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Informe de Laboratorio No.1 Mediciones y Errores

Autores: Jean Carlo Cembranos Navarrete, Erika Susely Constante Osorio, Rafael Buse Bone, Cristian Maranje Perez Departamento de Ciencias Exactas, Universidad de las Fuerzas Armadas (ESPE), Avenida General Rumiñahui, Sangolqui-Rumiñahui Email: [email protected]

Resumen El objetivo de la presente práctica es determinar la densidad de un cuerpo de prueba, empleando el concepto de cifras significativas y con la ayuda de algunos instrumentos de medición bastante precisos, mediante mediciones directas e indirectas. Para esto se debe tener muy en cuenta los principales conceptos de los temas ubicados dentro del marco teórico del informe. Las herramientas de alta precisión usadas para la presente práctica son: Calibrador o pie de rey, tornillo micrométrico y una balanza. Con estos instrumentos se han obtenido su longitud, diámetro y masa del cuerpo respectivamente. Posteriormente, aplicando teoría de errores se ha obtenido la densidad del cuerpo en cuestión. Más adelante se detallan a profundidad los resultados obtenidos para el presente informe. Palabras clave: Cuerpo de prueba, densidad, cifras significativas, calibrador, micrómetro, balanza, medición directa, medición indirecta, teoría de errores.

Abstract

The objective of this practice is to determine the density of a test body, using the concept of significant figures and with the help of some fairly precise measuring instruments, through direct and indirect measurements. For this, the main concepts of the subjects within the theoretical framework of the report must be taken into account for the correct The high precision tools used for this practice are: caliper, micrometric screw and a scale. These instruments have obtained their length, diameter and body mass respectively. Subsequently, applying error theory has obtained the density of the body in question. The results obtained for this report are detailed in depth below, for a correct application within the subject matter. Keywords: Test body, density, significant figures, calibrator, micrometer, balance, direct measurement, indirect measurement, error theory.

1. Objetivo de la Práctica: -

Determinar la densidad del cuerpo de prueba, utilizando mediciones directas e indirectas. Expresando correctamente el valor numérico de estas mediciones empleando el concepto de cifras significativas y su exactitud de las mediciones directas e indirectas que se han utilizado, aplicando la teoría de Errores y propagación de Errores.

Marco Teórico: Introducción

Este procedimiento es frecuente en la física y se lo realiza mediante mediciones directas o

2. Fundamentación teórica indirectas. La medición de distintas cantidades físicas Las mediciones directas serán aquellas donde que intervienen en determinado fenómeno físico la cantidad buscada se la puede obtener es de vital importancia en la Física directamente mediante la utilización de un Luego, medir no es otra cosa que comparar a dicha cantidad con otra de la misma naturaleza,

instrumento de medición, ejemplos de ellas serán: la medición de longitudes, masas y otros.

tomada con la unidad y fijada previamente por el Pero, en muchas ocasiones se tiene que , la operador. cantidad que se quiere medir se lo obtenga a través de la medición de otras cantidades medidas directamente, las mismas que están

relacionadas entre sí por medio de leyes físicas

Fórmulas:

conocidas, las cuales se expresan mediante Si se efectúa un gran número de mediciones ecuaciones matemáticas, hablaremos entonces de de la misma magnitud física, bajo las mismas mediciones indirectas. condiciones, su representación gráfica ira Debido a un conjunto de consideraciones

tomando una forma definida, la de campana, esta

físicas no es posible obtener el valor verdadero

será entonces la Curva de Gauss, cuya expresión

de una magnitud y en consecuencia es necesario

es:

asociar cierto grado de error. 𝐺= Los

errores

personales, condiciones

sistemáticos

instrumentales externas,

pueden y

debido

factores

que

ser: a

Donde: ℎ =

1 𝜎√2

ℎ √𝜋

𝑒 −ℎ

2𝑥2

es el módulo de precisión.

han

participado en la medición y que permitirán obtener solo valores aproximados de las magnitudes medidas.

