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• Jhon Bonifacio

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PRÁCTICAS DE LABORATORIO DE FÍSICA DEPARTAMENTO DE FÍSICA APLICADA I CURSO 2010-2011

1 Práctica 1. Cálculo de errores: medidas directas e indirectas. Representación gráfica 1.1.

Fundamento teórico

La física es una ciencia experimental basada en la medida de deteminadas magnitudes. Se denomina magnitud física a toda aquella propiedad física susceptible de ser medida. Por otra parte, medir una magnitud física no es más que compararla con un patrón. Por ejemplo, para medir la distancia entre dos puntos podemos utilizar como patrón una vara, el paso de una persona... Siempre que se realice una medida tenemos que dar como resultado un número con su unidad correspondiente, que determina el patrón que hemos utilizado. Además, en cualquier medida habrá que añadir otro número que nos informe acerca del error cometido al realizarla. En una primera aproximación, las medidas podrían dividirse en medidas directas y medidas indirectas: Medidas directas: Se denomina medida directa aquella que se realiza, por comparación directa, con la ayuda de los instrumentos adecuados, de la magnitud desconocida con el correspondiente patrón. Como ejemplo de medidas directas tenemos: • masas: comparando el cuerpo cuya masa queremos determinar con el patrón de 1 kg mediante una balanza. • longitudes: comparando la longitud bajo estudio con el patrón 1 m mediante una cinta métrica. • fuerzas: comparando la fuerza bajo estudio con 1 N mediante el uso del dinamómetro Medidas indirectas: Se denomina medida indirecta aquella que se obtendría mediante una relación matemática o ley física a partir de medidas directas. Como ejemplo de medidas indirectas tenemos: • volúmenes: si se quiere determinar, por ejemplo, el volumen de una esfera se mide su diámetro y aplicamos la expresión matemática V = π6 d3 .

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1 Práctica 1. Cálculo de errores: medidas directas e indirectas. Representación gráfica • densidades de cuerpos: para determinar la densidad de un cuerpo primero habría que medir su masa (medida directa) y su volumen (que en si misma ya es una medida indirecta) y a continuación calcular la densidad como ρ = m/V Al realizar una medida directa simpre se pueden comenter varios tipos de errores: Errores sistemáticos: Los errores sistemáticos tienen siempre el mismo sentido. Este tipo de errores puede y debe evitarse. Ejemplos de este tipo de errores son el error de paralaje, la mala calibración del aparato.... Errores accidentales: son errores de tipo aleatorio. Son debidos a fluctuaciones y perturbaciones, no controlables por el experimentador y que no se pueden evitar ni eliminar. Su carácter es puramente probabilístico.

1.1.1.

Valores de una magnitud física o valor de una medida

Debido a que siempre está presente algún tipo de error experimental, no se puede conocer el valor exacto de una magnitud física. A continuación vamos a definir algunos parámetros que nos permitirán tener cierta información acerca de cuál es el valor exacto de una magnitud y del error que se comete al hallarlo. Valor verdadero de una magnitud física, xv , es su valor exacto, que suponemos que existe aunque no lo podemos conocer. Valor real de una magnitud física, xr , es el valor más probable de una magnitud. Se puede obtener utilizando aparatos de medida y técnicas estadísticas. Valor hallado, x, es el valor que se encuentra al hacer una medida. Desviación de una medida, ∆x, es la diferencia entre el valor hallado y el valor real ∆x = x − xr (1.1) Para cuantificar los errores que se cometen al realizar una medida, se definen los siguientes parámetros: Error absoluto: Es el valor absoluto de la desviación de una medida. Tiene las mismas unidades que la magnitud física. Ea = |∆x|

(1.2)

Error relativo: Es el cociente entre el error absoluto y el valor real de la medida. Es un número sin dimensiones, que a menudo se expresa en tanto por ciento ( %). Ea Er = (1.3) xr

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1 Práctica 1. Cálculo de errores: medidas directas e indirectas. Representación gráfica

1.1.2.

Estimación del error del valor real de una medida

Error asociado a una medida directa Al estimar el error del valor real de una medida directa pueden darse dos casos: Medidas únicas o de resultados repetidos: Por convenio se acepta que el error que se comete es igual a lo que se denomina Límite Instrumental de error (LIE) y que coinciden con la división más pequeña del aparato de medida que estemos utilizando. Al LIE también se denomina error de escala. Medidas múltiples de una magnitud en las que se obtienen diferentes resultados: En este caso se toma como valor verdadero la media aritmética de las N medidas realizadas: ∑N xi xr = x =

i=1

N

y como error absoluto se le asigna el siguiente valor: √ Ea = (LIE)2 + (σx )2 donde la desviación estándar del valor medio σx viene dada por: v u∑ uN u (xi − x)2 t σx = i=1 N (N − 1)

(1.4)

(1.5)

(1.6)

Es importante aclarar que en este caso cuando se dice que una medida tiene un valor real xr y un error absoluto σx , no se está afirmando que el valor verdadero de esta magnitud esté entre xr − σx y xr + σx . En realidad, haciendo uso de la estadística, lo que se demuestra es que la probabilidad de que el valor verdadero de una magnitud esté en el intérvalo señalado es del 68 %.1 En la expresión (1.6) queda de manifiesto que el error, cuando se efectúan muchas medidas distintas, disminuye conforme aumenta el número de medidas, N . Por otro lado, en la expresión (1.5) cuando la desviación estándar del valor medio es mucho más pequeña que el LIE, la podemos despreciar frente a éste y tomar como error absoluto el error de escala del aparato de medida y viceversa, cuando el LIE sea muy pequeño comparado con la desviación estándar del valor medio, se puede despreciar y el error absoluto coincidirá con la desviación estándar del valor medio. 1

Si en lugar de tomar como error absoluto σx tomamos 2σx , se puede demostrar que la probabilidad de que el valor verdadero de la magnitud esté entre xr − 2σx y xr + 2σx es del 95 %.

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1 Práctica 1. Cálculo de errores: medidas directas e indirectas. Representación gráfica 1.1.2.1.

Error asociado a una medida indirecta

Vamos a ver a continuación qué error se le asocia a una medida indirecta. Supongamos que se tiene una magnitud V que se obtiene mediante una relación matemática de las variables independientes x, y, z .... mediante una expresión del tipo: (1.7)

V = F (x, y, z, ....)

y donde se conocen las magnitudes x, y, z .... y sus respectivos errores absolutos σx , σy y σz . Se define el error absoluto asociado a V como: √( )2 ( )2 ( )2 ∂F ∂F ∂F 2 2 σV = σx + σy + σz2 + ... (1.8) ∂x ∂y ∂z Esta es la ecuación general que nos permite calcular los errores absolutos que se cometen en las medidas indirectas. Veamos algunos casos particulares. En los casos siguientes, supondremos que σx y σy son los errores absolutos cometidos al medir directamente los parámetros x e y, respectivamente. Adición y sustracción: V = x ± y √( )2 )2 ( ∂F ∂F 2 σV = σx + σy2 ∂x ∂y

(1.9)

En este caso, ∂V =1 ∂x

∂V = ±1 ∂y

(1.10)

Por tanto, se obtiene que el error absoluto en la suma o en la sustracción vendrá dado por: √ σV = σx2 + σy2 (1.11) Producto: V = xy √( σV =

∂F ∂x

)2

( σx2

+

∂F ∂y

)2 σy2

(1.12)

Ahora se tiene que: ∂V =y ∂x

∂V =x ∂y

y por lo tanto, el error absoluto, σV , vendrá dado por: √ σV = y 2 σx2 + x2 σy2

5

(1.13)

(1.14)

1 Práctica 1. Cálculo de errores: medidas directas e indirectas. Representación gráfica Cociente: V = x/y √( σV =

∂F ∂x

)2

( σx2 +

∂F ∂y

)2 σy2

(1.15)

En este caso se tendrá que: 1 ∂V = ∂x y

x ∂V =− 2 ∂y y

(1.16)

El error absoluto vendrá dado por: √ 1 2 x2 2 σ + σ y2 x y4 y

σV =

1.1.3.

(1.17)

Redondeo y cifras significativas

Redondear un número consiste en sustituirlo por otro con menos cifras (en nuestro caso, las que consideremos significativas); pero lo más parecido posible al original. El proceso de redondeo es muy sencillo, por lo que con poca práctica se puede realizar mentalmente. Supongamos que queremos redondear un número con muchas cifras (como los que suelen salir en las cuentas de la calculadora) a cierto número de cifras, n. Para tenerlo presente, podemos subrayar esas n primeras cifras pero, ¡cuidado! redondear no es tan fácil como tachar el resto de las cifras de la derecha. En ocasiones hay que cambiar un poco esas cifras que nos quedamos. Más allá de trucos y reglas, no hay que olvidar nuesro objetivo: el número n de cifras que nos quedemos ha de ser el más parecido posible al original, es decir, el más cercano. Echemos un vistazo a la primera cifra tras las n que nos vamos a quedar. Si está entre 0 y 4 inclusive, está claro que lo correcto es simplemente tachar las cifras sobrantes. Esto es lo que se llama redondear a la baja. Ejemplo: 17,3264 redondeando a tres cifras es 17,3, pues la siguiente es un 2. Claramente, 17,3 es el número con tres cifras significativas más cercano al original. Por el contrario, si la primera cifra tras las n que vamos a conservar está entre 6 y 9, está claro que hay que añadir una unidad a la última cifra que nos hemos quedado, pues estamos más cerca de 10 que de 0. A esto se llama redondear a lo alto. Ejemplo: 0,03472 redondeado a dos cifras significativas es 0,035. Nótese que 0,034 tiene también dos cifras significativas; pero está más lejos del original que el número que nos hemos quedado. La duda surge cuando la primera cifra tras las n que nos vamos a quedar es un 5, que está tan cerca de 0 como de 10. Sin embargo, si hay otras cifras detrás de ese 5, está claro que hay que redondear a lo alto, pues cincuenta y tantos está más cerca de 100 que de 0. Ejemplo: 0,7524 redondeando a una cifra significativa es 0,8. En efecto, 0,7 estaría más lejos del original que el valor que nos hemos quedado. En el caso excepcional en que solo queramos redondear la última cifra y sea un 5, lo

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1 Práctica 1. Cálculo de errores: medidas directas e indirectas. Representación gráfica anterior no nos sirve de ayuda. En ese caso tan bueno es redondear a la baja como a lo alto. Ejemplo: 0,045 redondeado a una sóla cifra puede ser tanto 0,04 como 0,05, pues ambos están igual de cerca del original. Ahora ya sabemos redondear cualquier número. Para expresar correctamente una medida, sólo nos falta saber cuantas cifras consideramos significativas en el error absoluto y en el valor real. Siempre hay que comenzar por redondear el error absoluto, sólo después se redondea el valor real de la medida. Para expresar el error absoluto, basta conservar una o, en algunas ocasiones especiales, dos cifras significativas. Esto es así porque es inutil concretar con mucha precisión el error cometido en la medida. En la mayoría de los casos nos quedaremos con una sóla cifra significativa. Ejemplo: un error absoluto Ea = 0,0462 debe ser redondeado a Ea = 0,05. Solamente cuando la cifra significativa que nos queda es 1 ó 2, se conserva una cifra más.2 Ejemplos: Ea = 0,0236 se redondea a Ea = 0,024, no a 0,02; Ea = 1,027 se redondea a Ea = 1,0 que tiene dos cifras significativas (el cero es importante). Una vez redondeado el error absoluto, ya podemos redondear el valor real, que viene afectado por dicho error. Se trata de conservar sólo las cifras que nos dan información. Por eso sería inutil quedarnos con cifras decimales más allá de las afectadas por el error absoluto. En efecto, lo que importa ahora es el número de decimales: redondearemos el valor real de la medida de tal forma que el número de decimales conservados coincida con el número de decimales del error absoluto ya redondeado. Ejemplo: si la medida es xr = 24,3582 y el error Ea = 0,04 (dos decimales), el valor real correcto (es decir, ya redondeado) es xr = 24,36 (también dos decimales). En cambio, si el error fuera 0,013, el valor real correcto sería xr = 24,358. Una vez que el error absoluto y el valor real han sido redondeados correctamente, la forma correcta de expresar la medida es: x = (xr ± Ea ) unidades

1.2.

