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ANÁLISIS DEL MOVIMIENTO DE UNA CUERDA GENERADO MEDIANTE UN VIBRADOR

ONDAS TRANSVERSALES EN CUERDA III LABORATORIO FÍSICA II

PRESENTADO POR: VÍCTOR SORENSEN MOREANO VALDERRAMA COD: 141120

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UNIVERSIDAD NACIONAL MICAELA BASTIDAS DE APURIMAC FACULTAD DE INGENIERIA “ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE INGENIERIA DE MINAS”

INTRODUCCIÓN El análisis del movimiento (generado mediante un vibrador) de una cuerda tensa resulta de gran importancia en nuestro curso de Física II. Comprender como es el movimiento de la cuerda a ciertas frecuencias bajo circunstancias determinadas y controladas en un laboratorio nos ayuda a tener un mejor concepto de cómo podemos utilizar mejor los resultados y darles una mejor aplicación en múltiples campos de nuestra vida. Las ondas se relacionan estrechamente con el fenómeno de oscilación. Las ondas sonoras, las ondas en cuerdas alargadas y las ondas en el agua son producidas por alguna fuente en vibración. A medida que una onda sonora viaja por algún medio, como el aire, las moléculas del medio oscilan hacia adelante y hacia atrás; cuando una onda en la superficie del agua se desplaza por un estanque, las moléculas de agua oscilan hacia arriba y hacia abajo y hacia adelante y hacia atrás. Cuando las ondas viajan a través de un medio, las partículas del medio se mueven en ciclos repetitivos. En este experimento nos centraremos más en el estudio de las ondas transversales en cuerdas, para entender más a fondo su funcionalidad.

1

UNIVERSIDAD NACIONAL MICAELA BASTIDAS DE APURIMAC FACULTAD DE INGENIERIA “ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE INGENIERIA DE MINAS”

I.

OBJETIVOS

Estudiar experimentalmente la relación entre la frecuencia, tensión, densidad lineal y longitud de onda estacionaria en una cuerda. Estudiar la propagación de ondas armónicas transversales en una cuerda tensa y la Forma en que se superponen para dar lugar a ondas estacionarias.

II.

INSTRUMENTOS

 Vibrador  Fuente eléctrica  Vaso de plástico o un porta pesas  Polea  Pesas de diferentes valores  Regla graduada  Dos soportes y sus accesorios  Cuerda

III.

MARCO TEORICO

2

UNIVERSIDAD NACIONAL MICAELA BASTIDAS DE APURIMAC FACULTAD DE INGENIERIA “ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE INGENIERIA DE MINAS” La ecuación general para la velocidad de propagación de ondas en un medio de rigidez e inercia distribuida uniformemente está dado por:

𝑽=√

𝒇𝒂𝒄𝒕𝒐𝒓 𝒅𝒆 𝒆𝒍𝒂𝒔𝒕𝒊𝒄𝒊𝒅𝒂𝒅 𝒐 𝒓𝒊𝒈𝒊𝒅𝒆𝒛 𝒇𝒂𝒄𝒕𝒐𝒓 𝒊𝒏𝒆𝒓𝒄𝒊𝒂𝒍 𝒅𝒆𝒏𝒔𝒊𝒅𝒂𝒅

(1)

En el caso de ondas transversales propagadas a lo largo de una cuerda flexible, el factor de elasticidad o rigidez se debe a la tensión longitudinal en la cuerda y el factor inercial es la densidad lineal de la cuerda. La ecuación para la velocidad de propagación de una onda transversal se concierte en: 𝑻

𝑽 = √ 𝝆𝟎

(2)

𝑇0 = tensión en la cuerda 𝜌 = densidad lineal de la cuerda

Si se miden la tensión y la densidad lineal, es posible calcular la velocidad partiendo de consideraciones dinámicas. Partiendo de consideraciones cinemáticas, la velocidad también se puede determinar ondas estacionarias usando la relación básica: 𝑽 = 𝒇𝝀

