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UNIVERSIDAD NACIONAL JORGE BASADRE GROHMANN FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL, ARQUITECTURA Y GEOTECNIA ESCUELA DE INGENIERÍA GEOLÓGICA-GEOTECNIA

APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA: ÁREA DE REGIONES PLANAS ASIGNATURA: CÁLCULO II DOCENTE: DRA. JULIA MARINA MENDOZA GOMES ALUMNO: —— CÓDIGO: ———DNI: ——–

TACNA - PERÚ 2020

Área de Regiones Planas El nacimiento del cálculo integral es íntimamente relacionado con la geometría y el cálculo de áreas, en particular con el cálculo de áreas no poligonales, los antiguos griegos lograron determinar algunas de estas áreas por el denominado “método de exhaución” que consiste en “apretar” el área entre dos polígonos, uno inscrito y uno circunscrito. La intuición dada por este método marcaría el surgimiento de la la integral definida mediante las sumas de Riemann que permite asociar el área bajo una curva, y por consecuente la aplicación más intuitiva de la integral se da en este mismo problema: hallar el área de regiones planas siempre y cuando sean descritas mediante funciones. Esta intuitividad nos permitirá desarrollar y entender con facilidad el presente tema: “Área de Regiones Planas”. En cuyo sentido, se desarrollaran 4 casos, partiendo desde una explicación intuitiva y buscando formalizarla con ayuda de la integrales. El informe presentado incluye ejemplos por cada caso, problemas resueltos para cada caso, así como problemas para resolver que contarán con las respuestas pertinentes, así mismo los ejercicios y problemas resueltos estarán descritos de una forma explícita para procurar el entender del lector.

1

Índice 1. Área

3

2. Cálculo de Áreas de Regiones Planas 2.1. Tipos de Diferenciales . . . . . . . . . . . . . 2.2. Análisis gráfico del área . . . . . . . . . . . . 2.2.1. Gráfica por encima del eje . . . . . . . 2.2.2. Gráfica por debajo del eje . . . . . . . 2.2.3. Gráfica por ambos lados del eje . . . . 2.3. Casos generales de resolución . . . . . . . . . 2.3.1. Integración como Proceso Acumulativo 2.3.2. Caso 1: Áreas con secciones C(x) . . . 2.3.3. Caso 2: Áreas con secciones C(y) . . . 2.3.4. Caso 3: Áreas entre dos curvas . . . .

. . . . . . . . . .

4 4 5 5 5 6 7 7 8 9 10

3. Resolución de Problemas 3.1. Criterios de selección del diferencial del área . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Procedimiento recomendado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11 11 12

4. Problemas resueltos

12

5. Problemas encargados

24

6. Conclusiones

25

7. Referencia Bibliográfica

25

2

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1.

Área

El término área es reconocido de la geometría euclidea conocida, en este sentido el tipo más sencillo de área a calcular es el rectángulo cuya definición es bastante conocida: A = bh. Es notorio que a partir de esta definición uno puede desarrollar el resto de áreas poligonales conocidas tales como el triángulo, cuadrado, hexágono, entre otros.

Figura 1: En la figura se observa el proceso de deducción para el área de un triángulo, este mismo proceso de particionamiento se puede aplicar para la deducción de otras áreas poligonales. Es evidente que las áreas polígonales serán mucho más sencillas que las cónicas u otras distintas, es por este motivo que se produce el nacimiento de del “método de exhaución” que permitiá hallar el área mediante aproximaciones de polígonos al área buscada.

Figura 2: Método de exhaución, en el caso de la figura fue usado para hallar el área de un círculo.

3

2.

Cálculo de Áreas de Regiones Planas

Si nosotros consideramos un área como la mostrada en la figura 3, es posible comenzar a hacer aproximaciones de esta mediante el uso de rectángulos u otras áreas y con un símil al método de exhaución.

Figura 3: La figura representa distintos modos de aproximar el área de la región mostrada en (a). Si se traslada la figura a un sistema de coordenadas, y nos restringimos al uso de rectángulos, podemos observar que es esencialmente la definición de la integral definida por sumas de Riemann, en este sentido es valido mencionar que el área a integrar debe ser dada por una función.

2.1.