Representaciones gráficas y ajustes

El problema que se plantea una ciencia experimental, como es la física, no es solamente medir ciertas cantidades con mucha precisión. también es objeto de una ciencia experimental la búsqueda de las leyes que relacionan dos o más magnitudes que varían de forma correlacionada. Para cumplir este objetivo, es muy útil representar gráficamente unos parámetros frente a otros. A partir de la forma que presenta la gráfica se puede obtener la ley que relaciona los parámetros representados. Como ejemplo de relaciones entre distintas magnitudes se tienen los siguientes casos: 2

El redondeo sería muy severo en ese caso. Si tenemos 9 euros y nos quitan 0,5, no notamos mucho. Más grave es el caso en que tenemos 2 euros y nos quitan 0,5.

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1 Práctica 1. Cálculo de errores: medidas directas e indirectas. Representación gráfica Para un gas ideal, existe una relación entre la presión, el volumen y la temperatura durante cualquier transformación termodinámica: P V = nRT Existe una relación entre √ el periodo de oscilación de un péndulo, su longitud y la gravedad: T = 2π l/g Supongamos que el fenómeno que se quiere estudiar depende de dos magnitudes, x e y. La ley que gobierna el fenómeno relaciona estas dos magnitudes de forma que se pueden obtener una serie de valores experimentales de y para una serie de valores dados de x. En general, para una función y = f (x), al realizar un experimento se obtiene un conjunto de pares de valores xi , yi : x1 , y1 x2 , y2 . . . . xn , yn En algunos casos, la función y = f (x) es conocida de antemano mediante una deducción teórica de la misma mientras que en otros casos, esta función se deduce directamente a partir de los resultados experimentales. Para realizar la deducción experimental de la relación entre las variables x e y se representan la mismas en una gráfica. La forma de esta gráfica determinará la relación y = f (x). Para hacer una gráfica se representa en papel milimetrado (o utilizando cualquier programa de ordenador Excel, Origin) una de las varibles frente a la otra. Una de las variables recibe el nombre de variable independiente y se representa en el eje de abscisa (eje x). Esta variable está relacionada con la causa en el fenómeno que estamos estudiando y suele ser la variable que menos error presenta. La otra variable recibe el nombre de variable dependiente y se hace coincidir con el eje de ordenadas de la gráfica (eje y). Esta variable está relacionada con el efecto y es la variable que se determina con más error. En física, existen muchas variables que representan una relación lineal entre ellas. Es decir, existen muchas variables cuya relación entre sí es del tipo y = mx + b, donde m es la pendiente de la recta y b es el valor que representa la ordenada (eje y) cuando x sea igual a cero, tal como se muestra en la figura 1.1. A continuación veremos cómo se puede determinar m y b. Existen dos métodos para llevar a cabo el cálculo de los parámetros:

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1 Práctica 1. Cálculo de errores: medidas directas e indirectas. Representación gráfica

Figura 1.1: Parámetros que representan una relación lineal Método gráfico El método gráfico de determinación de m y b consiste en medir estos parámetros directamente sobre la gráfica. Para ello, lo primero que se debe hacer es representar el conjunto de pares de valores (xi , yi ) obtenidos experimentalmente (figura 1.2) . A continuación, se traza la recta que mejor ajusta estos puntos. Esto se hace intentando dejar el mismo número de puntos por encima que por ebajo de la recta. Para determinar b, se mide el corte de esta recta con el eje de ordenadas (eje y), lo cual nos dará directamente este parámetro. Para la determinación de la pendiente m, se toman dos puntos de la recta trazada y se aplica la ecuación (1.18). cateto opuesto y2 − y1 = (1.18) cateto contiguo x2 − x1 Es importante aclarar que estos puntos se toman de la recta trazada, y no son, por lo tanto, dos puntos experimentales cualesquiera. Por otra parte, para reducir el error en la determinación de m, estos dos puntos deben tomarse alejados entre sí. En la figura (1.2) se muestran dos puntos cualesquiera tomados para la determinación gráfica de m y en esta figura también se muestra cómo se puede determinar gráficamente b. m = tan α =

Método de los mínimos cuadrados Supongamos que al realizar un experimento se obtienen los siguientes pares de valores para las variables xi e yi x1, y2 x2, y2 .. .. xn, yn y supongamos también que existe una relación lineal entre estas variables. Sea y = mx + b la ecuación de la recta que mejor se ajusta a este conjunto de puntos.

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1 Práctica 1. Cálculo de errores: medidas directas e indirectas. Representación gráfica

Figura 1.2: Determinación gráfica de los parámetros m y b de la recta que relaciona las variables x e y. Veamos ahora qué pasos han de seguirse para hallar una ecuación que nos permita calcular m y b de forma analítica. Sean yi = mxi + b (1.19) los valores experimentales obtenidos y sean yi′ = mxi + b

(1.20)

los valores que se obtienen en los puntos de abscisa xi utilizando la recta de ajuste. La diferencia ri = yi − yi′ nos dará una idea de la calidad del ajuste. Si esta diferncia es pequeña el ajuste será bueno mientras que si esta diferencia es grande, los valores calculados mediante la recta diferirán mucho de los resultados experimentales y el ajuste será malo. Pues bien, los parámetros m y b para la recta de ajuste mediante el método de mínimos cuadrados se obtiene exigiendo que el error cuadrático medio definido como: n ∑ i=1

ri2 =

n ∑

[yi − (mxi + b)]2

i=1

sea mínimo. Para ello, debe cumplirse que: ∂ri ∂ri =0 =0 (1.21) ∂m ∂b lo que proporciona las siguientes ecuaciones para el cálculo de los parámetros m y b de la recta de ajuste por mínimos cuadrados: ∑ ∑ ∑ n xi yi − xi yi m= (1.22) ∑ ∑ n x2i − ( xi )2

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1 Práctica 1. Cálculo de errores: medidas directas e indirectas. Representación gráfica ∑ b=

∑ ∑ ∑ x2i yi − xi xi yi ∑ ∑ n x2i − ( xi )2

(1.23)

El error en la determinación de los parámetros m y b, σm y σb , respectivamente, puede determinarse mediante las siguientes ecuaciones: √∑ (yi − (mxi + b))2 n σm = (1.24) ∑ 2 ∑ n−2 n xi − ( xi )2 √∑ ∑ 2 (yi − (mxi + b))2 x σm = (1.25) ∑ 2 i∑ 2 n−2 n xi − ( xi ) Finalmente, es conveniente tener algún parámetro que nos informe si los valores obtenidos experimentalmente están alineados o no sin que sea necesario representarlos. Existe un parámetro denominado coeficiente de regresión r de Pearson, cuya expresión viene dada por: ∑ ∑ ∑ n xi yi − xi yi r = √[ ∑ (1.26) ∑ 2] [ ∑ 2 ∑ 2] 2 n xi − ( xi ) n yi − ( yi ) y que nos informa acerca de lo bueno que es el ajuste. Para un conjunto de puntos perfectamente alineados, el módulo de este coeficiente valdrá uno. A medida que los puntos se alejan de la línea recta, el módulo de este coeficiente disminuye. Por lo tanto, este coeficiente de regresión nos permite cuantificar lo buena que es la recta de regresión. Cuanto más próximo a la unidad esté el módulo de este coeficiente, tanto más alineados estarán los puntos representados y mayor será la validez de la recta de regresión de mínimos cuadrados.

1.2.1.

Obtención de una ley física

Veamos a continuación cómo se puede utilizar la representación gráfica para la obtención de una ley física. Para representar el método a seguir, vamos a ver un ejemplo:

Ejemplo Se tiene un depósito lleno de agua hasta una cierta altura h. El depósito tiene un orificio en una de sus paredes verticales y el agua sale por dicho orificio con una velocidad v que varía con el nivel del agua. Se quiere determinar la ley física que determina la dependencia de la velocidad de salida del agua con la altura de la misma en el depósito a partir de los siguientes datos obtenidos experimentalmente (tabla 1.1): Solución:

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1 Práctica 1. Cálculo de errores: medidas directas e indirectas. Representación gráfica h(cm) 10 16 20 25 30 43

v(cm/s) 140.1 177.2 198.1 221.5 242.6 290.5

Cuadro 1.1: Datos del experimento Experimentalmente, lo que se puede controlar y medir (de alguna manera) es la velocidad de salida, v. Luego, h es la variable independiente y v es la variable dependiente. Se representa entonces v frente a h (ver figura 1.3)

Figura 1.3: Gráfica que se obtiene al representar v frente a h. Como puede observarse en la figura 1.4, la relación entre v y h no es lineal. Supongamos que esta relación es del tipo: v = Cha Si esta relación es correcta, para determinar esta ley física deberíamos calcular los valores de C y a. Para ello, transformaremos esta ley en otra ley lineal. Tomando logaritmos neperianos en la ecuación anterior, se tiene que: ln v = ln C + a ln h Esta es una ecuación lineal del tipo y = mx + b donde: y = ln v

m=a

x = ln h

b = ln C

Si ahora se representa yi = ln vi frente a xi = ln hi se obtiene que los puntos obtenidos experimentalmente están alineados (figura 1.4).