(3)

Donde 𝒇 = frecuencia y 𝝀 = longitud de onda. Obsérvese que la longitud de onda es dos veces la distancia entre nodos sucesivos. Eliminando V de las ecuaciones (2) y (3) se obtiene: 𝟏

𝑻

𝒇= √ 𝟎 𝝀 𝝆

(4)

A la ecuación (4) se le puede transformar empleando el hecho evidente de que en una cuerda se ha establecido una onda estacionaria, se tiene siempre un numero entero a

3

UNIVERSIDAD NACIONAL MICAELA BASTIDAS DE APURIMAC FACULTAD DE INGENIERIA “ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE INGENIERIA DE MINAS” 𝝀 𝝆

de semilongitudes de onda entre sus nodos extremos, o sea 𝑳 = 𝒏 , donde L es la distancia entre nodos extremos. Reemplazando en la ecuación (4) se tendrá:

𝒇=

𝒏 𝑻𝟎 √ 𝟐𝑳 𝝆

Donde n = 1,2,3,… De donde se ve que una cuerda puede vibrar con cualquiera de sus frecuencias natural de vibración (n frecuencia de resonancia). En la producción experimental de ondas, un vibrador o timbre envía pulsos sensoriales, de frecuencia medible o conocida, hacia una cuerda flexible cuya longitud esta fija. La tensión se puede ajustar mediante pesos sujetos a través de una polea con fricción despreciable, entonces se puede cambiar la frecuencia f, la tención combinado los pesos y la densidad cambiando la cuerda que se use. Para cualquier tensión y densidad lineal dadas (y por tanto para cualquier velocidad), la frecuencia se puede ajustar hasta que se produzcan ondas estacionarias. La posición de los nodos están determinadas por indicadores que se deslizan en una barra métrica.

IV.

PROCEDIMIENTO

1. Medimos la longitud exacta de la cuerda (use un pieza extra de cuerda de un metro y medio o uno ochenta metros). Aproximadamente estirándola a lo largo del metro, después pésela en la balanza analítica. Hasta miligramos y calcule la densidad lineal (masa por unidad).

2. Tuvimos a disposición el equipo sobre la mesa tal como se indica en el diagrama.

3. Con una pequeña tensión (To) ajustamos la cabezuela saliente del vibrador de manera que ocurra la resonancia con la cuerda vibrando en su totalidad o en su frecuencia

4

UNIVERSIDAD NACIONAL MICAELA BASTIDAS DE APURIMAC FACULTAD DE INGENIERIA “ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE INGENIERIA DE MINAS” fundamental. Medimos la distancia entre nodos, a partir de la cual se calcula la longitud de onda.

4.

Hicimos funcionar el vibrador, variar lentamente la distancia de vibrador hasta la polea que se forma un nodo muy cerca al vibrador. Medimos la distancia L desde la polea hasta el nodo inmediato al vibrador o timbre. Anotamos el numero n de semilongitudes de onda contenidos. Calculamos f, 𝝀, hallamos la velocidad V.

5. Repetimos el paso anterior con diversas pesas de diferentes gramos dentro del vaso y determinamos la nueva frecuencia de segunda y tercer armónico, el peso del cual hay que añadir al del peso contenido en el.

V.

RESULTADOS

Datos obtenidos del experimento: Cuadro N°01

Nº 1 2

𝑴𝒈

TN

Lm

gramos

Newton

Metro

77.92

0.764

1.8

1.233

1.8

125.74

𝒏 𝑻𝒈 √ 𝒇= 𝟐𝑳 𝝆

𝝀=

𝟐𝑳 𝒏

Metro

58.930 62.386

𝑽 = 𝒇𝝀 m/s

Nodos

0.6

35.358

6

0.72

44.918

5

3

164.72

1.616

1.8

57.137

0.9

51.423

4

4

183.29

1.798

1.8

60.269

0.9

54.242

4

5

222.22

2.180

1.8

66.363

0.9

59.727

4

6

266.37

2.613

1.8

54.491

1.2

65.389

3

7

303.22

2.975

1.8

58.144

1.2

69.773

3

M vasito = 9.62 g M cuerda = 1.1 g Longitud de cuerda = 1.8m 𝑴𝒕 = M pesas +M vasito 5

