carga Q está fija en cada una de dos esquinas opuestas de un cuadrado, y una partícula con carga q se coloca en cada una de las otras dos esquinas. A) sí la fuerza electrostática neta sobre cada partícula con carga Q es cero, ¿Cuál es Q en términos de q? B) ¿Hay algún valor de q que haga cero la fuerza electrostática neta sobre cada una de las cuatro partículas?

A. Q en términos de q vine siendo lo mismo debido a que son cargas que está en el mismo campo y todas se influyen electrostáticamente. B. Q necesita valer cero, eso hará que la fuerza en las q's den cero y las fuerzas Q por si solas ya dan cero. 15P. En la figura 22-19, dos esferas conductoras muy pequeñas, de idénticas masa m y carga q, penden de hilos no conductores de longitud L. Suponga que Θ se puede sustituir por su igual aproximado, sen Θ. a) Demuestre que para que exista equilibrio 1⁄ 3

𝑞2𝐿 ( ) 𝑥 = 2𝜋𝜀0 𝑚𝑔

Donde x es la separación entre las esferas. B) Si L = 120cm, m = 10 g y x = 5.0 cm, ¿Cuál es q?

Datos: L = 120cm

m = 10 g x = 5.0 cm ε0=8.8542x10-12 Formulas: Fx=F12-Tsinθ Fy=Tcosθ-mg 𝑇=

𝑚𝑔 cos 𝜃

Resultado: 𝐹𝑥 =

𝑘𝑞 2 𝑚𝑔 + sin 𝜃 2 𝑥 cos 𝜃

𝑞2 4𝜋𝜀 𝐹𝑥 = 2 0 + tan 𝜃 𝑚𝑔 𝑥 𝐹𝑥 =

𝑞2 𝑥 = 𝑚𝑔 2 4𝜋𝜀0 𝑥 2𝐿

𝑥=

2𝐿𝑞 2 4𝜋𝜀0 𝑥 2 𝑚𝑔 3

𝑥=√

𝐿𝑞 2 2𝜋𝜀0 𝑚𝑔

(. 05𝑚)2𝜋(8.85x10−12 )(.01𝑘𝑔)(9.81 𝑚⁄ 2 ) 𝑥2𝜋𝜀0 𝑚𝑔 𝑠 𝑞=√ =√ 𝐿 (1.2𝑚) =4.67x10-7C 16P. Explique qué sucede a las esferas del problema 15 si una de ellas se descarga (pierde su carga q, por ejemplo, a tierra), y encuentre la nueva separación x de equilibrio con los valores dados de L y m y el valor calculado de q. Datos: q=4.67x10-7C L=1.2m Formulas: 𝑞 (2)2 𝐿 √ 𝑥= 2𝜋𝜀0 𝑚𝑔 3

Resultado: 3

𝑥=√

4.67𝑥10−7 𝐶 2 ( ) 𝐿 2 2𝜋(8.85x10−12 )(.098𝑁) X=0.0231m

19E ¿cuál es la carga total en Coulombs de 75.0 kg de electrones? Datos: q= e-=-1.6021x10-19 N=75 Formulas: 𝑞 = 𝑁𝑒 −

Resultado: 𝑞 = (75)(-1.6021x10-19) 𝑞 =-1.20158x10-17

20E. ¿Cuántos megacoulombs de carga positiva (o negativa) hay en 1 mol de gas neutro de hidrógeno molecular (𝐻2 )? Datos: 1 mol de 𝐻2 𝐻 = 1𝑝+ 𝐻 = 1𝑒 − 𝐻2 = 2𝑝+ + 2𝑒 − Formulas: #𝑚𝑜𝑙é𝑐𝑢𝑙𝑎𝑠 = (𝑚𝑜𝑙)(𝑁𝐴 ) 𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎 = (#𝑝+ )(𝑞𝑝+ ) 𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎 = (#𝑒 − )(𝑞𝑒 − ) Resultado: #𝑚𝑜𝑙é𝑐𝑢𝑙𝑎𝑠 = (1)(6.023𝑥1023 ) #𝑚𝑜𝑙é𝑐𝑢𝑙𝑎𝑠 = 6.023𝑥1023 1 molécula - 2 𝑝+ 6.023𝑥1023 - x 𝑝+

𝑥 = 1.2046𝑥1024 𝑝+ 1 molécula - 2 𝑒 + 6.023𝑥1023 - x 𝑒 + 𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎 = (1.2046𝑥1023 )( 1.6021𝑥10−19 ) + 𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎 = 0.192988966 𝑀𝐶 𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎 = (1.2046𝑥1023 )( −1.6021𝑥10−19 ) − 𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎 = −0.192988966 𝑀𝐶 26P. Calcule el número de Coulombs de carga positiva en 250 𝑐𝑚3 (aproximadamente un vaso) de agua (neutra). Datos: agua =250 𝑐𝑚3 = .25 g H = 2 𝑝+ O = 8 𝑝+ Total = 10 𝑝+ Carga𝑝+ =1.6021𝑥10−19 𝐶 Formula: #𝑚𝑜𝑙é𝑐𝑢𝑙𝑎𝑠 = (𝑚𝑜𝑙)(𝑁𝐴 ) 𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎 = (#𝑝+ )(𝑞𝑝+ ) Resultado: 18g 0.25g 𝑥=

1 mol x mol

1 𝑚𝑜𝑙 72

1 #𝑚𝑜𝑙é𝑐𝑢𝑙𝑎𝑠 = ( )(6.023𝑥1023 ) 72 #𝑚𝑜𝑙é𝑐𝑢𝑙𝑎𝑠 = 8.3652𝑥1021 1 molécula - 10𝑝+ 8.3652 moléculas - x𝑝+ 𝑥 = 8.3652𝑥1022 𝑝+ 𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎 = (8.3652𝑥1022 𝑝+ )( 1.6021𝑥10−19 𝐶) 𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙𝑝+ = 13,402.0115𝐶 27P. En la estructura cristalina básica del CsCl (cloruro de cesio), los iones 𝐶𝑠 + forman las esquinas de un cubo con un ión 𝐶𝑙 − en su centro. La longitud de las aristas del cubo es de 0.40nm. Cada ión

