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• Jeyson Jesús Palomino Cornejo

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3: ONDAS MECÁNICAS 3.1 INTRODUCCIÓN Las ondas son perturbaciones de algún estado de equilibrio que se propagan en el espacio y el tiempo, transportando energía y cantidad de movimiento. Las ondas en una cuerda y el sonido de la radio son dos ejemplos familiares de ondas mecánicas. Las ondas mecánicas son aquellas que necesitan de un medio material continuo y elástico para propagarse. Existe otro tipo de ondas denominadas electromagnéticas, las cuales se propagan incluso en vacío. Al propagarse las ondas mecánicas las moléculas del medio efectúan un movimiento vibratorio, es decir, no hay un arrastre neto de las partículas del medio, Así por ejemplo, las moléculas de la cuerda no se desplazan a lo largo de ella mientras la onda se propaga por la cuerda, no hay corrientes de masas de aire asociadas a la propagación del sonido. Sin embargo, mientras la onda se propaga, ésta transporta energía y cantidad de movimiento que se transmiten de partícula a partícula en el medio. Las aplicaciones de las ondas en la tecnología, se aprecia en las comunicaciones (ondas electromagnéticas) telefonía, radio, televisión, en otros campos como la industria de la pesca, que hacen usos de las ondas de sonido en un dispositivo denominado sonar, para detectar la presencia de cardúmenes, en sismología, etc. En ésta sesión trataremos las características y propiedades de las ondas mecánicas en general y estudiaremos brevemente las ondas transversales en una cuerda.

3.2 ONDAS TRANSVERSALES Y ONDAS LONGITUDINALES Las ondas en una cuerda pertenecen a un tipo de ondas denominadas transversales,

en

el

cual

las

partículas

del

medio

vibran

perpendicularmente a la dirección de propagación, ver fig. 3.1, mientras que las ondas que se muestran en la fig. 3.2 y las ondas de sonido son ondas longitudinales, donde las partículas del medio oscilan en la misma dirección de propagación de la onda.

Movimiento partículas

de

Movimiento onda

de

Fig. 3.1 Ondas transversales en una cuerda-

O

O

Movimiento Movimiento de onda de partículas Fig. 3.2 Ondas longitudinales en un medio elástico

3.3 DESCRIPCIÓN MATEMÁTICA PARA LA PROPAGACIÓN DE UNA ONDA Consideremos una función y =f(x), si reemplazamos x por x-a, obtenemos la función y =f(x-a). La forma de la curva no cambia, los mismos valores de y se obtienen para valores de x aumentados en a. Si a es una cantidad positiva, la curva se traslada sin cambiar de forma hacia la derecha desde el origen a la posición a. Del mismo modo y =f(x +a) corresponde a un desplazamiento de la función hacia la izquierda, en la cantidad a, ver fig. 3.3. Y

y = f(x) X

O Y

y = f(x-a) X

O

x = +a

Y

y = f(x+a) x = -a

O

Fig. 3.3 Desplazamiento de una función a lo largo del eje X.

X

Consideremos ahora la propagación de un pulso en una cuerda a lo largo del eje X, ver fig. 3.4. La cuerda está tensada y extendida a lo largo del eje X. En ésta la figura pueden apreciarse dos posiciones del pulso en la cuerda, en dos instantes diferentes (en to = 0 y en otro instante t), cuando el pulso se propaga de izquierda a derecha con velocidad v. Si y = f(x) es la función que representa el pulso en el instante t o = 0, la función que describe el desplazamiento del pulso sin distorsión, a la largo del eje X, hacia la derecha, con velocidad v, es y = f(x-vt), donde a = vt,

Y

Tiempo to = 0

y = f(x) X

O Y

Tiempo t

y = f(x-vt) O

X

x = +vt

Fig. 3.4 Desplazamiento de un pulso a lo largo del eje X, con velocidad v.

Análogamente, si el pulso se mueve hacia la izquierda con velocidad v, la función será de la forma y(x, t) = f (x + vt). La función y(x, t) se le denomina función de onda y sirve para describir una onda. Las funciones de onda que vamos a estudiar son armónicas; y(x, t) = yo SenK(x − vt) o y(x, t) = yo CosK(x − vt).