Para datos mayores que 30 podemos utilizar una distribución normal y el error cuadrático medio el cual es:

Pero también estarán presentes los errores

𝜎 = √∑

𝑛 (𝑋𝑖 − 𝑥)2 𝑖 =1 𝑛−1

casuales, su causa no está perfectamente definida y en consecuencia no se los pueden evitar. El

Para datos menores que 30 podemos utilizar

estudiante se sorprenderá al comprobar que al

una distribución t podemos

medir una cantidad con el mayor cuidado posible

desviación típica muestral.

encontrar la

y repetir la operación varias veces, los resultados 𝑆𝑛−1 = √∑

no se repiten como debería esperarse.

𝑛 (𝑋𝑖 − 𝑥)2 𝑖 =1 𝑛−1

En consecuencia, la relativa exactitud con Si admitimos como valor representativo de la que obtengamos cierta medición dependerá del cantidad medida el correspondiente máximo de control que tengamos de estos factores y del la curva, veremos que este valor coincide con el método de medición que utilicemos. promedio o media aritmética de todas las Por los factores enunciados podemos afirmar que el valor numérico de cualquier medida es

lecturas, en consecuencia, este será el valor más probable.

solo una aproximación. 𝑋=

1 1 (𝑋1 + 𝑋2 + 𝑋3 + ⋯ 𝑋𝑛) = ∑ 𝑋𝑖 𝑛 𝑛

Pero sabemos que ninguna medición es exacta, entonces será necesario determinar un

expresa la exactitud con la que se ha obtenido dicha lectura.

intervalo de incerteza que debe estar relacionado

𝛿 = 𝑋𝑖 − 𝑋

con la calidad del proceso de medición. ∆

→ 𝑥 Deberá expresarse con el resultado de

∆

El error absoluto es un valor → 𝑎 que se sabe que es mayor que la diferencia entre el valor real y el aproximado.

las

operaciones

de

cifras

significativas,

dependiendo del valor numérico de la magnitud a medirse, se deberá expresarlo utilizando la

∆

notación exponencial.

→ 𝑎 = |𝑥 − 𝑎| ∆

Si → 𝑥 es la incertidumbre del valor

Error relativo como el cociente entre la incertidumbre o error absoluto y el valor más

representativo de un conjunto de mediciones y es ∆

∆

probable.

∆

igual → 𝑥 =→ 𝑥s + → 𝑥𝑎 ∆

→𝑥 𝐸𝑟 = 𝑋

Donde ∆

Representa la incerteza que en la medición le

→ 𝑥𝑠 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑟𝑒𝑚𝑎𝑡𝑖𝑐𝑜 𝑦

corresponde a cada unidad y constituye una

∆

Si → 𝑥 es el error sistemático el cual se lo halla encontrando la apreciación del instrumento y dividiéndole para dos de medición y e

expresión de la calidad realizada con ese instrumento, esto es, la apreciación relativa de cada lectura.

estimación que podemos leer es el error ∆

sistemático que puedes ser → 𝑥𝑠 =

El Error Porcentual Ep, refleja la precisión de

∆

→𝑝 2

o la

∆

una medida y no es sino el error relativo

apreciación de → 𝑝, una lectura de una cantidad

multiplicado por cien y dependerá del valor

cualquiera quedaría definida así

numérico de la cantidad medida y de la

∆

apreciación del instrumento utilizado.

(X+→ 𝑥) unidades. 𝐸𝑝 = (𝐸𝑟 ∗ 100)% SE denomina error aparente, desvió o residuo de una lectura a la diferencia entre la lectura y el valor más probable de ella. Generalmente

La confianza de un resultado viene dada por su exactitud y su precisión.