𝐶𝑠 + tiene una diferencia de un electrón (y por lo tanto, una carga de +e), y el ión 𝐶𝑙 − tiene un electrón en exceso (por lo que tiene una carga de -e). a) ¿Cuál es la magnitud de la fuerza electrostática neta ejercida sobre el ion 𝐶𝑙 − por los 8 iones 𝐶𝑠 + de las esquinas del cubo? b) Si falta uno de los iones 𝐶𝑠 + , se dice que el cristal tiene un defecto; ¿Cuál es la magnitud de la fuerza electrostática neta ejercida sobre el ión 𝐶𝑙 − , por los 7 iones 𝐶𝑠 + restantes?

Datos: 𝑞𝑝+ = 1.6021𝑥10−19 𝐶 𝑞𝑒 − = −1.6021𝑥10−19 𝐶 𝑙 = .40 𝑛𝑚 = 4𝑥10−10 𝑚 𝐾 = 8.98𝑥109 Formulas: ℎ = √𝑎2 −

𝑏2 (fórmula 4

triángulo isósceles)

𝑏2 (despeje de 4 𝑞1 𝑞2 𝐹𝑒 = 𝐾 2 𝑟

𝑎 = √ℎ2 +

fórmula)

Resultado: (4𝑥10−10 )2 4 −10 𝑎 = 2.8284𝑥10 𝑚 𝐹𝑒 = (8.98𝑥109 ) (−1.6021𝑥10−19 )(1.6021𝑥10−19) (2.8284𝑥10−10 )2 𝐹𝑒 = −2.8812𝑥10−9 𝑁 𝐹𝑒𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = (−2.8812𝑥10−9 )(8) a)𝐹𝑒𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = 2.3049𝑥10−8 𝑁 𝐹𝑒𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = (−2.8812𝑥10−9 )(7) b)𝐹𝑒𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = −2.01684𝑥10−8 𝑁 4E. ¿Cuál es la magnitud puntual que crearía un campo eléctrico de 1.00 N/C en los puntos situados a 1.00m de distancia? 𝑎 = √(2𝑥10−10 )2 +

q= ¿?

E=

(k)(q) r2

… q=

(E)(r2 ) k

E=1.00N/C q=

R=1.00m

(

1.00N )(1m2 ) C (9x109)

= 1.113x10−10 C

𝑘 = 9𝑥109 𝑁𝑚2 /𝐶 2 5E. ¿Cuál es la magnitud de una carga puntual cuyo campo eléctrico está situado a 50cm tiene una magnitud de 2.0 N/C?

E=

q= ¿?

(k)(q)

…

r2

q=

(E)(r2 ) k

E=2.0N/C 𝑞=

R=0.50m

(

2.00𝑁 )(1.00𝑚)2 𝐶 9𝑥109

=5.567N𝑚2 /𝐶

K=9x10^9 6E. Dos partículas con iguales magnitudes de carga de 2.0x10^-7C, pero signos contrarios se conservan a 15 cm de separación ¿Cuáles son las magnitud y dirección de E en el punto medio de las cargas? 𝐸𝑟 = 𝐸1 − 𝐸2 …

q1=2x0^-7C

𝐸=

q2=-2x10^-7C r=0.075m

𝐸1 =

(9𝑥109 )(2𝑥10−7 ) (0.0752 )

(9𝑥109 )(−2𝑥10−7 )

𝐸1 = 𝐸2

(𝐾)(𝑞) 𝑟2

= 320 000 𝑁/𝐶

k=9X10^9

𝐸2 =

E=¿?

𝐸𝑟 = (320 000) − (320 000) = 0 𝑁/𝐶

(0.0752 )

= −320 000 𝑁/𝐶

7E. Un átomo de plutonio 239 tiene un radio molecular de 6.64 fm y numero atómico z=94. Si suponemos que la carga positiva se encuentra distribuida de manera uniforme dentro del núcleo ¿Cuáles son la magnitud y dirección del campo eléctrico en la superficie del núcleo debidas a la carga positiva?

𝑞 = (𝑁𝑎)(𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑝+ )

r=239^-15

𝐸=

(𝑘)(𝑞) 𝑟2

Na=94

q = (94)(1.62x10−19 ) = (1.52x10−17 )C

K=9x10^9

E=

(9x109 )(1.52x10−17 ) (0.942 )

E= ¿?

= (1.54x10−7 )N/C

8P. En la figura 23-27 dos cargas puntuales fijas q1=1x10^-6C y q2=310^-6C están separadas por una distancia d=10cm. Grafique su campo eléctrico neto E(x) como función de x para valores positivos y negativos de x, tomando E como positivo cuando el vector es E apunte a la derecha y negativo cuando E apunte a la izquierda. E1=900 000 i

E2=2 700 000 i

𝐸=

q1=1X10^-6C q2=3x10^-6C

𝐸1 =

r=0.10m

𝐸2 =

(𝑘)(𝑞)

(9𝑥109 )(1𝑥10−6 ) 0.102 (9𝑥109 )(3𝑥10−6 ) (0.102)

𝑟2

= (9𝑋10−5 )𝐶 i = (27𝑥10−5 )𝐶 i

k=9x10^9 9P. Dos cargas puntuales q1=2.1x10-8 y q2=-4.0q1 están fijas en un lugar y a 50 cm de separación. Encuentre el punto a lo largo de la recta que pasa por las dos cargas en el cual, el campo eléctrico es 0.