3.4 CARACTERÍSTICAS DEL MOVIMIENTO ONDULATORIO Consideremos una cuerda de masa m, longitud L, bajo tensión T, y fija en el punto P, ver fig.3.5. En el otro extremo, con la mano se perturba la cuerda con un movimiento rápido hacia arriba y hacia abajo, de modo que un “pulso” de onda se transmite a lo largo de la cuerda. .

Fuente vibratoria

Pulso

Propagación

P

x Fig.3.5. Movimiento de un pulso de onda en una cuerda

Supongamos que el movimiento de la mano es continuo, periódico y de amplitud constante, es decir, la fuente vibra con un M.A.S. Si es así, las ondas presentan una forma armónica (seno o coseno) que viajan continuamente alejándose de la fuente. Se observará que, mientras las ondas se propagan, las partículas de la cuerda ejecutan un M.A.S. en la dirección perpendicular a la dirección de propagación. El movimiento ondulatorio armónico puede ser descrito mediante la ecuación de onda siguiente: y  y o Sen

2π (x  vt) λ

(3.1)

Donde, y, es la amplitud de la onda, a una distancia “x” de la fuente y en un instante “t”, ver fig.3.6. Note que, la fuente vibratoria se encuentra en el punto “O”. Además, definimos:

AMPLITUD MÁXIMA, yo, es la altura de un pico o cresta. LONGITUD DE ONDA, , es la distancia que viaja la onda antes de volver a repetirse, también se puede decir que es la distancia entre dos picos o dos valles. y(m) 

Pico

v y

O

y

x

o

x(m)

Valle Fig.3.6 Relación entre la amplitud “y” de la onda y la distancia que se propaga, “x”, a partir de la fuente “O”.

PERIODO, P, es el tiempo que transcurre antes de que la onda vuelva a repetirse. Consideremos un bote anclado en una bahía ubicado en un punto fijo A (x = constante). A medida que pasan las olas el bote oscila con M.A.S., luego, el tiempo para que pasen dos picos (o dos crestas) consecutivas de las olas es un periodo, ver fig.3.7. y(m) P

Pico

v y

A

o

t

y

Valle Fig.3.7 Relación entre la amplitud “y” de la onda, cuando pasa por el punto fijo A, y el tiempo transcurrido “t”.

t(s)

La ecuación de onda (3.1) también puede escribirse de la siguiente forma: y  y o Sen(kx  ω t) ,

(3.2)

e involucra las siguientes magnitudes: NUMERO DE ONDA, se define por la relación k = 2/ , y se expresa en rad/m. FRECUENCIA ANGULAR, se define por la relación  = 2/P = 2f, se expresa en rad/s. FRECUENCIA NATURAL, representa el número de ondas que pasan por un punto en un determinado tiempo: f = N / t = 1/P, y se expresa en Hertz (Hz). VELOCIDAD DE PROPAGACIÓN, v, es la velocidad con la cual avanza la onda y se expresa en m/s. Para todo movimiento ondulatorio: v=x/t=/P=f=/k

(3.3)

FASE DE LA ONDA, , es el argumento de la función seno (o coseno), en la ecuación de onda, esto es,  = kx - t

(3.4)

Note qué, k y  son constantes, “t” y “x” son variables, luego la fase de la onda varía a medida que ésta se propaga. Teniendo en cuenta éstas definiciones, la forma general de la ecuación de onda viajera es, y  y o Sen 2(

x t   o )  P

(3.5)

Donde φo, es la fase inicial, es decir, el valor de la fase en x = 0 y t = 0.

3.5 PROPIEDADES DE LAS ONDAS MECANICAS REFLEXIÓN Cuando una onda encuentra un obstáculo o una barrera de dimensiones mayores a su longitud de onda, cambia su dirección y sentido de propagación de modo que continúa moviéndose en el mismo medio REFRACCIÓN Una onda experimenta refracción cuando, al pasar oblicuamente de un medio a otro de diferente naturaleza, cambian sus características: amplitud, longitud de onda, velocidad de propagación, dirección de propagación, fase, pero no cambia su frecuencia. INTERFERENCIA Cuando dos o más ondas independientes (por ejemplo, provenientes de fuentes diferentes) se encuentran en una misma región del espacio se superponen y dan origen a una onda resultante. Ésta onda resultante, de acuerdo al principio de superposición, es la suma algebraica de las funciones de onda de las ondas individuales. DIFRACCIÓN Si la onda al propagarse encuentra obstáculos muy agudos o de dimensiones comparables con su longitud de onda, los bordes del obstáculo se comportan como una fuente secundaria de ondas. El resultado es que las ondas parecen rodear los obstáculos que se les presentan.