Tipos de Diferenciales

Por lo mismo que en esencia el cálculo de áreas es una conclusión directa de la definición de área, el diferencial de área empleado en esta aplicación es el mismo que sea en las sumas de Riemann para calcular un área por aproximaciones al límite. De forma explícita esto significa que las diferenciales van a depender de como se enfoquen los rectángulos para hallar el área. Si son verticales, será una diferencial de x, si es horizontal, será una diferencial de y. Esto se aprecia de una mejor forma en la figura 4.

4

Figura 4: En (a) se observa el uso de rectángulos verticales, paralelos al eje y y por tanto se usa el diferencial dx, y en (b) se observá el uso de horizontales, y por consecuente paralelos al eje x en el cual se usa dy.

2.2.

Análisis gráfico del área

Distintos tipos de “observaciones” podemos hacer en relación a como se ubica la curva en el sistema coordenado, así existen 3 particularidades posibles que serán discutidas a continuación. 2.2.1.

Gráfica por encima del eje

Es el caso más sencillo de trabajar y no presente problema alguno, pues el área se cálcula directamente. En la gráfica mostrada, la solución se da simplemente por:

Figura 5: La gráfica presenta el caso, con la particularidad de que la curva esta respecto a y, en un intervalo de [a,b]. La integral no presenta problemas y su resolución es directa. b

Z A=

f (x)dx

(1)

a

2.2.2.

Gráfica por debajo del eje

En este caso, la integral obtiene un signo negativo que indica la posición de la curva con respecto al eje de integración. La solución a este caso se obtiene mediante el uso de valor absoluto. En la gráfica mostrada, la solución se da simplemente por: Z b A= f (x)dx (2) a

5

2.2.3.

Gráfica por ambos lados del eje

Este caso es el más interesante de los ya mencionados en su discusión. La resolución de este caso dependerá del enfoque del problema dado, esto es debido a los signos obtenidos. Se dividen así dos enfoques a la resolución: 1. Como área neta: Bajo este enfoque, consideramos a la integral en todo el intervalo. Es decir se toma en cuenta toda la sumatoria de áreas según el intervalo. Puede dar 0 si las “áreas positivas” poseen un mismo valor al de las “áreas negativas”, así como positivo o negativo dependiendo de los valores de dichas áreas. Por esto, la solución también presenta la aplicación de valor absoluto. En la gráfica mostrada, la solución se da simplemente por: Z b A= f (x)dx

(3)

a

Figura 6: La gráfica presenta el caso, con la particularidad de que la curva esta respecto a y, en un intervalo de [a,b]. La integral no presenta problemas y su resolución se da al aplicar valor absoluto sobre la integral de la función debido al signo negativo que presentaría su resolución.

6

Figura 7: La gráfica presenta el caso, con la particularidad de que la curva esta respecto a y, en un intervalo de [a,b]. En la figura presentada, el área marcada con rojo marcaría el “área negativa”, de forma similar el “área positiva” esta marcada con verde. 2. Como área en bruto: Bajo este enfoque, consideramos el área real encerrada por la curva y el eje. El método de resolución mediante requiere más trabajo analítico pues es vital fraccionar el área en regiones limitadas por cada intercepto con el eje, estos nuevas fracciones se toman como intervalos y se procede a calcular según los dos primeros casos planteados en esta sección. El área en bruto resultante será dada por la suma de estas “sub-áreas.” Este metodología de integración se ve emplea en topografía y geomorfología, donde es pertinente obtener las áreas de terrenos con elevaciones y depresiones. En la gráfica mostrada, la solución se da simplemente por: Z d Z e Z b Z c A= f (x)dx + f (x)dx + f (x)dx + f (x)dx (4) a

c

d

e

Figura 8: La gráfica presenta el caso, con la particularidad de que la curva esta respecto a y, en un intervalo de [a,b]. En la figura presentada, el área marcada con rojo marcaría el “área negativa”, de forma similar el “área positiva”

2.3.

Casos generales de resolución

En la presente sección, se procederá a discutir la resolución de los distitnos casos planteados. Para esto se requiere una buena comprensión de lo discutido en la el análisis gráfico del área. 2.3.1.

Integración como Proceso Acumulativo

Al hablar de integración es destacable mencionar que la integral representa una sumatoria y es por esto que es válido pensar en ella como un proceso de acumulaciones. Precisamente el desarrollo del cálculo de áreas se basa en este pensamiento, y es que al considerar un rectángulo infinitesimalmente pequeño dado por la diferencia de dos puntos y la altura dada por su área llegamos a la definición de integral. Esto se verá con más detalle en las siguientes secciones.