UNIVERSIDAD NACIONAL MICAELA BASTIDAS DE APURIMAC FACULTAD DE INGENIERIA “ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE INGENIERIA DE MINAS”  Sumando masa del vasito y la masa de las pesas. 

Para masa 1

𝑴𝟏 = 68.3g + 9.62g =77.92 g 

Para masa 2

𝑴𝟏 = 116.12g + 9.62g =125.74g 

Para masa 3

𝑴𝟏 = 155.10g + 9.62g =164.72 g 

Para masa 4

𝑴𝟏 = 173.67g + 9.62g =183.29g 

Para masa 5

𝑴𝟏 = 212.6g + 9.62g =222.22 g 

Para masa 6

𝑴𝟏 = 256.75g + 9.62g =266.37 g 

Para masa 7

𝑴𝟏 = 293g + 9.62g =303.22 g  Hallamos la longitud de onda para cada caso

𝝀= 

Caso 1:

𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒 𝑜𝑛𝑑𝑎 =

6

2𝐿 6

𝟐𝑳 𝒏

UNIVERSIDAD NACIONAL MICAELA BASTIDAS DE APURIMAC FACULTAD DE INGENIERIA “ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE INGENIERIA DE MINAS” 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒 𝑜𝑛𝑑𝑎 = 0.6



Caso 2:

𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒 𝑜𝑛𝑑𝑎 =

2𝐿 5

𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒 𝑜𝑛𝑑𝑎 = 0.72 

Caso 3:

𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒 𝑜𝑛𝑑𝑎 =

2𝐿 4

𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒 𝑜𝑛𝑑𝑎 = 0.9 

Caso 4:

𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒 𝑜𝑛𝑑𝑎 =

2𝐿 4

𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒 𝑜𝑛𝑑𝑎 = 0.9 

Caso 5:

𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒 𝑜𝑛𝑑𝑎 =

2𝐿 4

𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒 𝑜𝑛𝑑𝑎 = 0.9 

Caso 6:

𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒 𝑜𝑛𝑑𝑎 =

2𝐿 3

𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒 𝑜𝑛𝑑𝑎 = 1.2 

Caso 7:

𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒 𝑜𝑛𝑑𝑎 =

2𝐿 3

𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒 𝑜𝑛𝑑𝑎 = 1.2 7

UNIVERSIDAD NACIONAL MICAELA BASTIDAS DE APURIMAC FACULTAD DE INGENIERIA “ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE INGENIERIA DE MINAS”  Para hallar la densidad lineal

𝑚𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑢𝑒𝑟𝑑𝑎 (𝑘𝑔)

𝑑𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙 = 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑢𝑒𝑟𝑑𝑎 (𝑚) =

 Para hallar las tensiones se multiplica las masa por la gravedad

TN1=77.92 (9.81) = 0.764 N TN2=125.74 (9.81)= 1.233 N TN3= 164.72 (9.81)= 1.616 N TN4= 183.29 (9.81)= 1.798 N TN5= 222.22 (9.81)= 2.180 N TN6= 266.37 (9.81)= 2.613 N TN7= 303.22 (9.81)= 2. 975 N

 Hallamos la frecuencia (𝒇) para cada caso Caso 1:

𝒇=

𝟎. 𝟕𝟔𝟒𝒌𝒈 𝒎/𝒔𝟐 𝟔 𝟐 (𝟏. 𝟖𝟎𝒎) √ 𝟏. 𝟏 ∗ 𝟏𝟎−𝟑 𝒌𝒈 𝟏. 𝟖𝟎𝒎 𝒇 = 58.930 Hertz

Caso 2: 𝒇=

𝟏. 𝟐𝟑𝟑𝒌𝒈 𝒎/𝒔𝟐 𝟓 𝟐 (𝟏. 𝟖𝟎𝒎) √ 𝟏. 𝟏 ∗ 𝟏𝟎−𝟑 𝒌𝒈 𝟏. 𝟖𝟎𝒎 𝒇 = 62.386 Hertz

Caso 3: 8

𝒏

𝑻𝒈

𝒇 = 𝟐𝑳 √ 𝝆

1.1∗10−3 1.8𝑚

UNIVERSIDAD NACIONAL MICAELA BASTIDAS DE APURIMAC FACULTAD DE INGENIERIA “ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE INGENIERIA DE MINAS” 𝒇=

𝟏. 𝟔𝟏𝟔𝒌𝒈 𝒎/𝒔𝟐 𝟒 𝟐 (𝟏. 𝟖𝟎𝒎) √ 𝟏. 𝟏𝟓 ∗ 𝟏𝟎−𝟑 𝒌𝒈 𝟏. 𝟖𝟎𝒎 𝒇 =57.137 Hertz

Caso 4: 𝒇=

𝟒 𝟏. 𝟕𝟗𝟖𝒌𝒈 𝒎/𝒔𝟐 𝟐 (𝟏. 𝟖𝟎𝒎) √ 𝟏. 𝟏 ∗ 𝟏𝟎−𝟑 𝒌𝒈 𝟏. 𝟖𝟎𝒎

𝒇 = 60.269 Hertz Caso 5: 𝒇=

𝟒 𝟐. 𝟏𝟖𝟎𝒌𝒈 𝒎/𝒔𝟐 𝟐 (𝟏. 𝟖𝟎𝒎) √ 𝟏. 𝟏 ∗ 𝟏𝟎−𝟑 𝒌𝒈 𝟏. 𝟖𝟎𝒎 𝒇 = 𝟔𝟔. 𝟑𝟔𝟑 𝑯𝒆𝒓𝒕𝒛

Caso 6: 𝒇=

𝟑 𝟐. 𝟔𝟏𝟑𝒌𝒈 𝒎/𝒔𝟐 𝟐 (𝟏. 𝟖𝟎𝒎) √ 𝟏. 𝟏 ∗ 𝟏𝟎−𝟑 𝒌𝒈 𝟏. 𝟖𝟎𝒎 𝒇 = 54.491Hertz

Caso 7:

𝒇=

𝟑 𝟐. 𝟗𝟕𝟓𝒌𝒈 𝒎/𝒔𝟐 𝟐 (𝟏. 𝟖𝟎𝒎) √ 𝟏. 𝟏 ∗ 𝟏𝟎−𝟑 𝒌𝒈 𝟏. 𝟖𝟎𝒎 𝒇 = 58.144 Hertz

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 Hallamos la velocidad multiplicando la frecuencia por la longitud de onda para cada punto.

𝑽 = 𝒇𝝀 m/s V1= (58.930) (0.6) =35.358 m/s V2= (62.386) (0.72) = 44.918 m/s V3= (57.137) (0.9) = 51.423 m/s V4= (60.269) (0.9) = 54.242 m/s V5= (66.363) (0.9) = 59.727 m/s V6= 54.491 (1.2) = 65.389 m/s V7= (58.144) (1.2) = 69.773 m/s

VI.

CUESTIONARIO  ¿Qué se entiende por onda estacionaria? ¿Porque progresiva o viajera? ¿Se puede obtener uno de los tipos de onda a partir de otro? Explique. 