3.6 INTERFERENCIA DE ONDAS En general, cuando dos ondas se encuentran, éstas se superponen (se dice que interfieren) y la amplitud de la onda resultante depende de la diferencia de fase entre ellas. La amplitud de la onda resultante, cuando éstas interfieren, ver fig.3.8, es: y

y o21  y o2 2  2 y o1 y o 2 Cos

(3.6)

y(m)

y2

y

y1

2

y 2

(rad)

y

1

 Fig.3.8 Diferencia de fase,, entre dos ondas

Consideremos un caso especial: Dos ondas generadas simultáneamente, de igual frecuencia, , y cuyas correspondientes ecuaciones de onda son: y1  y o1Sen(kx 1  ω t) y 2  y o2 Sen(kx 2  ω t)

En estas condiciones, la diferencia de fase entre ellas solo depende de la distancia recorrida, esto es:  = k(x2 – x1)

(3.7)

INTERFERENCIA CONSTRUCTIVA En el caso muy particular de ondas de igual amplitud (y o1 = yo2 = yo) y la diferencia de fase entre ellas, cuando se encuentran, es:  =  2n

; n = 0, 1, 2, 3, .....

(3.8)

La amplitud de la onda resultante es, y = 2yo y se dice que la interferencia es constructiva, ver fig.3.9-a. INTERFERENCIA DESTRUCTIVA Si las ondas son de igual amplitud y la diferencia de fase es:  =  2(n + ½) ; n = 0,1, 2, 3,...

(3.9)

La amplitud de la onda resultante es cero y se dice que la interferencia es destructiva, ver fig.3.9-b. y

yR=2y

y

o

yo

y2 = y1



y1

y

+ o

-yo

yR = 0

y2

a)

b)

Fig.3.9. Interferencia constructiva y destructiva de ondas de igual amplitud



3.7 ONDAS ARMÓNICAS TRANSVERSALES EN UNA CUERDA Consideremos nuevamente las ondas en una cuerda. Si La mano ejecuta un M.A.S., las ondas presentan una forma armónica que viajan a lo largo de la cuerda, ver fig. 3.10, descritas por la ecuación: y  y o Sen 2(

x t  ),  P

Fuente con M.A.S.

Propagación onda

Fig.3.10. Onda viajera en una cuerda

Si asumimos que, la cuerda es perfectamente flexible y homogénea, la tensión es constante y mucho mayor que la fuerza de gravedad, tal que, en condiciones de equilibrio, la cuerda está sometida a una tensión T y se encuentra

en

posición

horizontal.

Al

desplazar

la

cuerda

perpendicularmente a su longitud una pequeña cantidad como se muestra en la fig. 3.11, la porción AB de la cuerda de longitud dx se desplaza de su posición de equilibrio una distancia y. En cada extremo del segmento actúa una fuerza tangencial T. Debido a la curvatura de la cuerda, estas fuerzas no son directamente opuestas. La fuerza resultante según el eje Y sobre el segmento AB de la cuerda es Fy = T (Senα´ - Senα) Si la curvatura de la cuerda no es muy grande α y α’ son pequeños y sus senos pueden reemplazarse por sus tangentes, de modo que la fuerza resultante en la dirección vertical es

Y T’y

α'

T

B Tx

A

α

y

T’x

Ty

T O

X x

dx

Fig. 3.11 Diagrama de fuerzas sobre una porción de cuerda desplazada perpendicularmente a su longitud.

Fy  T (Tan    Tan  )  T

Tan  dx x

Como Tanα es la pendiente de la curva formada por la cuerda, esto es, Tanα = ∂y/∂x, obtenemos, Fy  T

2y dx x 2

Considerando dm = μ dx; siendo μ, la densidad lineal de masa de la cuerda, y 2y t 2

ay 

Haciendo uso de la Segunda Ley de Newton, μ dx

2y t 2

 T

2y x 2

dx

(3.10)

Obtenemos: 2y t 2



T 2y μ x 2

(3.11)

Esta es la ecuación diferencial para el movimiento ondulatorio en una cuerda. En general, la ecuación diferencial de una onda mecánica que se propaga en la dirección X con rapidez v es:  2 t 2

 v2

 2 x 2

Donde ξ, es la desviación de las moléculas del medio a partir de sus posiciones de equilibrio. Luego, para la onda en una cuerda, obtenemos, v

TL  m

T 

(3.12)

Donde, , es la densidad lineal de masa o masa por unidad de longitud de la cuerda. ONDAS ESTACIONARIAS EN UNA CUERDA Un caso interesante se presenta cuando, por ejemplo, una onda que viaja a la derecha, se refleja e invierte su sentido de propagación. En este caso la ecuación de la onda resultante la podemos obtener así: y  y o Sen(kx  ω t)  y o Sen ( kx  t ) y  2 y o SenkxCost

(3.13)

La ec. (3.13) se conoce como la ecuación de la onda estacionaria. Note que la onda estacionaria tiene doble amplitud que las ondas que le dieron origen.

Cuando se hace vibrar una cuerda tensada y fija por ambos extremos, solo un conjunto de ondas estacionarias, con frecuencias bien definidas llamadas armónicas o de resonancia, pueden permanecer sobre la cuerda, con puntos donde la interferencia es constructiva (antinodos) o destructiva (nodos), ver fig.3.12. Anti Nodo

Anti Nodo

Nodo

Nodo

/4

Anti Nodo Nodo

Nodo

/2

Fig.3.12 Ondas estacionarias en una cuerda.

Las diferentes frecuencias de resonancia de las ondas estacionarias en una cuerda se determinan así: f = v/n La relación entre la longitud de las ondas estacionarias y la longitud de la cuerda, en concordancia con la fig.3.13, es:

n=1 L = 1 / 2

Primer Armónico n=2

L = 22 / 2 Segundo Armónico n=3 L = 33 / 2 Tercer Armónico armónicos en una cuerda vibrante n = 2LFig.3.13 /n ; n Los = 1,tres 2, primeros 3 (3.14)

Así: nv 2L

fn 

(3.15)

Haciendo uso de la ec.(3.14) en la ec.(3.15), obtenemos: fn 

n 2L

T 

(3.16)

El conjunto de frecuencias de la ec. (3.16) se conoce como armónicos. El armónico fundamental corresponde a

n = 1 y los siguientes se les

denomina sobretonos, por tanto, n = 2, es el primer sobretono.

3.8 ENERGÍA TRANSMITIDA POR ONDAS ARMONICAS A medida que las ondas se propagan a través de un medio, transportan energía. Consideremos la propagación de ondas armónicas donde el desplazamiento de las partículas del medio desde la posición de equilibrio es ξ  ξ o Sen(Kx - ωt)

Recordando el resultado de la energía total de un oscilador y utilizando la densidad ρ en lugar de la masa total tendremos que la energía por unidad de volumen o densidad de energía u asociada al movimiento ondulatorio viene dada por la ecuación u

1   2  o2 2

(3.17)

El transporte de energía por una onda se describe habitualmente en función de la intensidad de la onda I definida como la energía que fluye por unidad de tiempo a través de un área unitaria perpendicular a la dirección de propagación

I= u v Donde v es la velocidad de propagación de la onda. La intensidad de la onda se expresa en Js-1m-2=W m-2, es decir equivalente a potencia por unidad de área. Para una onda armónica y utilizando (3.17) se tiene I

1   2  o2 v 2

(3.18)

Es decir, la potencia por unidad de área transmitida por cualquier onda armonica es proporcional al cuadrado de la frecuencia y al cuadrado de la amplitud. Así, vemos que una onda que viaja por un medio corresponde a un transporte de energía a través del medio, sin transferencia neta de materia. Una fuente oscilante proporciona la energía y produce una perturbación en el medio. La perturbación puede propagarse a través del medio como resultado de la interacción entre partículas adyacentes.

3.9 PROBLEMAS PROPUESTOS 1.

En el instante t = 0, se muestra el perfil de una onda viajera que se propaga en la dirección +X, con una rapidez de 0,5 m/s. Determinar la fase inicial, φo, de la onda y la ecuación de la onda viajera. y(m) +5 1,3

-3 -5

0,8

x(m)

2.

Cuando se perturba a una cuerda tirante se produce una función de 

onda descrita por y  0,15 sen  40π t  

10π  x  , donde x, y están en 8 

metros y t en segundos. ¿Cuál será la velocidad de propagación de la onda, en m/s? 3.

En el instante t = T/4 el punto origen de una onda transversal, de periodo T y de 1 m de longitud de onda, alcanza su amplitud máxima. Calcular, en m, a que distancia del origen se encontrará una partícula cuya amplitud en dicho instante es igual a la mitad de la amplitud máxima.

4. La ecuación de una onda transversal que viaja por una cuerda larga homogénea, esta dada por: y = 5 Sen(0,04 x – 12 t), donde x, y están en cm y t en s. ¿Cuántas crestas de onda se habrán formado

en

2m de la cuerda de vibración? 5.

En una cuerda horizontal de longitud indefinida se produce una onda sinusoidal transversal en x = 0; el movimiento de la misma se produce dos veces cada segundo. Si la densidad lineal de la cuerda es de 0,25 kg/m y está sometida a una tensión de 10 N, y la amplitud del movimiento es 0,5 m. calcular la velocidad de propagación del movimiento ondulatorio en la cuerda.

6.

Dos ondas armónicas en una cuerda se definen mediante las funciones: y1 = 2 Sen (20x –30t) e y 2 = 2 Sen (25x –40t), donde “y” y “x” se miden en cm y “t” en segundos ¿Cuál es la diferencia de fase, en rad, entre estas dos ondas en el punto x = 5 cm en t = 2s?

7.

Una onda sinusoidal tiene un periodo de 2,5 x 10 -3 s y una velocidad de 320 m/s ¿Qué separación hay entre dos puntos que mantienen un desfase de π/4 rad?

8.

Para la onda descrita por la relación y = 0,08 Sen(0,24x-30t), donde “x” y “y” están en m y “t” en s, determine la velocidad de propagación de la onda y la velocidad máxima de las partículas del medio.

9.

Para una onda transversal que viaja por un alambre tenso, con una amplitud de 0,2 m, una frecuencia de 500 Hz y una velocidad de 250 m/s, la ecuación de onda es:

10. En el problema anterior, si la masa por unidad de longitud de este alambre es 4,0 g/m, la tensión en el alambre es: 11. Dos ondas de ecuaciones: y1 = 6 Sen (1,500 t – 250 x) y 2 = 6 Sen (1.500 t + 250 x) en unidades SI, interfieren. Calcular la ecuación de las ondas estacionarias resultantes. 12. Con los datos del problema anterior, calcular la amplitud de los nodos y la distancia entre dos vientres consecutivos. 13. Un alambre de acero de 5m de longitud tiene una masa de 0,06 Kg. Calcular la velocidad de las ondas en el alambre si se estira entre dos puntos y se mantiene bajo una tensión de 30 N.

14. Se mantiene tensa una cuerda flexible de 30 metros y 10 Kg entre dos postes con una tensión de 2 700 N. Si se golpea transversalmente la cuerda en uno de sus extremos, hallar el tiempo en segundos que tardará la onda transversal producida en alcanzar el otro extremo. 15. Un cable de acero de 100 cm de largo tiene una masa de 50 g y está sometido a una tensión de 40 N. Encuentre las frecuencias de los dos primeros modos de vibración. 16. Una cuerda (µ = 0,2 g/cm) es tensada por un peso de 20 N, ver figura. Si cuando con el diapasón se generan armónicos en la sección horizontal, se observa que la diferencia en longitudes de onda del 1º armónico y 7º armónico es de 24 cm, la frecuencia, aproximada del 5º armónico es:

. 17. En la figura la sección horizontal de la cuerda (µ = 0,4 Kg/m) tiene una longitud de 4 m entre los nodos ubicados en sus extremos. Si la frecuencia de excitación del diapasón es de 80 Hz, el peso del bloque que debe colocarse para que se formen 10 antinodos es:

18. Se muestra una cuerda homogénea de 100 g y 2 m de longitud. Si en un extremo se suspende un bloque de 10 kg, determine el tiempo que tarda un pulso dado en A para llegar a B.

19. En el siguiente gráfico, una onda viajera demora 2s en ir del punto A al punto B. Si la longitud de la cuerda es de 10 m y su masa de 2 kg, determine el valor de la masa M que tensa la cuerda.

20. En el siguiente gráfico, determine la velocidad con que se propaga un pulso de AB, si la cuerda mide 8m y tiene una masa de 2 kg.

21. Una cuerda de 2 m tiene una masa de 300 g y vibra con una frecuencia de 20 Hz y una amplitud de 50 mm. Si la tensión en la cuerda es de 48 N, ¿cuánta potencia se debe entregar a la cuerda?