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1 Práctica 1. Cálculo de errores: medidas directas e indirectas. Representación gráfica

Figura 1.4: Gráfica que se obtiene al representar yi = ln vi frente a xi = ln hi Calculemos ahora m = a y b = ln C mediante una recta de regresión de mínimos cuadrados. Para ello lo primero que debemos hacer es construir la siguiente tabla: hi (cm) 10 16 20 25 30 43

vi (cm/s) xi = ln hi 140.1 2.303 177.2 2.773 198.1 2.996 221.5 3.219 242.6 3.401 290.5 3.761 ∑ xi 18.453

yi = ln vi 4.942 5.177 5.289 5.400 5.491 5.672 ∑ yi 31.971

xi yi 11.381 14.356 15.846 17.383 18.675 21.332 ∑ xi yi 98.973

x2i 5.304 7.690 8.976 10.362 11.567 14.145 ∑ 2 xi 58.044

yi2 24.423 26.801 27.974 29.160 30.151 32.172 ∑ 2 yi 170.681

Cuadro 1.2: Datos para la recta de regresión Utilizando las ecuaciones (1.22) y (1.23) se pueden determinar la pendiente m y la ordenada en el origen de la recta ajustada por mínimos cuadrados: m = 0,50 =⇒ a = 0,50

b = 3,790 = ln C =⇒ C = eb = 44,26 Por lo tanto, la ley que se obtiene experimentalmente que relaciona v y h es v = 44,26h0,50 donde h se expresa en centímetros y v en centímetros por segundo.

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2 Práctica 2. Cálculo de errores y ajustes 1. Se quiere determinar la densidad de un cuerpo cuya masa medida con una balanza de precisión es m = (225,34 ± 0,01)g y el volumen también se mide obteniendo un valor de V = (327,43 ± 0,18) cm3 . Calcular 1) El valor de la densidad y 2) El error absoluto y relativo. 2. Calcular la intensidad de corriente que circula por una bombilla de (60 ± 4) W de potencia, si posee una resistencia de (8,2 ± 0,5) × 102 Ω. Calcular el error absoluto y relativo con que se ve afectada la medida. NOTA: Se define la potencia consumida por una bombilla como P = I 2 R. 3. Se han medido los lados de un paralelepípedo rectangular y se han obtenido los siguientes valores: a = (10,15 ± 0,05) cm b = (3,35 ± 0,05) cm c = (1,45 ± 0,01) cm Determinar: a) El área de la base (determinada por los lados a y b ) del paralelepípedo con su error correspondiente. b) El volumen del mismo con su error correspondiente c) Si la masa del paralelepípedo es (87,52 ± 0,01) g, determinar la densidad con su error.

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2 Práctica 2. Cálculo de errores y ajustes 4. Se quiere determinar la aceleración experimentada por un cuerpo al caer por un plano inclinado, partiendo de una velocidad inicial nula, mediante el uso de la expresión e = 12 at2 , donde e es el espacio recorrido, a es la aceleración del cuerpo y t el tiempo que tarda en recorrer la distancia e. El espacio recorrido se fija midiendo con una regla de LIE = 0,01 cm y el resultado es e = 23,57 cm. El tiempo que se tarda en recorrer este espacio se mide seis veces con un cronómetro de LIE = 0,01 s obteniéndose los siguientes valores: 4,35 s, 4,39 s, 4,27 s, 4, 30 s, 4, 40 s y 4, 29 s. a) Determinar el valor de la aceleración con su error b) Si la velocidad adquirida √ por el cuerpo durante el movimiento viene dada por la expresión v = 2ae, determinar la velocidad cuando haya recorrido 23, 57 cm, con su error correspondiente. 5. Supongamos que medimos el tiempo de caída de una piedra desde 960,4 m de altura. En cinco medidas independientes con un cronómetro obtenemos los valores 15,18, 15,07, 15,11, 15,21, 15,15 segundos. Calcular el valor real de t y su error. El LIE del cronómetro es de 0,01 s y el del aparato empleado para medir la distancia 0,1 m. 6. Calcular la velocidad de un coche que recorre un espacio de (150 ± 2) km en un tiempo de 1h y 45 min, con un error de 5 min. 7. Sea un rectángulo de lados a = (3,2 ± 0,1) cm y b = (10,0 ± 0,5) cm. Calcular el área del mismo con su error absoluto y relativo. 8. Calcular el perímetro de un triángulo con su error correspondiente sabiendo que sus lados miden a = (3,2 ± 0,1) cm, b = (5,7 ± 0,2) cm y c = (8,00 ± 0,15) cm.

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2 Práctica 2. Cálculo de errores y ajustes 9. Supongamos que medimos el tiempo de caida de una piedra desde 960,4 m con un reloj defectuoso. En seis medidas independientes obtenemos: El LIE del t(s) 15.1 15.0 14.8 15.2 15.0 14.9 Cuadro 2.1: Problema 9 cronómetro es de 0,01 s y el del aparato usado para medir la distancia de 0,1 m .Calcular: a) El valor real de t con su error b) Utilizando las ecuaciones de la cinemática calcular el tiempo de caída (g = 9,81m/s2 ) c) Comparar los resultados y discutir que tipo de error se está comentiendo. 10. Supongamos que queremos saber si la resistencia de un determinado material depende de la temperatura a partir de estas dos medidas: ¿Cuál será la conR(Ω) t(ºC) 90.20 10 90.26 20 Cuadro 2.2: Problema 10 clusión correcta si el error de la medida de la resistencia es de 0,01 Ω? ¿ Y si es de 0,8 Ω? 11. Aplicando ls fórmula de propagación de errores, encontrar σF en los siguientes casos: a) F = xm y p b) F = ln x c) F = ex d ) F = cos x e) F = x + y − z f ) F = xy

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2 Práctica 2. Cálculo de errores y ajustes g) F =

x y

12. En un experimento realizado sobre un plano inclinado de ángulo α se midió la velocidad v adquirida por un cuerpo que desliza sobre el mismo en tiempos distintos desde que el cuerpo comienza a deslizarse con velocidad v0 desconocida. Si la depedencia se conoce de la forma v = v0 + g sen αt . Determinese los valores de v0 y α v(m/s) 5.3 10.4 15.1 20.0 22.6

t(s) 1.0 2.0 3.0 4.0 4.5

Cuadro 2.3: Problema 12 13. Se desea analizar la dependencia del periodo de oscilación de un péndulo con su longitud. El experimento se ha llevado a cabo para seis longitudes diferentes del péndulo, entre 0,5 y 1,0 m, midiendo el tiempo que tarda en dar 30 oscilaciones para cada longitud. Los resultados se dan en la tabla adjunta, siendo l la longitud del péndulo y t el tiempo de las 30 oscilaciones. Encontrar la forma analítica de la dependencia entre el periodo y la longitud. l(m) 0.50 0.65 0.75 0.85 0.93 1.00

t(s) 42.58 48.51 52.11 55.50 58.05 60.30

Cuadro 2.4: Problema 13

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3 Práctica 3. Medidas con instrumentos de precisión 3.1.

Objetivos

Los objetivos de esta práctica son: Describir los diversos instrumentos de precisión y su manejo que vamos a utilizar en el laboratorio. Hacer medidas de varias magnitudes físicas Aplicación del cálculo de los diversos tipos de errores que hemos aprendido en las prácticas anteriores en la obtención de diversas magnitudes físicas. Obtener a partir de medidas experimentales una ley física.

3.2.

Fundamento teórico

En esta práctica se trata de aprender a manejar determinados insrumentos de medida que serán descritos un poco más adelante. Antes de especificar los instrumentos que serán utilizados así como las medidas a realizar, veamos la descripción de un tipo de error muy importante con el que nos encontraremos al realizar las medidas.

3.2.1.

Error de cero

Para entender qué es el error de cero, veamos un ejemplo de medida. Supongamos que se quiere medir la masa de un cuerpo utilizando una determinada balanza. Supongamos también que aún cuando no hemos puesto el cuerpo en la balanza, ésta no marca cero, sino que marca una cierta cantidad. Por ejemplo, supongamos que la balanza marca 0,5 g. En este caso, al depositar el cuerpo sobre la balanza, ésta nos dará una masa que será 0,5 g mayor que la masa real del cuerpo. Al error que se comete en este caso se denomina error de cero. Para tener en cuenta el error de cero basta medir qué marcan los instrumentos de medida en ausencia del cuerpo problema. Debe descontarse al resultado de la medida (si es positivo) o sumarse (si es negativo).

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3 Práctica 3. Medidas con instrumentos de precisión

3.2.2.

El calibre

El calibre es un instrumento de precisión para la medida de longitudes (figura 3.1). Consiste en una barra fija y otra móvil, denominada nonius. En nuestro caso la regla móvil está dividida en veinte partes(figura 3.2)1 .

Figura 3.1: Calibre, también llamado pie de rey

Figura 3.2: Nonius del calibre Esto significa que la cantidad más pequeña (LIE) que se puede medir con un calibre es 1 mm/20 = 0,05 mm. Veamos a continuación los diversos pasos que deben seguirse para realizar una medida con el calibre. Consideremos que hemos medido con el calibre uno de los lados del trapecio que podemos observar en la figura 3.1. Para la descripción de cómo hacer la medida vamos a fijarnos en la figura 3.2. 1. Miramos en la escala fija del calibre y observamos donde queda el cero del nonius. En el ejemplo de la figura, la división correspondiente al cero del nonius 1

Existen otros tipos de nonius en los que la regla móvil tiene diez divisiones

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3 Práctica 3. Medidas con instrumentos de precisión está entre las marcas correspondientes a 21 y 22 mm en la escala fija. Luego sabemos que la longitud medida es mayor de 21 mm y menor que 22 mm. Utilizando la regla móvil del nonius podemos precisar algo más. 2. A continuación, buscamos en el nonius la primera división del mismo que coincida con alguna de las divisiones de la regla fija. En este ejemplo la división 9 del nonius coincide con una de las divisiones de la regla fija. Entonces podremos decir que la medida que hemos hecho con el calibre se corresponde con: (21,90 ± 0,05) mm

3.2.3.

El pálmer o tornillo micrométrico

El palmer o tornillo micrométrico está compuesto por una regla fija y un tornillo que gira alrededeor de ella.

Figura 3.3: Palmer o tornillo micrométrico El límite instrumental de error de este aparato es de 0,01 mm. En este caso, cada 0,05 mm de la regla fija está dividido en cincuenta partes (una vuelta completa del tornillo hace que avancemos 0,5 cm en la regla fija). Por lo tanto, el LIE = 0,5 mm/50 = 0,01 mm (tiene mayor precisión que el calibre). Veamos a continuación como se mide con este instrumento. Para ello vamos a considerar la figura 3.4 1. La regla fija del micrómetro está dividida en milímetros, en la parte de arriba. Debajo de la línea horizontal, cada milímetro está divido por la mitad. Según esto para leer una medida, tenemos que ver en que posición, de la regla fija, queda el tornillo. En el caso de la figura, el tornillo queda pasado un poco los 13 mm y si miramos por debajo de la línea horizontal no hemos llegado a la marca que divide este milímetro por la mitad, por consiguiente la medida estará entre 13,00 mm y 13,50 mm. Ahora tenemos que afinar más la medida.

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3 Práctica 3. Medidas con instrumentos de precisión

Figura 3.4: Cómo medir con el pálmer 2. Para afinar, miramos el tornillo y buscamos la división del mismo que coincide con la línea horizontal de la regla fija. Mirando en la figura 3.4 se corresponde con la división 30. Por consiguiente la medida será (13,30 ± 0,01) mm 3. Si hubieramos sobrepasado la marca inferior de 0,5, es decir que el tornillo se hubiera parado entre 13,50 y14,00 mm, la medida sería: [(13,50 + 0,30) ± 0,01] mm = (13,80 ± 0,01) mm

3.2.4.

