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• Adan Joaquin

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MATRIZ INVERSA

CARRERA: INGENIERIA CIVIL CENTRO DE ESTUDIO: ULADECH-FILIAL SATIPO CICLO

: VIII

CURSO

: ANALISIS II

DOCENTE: ING. JESUS GUILLERMO TINTAYA FLORES ESTUDIANTES: -

JOAQUIN PACHARI ADAN

-

RAMOS GUITIERREZ KLINTON FRANCO

Contenido I.

INTRODUCCION ...............................................................................................2 II.

Conceptos Generales ....................................................................................3

2.1.

Matriz. .......................................................................................................3

2.2.

Matriz fila. .................................................................................................4

2.3.

Columna matriz. .......................................................................................4

2.4.

Matriz cuadrada. ......................................................................................5

III. 3.1.

Método de la matriz inversa ........................................................................5 ¿Se puede aplicar el método de la matriz inversa para resolver sistemas de

ecuaciones lineales compatibles que tengan más ecuaciones que incógnitas? ......6 3.2.

¿Se puede aplicar el método de la matriz inversa para resolver sistemas de

ecuaciones lineales compatibles indeterminados? .................................................7 IV.

I.

Inversa de la Matriz .....................................................................................8

INTRODUCCION

En diversos problemas matemáticos, de ingeniería, económicos y de otros campos es necesaria la matriz inversa de una matriz dada. Esto es, una matriz tal que pre multiplicada o pos multiplicada por la matriz dada produzca como resultado la matriz unitaria del orden considerado. Es decir, dada una matriz A, de orden n, es necesaria una matriz, llamada A-1 que cumpla.

También Las matrices se utilizan en el cálculo numérico, en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, de las ecuaciones diferenciales y de las derivadas parciales. Además de su utilidad para el estudio de sistemas de ecuaciones lineales, las matrices aparecen de forma natural en geometría, estadística, economía, informática, física, etc... La utilización de matrices (arrays) constituye actualmente una parte esencial en los lenguajes de programación, ya que la mayoría de los datos se introducen en los ordenadores como tablas organizadas en filas y columnas: hojas de cálculo, bases de datos.

II.

Conceptos Generales

2.1.Matriz. Una matriz es un arreglo rectangular de números que tienen m filas y n columnas. Los números, que se denominan elementos, se ensamblan entre corchetes. Por ejemplo, la matriz A se escribe como:

Se dice que esta matriz tiene un orden de m x n (m por n). Observe que el primer subíndice de un elemento indica la posición de su fila y el segundo subíndice indica la posición de su columna. Entonces, en general, aij es el elemento situado en la i-ésima fila y en la j-ésima columna. 2.2.Matriz fila. Si la matriz se compone sólo de elementos en una sola fila, se denomina matriz fila. Por ejemplo, una matriz fila de 1 x n se escribe como.

Aquí se usa un solo subíndice para denotar un elemento, puesto que se entiende que el subíndice de fila siempre será igual 𝑎1 , es decir, 𝑎1 =𝑎11 , 𝑎2 = 𝑎12 , y así sucesivamente. 2.3.Columna matriz. Una matriz con elementos apilados en una sola columna se llama matriz columna. La matriz columna de m x 1 es

Aquí la notación de los subíndices simboliza 𝑎1 es decir, 𝑎1 =𝑎11 , 𝑎2 = 𝑎12 , y así sucesivamente

2.4.Matriz cuadrada. Cuando en una matriz el número de filas es igual al número de columnas, se dice que es una matriz cuadrada. Una cuadrada de n x n sería

III.

Método de la matriz inversa

Consideremos un sistema de n ecuaciones lineales con n incógnitas, cuya expresión general es la siguiente:

En el epígrafe 1 de esta Unidad, hemos visto que este sistema se puede escribir en forma matricial del siguiente modo: A X = B. La matriz A se llama matriz del sistema, es de dimensión n x n y sus elementos son los coeficientes de las incógnitas. La matriz X es una matriz columna, de dimensión n x 1, formada por las incógnitas del sistema. Por último, la matriz B es otra matriz columna, de dimensión n x 1, formada por los términos independientes. Es decir:

Si el determinante de la matriz A es distinto de cero ( det (A) # 0 ), la matriz A tiene inversa (𝐴−1 ). Por lo tanto, podemos calcular la matriz de las incógnitas X del siguiente modo:

Es decir, para calcular la matriz columna de las incógnitas ( X ), multiplicamos la inversa de la matriz A (𝐴−1 ) por la matriz columna de los términos independientes, obteniéndose otra matriz columna de la misma dimensión que X. El siguiente botón abre una ventana que explica, mediante un ejemplo, el procedimiento a seguir. 3.1.¿Se puede aplicar el método de la matriz inversa para resolver sistemas de ecuaciones lineales compatibles que tengan más ecuaciones que incógnitas? La respuesta es afirmativa. Basta con obtener un sistema equivalente al inicial eliminando las ecuaciones superfluas o dependientes (proporcionales, nulas o que sean combinación lineal de otras). El procedimiento a seguir es el siguiente: Supongamos que tenemos un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas, siendo m > n y tal que: rango (A) = rango (A*) = n. Por lo tanto, sobran m - n ecuaciones. Para averiguar cuáles son las ecuaciones de las que podemos prescindir, basta encontrar en la matriz de los coeficientes ( A ) un menor de orden n distinto de cero, por ejemplo, el que utilizamos para

