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• Jhuly Haro

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CIRCUITOS ELECTRICOS I.

DEFINICION DE CORRIENTE ALTERNA. Se denomina corriente alterna (abreviada CA en español y AC en inglés, de alternating current) a la corriente eléctrica en la que la magnitud y el sentido varían cíclicamente. La forma de oscilación de la corriente alterna más comúnmente utilizada es la de una oscilación sinusoidal (figura 1), puesto que se consigue una transmisión más eficiente de la energía. Sin embargo, en ciertas aplicaciones se utilizan otras formas de oscilación periódicas, tales como la triangular o la cuadrada.

 COMO SE GENERA. La corriente alterna se genera al girar una espira conductora en el seno de un campo

2 Magnético. Supongamos que la espira, formada por un hilo conductor, encierra una superficie S, que la inducción del campo magnético es B. y supongamos también que esta espira gira con velocidad angular constante,ω.

Figura 1. Producción de corriente alterna.

El flujo magnético, φ, a través de la espira irá variando en función de las diferentes posiciones que vaya tomando ésta en el seno del campo magnético: φ = B·S ·cos α

[1]

α es el ángulo que forma la normal a la superficie de la espira con la dirección de las líneas de inducción magnética B. En función de la velocidad angular con la que gira la espira, ω, y el tiempo transcurrido, t, el ángulo α valdrá:

α = ω ·t De forma que la expresión [1] quedará:

φ = B·S ·cos ω·t Según la ley de la inducción electromagnética de Faraday, al variar el flujo magnético a través de la espira, se induce en ésta una f.e.m., e, que será proporcional a esta variación: e=

dφ dt

→

e = B·S ·ω·sen ω·t

El producto B·S ·ω es una constante, ya que B, S y ω son constantes. Esta constante representa el valor máximo de la tensión, vamos a llamar a esta constante. El valor de la f.e.m. quedará definitivamente como: e = e m ·sen ω·t

[2]

El valor del sen ω·t puede variar entre los valores 1 y –1 pasando por 0, por tanto el valor de e será también variable y variará entre un valor máximo positivo y un valor máximo negativo, que serán respectivamente: e m y − e m Si representamos gráficamente, en un eje de coordenadas, los valores de esta f.e.m. con respecto al tiempo obtenemos una gráfica como esta:

3

Figura 2. Representación gráfica de una onda alterna senoidal en forma vectorial y cartesiana.

Como vemos los distintos valores que va tomando la f.e.m. nos describen una onda alterna senoidal, que se repite a lo largo del tiempo de forma indefinida. Otro modo de representar el valor de esta f.e.m. es de forma vectorial, en esta, se supone un vector de módulo em que gira sobre su origen en sentido antihorario con una velocidad angular constante ω . El valor instantáneo de la f.e.m. e viene dado por la proyección de este vector sobre el eje de ordenadas. La posición que va ocupando el vector em en cada momento se denomina fase y el ángulo que forma con el eje de abcisas, medido en el sentido de giro del vector, se denomina ángulo de fase (α). El tiempo que tarda el vector en completar una vuelta, o ciclo, recibe el nombre de periodo (T) y la cantidad de vueltas o ciclos que completa en la unidad de tiempo (1s) se denomina frecuencia (f). La velocidad angular, ω , con la que gira el vector em se denomina, en electricidad, pulsación y en función de la frecuencia, f, tiene un valor de: ω = 2·π· f

 GRAFICAR ONDA DE VOLTAJE Y CORRIENTE ANGULO DE DESFASE ENTRE ELLOS. La fracción de ciclo que ha transcurrido desde que una corriente o voltaje ha pasado por un Determinado punto de referencia (generalmente en el comienzo o 0º) se denomina fase o ángulo de fase del voltaje o corriente. Más frecuentemente, los términos fase o diferencial de fase se usan para comparar dos o más voltajes. O corrientes alternados o voltajes y corrientes de la misma frecuencia, qué pasan por sus puntos cero y máximo a diferentes valores de tiempo.

