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• Vasquez Miguel Luis

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INTRODUCCION

En este capítulo presentamos un método de solución de ecuaciones diferenciales llamado transformada de Laplace (denotado con la abreviatura TL o con el símbolo L). La TL es una poderosa herramienta utilizada con mucha frecuencia en física, matemáticas e ingeniería, para el análisis y solución de diversos problemas, como por ejemplo, el cálculo de integrales impropias, análisis de señales y sistemas, entre otros. La TL se denomina así en honor al matemático Pierre-Simon Laplace, quien la definió a finales del siglo XVIII, aunque no la utilizó para resolver ecuaciones diferenciales. Casi 100 años después, Oliver Heaviside (1850-1925), un ingeniero inglés famoso por sus aportaciones a la teoría electromagnética, creó el cálculo operacional donde la TL desempeña un papel preponderante. Al aplicar este cálculo operacional para la solución de ED se obtuvieron métodos complementarios a los métodos de solución conocidos en esa época. A reserva de describir con mayor detalle el proceso posteriormente, podemos adelantar de momento que el método de la TL para resolver ecuaciones diferenciales consiste en trasladar un problema de valor inicial a un ámbito diferente, generalmente algebraico, en donde la TL de la solución buscada se puede despejar y la solución del PVI se obtendrá aplicando una trasformación inversa a la transformada de Laplace.

.

TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE Concepto: Es una herramienta de gran alcance formulada para solucionar una variedad amplias de problemas de valor inicial. La estrategia es transformar las ecuaciones diferenciales difíciles en los problemas simples de la algebra donde las soluciones pueden ser obtenidas fácilmente. Entonces se aplica la transformada inversa de Laplace para recuperar las soluciones de los problemas originales. Condiciones para la existencia de una transformada inversa:

1)

2)

existe

En matemática la definición de transformada de Laplace se tiene: si F:[ 0,+ ∞ > R, es una función seccionalmente continua y de orden exponencial, entonces L {F ( t ) }=f (s) , ahora invertiremos el problema, es decir: dada la función f(s) queremos encontrar la función F (t) que corresponde a esta transformada y a esta función F (t) se llama la transformada inversa de F(s) y se simboliza por 𝐿−1 { f ( s) }, es decir F( t ) =𝐿−1 { f ( s) }. Ejemplo.- hallar F (t) si f (s) =

2 𝑠+3

Solución

F( t ) =𝐿−1 { f ( s) } = 𝐿−1 {

2

𝑠+3

Ejemplo.- hallar F (t) si f (s) =

}= 2𝑒 −3𝑡 de donde F (t)= 2𝑒 −3𝑡

2 𝑠2 +4

Solución

F( t ) =𝐿−1 { f ( s) } = 𝐿−1 {

2

𝑠2 +4

F(t)=

𝟏 𝟐

1

2

2

𝑠2 +4

}= 𝐿−1 {

sen 2t

TABLA DE TRANSFORMADA INVERSA

}=

1 2

sen 2t ; de donde

PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE 1er. PROPIEDAD DE LINEALIDAD. Si a y b son constantes arbitrarios y f (s), g (s) son las transformadas de F (t) y G (t) respectivamente entonces:

𝐿−1 { a f(s) + b g(s)} = a 𝐿−1 { f(s)} + b 𝐿−1 { g(s)} = a F(t) + b G(t) Demostración Mediante la propiedad de linealidad se tiene:

L{ a F(t) + b G(t)} = a L{ F(t)} + b L{ G(t)} = a F(s) + b G(s) Es decir que: a f(s) + b g(s)} = L { a F(t) + b G(t)} , tomando la transformada inversa se tiene:

𝐿−1 { a f(s) + b g(s)} = a F(t) + b G(t) = a 𝐿−1 { f(s)} + b 𝐿−1 { g(s)} Ejemplo: si f (s) =

1 𝑠2

+

2 𝑠2 +9

-

3

, hallar F(t)

s−2

Solución

F( t ) =𝐿−1 { f ( s) } = 𝐿−1 {

1

𝑠2

3𝐿−1 {

1 }= s−2

t+

1 3

+

1 𝑠2 +9

-

3

1

1

𝑠

𝑠2 +9

} = 𝐿−1 { 2 } + 𝐿−1 {

s−2

sen 3t – 3 𝑒 2𝑡

2DA. PRIMERA PROPIEDAD DE TRASLACIÓN. Si 𝐿−1 { f (s)} = F (t), entonces 𝐿−1 { f (s-a)} =𝑒 𝑎𝑡 F (t) Ejemplo.- Hallar F(t) si: f (s) =

s−2 (𝑠−2)2 +9

}-

Solución s−2

F( t ) =𝐿−1 { f ( s) } = 𝐿−1 {

} = 𝑒 2𝑡 {

(𝑠−2)2 +9

1 𝑠2 +9

}= 𝑒 2𝑡 cos 3t

3ta. PROPIEDAD DE CAMBIO DE ESCALA. 1 Si 𝐿−1 { f (s)} = F (t), entonces 𝐿−1 { f (ks)} = 𝑘