averiguar el rango de la matriz A. Las filas que intervienen en este menor son las que corresponden a las ecuaciones principales. Las restantes ecuaciones las podemos suprimir El siguiente botón abre una ventana que explica, mediante un ejemplo, el procedimiento a seguir 3.2.¿Se puede aplicar el método de la matriz inversa para resolver sistemas de ecuaciones lineales compatibles indeterminados? La respuesta es también afirmativa. El procedimiento a seguir es el siguiente: Supongamos que tenemos un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas, tal que: rango (A) = rango (A*) = k < n. Por lo tanto, sobran m k ecuaciones y, además, hay n - k incógnitas no principales. Para averiguar cuáles son las ecuaciones de las que podemos prescindir, y cuáles son las incógnitas no principales, basta encontrar en la matriz de los coeficientes ( A ) un menor de orden k distinto de cero, por ejemplo, el que utilizamos para averiguar el rango de la matriz A. Las filas que intervienen en este menor son las que corresponden a las ecuaciones principales o independientes. Las restantes ecuaciones las podemos suprimir. Las columnas que figuran en dicho menor corresponden a las incógnitas principales. Las incógnitas no principales las pasamos al otro miembro y pasan a formar un único término junto con el término independiente. Se obtiene, de este modo, un sistema de k ecuaciones lineales con

k

incógnitas, cuyas soluciones van a depender de

n - k

parámetros (correspondientes a las incógnitas no principales). El siguiente botón abre una ventana que explica, mediante un ejemplo, el procedimiento a seguir.

La siguiente escena resuelve cualquier sistema de ecuaciones lineales compatible (determinado o indeterminado), utilizando el método de la matriz inversa. El número máximo de ecuaciones y de incógnitas que puede tener el sistema es 5.

IV. Inversa de la Matriz Considere el siguiente conjunto de tres ecuaciones lineales:

𝑎11 𝑥1 + 𝑎12 𝑥2 + 𝑎13 𝑥3 = 𝑐1 𝑎21 𝑥2 + 𝑎22 𝑥2 + 𝑎23 𝑥3 = 𝑐2 𝑎31 𝑥1 + 𝑎32 𝑥2 + 𝑎33 𝑥3 = 𝑐3 Que pueden escribirse en forma matricial como

𝑎11 𝑎21 𝑎31

𝑎12 𝑎22 𝑎32

𝑎13 𝑥1 𝑐1 𝑎23 * 𝑥2 = 𝑐2 𝑎33 𝑥3 𝑐3

Ax = C

(A–1)

(A–2)

Podría pensarse que es posible determinar una solución para x al dividir C entre A; sin embargo, la división no es posible en el álgebra matricial. En su lugar, se multiplica por el inverso de la matriz. La inversa de la matriz A es otra matriz del mismo orden, la cual se escribe simbólicamente como 𝐴−1 y tiene la siguiente propiedad, 𝐀𝐀−𝟏 = 𝐀−𝟏 𝐀 = 𝐈| Donde I es una matriz identidad. Al multiplicar ambos lados de la ecuación A-2 por 𝐴−1 se obtiene 𝐀−𝟏 𝐀𝐱 = 𝐀−𝟏 𝐂

Como 𝐀−𝟏 Ax = Ix = x, se tiene x = 𝐀−𝟏 𝐂

(A-3)

Siempre que se pueda obtener 𝐀−𝟏 será posible encontrar una solución para x. Para el cálculo manual, el método usado para formular 𝐀−𝟏 puede desarrollarse empleando la regla de Cramer. El desarrollo no se presentará aquí, sólo se proporcionan los resultados.* este respecto, los elementos en las matrices de la ecuación A- 3 pueden escribirse como

(A-4) Aquí |A| es una evaluación del determinante de la matriz de coeficientes A, que se determina mediante la expansión de Laplace analizada en la sección A.3. La matriz cuadrada que contiene los cofactores Cij se llama la matriz adjunta. Por comparación, se observa que la matriz inversa 𝐀−𝟏 se obtiene a partir de A al remplazar primero cada elemento aij por su cofactor Cij, después se transpone la matriz resultante, resultando la matriz adjunta y, finalmente, se multiplica la matriz adjunta por 1/|A|. Para ilustrar numéricamente cómo se obtiene se considerará la solución del siguiente sistema de ecuaciones lineales: Aquí |A| es una evaluación del determinante de la matriz de coeficientes A, que se determina mediante la expansión de Laplace analizada en la sección A.3. La matriz cuadrada que contiene los cofactores Cij se llama la matriz adjunta. Por comparación, se observa que la matriz inversa 𝐀−𝟏 , se obtiene a partir de A al

remplazar primero cada elemento aij por su cofactor Cij, después se transpone la matriz resultante, resultando la matriz adjunta y, finalmente, se multiplica la matriz adjunta por 1/|A|.Para ilustrar numéricamente cómo se obtiene 𝐀−𝟏 ,, se considerará la solución del siguiente sistema de ecuaciones lineales:

(A-5) Aquí

La matriz de cofactores de A es

Si se evalúan los determinantes y se toma la transpuesta, la matriz adjunta es

Puesto que

Por lo tanto, la inversa de A es

Al resolver las ecuaciones A-6 se obtiene

Por supuesto, los cálculos numéricos se extienden mucho más para grandes conjuntos de ecuaciones. Por esta razón, en el análisis estructural se usan computadoras para determinar la inversa de las matrices.