q1

P

q2

E2

0.5m

q1=2.1x10^-8C q2=8.4x10^-8C

𝐸𝑟 = 𝐸1 − 𝐸2 𝐸=

(𝐾)(𝑞) 𝑟2

E1

8.4

2.1 x2

=

x2

(K)(8.4X10−8 )

E2 =

r2=0.5m-x

2.1 x2

(k)(2.1X10−8 )

E1 =

r1=x

8.5

= (0.5−x)2

(0.5−x)2

, (2.1)(0.5 − x)2 = (8.4)(x 2 )

= (0.5−x)2

(1.4)(0.5 − x) = (2.8)(x)

, 0.7 − 1.4x = 2.8x

x = 0.16m

En la siguiente figura las cargas puntuales q₁=-5q y q₂=+2q están separadas por una distancia d. a) Localice el punto (o puntos) donde el campo eléctrico neto debido a las dos cargas es cero. B) Trace de forma cualitativa las líneas del campo eléctrico neto 𝐸1 = 𝐸2 𝑞

𝑞

1 2 𝐾 (𝑎+𝑝) 2 = 𝐾 𝑝2

𝑞1 (𝑎+𝑑)2 𝑞1 𝑞2

𝑎+𝑑 2 ) 𝑑

=(

𝑞

𝑞

 √𝑞1 = 2

𝑞1 𝑞2

𝑞1 𝑑2 = (𝑎 + 𝑑)2 𝑞2 



= 𝑑22

𝑎+𝑑 𝑑

𝑞

=

(𝑎+𝑑)2 𝑑2 𝒒

 𝑑√𝑞1 = 𝑎 + 𝑑

 𝒅√𝒒𝟏 − 𝒅 = 𝒂

2

𝟐

En la siguiente figura ¿Cuál es la magnitud del campo eléctrico en el punto P debido a las cargas puntuales que se ilustran? 5𝑞

5𝑞

𝐹1 = − (𝐾 𝑑2 ) (cos(45)) + (𝐾 𝑑2 ) (sin(45)) 𝐹2 = (𝐾

5𝑞 )(cos(45)) − 𝑑2 5𝑞

(𝐾

√2

5𝑞 )(sin 45) 𝑑2 5𝑞

√2

𝐹1 = −(𝐾 𝑑2 ) ( 2 ) 𝑖 + (𝐾 𝑑2 ) ( 2 ) 𝑗 𝐹2 = (𝐾

5𝑞 √2 )( )𝑖 𝑑2 2

− (𝐾

5𝑞 √2 )( )𝑗 𝑑2 2

𝐹2 + 𝐹1 = 0 3𝑞

3𝑞

3𝑞

√2

3𝑞

√2

12𝑞

√2

𝐹3 = −(𝐾 𝑑2 )(cos(45)) − (𝐾 𝑑2 )(sin(45))  𝐹3 = −(𝐾 𝑑2 ) ( 2 ) − (𝐾 𝑑2 ) ( 2 ) 12𝑞

12𝑞

12𝑞

√2

𝐹4 = (𝐾 2𝑑2 ) (cos(45)) + (𝐾 2𝑑2 )(sin( 45))  𝐹4 = (𝐾 2𝑑2 ) ( 2 ) + (𝐾 2𝑑2 ) ( 2 )

𝐹3 = − (𝐾

3𝑞√2 )𝑖 2𝑑 2

− (𝐾

3𝑞√2 )𝑗 2𝑑 2

||

𝐹4 = (𝐾

12𝑞√2 )𝑖 4𝑑 2

+ (𝐾

12𝑞√2 )𝑗 4𝑑 2

𝐹3 + 𝐹4 = (𝐾 ||𝐹3 + 𝐹4 || = √(𝐾

3𝑞√2 2 ) 2𝑑 2

+ (𝐾

3𝑞√2 2 ) 2𝑑 2

3𝑞√2 3𝑞√2 )𝑖 + (𝐾 )𝑗 2 2𝑑 2𝑑2

 ||𝐹3 + 𝐹4 || = √2(𝐾

3𝑞√2 2 ) 2𝑑 2

3𝑞

 ||𝐹3 + 𝐹4 || = 𝐾 𝑑2

Calcule la dirección y magnitud del campo eléctrico en el punto P de la siguiente figura dividida en tres cargas puntuales. 𝐹1 = (𝐾

𝑞 (𝑎√2⁄2)2

𝐹2 = (𝐾

2

) (cos(45)) − (𝐾

2𝑞 ) (cos(45)) + 𝑎 √ ( 2⁄2)2

𝐹3 = − (𝐾

𝐹1 = −(𝐾

𝑞 (𝑎√2⁄2)2

2

(𝑎√2⁄2)2

(𝑎√2⁄2)2

)(

2

2𝑞

(𝐾

(𝑎√2⁄2)2

) (cos(45)) + (𝐾

𝑞

2

) (sin(45))

) (sin(45))