7

2.3.2.

Caso 1: Áreas con secciones C(x)

Si se tiene una curva cualquiera dada por la función y = f (x) continua en un intervalo cerrado [a, b], y se considera una partición rectangular cualquiera del área bajo la curva tal y como se observan en la figura 9. Si observamos solamente la partición rectangular marcada

Figura 9: Curva a integrar, el área a hallar esta dada por la región sombreada en verde. con rojo y la denominamos como una partción i , notamos que su área esta definida por: A = hb A = f (ci)∆xi Donde el ci, es el punto final a la derecha de la partición en la curva y ∆xi simboliza el ancho de la partición. Como se busca el área de toda la región sombreada y es una serie de rectángulos infinitesimalmente “pequeños” podemos observar que n X

A = lím

n→∞

f (ci)∆xi

i

Que es la definición de integral definida por las sumas de Riemann. Así llegamos a: b

Z A=

f (x)dx a

8

Esto se resumen en lo siguiente: Teorema 2.1 – Área de una región plana con sección C(x) Considerese una función y = f (x) continua en un intervalo cerrado [a, b] y además f (x) ≥ 0, ∀x ∈ [a, b]. El área de la región R limitada por la curva y = f (x), el eje x en el intervalo [a, b] está dado por: Z b A(R) = f (x)dx (5) a

2.3.3.

Caso 2: Áreas con secciones C(y)

Si se tiene una curva cualquiera dada por la función x = f (y) continua en un intervalo cerrado [a, b], y se considera una partición rectangular cualquiera del área bajo la curva tal y como se observan en la figura 10. Si observamos solamente la partición rectangular

Figura 10: Curva a integrar, el área a hallar esta dada por la región sombreada en verde. marcada con rojo y la denominamos como una partición i , notamos que su área esta definida por: A = hb A = g(ci)∆yi Donde el ci, es el punto final inferior de la partición en la curva x y ∆yi simboliza el ancho de la partición. Como se busca el área de toda la región sombreada y es una serie de rectángulos infinitesimalmente “pequeños” podemos observar que n X

A = lím

n→∞

g(ci)∆yi

i

Que es la definición de integral definida por las sumas de Riemann. Así llegamos a: b

Z A=

g(y)dy a

Esto se resumen en lo siguiente:

9

Teorema 2.2 – Área de una región plana con sección C(y) Considerese una función x = g(y) continua en un intervalo cerrado [a, b] y además g(y) ≥ 0, ∀y ∈ [a, b]. El área de la región R limitada por la curva x = f (y) y el eje y en el intervalo [a, b] está dado por: Z b A(R) = g(y)dy (6) a

2.3.4.

Caso 3: Áreas entre dos curvas

Si se tiene una curva cualquiera dada por la función y = f (x) y otra curva cualquiera dada por la función y = h(x) continua en un intervalo cerrado [a, b], y se considera una partición rectangular cualquiera del área entre las curvas tal y como se observan en la figura 11. Si

Figura 11: Curvas a integrar, el área a hallar esta dada por la región sombreada en verde. observamos solamente la partición rectangular marcada con azul y la denominamos como una partición i , notamos que su área esta definida por: A = (h1 − h2 )b A = f (ci) − g(ci)∆xi Donde el ci, es el punto final inferior de la partición en las curvas y y ∆xi simboliza el ancho de la partición. Como se busca el área de toda la región sombreada y es una serie de rectángulos infinitesimalmente “pequeños” podemos observar que n X

A = lím

n→∞

f (ci) − g(ci)∆xi

i

Que es la definición de integral definida por las sumas de Riemann. Así llegamos a: Z

b

f (x) − g(x)dx

A= a

Aplicando la misma deducción al caso de la figura 12, podemos observar que se llega a la

10

ecuación:

Figura 12: Curvas a integrar, el área a hallar esta dada por la región sombreada en verde. b

Z

f (y) − g(y)dy

A= a

Esto se resumen en lo siguiente: Teorema 2.3 – Área de una región plana entre dos curvas C(x) Consideresen dos funciones y = f (x) y y = g(x) continuas en un intervalo cerrado [a, b] y además f (x), g(x) ≥ 0, ∀y ∈ [a, b]. El área de la región R limitada por la curva y = f (x) y la curva y = g(x) en el intervalo [a, b] está dado por: b

Z

[f (x) − g(x)]dx

A(R) =

(7)

a

Teorema 2.4 – Área de una región plana entre dos curvas C(y) Consideresen dos funciones y = h(y) y x = j(y) continuas en un intervalo cerrado [a, b] y además h(x), j(x) ≥ 0, ∀y ∈ [a, b]. El área de la región R limitada por la curva x = h(y) y la curva x = j(y) en el intervalo [a, b] está dado por: Z

b

[h(y) − j(y)]dy

A(R) =

(8)

a

3.

