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• Richy Ricardo

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INECUACIONES DE PRIMER GRADO APLICACIONES: 1.- Resolver: 𝟐(𝒙 − 𝟑) + 𝟑(𝒙 − 𝟐) > 𝟒(𝒙 − 𝟏) Indicando el menor valor entero que adopta “x” 𝟐(𝒙 − 𝟑) + 𝟑(𝒙 − 𝟐) > 𝟒(𝒙 − 𝟏) 2𝒙 − 𝟔 + 𝟑𝒙 − 𝟔 > 𝟒𝒙 − 𝟒 5𝒙 − 𝟒𝒙 > 𝟏𝟐 − 𝟒 𝒙>𝟖 Por lo tanto el Menor valor es 9

𝒙+𝟏

𝒙+𝟏

2.- Resolver: + ≥𝟔 𝟐 𝟑 Indicando el intervalo solución. 𝒙+𝟏 𝒙−𝟏 + ≥𝟔 𝟐 𝟑 3𝒙 + 𝟑 + 𝟐𝒙 − 𝟐 ≥ 𝟑𝟔 5𝒙 + 𝟏 ≥ 𝟑𝟔 [𝟕; +𝜶) 5𝒙 ≥ 𝟑𝟓 𝒙≥𝟕 𝒙 ∈ [𝟕; + 𝜶) 3.- Resolver:

𝒙+𝟐 𝟑

+

𝒙+𝟔 𝟓

+

𝒙+𝟑 𝟕

≤𝟓

Indicando el intervalo no solución. 𝒙+𝟐 𝒙+𝟔 𝒙+𝟑 + + ≤𝟓 𝟑 𝟓 𝟕 𝟑𝟓(𝒙 + 𝟐) + 𝟐𝟏(𝒙 + 𝟔) + 𝟏𝟓(𝒙 + 𝟑) ≤ 𝟓𝟐𝟓 𝟑𝟓𝒙 + 𝟕𝟎 + 𝟐𝟏𝒙 + 𝟏𝟐𝟔 + 𝟏𝟓𝒙 + 𝟒𝟓 ≤ 𝟓𝟐𝟓 𝟕𝟏𝒙 + 𝟐𝟒𝟏 ≤ 𝟓𝟐𝟓 𝟕𝟏𝒙 ≤ 𝟓𝟐𝟓 − 𝟐𝟒𝟏 < −𝜶; 𝟒] 𝟕𝟏𝒙 ≤ 𝟐𝟖𝟒 𝒙≤𝟒 N.A INECUACIONES DE PRIMER GRADO

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4.- Si: 𝑎 < 𝑏; 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅+ 𝒂

𝒃

𝒃

𝒂

𝒃

𝒂

𝒂

𝒃

Resolver: 𝒙 + 𝒙 ≥ +

𝒂 𝒃 𝒃 𝒂 𝒙+ 𝒙≥ + 𝒃 𝒂 𝒂 𝒃 𝒂𝟐 𝒙 + 𝒃𝟐 𝒙 ≥ 𝒃𝟐 + 𝒂𝟐 𝒂𝟐 (𝒙 − 𝟏) ≥ 𝒃𝟐 (𝟏 − 𝒙) 𝒂𝟐 𝒙 ≥ 𝒂𝟐 ; 𝒃𝟐 𝒙 ≥ 𝒃𝟐 𝒙≥𝟏 ; 𝒙≥𝟏 𝒙≥𝟏