𝑞 )(sin 45) 𝑎 2 √ ⁄2)2 (

𝑞 √2 √2 )( )𝑗 ) 𝑖 + (𝐾 2 2 (𝑎√2⁄2)2

𝐹1 = (𝐾

2𝑞 √2 )( 2 )𝑖 𝑎 2 √ 2 ⁄2) (

+ (𝐾

2𝑞 √2 )( 2 )𝑗 𝑎 2 √ 2 ⁄2) (

𝐹3 = (𝐾

𝑞 √2 )( 2 )𝑖 𝑎 2 √ 2 ⁄2) (

− (𝐾

𝑞 √2 )( 2 )𝑗 𝑎 2 √ 2 ⁄2) (

𝐹1 + 𝐹2 + 𝐹3 = (𝐾 𝐹1 + 𝐹2 + 𝐹3 = (𝐾

𝑞

4𝑞 √2 )( )𝑖 𝑎2 2

||𝐹𝑇 || = √2(𝐾

+ (𝐾

2𝑞√2 2 ) 𝑎2

2𝑞 √2 )( 2 )𝑖 𝑎 2 √ 2 ⁄2) (

4𝑞 √2 )( )𝑗 𝑎2 2

+ (𝐾

2𝑞 √2 )( 2 )𝑗 𝑎 2 √ 2 ⁄2) (

 𝐹1 + 𝐹2 + 𝐹3 = (𝐾

 ||𝐹𝑇 || = 𝐾

2𝑞√2 √2 𝑎2

2𝑞√2 )𝑖 𝑎2

+ (𝐾

2𝑞√2 )𝑗 𝑎2

4𝑞

 ||𝐹𝑇 || = 𝐾 𝑎2

Calcula la dirección y magnitud del campo eléctrico en el centro del cuadrado si q=1 x 10-6 C y a=5 cm 𝐹1 = (𝐾

𝑞 (𝑎√2⁄2)2

𝐹2 = (𝐾

2

) (cos(45)) − (𝐾

−2𝑞 ) (cos(45)) + 𝑎 √ ( 2⁄2)2

(𝐾

𝑞 (𝑎√2⁄2)2

2

2𝑞 (𝑎√2⁄2)2

2

) (sin(45))

) (sin(45))

𝐹3 = − (𝐾

𝐹4 = − (𝐾

𝐹1 = (𝐾

𝑞√2 )𝑖 𝑎2

− (𝐾

2𝑞 (𝑎√2⁄2)2

2

) (cos(45)) + (𝐾

𝑞 )(sin(45)) 𝑎 2 √ ⁄2)2 (

) (cos(45)) − (𝐾

𝑞 )(sin(45)) 𝑎 2 √ ⁄2)2 (

−𝑞 22

(𝑎√2⁄2)

𝑞√2 )𝑗 𝑎2

−2𝑞√2 )𝑖 + 𝑎2 2𝑞√2 (𝐾 𝑎2 ) 𝑗

𝐹2 = (𝐾

𝐹4 = − (𝐾

−𝑞√2 )𝑖 𝑎2

(𝐾

− (𝐾

−2𝑞√2 )𝑗 𝑎2

𝐹3 = − (𝐾

2𝑞√2 )𝑖 𝑎2

+

−𝑞√2 )𝑗 𝑎2

𝐹1 = 5079855.116 𝑁⁄𝐶 𝑖 − 5079855.116 𝑁⁄𝐶 𝑗 𝐹2 = 10159710.23 𝑁⁄𝐶 𝑖 + 10159710.23 𝑁⁄𝐶 𝑗 𝐹3 = −10159710.23 𝑁⁄𝐶 𝑖 + 10159710.23 𝑁⁄𝐶 𝑗 𝐹4 = −5079855.116 𝑁⁄𝐶 𝑖 − 5079855.116 𝑁⁄𝐶 𝑗

𝐹𝑇 = 10159710.23 𝑁⁄𝐶 𝑗 𝐹𝑇 = √10159710.23 𝑁⁄𝐶

2



𝐹𝑇 = 10159710.23 𝑁⁄𝐶

15E. Calcula el momento de dipolo eléctrico de un electrón y de un protón que están a 4.30 nm de separación. p=qd

= (1.602x10-19 C) (4.3x10-9m) p= 6.889x10-28Cm

16P. Encuentre la magnitud y dirección del campo eléctrico en el punto P debidas al dipolo eléctrico de la figura 23-31 P está ubicada a una distancia r>d a lo largo del bisector perpendicular a la línea que une las cargas. Exprese su respuesta en términos de la magnitud y dirección del momento del dipolo eléctrico p

17P. Cuadripolo eléctrico. La figura 23-32 ilustra un cuadripolo eléctrico. Está formado por dos dipolos con momentos de dipolos iguales en magnitud, pero puestos en dirección. Demuestre que el valor de E sobre el eje del cuadripolo para un punto P a una distancia z desde su centro (suponga que z >d) está dado por z 𝐸=

3𝑄 4𝜋𝜀0 𝑧 4

d

d +q+

-q –q

+

P

-p

+

-

+p

Donde Q (=2qd2) se conoce como momento de dipolo cuadripolo de la distribución de carga. El campo eléctrico debido a una línea de carga 18E. La figura 23-33 muestra dos anillos paralelos no conductores dispuestos con sus ejes centrales a lo largo de una línea común. El anillo 1 tiene una carga uniforme q1 y radio R; el anillo 2 tiene una carga uniforme q2 y el mismo radio R. Los anillos están separados por una distancia 3R. El campo eléctrico neto en el punto P sobre la línea común, a una distancia R del anillo 1, es cero. ¿Cuál es la razón q1/q2? E=0

E=E1+E2 1

𝐸1 = 4𝜋𝜀 1

𝑞1

4𝜋𝜀0

2𝑅 2

𝑞1 2𝑅 2

=

𝑞1

1

𝐸2 = 4𝜋𝜀

2 2 0 𝑅 +𝑅

=

𝑞2 3𝑅 2

1

E1=E2 𝑞2 2 2 0 2𝑅 +𝑅

𝑞2

4𝜋𝜀0 3𝑅 2

3𝑅 2 𝑞1 = 2𝑅 2 𝑞2 3

3𝑞1 = 2𝑞2 𝑞2 = 2 𝑞1 19P. Un electrón está restringido al eje central del anillo de carga de radio R estudiado en la sección 23-6. Demuestre que la fuerza electrostática sobre el electrón puede hacerlo oscilar por el centro del anillo con una frecuencia angular 𝜔=√

𝑒−𝑞 4𝜋𝜀0 𝑚𝑅 3

Donde q es la carga del anillo y m es la masa del electrón.