Resolución de Problemas

En la presente sección se daran distintas recomendaciones para poder resolver problemas de este tipo.

3.1.

Criterios de selección del diferencial del área

Para poder reducir la dificultad de resolución de la integral y lograr una rápida resolución de los problemas, se pueden dar dos criterios: 1. Grado de complejidad “gráfica”: Refiere a la correcta selección del diferencial de área para ser capaz de resolver el área con la menor cantidad de particiones. Es decir se busca evitar tener que resolver más de una integral. 2. Grado de complejidad “integral”: Refiere a la dificultad de resolución de la integral, una mala selección del diferencial puede producir una integral más laboriosa de resolver.

11

Como aclaración es importante notar que debe tenerse en cuenta que el diferencial es el que se “desplaza” por la región de forma irrestricta y va desde la curva hasta el eje o la otra curva.

3.2.

Procedimiento recomendado

Una metodología recomendada de resolución se da a continuación: 1. Bosquejar la curva o curvas dadas con los métodos de cálculo diferencial. De no ser posible, hacer un análisis matemático del comportamiento de la función en el intervalo dado, observar si hay variación de signos. 2. En caso no se den los intervalos, hallar la intersección entre las dos curvas o el eje. 3. Seleecionar el diferencial más adecuado y plantear la integral. 4. Considerar que al plantear una integral se debe tener cuidado en la selección de los límites de integración así como lo pedido en el problema (uso de área neta o en bruto). 5. Resolver la integral planteada.

4.

Problemas resueltos

Problema 4.1 – Área de sección C(X). Calcular el área sobre el eje y bajo la 17 parábola cuyo foco es (2, 15 4 ) y su directriz es y = 4 . 1. Bosquejar la curva. Recordando la ecuación de la parábola, se tiene (x − h)2 = 4p(y − k) o (y − k)2 = 4p(x − h). Si ubicamos el foco y la directriz en un plano coordenado tenemos:

Como la directriz es horizontal, la parábola es vertical, es decir parte de la ecuación (x − h)2 = 4p(y − k). Recordando que p es el punto medio de la distancia entre el foco y vértice, se llega a la siguiente conclusión gráficamente:

Por tanto el vértice es (2, 4) como tiene la forma (h, k) se reemplaza en la ecuación

12

obteniendo: (x − 2)2 = 4p(y − 4) Como p es el punto medio, se tiene que: p=

(3,75 − 4,25) −1 = 2 4

Reemplazando en la ecuación se tiene: (x − 2)2 = 4(

−1 )(y − 4) 4

(x − 2)2 = −(y − 4) Que es una forma reconocida de la parábola y se puede graficar de la siguiente forma:

2. Hallar los intervalos. Como se pide hallar con el eje, se procede a hallar las intersecciones haciendo y = 0 en la ecuación: (x − 2)2 = −(y − 4) (x − 2)2 = −(0 − 4) x2 − 4x + 4 = 4 x2 − 4x = 0 x(x − 4) = 0 Por lo que sus intersecciones son x1 = 0 y x2 = 4. Esto limita la región R que es la que se busca integrar, gráficamente se observa.

3. Selección del diferencial. Es evidente de forma gráfica y según la ecuación que la forma más sencilla de integración reside en hacerla en función de y, es decir tomando el diferencial de x. Así, la integral tendrá la forma: Z A(R) =

f (x)dx a

13

b

4. Plantear la integral Despejando en la ecuación se tiene: x2 − 4x + 4 = −y + 4 y = 4x − x2 De los límites de integración se tiene x1 = 0 y x2 = 4, por tanto pertenece al intervalo [0, 4]. Gráficamente se observa que la región sombreada es enteramente por sobre el eje por tanto se plantea la siguiente integral: Z A(R) =

b

f (x)dx a

Z

4

(4x − x2 )dx

A(R) = 0

5. Resolver la intergral. Finalmente se resuelve la integral planteada para obtener el área pedida. Z

4

A(R) =

(4x − x2 )dx

0

 4 4x2 x3 A(R) = − 2 3 0   4     x3 43 03 2 2 A(R) = 2x2 − = 2(4) − − 2(0) − 3 0 3 3 

A(R) = 32 − A(R) =

64 96 − 64 ]= 3 3

32 2 u = 10,6667u2 3

Problema 4.2 – Área de sección C(Y). Calcular el área limitada por el intervalo [0, 2] sobre el eje de las ordenadas y bajo la curva x = y 3 − 8 1. Bosquejar la curva. Como se da la curva explícitamente, el bosquejo es directo.