4

(A)Voltajes en fase (B) La corriente adelanta al voltaje en 90º(C) Dos voltajes en oposición de fase

(Los circuitos inductivos o capacitivos de C.A, el voltaje y corriente, si bien son de la misma frecuencia, no transcurren juntos)

CORRIENTE ALTERNADA EN RESISTENCIA PURA La corriente de un circuito de CA que contiene solamente resistencia está determinado por la ley de Ohm (I=E/R) y está en fase con la fem aplicada. Además en cualquier parte de un circuito de CA que contenga resistencia, la caída de voltaje sobre esta (V) está en fase corriente (I), y por lo tanto, con la fem aplicada (E)

II.

COMPORTAMIENTO DE UN CIRCUITO RL Y RC CON CORRIENTE ALTERNA Y RELACIONES FASORIALES PARA ELEMENTOS RL Y C.  CIRCUITO RL

5 En un circuito RL serie en corriente alterna, se tiene una resistencia y una bobina en serie. La corriente en ambos elementos es la misma.

La tensión en la bobina está en fase con la corriente (corriente alterna) que pasa por ella. (tienen sus valores máximos simultáneamente), pero el voltaje en la bobina está adelantado a la corriente que pasa por ella en 90º (la tensión tiene su valor máximo antes que la corriente)

El valor de la fuente de voltaje que alimenta este circuito esta dado por las siguientes fórmulas:

- Voltaje (magnitud) VS=(VR2+VL2)1/2 - Angulo = /Θ = Arctang (Vl / VR). Estos valores se expresan en forma de magnitud y ángulo. Ver el diagrama fasorial de tensiones

Ejemplo: 47 /30° que significa que tiene magnitud de 47 y ángulo de 30 grados La impedancia Z sería la suma (suma fasiorial) de la resistencia y la reactancia inductiva. Y se puede calcular con ayuda de la siguiente fórmula: VS /Θ Impedancia = Z /Θ = ------I /Θ) Para obtener la magnitud de Z de dividen los valores de Vs e I Para obtener el /Θ de Z se resta el ángulo de la corriente, del ángulo del voltaje

6 Nota: lo que está incluido en paréntesis elevado a la 1/2, equivale a la raíz cuadrada.

 CIRCUITO RC En un circuito RC en serie la corriente (corriente alterna) que pasa por la resistor y por el capacitor es la misma y el voltaje VS es igual a la suma fasorial del voltaje en el resistor (Vr) y el voltaje en el capacitor (Vc). Vs = Vr + Vc (suma fasorial) Esto significa que cuando la corriente está en su punto más alto (corriente pico), será así, tanto en el resistor como en el capacitor.

Pero algo diferente pasa con los voltajes. En el resistor, el voltaje y la corriente están en fase (sus valores máximos y mínimos coinciden en el tiempo). Pero el voltaje en el capacitor no es así. Como el capacitor se opone a cambios bruscos de voltaje, el voltaje en el capacitor está retrasado con respecto a la corriente que pasa por él. (el valor máximo de voltaje en el capacitor sucede después del valor máximo de corriente en 90o). Estos 90º equivalen a ¼ de la longitud de onda dada por la frecuencia de la corriente que está pasando por el circuito. El voltaje total que alimenta el circuito RC en serie es igual a la suma fasorial del voltaje en el resistor y el voltaje en el capacitor. Este voltaje tiene un ángulo de desfase (causado por el capacitor) y se obtiene con ayuda de las siguientes fórmulas: Valor del voltaje (magnitud): Vs = ( VR2 + VC2 )1/2 Angulo de desfase Θ = Arctang ( -VC/VR ) Como se dijo antes - La corriente adelanta al voltaje en un capacitor en 90° - La corriente y el voltaje están en fase en un resistor. Con ayuda de estos datos se construye el diagrama fasorial y el triángulo de voltajes. De estos gráficos de obtiene la magnitud y ángulo de la fuente de alimentación (ver fórmulas anteriores):

7 A la resistencia total del conjunto resistor-capacitor, se le llama impedancia (Z) (un nombre más generalizado) y Z es la suma fasorial (no una suma directa) de los valores del resistor y de la reactancia del capacitor. La unidad de la impedancia es el "ohmio". La impedancia (Z) se obtiene con ayuda de la siguiente fórmula:

Dónde: - Vs: es la magnitud del voltaje - Θ1: es el ángulo del voltaje - I: es la magnitud de la corriente - Θ2: es el ángulo de la corriente Cómo se aplica la fórmula? La impedancia Z se obtiene dividiendo directamente Vs e I y el ángulo (Θ) de Z se obtiene restando el ángulo de I del ángulo Vs. El mismo triángulo de voltajes se puede utilizar si a cada valor (voltajes) del triángulo lo dividimos por el valor de la corriente (corriente es igual en todos los elementos en una conexión serie), y así se obtiene el triángulo de impedancia Supongamos que por el circuito de la figura 10a circula una corriente

Como VR está en fase y VC retrasada 90º respecto a dicha corriente, se tendrá:

La tensión total V será igual a la suma fasorial de ambas tensiones,

Y de acuerdo con su diagrama fasorial (figura 10b) se tiene:

8

Al igual que en el apartado anterior la expresión que

es el módulo de la impedancia, ya

lo que significa que la impedancia es una magnitud compleja cuyo valor, según el triángulo de la figura 11, es:

Obsérvese que la parte real resulta ser la componente resistiva y la parte imaginaria, ahora con signo negativo, la capacitiva.

 CIRCUITO RLC En un circuito RLC en serie la corriente (corriente alterna) que pasa por la resistencia, el condensador y la bobina es la misma y... La tensión Vac es igual a la suma fasorial de la tensión en la resistencia (Vr) y la tensión en el condensador (Vc) y la tensión en la bobina VL. Vac = Vr + Vc + VL (suma fasorial) La impedancia total del circuito anterior es: ZT = R + XL + XC (suma vectorial) ó R + j(XL - XC) ó R + jX Dónde: XC = reactancia capacitiva XL = reactancia inductiva R = valor del resistor X = la diferencia de XL y XC. (Si X es positivo predomina el efecto inductivo. Si X es negativo predomina el efecto capacitivo. La corriente en el circuito se obtiene con la Ley de Ohm: I = V / Z = Vac / ZT = Vac / ( R + jX)1/2

9 y el ángulo de fase es: 0 = arctan (X/ R) Nota: El paréntesis elevado a la 1/2 significa raíz cuadrada

Ángulos de fase en un circuito RLC Analizando los tutoriales circuitos RC en serie y circuitos RL en serie, se puede iniciar el análisis de los ángulos de fase de un circuito RLC. El proceso de análisis se puede realizar en el siguiente orden: 1. Al ser un circuito en serie, la corriente I es la misma por todos los componentes, por lo que la tomamos como vector de referencia 2. VR (voltaje en la resistencia) está en fase con la corriente, pues la resistencia no causa desfase. 3. VL (voltaje en la bobina) adelanta a la corriente I en 90º 4. VC (voltaje en el condensador) atrasada a la corriente I en 90º 5. Los vectores VL y VC se pueden sumar pues están alineados. 6. Vac (voltaje total) se obtiene de la suma vectorial de VR y (VL – VC).

Ver el siguiente gráfico

2. Nota: El signo menos delante de VC en el punto 6 se debe a que esta tensión tiene dirección opuesta a VL. En el diagrama se supone que VL es mayor que VC, pero podría ser lo contrario. Un caso especial aparece cuando VL y VC son iguales. (VL = VC). En este caso VR = Vac. La condición que hace que VC y VL sean iguales se llama condición de resonancia, y en este caso aún cuando en le circuito aparecen una capacidad y una inductancia, este se comporta como si fuera totalmente resistivo. Este caso aparece para una frecuencia especial, llamada frecuencia de resonancia. (f0)

10

III.

DEFINIR IMPEDANCIA Y ADMITANCIA EN CORRIENTE ALTERNA.  IMPEDANCIA:

La razón entre

e

se define como impedancia

el S.I. son el ohmio ( diferentes elementos son:

. Las unidades de la impedancia en

). Teniendo en cuenta la notación rectangular, las impedancias de los

•

Impedancia de una Resistencia:

•

Impedancia

•

Impedancia

de

de

una

un

Bobina:

Condensador:

En este tipo de notación, donde la impedancia viene representada por una notación compleja, la parte real del complejo es el término resistivo o de resistencia ( imaginaría corresponde a la reactancia ( , provenga de una bobina o condensador respectivamente.