𝑘

𝜔 = √𝑚 𝜔=√

𝐹 =𝑘∙𝑑

donde 1 𝑒− 𝑞 1 4𝜋𝜀0 𝑅2 𝑅

𝐹𝑒 𝑑

=√

𝑚

=√

𝑚

𝐹

∴

𝑘=𝑑

𝑒− 𝑞 4𝜋𝜀0 𝑅3

=√

𝑚

𝑒 −𝑞 4𝜋𝜀0 𝑚𝑅 3

20P. En la figura 23-34a, dos barras curvas de plásticos, una de carga +q y la otra de carga –q, forman un circulo de radio R en un plano xy. El eje x pasa por sus puntos de unión, y la carga se distribuye de manera uniforme sobre ambas barras ¿Cuales son la magnitud y la dirección del campo eléctrico E producido en P, el centro del círculo? Y +q

+q

+q P

R

P

-q

X

r

-q

-q

a)

b)

Datos: Cargas: -q y +q Distancia: R 𝐸−𝑞𝑃 =

(𝐾)(𝑄) 𝑟2

= 𝐸−𝑞𝑃 =

(𝐾)(𝑄) 𝑅2

𝐸+𝑞𝑃 =

(𝐾)(𝑄) 𝑟2

= 𝐸+𝑞𝑃 =

(𝐾)(𝑄) 𝑅2 (𝐾)(𝑄) ) 𝑅2

Magnitud del campo eléctrico: 2 ( (𝐾)(𝑄) )−𝑗 𝑅2

Dirección: 2 (

21P. Se dobla una delgada barra de vidrio en un semicírculo de radio r. Una carga +q se distribuye de manera uniforme a lo largo de la mitad superior, y una carga –q se distribuye de manera uniforme a lo largo de la mitad inferior, como se muestra en la figura 23-34b. Encuentra la magnitud y dirección del campo eléctrico E en P, el centro del semicírculo. Datos Cargas: -q y +q Distancia R 𝐸=

(𝐾)(𝑄) 𝑟2

=𝐸 =

(𝐾)(𝑄) 𝑅2

(𝐾)(𝑄) ) 𝑅2

Magnitud del campo eléctrico: ( (𝐾)(𝑄) )𝑗 𝑅2

Dirección: (

22P. ¿A qué distancia a lo largo del eje central de un anillo de radio R y de carga uniforme es máxima la magnitud del campo eléctrico debido a la carga del anillo? λ=

𝑄 𝐿

Radio: R Carga: Uniforme Distancia: ¿? λ=Q/L

=

L=λ/Q

Distancia= L=λ/Q 23P. En la figura 23-35, una barra no conductora de longitud L tiene carga. q distribuida de manera uniforme en toda su longitud. A) ¿Cuál es la densidad de carga lineal de la barra? B) ¿Cuál es el campo eléctrico en el punto P, a una distancia a desde el extremo de la barra? C) Si P estuviera muy alejado de la barra en comparación con L, la barra parecería una carga puntual. Demuestre que su respuesta a b) se reduce al campo eléctrico de una carga puntual para a>>L.

Datos: Carga: -q Distancia: (L+A) Distancia: L 𝐸=

(𝐾)(𝑄) 𝑟2

A) λ=Q/L B) 𝐸 =

(𝐾)(𝑄) 𝑟2

=

λ=q/L (𝐾)(𝑞)

= 𝐸 = (𝐿+𝐴)2

24P. Una delgada barra no conductora de longitud finita L tiene una carga Q distribuida de manera uniforme en toda su longitud. Demuestra que da la magnitud E del campo eléctrico en el punto P sobre el bisector perpendicular de la barra P

y

𝑞

𝐸 = 2𝜋𝜀

1 0𝑦

1 (𝐿2 +4𝑦 2 )2

𝑑𝑞

𝑑𝐸 = 𝐾 𝑟2

.

𝑑𝑞 = 𝑙

𝐸=∫ 𝑘 𝑙0

𝑞 𝑙

∴

𝑞 𝑙

𝑞 1 𝑙 𝑟2

𝑞 𝐿1 𝐸=𝐾 ∫ 2 𝑦 𝐿0 𝑟 𝑞 𝐿 1 𝐸= 𝐾 ∫ 𝑦 𝐿0 1 √ 𝐿2 + 𝑦 2 4 28P. Sabemos que la carga negativa del electrón y la carga positiva son iguales. Sin embargo, supongamos que estas magnitudes difieren entre sí en 0.00010%. ¿Con qué fuerza se repelerían entre sí dos monedas de cobre colocadas a 1.0 m de separación? Suponga que cada moneda tiene 3 x 1022 átomos de cobre. (Sugerencia: un átomo neutro de cobre tiene 29 protones y 29 electrones.) ¿Cuál es su conclusión? qp= 1.6021*10-19 C difiere 1*10-4% 100% = 1.6021*10-19 1*10-4% = x

𝑥=

(1∗10−4 )(1.6021∗10−19 ) 100

x = 1.6021*10-25C nqp = 1.6021*10-25C

Qatomo = NP *(qp) – Ne *(qe) = (29) (1.6021*10-25C) -(29) (1.6021*10-19 C) Qatomo = -3.6848*10-18C Qmoneda = natomos * Qatomo = 3*1022 * 3.6848*10-18C = 104544 C