Se dice que una medida es más exacta cuanto más cerca esta del valor verdadero. Mientras que

d)

La mitad de la altura de la

curva tiene por ancho 2.36𝜎

la precisión se refiere a la cercanía de los valores medidos. Función de Distribución: La función y=f(x) es la ecuación de la curva de distribución. En la mayoría de los casos físicos, se supina priores Instrumentos Utilizados para Mediciones: que, las curvas de distribución toman la forma de distribución de Gauss, representada por la

Regla de Medir: El dispositivo más simple que existe es la regla. Se emplea para dar una

función:

𝑓(𝑥) =

1 𝜎√2𝜋

mayor precisión a las mediciones Mientras 𝑒

mayor sea la separación entre el objeto y la escala de la regla y si la línea de visión no está en ángulo

Cuyo grafico es:

recto con la escala, la lectura será errónea debido al error de paralaje. Nonio o Calibrador: Es un instrumento para medir dimensiones de objetos relativamente pequeños, desde centímetros hasta fracciones de milímetros. Contiene una escala móvil que se desliza a lo

Cuyas principales características son:

largo de una escala fija sobre la cual se debe a)

Es simétricas con respecto al realizar la lectura principal. (Ilustración adjunta

punto máximo en el apartado de Anexos). b)

El

valor

medio

de

la

distribución es además el valor más probable. c)

A una altura de0.607 de la

altura máxima, el ancho de la curva es de 2𝜎

Partes del Nonio: 1.

Mordazas

para

medidas

externas 2.

Orejetas para medidas internas

3.

Aguja

profundidades

para

medida

de

4.

Escala principal

5.

Escala Secundaria

6.

Nonio

para

Cifras

lectura

Nonio

para

de

un

número

el número de dígitos sin contar el o los ceros en el extremo izquierdo de la cantidad.

lectura

de

fracciones en centímetros 8.

En

cualquiera, el número de cifras significativas, es

fracciones en milímetros 7.

Significativas:

Botón de deslizamiento y freno

(Ilustración adjunta en el apartado de Anexos)

Propagación de Errores. - Cando se tratan de

mediciones

determinar medidas con mayor precisión que la

se

presentan

dificultades en cuanto se refieren al tratamiento que se debe hacer con los errores experimentales. Toda

Tornillo Micrométrico: Se utiliza para

indirectas,

magnitud

física

directa

quedara

definida así: ∆

𝑋 +→ 𝑥 anterior, consta de un tornillo de paso pequeño y constante que penetra en la tuerca la cual lleva

Pero si tenemos una función indirecta x que

rígidamente unida la pieza con su respectivo

depende de algunas otras variables directas x, y,

tope.

z, w,.. Decimos que z=f(x, y,…).

El avance del tornillo se da mediante el giro de la cabeza del tornillo hasta que se espiga roce

Entonces,

esta

cantidad

indirecta

se

caracterizara de la siguiente manera:

la cara del elemento, cuya longitud se desea

∆

𝑍 = 𝑍+→𝑧 medir.

Donde, la incertidumbre se calcula según la Partes del tornillo Micrométrico: serie de Taylor: 1.

Cuerpo principal

2.

Palpado fijo

3.

Palpado móvil

4.

Escala cilíndrica

5.

Tambor graduado

∆

→𝑍 = √

𝜎𝑧 2 ∆ 𝜎𝑧 2 ∆ ∗→𝑥+ ∗→ 𝑦 … 𝜎𝑥 𝜎𝑥

Histograma: Es la representación gráfica de las frecuencias de clase en función de los intervalos de clase.