2. Hallar los intervalos. En este ejemplo, los intervalos son dados explícitamente [0, 2]. 3. Selección del diferencial. El diferencial en esta situación es evidente, dado que el enunciado menciona que la curva esta sobre el eje de las ordenadas y además esta dada de forma explícita en función a y, la diferencial es evidentemente dy. 4. Plantear la integral. Del gráfico se observa la particularidad que la gráfica esta dada por la zona negativa del eje.

14

Por lo tanto la integral tendrá la forma Z A(R) =

a

b

f (y)dy

Z 2 A(R) = (y 3 − 8)dy 0

5. Resolver la integral: Finalmente se resuelve la integral planteada para obtener el área pedida. Z 2 3 A(R) = (y − 8)dy 0

 4  2 y A(R) = − 8y 4 0  4   4  2 0 A(R) = −8·2 − − 8 · 0 4 4 A(R) = 4 − 16 − 0 + 0 A(R) = −12 = 12u2

Problema 4.3 – Área entre dos rectas y bajo una curva Calcular el área de la región R comprendida entre la hipérbola xy = m2 , las rectas verticales x = a,x = 3a si a > 0 y el eje X. 1. Bosquejar la curva. Como se trata de una hiperbóla con una ecuación dada es sencilla de esbozar, notar que no es posible graficarla de forma exacta debido al uso de una constante.

2. Hallar los intervalos. En este ejemplo, observar que se tiene los ejes verticales x = a y x = 3a, como ambos son positivos y limitan verticalmente la curva, se tendrá el intervalo x ∈ [a, 3a]. Observar la gráfica para entender mejor el razonamiento. 3. Selección del diferencial.

15

El diferencial en esta situación es evidente, dado que el enunciado menciona que la curva esta limitada respecto del eje X y por rectas ortogonales a este y además esta dada de forma explícita en función a x, la diferencial es evidentemente dx. En cualquier caso, sería posible integrar respecto a dy si estuviese limitada por rectas ortogonales al eje Y. 4. Plantear la integral. Del gráfico se observa la zona a integrar esta por sobre el eje, por tanto no hay particularidades.

Por lo tanto la integral tendrá la forma b

Z A(R) =

f (y)dy a

Z

3

A(R) =

a a

m2 dx x

5. Resolver la integral: Finalmente se resuelve la integral planteada para obtener el área pedida. Z A(R) =

3

a a

m2 dx x

3 A(R) = m2 ln x a a

2

A(R) = m ln 3a − m2 ln a A(R) = m2 ln

3a a

A(R) = m2 ln 3u2

Problema 4.4 – Área en bruto. Hallar el área real de la curva y = cos x y el eje x, considere el intervalo x ∈ [−π, 3π 2 ]. 1. Bosquejar la curva. Como se trata de una ecuación coseno, es bastante sencillo esbozarla, tal y como se observa

16

2. Hallar los intervalos. En este ejemplo, los intervalos son dados x ∈ [−π, 3π 2 ]. 3. Selección del diferencial. El diferencial en esta situación es evidente, dado que el enunciado menciona que la curva esta limitada respecto del eje X y además esta dada de forma explícita en función a x, la diferencial es evidentemente dx. 4. Plantear la integral. Observar que pide el área real, es decir el área en bruto por tanto la integral planteada tendrá que ser particionada.