𝐹𝑒 = 𝐾

𝑞1 𝑞2 𝑟2

𝐹𝑒 = 8.98 ∗ 109

(104544)(104544) 12

𝑭𝒆 = 𝟗. 𝟖𝟏𝟒 ∗ 𝟏𝟎𝟏𝟗 𝑵 29E. Identifique X en las siguientes reacciones nucleares (en la primera, n representa un neutrón): a) 1 H + 9Be → X + n; b) 12C + 1H → X; c) 15N + 1H → 4He + X. El apéndice F será de ayuda. a) X= 9Be

b) X= 16O

c) X= 12C

Problema complementario 30. En el problema 13, sea q = 𝛼Q. a) Escriba una expresión para encontrar la magnitud F de la fuerza entre las cargas en términos de 𝛼, Q y la separación d de la carga. b) Haga una gráfica de F como función de 𝛼. Encuentre en forma gráfica los valores de 𝛼 que den c) el máximo valor de F y d) la mitad del máximo valor de F. SEC. 23-3

Líneas de campo eléctrico

1E. En la figura 23-26, las líneas de campo eléctrico de la izquierda tienen el doble de separación que las de la derecha. a) Si la magnitud del campo en A es 40 N/C, ¿Qué fuerza actúa sobre el protón en A? b) ¿Cuál es la magnitud del campo B?

a) 𝐹 = 𝑞 𝐸⃑ F = (1.6021*10-19) (40) F = 6.4084*10-18 N 𝑵 b) ⃑𝑬 = 𝟐𝟎 𝑪

2E. Trace en forma cualitativa las líneas de campo eléctrico tanto entre como fuera de dos capas esféricas conductoras concéntricas, cuando una carga positiva uniforme q1 está sobre la capa interior y una carga negativa uniforme –q2 está sobre la exterior. Considere los casos en que q1>q2, q1=q2, y q1q2

Si q1=q2

Si q1 R.

a) 𝜀

b) 𝐸 = 𝜌𝑟0

26E. En la figura se aprecian secciones transversales de dos grandes hojas no conductoras, parales, con distribuciones idénticas de carga positiva con densidad de carga superficial σ ¿Cuál es el 𝐸⃑⃗ en los puntos a) arriba de las hojas, b) entre ellas y c) debajo de ella? Resultado:

𝜎 a) 𝐸⃑⃗ = 2 𝜀

0

𝜎 𝜎 b) 𝐸⃑⃗ = 𝜀 − 𝜀 = 0 0

𝜎 c) 𝐸⃑⃗ = 2 𝜀

0

0

27E. Una placa metálica cuadrada, cuya arista mide 8.0cm de longitud y de grosor despreciable, tiene una carga total de 6.0x10−6 a)Estime la magnitud E del campo eléctrico justo fuera del centro de la placa (a una distancia de 0.50mm, por ejemplo) si se supone que la carga se dispersa de manera uniforme sobre las dos caras de la placa. B) Estime E a una distancia de 30cm (grande en relación con el tamaño de la placa) si se supone que la placa es una carga puntual-

𝐸

Arista = 8cm

(8.987𝑥109 )(6.0𝑥10−6) =2.15688x1011 N/C (5𝑥10−4 )2

Carga total= 6.0x10−6 Grosor despreciable

𝐸= 𝐸=

𝑘𝑄 𝑟2

(8.987𝑥109 )(6.0𝑥10−6) =59.913333N/C (30)2

28E. Una superficie no conductora, grande y plana, tiene una densidad de carga uniforme σ, En su centro se ha cortado un pequeño orificio circular de radio R, como se ilusra en la figura 24-32. Desprecie el efecto marginal de las líneas de campo alrededor de todas las aristas, y calcule el campo eléctrico en el punto P, a una distancia z del centro del orificio a lo largo de su eje. (Sugerencia: vae la ecuación 23-26 y utilice superposición)

Densidad de carga uniforme = σ

dq= σdA=σ(2πrdr) 𝑑𝐸 =

𝑧𝜎2𝜋𝑟𝑑𝑟 3

4𝜋𝜀0 (𝑧 2 + 𝑟 2 )2 𝑅

−3 𝜎𝑧 𝐸 = ∫ 𝑑𝐸 = ∫(𝑧 2 + 𝑟 2 ) 2 (2𝑟)𝑑𝑟 4𝜀0 0

Para resolver la integral la sumamos en la forma ∫ 𝑋 𝑚 𝑑𝑥

al hacer que x=(𝑧 2 + 𝑟 2 ) ∫ 𝑋 𝑚 𝑑𝑥 =

m=−2⁄3 dx=(2r)

𝑥 𝑚+1 𝑥+1

La ecuación se convierte en −1⁄ 2

𝜎𝑧 (𝑧 2 + 𝑅 2 ) 𝐸= [ 1 4𝜀0 − 2

]𝑅0

Tomando los límites 𝐸=

𝜎 𝑧 (1 − ) 2 2𝜀0 √𝑧 + 𝑅 2

Al efectuar la integración se supone que z≥0 si hacemos que Rꝏ mientras mantenemos a Z finita, el segundo término en el paréntesis se aproxima a cero y la ecuación se reduce 𝐸=

𝜎 2𝜀0

32P. Dos placas metálicas grandes de 1.0 𝑚2 de área se colocan una frente a la otra. Están a 5.0 𝑐𝑚 de distancia y tienen cargas iguales, pero de signo contrario en sus superficies interiores. Si la magnitud 𝐸 del campo eléctrico entre las placas es de 55

𝑁 𝐶

¿Cuál es la magnitud de la carga sobre cada placa? Desprecie los efectos marginales.

𝐸=

𝑄=

𝐸𝑟 2 𝑘

𝑘𝑄 𝑟2

𝑄=

𝑄=

𝐸𝑟 2 𝑘

𝑁 𝐶

(55 )(𝑜.𝑜5𝑚)2 8.98𝑥109

𝑁𝑚2 𝐶2

𝑄 = 1.53𝑥10−11 𝐶 33P. Una losa uniforme de grosor 𝑑 tiene una densidad de carga volumétrica uniforme 𝜑. Encuentre la magnitud del campo eléctrico en todos los puntos del espacio. a. Dentro de la losa. b. Fuera de la losa, en términos 𝑥, si la distancia se mide desde el plano central de la losa.