(Ilustración adjunta en el apartado de Anexos)

Consiste en, una serie de rectángulos que

medios

tienen:

de

los

rectángulos

histograma en la parte superior. a)

eje

En general, las apariencias de un histograma

horizontal, con ancho igual a la

dependen del ancho de las clases elegido para

amplitud de las clases y centros

distribuir los datos. Con un numero de datos muy

correspondientes a los valores de C.

grandes y disminuyendo la amplitud de las

b)

Sus

bases

sobre

el

Las alturas de los rectángulos,

clases, se puede hacer que la apariencia del

son iguales a las frecuencias de clase si

polígono se aproxime a una curvas suave y

c)

son amplitudes son iguales si

los intervalos de clase no son iguales

continua. Polígono de Frecuencia

estas alturas deben ser calculadas. d)

El polígono de frecuencias se

traza, uniendo con líneas los puntos

3. Equipos y Materiales:

-

Tornillo Micrométrico

-

Balanza

Materiales: -

Cuerpo de Prueba

Herramientas: -

del

Calibrador – vernier

4. Instrucciones o Procedimiento:

4.3 Determine

una

vez

una

magnitud de la masa del cuerpo de prueba, utilizando para ello una balanza. 4.1 Determine 10 veces, una misma magnitud lineal de la altura del cuerpo de prueba, utilizando para ello al calibrador-vernier. 4.2 Determine 10 veces, una misma magnitud lineal del diámetro del cuerpo de prueba, utilizando 4.4 Registre para

ello

el

los

datos

en

las

tornillo unidades

que

dan

los

micrométrico. instrumentos

con

las

apreciaciones del instrumento en la hoja técnica de datos.

5

Actividad tabulación de datos Con los datos obtenidos y calculados, ordénelos en las tablas dadas Magnitudes directas TABLA I. Datos de altura Cuerpo de prueba: Cilindro

Magnitud: Altura

Medicines

Lecturas Xi

Valor probable

Desvió

Desvio2

n

(m)

𝑋(m)

𝛿 =𝑋−𝑋( )

𝛿 2 (𝑚2 )

1

0.028

0.02796

0.00004

1.6 × 10−9

2

0.0274

0.02796

-0.00056

3.136 × 10−7

3

0.0281

0.02796

0.00014

1.96 × 10−8

4

0.0281

0.02796

0.00014

1.96 × 10−8

5

0.028

0.02796

0.00004

1.6 × 10−9

6

0.0278

0.02796

-0.00016

2.56 × 10−8

7

0.0281

0.02796

0.00014

1.96 × 10−8

8

0.028

0.02796

0.00004

1.6 × 10−9

9

0.0282

0.02796

0.00024

5.76 × 10−8

10

0.0279

0.02796

-0.00006

3.6 × 10−9

n=

ΣX = 0.2796

Σδ = −1.4 × 10−4

Σ𝛿 2 = 4.64 × 10−7

∆𝑋𝑠 = 2.5 × 10−5

∆𝑥𝑎 = −1.4 × 10−5

𝐸𝑟 = 3.93 × 10−4

𝐸𝑝 = 0.0393

𝑋 ± ∆𝑋 = 0.027971

∆𝑥 = 1.1 × 10−5

TABLA II. Datos del diámetro

Cuerpo de prueba: Cilindro

Magnitud: Altura

Medicines

Lecturas Xi

Valor probable

Desvió

Desvio2

n

(m)

𝑋(m)

𝛿 =𝑋−𝑋( )

𝛿 2 (𝑚2 )

