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• Luis Duarte Lopez

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ERRORES Problemas

1. (a) ¿Un conjunto de medidas bastante precisas, indica necesariamente que estas sean exactas? ¿Por qué? Respuesta= No, porque la Precisión es la aproximación de los valores experimentales unas a otras, sin embargo la Exactitud es el acercamiento al valor (b) Un conjunto de medidas bastante exactas, indica necesariamente que estas sean precisas? ¿Por qué? Respuesta=Si, por que al der las medidas Exactas se tiene también que estas medidas sean al mismo tiempo Precisas. (c) ¿Qué prefiere usted en laboratorio ¿Más precisión? ¿Por qué? Respuesta= Necesariamente prefiero Exactitud, porque al tener Exactitud tendré también Precisión y estaré cerca del valor verdadero 2. El valor medio del diámetro de cierto eje es 22.4 mm y los datos experimentales para su cálculo son: Di (mm)

D1 22.4

D2 22.5

D3 22.3

D4 22.2

D5 22.3

D6

D7 22.6

(a) ¿Cuál es el valor de D6? (b) Con la medida calculada en el inciso a) ¿Cuál es el intervalo de confianza para D a un nivel de significación del 95%? SOLUCION (a) Respuesta D= ∑𝑛𝑖=1 𝐷𝑖 → D =

𝐷1+𝐷2+𝐷3+𝐷4+𝐷5+𝐷6+𝐷7 𝑛

n=7 (Nº de medidas )

22.4+22.5+22.3+22.2+22.3+𝐷6+22.6

22.4 =

7

Despejando D6 resulta el siguiente valor: D6=22.5

(b) Respuesta = 95%

siendo: α=95%→ α=1- 100% →α=0.05 →

Se busca D= D ± 𝐸𝐷

𝛼 2

= 0.025

Intervalo de confianza Como n=7→ 𝑛 < 30 𝑠𝑒 𝑒𝑚𝑝𝑙𝑒𝑎𝑟𝑎 𝑙𝑎 𝑠𝑖𝑔𝑢𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑢𝑙𝑎

E=𝑡𝛼 2

5 √

→ 𝐸𝐷 = 𝑡𝛼 , 𝜐 𝑛 2

𝑆𝐷 √𝑛

;𝜐 = 𝑛 − 1 = 7 − 1 = 6

.𝑡𝛼 ; 𝜐 = 𝑡0.025,6 = 2.447 𝑒𝑛 2 "DICHO VALOR SE ENCONTRO EN LA TABLA 2 2

̅ 2 ∑𝑛 𝑖=1(𝐷−𝐷 )

𝑆𝐷 = √

𝑛−1

(22.4−22.4)2 +(22.5−22.4)2 +⋯..+(22.6−22.4)2

=√

7−1

𝑆𝐷 = 0.141𝑚𝑚 𝑒𝑛 2 𝐸𝐷 = 2.447

0.141 √7

→ 𝐸𝐷 = 0.13 𝑚𝑚

D= (22.4±0.1)𝑚𝑚 3. El ancho de este libro no es menos de 1506 cm de 1506 ni más de 16.2 cm, mientras que el largo no es menos de 20.30 cm no más de 20.60 cm. Exprese cada una de estas medidas como: valor central ± error. Solución Para el ancho A 𝐴2 = 16.2

𝐴1 = 15.6

𝑛 = 2; 𝜐 = 𝑛 − 1 = 2 − 1 → 𝜐 = 1 𝑛 < 30 → 𝑠𝑒 𝑒𝑚𝑝𝑙𝑒𝑎: 𝐸𝐴 = 𝑡𝛼 ; 𝜐 2

𝑆𝐴 √𝑛

Para el largo (L) 𝐿1 = 20.30𝑐𝑚 𝐿2 = 20.60𝑐𝑚 𝑛 = 2 ;𝜐 = 𝑛 − 1 = 2 − 1 → 𝜐 = 1 N< 30 → 𝑠𝑒 𝑒𝑚𝑝𝑙𝑒𝑎 𝐸𝐿 = 𝑡∝; 𝜐 2

𝑆𝐿 √𝑛

Calculando el error de A 𝐸𝐴 = (𝐴1 − 𝐴̅) = (𝐴2 − 𝐴̅) 𝐸𝐴 = (16.2 − 15.9) 𝐸𝐴 = 0.3 𝑐𝑚 Finalmente se tiene:

A= (15.9±0.3) cm

Calcular el error L: 𝐿̅ = 21.45 𝑐𝑚 𝐸𝐿 = 𝐿1 − 𝐿̅ = ⌊(20.30 − 20.45)⌋𝑐𝑚 𝐸𝐿 = 0.15𝑐𝑚 Finalmente se tiene

L= (20.45±0.15) cm

4. Con relación a la pregunta 3, ¿Cuál es el error absoluto y el error relativo porcentual del área de la tapa del libro? Solución: Para el ancho ε=