Medidas de ángulos. Goniómetro

El intrumento utilizado para medir directamente ángulos se denomina goniómetro. Este instrumento consta básicamente de dos partes que pueden girar alrededor de un eje común.

(a) Goniómetro

(b) Detalle del goniómetro

(c) Colocación de la pieza para medir ángulos

Figura 3.5: Aparato utilizado para medir ángulos

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3 Práctica 3. Medidas con instrumentos de precisión En las figuras (3.5) se representa el goniómetro. El límite instrumental de error es de 1º . En la figura (3.5c) se observa la forma en que se debe de situar el goniómetro para medir un ángulo.

3.3.

Material y método

El material empleado en esta práctica es: guión de la práctica, PC con applets de entrenamiento para el calibre y el palmer, flexómetro, calibre, palmer, goniómetro, balanza, pieza problema, péndulos con diversas longitudes y cronómetro. Cálculo de la densidad de la pieza problema Para determinar la densidad de un determindo material tenemos que medir su masa y su volumen. En nuestro caso vamos a considerar una pieza como la de la figura, cuya densidad queremos determinar.

Figura 3.6: Pieza cuya densidad queremos determinar Para ello mediremos los lados mayores con el calibre y anotaremos los resultados con su correspondiente error. A continuación mediremos el espesor de la pieza, utilizando el tornillos micrométrico, esta medida la haremos por los menos en seis puntos diferentes de la pieza. Con estos datos podremos calcular el volumen de la pieza y su error corespondiente. Posteriormente mediremos la masa de la pieza en una balanza de prescisión. Anotaremos este valor con su correspondiente error. Por último calcularemos la densidad del material de la pieza problema utilizando la expresión: m V Daremos este valor con su error correspondiente. ρ=

Medidas del periodo de oscilación de un péndulo Un péndulo simple está compuesto de un hilo, de una longitud cualquira, del que cuelga una pequeña esfera. El periodo de oscilación del mismo, tiempo que tarda en

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3 Práctica 3. Medidas con instrumentos de precisión

Figura 3.7: Péndulo simple y cronómetro dar una oscilación completa, no depende de la masa y si el ángulo de separación del hilo con la vertical es pequeño tampoco depende de este ángulo. Comenzaremos midiendo el periodo de oscilación del péndulo. Para minimizar el error en la medida del periodo, tomaremos el tiempo que tarda en péndulo en dar diez oscilaciones, llamando a este dato T10 . Para hacer esta medida usaremos un cronómetro cuyo LIE = 0,01 s. Repetiremos esta medida por lo menos seis veces. A continuación calcularemos el valor real del periodo del péndulo con su error correspondiente. Mediremos la longitud de nuestro péndulo, usando una regla graduada en milímetros para medir la cuerda y el calibre para medir el diámetro de la esfera. Determinaremos la longitud total del péndulo y le asignaremos su error correspondiente. Teniendo en cuenta los resultados de nuestras medidas y sabiendo que el periodo de oscilación de un péndulo viene dado por: √ l T = 2π g podemos determinar el valor de g y su error correspondiente. Por otro lado en el laboratorio se encuentran péndulos con diferentes longitudes. Hacer la medida del periodo con otros péndulos o bien intercambie con sus compañeros los datos de periodo y longitud hasta completar un conjunto de por lo menos cinco medidas. Haga una tabla con los datos del periodo √ y la raiz cuadrada de la longitud. Representa gráficamente el periodo, T frente a l . Si la tendencia es lineal, calcule la pendiente de esta recta usando el método de ajuste de mínimos cuadrado. Obtener a partir de esta péndiente el valor de la gravedad. Comparelo con el resultado obtenido anteriormente. Links con applets de entrenemiento para el calibre y el tornillo micrométrico. http://www.galileo.fr.it/marc/varie/calibro_ventisimale/calibro_ventisimale.htm http://www.galileo.fr.it/marc/varie/micrometro/micrometro.htm

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4 Práctica 4 4.1.

a. Determinación del módulo de Young

4.1.1.

Fundamentos Teóricos

Consideremos una barra rectangular de un cierto material sólido a la que se le aplica en sus extremos un par de fuerzas F⃗ , iguales y opuestas, como se indica en la figura (4.1). Si consideramos la barra como un sólido rígido, observamos que su movimiento queda determinado considerando todas las fuerzas externas. Como la fuerza es un vector deslizante, podemos suponer que estas dos fuerzas se aplican en el centro de masa de la barra, con lo cual al ser iguales y opuestas la resultante sería nula. Además la distancia entre dos partículas cualesquiera del sólido no cambia (por la propia definición de sólido rígido).

F

F A Figura 4.1: Barra sometida a un esfuerzo

Para un sólido real, sigue siendo válido el resultado anterior en cuanto al movimiento de la barra como conjunto, pero el estado de la barra es distinto al que tendría en ausencia de fuerzas. En un sólido real las fuerzas aplicadas deforman el cuerpo. La elasticidad estudia, por lo tanto, las posibles deformaciones que pueden ocurrir en un sólido cuando sobre él actúan fuerzas externas. El tipo de deformación que aparezca en el cuerpo dependerá del tipo de fuerza que sobre él se aplique. Vamos a definir algunos conceptos y cantidades usuales cuando estudiamos deformación.

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4 Práctica 4 Al módulo de las fuerzas aplicadas en el cuerpo de la figura (son iguales y opuestas) se le suele llamar tensión T aplicada. Cuando la tensión aplicada está dirigida hacia fuera del cuerpo (estamos estirando el cuerpo), decimos que el cuerpo está sometido a una tracción y T > 0. Cuando la tensión aplicada se dirige hacia dentro del cuerpo (estamos comprimiendo el cuerpo), decimos que el cuerpo está sometido a una compresión y T 0 =⇒ ∆L > 0 si T < 0 =⇒ ∆L < 0 Definimos la deformación, ϵ, como el cociente entre la variación de la longitud y la longitud inicial (es por tanto una cantidad adimensional): ∆L L0 Esfuerzo y deformación están relacionados, como mostramos en la figura (4.2). ϵ=

Figura 4.3: Experimento. Catetómetro e hilo 1. Para esfuerzos comprendidos entre 0 < σ ≤ σA el cuerpo se deforma y recobra su forma inicial. En esta zona se dice que el cuerpo tiene un comportamiento elástico y la relación entre esfuerzo y deformación es lineal. El punto A se conoce como límite proporcional. 2. Para esfuerzos comprendidos entre σA < σ ≤ σB la relación entre esfuerzo y deformación deja de ser lineal, aunque el comportamiento sigue siendo elástico. 3. Para esfuerzos comprendidos entre σB < σ ≤ σD el cuerpo cuerpo pasa tener un comportamiento plástico. En el punto C ocurre la ruptura del cuerpo. Se define el Coeficiente de Seguridad, S, como el cociente entre el esfuerzo aplicado a un cuerpo σ y el correspondiente esfuerzo de ruptura. σ S= σC Cuando el esfuerzo aplicado no es demasiado grande, hemos dicho que la relación entre esfuerzo y deformación es lineal. Este resultado se conoce como Ley de Hooke y viene dado por

26

4 Práctica 4

σ = Eϵ la constante de proporcionalidad E, de denomina Módulo de Young y es una constante característica de cada material. Sus unidades son N/m2 (P ascales).

4.1.2.

Elaboración de la Práctica

4.1.2.1.

Objetivos

Determinar el módulo de Young de un alambre metálico mediante experimento de tracción y haciendo uso del catetómetro. 4.1.2.2.

Material

Soporte. Alambre problema. Colección de pesas. Catetómetro. 4.1.2.3.

Fundamentos

Si conocemos el esfuerzo por tracción que estamos aplicando en el alambre de longitud L0 y sección S0 y la deformación ϵ que este esfuerzo produce, podemos determinar el módulo de Young del alambre utilizando las relaciones: σ =Eϵ con ∆L L0 F σ= S ∆L = L − L0 ϵ=

(4.1)

En el experimento, el conjunto se dispone como indica la figura (4.3). El alambre se sujeta por su extremo superior y en su extremo inferior lleva un platillo u otro dispositivo, en el que se colocan las pesas correspondientes. El método consiste en medir los alargamientos que corresponden a cada carga. Esta medida puede realizarse con gran precisión mediante el catetómetro. 4.1.2.4.

Método Operativo

1. Mediante el catetómetro, mida la distancia vertical L0 entre dos marcas, M y M ′ que llevaría el alambre. Consideraremos la distancia L0 como la longitud del alambre sin deformar. Para determinar L0 debemos proceder de la siguiente manera: desplazando el carro como un todo, haga coincidir el trazo horizontal del retículo del anteojo con uno de los puntos (el superior por ejemplo), y

27

4 Práctica 4 haga la lectura correspondiente con ayuda del nonius. Sea hM la altura del punto superior. De igual forma medimos la altura hM ´ correspondiente al punto inferior. Evidentemente, L0 = hM − hM ´ 2. Sobrecargue el platillo con una pesa de las dispuestas en el experimento y determine de nuevo la distancia L entre las dos marcas como en el punto anterior. Es preciso medir de nuevo la altura a que se encuentran ambas marcas del hilo. No es correcto medir sólo la inferior. El alargamiento producido es: ∆L = L − L0 3. Repita las medidas para otros valores de la carga. 4. Calcule el área S de la sección del hilo a partir de su diámetro. 5. Construya una tabla en la que figure el valor de cada carga aplicada (en gramos) y el correspondiente alargamiento producido (en milímetros). 6. Construya una gráfica, a partir de la tabla anterior, con las cargas en el eje y y alargamientos en el eje x. 7. Obtenga la pendiente de la recta obtenida haciendo el ajuste por mínimos cuadrados. A partir de este valor y teniendo en cuenta las ecuaciones (4.1) obtenga el valor del módulo de Young. Tenga mucho cuidado en utilizar las unidades correctamente. 4.1.2.5.

El catetómetro

El catetómetro es un aparato especialmente destinado a medir, con gran precisión, distancias verticales. Consta de un soporte metálico, vertical, provisto de una escala graduada, que va sobre un pesado trípode de manera que puede girar libremente alrededor de un eje también vertical. A lo largo del soporte desliza un carro que consta de dos piezas: una que lleva un anteojo horizontal y otra que puede fijarse a la columna mediante un tornillo de presión. Ambas piezas están unidas por medio de un tornillo micrométrico que permite, una vez fijo el carro en una posición, efectuar pequeños desplazamientos del anteojo alrededor de ella, que pueden medirse con precisión mediante un nonius incorporado. El anteojo lleva unido a él un nivel de aire para conocer si está horizontal, pudiendo efectuarse modificaciones mediante un tornillo especial. Enfocando el ocular se puede alcanzar a ver con nitidez la cruz de un retículo que servirá de referencia al realizar las medidas. Esta cruz se hace coincidir con la imagen del punto que es objeto de la determinación.

28

4 Práctica 4

4.2.

b Determinación de la constante de un muelle.Ley de Hooke

4.2.1.

Objetivo

Se trata de estudir la relación existente entre la fuerza aplicada a un muelle y su estiramiento. Verificar la ley de Hooke y calcular la constante de estiramiento de diversos muelles.

4.2.2.

Fundamento teórico

Toda fuerza aplicada a un muelle produce una deformación. Ahora bien, no en todos los muelles la deformación es directamente proporcional a la fuerza aplicada. Por ejemplo, una goma elástica no tiene esta propiedad, a diferencia de los muelles que si la cumplen. La ley de Hooke expresada matemáticamente es: F = −K∆x que nos dice que la fuerza F aplicada a un muelle, produce un incremento en la longitud ∆x proporcional a dicha fuerza. La constante de proporcionalidad del muelle es K y nos indica lo rígido que es dicho muelle. Por ejemplo, un muelle con K = 15 N/m es tal que para deformarlo en 1 m de longitud necesitamos aplicar una fuerza de 15 N . Todo muelle real tiene un límite de deformación en el que pierde esta proporcionalidad (límite elástico), no cumpliendo en ese momento la ley de Hooke.

4.2.3.

Material

Base soporte, varilla, nuez con gancho, muelles (rojo=muelle blando, azul=muelle duro), portapesas con un peso de 20 g, 8 pesas de 10 g y 5 pesas de 20 g.

4.2.4.

Dispositivo experimental

Es el mostrado en la figura El muelle lleva incorporado una escala en milímetros para poder medir directamente el estiramiento del muelle mediante el indice rojo. Antes de colgar ningún peso debemos asegurarnos que el indice rojo marca el “0” de la escala. Si no fuera así, aflojar la tuerca moleteada superior y enroscar o desenroscar el gancho superior hasta hacerlo coincidir. Una vez hecho esto volver a apretar la tuerca moleteada.

4.2.5.

Realización y toma de dato

En primer lugar colgaremos del gancho el muelle rojo (que habremos ajustado previamente a cero) y puesto que el portapesas tiene un peso del 20 g, lo usaremos también como una pesa más y mediremos la elongación correspondiente. Por ello, en

29

4 Práctica 4

Figura 4.4: Dispositivo experimental para verificar la ley de Hooke nuestro caso, como la posición inicial de reposo es x0 = 0 entonces ∆x = x − x0 = x. Después iremos introduciendo las pesas en el portapesas y rellenaremos la siguiente tabla: m(kg) 0.020 0.030 0.040 0.050 0.060 0.070 0.080 0.090 0.100

F = m g (N )

x (cm)

x (m)

Cuadro 4.1: Toma de datos para el dispositivo rojo A partir de estos datos haremos una representación gráfica de la fuerza frente al desplazamiento. Ajustamos por mínimos cuadrados y la pendiente de esta recta se corresponderá con la constante del muelle. Repetir estas mismas medidas para el dispositivo azul. En este caso usaremos las pesas distribuidas de otra forma y rellenaremos la tabla siguiente: Encontrar el valor

30

4 Práctica 4 m(kg) 0.020 0.040 0.060 0.080 0.100 0.120 0.140 0.160 0.180 0.200

F = m g (N )

x (cm)

x (m)

Cuadro 4.2: Toma de datos para el dispositivo azul de K para este muelle de la misma forma que en el caso anterior.

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5 Práctica 5. Medida del calor específico de diversos materiales 5.1.

Objetivo

El objetivo de esta práctica es medir el calor específico de dos metales mediante el uso de un método calorimétrico. Previamente debemos determinar el equivalente en agua del calorímetro utilizado.

5.2.

Fundamento teórico

Un calorímetro es un recipiente aislado del exterior que se emplea para realizar medidas calorimétricas, tales como calores específicos, calores de fusión, ebullición. . . etc. Se define el equivalente en agua de un calorímetro como la masa de agua que absorbería la misma cantidad de calor que el calorímetro para la misma variación de temperatura. Vamos a utilizar el método de las mezclas para encontrar este valor. Supongamos inicialmente el calorímetro a temperatura ambiente, tamb , añadimos una cantidad de agua m, también a temperatura ambiente, tamb . A continuación añadimos la misma cantidad de agua, magua a una temperatura inferior, tf r´ıa . Esperamos un tiempo hasta que se alcanza la temperatura de equilibrio, teq . Entonces se debe verificar que el calor cedido por el calorímetro y el agua añadida será igual al calor absorbido por el agua fría: (K + m) Ce (agua) (tamb − teq ) = magua Ce (agua) (teq − tf r´ıa )

(5.1)

donde K es el equivalente en agua del calorímetro, que podremos obtener simplemente despejando. Para medir el calor específico del metal procedemos de forma análoga. Mezclamos una masa de agua, ma , a una cierta temperatura, ta , por debajo de la temperatura ambiente, con la pieza de metal de masa, ms , y a una temperatura ts (temperatura ambiente). El calor cedido por el metal será absorbido por el agua y el calorímetro. ms Ce (ts − teq ) = Ce (agua) (ma + K) (teq − ta )

(5.2)

donde Ce es el calor específico del metal. Consideraremos el calor específico del agua igual a 1 cal/gºC

32

5 Práctica 5. Medida del calor específico de diversos materiales

5.3.

Material

Dos recipientes con agua. Uno de ellos conteniendo agua a temperatura ambiente y el otro conteniendo agua enfriada con hielo. Calorímetro con su termómetro y agitador. Probetas para medir los volúmenes de agua necesarios. Piezas metálicas problemas

5.4.

Método Operativo

5.4.1.

Determinación del equivalente en agua del calorímetro

1. Medir la temperatura ambiente, tamb 2. Echar en el calorímetro 80 ml de agua a temperatura ambiente. 3. Añadir a continuación otros 80 ml de agua fría al calorímetro, medir la temperatura de esta agua fría, tf r´ıa 4. Agitar un poco y medir la temperatura de equilibrio, teq . 5. Obtener el valor de K usando la ecuación (5.1).

5.4.2.

Determinación del calor específico de las piezas metálicas

1. Pesar la pieza de metal, ms 2. Echar 150 ml de agua fría (enfriada con hielo) al calorímetro. Esperar un poco y medir la temperatura, ta . 3. Introducir la pieza de metal en el calorímetro. Consideraremos que se encuentra a temperatura ambiente, ts . 4. Esperar un poco y medir la temperatura del conjunto. Esta será la temperatura de equilibrio, teq . 5. Usar la ecuación (5.2) para obtener el calor específico del metal. Repetir los pasos anteriores para cada una de las piezas metálicas.

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6 Práctica 6. Propiedades termométricas de una resistencia 6.1.

Introducción

Se define como propiedad termométrica aquella propiedad física que depende de la temperatura. Estas propiedades se usan básicamente para la construcción de termómetros. Idealmente a una buena propiedad termométrica se le exige tres condiciones añadidas: la primera es la repetitividad: a iguales condiciones debe tener la misma respuesta, evitando efectos memoria, histeresis, etc la segunda es la velocidad de respuesta: ante un cambio de condiciones la respuesta debe adaptarse rápidamente la tercera es la linealidad: el cambio de la propiedad frente a la temperatura debe responder aun comportamiento lineal Se define la resistencia eléctrica como un parámetro de freno al paso de electrones de un determinado cuerpo. Esta resistencia va a depender de tres parámetros; directamente de su longitud, inversamente de su área transversal y directamente de su resistividad, siendo esta una característica del material del cual está hecho el cuerpo. La resistividad es función de la temperatura a la que se encuentra el cuerpo y por tanto es una propiedad termométrica. Un termómetro eléctrico es el termómetro de resistencia, que se compone de una bobina de hilo delgado generalmente dentro de un tubo metálico de paredes finas que sirve de protección. Mediante hilos de cobre se une el termómetro a un dispositivo para medir resistencia (Ohmetro). Como la resistencia eléctrica (R) puede medirse con gran precisión, este termómetro es uno de los instrumentos más precisos para medir la temperatura, siempre y cuando conozcamos la curva característica de cambio. En general esta curva característica (T frente a R) no es lineal para ninguna propiedad termométrica de los materiales pero para pequeños intervalos de temperatura se puede considerar que el comportamiento es lineal. La importancia de transformar cualquier medida de una magnitud en parámetros eléctricos radica en la ventaja de su uso para controles digitales, lo cual hace que este tipo de termómetros esté especialmente extendido en el uso cotidiano actual.

34

6 Práctica 6. Propiedades termométricas de una resistencia

6.2.

Descripción de la práctica

La resistencia que utilizaremos está formada por un hilo de platino envuelto en una vaina metálica que le sirve de protección. La conexión exterior se realiza mediante dos terminales de latón que conectaremos al aparato de medida (Ohmetro). Mediante un termómetro de termopar calibrado previamente mediremos la temperatura de un volumen determinado de agua caliente introducido en un calorímetro junto con la resistencia, con objeto de aislarlo del medio exterior y por tanto ralentizar el enfriamiento del agua y por tanto de la resistencia. Mediante medidas simultaneas de resistencia y temperatura podremos reproducir la curva característica de la resistencia para su posterior uso como termómetro.

6.3.

Método Operativo

En recipiente de vidrio calentar 800 ml de agua en el microondas (aproximadamente diez minutos) para obtener una temperatura inicial de unos 90ºC. Introducir suficiente agua en el calorímetro para que cubra el termopar y la resistencia (sonda). Tomar simultáneamente la lectura del termómetro y del Ohmetro. Repetir esta medida a intervalos regulares de temperatura . Representar gráficamente los valores de la temperatura frente a la resistencia y ajustar a una línea recta por el método de los mínimos cuadrados para obtener su pendiente y su ordenada en el origen. Determinar el valor de la temperatura del material cuando su resistencia es de 101,0 Ω, 115,0 Ω y 112,5 Ω. ¿Cuánto vale la resistencia es de 0ºC?

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7 Práctica 7. Ley de Ohm 7.1.

Objetivos y fundamento teórico.

En esta práctica vamos a comprobar experimentalmente la ley de Ohm aplicada a una resistencia comercial. Para hacer esto aprenderemos hacer uso del polímetro en sus tres facetas: voltímetro, amperímetro y óhmetro. La carga en un conductor tiene cierta libertad para moverse. Si aplicamos una diferencia de potencial entre los extremos de un conductor, fluye por él cierta intensidad de corriente. En muchos conductores se cumple la ley de Ohm, V = I R, que relaciona la caída de potencial entre los extremos del conductor,V , y la intensidad de corriente que circula por él, I. La constante de proporcionalidad recibe el nombre de resistencia. En los conductores óhmicos, la resistencia sólo depende del material y de la temperatura; pero no de V ni de I. La ley de Ohm es lineal: si representamos V frente a I, obtenemos una recta cuya pendiente es R. La resistencia indica la dificultad que opone el material conductor al paso de la corriente.