1

0.028

0.02796

0.00004

1.6 × 10−9

2

0.0274

0.02796

-0.00056

3.136 × 10−7

3

0.0281

0.02796

0.00014

1.96 × 10−8

4

0.0281

0.02796

0.00014

1.96 × 10−8

5

0.028

0.02796

0.00004

1.6 × 10−9

6

0.0278

0.02796

-0.00016

2.56 × 10−8

7

0.0281

0.02796

0.00014

1.96 × 10−8

8

0.028

0.02796

0.00004

1.6 × 10−9

9

0.0282

0.02796

0.00024

5.76 × 10−8

10

0.0279

0.02796

-0.00006

3.6 × 10−9

n=

ΣX = 0.2796

Σδ = −1.4 × 10−4

Σ𝛿 2 = 4.64 × 10−7

∆𝑋𝑠 = 2.5 × 10−5

∆𝑥𝑎 = −1.4 × 10−5

𝐸𝑟 = 3.93 × 10−4

𝐸𝑝 = 0.0393

∆𝑥 = 1.1 × 10−5

𝑋 ± ∆𝑋 = 0.027971

TABLA III. Datos de la masa Cuerpo de prueba: Cilindro Hueco Mediciones Lecturas X n (g) 1 24,9 n= 1 ∑𝑋 = 24,9 ∆𝑋𝑎= 0,05 ∆𝑋𝑠 = 0 𝑋̅ ± ∆𝑋 = 24,9± 0,05 (g)

Magnitud: Masa Valor probable 𝑋̅ (𝑔) 24,9 ∆𝑥 = 0,05

Desvió 𝛿 = 𝑋 − 𝑋̅(g) 0 ∑𝛿 = 0 Er= 0

𝐷𝑒𝑠𝑣í𝑜2 𝛿 2 (𝑚2 ) 0 ∑𝛿 2 = 0 Ep= 0

Magnitudes indirect as TABLA IV. Datos de calculo de volume y densidad

Magnitud Volumen V (𝑚3 ) 3 Densidad(𝑘𝑔/𝑚 ) DENSIDAD

Experimental 𝑋̅ 3,5𝑐𝑚3 7,114𝑔⁄𝑐𝑚3

∆𝑋 Incertidumbre 3,926𝑥10−7 𝑐𝑚3 3,926𝑥10−6 𝑐𝑚3

TABLA V. Teórico (𝑘𝑔/𝑚3 ) 8.96 𝑔⁄𝑐𝑚3

Experimental (𝑘𝑔/𝑚3 ) 7,114𝑔⁄𝑐𝑚3

Error (%) 20%

Substancia cobre

ACTIVIDAD-PREGUNTAS

Derivada parcial 1 del volumen

A.- ¿Considerando la Teoría de mediciones y Propagación de errores? ¿Determine el volumen y la densidad del cuerpo de prueba con sus respectivos errores relativos, porcentuales y sus respectivas incertidumbres?

𝜕𝑣 𝜋𝐷ℎ = 𝜕𝐷 2 𝜕𝑣 (3.1416)(0.0126595)(0.02796) = 𝜕𝐷 2 𝜕𝑣 = 5.56 × 10−4 𝜕𝐷

Volumen

Derivada parcial 2 del volumen

𝑣 = 𝜋𝑟 2 ℎ 𝑣 = (3.1416)(6.33 × 10−3 )2 (0.02796) 𝑣 = 3.52 × 10−6

𝜕𝑣 𝜋𝐷 2 = 𝜕𝐷 4 𝜕𝑣 (3.1416)(0.0126595)2 = 𝜕𝐷 4 𝜕𝑣 −4 = 1.26 × 10 𝜕𝐷

Densidad 𝜌=

𝑚 𝑣

0.0249 𝜌= 3.52 × 10−6 𝜌 =7073.864 Derivada parcial 1 de la densidad 𝜕𝑣 1 = 𝜕𝐷 𝑣 𝜕𝑣 1 = 𝜕𝐷 3.52 × 10−6 𝜕𝑣 = 284090.91 𝜕𝑑 Derivada parcial 2 de la densidad 𝜕𝑣 𝑚 = 2 𝜕𝐷 𝑉 𝜕𝑣 0.0249 = 𝜕𝐷 1.24 × 10−11 𝜕𝑣 = 2008064516 𝜕𝐷

Incertidumbre del volumen ∆𝑣 = √(

𝜕𝑣 2 2 𝜕𝑣 2 2 ) 𝐸 +( ) 𝐸 𝜕𝐷 𝜕𝐻

∆𝑣 = √(3.09 × 10−7 )(3.6 × 10−9 ) + (1.59 × 10−3 )(1 × 10−3 ) ∆𝑣 = 1.26 × 10−3 Incertidumbre de la densidad ∆𝑣 = √(