SI, por que al hablar de ondas estacionarias se debe sobrentender que son el resultado de una superposición de ondas transversales al reflejarse ya que le extremo del medio donde se propagan, es fijo. Toda onda transversal propagada

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UNIVERSIDAD NACIONAL MICAELA BASTIDAS DE APURIMAC FACULTAD DE INGENIERIA “ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE INGENIERIA DE MINAS” en una cuerda, contiene sus propias características que son su velocidad, amplitud y su frecuencia (f); y estarán afectadas por la constante 𝝆 que define la densidad lineal de la cuerda.  Distinga entre dos ondas longitudinales y transversales. De ejemplos de cada una. En las ondas longitudinales el movimiento de las partículas que transportan la onda es paralelo a la dirección de propagación de esta. Por ejemplo, un muelle que se comprime da lugar a una onda longitudinal. Mientras que, en las ondas transversales las partículas se mueven perpendicularmente a la dirección de propagación de la onda.

 Considera una cuerda de densidad y tensión uniforme. Deduzca una expresión para el desplazamiento de una onda estacionaria en cualquier punto de la cuerda es cualquier momento. Escriba la expresión correspondiente para una onda progresiva.

Básicamente en las ondas estacionarias no cambiamos directamente la tensión de la cuerda sino la velocidad de propagación de las ondas. 11

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 Distinga claramente entre la velocidad de propagación de una onda transversal y la velocidad de las partículas de un pequeño segmento de la cuerda en un momento dado. Describa una ecuación para cada una de estas dos velocidades. La onda se propaga con una velocidad constante a lo largo de la cuerda. Si pinchamos una cuerda y soltamos, se forma una onda que se propaga por la cuerda y rebota en los puntos de sujeción. Se propaga con una velocidad que depende de la tensión del pellizco y de la masa por unidad de longitud de la cuerda a igualdad que la velocidad del pellizco.

√



𝑇 𝜌

¿Se forman nodos en ambos extremos de la cuerda vibradora que usa este experimento? Explique. Si, por que el vibrador y la polea son puntos fijos dentro del experimento, por lo tanto será capaces de comenzar y terminar los nodos.

 La velocidad de propagación se encontró mediante dos métodos. Analice las precisiones relativas de dos cálculos y las razones de cualquier discrepancia que se presenta. La velocidad de propagación de la onda fue posible calcular en función de la tensión de la cuerda y la densidad lineal de la misma. Asimismo fue posible calcular la velocidad de propagación de la onda pero en función de la longitud de onda y la frecuencia. Estos valores calculados para el mismo número de nodos eran aproximadamente iguales. 𝑻

 Demuestre que las unidades de √ 𝝆𝟎 12

son las unidades de velocidad.

UNIVERSIDAD NACIONAL MICAELA BASTIDAS DE APURIMAC FACULTAD DE INGENIERIA “ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE INGENIERIA DE MINAS” Del cuadro 1 cogemos el dato 1 para demostrar lo siguiente: 𝟐. 𝟗𝟕𝟓𝒌𝒈 𝒎/𝒔𝟐 √ 𝟏. 𝟏 ∗ 𝟏𝟎−𝟑 𝒌𝒈 𝟏. 𝟖𝟎𝒎

√

𝒌𝒈 𝒎/𝒔𝟐 𝒌𝒈 𝒎

𝟐

𝒎 = √ 𝟐 = 𝒎/𝒔 𝒔

Obviando los datos numéricos para hallar las unidades de la velocidad  ¿Se conserva a la energía mecánica total de la cuerda? Explique La energía mecánica solo se conservaría cuando el movimiento ondulatorio es estacionario. Como sabemos la energía mecánica es igual a la suma de la energía potencial y cinética, y en un movimiento ondulatorio las velocidades varían.

 Cuándo la cuerda está en resonancia ¿porque permanece finita la amplitud de vibración? Permanece finita básicamente porque la cuerda está expuesta a la tensión esto quiere decir que la amplitud y frecuencia dependerán del nivel de tensión que tenga la cuerda.  Si la tensión y la densidad lineal son fijas. ¿Cómo afectara la reducción de la longitud de la cuerda a las frecuencias de resonancia?