Por lo tanto la integral tendrá la forma A(R) = A1 + A2 + A3 Z A(R) =

c

a

Z A(R) =

−π 2

−π

Z f (x)dx +

d

Z cosxdx +

π 2

c

Z f (x)dx +

b

d

−π 2

f (x)dx

Z 3π 2 cosxdx + cosxdx π 2

5. Resolver la integral: Finalmente se resuelve la integral planteada para obtener el área pedida. Z A(R) =

−π 2

−π

Z cosxdx +

π 2 −π 2

Z 3π 2 cosxdx + cosxdx π 2

−π π2 3π 2 2 A(R) = (sinx) + (sinx) + (sinx) −π π −π

A(R) = |sin(

2

2

−π π π π 3π ) − sin(π)| + [sin( ) − sin( )] + |sin( ) − sin( )| 2 2 2 2 2 A(R) = | − 1| + [2] + | − 2| A(R) = 1 + 2 + 2 = 5u2

Problema 4.5 – Área entre dos curvas, curvas distintas. Calcular el área de la figura limitada por las curvas y = x2 + 2, y = −x, x = 0 y x = 1 1. Bosquejar la curva. Como se trata de un conjunto de curvas simples es sencillo esbozarlas.

17

2. Hallar los intervalos. En este ejemplo, los intervalos son dados x ∈ [0, 1]. 3. Selección del diferencial. El diferencial en esta situación es evidente, dado que el enunciado menciona que la curva esta limitada respecto del eje X y además esta dada de forma explícita en función a x, la diferencial es evidentemente dx. 4. Plantear la integral. No pide el área bruta, por lo que se asumirá el área neta, en cuyo caso simplemente se trabaja con la ecuación (7)

Por lo tanto la integral tendrá la forma b

Z

[f (x) − g(x)]dx

A(R) = a 1

Z

[x2 + 2 − (−x))]dx

A(R) = 0

1

Z

(x2 − 2 + x)dx

A(R) = 0

5. Resolver la integral: Finalmente se resuelve la integral planteada para obtener el área pedida. Z A(R) =

1

[x2 + 2 + x))]dx

0

x3 x2 + 2x + 3 2  3   1 12 03 A(R) = + 2(1) + − 3 2 3 

A(R) =

18

 1 0

+ 2(0) +

02 2



1 1 +2+ 3 2 17 2 A(R) = u 6

A(R) =

Problema 4.6 – Área entre dos curvas, curvas intersectas. Calcular el área de 3 la figura limitada por las parábolas y = x2 , y = x3 1. Bosquejar la curva. Como se trata de un conjunto de curvas simples es sencillo esbozarlas.

2. Hallar los intervalos. En este ejemplo, los intervalos no son dados explícitamente, pero se sabe gráficamente que son intersectas. Por tanto se necesita hallar dichos puntos, para esto se igualan las curvas. y=y x2 =

x3 3

x3 − 3x2 = 0 x2 (x − 3) = 0 Se tiene x1,2 = 0 y x3 = 3 por tanto el intervalo es x ∈ [0, 3] 3. Selección del diferencial. El diferencial en esta situación podría elegirse en ambas variables, no obstante debido a que las curvas estan dadas explícitamente en función a x, se procedera a usar dicha diferencial. 4. Plantear la integral. No presenta mayor problema graficamente por tanto, simplemente se trabaja con la ecuación (7)

19

Notar además, que la curva y = x2 es mayor en el intervalo de integración. Por lo tanto la integral tendrá la forma b

Z

[f (x) − g(x)]dx

A(R) = a

3

Z A(R) =

[x2 −

x3 ]dx 3

(x2 −

x3 )dx 3

0

Z

3

A(R) = 0

5. Resolver la integral: Finalmente se resuelve la integral planteada para obtener el área pedida. Z

3

A(R) = 0

(x2 −

x3 )dx 3

 3 x3 x4 − 3 12 0  3   3  3 34 0 04 A(R) = − − − 3 12 3 12 

A(R) =

27 36 − 27 = 4 4 9 A(R) = u2 4

A(R) = 9 −

Problema 4.7 – Área neta. Calcular el área limitada por y = 2π, y = −π, el eje de las ordenadas y la curva x = sen(y) 1. Bosquejar la curva. Como se trata de un conjunto de curvas simples es sencillo esbozarlas.

2. Hallar los intervalos. En este ejemplo, los intervalos son dados explícitamente según las rectas dadas, así se tiene y ∈ [−2π, π] 3. Selección del diferencial. El diferencial en esta situación es bastante sencillo de realizar según y, por lo que el diferencial a usar es dy 4. Plantear la integral. Como se observa se trata del área neta, por tanto la integral es simplemente la curva dada.