Figura 7.1: Resistencias comerciales Las resistencias comerciales suelen ser cilíndricas y pequeñas (como se muestra en la figura 7.1). Llevan impresas cuatro líneas transversales de colores que indican el valor de la resistencia (tres primeras líneas) y la tolerancia que garantiza el fabricante (última línea). Es el llamado código de colores universal de las resistencias. Su significado se expresa en la figura.(7.2)

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7 Práctica 7. Ley de Ohm

Figura 7.2: Código internacional de colores para una resistencia Las dos primeras líneas dan un número de dos cifras. La tercera es la potencia de diez que corresponde a su código. La línea de tolerancia es la última, y puede ser de color oro (tolerancia del 5 %) o plata (tolerancia del 10 %). Por ejemplo si los colores son naranja, verde, rojo y oro; la resistencia vale R = 35 × 102 = 3500 Ω con una tolerancia del 5 %. El paso de corriente por una resistencia la calienta. La potencia disipada es P = V I . Teniendo en cuenta la ley de Ohm, podemos expresarla de otras formas: P = V I = I2 R =

7.2.

V2 I

(7.1)

Material necesario.

Tenemos una fuente de alimentación que suministre un cierto voltaje, que podremos variar con la ayuda de un potenciómetro; un polímetro con el que mediremos voltaje, intensidad y resistencia; una plaqueta de ensayos para electrónica, en la que se pueden pinchar las resistencias y formar los circuitos y varias resistencias comerciales.

7.3.

Procedimiento práctico.

Valor nominal de las resistencias Hallar el valor nominal de cada resistencia y la tolerancia utilizando el código de colores.

37

7 Práctica 7. Ley de Ohm Medida directa de las resistencias Medir directamente cada resistencia disponible usando el polímetro. Para ello: 1. Pinchar la resistencia en la plaqueta, sin utilizar fuente de alimentación. 2. Seleccionar en el polímetro la opción para medir resistencias (símbolo Ω). Identificar la escala apropiada. 3. Medir la resistencia aplicando las pinzas del polímetro a las patillas de la resistencia. Comparar el resultado con el valor nominal. Para una resistencia dada vamos a medir varios valores de voltaje frente a la intensidad. Podemos variar el voltaje que llega a nuestra plaqueta haciendo girar un potenciómetro. Seguir los siguientes pasos: 1. Seleccionar en el polímetro la opción para medir voltaje (V ), en la escala apropiada para este caso (10V ). Así el polímetro se comporta como un voltímetro. 2. Móntese un circuito con una resistencia, un voltímetro (¡siempre en paralelo!) y los polos de la fuente de alimentación. El polo positivo (rojo) del voltímetro debe ser el más cercano al polo positivo de la fuente de alimentación. 3. Gire el potenciómetro hasta que el voltaje, ,V1 sea máximo. O mejor hasta 4V . Anote este valor. 4. Quite el voltímetro. 5. Convierta el polímetro en amperímetro, eligiendo la opción y escala indicada (250mA). 6. Mida la intensidad que circula por la resistencia, I1 Tiene que colocar el amperímetro en serie con la resistencia. 7. Repita los pasos anteriores con voltajes e intensidades diferentes girando el potenciómetro. Obtener valores para cuatro medidas más. 8. Construir la tabla Vi frente a Ii . Represente V frente a I utilizando el programa ORIGIN. Encontrar la recta de mejor ajuste. La pendiente se corresponderá con el valor de la resistencia.

Uso del amperímetro y del voltímetro. Para medir la intensidad de corriente que circula a través de una resistencia, una vez seleccionada la opción de medir intensidad con el polímetro debemos medir colocando éste en serie con la resistencia, de tal forma que toda la intensidad que circula por la resistencia pasa también por el amperímetro. Esto se pone de manifiesto

38

7 Práctica 7. Ley de Ohm

Figura 7.3: Uso del polímetro como amperímetro

Figura 7.4: Uso del polímetro como voltímetro en la figura (7.3). Debemos de tener cuidado con la polaridad, normalmente el polo positivo coincide con el terminal rojo y el polo negativo de color negro. Para medir la caída de tensión o diferencia de potencial entre dos puntos se usa el polímetro en la opción de voltímetro (figura 7.4). Para hacer la medida debemos de situarlo en paralelo con el elemento cuyo voltaje queramos medir. Para medir la resistencia se utiliza el ohmetro (figura 7.5)que se coloca en paralelo con el elemento cuya resistencia vamos a medir. Para medir la resistencia de un elemento nos aseguraremos de que dicho elemento esté desconectado del circuito, de lo contrario obtendremos una medida errónea y podremos dañar el aparato.

39

7 Práctica 7. Ley de Ohm

Figura 7.5: Uso del polímetro como óhmetro

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8 Práctica 8. Asociaciones de resistencias 8.1.

Objetivos y fundamento teórico.

En esta práctica vamos a medir la resistencia equivalente, intensidad y caída de potencial de asociaciones de resistencias en serie y en paralelo. Para hacer estas medidas usaremos el polímetro en sus tres facetas: voltímetro, amperímetro y ohmetro. Las resistencias comerciales suelen ser cilíndricas y pequeñas (como se muestra en la figura 8.1).

Figura 8.1: Resistencias comerciales Llevan impresas cuatro líneas transversales de color que indican el valor de la resistencia (tres primeras líneas) y la tolerancia (última línea) que garantiza el fabricante. Es el llamado código de colores universal de las resistencias. Su significado se expresa en la figura (8.2).

Figura 8.2: Código de colores para calcular el valor de las resistencias Las dos primeras líneas dan un número de dos cifras. La tercera es la potencia de diez que corresponde a su código. La línea de tolerancia es la última, y puede ser de

41

8 Práctica 8. Asociaciones de resistencias color oro (tolerancia del 5 %) o plata (tolerancia del 10 %). Por ejemplo si los colores son naranja, verde, rojo y oro; la resistencia vale R = 35 × 102 Ω con una tolerancia del 5 %. Las resistencias se pueden asociar entre si. El conjunto puede verse como si fuera una única resistencia, llamada resistencia equivalente, que depende de las resistencias que lo componen y del modo de asociarlas. Hay dos formas básicas de asociación de resistencias: en serie y en paralelo. Asociación de resistencias en serie Dos o más resistencias están en serie cuando la intensidad de corriente que pasa por todas ellas es la misma. La caída de potencial entre los extremos de una asociación en serie es la suma de las caída de potencial en cada resistencia (figura 8.3)

Figura 8.3: Asociación de resistencias en serie

(8.1)

V = V1 + V2 + .... Por consiguiente la resistencia equivalente será: Req = R1 + R2 + .... =

∑

Ri

(8.2)

Asociación de resistencias en paralelo Dos o más resistencias están en paralelo (figura 8.4) cuando todas ellas provocan la misma caída de potencial. En este caso, la intensidad total que pasa por la asociación es la suma de las intensidades que pasan por cada resistencia I = I1 + I2 + ....

(8.3)

y la resistencia equivalente vendrá dada por: 1 1 1 = + + .... Req R1 R2

8.2.

(8.4)

Material necesario

Tenemos una fuente de alimentación que suministre un cierto voltaje. Un polímetro con el que mediremos voltaje, intensidad y las resistencias; una plaqueta de ensayos para electrónica, en la que se pueden pinchar las resistencias y formar los circuitos y varias resistencias comerciales.

42

8 Práctica 8. Asociaciones de resistencias

Figura 8.4: Asociación de resistencias en paralelo

8.3.

Método operativo.

Valor nominal de las resistencias Hallar el valor nominal de cada resistencia y la tolerancia utilizando el código de colores. Medida directa de las resistencias Medir directamente cada resistencia disponible usando el polímetro. Asociación en serie • Montar un circuito con dos resistencias en serie (coger una resistencia de 1000Ω y otra de 1200Ω), sin conectar la plaqueta a la fuente de alimentación. • Medir directamente con el polímetro la resistencia equivalente del circuito. • Comparar este resultado con el valor teórico. • Conectar ahora el circuito a la fuente de tensión (Consultar con el profesor para hacer este paso). • Usando el polímetro como amperímetro, medir la intensidad que circula por cada una de las resistencias y por el circuito completo. • Cambiando el polímetro a voltímetro, medir la caída de potencial en cada resistencia y en el circuito completo. • ¿Se verifican las condiciones para la intensidad y voltaje que deben de cumplir las asociaciones en serie? • Hallar los valores de las resistencias usando la ley de Ohm. Asociación en paralelo • Montar un circuito con dos resistencias en paralelo (coger una resistencia de 1000Ω y otra de 1200Ω), sin conectar la plaqueta a la fuente de alimentación.

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8 Práctica 8. Asociaciones de resistencias • Medir directamente con el polímetro (en óhmetro) la resistencia equivalente del circuito. • Comparar este resultado con el valor teórico. • Conectar ahora el circuito a la fuente de tensión (consultar con el profesor para hacer este paso). • Usando el polímetro como amperímetro, medir la intensidad que circula por cada una de las resistencias y por el circuito completo. • Cambiando el polímetro a voltímetro, medir la caída de potencial en cada resistencia y en el circuito completo. • ¿Se verifican las condiciones para la intensidad y voltaje que deben de cumplir las asociaciones en paralelo? • Hallar los valores de las resistencias usando la ley de Ohm. Recordatorio Para medir la caída de tensión o diferencia de potencial entre dos puntos se usa el polímetro en la opción de voltímetro. Para hacer la medida debemos de situarlo en paralelo con el elemento cuyo voltaje queramos medir

Figura 8.5: Polímetro en versión voltímetro y amperímetro Para medir la intensidad de corriente que circula a través de una resistencia, una vez seleccionada la opción de medir intensidad con el polímetro debemos medir colocando éste en serie con la resistencia.

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9 Práctica 9. Cálculo de los parámetros caracteristicos de un generador de corriente. 9.1.

Fundamento teórico.