34E. Una carga puntual hace que un flujo eléctrico de -750

𝑁𝑚2 𝐶

pase por una superficie de Gauss esférica de 10.0 𝑐𝑚 de

radio centrada sobre la carga. a. Si se duplicara el radio de la superficie de Gauss, ¿cuánto flujo pasaría por la superficie? b. ¿Cuál es el valor de la carga puntual? a. El flujo no depende del radio, por lo tanto, no afecta.

𝑄

𝐼=ℰ

𝑄 = 𝐼 ∙ ℰ0

𝑄 = (−750

𝑄 = 𝐼 ∙ ℰ0

0

2 𝑁𝑚2 −12 𝐶 )(8.85𝑥10 ) 𝐶 𝑁𝑚2

b. 𝑄 = −6.6375𝑥10−9 𝐶

35E. Una esfera conductora de 10 𝑐𝑚 de radio tiene una carga desconocida. Si el campo eléctrico a 15 𝑐𝑚 del centro de la esfera tiene una magnitud de 3.0x103

𝑁 𝐶

y dirigido radialmente hacia adentro ¿cuál es la carga neta sobre la esfera?

𝐴 = 4𝜋𝑟 2

𝑄

𝐼 =𝐸·𝐴 2

𝐴 = 4𝜋(. 10𝑚) 𝐴 = 0.1256 𝑚2

𝑁 (3𝑥103 ) (0.1256𝑚2 ) 𝐶

𝐼=

𝐼 = 376.8

𝐼=ℰ

𝑁𝑚2 𝐶

𝑄 = (376.8

0

𝑄 = 𝐼 ∙ ℰ0 𝑁𝑚2 𝐶2 )(8.85𝑥10−12 2 ) 𝐶 𝑁𝑚

𝑄 = 3.334𝑥10−3 𝐶 36E. Dos esferas concéntricas cargadas tienen radios de 10.0 𝑐𝑚 y 15.0 𝑐𝑚. La carga sobre la esfera inferior es de 4.00x10−8 𝐶 y sobre la exterior es de 2.00x10−8 𝐶. Encuentre el campo eléctrico. a. En 𝑟 = 12.0 𝑐𝑚 b. En 𝑟 = 20.0 𝑐𝑚

a. 𝐸1 =

𝐸1 =

𝑘𝑄1 𝑟2

𝑘𝑄2 𝑟2

𝐸1 =

𝐸1 =

(8.98𝑥109

(8.98𝑥109

𝑁𝑚2 )(4.00𝑥10−8 𝐶) 𝐶2 (.12𝑚)2

𝑁𝑚2 )(2.00𝑥10−8 𝐶) 𝐶2 (.12𝑚)2

𝐸1 = 24944.44

𝑁

𝐸2 = 12472.22 𝐶

𝑁

𝐸𝑇 = 37416.66 𝐶 b. 𝐸1 =

𝐸1 =

𝑘𝑄1 𝑟2

𝑘𝑄2 𝑟2

𝐸1 =

𝐸1 =

(8.98𝑥109

(8.98𝑥109

𝑁𝑚2 )(4.00𝑥10−8 𝐶) 𝐶2 (.20𝑚)2

𝑁𝑚2 )(2.00𝑥10−8 𝐶) 𝐶2 (.20𝑚)2

𝑁

𝐸1 = 8980 𝐶

𝑁

𝐸2 = 4490 𝐶

𝑁 𝐶

𝑁

𝐸𝑇 = 13470 𝐶

37E. En un informe científico publicado en 1911, Ernest Rutherford dijo: “Para formarse una idea de las fuerzas necesarias para desviar una partícula α un ángulo grande, considere un átomo que contenga una carga puntual positiva 𝑍𝑒 en su centro y rodeado por una distribución de electricidad negativa –𝑍𝑒 uniformemente distribuida dentro de una esfera de radio 𝑅. El campo eléctrico 𝐸… a una distancia 𝑟 desde el centro para un punto dentro del átomo [es].

𝐸=

𝑍𝑒 1 𝑟 ( 2 − 3) . " 4𝜋𝜀𝑜 𝑟 𝑅

Verifique esta ecuación.

1

𝑄 = 𝑍𝑒

Cuando ra: 𝐸=

𝐾𝑄 𝑟2

𝐸=

𝐾𝑄𝑟 𝑅3

𝐾𝑄 𝐾𝑄𝑟 = 𝑟2 𝑅

Sustituyendo valores: 𝑍𝑒 𝑍𝑒 • 𝑟 = 2 4𝜋𝜀𝑜• 𝑟 4𝜋𝜀𝑜 • 𝑅 3

𝑍𝑒 4𝜋𝜀𝑜• 𝑟 2

𝑍𝑒 1 ( 4𝜋𝜀𝑜 𝑟 2

𝑟

− 𝑅3 )

𝑍𝑒•𝑟 3 =0 𝑜 •𝑅

− 4𝜋𝜀

∴

𝑍𝑒

1

𝑟

𝐸 = 4𝜋𝜀 (𝑟2 − 𝑅3 ) 𝑜

44P. La figura muestra una cáscara esférica de carga con densidad de carga volumétrica uniforme ρ. Determine E debido a la cáscara para distancias a 30cm. Suponga que ρ= 1.0X10-6 C/m3, a=10 cm y b= 20 cm Solución:

𝑉= 𝑉1 =

4 𝜋𝑟 3 3

𝑉1 =

4 𝜋(0.3)3 3

4 𝜋(0.1𝑚)3 3

𝑉1 =

4 𝜋(0.3𝑚)3 3

𝑉1 = 4.188𝑋10−3 𝑚3

𝑉1 = 0.113𝑚3

𝑞

ρ = 𝑣 ∴ 𝑄 = ρV Q1= (1.0X10-6 C/m3)(4.188X10-3m3) =4.188X10-9C Q1= (1.0X10-6 C/m3)(0.113m3) =1.13X10-7C 2

(8.98𝑋109 𝑁𝑚 ⁄ 2 )(4.188X10−9 C) 𝑘𝑄1 𝐶 𝐸= 2 = = 3760.824 𝑁⁄𝐶 𝑟 (0.1)2 2

(8.98𝑋109 𝑁𝑚 ⁄ 2 )(1.13X10−7 C) 𝑘𝑄2 𝐶 𝐸= 2 = = 11274.888 𝑁⁄𝐶 𝑟 (0.3)2

45P. En la siguiente figura una cáscara esférica no conductora de radio interior a y radio exterior b, tiene una densidad de carga volumétrica ρ=A/r (Dentro de su grosor), donde A es una constante y r es la distancia desde el centro de la cáscara. Además, una carga puntual positiva q está ubicada en ese centro. ¿Qué valor debe tener A si el campo eléctrico de la cáscara (a ≥ r ≥ b) debe ser uniforme?

46P. Una esfera no conductora tiene una densidad de carga volumétrica uniforme ρ. Sea 𝑟⃗ el vector desde el centro de la esfera a un punto genera P en su interior. A) Demuestre que el campo eléctrico de p esta dado por 𝐸⃑⃗ = ρ𝑟⃗/3𝜀0 (Nótese que el resultado eléctrico es independiente del radio de la esfera) Solución: Como el campo eléctrico es uniforme tomaremos como 𝑟⃗ = al radio porque es igual en cualquier punto. Tenemos que:

Sabemos que: 𝑄

ρ = 𝑉 ∴ 𝑄 = ρV

𝑘𝑄 y 𝐸⃑⃗ = 𝑟2

𝑉=

4 𝜋𝑟 3 3

y

1

𝑘 = 4𝜋𝜀

0

donde r= 𝑟⃗

Entonces: 𝑄=

4ρ𝜋𝑟 3 3

(

𝐸⃑⃗ =

y

1 4ρ𝜋𝑟3 )( ) 4𝜋𝜀0 3 3 𝑟⃗

=

4ρ𝜋𝑟3 12𝜋𝜀0 𝑟⃗ 3

=

𝜌4𝜋𝑟⃗ 3 12𝜀0

4𝜌𝑟⃗ 𝜌𝑟⃗ = 12𝜀 ∴ 𝐸⃑⃗ = 3𝜀 0

0

B) En la esfera se hace una cavidad esférica, como se ilustra en la figura. A partir de los conceptos de superposición 𝜌𝑎⃑⃗ demuestre que el campo eléctrico en todos los puntos dentro a la cavidad es uniforme e igual a 𝐸⃑⃗ = 3𝜀0

Solución: como el principio de superposición la suma de todos los campos será igual al campo total entonces al ser una esfera si tomamos la distancia del radio se encontrara un campo exactamente igual pero en sentido contrario del otro lado por lo que se eliminarían y al ser uniforme podemos tomar la distancia que queramos y será igual así que podemos decir que 𝑎 ⃑⃑⃑⃗ = 𝑎𝑙 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑜𝑙𝑜 𝑣𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑎 𝑡𝑜𝑚𝑎𝑟 𝑒𝑠𝑒 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 Tenemos que: 𝑄

ρ = 𝑉 ∴ 𝑄 = ρV

𝑘𝑄 𝐸⃑⃗ = 𝑟2

y

Sabemos que: 4 𝜋𝑟 3 3

𝑉=

1

𝑘 = 4𝜋𝜀

y

donde r= 𝑎⃗

0

Entonces: 𝑄=

4ρ𝜋𝑎 3 3

y

𝐸⃑⃗ =

(

1 4ρ𝜋𝑎3 )( ) 4𝜋𝜀0 3 𝑎⃑⃗ 3

=

4ρ𝜋𝑎3 12𝜋𝜀0 𝑟⃗3

=

𝜌4𝜋𝑎⃑⃗ 3 12𝜀0

4𝜌𝑎⃑⃗

𝜌𝑎⃑⃗

0

0

= 12𝜀 ∴ 𝐸⃑⃗ = 3𝜀

47P. Una distribución volumétrica de carga esférica simétrica, pero no uniforme, produce un campo eléctrico de magnitud 𝐸 = 𝐾𝑟 4 , dirigido en forma radial hacia fuera desde el centro de la esfera. Aquí, r es la distancia radial desde ese centro, y K es una constante ¡Cuál ess la densidad de volumen ρ de la distribución de carga? Solución: E=Kr4 R=distancia

tenemos que: 𝐸⃑⃗ =

Sabemos que: 𝜌 =

K=constante Sustituyendo: 𝜌 =

𝑘𝑄 𝑟2 𝑄 𝑉

∴𝑄= ∴𝜌

𝐾𝑟6 𝑘

𝑉

𝐸𝑟 2 𝑘

=

sustituimos:𝑄 = 𝐾𝑟 6 𝑘𝑉

podemos decir: 𝑉 = r1= radio

𝐾𝑟6 𝑘4𝜋𝑟3 1

3

3𝐾𝑟 6

∴ 𝜌 = 4𝑘𝜋𝑟3 1

𝐾𝑟 4 𝑟 2 𝑘

=

𝐾𝑟 6 𝑘

4 𝜋𝑟13 3

de la esfera