5.- Resolver: (𝒙 + 𝟏)(𝒙 + 𝒃) > 𝑥 2 + 2𝑎𝑏 Si: 𝑎 + 𝑏 < 0 (𝒙 + 𝟏)(𝒙 + 𝒃) > 𝒙𝟐 + 𝟐𝒂𝒃 𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒙 + 𝒃 > 𝒙𝟐 + 𝟐𝒂𝒃 𝒙(𝒃 + 𝟏) > 𝟐𝒂𝒃 − 𝒃 𝟐𝒂𝒃 − 𝒃 𝒙> 𝒃+𝟏 (𝒙 + 𝒂)(𝒙 + 𝒃) > 𝒂𝟐 + 𝟐𝒂𝒃) 𝒙𝟐 + 𝒂𝒙 + 𝒃𝒙 + 𝒂𝒃 > 𝒙𝟐 + 𝟐𝒂𝒃 𝒙(𝒂 + 𝒃) > 𝒂𝒃 𝒂𝒃 𝒙> 𝒂+𝒃 6.- Resolver: (𝒙 + 𝟏)(𝒙 + 𝟐)(𝒙 + 𝟑) ≥ 𝒙𝟑 + 𝟔𝒙𝟐 + 𝟏𝟎𝒙 + 𝟏𝟐 (𝒙 + 𝟏)(𝒙 + 𝟐)(𝒙 + 𝟑) ≥ 𝒙𝟑 + 𝟔𝒙𝟐 + 𝟏𝟎𝒙 + 𝟏𝟐 (𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 + 𝟐)(𝒙 + 𝟑) ≥ 𝒙𝟑 + 𝟔𝒙𝟐 + 𝟏𝟎𝒙 + 𝟏𝟐 (𝒙𝟑 + 𝟑𝒙𝟐 + 𝟑𝒙𝟐 + 𝟗𝒙 + 𝟐𝒙 + 𝟔) ≥ 𝒙𝟑 + 𝟔𝒙𝟐 + 𝟏𝟎𝒙 + 𝟏𝟐 𝒙𝟑 + 𝟗𝒙𝟐 + 𝟏𝟏𝒙 + 𝟔 ≥ 𝒙𝟑 + 𝟔𝒙𝟐 + 𝟏𝟎𝒙 + 𝟏𝟐 𝟑𝒙𝟐 + 𝒙 − 𝟔 ≥ 𝟎 𝒙(𝟑𝒙 + 𝟏) ≥ 𝟔. 𝟏 𝒙 ≥ 𝟔 ; 𝟑𝒙 + 𝟏 ≥ 𝟏 INECUACIONES DE PRIMER GRADO

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7.- Resolver:

𝒙−𝟏 𝟐

+

𝒙−𝟐 𝟑

≤

𝒙−𝟑 𝟒

+

𝒙−𝟒 𝟓

Hallar el mayor valor que satisface la desigualdad.

𝟑𝒙 − 𝟑 + 𝟐𝒙 − 𝟒 𝟓𝒙 − 𝟏𝟓 + 𝟒𝒙 − 𝟏𝟔 ≤ 𝟓 𝟐𝟎 𝟏𝟎(𝟓𝒙 − 𝟕) ≤ 𝟑(𝟗𝒙 − 𝟑𝟏) 𝟓𝟎𝒙 − 𝟕𝟎 ≤ 𝟐𝟕𝒙 − 𝟗𝟑 𝟐𝟑𝒙 ≤ −𝟐𝟑 < −𝜶; −𝟏] 𝒙 ≤ −𝟏 Mayor valor -1

8.- Resolver:

𝒙+𝟓 𝟒

+

𝒙−𝟑 𝟐

>𝟓

𝒙+𝟓 𝒙−𝟑 + >𝟓 𝟒 𝟐 𝟐𝒙 + 𝟏𝟎 + 𝟒𝒙 − 𝟏𝟐 > 𝟒𝟎 𝟔𝒙 > 𝟒𝟐 < −𝜶 ; −𝟏] 𝒙>𝟕

9.- Resolver:

𝟑𝒙−𝟐 𝟒

−

𝒙+𝟐 𝟑

(𝒙 + 𝟏)(𝒙 + 𝟐)(𝒙 + 𝟑)

𝒙(𝒙 + 𝟏)(𝒙 + 𝟓) > (𝒙 + 𝟏)(𝒙 + 𝟐)(𝒙 + 𝟑) 𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 > 𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 + 𝟔 𝒙( 𝒙 + 𝟓) > (𝒙 + 𝟑)(𝒙 + 𝟐) 𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 > 𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 + 𝟔 𝟎>𝟔

12.- Resolver:

(𝒙𝟐 − 𝟏)(𝒙 + 𝟐) ≥ 𝒙(𝒙 + 𝟏)𝟐

(𝒙𝟐 − 𝟏)(𝒙 + 𝟐) ≥ 𝒙(𝒙 + 𝟏)𝟐 (𝒙𝟐 − 𝟏)(𝒙 + 𝟐) ≥ 𝒙(𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟏) 𝒙𝟑 + 𝟐𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟐 ≥ 𝒙𝟑 + 𝟐𝒙𝟐 + 𝒙 −𝟐 ≥ 𝟐𝒙 −𝟏 ≥ 𝒙 < −𝜶 ; −𝟏] INECUACIONES DE PRIMER GRADO

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13.- Resolver, si “n” ∈ 𝐍 y dar el minimo valor de “x” 𝒙 𝒙 𝒙 𝒙 + + 𝟏+𝟏 ≥ 𝟏 + 𝟐 + 𝟑+. . . +𝒏 𝟐 𝟔 𝟏𝟐 𝒏(𝒏 + 𝟏) 𝒙 𝒙 𝒙 𝒙 + + 𝟏+𝟏 ≥ 𝟏 + 𝟐 + 𝟑+. . . +𝒏 𝟐 𝟔 𝟏𝟐 𝒏(𝒏 + 𝟏) (𝟏 + 𝒏) 𝒙 𝒙 .𝒏 ( + ).𝒏 ≥ 𝟐 𝒏(𝒏 + 𝟏) 𝟐 𝒏(𝒏+𝟏)𝒙+𝟐𝒙

𝟏+𝒏 𝟐 𝟐 𝒏(𝒏 + 𝟏)𝒙 + 𝟐𝒙 ≥ 𝟐𝒏(𝒏 + 𝟏)(𝟏 + 𝒏) [𝒏(𝒏 + 𝟏) + 𝟐]𝒙 ≥ 𝟐𝒏(𝒏 + 𝟏)𝟐 𝟐𝒏(𝒏 + 𝟏)𝟐 𝒙≥ [𝒏(𝒏 + 𝟏) + 𝟏] 𝟐𝒏(𝒏 + 𝟏)𝟐 𝒙≥ 𝟐 [𝒏 + 𝒏 + 𝟏] 𝟐𝒏(𝒏 + 𝟏)𝟐 𝒏 𝟐 𝒙≥ . . (𝒏 + 𝟏)(𝒏 + 𝟏) 𝒏 𝟐 𝒏𝟐 𝒙≥ 𝟐 𝟐(𝒏)(𝒏+𝟏)

≥

14.- Indique el máximo valor de “A” que satisface la siguiente 𝒚 𝒙 𝒚 𝒛 𝒙 𝒘 desigualdad: + + + + + ≥ 𝑨 ∀𝒙; 𝒚; 𝒛; 𝒘 ∈ 𝑅+2 𝒙

𝒚

𝒛

𝒚

𝒘

𝒙

𝒚 𝒙 𝒚 𝒛 𝒙 𝒘 + + + + + ≥𝑨 𝒙 𝒚 𝒛 𝒚 𝒘 𝒙 Mayor valor 𝒙=𝒚=𝒛=𝒘 𝟏+𝟏+𝟏+𝟏+𝟏+𝟏≥𝑨 𝟔≥𝑨 INECUACIONES DE PRIMER GRADO

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𝟏

𝟏

𝟏

𝟏

15.- Sea: 𝑻 = 𝟏 + + + +. . . + √𝟐 √𝟑 √𝟒 √𝟐𝟎𝟎𝟑 Entonces: 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝑻= + + +. . . + √𝟏 √𝟐 √𝟑 √𝟐𝟎𝟎𝟑 𝑻 =. . .

𝟏

√𝒏 + 𝟏 𝑻 ≤ √𝟐𝟎𝟎𝟑 + 𝟏 𝑻 ≤ √𝟐𝟎𝟎𝟒 𝑻 ∈ 𝒈(−√𝟐𝟎𝟎𝟒 ; √𝟐𝟎𝟎𝟒) 16.- ¿Cuántos números enteros satisfacen el siguiente sistema de inecuaciones? 𝟏𝟏 − 𝟔𝒙 ≤ 𝟏 − 𝒙 < 𝟕 − 𝟐𝒙 𝟏𝟏 − 𝟔𝒙 ≤ 𝟏 − 𝒙 < 𝟕 − 𝟐𝒙 𝟏𝟏 − 𝟔𝒙 ≤ 𝟏 − 𝒙 𝟏𝟎 ≤ 𝟓𝒙

𝟏 − 𝒙 < 𝟕 − 𝟐𝒙 𝒙 29.- Hallar el conjunto solución correspondiente al siguiente sistema de inecuaciones:

𝒙 𝟓

𝒙 𝟓 𝟐


𝟓𝟏 𝟔𝒌 = 𝟕𝟐 + 𝟑𝑨 𝟓𝒌 > 𝟓𝟏 + 𝟐𝟒 𝟕𝟓 𝒌> 𝟏𝟓 (𝟑𝒌 + 𝑨 > 𝟓𝟏)(𝟐) 𝟓 𝒌 > 𝟏𝟓 𝟔𝒌 + 𝟐𝑨 > 𝟏𝟎𝟐 𝟕𝟐 + 𝟑𝑨 + 𝟐𝑨 > 𝟏𝟎𝟐 < 𝟏𝟓 ; +𝜶 > 𝟓𝑨 > 𝟏𝟎𝟐 − 𝟕𝟐 Mínimo 16 𝟓𝑨 > 𝟑𝟎 𝑨>𝟔 𝟏𝟔 + 𝟕 < 𝟔 ; +𝜶 > 𝟐𝟑 𝒑𝒂𝒔𝒕𝒆𝒍𝒆𝒔 𝑴𝒊𝒏𝒊𝒎𝒐 𝟕

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32.- Un numero natural es tal que la sexta parte del número anterior es menor que 6, además la sexta parte del número natural siguiente es más que 6? Cuál será la raíz cuadrada del número natural, disminuido en 1? (𝒙 − 𝟏) 𝟔 𝟔

𝒙 − 𝟏 < 𝟑𝟔 𝒙 + 𝟏 > 𝟑𝟔 𝒙 < 𝟑𝟕 𝒙 > 𝟑𝟓 𝟑𝟓 < 𝒙 < 𝟑𝟕 𝒙 = 𝟑𝟔 √𝒙 − 𝟏 √𝟑𝟔 − 𝟏 𝟔−𝟏 𝟓 33.- El número de alumnos de un aula es menor que 240 y mayor que 100; se observa que los 2/7 del total usan anteojos y los 5/13 son alumnos de ciencia. La suma de los alumnos que usan anteojos con los de la especialidad de ciencia, será: 𝟏𝟎𝟎 < 𝒙 < 𝟐𝟒𝟎

𝟐𝟔𝒙 + 𝟑𝟓𝒙 𝟗𝟏

𝟐 𝒙 → 𝑨𝒏𝒕𝒆𝒐𝒋𝒐𝒔 𝟕

𝟐 𝟓 𝒙+ 𝒙 𝟕 𝟏𝟑 61𝑥 61(91.2) = = = 122 … 91 91 56+66 122

Buscando los múltiplos de 91 91.1=91 91.2=182 91.3=273

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34.- si en medio kilogramo de manzanas se puede tener 4 a 6 manzanas. ¿Cuál es menor peso que puede obtenerse con 9 docenas de ellas?. 𝟏

4≤ 𝒌 ≤ 𝟔 𝟐

9.8≤ 𝒌 ≤ 𝟗. 𝟏𝟐 72≤ 𝟗. 𝟓𝒌 ≤ 𝟏𝟎𝟖. 𝟓 9.5k

35.- Un comerciante compra cierto número de cuadernos por S/.68. Si los vende a S/.4.80 la unidad, pierde; y si los vende a S/.5 la unidad, gana. ¿Cuánto gano si vendió la mitad de cuadernos a S/.6.20 y la otra a S/.6.80?

#cuadernos =x ----- s/68 p/u -----s/4.8 p/u-----s/5

4.8x> 𝟔𝟖 ; 𝟓𝒙 > 𝟔𝟖 x< 𝟏𝟒. 𝟏 ; 𝒙 > 𝟏𝟐. 𝟔 𝟏𝟑. 𝟔 < 𝒙 < 𝟏𝟒. 𝟏 X=14

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36.- Si al doble de la edad de Mirta se le resta 17 años resulta menos de 35, pero si a la mitad de la edad de Mirta se le suma 3 el resultado es mayor que 15. Mirta tiene: 2n-17