𝐸𝐴 𝐴̅

Para el largo 𝐸

𝜀= 𝐿̅𝐿 ∗ 100%

∗ 100%

0.3𝑐𝑚

0.15 𝑐𝑚

ε = 15.9𝑐𝑚

𝜀 = 20.45 𝑐𝑚*100%

𝜀 = 1.9%

𝜀 = 0.7%

5. Siempre con relación a la pregunta 3. ¿Cuál es el error absoluto y el error relativo porcentual del área de la tapa del libro? Solución: Sabiendo que:𝐴1 = 𝐴1 ∗ 𝐿1 = (15.6𝑐𝑚)(20.30𝑐𝑚) → 𝐴1 = 316.68𝑐𝑚2 𝐴2 = 𝐴2 ∗ 𝐿2 = (16.20)(20.60) → 𝐴2 = 333.72𝑐𝑚2 𝐴 +𝐴 316.68𝑐𝑚 𝐴̅ = 1 𝑛 2=

2 +333.72𝑐𝑚2

2

→ 𝐴̅ = 325.20𝑐𝑚2

∑𝑛 (𝐴1 − 𝐴̅)2 (316.68 − 325.20)2 + (333.72 − 325.20)2 𝑆𝐴 = √ 𝑖=1 =√ 𝑛−1 2−1 𝑆𝐴 = 12.05 𝑐𝑚2 Entonces el error absoluto será : 𝐸𝐴 = 𝑡𝛼 , 𝜐 2

𝑆𝐴 √𝑛

; 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑖𝑑𝑒𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑡𝛼 ; 𝜐 = 1

𝐸𝐴 =

2

𝑆𝐴 12.05 ; √𝑛 √2

𝐸𝐴 = 8.5𝑐𝑚2

Luego el error relativo porcentual será ἑ=

𝐸𝐴 *100% 𝐴̅

8.5𝑐𝑚2

=325.2𝑐𝑚2 ∗ 100%

ἑ= 2.6% 6. La mínima operación (máximo error de lectura) de una regla, milimétrica es 1mm, ¿Cuál es la distancia más corta que se puede medir con esta regla de manera que el error relativo porcentual no sea mayor a (a) 1% , (b) 5%? Solución: Datos: 𝐸𝑋 = 1𝑚𝑚 𝐸

a) 𝜀 = 𝑋̅𝑋 *100→ 𝑋̅ = 𝐸𝑋 b) 𝜀𝑥% =

𝐸𝑋 𝑋̅

100% 1%

= 1𝑚𝑚

100% 1%

100% ∗ 100 → 𝑋̅ = 𝐸𝑋 𝜀 = 1𝑚𝑚 𝑋%

→ 𝑥̅ = 100𝑚𝑚 100% 5%

→ 𝑥̅ = 20 𝑚𝑚

7. Usted dispone de dos balanzas A y B cuyas posiciones son 0.1 y 0.01 gr respectivamente, ¿Cuál es la mínima masa que puede medir con cada una de ellas de modo de no sobrepasar un error del 0.5%? Solución: 𝐸𝐴 = 0.1 𝑔𝑟

Datos:

𝐸𝐵 = 0.01𝑔𝑟 𝜀𝐴% = 𝜀𝐵% = 0.5% Para la balanza A 𝜀𝐴% =

𝐸𝐴 100% ∗ 100% → 𝐴̅ = 𝐸𝐴 ̅ 𝜀𝐴% 𝐴

𝐴̅ = 0.1 𝑔𝑟

100% 0.5%

=20 gr 𝑚𝐴 = 20 𝑔𝑟

Masa en la balanza A

Para la balanza B 𝜀𝐵% =

𝐸𝐵 100% ∗ 100 → 𝐵̅ = 𝐸𝐵 𝜖𝐵% 𝐵̅ 100% 𝐵̅ = 0.01gr 0.5%

𝑚𝐵 = 2 𝑔𝑟

Masa de la balanza B

8. La medición de la altura H y el diámetro D de un cono arrojo los siguientes resultados: H= (106.7±0.3) mm D= (45.5±0.2) mm Calcúlese el volumen y su respectivo error Solución: Hallando el volumen medio 𝑣̅ 1𝜋

𝜋

̅ 2𝐻 ̅ = (45.5)2 ∗ 106.7 𝑣̅ = 3 4 𝐷 2 𝑉̅ = 57.8 ∗ 103 𝑚𝑚3 𝜋

V=2 𝐷2 𝐻 ⋰ 𝑙𝑛 ln 𝑣 = ln 1

1

𝜋 + 2 ln 𝐷 + ln 𝐻 2 1

𝑑𝑉 = 2 𝐷 𝑑𝐷 + 𝐻 𝑑𝐻 → 𝑉 𝐸𝑉 = 𝑉̅ ⌈2

𝐸𝐷 ̅ 𝐷

+

𝐸𝑉 ̅ 𝑉

=2

𝐸𝐷 𝐸𝐻 +̅ ̅ 𝐻 𝐷

𝐸𝐻 0.2 𝑚𝑚 ⌉=57.8*103 𝑚𝑚3 ⌈2 4505𝑚𝑚 ̅ 𝐻

0.3𝑚𝑚

+ 106.7𝑚𝑚⌉

𝐸𝑉 = 0.7 ∗ 103 𝑚𝑚3 Finalmente podemos expresar como: V=𝑉̅ ± 𝐸̅𝑉 V= (57.8±0.7)*103 m𝑚3