En el aumento de longitud afectara notoriamente en el número de nodos que se genere al momento de hacer vibrar la cuerda, cuando menos nodos tenga el movimiento de la cuerda la frecuencia también será menor.

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UNIVERSIDAD NACIONAL MICAELA BASTIDAS DE APURIMAC FACULTAD DE INGENIERIA “ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE INGENIERIA DE MINAS” Si reducimos la cuerda, la tensión será mayor esto significa que se producirá mayor número de nodos y por la tanto una mayor frecuencia.  Encuentre el límite máximo de error y el límite probable de error en los cálculos de velocidad si los pesos que se usan tienen su límite instrumental de error de ±2% y la densidad lineal de ±1%. Exprese ambos límites de error como errores numéricos y relativos en %.

Entonces la masa será con el máximo error: 77.92*1.02 = 79.478g Y la densidad lineal será: 𝝆 ∗ 𝟏. 𝟎𝟏=

1.1∗10−3 1.8𝑚

∗ 1.01 = 6.172 ∗ 10−4

Por lo tanto la frecuencia será: 𝒇=

𝟎. 𝟕𝟖𝟎𝒌𝒈 𝒎/𝒔𝟐 𝟔 √ 𝟐 (𝟏. 𝟖𝟎𝒎) 𝟔. 𝟐 ∗ 𝟏𝟎−𝟒 𝒇 = 59.115 Hertz

Y la Long. De onda: 0.6m Entonces la velocidad será: 0.6*59.115= 35.469

Entonces el error

VII. 

𝟑𝟓.𝟒𝟔𝟗− 𝟑𝟓.𝟑𝟓𝟖

‖

𝟑𝟓.𝟒𝟔𝟗

‖ ∗ 𝟏𝟎𝟎 = 𝟎. 𝟑𝟏%

CONCLUSIONES

Las ondas estacionarias se producen al tener bien definidas la tensión, la longitud del factor causante con el extremo reflector



La longitud de onda puede variar en un mismo sistema siempre y cuando encuentre otro punto de resonancia.



En una onda estacionaria el patrón de la onda no se mueve, pero si lo hacen los elementos de la cuerda. 14

UNIVERSIDAD NACIONAL MICAELA BASTIDAS DE APURIMAC FACULTAD DE INGENIERIA “ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE INGENIERIA DE MINAS” 

Si las frecuencias asociadas son muy altas las velocidades también lo serán.

Bibliografía: 1. Coordinación Física II, Manual de Laboratorio: http://ugusta.uao.edu.co/moodle/file.php/434/Laboratorios/GUIAS_DE_LABORATO RIO_PERIODO_2014-1/01._Guia_Introduccion._Sistema_Masa-Resorte_20141.pdf 2. Coordinación de Laboratorios de Física, Instrucciones Generales. UAO, Cali, 2009. http://augusta.uao.edu.co/moodle/file.php/434/Laboratorios/Labwrite_general/0._In strucciones_Generales.pdf

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UNIVERSIDAD NACIONAL MICAELA BASTIDAS DE APURIMAC FACULTAD DE INGENIERIA “ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE INGENIERIA DE MINAS” 3. Michael Valero, Física fundamental.1ª Edición. Editorial norma S.A, Santafé de Bogotá, 1982, pp.164-173. 4. Sears Zemasky, Física universitaria volumen 1.Decimo segunda edición. Pearson educación, México, 2009.pp.456-462.

VIII.

ANEXOS.

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UNIVERSIDAD NACIONAL MICAELA BASTIDAS DE APURIMAC FACULTAD DE INGENIERIA “ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE INGENIERIA DE MINAS”

Figura N°01 balanza con vasito

Figura N°02 oscilador

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UNIVERSIDAD NACIONAL MICAELA BASTIDAS DE APURIMAC FACULTAD DE INGENIERIA “ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE INGENIERIA DE MINAS”

Figura N°03 nodos en la cuerda

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