𝜕𝑣 2 2 𝜕𝑣 2 ) 𝐸 + ( ) 𝐸2 𝜕𝐷 𝜕𝐻

∆𝑣 = √(8.07 × 1010 )(2.5 × 10−9 ) + (4.03 × 1013 )(4 × 10−14 ∆𝑣 =14.261

con 100 mediciones se acerca aún más al valor exacto de la medida. B. ¿Qué entiende por Cifras significativas y demuestre como las utilizó en esta D. ¿En qué criterio se fundamenta la experiencia? Teoría de Errores y la Propagación de Las cifras significativas son las cifras que

errores?

expresan la precisión y/o exactitud de la Dado que el valor de las magnitudes físicas medida de las magnitudes y aportan una que intervienen en una experiencia dada información científica, representan el uso de obtenidas por medida, bien directa o bien una o más escalas de incertidumbre en las indirecta aproximaciones.

Mientras

más

viene

siempre

afectado

de

cifras imprecisiones (imperfecciones del aparato

significativas tenga un valor, más cerca de la de medida, o a las limitaciones impuestas exactitud y precisión se encuentra el valor. por nuestros sentidos), debe aceptarse el En este caso las cifras significativas nos hecho de que no es posible conocer el valor ayudaron a aproximarnos al valor exacto de exacto de ninguna magnitud. Cualquier la medición de las distintas magnitudes resultado

numérico

obtenido

tomadas en cuenta en esta práctica. experimentalmente

debe

presentarse

C. ¿En un parámetro físico de medición

siempre acompañado de un número que

directa si en lugar de 10 hiciera 100

indique cuánto puede alejarse este resultado

mediciones? ¿Qué efecto tendrían los

del valor exacto. El principal objetivo de la

errores aleatorios en sus resultados?

denominada teoría de errores consiste en

Al tener un mayor número de medidas, y

acotar el valor de dichas imprecisiones,

posterior a esto realizar un promedio de los

denominadas errores experimentales.

datos obtenidos, tendremos un valor más

Análisis de Resultados

preciso debido a que se tomaron en cuenta un mayor número de medidas. Pero no altera el promedio de las 10 mediciones, solo que

Después de haber realizado la práctica

6

Actividad – Preguntas A.-

7

Resultado de Aprendizaje Obtenidos

8

Conclusiones

9

Recomendaciones

propuesta para el presente informe, se han obtenido los siguientes datos: Material del Cuerpo: Acero Forma del Cuerpo: Cilíndrica Longitud del Cuerpo Cilíndrico:Se tomaron

10

posibles

datos

lo

mas

aproximados a la realidad, despues de haber realizado su promedio se ha obtenido un valor de 31,63mm.

• Conclusiones y Recomendaciones 1. Se logró cumplir con el objetivo planteado en los tiempos indicados 2. El trabajo en equipo fue muy importante para la correcta ejecución de la práctica

Diámetro del Cuerpo Cilíndrico: De igual manera se tomaron 10 posibles datos lo masd aproximados a la realidad, despues de realizar su promedio se ha obtenido un valor de 6,315. Masa del Cuerpo Cilíndrico: Finalmente, con la ayuda de una balanza se tomó un único dato arrojando una masa con el valor de 7,60gr. Nota: Para constancia de la veracidad de los resultados planteados anteriormente, se adjunta la “HOJA TECNICA DE DATOS”.

10 Bibliografía ➢ Maiztegui, R. “Introducción a las mediciones de laboratorio” Editorial Guayaquil, Buenos Aires, 1978 ➢ F. Cernuschi, F. “Teoría de Errores de mediciones”, Ediciones Eudeba, Buenos Aires, 1974

Anexos

Función de Distribución Ilustración 1.1

Polígono de frecuencias

Instrumentos de Medición utilizados

Ilustración 1.2