), mientras que la parte

) inductiva o capacitiva según

Una alternativa a la notación rectangular es la notación polar, •

Impedancia de una Resistencia:

•

Impedancia de una Bobina:

•

Impedancia

de

un

Condensador:

Puesto que los elementos eléctricos pueden asociarse tanto en serie como en paralelo, podemos definir una equivalencia con respecto a las combinaciones de impedancias, análogo al caso de las resistencias en el caso contrario, por tanto:

11 •

Serie:

•

Paralelo:

Diagrama de impedancia: En un diagrama de impedancia, una impedancia se representa como un complejo, donde el eje horizontal corresponde a los términos resistivos mientras que en el eje vertical se representan los términos de reactancia inductiva (semieje positivo) como reactancia capacitiva (semieje negativo).

 ADMITANCIA: La admitancia se define como la recíproca de la impedancia, o sea, con

unidades

complejo,

de

siemens

(

).

En

,

cuya

forma parte

similar real

es se

le

un

número

denomina

la

conductancia y la parte imaginaria la susceptancia . En este caso las combinaciones de admitancias en serie y en paralelo pueden expresarse como:

•

Serie:

•

Paralelo:

Diagrama de admitancia: En un diagrama de admitancia, una admitancia se representa como un complejo, donde el eje horizontal corresponde a los términos conductivos mientras que en el eje vertical se representan los términos de susceptancia capacitiva (semieje positivo) como susceptancia inductiva (semieje negativo).

12

IV.

COMPORTAMIENTO DE LEYES DE KIRCHOFF EN CORRIENTE ALTERNA.DEFIRNIR CON EJEMPLOS  EJEMPLO DE LA LEY DE KIRCHOFF 1. Use las leyes de Kirchhoff para encontrar I o, V1, V2, V3 y las potencias disipadas por cada resistencia. R Io

R

1

70Ω

2

35Ω

V1

V2 100Ω

V o =100V

R

3

V3

Solución:

Io V o =100V

R Equi = R1 + R2 + R3 R Equi

R Equi = 70 + 35 +100 R Equi = 205[ Ω]

Utilizando la ley de ohm. V = R*I Vo 100 Io = = = 0.49[ A] R 205 Io = 0.488[ A]

Por encontrarse las 3 resistencias en serie la corriente que circula a través de ellas es la misma que entra a la fuente de 100V. Io=I1=I2=I3

13 V1 = R *I 1= 70 * 0.488 V1 = 34.2[V ]

V 2 = R *I 2 = 35 * 0.488 V 2 = 17[V ]

V3 = R *I 3= 100 * 0.488 V1 = 48.8[V ]

y las potencies disipadas por cada resistencia es: PR 3 = V3 * I 3

PR 2 = V2 * I 2

PR1 = V1 * I o

PR 3 = 48.8 * 0.488

PR 2 = 17 * 0.488

PR1 = 34.2 * 0.488

PR 3 = 23.8[W ]

PR 2 = 8.3[W ]

PR1 = 16.7[W ]

La potencia disipada es igual a la potencia entregada por la fuente de alimentación. 2. se tiene el siguiente circuito, calcular: a) el voltaje que circula por la resistencia de 20Ω b) la corriente que circula por el resistor de 10Ω c) los voltajes V1 y V2. I 2 =2A 20Ω

Io

5Ω

I1 R

V o =100V

1

10Ω V1

R

3

R

2

5Ω V2

Solución:

Io

20Ω 10Ω

V o =100V

R

x

Rx = R2 + 5 Rx = 10[ Ω]

Io V o =100V

R Equi

10 * 10 20 = 25[ Ω]

R Equi = 20 + R Equi

14 Io =

Vo 100 = R Equi 25

Io = 4[ A]

La corriente circula por la resistencia de 20Ω es Io. V20Ω=R*Io = 20*4 V20Ω=80[V] Sabemos que: Io=I1+I2 I1= Io-I2=4-2 I1=2[A] I1=IR1=2[A]

V R1 = R * I R1 = 10 * 2 = 20[V ] ⇒ V1 = 20[V ] V R 2 = R * I R 2 = 5 * 2 = 10[V ] ⇒ V2 = 10[V ]

3. Se tiene el siguiente circuito, calcular: a) El voltaje que circula por R1, Utilizando divisor de tensión. b) El voltaje que circula a través de las resistencias en paralelo c) Verificar si cumple la ley de corrientes de Kirchhoff que dice que la entrada de corriente a un nodo es igual a la suma de todas las corrientes en los nodos (1).