Para que exista una corriente estacionaria en un circuito conductor, éste debe formar una malla cerrada o circuito completo. De otro modo la carga se acumulará en los extremos del conductor, el campo eléctrico resultante variará con el tiempo y la corriente no podrá ser constante. Sin embargo, tal circuito no puede estar constituido solamente por una resistencia. La corriente en una resistencia necesita un campo eléctrico y un potencial asociado. El campo realiza siempre trabajo positivo sobre la carga, la cual se mueve siempre en la dirección del potencial decreciente. Pero después de una vuelta completa en torno al circuito, la carga vuelve a su punto de partida y el potencial entonces ha de ser igual a cuando salió de dicho punto. Esto no puede ocurrir así si su recorrido por el circuito solo implica disminución del potencial. Por tanto, tiene que haber una parte del circuito en la que la carga pase de un potencial menor a otro mayor, a pesar de la fuerza electrostática que intenta empujarla de un potencial mayor a otro menor. El influjo que hace mover la carga de un potencial menor a otro mayor se llama fuerza electromotriz. Todo circuito completo en el que haya una corriente estacionaria debe tener algún dispositivo que proporcione la fuerza electromotriz. Ejemplos de tales dispositivos son las baterías, generadores, células fotovoltaicas y termopares, que reciben el nombre de generadores de fuerza electromotriz. Cualquiera de ellos puede transmitir energía al circuito al que está conectado; por ello, a veces se les denomina fuente, aunque es preferible el término convertidor de energía. La fuerza electromotriz suele expresarse abreviadamente fem. La figura (9.1) es una representación esquemática de un generador de fuerza electromotriz (fem), como una batería o un generador. Un dispositivo de este tipo tiene la propiedad de poder mantener una diferencia de potencial entre los conductores a y b, llamados terminales del dispositivo. En la figura (9.1) no hay circuito conductor fuera del dispositivo que conecte a y b y se dice que está en circuito abierto. El terminal a, marcado +, se mantiene por la fuente a un potencial más alto que el terminal b, marcado -. Asociado a esta diferencia de potencial hay un campo electros-

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9 Práctica 9. Cálculo de los parámetros caracteristicos de un generador de corriente. tático Ee en todos los puntos entre y alrededor de los terminales, tanto dentro como fuera de la fuente. El campo electrostático Ee dentro del dispositivo está dirigido, como se muestra, desde a hacia b. Sin embargo, la propia fuente es un conductor y si la única fuerza que actuase dentro de ella sobre las cargas libres fuera la ejercida por el campo electrostático, las cargas positivas se moverán desde a hacia b (o las cargas negativas desde b hacia a). El exceso de cargas en los terminales disminuirá, y la diferencia de potencial entre ellos también disminuirá y acabará por anularse.

Figura 9.1: Modelo de generador Pero no es así como funcionan realmente las baterías y los generadores; de hecho, mantienen una diferencia de potencial incluso cuando hay una corriente estacionaria. De esto sacamos la conclusión de que debe existir una fuerza adicional sobre las cargas del interior de la fuente, que tiende a empujarlas desde un punto de menor potencial a otro de mayor potencial, en oposición a la tendencia de la fuerza electrostática. El origen de esta fuerza no electrostática depende de la naturaleza de la fuente. En un generador es el resultado de la acción de un campo magnético sobre las cargas en movimiento. En una batería está asociada con las concentraciones del electrolito, que varían debido a las reacciones químicas. En una máquina electrostática como un generador de Van de Graaff o de Wimshurst, se trata de una fuerza mecúnica aplicada por el movimiento de una correa o de una rueda. Independientemente del origen de la fuerza no electrostática, que podemos llamar F su efecto es el mismo que si hubiera un campo eléctrico adicional En , de origen no electrostático, relacionado con la fuerza por F = qEn . Es decir, la fuerza no electrostática es la misma que si hubiera un campo no electrostático En , además del puramente electrostático Ee . Cuando la fuente está en circuito abierto, como en la figura (9.1), las cargas están ⃗ suma vectorial de Ee y En , debe ser nulo en en equilibrio, y el campo resultante E, todos los puntos: E = Ee + En = 0

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9 Práctica 9. Cálculo de los parámetros caracteristicos de un generador de corriente. Ahora bien, la diferencia de potencial electrostática Vab se define como el trabajo por unidad de carga realizado por el campo electrostático Ee sobre una carga que se mueve de a a b. De la misma forma puede considerarse el trabajo realizado por el campo no electrostático En . Suele hablarse del trabajo (positivo) de este campo durante el desplazamiento desde b hasta a en vez de al contrario. Específicamente, se llama fuerza electromotriz ϵ de la fuente al trabajo realizado por En por unidad de carga cuando la carga se mueve desde b hasta a. Cuando Ee = −En , tenemos que Vab = ϵ. Por consiguiente, para una fuente en circuito abierto, la diferencia de potencial Vab , es decir, el voltaje de sus terminales en circuito abierto, es igual a la fuerza electromotriz: El término fuerza electromotriz, aunque muy utilizado, no es muy afortunado, en el sentido de que el concepto al que se refiere no es una fuerza sino un trabajo por unidad de carga. Lo más frecuente es utilizar simplemente la expresión fem. La unidad SI de En es la misma que la de Ee esto es, un voltio por metro (V m), de modo que la unidad de fem es la misma que la del potencial o que la diferencia de potencial, es decir, un voltio (V ). De todas formas, una fuerza electromotriz no es lo mismo que una diferencia de potencial, pues esta última es el trabajo de un campo electrostático y la otra es el de uno no electrostático. Como veremos más adelante, el campo electrostático en el interior de una fuente, y por tanto la diferencia de potencial entre sus terminales, depende de la corriente de la fuente. El campo no electrostático, y en consecuencia la fem de la fuente, es, en la mayoría de los casos, una constante independiente de la corriente, por lo que la fem representa una propiedad determinada de la fuente. A menos que se diga lo contrario, de ahora en adelante consideraremos que la fem de una fuente es constante.

Figura 9.2: Generador en circuito cerrado Supongamos ahora que los terminales de la fuente están conectados por un cable, como se muestra esquemáticamente en la figura (9.2), formando un circuito completo.

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9 Práctica 9. Cálculo de los parámetros caracteristicos de un generador de corriente. La fuerza de arrastre sobre las cargas libres del cable se debe exclusivamente al campo electrostático Ee creado por los terminales cargados a y b de la fuente. Este campo crea una corriente en el cable de a a b. Las cargas de los terminales disminuyen ligeramente, así como los campos electrostáticos dentro del cable y de la fuente. En consecuencia, el campo electrostático del interior de la fuente se hace menor que el campo no electrostático (constante). Por tanto, las cargas positivas del interior de la fuente son llevadas hacia el terminal positivo, y hay una corriente en el interior de la fuente de b hacia a. El circuito se estabiliza en un estado estacionario en el que la corriente es la misma en todas las secciones transversales. Si la corriente pudiera circular sin impedimento por la fuente (es decir, si la fuente no tuviera resistencia interna), la carga que entra al circuito externo a través del terminal a sería reemplazada inmediatamente por el flujo de carga que pasa por la fuente. En este caso, el campo electrostático interior de la fuente no variará en condiciones de circuito completo, y la diferencia de potencial entre los terminales Vab sería todavía igual a ϵ. Como Vab está también relacionada con la corriente y la resistencia del circuito externo por la ecuación (10.1), entonces tendríamos: Vab = ϵ = IR

(9.1)

donde R es la resistencia del circuito externo. Esta relación determina la corriente en el circuito una vez especificadas ϵ y R. El sentido condicional del párrafo anterior se debe a que toda fuente real tiene alguna resistencia interna que podemos designar por r. En condiciones de circuito cerrado el campo eléctrico total Ee + En , dentro de la fuente no puede ser exactamente nulo porque es necesario algún campo neto que empuje la carga a través de la resistencia interna. Por tanto, Ee debe tener una magnitud algo menor que En y en consecuencia Vab es menor que ϵ; la diferencia es igual al trabajo por unidad de carga realizado por todo el campo, que es simplemente Ir. Así, en condiciones de circuito cerrado, la diferencia de potencial entre los terminales está dada por Vab = ϵ − Ir

(9.2)

donde r es la resistencia interna de la fuente. La ecuación que determina la corriente del circuito completo es entonces ϵ − Ir = IR

(9.3)

ϵ (r + R)

(9.4)

y, por tanto I=

Es decir, la corriente es igual a la fem de la fuente dividida entre la resistencia total del circuito, la externa mas la interna. Si los terminales de la fuente están conectados por un conductor de resistencia nula (o despreciable), se dice que la fuente está en cortocircuito. (Sería extremadamente

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9 Práctica 9. Cálculo de los parámetros caracteristicos de un generador de corriente. peligroso hacer esto con los terminales de la batería de un automóvil o de una red eléctrica). Entonces R = 0, y en virtud de la ecuación del circuito, la corriente Ic en cortocircuito es Ic = ϵ/r

(V )

(9.5)

El voltaje entre los terminales es entonces nulo: Vab = ϵ − Ir = 0

(9.6)

El campo electrostático dentro de la fuente es nulo, y la fuerza de arrastre que actúa sobre las cargas interiores es debida únicamente al campo no electrostático. Una fuente está totalmente descrita por su fem y su resistencia internar. Estas propiedades pueden determinarse (al menos en principio) midiendo el voltaje entre los terminales en circuito abierto, que es igual a ϵ, y la corriente en cortocircuito, la cual permite calcular r por la ecuación (9.5).

9.2.

Materiales

Para la realización de esta práctica se dispone de: Bateria de 9V Conector para la bateria. Reostato y resistencia. Placa de prototipos. Cables de conexionado.

9.3.

Método operativo

1. Realizar el circuito tal y como se especifica en la figura (9.3), teniendo especial cuidado de la polaridad de los aparatos. 2. Fijar el cursor del reostato en un extremo. 3. Medir simultaneamente las medidas del amperimetro y del voltimetro. 4. Mover el cursor del reostato y volver a repetir las medidas. 5. Repetir el punto 4) intentando barrer toda la longitud del cursor del reostato y tomando, al menos, seis medidas simultaneas distintas. 6. Representar gráficamente (en el ordenador) la diferencia de potencial frente a la intensidad.

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9 Práctica 9. Cálculo de los parámetros caracteristicos de un generador de corriente.

Figura 9.3: Esquema del circuito 7. Identificar la fem y la resistencia interna de generador así como el error correspondiente.

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10 Práctica 10. Carga de un condensador 10.1.

Objetivos.

Montar un circuito para cargar lentamente un condensador, estudiar la curva intensidad de corriente frente a tiempo y, a partir de ella, determinar la capacidad del condensador.

10.2.

Fundamento teórico.

Los condensadores tienen interés tecnológico por su capacidad para almacenar carga eléctrica. Consta de dos conductores enfrentados y separados por un aislante (dieléctrico). En la figura (10.1) se muestra un condensador de láminas planas paralelas, de sección A, y separación d. Se define la capacidad C de un condensador como el cociente entre la carga almacenada, Q, y la diferencia de potencial V entre las placas: C = Q/V . Su unidad de medida es el faradio (F ). Para un condensador plano puede demostrarse que Figura 10.1: Esquema de un condensador ϵA de placas paralelas C= (10.1) d donde ϵ es la constante dieléctrica de la lámina aislante. En los condensadores comerciales (figura 10.2) las láminas planas son alargadas y muy delgadas, y se enrollan sobre sí mismas, formando cilindros, para ahorrar espacio. Características de un condensador comercial: Capacidad nominal, según el fabricante, que suele darse con una tolerancia grande (± 20 %). Diferencia de potencial máxima que es capaz de soportar sin que se produzca la ruptura del dieléctrico.