20

Por lo tanto la integral tendrá la forma Z

b

A(R) =

f (y)dy a π

Z A(R) =

[sen(y)]dy −2π π

Z A(R) =

[sen(y)]dy −2π

5. Resolver la integral: Finalmente se resuelve la integral planteada para obtener el área pedida. Z π [sen(y)]dy −2π

 A(R) =

π −cos(y))

−2π

 A(R) =

   −cos(π) − −cos(−2π)

  A(R) = −1 − 1 A(R) = | − 1 − 1| = 2

Problema 4.8 – Área entre varias curvas, curvas no esbozadas Hallar el área limita por las curvas x2 − y 2 = 3, xy = ±2, y = ±4 1. Bosquejar la curva. Si bien es posible bosquejar la curva del presente ejercicio, no se procederá a hacerlo para demostrar que es posible hallar el área de forma enteramente analítica. En cualquier caso, se hara un análisis de la gráfica y sus simetrías. Considerando el caso positivo x2 − y 2 = 3 xy = 2 2 x2 − ( )2 = 3 x x4 − 3x2 − 4 = 0 (x2 − 4)(x2 + 1) = 0 x = ±2 Como se obtiene lo mismo con xy = −2, se deduce por simetría que A(R) = 4A(R1 )

21

2. Selección del diferencial. Despejando en las curvas dadas se tienen x2 − y 2 = 3 p f (y) = 3 + y 2 xy = 2 g(y) =

2 y

Como se despeja respecto a y, se elige dicho diferencial dy. 3. Hallar los intervalos. Notar que se da la recta y = 4 que representa uno de los límites. Para el otro limite se procede a hallar la intersección. x=x 2 p = 3 + y2 y 4 = 3 + y2 y2 y 4 + 3y 2 − 4 = 0 (y 2 + 4)(y 2 − 1) = 0 y=1 Por tanto el intervalo es y ∈ [1, 4] 4. Plantear la integral. Como se trata de una integral directa, pues no pide área bruta, la integral tendrá la forma Z b A(R) = [f (y) − g(y)]dy a

u otro similar, para verificar esto, se procede a observar cual es mayor. Si se toma y=2, se tiene p f (y) = 3 + y 2 f (2) = 2,64 g(y) = g(2) =

2 y

2 =1 2

La función mayor es f(x), por tanto la integral tiene forma: 4

Z A(R1 ) = 1

p 2 [ 3 + y 2 − ]dy y

5. Resolver la integral: Finalmente se resuelve la integral planteada para obtener el área pedida. Z A(R) = 4 1

4

p 2 [ 3 + y 2 − ]dy y

 p  4 p y 3 2 2 A(R) = 4 3 + y + ln|y + 3 + y | − 2ln|y| 2 2 1 ! √ √ 4 + 19 − 16ln2 u2 A(R) = 8 19 − 4 + 6ln 3

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Problema 4.9 – Área de una región, curva no esbozada Calcular el área de la figura comprendida entre la curva y = tgx, el eje X y la recta x = π3 1. Bosquejar la curva. Si bien es posible bosquejar la curva del presente ejercicio, no se procederá a hacerlo para demostrar que es posible hallar el área de forma enteramente analítica. 2. Hallar los intervalos. Notar que se dan el eje X y la recta x = π3 , como la intersección con el eje X se representa por y = 0, se tiene que y=0 tanx = 0 x=0 Es evidente que al estar en función a x, la recta perpendicular a esta marca el límite superior, por tanto el intervalo es x ∈ [0, π3 ] 3. Selección del diferencial. Por lo mismo, se procede a elegir el diferencial dx, debido a la explicitud de la ecuación. 4. Plantear la integral. Como se trata de una integral directa, pues no pide área bruta, la integral tendrá la forma Z b A(R) = f (x)dx a

Z

π 3

A(R) =

[tanx]dx 0

5. Resolver la integral: Finalmente se resuelve la integral planteada para obtener el área pedida. Z A(R) =

π 3

[tanx]dx 0

 A(R) =

 π3 −ln|cos(x)| 0

π A(R) = −ln|cos( )| − (−ln|cos0|) 3 1 A(R) = −ln| | + ln|1| 2 A(R) = −ln|1| + ln|2| + ln|1| A(R) = ln|2|u2

Problema 4.10 – Área entre dos curvas, curva no esbozada. limitada por las curvas y = x3 + 3x2 + 2, y = x3 + 6x2 − 25

