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• Fernando Majuan Montalvan

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APROXIMACIONES AL VALOR DEL ÁREA 01. Aproximar el valor del área utilizando el método de RECTÁNGULOS de la región limitada por la curva: y  x 2  4 x considerando una partición regular Q tal que n Q  15 del intervalo

  1, 6  . 02. Aproximar el valor del área utilizando el método de SIMPSON de la región limitada por la curva: y  x 2  4 x considerando una partición regular Q tal que n Q  15 del intervalo

  1, 6  . 03. Aproximar el valor del área utilizando el método de TRAPECIOS de la región limitada por la curva: y  x 2  4 x considerando una partición regular Q tal que n Q  15 del intervalo

  1, 6  . 04. Aproximar el valor del área utilizando rectángulos inscritos y circunscritos de la región limitada por la curva: y  6 x3  5x 2 17 x  6 considerando una partición regular Q tal que n P(Q)  2048 del intervalo   2, 3  . 05. En los siguientes problemas exprese en términos de una integral o integrales el área de la región sombreada

a)

b)

c)

d)

e)

f)

ÁREA DE REGIONES PLANAS 01. Calcula el área comprendida entre la función: f ( x )  4  x que forman los ceros de la función. a) Grafica el área a calcular. b) Utilice el método del rectángulo, con n =10 b) Estime el valor de la aproximación como el promedio. c) Compara los resultados con el valor exacto.

2

y el eje de abscisas en el intervalo

02. Determinar el área de la región limitada por las curvas a) y  2 x  x 2 , y   x

x2 b) y  x 2 , y  , y  2x 2 c) y  3  x 2 , y   x  1 03. Determinar el área de la región limitada por y  x 3  x y su recta tangente a la gráfica en el punto (1, f (1)) 04. Determinar el área de la región limitada por las curvas x  4  y 2  2 y y la recta y  x . 05. Calcular el área de la región limitada por la curva x  3  y 2 con la recta x  2 y  3 06. Calcular el área de la región limitada por la gráfica de y 

x  10 y x  10

x 2

x 5

, el eje x y las rectas

07. Hallar el área de la región limitada por las curvas y  2 x 3  5 x 2  x  2, x  3 / 3, x  11 / 2 considerando una partición regular P talque n( P )  9 08. Hallar el área de la región limitada por las curvas 2 y  ( x  2) 2 , 2 y  ( x  2) 2 , 2 y  ( x  2) 2 , 2 y  ( x  2) 2 09. Hallar el área de la región limitada por las curvas x 2  y 2  3 , xy  2 , y  4 10. Hallar el área de la región limitada por las curvas y  x 2 , y  x 2 / 2 y la recta y  2 x 11. Hallar el área de la región limitada por las curvas y  x 3  x  4 , y  x , y  8  x 12. Hallar

el

área

de

la

región

x  9 y  81, x  4 y  16, 2

2

limitada

por

los

arcos

de

las

parábolas:

x  y  1 (la región no se intersecta con el eje Y. 2

3 2 3 2 13. Hallar el área limitada por las curvas y  x  3x  2, y  x  6 x  25 .

14. Hallar el área de la región limitada por las curvas: y  x  5  x  3 , x  y  2 . 4 15. Calcular el área del recinto finito limitado por la gráfica de la función y  x , su recta tangente en el punto (1, 1) y el eje OY.

VOLUMEN DE SÓLIDO DE REVOLUCIÓN 01. Hallar el volumen del sólido generado girando la región limitada por los gráficos de

y  x 3 , y  8, x  0 dadas sobre el eje y.

02. Determinar el volumen del sólido de revolución que resulta al girar la región R, situada en el primer cuadrante y limitada por las gráficas de las funciones x  ArcoSen y , x  ArcoCos y , e y  0 con x  0,  / 2 , alrededor de la recta x   . 03. Calcular el volumen del sólido generado por la rotación de la región limitada por las curvas

x  y 2  3 y  6 , x  y  3 al girar alrededor de la recta y  3 . 04. Hallar el volumen del sólido de revolución obtenido al girar alrededor de la recta y  1 , la región comprendida entre las curvas y  x 2 y y 

x.

05. Calcular el volumen del sólido generado por la rotación de la región limitada por las curvas

y  4  x 2 , y  1 , x  0 , x  3 al girar alrededor de la recta y  0 . 06. Calcular el volumen del sólido generado por la rotación de la región limitada por las curvas y  3x 2 , y  4  6 x 2 al girar alrededor de la recta x  0 . 07. Hallar el volumen del sólido generado al girar sobre el eje X la región limitada por las curvas:

y  1  x2 , y  4  x2 . 08. Hallar el volumen del sólido de revolución que se forma al rotar alrededor de la recta x  4 la región limitada por las curvas y  x 3  6 x 2  8 x,

y  x 2  4 x donde en ambos casos x  0, 4

09. Hallar el volumen generado por la región comprendida entre las curvas: x2 y2  1 x2  y 2  4 9 4 10. Encontrar el volumen de la figura que se obtiene girando la gráfica de y  al eje OX, en

x e  x en torno 2

 2,2

11. Determina el volumen generado al girar respecto al eje 0X la región acotada por las gráficas x  y 2 y 2y  x  3  0 . 12. Hallar el volumen engendrado por el área menor comprendida entre las curvas x 2  y 2  25 y

3x 2  16 y , al girar alrededor del eje X.

LONGITUD DE ARCO 01. En los problemas 1 al 11. Hallar la longitud de la curva dada, entre los puntos indicados

02. Determinar la longitud de la curva y 2  3x 2  x3 desde x = -3 hasta x = 0

x 2 1 x  1  Ln ( x  x 2  1) 2 2

03. Hallar la longitud de arco de la curva y  04. Hallar la longitud de arco de la curva x

2/3

 y2/3  a2/3

05. Hallar la longitud de arco de la curva y  x x 2  1  1 Ln ( x  x 2  1 ) desde x = 3 hasta x = 5 2

2

06. Hallar la longitud del arco de la curva 9 y 2  4 x 3 del origen al punto (3, 2 3 )

07. Hallar la longitud total de la curva 8 y 2  x 2 (1  x 2 )

ÁREA DE SUPERFICIE DE REVOLUCIÓN 01. Hallar el área de la superficie, cuando la curva 2 x  y y 2  1  Ln y  y 2  1 , y   2, 5  gire alrededor del eje OX. 02. Calcular el área de la superficie de revolución que se obtiene al rotar alrededor del eje X, el lazo de la curva 9 y 2  x ( x  1) 2 03. Hallar el área de la superficie generada cuando la curva y  gira alrededor del eje X

2 3 / 2 1 1/ 2 x  x donde x  0, 4 3 2

04. Calcular el área de la superficie limitada por las curvas: y  6  4 x  x 2 , y la cuerda que une los puntos (2,6) y ( 4,6) .

05. Calcule el área A de la superficie de revolución generada al girar el circulo x2 + y2 = r2 alrededor de la recta y = r. 06. Hallar el área de la superficie cuando la curva 2 x  y y 2  1  alrededor del eje OY

1 Ln ( y  y 2  1) gira 2

07. Un cable atado en sus extremos a la misma altura, está modelado por la función y  e

2x

2e

1 ,

x

donde la variable se mide en metros. Si el viento lo hace girar alrededor del eje que une sus extremos, este genera un sólido de revolución. Calcule el área de esta superficie. (3 puntos) 08. Hallar el área de la superficie de revolución engendrada al girar la curva alrededor del eje OX entre x = 0 y x = 1 . 09. Hallar el área de la superficie de revolución engendrada al girar la curva 8y2 = x2 x4 alrededor del eje OX.

10. Hallar el área de la superficie de revolución engendrada al girar la curva alrededor del eje OX entre x = - 1 y x = 1 . 11. Hallar el área lateral generada al girar la circunferencia (x - 4)2 + y2 = 1 alrededor del eje OX 12. Hallar el área entre x = 0 y x = 3 de la superficie de revolución engendrada por la curva y2 = 12x, alrededor del eje OX