Hallar F(t) si: f (s) =

1

F( ) 𝑘

1 (9𝑠2 +1)

Solución Sea 𝐿−1

{

1 𝑠2 +1

}= sent  𝐿−1 (

1 2

((3𝑠) +1)

1

𝑡

3

3

) = sen ( )

TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLAE DE LA DERIVADA Teorema.- si 𝐿−1 { f (s)} = F (t), entonces 𝐿−1 { 𝑓 (𝑛) (s)} = (−1)𝑛 𝑡 𝑛 F (t). Demostración Como L {𝑡 𝑛 F (t)} = (−1)𝑛

𝑑𝑛 𝑑𝑠𝑛

{ f (t)} = (−1)𝑛 𝑓 𝑛 (s)

Tomando la inversa a ambos miembros, 𝐿−1 { 𝑓 (𝑛) (s)} = (−1)𝑛 𝑡 𝑛 F (t). s+2 Ejemplo.- hallar 𝐿−1 { ln( )} s−1

Solución

L{ t F(t)} = - f ’ (s)  𝐿−1 { f (s)} = - t F(t)  𝐿−1 { f ´(s)} = -t𝐿−1 { f (s)}. 1 Luego 𝐿−1 { f (s)} = 𝐿−1 { f ´(s)}, aplicando este resultado al ejercicio dado. 𝑡

−1

s+2

𝐿 { ln(

s−1

−1

)} = 𝐿 { ln(s+2) – ln(s+1)} = -

1 𝑡

(𝑒

−2𝑡

−𝑡

-𝑒 )=

𝑒−𝑡 − 𝑒−2𝑡

𝑡

TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE DE LAS INTEGRALES. +∞

TEOREMA.- Si 𝐿−1 { f (s)} = F (t), entonces 𝐿−1 { ∫𝑠

𝑓 (u)du} =

𝐹𝑡 𝑡

Demostración

𝐹𝑡

L { F (t)} = f (s)  L {

+∞

} = ∫𝑠 𝑡

𝑓(u)du +∞

De donde al tomar la transformada inversa se tiene. 𝐿−1 { ∫𝑠 +∞

Ejemplo: Calcular la transformada inversa de 𝐿−1 { ∫𝑠

𝑓(u)du} =

𝐹𝑡 𝑡

ds } 𝑠2 +𝑎2

Solución

𝐹𝑡

Si L { F (t)} = f (s)  L {

+∞

𝐿−1 { ∫𝑠

𝑓(s)ds} =

+∞

} = ∫𝑠 𝑡

𝑓 (s)ds, de donde

𝐹(𝑡) 𝑡

+∞ Luego 𝐿−1 { f (s)} = F (t)  𝐿−1 { ∫𝑠 𝑓(s)ds} =

𝐹(𝑡) 𝑡

, aplicando el resultado

al ejercicio,

𝐿−1 {

1

𝑠2 +𝑎

2} =

𝑠𝑒𝑛𝑎𝑡 𝑎

+∞

 𝐿−1 { ∫𝑠

ds 𝑠2 +𝑎2

}=

𝑠𝑒𝑛𝑎𝑡 𝑎𝑡

TRANSF. INVERSA DE LAPLACE DE LA MULTIPLICACION POR S TEOREMA: 𝐿−1 { f (s)} = F (t) y F(0) = 0 entonces 𝐿−1 {s f(s)ds} = F´ (t) Demostración

𝐿−1 { f (s)} = F (t)  L { F(t)} = f (s) , de donde L { F(t)} = s L { F(t)} – F(0) = s L { F(t)}, es decir L { F(t)}= s f(s), entonces 𝐿−1 {s f(s)ds} = F´ (t).

s Ejemplo: Hallar 𝐿−1 { } (𝑠+1)5

Solución s

−1

𝐿 {

}= 𝑒

(𝑠+1)2

𝑡3 𝑒−𝑡

6

-

𝑡4 𝑒−𝑡

24

−𝑡

𝐿 { 5 }= 𝑠

𝑒−𝑡

=

−1 s

24

𝑡4 𝑒−𝑡

24

s , de donde 𝐿−1 { } (𝑠+1)5

=

(4𝑡 3 - 𝑡 4 )

LA FUNCION COMPLEMENTARIA DE ERROR A la función complementaria de error definiremos por:

ƒ𝑎(𝑡) = 1 − ƒ(𝑡) = 1 −

2 √𝜋

𝑡

2

2

∝

2

∫0 𝑒 −𝜋 𝑑𝑢 = 𝜋 ∫𝑡 𝑒 −𝜋 𝑑𝑢

LAS INTEGRALES DEL SENO Y COSENO A las integrales del seno y coseno se definen de la siguiente manera. 𝑡 sin 𝑢

𝐼𝐶 (𝑡) = ∫0

𝑢

𝑑𝑢

;

∝ cos 𝑢 𝑑𝑢 𝑢

𝐼𝑐 (𝑡) = ∫𝑡

LA INTEGRACION EXPONENCIAL A la integral exponencial se define de la siguiente manera:

∝ 𝑒−𝑢 𝑢

𝐼𝑐 (𝑡) = ∫𝑡

OBSERVACION: Se ha estudiado la función escalón unidad y su respectiva transformada de Laplace. Ahora expresaremos la transformada inversa en términos de la función escalón unidad y los expresaremos mediante el teorema siguiente:

12.15. TEOREMA Si 𝐿−1 {ƒ(𝑠)} = 𝐹(𝑡) y 𝑐 ≥ 0, y si a F(t) se le asigna valores (no importa cuales) para −𝑐 < 𝑡 < 0. Entonces: 𝐿−1 {𝑒 .𝑐𝑠 f(t)} =F(t – c)u(t - c)

EJERCICIOS RESUELTOS

EJEMPLO 1: −1

Evaluar 𝐿

𝑒 −4𝑠 {(𝑠+2)3 }

SOLUCIÒN

1 𝐿−1 { }= (𝑠 + 2)3 1 𝑒 −2𝑡 𝐿−1 { 3 } = 𝑠 𝐹(𝑡) = 2𝑡 2 𝑒 −2𝑡 𝑒 −4𝑠 𝐿 { = (𝑠 + 2)3 −1

𝐹(𝑡 − 4)𝜇(𝑡 − 4) = 2(𝑡 − 4)2 𝑒 −2(𝑡−4) 𝜇(𝑡 − 4)

EJEMPLO 2: ∝ 𝑥 sin 𝑥𝑡 Calcular ∫ 𝑑𝑡 0 𝑥 2 +1

SOLUCION ∝

F(t) = ∫ 0

𝑥 sin 𝑥𝑡 𝑑𝑥 𝑥2 + 1

Transformada de Laplace ∝

∝

𝐿{𝐹(𝑡) = ∫ 𝑒 −𝑠𝑡 (∫ 0 ∝

∫ 0

0

𝑥 sin 𝑡𝑥 𝑑𝑥) 𝑑𝑡 𝑥2 + 1

∝ 𝑥 (∫ 𝑒 −𝑠𝑡 sin 𝑥𝑡 𝑑𝑡) 𝑑𝑥 𝑥2 0

∝

∫

𝑠2

0 ∝

∫ 0

𝑥 𝐿{sin 𝑥𝑡}𝑑𝑥 = +1

𝑥 2 𝑑𝑥 = (𝑥 2 + 1)(𝑥 2 + 𝑥 2 )

∝ 1 𝑠2 1 ∫ ( − )𝑑𝑥 = 𝑠2 − 1 0 𝑥2 + 𝑠2 𝑥2 + 1

1 𝑥 [𝑠. 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 − 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥] /∝0 2 𝑠 −1 𝑠 1 𝑠𝜋 𝜋 [ − ]= 𝑠2 − 1 2 2 𝜋 1 ( ) 2 𝑠+1 ∝

𝐿{𝐹(𝑡) = 𝐿 {∫ 0

𝑠 sin 𝑥𝑡 𝜋 1 𝑑𝑥} = ( ) 2 𝑥 +1 2 𝑠+1

Tomando la transformada inversa 𝜋 1 𝜋 𝐹(𝑡) = 𝐿−1 { ( )} = 𝑒 −𝑡 2 𝑠+1 2 𝜋

∴∫ 0

𝑥 sin 𝑥𝑡 𝜋𝑒 −𝑡 𝑑𝑥 = 𝑥2 + 1 2

EJEMPLO 3: 𝑠2 −2s+3 Calcular: 𝐿−1 { (𝑠−1)2 (S+1)

} SOLUCION

𝑠2 −2s+3 (𝑠−1)2 (S+1)

A

=

(S+1)

+

B (S−1)

+

C (𝑠−1)2

=

A(𝑠−1)2 + B(S−1)(S+1) C(S+1) (S+1)(𝑠−1)2

𝑠 2 − 2s + 3 = A(𝑠 − 1)2 + B(S − 1)(S + 1)+ C(S + 1)= (A+𝐵)𝑠 2 + (-2A+C)s + A – B + C

A+B=1

A= 

-2A + C = -2

𝑠2 −2s+3

𝐿 {

(𝑠−1)2 (S+1)

5

=

4

−1

𝐿 {

1 (S+1)

1

B=-

4

1

A–B+C=2

−1

5 4

C=

} = 𝐿−1 {

}-

1 4

𝐿−1 {

5 4(S+1)

1 (S−1)

2

-

+

1 4(S−1)

1 2

−1

𝐿 {

+

1 2(𝑠−1)2

1 (𝑠−1)2

}

}

BIBLIOGRAFIA Y LINKOGRAFIA  ECUACIONES DIFERENCIALES.- Eduardo Espinoza Ramos.  https://prezi.com/7nbby_lm6bni/transformada-inversa-de-laplace/  http://itpn.mx/recursosisc/4semestre/ecuacioneslineales/Unidad%20III.pd f  https://es.wikipedia.org/wiki/Transformada_inversa_de_Laplace  http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica3/simbolico/laplace/laplace_1.html