Calcular el área

1. Bosquejar la curva. Si bien es posible bosquejar la curva del presente ejercicio, no se procederá a hacerlo para demostrar que es posible hallar el área de forma enteramente analítica. 2. Hallar los intervalos. Notar que en el presente ejercicio se tienen dos curvas probablemente intersectas. Esto se verificara mediante y=y x3 + 3x2 + 2 = x3 + 6x2 − 25

23

3x2 − 27 = 0 x2 − 9 = 0 (x − 3)(x + 3) = 0 Por tanto se tienen las intersecciones x = −3 y x = 3, que a su vez representan el intervalo x ∈ [−3, 3] 3. Selección del diferencial. Por lo mismo, se procede a elegir el diferencial dx, debido a la explicitud de la ecuación. 4. Plantear la integral. Como se trata de una integral directa, pues no pide área bruta, la integral tendrá la forma: Z b A(R) = [f (x) − g(x)]dx a

Debido a la falta de gráfica, es importante observar que gráfica es mayor, para esto se elige un valor al azar en el intervalo que permita observar el comportamiento. En este caso se eligió x = 0 por motivos de simplificacion. Se tienen así: f (x) = x3 + 3x2 + 2 f (0) = 03 + 3(0)2 + 2 = 2 g(x) = x3 + 6x2 − 25 g(0) = (0)3 + 6(0)2 − 25 = −25 Como se observa, f (x) es mayor que g(x) por lo que esta sería mayor. Así se tiene la siguiente integral. Z

3

[(x3 + 3x2 + 2) − (x3 + 6x2 − 25)]dx

A(R) = −3

Z

3

[x3 + 3x2 + 2 − x3 − 6x2 + 25]dx

A(R) = −3

Z

3

[−3x2 + 27]dx

A(R) = −3

5. Resolver la integral: Finalmente se resuelve la integral planteada para obtener el área pedida. Z

3

[−3x2 + 27]dx

A(R) = −3

 A(R) =

 3 −x3 + 27x

−3

3

A(R) = [−(3) + 27(3)] − [−(−3)3 + 27(−3)] A(R) = 27 + 81 − 81 + 81 = 81 + 27 = 108u2

5.

Problemas encargados

√ 1. Hallar el área de la superficie limitada por las curvas y = x(± x) y la recta x = 4. RPTA. 128 2 5 u 2. Hallar el área de la superficie limitada por las curvas y 2 = 4x, 2x − y = 4. RPTA. 9u2 3. A un topografo se le encarga hallar el área de un terreno que fue tramado en un plano mediante la siguiente aproximación de curvas sen(x) desde −π hasta π2 , la recta que parte del inicio del terreno hasta el punto (0, 4), la parábola y = 4 − x2 de y = 4 hasta 24

y = 3 y la recta que conecta el final de la parábola con la base del terreno. RPTA. 12, 63u2 4. Hallar el área de la figura limita por las curvas a2 y 2 = x2 (a2 − x2 ). RPTA.

4a2 2 3 u

5. Hallar el área de la superficie del primer cuadrante limitada por el arco de la curva y = ex sin x que va desde el eje Y hasta la primera interseción con el eje X. RPTA. eπ +1 2 2 u 6. Calcular el área de la región limitada por la curva y 2 =

1−x 1+x

y su asíntota. RPTA. 2πu2

7. Hallar el área de la región comprendida entre las curvas x2 y + 4y − 8 = 0 y x2 = 4y. RPTA. 12π−8 u2 6 8. Calcular el área del trapecio mixtilíneo limitado por la línea y = (x2 + 2x)e− x y el eje de abscisas. RPTA. 4u2 √ √ 9. Área de √ la región comprendida entre las curvas y = 3 x + 1 − 3 x − 1, x = −1 y x = 1. 3 PRTA. 3 2u2 2

10. Calcular el área de las figura comprendida entre las curvas y = x3 e8−x , y = 4x. RPTA. e8 −73 2 4 u

6.

Conclusiones Se aprendió a determinar el área de diversas regiones planas. Se comprendió la deducción de las fórmulas y la interpretación de integral como proceso acumulativo.

7.

Referencia Bibliográfica

Análisis Matemático II - Eduardo Espinoza Ramos - Sexta Edición

Elementary Calculus: An Infinitesimal Approach - Howard Jerome Keisler - Segunda Edición Mathematics in Geology - John Ferguson - Primera Edición Essential Math for Geoscientists: An Introduction - Paul I. Palmer - Primera Edición

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