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10 Práctica 10. Carga de un condensador

Figura 10.2: Condensador comercial Polaridad (polos positivo y negativo). Los condensadores electrolíticos, como el de nuestra práctica, tienen una polaridad que hay que respetar. Circuito de carga de un condensador La figura (10.3) muestra el circuito de carga de un condensador. En el instante de conectar el interruptor S (t = 0), el condensador está descargado, y sólo la resistencia R limita la corriente inicial, que valdrá: I0 =

Vs R

Figura 10.3: Circuito de carga de un condensador

A medida que transcurre el tiempo, se acumula carga en el condensador y disminuye la intensidad de la corriente que circula, hasta que finalmente se anula. El condensador queda completamente cargado entonces, y la diferencia de potencial entre sus placas será Vs . Puede demostrarse que la variación con el tiempo de la intensidad de corriente sigue la siguiente ley:

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10 Práctica 10. Carga de un condensador

I(t) = I0 e− RC t

(10.2)

El producto RC tiene dimensiones de tiempo, y se conoce como tiempo característico del proceso de carga. Transcurrido un tiempo t = 3RC, la intensidad que circula se ha reducido hasta solo ∼ 0,05I0 .

10.3.

Material necesario

Regleta para circuitos, condensador electrolítico de C ∼ 2200 µF , resitencia de 100 kΩ, polímetro analógico, generador de corriente continua (de voltaje ajustable), interruptor y cronómetro digital (con opción de lecturas parciales sin detención de la medida).

10.4.

Método operativo

Interpretar el código de colores de la resistencia y determinar su valor con el polímetro. Montar con los materiales disponibles el circuito de carga del condensador mostrado en la figura (10.3) (la fotografía, en la que falta insertar el amperímetro en serie, puede servirle de orientación). Asegúrese de que el condensador está completamente descargado (cortocircuitando sus patillas con un hilo conductor) antes de montarlo en el circuito. Para fijar con precisión el valor de I0 , retire el condensador, pero mantenga el circuito cerrado con el amperímetro (conectado ahora directamente a la resistencia). Parta de la escala mayor, pero tendrá que ajustar la tensión de la fuente hasta conseguir que el amperímetro en la escala de 50 µA indique fondo de escala (tendremos entonces I0 = 50 µA). La fuente de tensión ya no debe tocarse. Desconectamos el interruptor. Montamos el circuito completo, con el condensador, y preparamos el cronómetro. Al conectar el interruptor tendremos t = 0 e I0 = 50 µA. Tendremos que anotar los tiempos parciales (sin detener el cronómetro) para valores prefijados de la intensidad, completando la tabla de toma de datos que figura al final. Utilice el PC para representar la intensidad frente al tiempo. Añada a la tabla una columna conln(I/I0 ) y represéntela frente al tiempo. De acuerdo con la ecuación (10.2) tendremos: ( ) I 1 ln =− t I0 RC

53

10 Práctica 10. Carga de un condensador Deberá obtener así una recta, cuya pendiente (resuelta por el método de los mínimos cuadrados) valdrá m = −1/RC. Como R es conocido, podrá obtener finalmente el valor de la capacidad C del condensador. Compárese con el valor nominal que proporciona el fabricante.

Figura 10.4: Fotografía del montaje del circuito

I (µA) 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5

t (s)

ln (I/I0 )

Cuadro 10.1: Tabla de resultados

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Práctica 5. Medida del calor específico de diversos materiales

1.

Objetivo

El objetivo de esta práctica es medir el calor específico de dos metales mediante el uso de un método calorimétrico. Previamente debemos determinar el equivalente en agua del calorímetro utilizado.

2.

Fundamento teórico

Un calorímetro es un recipiente aislado del exterior que se emplea para realizar medidas calorimétricas, tales como calores específicos, calores de fusión, ebullición. . . etc. Se define el equivalente en agua de un calorímetro como la masa de agua que absorbería la misma cantidad de calor que el calorímetro para la misma variación de temperatura. Vamos a utilizar el método de las mezclas para encontrar este valor. Supongamos inicialmente el calorímetro a temperatura ambiente, tamb , añadimos una cantidad de agua m, también a temperatura ambiente, tamb . A continuación añadimos la misma cantidad de agua, magua a una temperatura inferior, tf r´ıa . Esperamos un tiempo hasta que se alcanza la temperatura de equilibrio, teq . Entonces se debe verificar que el calor cedido por el calorímetro y el agua añadida será igual al calor absorbido por el agua fría: (K + m) Ce (agua) (tamb − teq ) = magua Ce (agua) (teq − tf r´ıa )

(1)

donde K es el equivalente en agua del calorímetro, que podremos obtener simplemente despejando. Para medir el calor específico del metal -cantidad de calor que hay que añadir a un gramo de una sustancia para aumentar su temperatura un grado centígradoprocedemos de forma análoga. Mezclamos una masa de agua ma , a una cierta temperatura ta , por debajo de la temperatura ambiente, con la pieza de metal de masa ms , y a una temperatura ts (temperatura ambiente). El calor cedido por el metal será absorbido por el agua y el calorímetro. ms Ce (ts − teq ) = Ce (agua) (ma + K) (teq − ta )

(2)

donde Ce es el calor específico del metal. Consideraremos el calor específico del agua igual a 1 cal/go C 1

3 Material

3.

2

Material Dos recipientes con agua. Uno de ellos conteniendo agua a temperatura ambiente y el otro conteniendo agua enfriada con hielo. Calorímetro con su termómetro y agitador. Probetas para medir los volúmenes de agua necesarios. Piezas metálicas problemas

4.

Método Operativo

4.1.

Determinación del equivalente en agua del calorímetro

1. Medir la temperatura ambiente del laboratorio, taire . Consideraremos que esta es la temperatura a la que se encuentran las piezas problemas de la segunda parte de la práctica. 2. Echar en el calorímetro 250 ml de agua y medir la temperatura de la misma una vez en el calorímetro, esta temperatura se corresponde con tamb de la expresión (1). 3. Añadir a continuación otros 250 ml de agua fría al calorímetro (enfriada con hielo). Recordar medir la temperatura de esta agua fría antes de añadirla al calorímetro, tf r´ıa 4. Cerrar el calorímetro, mover un poco para que se produzca la mezcla y medir la temperatura de equilibrio, teq . 5. Obtener el valor de K usando la ecuación (1).

4.2.

Determinación del calor específico de las piezas metálicas

1. Pesar la pieza de metal, ms 2. Echar 250 ml de agua fría (enfriada con hielo) al calorímetro. Esperar un poco y medir la temperatura, ta . 3. Introducir la pieza de metal en el calorímetro. Consideraremos que se encuentra a temperatura ambiente, taire , le podemos llamar a esta temperatura ts . 4. Cerrar el calorímetro, mover un poco y medir la temperatura del conjunto. Esta será la temperatura de equilibrio, teq . 5. Usar la ecuación (2) para obtener el calor específico del metal. Repetir los pasos anteriores para cada una de las piezas metálicas.

1

Práctica : Balanza de corriente. Fuerza de Lorentz 1 Objeto de la práctica. En esta práctica se medirá mediante una balanza la fuerza de origen magnético, que actúa sobre un hilo conductor por el que pasa una corriente, cuando éste se encuentra en el seno de un campo magnético uniforme. Estudiaremos cómo varía esta fuerza en función de la longitud del hilo conductor para una intesidad de corriente dada. Igualmente para una longitud dada veremos como se comporta la fuerza para distintas intensidades y por último veremos cuál es el comportamiento de la fuerza en función del ángulo que forman la intensidad de corrriente y el campo magnético.

2 Fundamento teórico La fuerza que un campo magnético ejerce sobre un hilo conductor por el que circula una corriente I viene dada por: ⃗ ×B ⃗ F⃗ = I L Donde: F⃗

es la fuerza de origen magnético en newtons

I ⃗ L

es la intensidad de corriente que circula por el hilo conductor en amperios

⃗ B

intensidad del campo magnético en teslas.

tiene como módulo la longitud del hilo, su dirección es paralela al hilo y su sentido es el de la corriente en metros

La fuerza sobre el hilo conductor es perpendicular al hilo y al campo magnético y si éste es perpendicular a la corriente, el módulo de la fuerza será: F = I LB Cuando la corriente y el campo no sean perpendiculares, el módulo será: F = I L B senθ

3 Material y método Para la realización de la práctica contamos con el siguiente material: Balanza de corriente I (bloque con seis imanes permanentes, soporte con brazo basculante y seis conductores de diferente longitud) Fuente de alimentación 0 − 30 V CC/ 0 − 5 A Balanza digital 300 g/0, 01 g Cables de conexión Base soporte y varilla Balanza de corriente II (bloque on cuatro imanes permanentes y bobina montada en soporte graduado giratorio)

2

Fig. 1: Balanza de corriente I y accesorios

Fig. 2: Balanza de corriente II Fuerza magnética en función de la corriente. Debemos configurar el equipo (mostrado en la figura 1) de forma que el imán descanse sobre el platillo de la balanza y el brazo de la balanza de corriente se coloque de forma que el conductor esté completamente dentro de la región del campo magnético uniforme. Cogeremos cualquiera de los conductores, por ejemplo el de mayor longitud L = 8 cm. Tarar la balanza para ponerla a cero y ajustar la corriente también a cero. Mantener el hilo conductor y variar la intensidad de corriente, para cada una de ellas leer el valor correspondiente de la balanza. Los valores observados pueden ser positivos o negativos dependiendo de la orientación del campo magnético o del sentido de la corriente. Si queremos obtener siempre valores positivos debemos cambiar el sentido de la corriente. Longitud del conductor (metros) = Intensidad (A) gramos Fuerza (N)

Tab. 1: Fuerza magnética frente a la corriente

m

3

Representar gráficamente la fuerza frente a la intensidad. Fuerza magnética en función de la longitud del hilo conductor. Debemos configurar el equipo igual que en el caso anterior. Debemos de ser cuidadosos para colocar el conductor completamente dentro de la región de campo magnético uniforme. Fijamos un valor constante para la intensidad de corriente, por ejemplo I = 4 A, y vamos intercambiando los conductores empezando por el de menos longitud. Para cada uno de ellos tomamos la lectura de la balanza. Cada vez que cambiemos el conductor debemos tarar la balanza. Intensidad (amperios) = Longitud del conductor (m) gramos 0, 01 0, 02 0, 03 0, 04 0, 06 0, 08

A Fuerza (N)

Tab. 2: Fuerza magnética en función de la longitud del hilo conductor Representar la fuerza magnética frente a la longitud del hilo conductor Fuerza magnética en función del ángulo entre la dirección del campo magnético y la intensidad de corriente. En este caso debemos utilizar el accesorio de la figura 2. Este accesorio lleva una bobina en lugar de un único conductor y está conectado a un goniómetro, debemos de colocarlo en el lugar donde antes colocabamos los hilos conductores. En este caso debemos de ser cuidadosos de ajustar el goniómetro de forma que el indicador móvil del goniómetro esté en cero cuando la bobina y el campo magnético sean paralelos. Fijamos una corriente constante, por ejemplo I = 4 A, y vamos ajustando el ángulo entre la corriente y el campo magnético de 10 en 10 grados, para cada uno de ellos apuntamos la lectura de la balanza. Intensidad (amperios) = A Ángulo gramos Fuerza (N) 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 Fig. 3: Fuerza magnética frente al ángulo Representar la fuerza magnetica frente al ángulo.