R

V

1

1=

10Ω

1

I1 100Ω

V o =50V

Ix

I 100 V

2

100Ω

V

3

100Ω

V

100Ω 4

2

Solución:

R

1=

10Ω

1 V o =50V

R

Equi.

R Equi .

=

1 1 1 1 + + + 100 100 100 100 R Equi . = 25[ Ω]

V

5

15 E R1 =

R1 10 * Eo = * 50 = 14.3[V ] R1 + R2 10 + 25 E R1 = 14.3[V ]

E REqui =

R Equi R Equi + R1

* Eo =

25 * 50 = 35.7[V ] 35

E REqui = 35.7[V ]

∴

E Re qui = E R 2 = E R 3 = E R 4 = E R 5 E R1 14.3 = = 1.43[ A] R 10 E 35.7 = R2 = = 0.357[ A] R 100 Ix = I 1 − I 100 Ω

I1 = I 100

Ix = 1.43 − 0.357 Ix = 1.073[ A] I 1 = I 100 Ω + Ix

V.

COMPORTAMIENTO DE THEVENIN Y NORTON EN CORRIENTE ALTERNA. − DEFINIR CON EJEMPLOS.

 EJEMPLO THEVENIN: Para la red de la figura P6.6, determinar la fuente equivalente Thévenin entre E y B, vista por la fuente j2. Calcular potencia entregada por j2. Solución. Se requiere calcular el voltaje vT en el circuito abierto entre E y B, en la red a la izquierda en la figura. A la derecha se muestra el equivalente Thévenin.

16

Se calcula vT por superposición. La figura izquierda muestra el efecto de las fuentes de corriente; la de la derecha el efecto de las fuentes de tensión.

Debido a LVK, en el circuito ABDEA, el voltaje entre A y D es cero en la red a), por lo tanto la corriente que circula por R3 y por R4 es cero; entonces, por LVK, se tiene que:

Debido a LVK, el voltaje entre A y D es (e1-e2) en la red b), por lo tanto la corriente que circula por R3 y R4 es:

Entonces, por LVK en el circuito BDEB, se tiene que:

Superponiendo (1) y (3):

17 La red pasiva Thévenin se calcula eliminando el efecto de las fuentes en la figura P6.10; y calculando el voltaje v, debido a la fuente de corriente i, tal como se muestra en la figura.

Por LVK en circuito ACDBA no circula corriente en R1 y R2, y se las puede substituir por circuitos abiertos. Contrayendo los cortocircuitos AB y BD, la resistencia Thévenin corresponde al paralelo de R3 con R4. En la figura derecha, se tiene que la potencia entregada por j2 está dada por:

LVK en figura P6.10 derecha: Reemplazando (6) y (4) en (5):

 EJEMPLO NORTON: Para la red de la figura: Determinar la fuente Norton entre A y C, vista por la resistencia R2, mediante superposición. Calcular potencia absorbida por R2.

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Solución: Se requiere calcular la corriente iN en el cortocircuito entre A y C, en la red a la izquierda de la figura; a la derecha se muestra el equivalente Norton.

Si consideramos juntas las fuentes del mismo tipo, tenemos dos situaciones, para calcular la corriente de la fuente equivalente Norton, mediante superposición:

19

Debido a LVK, en el circuito ACDBA, el voltaje entre D y C es cero en la red a la izquierda en la figura, por lo tanto la corriente que circula por R1 es cero; entonces, por LCK, se tiene que:

Debido a LVK, en el circuito ACDBA, el voltaje entre C y D es (e1-e2) en la red a la derecha en la figura, por lo tanto la corriente que circula por R1 es iN2. Entonces, por LCK, se tiene que:

Superponiendo (1) y (2), se tiene:

Para calcular la potencia absorbida por R2, empleando el equivalente Norton, se tiene:

20 Para calcular la red pasiva Norton RN, se elimina el efecto de las fuentes de corriente, en la figura izquierda, y se aplica v, entre A y C; luego se calcula i, en la figura.

A la derecha, en la figura P6.9, se dibuja la red equivalente vista desde los terminales A y C, en la cual se tiene:

Por la combinación serie de R3 con R4, no circula corriente, entonces:

Con lo cual:

Reemplazando (7) y (3) en (4) se obtiene: